cours harthong analyse

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Cours danalyseJacques Harthongcel-00519301, version 1 - 20 Sep 2010Ce document est sous licence Creative Commons: paternit; pas dutilisation commerciale; partagedesconditionsinitialeslidentique;3.0Francehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.frcel-00519301, version 1 - 20 Sep 2010Table des matiresAvant-propos vUn mot sur Jacques Harthong vLe photocopillage viUn gros mensonge viComment fonctionne rellement ldition technique ou universitaireviiLes publications de recherche ixConclusion xI Thormes sur les intgrales 1II Formule de Green 11II.1Intgrales curvilignes 11II.2Intgrales doubles 13II.3Relations entre intgrales doubles et curvilignes 18II.4Domaines ne vriant pas la condition 2 19II.5Intgrales curvilignes rductibles par quadrature 22II.6Domaines trous 24II.7Homologie des lacets 26II.8Intgrales curvilignes variable complexe 28III Fonctions analytiques 31III.1Une proprit des polynmes 31III.2Fonctions analytiques 33III.3Sries entires convergentes 37III.4Thorie de Cauchy 41cel-00519301, version 1 - 20 Sep 2010iiIII.5Fonctions multiformes 49IVCalcul des rsidus 57IV.1Sries de Laurent 57IV.2Thorme des rsidus 60IV.3Calculs dintgrales dnies 63IV.4Comment calculer pratiquement les rsidus 68IV.5Fonction dEuler 70IV.6Fonctions puissance non entire 77VFonctions eulriennes 81V.1Prsentation 81V.2Prolongements analytiques 82V.3Formule dEuler 85V.4Drive de (z) 86V.5Dveloppements eulriens 90V.6Intgrale de Hankel 92VI Transformations conformes 97VI.1Transformations gomtriques du plan 97VI.2Proprits gomtriques des fonctions analytiques 100VI.3Fonctions harmoniques 103VI.4Autres exemples 107VI.4.1 Polynmes 107VI.4.2 Rosettes 108VII Transformation de Fourier 111VII.1quation de la chaleur 111VII.2Transformation intgrale115VII.3Principales proprits de la transformation intgrale120VII.4Notions de convergence 124VII.5Espace '2(1) 126VII.6Transformation de Laplace 132VIII Intgrales divergentes 135VIII.1Calcul dune intgrale semi-convergente 135VIII.2Valeur principale de Cauchy 138VIII.3Pseudo-fonctions de Hadamard 140IXThorie des distributions 153IX.1Modle mathmatique 153IX.2Dnition des distributions 154IX.3Exemples 157IX.4Continuit dans lespace o(1) 159IX.5Intgrales avec poids et extension 162IX.6 propos de lespace o(1) 165cel-00519301, version 1 - 20 Sep 2010iiiIX.7Drivation des distributions 168IX.8Transformation de Fourier des distributions 171IX.8.1 Transforme de Fourier de 1 171IX.8.2 Transforme de Fourier dun polynme 172IX.8.3 Transforme de Fourier de et de ses drives 172IX.8.4 Transforme de Fourier de 1/[ix]2173IX.8.5 Transforme de Fourier de eix2173IX.9Limites de distributions 174XCalculer avec les distributions 179X.1Drives de fonctions non drivables 179X.2Multiplication et convolution des distributions 186X.3Exemples et applications des produits et convolutions 191X.3.1 Convolution par les distributions de Dirac 191X.3.2 Convolution par les drives de 192X.3.3 Rgularisation193X.3.4 Rsolution dquations diffrentielles 195X.4Famille Y197XI Espaces de Hilbert 203XI.1Espaces euclidiens de dimension innie 203XI.2Espaces de Hilbert 206XI.3Bases orthonormes 210XI.4Exemples de bases orthonormes 212XI.4.1 Polynmes de Legendre 212XI.4.2 Fonctions et polynmes dHermite215XI.4.3 Fonctions et polynmes de Laguerre217XI.5Thormes de Weierstrass222XII Oprateurs 227XII.1Dimension innie 227XII.2Oprateurs continus et oprateurs discontinus ferms 227XII.3Valeurs propres et spectre dun oprateur 232XII.4Oscillateur quantique 237XII.5Oprateurs auto-adjoints et unitaires 241XII.6Fonctions doprateurs 246XII.7Groupes unitaires 251XII.8Espace '2(S) et harmoniques sphriques 254XII.9Thorie de latome dhydrogne 258Bibliographie 263Index 265cel-00519301, version 1 - 20 Sep 2010cel-00519301, version 1 - 20 Sep 2010Avant-proposUn mot sur Jacques HarthongJacques Harthong (18:oo)at mathmaticien etphysicien. Depuis1:,lanne desonrecrutement, ilestrestlUniversitLouisPasteurdeStrasbourgjusqucequesamaladie lemporte en:oo.Agrg de Mathmatiques en 11, puis docteur dtat en 181, Jacques Harthong avaitlesouci defairedesmathmatiquesqui servent ;lexemple dumoir dans sonhommage Georges Reeb tmoigne de cette volont : doivent tre rsolus les problmes qui seposentet pas seulement les problmes que lon se pose.Cesproblmesqui seposent, JacquesHarthongest allleschercherenPhysique(ilsagit delaPhysiqueausens large: laMcaniqueQuantique, laPhysiqueStatistique,lOptique, lInfographieetc.), cequi traduituncertainespritdouverture, espritquil agardjusqusadisparition.Lorsquequelquun(qui pouvaittreuntudiant)venaitluiposer une question sur tel ou tel sujet, il avait tout de suite la rponse ou alors, il disait quilnesavaitpasmaisquilallaityrchir.Ilrevenaitsouventaveclabonnerponseetuncommentaire sur la pertinence de la question pose. Cette curiosit scientique agrmentedune rexion approfondie est une cl pour comprendre lhomme qui a appliqu le conceptdideintrieure(empruntCasparDavidFriedrich: dieStimmeseinesInnern)etquelon pourrait comprendre comme suit : il sagit dun sentiment strictement personnel, quipermet au mathmaticien de juger, de manire absolument subjective, ce qui est intressantpour lui, ce qui estsavoie (sic).Cettephilosophie personnellececodedeconduiteexpliquecertainement lapro-cel-00519301, version 1 - 20 Sep 2010vi Avant-proposfondeur des rexions scientiques de Jacques Harthong. Il sest dmarqu des autres scien-tiques mais avec un revers de la mdaille sans doute invitable : la marginalit. Le senti-ment strictement personnel sest trouv incompatible avec le corporatisme, lappartenance un courant scientique et la contrainte administrative du nombre.Dans cette manifestation, il nest en aucun cas question dtre pangyrique. Il sagit deprsenterlarichessedesthmestudisparunhommedontlebutavoutaitdecom-prendre. En quelque sorte, il sagit dun bref retour vers la philosophie naturelle.Le photocopillageUn gros mensongeSur la page de garde de nombreux ouvrages que vous avez consults ou utiliss pendant vostudes, vous avez certainement remarqu parfois une exhortation contre lephotocopil lage :lephotocopil lagetuelelivre, accompagne dun plaidoyer pour la protection des auteurs etdelaproprit intellectuelle. Onacherch vousculpabiliser dephotocopier unouvrageau lieu de lacheter en librairie.Sachez quil sagit dune manipulation exclusivement voue protger le droit au protdes diteurs. En eet les pires ennemis de la justermunrationdunecrationintel lectuel lene sont pas les tudiants qui photocopient, mais les diteurs qui le plus souvent ne versenttout simplement pas cette juste rmunration aux auteurs. Ils peuvent se le permettre grce la seule loi qui est, toujours et coup sr, applique : la loi du plus fort (cest--dire du plusriche). Cest pourquoi cette exhortationcontrelephotocopil lage que vous avez certainementremarque plus dune fois est vraiment le comble de lhypocrisie.Jusquunepoquercente,aucuneloi ninterdisaituntudiantdephotocopierunlivrepour sonusagepersonnel. Si touteunepromolefaisait individuellement(chaquetudiant photocopiant lui-mme le bouquin) il ny avait pas dinfraction. Tout dirent delamanipulationsignaleci-dessusesteneetletexte(parfaitementlgal,lui)qui gureaussi sur les pages de garde (alina premier de lArticle 40) : Laloi du11mars1957nautorisant, auxtermesdesalinas2et3delArticle41, dunepart,quelescopiesoureproductionsstrictementrserveslusageprivducopisteetnondestinesuneutilisationcol lectiveet, dautrepart, quelesanalysesetcourtescitationsdansunbutdexempleetdil lustration,toutereprsentationoureproductionintgrale, oupartiel le, faitesans consentement delauteuroudeses ayant-droits ouayant-cause, estil licite. Latechnologie ayant normment voludepuistrente ans,lesintrts desditeurs sesont de plus en plus heurts ses progrs. Ainsi jusquau dbut des annes mille neuf centsoixante-dix la reproduction dun livre ntait pas la porte du simple particulier ; elle lestdevenue partir des annes mille neuf cent quatre-vingt grce la photocopieuse de bureauomniprsente.Cestpourquoi lesditeursontengagunebataillejuridiqueetobtenudenouvelles lois plus restrictives. Ilest devenu illgal de photocopier un livre mme pour unusage priv. chacune de ces batailles juridiques ou parlementaires, les diteurs invoquentsystmatiquement la protection de la cration intellectuelle, cest--dire la protection de lacel-00519301, version 1 - 20 Sep 2010viijustermunrationdunartiste,duncrivain,dunchercheur.PlusrcemmentleWebson tour a commenc heurter les intrts des diteurs et de la mme faon ils essaient decontraindre lestatsprotgerleurssourcesdeprotcontre cettevolution. nouveauest entonn le lamento sur les pauvres auteurs dpossds par des pilleurs.Je voudrais que vous sachiez que ceux qui dpossdent les auteurs sont surtout les di-teurs etnonlespil leurs.Laprotection desartistes,crivains, ouchercheurs estlederniersouci des diteurs. Cet argument est de la pure hypocrisie, car toutes les batailles juridiqueset parlementaires menes par le lobby de ldition visent exclusivement la protection desprots que les diteurs, surtout les plus gros, obtiennent grce lexploitation sans scrupuledes artistes, crivains,ou chercheurs. Biensruncrivain ouunchanteur derock clbretouche des droits dauteur consquents ; mais cest surtout parce que le montant de ces droitsestalorssusammentlevpourquelerecoursdesavocatssoitrentable:lauteurestpay parce quil est assez riche pour obtenir dtre pay. Si le cot de laction en justice estsuprieur au montant des droits dauteur, elle devient sans intrt et les diteurs le savent.Comment fonctionne rellement ldition technique ou universitaireAutrefois lditeur tait un auxiliaire indispensable de lauteur : ce dernier ne pouvait criresesuvresqulaplumedoie, austylo, oulamachinecr