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1 Filtrage linéaire des signaux

Cours Filtrage

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Filtrage (Traitement de signal)

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  • 1

    Filtrage linaire des signaux

  • 2 Filtrage - Exemples

    Filtrage du son ralis par un bouchon doreille

    Le filtrage ralis par le bouchon doreille dpend de son positionnement

  • 3 Filtrage- Exemples

    Filtre analogique : rponse du filtre dentre dun rcepteur VHF 144MHz

    Rcepteur dondes radio VHF 144MHz

    Zoom sur le filtre dentre

    Rponse en frquence du filtre passe-bande dentre, centr sur 144MHz

    Antenne de rception (bande des 2 mtres )

    144MHz

  • 4 Filtrage- Exemples

    Filtre de rjection (coupe bande) autour de 144MHz

    Objectif : amliorer la rception des signaux de provenant de satellites

    mtorologiques (137-138MHz) qui sont perturbs par les radios

    amateurs VHF 144MHz.

    Filtre analogique LC

    Rponse en frquence du filtre coupe-bande centr sur 144MHz

  • 5 Filtrage- Exemples

    Filtre 3 voies pour enceintes audio HIFI

    Objectif : filtrer le signal sonore pour ladapter chacun des 3 haut-parleurs : aigu (HF, filtre passe-

    haut), mdium (MF, filtre passe-bande) et grave

    (LF, filtre passe-bas)

    Filtre 3 voies 24 dB/octave

    Enceintes HIFI 3 voies

  • 6 Dfinitions

    Lopration de filtrage permet de modifier les amplitudes des composantes frquentielles dun signal

    Un filtre linaire est dfini comme un systme linaire et invariant en temps

    Le filtre est dfini par sa rponse impulsionnelle h(t) ou son gain complexe H(f)

    La rponse frquentielle H(f) est la transforme de Fourier de rponse impulsionnelle h(t)

    Le signal filtr est le rsultat de la convolution entre le signal et la rponse impulsionnelle h(t)

    Exemple du module de la rponse

    frquentielle dun filtre passe-bas.

    Frquence de coupure 10kHz.

    Exemple du module de la rponse

    frquentielle dun filtre passe-bande.

    Frquence de coupure 8 et 11kHz.

  • 7 Filtre passe-bas idal

    Domaine temporel ou domaine frquentiel ?

    Lutilisation des filtres se fait plutt dans le domaine temporel (convolution)

    La synthse se fait plutt dans le domaine frquentiel (gabarit du filtre)

    1( ) ( ) 2 sin (2 )c ch t TF H f f c f t ( ) ( )

    2 c

    fH f rect

    f

    Filtre passe-bas idal :

    f

    1

    -fc fc t

    2fc

    1/2fc

  • 8 Filtres ralisables en pratique filtres non idaux

    Tolrances sur le gabarit dun filtre passe-bas non idal

    Caractristiques de la rponse en frquence du filtre ralisable :

    Ondulation dans la bande passante Ondulation dans la bande attnue

    Limite de bande passante

    Limite de bande attnue

    Bande de transition

    Causalit, phase : La rponse dun filtre idal est infinie et donc non causale. Pour rendre le filtre ralisable, on peut choisir de le rendre causal : implantation en temps rel.

    Si on choisit un filtre ralisable non causal, il est ncessaire de contrler sa phase (en fonction de la frquence)

    En choisissant une phase linaire, toutes les composantes frquentielles sont retardes de manire identique

  • 9

    Filtres analogiques ralisables en pratique

    Pour synthtiser des filtres analogiques rpondant un gabarit on choisira parmi un ensemble de filtres connus pour leurs proprits en terme de pente

    dattnuation et dondulation dans la bande passante et attnue.

    Exemples :

    Filtres de Butterworth :

    Coupure peu raide mais courbe daffaiblissement rgulire

    Filtres de Tchebychev :

    Raideur de coupure importante mais ondulations dans la bande passante ou attnue

    Filtre simple mettre en uvre

    Filtres de Cauer :

    Coupure extrmement raide mais ondulations dans la bande passante et attnue

    Circuits plus complexes raliser

  • 10 Filtrage numrique. Filtres numriques ralisables en pratique

    Objectifs du filtrage numrique

    Elaborer un systme linaire et invariant en temps possdant le rponse frquentielle souhaite et se prtant une ralisation efficace sur calculateur

    (DSP par exemple)

    Contrainte

    on ne peut obtenir quune rponse frquentielle approche

    Il faut que le systme soit stable et causal (si ncessaire)

    le filtrage doit tre ralis avec un nombre fini doprations

    La transforme en z est un outil mathmatique trs utile pour la synthse des filtres numriques

    Formulation gnrale du filtrage numrique linaire

    M

    k

    k

    N

    k

    k knxbknyany01

    les ak et bk sont les coefficients du filtre.

  • 11 Filtrage numrique. Classification des filtres

    Classification des filtres :

    Filtres Rponse Impulsionnelle Finie (RIF)

    Forme gnrale RIF :

    Filtres Rponse Impulsionnelle Infinie (RII)

    Forme gnrale RII :

    Classification des ralisations:

    Ralisation transversale ou non rcursive

    Ralisation rcursive

    Ralisation par TF discrte

    0

    M

    k

    k

    y n b x n k

    M

    k

    k

    N

    k

    k knxbknyany01

  • 12 Filtres numriques ralisables en pratique

    Etudes des filtres Rponse Impulsionnelle Finie (RIF)

    Rponse impulsionnelle entirement dfinie par une un nombre fini dchantillons

    Principales proprits des filtres RIF :

    - ces filtres sont toujours stables

    - leur rponse frquentielle peut prsenter une phase linaire

    - la dure du rgime transitoire est limite la dure de la rponse impulsionnelle

    - pas de propagation des erreurs de calcul (programmation non rcursive)

    - faiblesse : pour amliorer les performances du filtre on peut tre amen

    augmenter le nombre dchantillons

    3 principales mthodes de synthse de filtres RIF :

    Mthode des fentres

    Mthode de l'chantillonnage en frquence

    Mthode de synthse de filtre optimal (REMEZ)

  • 13 Filtres numriques ralisables en pratique

    Synthse dun filtre RIF par la mthode des fentres

    On part du filtre passe-bas idal de frquence de coupure fc

    Filtre numrique : chantillonnage de la rponse impulsionnelle

    Dure finie de la rponse impulsionnelle : nombre fini dchantillons (L), multiplication par une fentre

    Causalit : dcalage de (L-1)/2 chantillons (si ncessaire)

    Mise en uvre : fonction FIR1 avec Matlab par exemple

    f

    1

    -fc fc t

    2fc

    1/2fc

  • 14 Filtres numriques ralisables en pratique

    Synthse dun filtre RIF par la mthode des fentres

    t

    2fc

    1/2fc

    1( ) ( ) 2 sin (2 )c ch t TF H f f c f t ( ) ( )

    c

    fH f rect

    f

    [ ] 2 sin (2 ) [ ]c ch n f c f n w n

    [ ] ( / )w n rect n LAvec

    pour limiter la dure 2L+1 chantillons sin( )( ) ( )

    sin( )c

    f LfG f rect

    f f

    La phase dpendra du dcalage ventuelle

    pour rendre causal le filtre

    Rponse du filtre

    numrique ralisable

    Rponse du filtre idal

    Echantillonnage de la

    rponse impulsionnelle

    f

    1

    -fc fc

  • 15 Synthse des filtres RIF : mthode des fentres

    Choix du nombre dchantillons (impair) du filtre : amlioration des performances

    G

    G

    G G

  • 16 Synthse des filtres RIF : autres mthodes

    Autres mthodes de synthse

    Mthode de lchantillonnage en frquence

    La rponse frquentielle est chantillonne ,la rponse impulsionnelle est obtenue par TF inverse

    Possibilit de dfinir des gabarits personnaliss

    Ralisation avec le fonction Matlab FIR2

    Mthodes optimales

    La rponse impulsionnelle est synthtise avec des mthodes doptimisation ayant comme critre la minimisation des oscillations et la raideur de la pente

    de coupure

    Ralisation avec le fonction Matlab REMEZ

  • 17 Filtrage numrique

    Utilisation des filtres RIF dans le domaine temporel : convolution numrique

    Soit le filtrage du signal numrique x[n] par le filtre de rponse impulsionnelle h[n]

    Soit e[n] : x[0]=10, x[1]=7, x[2]=5, x[3]=12, x[4]=3, et x vaut 0 ailleurs

    Et h[n] : h[-1]=1/3, h[0]=1/3, h[1]=1/3, et h vaut 0 ailleurs (filtre non causal)

    Soit y le signal rsultant du filtrage de x par h. y est obtenu par la convolution de x par h

    Calcul de y[n] k

    y n x k h n k

  • 18 Filtrage numrique

    Rsultat du filtrage de x par h pour notre cas : 4

    0k

    y n x k h n k

    pour n de -1 5

    Analyse frquentielle :

    y : 1/3(10 17 22 24 20 15 3)

  • 19 Etude du filtre moyenneur

    Moyenneur : filtre numrique simple, moyenne glissante sur M points

    1

    0

    1 M

    k

    y n x n kM

    Rponse frquentielle, TF de la rponse impulsionnelle :

    Relation entre-sortie (filtre causal)

    Cas du moyenneur temporel sur 3 points :

    Rponse impulsionnelle correspondante : h[n]= 1/3 pour n de 0 2, h[n]=0 ailleurs

    1( ) (1 2cos2 )

    3H f f

    H(f)

    1

    0

    1 M

    k

    h n n kM

  • 20 Etude du filtre moyenneur, moyenne glissante, running average filter

    Filtrage du signal constitu de la somme dune rampe continue et dun signal sinusoidal la frquence 1/8

    Comparaison du signal filtr avec un moyenneur sur 3 points et un moyenneur sur 7 points

  • 21 Etude du filtre moyenneur, moyenne glissante, running average filter

    Exemple du filtrage dune image.

    Le filtre sera appliqu successivement sur chaque ligne de limage

    Exemple de la ligne n 40. Cest un signal

  • 22 Etude du filtre moyenneur, moyenne glissante, running average filter

    Exemple du filtrage de la ligne n 40 par un filtre moyenneur causal sur 11 points

    Exemple du filtrage de la ligne n 40 par un filtre moyenneur non causal sur 11 points

    Noter le dcalage spatial et lamplitude du rsultat

  • 23 Etude du filtre moyenneur, moyenne glissante, running average filter

    Rsultat sur limage complte du filtrage par un filtre moyenneur non causal sur 11 points

    Le filtre a t appliqu dabord sur les lignes puis sur les colonnes

    Lamplitude du rsultat a t recalcule pour occuper toute lchelle des niveaux de gris

  • 24 Etude du filtre moyenneur, moyenne glissante, running average filter

    Comment liminer une composante sinusodale de frquence 1/11 superpose limage

    On applique un filtre moyenneur de 11 points sur les lignes

    Image avant et aprs filtrage.

    Noter la suppression de la composante sinus mais aussi llargissement des motifs

    Dtail dune ligne

  • 25 Filtres numriques ralisables en pratique

    Etudes des filtres Rponse Impulsionnelle Infinie (RII)

    Le problme est de trouver les coefficients du filtre ak et bk pour que le filtre soit causal et stable

    et respecte au plus prs le gabarit frquentiel.

    Spcificits des filtres RII

    - peuvent tre obtenus par transposition d'un filtre continu

    - peuvent tre obtenus avec un petit nombre de coefficients

    - mise en uvre rcursive - peuvent tre instables

    - la rponse frquentielle peut prsenter une phase non linaire

    - une bonne prcision de calcul est ncessaire pour viter la propagation des erreurs

    Principales mthodes de synthse de filtre IIR:

    Transposition du filtre analogique en filtre numrique

    Mthode de l'invariance impulsionnelle

    Equivalence la drivation

    Equivalence l'intgration : transformation bilinaire

    Forme gnrale :

    M

    k

    k

    N

    k

    k knxbknyany01

  • 26 Filtres numriques ralisables en pratique. Filtres RII

    Calcul de la rponse impulsionnelle :

    calcul de la sortie lorsque lentre est un dirac [n] on suppose que lentre est nulle avant linstant de dpart on suppose que la sortie est nulle avant linstant de dpart

    Exemple du filtre RII dfini par son quation entre-sortie : 0.8 1 5 [ ]y n y n x n

    Rsultat du calcul :

    5 (0.8) [ ]nh n u n

    Avec u[n], lchelon unit

    La transforme en Z est trs utile

    pour ce calcul dans le cas gnral

  • 27 Filtres numriques ralisables en pratique. Filtres RII

    Exemple du filtre RII dfini par son quation entre-sortie : 0.8 1 5 [ ]y n y n x n

    Noter la possible propagation des erreurs de calcul

    Noter le petit nombre de coefficients pour dfinir le filtre (2)

    Calcul de la rponse du filtre pour le signal dentre x[n] x[n] = 2[n] - 3 [n-1] +2 [n-3]

    y[0] = 0.8y[-1]+5x[0] = 0.8(0) + 5(2) = 10

    y[1] = 0.8y[0]+5x[1] = 0.8(10) + 5(-3) = -7

    y[2] = 0.8y[1]+5x[2] = 0.8(-7) + 5(0) = -5,6

    y[3] = 0.8y[2]+5x[3] = 0.8(5,6) + 5(2) = 5,52

    y[4] = 0.8y[3]+5x[4] = 0.8(5,52) + 5(0) = 4,416

    . Ensuite la sortie est proportionnelle (0,8)n

  • 28 Filtres numriques ralisables. Exemple du filtre passe-bas du 1er ordre

    Filtre numrique quivalent au

    filtre RC analogique passe bas :

    Calcul de la rponse frquentielle

    TFtd ou proprits de la TZ

    Relation entre-sortie de ce filtre linaire

    caractris par lquation aux diffrences suivante :

    On dduit la rponse impulsionnelle

    par calcul de la rponse [n] ou avec

    la transforme en Z

    1 [ ] 1y n ay n x n avec a

    'nh n a u n avec u n l chelon unit

    2

    1( )

    1 j fH f

    ae

  • 29 Mise en uvre des filtres numriques : structure rcursive et non rcursive

    Structure non rcursive

    Adapte aux filtres RIF

    Structure rcursive

    Adapte aux filtres RII et

    dautres filtres pouvant tre formuls de manire rcursive

  • 30

    Les fentres de pondration

  • 31 Fentres de pondration

    Modlisation

    Pour traiter ou analyser un signal, on est amen limiter sa dure.

    La transforme de Fourier du signal 'tronqu' n'est alors qu'une approximation de la

    transforme de Fourier du signal de dpart.

    Il est important de faire un choix raisonn de la fentre de pondration w(t) qui est

    utilise pour limiter la dure du signal.

    Dans le domaine temporel :

    La fentre quon utilise intuitivement est la fentre rectangulaire qui permet simplement de garder les chantillons du signal sur une dure fixe sans modifier leur amplitude.

    Le spectre du signal tronqu est donc convolu (en frquence) par la TF du rectangle

    cest dire un sinus cardinal

    Devient dans le domaine frquentiel :

    )()( twtxtxw

    )(*)( fWfXfXw

  • 32 Fentres de pondration

    Analyse dun signal sinus de frquence 100Hz, chantillonn 1000Hz et limit L=64 chantillons

    0[ ] exp( 2 ) ( / )x n j f n rect n L 0

    sin( )( ) ( ) *

    sin( )

    LfX f f f

    f

    En chelle log ::

    largissement du pic thorique cause

    de la convolution par le sinus cardinal

  • 33 Fentres de pondration

    Paramtres frquentiels caractristiques des fentres de pondration:

    - Largeur du lobe principal rsolution frquentiel - Amplitude du 1er lobe secondaire rsolution dynamique - Pente de dcroissance des lobes secondaires rsolution dynamique

  • 34 Fentres de pondration

    Diverses fentres ont t inventes dans le but de limiter les oscillations dans les

    lobes secondaires et rduire la largeur du lobe principal

    Fentres de Hamming gnralises:

    Avec =1 fentre rectangulaire

    =0,54 fentre de Hamming

    =0,5 fentre de hanning

    Fentres triangulaire ou Bartlett

    Fentre parabolique

    Fentre cosinusodale

    Fentre de Blackmann

    Fentre de Kaiser

    )

    2cos()1()(

    T

    t

    T

    trecttwH

    )1(sinc)1(sinc2

    )1()(sinc

    TfTfT

    TfTfWH

  • 35 Comparaison des fentres de pondration

    Comparaison des diffrentes

    fentres de pondration

    dans le domaine temporel

    et le domaine frquentiel

  • 36 Comparaison des fentres de pondration

    Analyse dun signal constitu de la somme de 2 sinus chantillonns 4000Hz sur 200 points

    Rectangle

    Hamming