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c  Christophe Bertault - MPSI Injections, surjections, bijections Dans ce chapitre et tous les suivants, les mots « fonction » et « application » désigneront un même objet conformément au programme. Il se peut cela dit que vous trouviez dans certains ouvrages deux dénitions distinctes attachées à ces deux noms. Un bon conseil : n’y prêtez pas attention. En toute rigueur, fonction et application sont deux notions distinctes mais vous n’avez pas besoin de le savoir. Dans tout ce chapitre,  E,F,G...  sont des ensembles. 1  Introduction a ux applications     Explication  Qu’es t-ce qu’u ne foncti on ? On se cont ente gén éralement de dire ce qu’une fon ction fait pour éviter d’avoir à dire ce qu’elle  est : « Une fonction associe à tout élément d’un ensemble un unique élément d’un autre ensemble. » Ceci hélas n’es t pas une dénition. Quel est donc ce quelque chose qui « associe » une chose à une autr e? Intuitivement, une fonction c’est une gure, une courbe, un graphe. La fonction x  −→  x 2 par exemple peut être vue comme l’ensemble des points du plan de coordonnées ( x, x 2 ),  x  décrivant  R. On vous a sans doute expliqué qu’il ne faut pas confondre une fonction et sa courbe représentative. Avec la dénition qui suit au contraire, toute fonction  est son graphe. nition  (Applicatio n/fonctio n, ensemble de départ/a rrivée, image/a ntécédent )  On appelle  application  (ou  fonction )  de  E  dans  F  toute partie  f  de E × F  telle que : x E,   !  y  ∈ F/  (x, y) f. La présence du pseudo-quanticateur «  ∃  !  » permet de noter  f (x)  l’unique  y  ∈ F  de la proposition ci-dessus.  L’ensemble E  est appelé l’ensemble de départ de  f  ou son domaine de nit ion . L’ensemble F  est quant à lui appelé un ensemble d’arrivée de  f .  Dans une relation «  ( x, y) Γ »  x E  et  y  ∈ F , qu’on peut aussi noter «  y  =  f (x)  »,  y  est appelé  l’image de  x par  f  tandis que  x  est appelé  un antécédent de  y  par  f .  La fonction f  sera généralement dénie au moyen des notations  f  :  E  −  F x   f (x)  ou simplement  f  :  x −→ f (x).     Explication E F x ց f (x) f (x) ր f (x) Ceci n’est pas une fonction de E  dans  F , à un x  donné sont associées plusieurs valeurs de  f (x). E F y x 1  x 2  x 3 Ici  y  possède plusieurs antécédents par f , on parle d’un antécédent et non de « l’ » antécédent de  y . Avec cette dénition, la fonction  x   √ x  n’est rien d’autre que l’ensemble x, √ x xR + , n’est rien d’autre donc que son graphe . Cette fonction est clairement dénie sur  R + et à valeurs dans  R, mais elle est aussi à valeurs dans  C  si on veut. La nition suivante va plus loin en dénissant l’ensemble exact des valeurs d’une application — son image . nition  (Image d’ une applica tion)  Soit  f  :  E  −→ F  une application. L’ensemble des éléments de  F  qui possèdent un antécédent par f  est appelé l’image de  f  et noté  Im  f  :  Im f  = y ∈ F/   x E/ y  =  f (x)  = f (x) xE .     Explication  On peut représenter une appli cation de deux façons, clas siquement : so it au moyen de « pat ates » (gure de gauche ci-dessous), soit au moyen d’un graphe (gure de droite). Remarquez bien qu’en général l’image de  f  est plus petite que son ensemble d’arrivée car tout élément à l’arrivée ne possède pas forcément un antécédent. 1

Cours - Injections, Surjections, Bijections 13

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  • c Christophe Bertault - MPSI

    Injections, surjections, bijections

    Dans ce chapitre et tous les suivants, les mots fonction et application dsigneront un mme objet conformment auprogramme. Il se peut cela dit que vous trouviez dans certains ouvrages deux dfinitions distinctes attaches ces deux noms.Un bon conseil : ny prtez pas attention. En toute rigueur, fonction et application sont deux notions distinctes mais vous navezpas besoin de le savoir.

    Dans tout ce chapitre, E,F,G . . . sont des ensembles.

    1 Introduction aux applications

    Explication Quest-ce quune fonction ? On se contente gnralement de dire ce quune fonction fait pour viterdavoir dire ce quelle est : Une fonction associe tout lment dun ensemble un unique lment dun autre ensemble. Ceci hlas nest pas une dfinition. Quel est donc ce quelque chose qui associe une chose une autre ?

    Intuitivement, une fonction cest une figure, une courbe, un graphe. La fonction x 7 x2 par exemple peut tre vue commelensemble des points du plan de coordonnes (x, x2), x dcrivant R. On vous a sans doute expliqu quil ne faut pas confondreune fonction et sa courbe reprsentative. Avec la dfinition qui suit au contraire, toute fonction est son graphe.

    Dfinition (Application/fonction, ensemble de dpart/arrive, image/antcdent)

    On appelle application (ou fonction) de E dans F toute partie f de E F telle que :

    x E, ! y F/ (x, y) f.

    La prsence du pseudo-quantificateur ! permet de noter f(x) lunique y F de la proposition ci-dessus. Lensemble E est appel lensemble de dpart de f ou son domaine de dfinition. Lensemble F est quant lui appel

    un ensemble darrive de f .

    Dans une relation (x, y) o x E et y F , quon peut aussi noter y = f(x) , y est appel limage de xpar f tandis que x est appel un antcdent de y par f .

    La fonction f sera gnralement dfinie au moyen des notations f :{

    E Fx 7 f(x) ou simplement f : x 7 f(x).

    Explication

    E

    F

    x

    b

    b

    b

    f(x)

    f(x)

    f(x)

    Ceci nest pas une fonction de E dans F , un x donn sont associesplusieurs valeurs de f(x).

    E

    F

    yb b b

    x1 x2 x3

    Ici y possde plusieurs antcdents par f ,on parle dun antcdent

    et non de l antcdent de y.

    Avec cette dfinition, la fonction x 7 x nest rien dautre que lensemble{(

    x,x)}

    xR+

    , nest rien dautre donc que son

    graphe. Cette fonction est clairement dfinie sur R+ et valeurs dans R, mais elle est aussi valeurs dans C si on veut. Ladfinition suivante va plus loin en dfinissant lensemble exact des valeurs dune application son image.

    Dfinition (Image dune application) Soit f : E F une application. Lensemble des lments de F qui possdentun antcdent par f est appel limage de f et not Im f : Im f =

    {y F/ x E/ y = f(x)

    }={f(x)

    }xE

    .

    Explication On peut reprsenter une application de deux faons, classiquement : soit au moyen de patates (figurede gauche ci-dessous), soit au moyen dun graphe (figure de droite). Remarquez bien quen gnral limage de f est plus petiteque son ensemble darrive car tout lment larrive ne possde pas forcment un antcdent.

    1

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    E

    F

    Im f

    b bx f(x)f

    E

    F

    Im f

    b

    b

    bc

    bc

    bc

    y = f(x)

    Pour dterminer gomtrique-ment limage dune fonction, onprojette son graphe sur laxe desordonnes.

    Dfinition (Ensemble des applications dun ensemble dans un autre) Lensemble des applications de E dans Fest not FE ou F(E,F ).

    $ $ $ Attention ! Ne confondez pas FE et EF !

    Dfinition (Famille) Soit I un ensemble. On appelle famille (dlments) de E indexe par I toute application de I dansE. Les familles, au lieu dtre note comme des applications, sont presque toujours notes sous la forme (xi)iI .

    Lensemble des familles de E indexe par I est not EI .

    Explication Avec la dfinition des applications que nous avons donne un peu plus haut, une famille (x1, x2, . . . , xn)dlments de E nest rien de plus que lapplication f de J1, nK dans E dfinie par les relations : f(1) = x1, f(2) = x2,. . . , f(n) = xn. En rsum, f associe chaque position llment qui lui correspond.

    Exemple Lensemble des suites relles est lensemble RN, celui des suites complexes CN.

    Dfinition (Composition) Soient f : E F et g : F G deux applications.Lapplication

    {E Gx 7 g(f(x)) est appele la compose de f suivie de g et note g f .

    $ $ $ Attention ! La composition, en gnral, nest possible que dans un seul sens, et quand elle est possible dans lesdeux, on na aucune raison davoir f g = g f . Par exemple, la compose de x 7 x2 suivie de x 7 sin x est la fonctionx 7 sin(x2), alors que la compose de x 7 sin x suivie de x 7 x2 est la fonction x 7 sin2 x. Vraiment pas pareil !

    Dfinition (Identit) On appelle identit de E et on note IdE lapplication

    {E Ex 7 x.

    Thorme (Proprits de la composition) Soient f : E F , g : F G et h : G H trois applications. Associativit : h (g f) = (h g) f . Elment neutre : IdF f = f IdE = f .

    Dmonstration Dmontrons seulement lassociativit. Pour tout x E :h (g f)(x) = h(g f(x)) = h(g(f(x))) = (h g)(f(x)) = (h g) f(x). Et voil.

    Dfinition (Restriction et prolongement) Soit A une partie de E.

    Soit f : E F une application. On appelle restriction de f A lapplication note fA de A dans F dfinie par :x A, fA(x) = f(x).

    Soit f : A F une application. On appelle prolongement de f E toute application g de E dans F telle que :x A, f(x) = g(x).

    Explication Restreindre une application, cest diminuer la taille de son domaine de dfinition. Au contraire, prolongerune application, cest augmenter la taille de son ensemble de dfinition.

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    $ $ $ Attention !

    Il existe en gnral beaucoup de prolongements dune applicationdonne. Du coup on parle dun prolongement et non du prolon-gement dune application. Les figures ci-contre sont deux prolonge-ments de lapplication constante gale 1 dfinie sur [1, 2].

    b b b b

    bc

    Dfinition (Image directe dune partie) Soient f : E F une application et A une partie de E. On appelle image(directe) de A par f , note f(A), lensemble : f(A) =

    {y F/ a A/ y = f(a)

    }={f(a)

    }aA

    .

    En particulier : Im f = f(E).

    Explication

    Limage f(A) de A par f est lensemble des images par f des lments de A. Gra-phiquement, pour dterminer f(A), on projette sur laxe des ordonnes la portion dugraphe de f qui se situe au-dessus de A, comme lillustre la figure ci-contre.

    E

    F

    A

    f(A)

    Exemple

    Limage de R+ par la fonction exponentielle est lintervalle [1,[. Limage deR est ]0, 1].

    Limage de Z par la fonction sinus est {0}. Limage de [0, ] est [0, 1]. Limage de [2,

    2

    ]est [1, 1]. Limage de [0, 2]

    est aussi [1, 1].

    Dfinition (Image rciproque dune partie) Soient f : E F une application et B une partie de F . On appelleimage rciproque de B par f lensemble :

    {x E/ f(x) B

    }, que nous noterons provisoirement f(B).

    Explication

    Par dfinition, f(B) est lensemble des lments de E dont limage par f appartient B. Gomtriquement, pour dterminer f(B), on projette sur laxe des abscissesla portion du graphe de f situe dans le tube horizontal dfini par B.

    Pour tout x E : x f(B) f(x) B. E

    F

    B

    f(B)

    En pratique Pour une fonction f de R dans R, chercher limage rciproque dun singleton{y}par f revient

    rsoudre lquation y = f(x) dinconnue x alors que chercher limage rciproque dun intervalle [a, b] revient rsoudrelinquation a 6 f(x) 6 b.

    Exemple

    Limage rciproque de R+ par la fonction exponentielle est R tout entier. Limage rciproque de [1, 2[ est [0, ln 2[. Limage rciproque de {1} par la fonction sinus est

    2+ 2Z. Limage rciproque de [2, 3] est vide.

    Limage rciproque de [4,[ par la fonction carre est ],2] [2,[.

    2 Injections, surjections, bijections

    2.1 Injections

    Dfinition (Injection) Soit f : E F une application. On dit que f est injective sur E ou que cest une injection surE si :

    x, x E, f(x) = f(x) = x = x.

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    ExplicationAu premier abord, une application injective est une application par laquelleon peut simplifier : quand f(x) = f(x), alors en fait x = x.

    Pour aller plus loin dans la comprhension du concept, contraposons. Lap-plication f est injective lorsquelle donne des valeurs diffrentes des pointsdiffrents : pour tous x, x E, si x 6= x alors f(x) 6= f(x).On peut aussi dire les choses ainsi : parce que f distingue larrive les lmentsqui le sont au dpart, limage Im f de f est comme une copie de E lintrieurde F .

    E

    F

    Im f

    b

    b

    bx

    x

    f(x)

    = f(x)

    f

    f nest pas injective.

    E

    F

    Im f

    b bx f(x)f

    f est injective,Im f est comme une copie de E

    lintrieur de F .

    Il est aussi commode de penser la notion dinjectivit en termes dant-cdents. Une application injective de E dans F est une application pourlaquelle tout lment de F possde au plus un antcdent par f soit 0, soit 1. Les lments de F ne possdant aucun antcdent par f sontles lments de F \ Im f .Pour finir, on peut voir linjectivit dune fonction de R dans R sur songraphe car on y voit facilement si une mme valeur sur laxe des ordonnesest atteinte plusieurs fois ou non.

    bc

    b

    y b b b b

    Pas dinjectivit.

    Certains y ont plusieurs antcdents.

    b

    bc

    y b

    Injectivit.

    Aucun y na plusieurs antcdents.

    Exemple Lapplication carre nest pas injective sur R, mais elle lest sur R+. bb En effet

    Pas injective sur R car (1)2 = 12 par exemple. Pourquoi injective sur R+ ? Soient x, x R+ tels que x2 = x2. Alors (x+ x)(x x) = 0, donc x = x oux = x. Si x = x, alors en fait x = x = 0 car x > 0 et x > 0, donc x = x dans tous les cas comme voulu.

    Exemple Lapplication z 7 z + iz i est injective sur C \

    {i}.

    En effet Soient z, z C \ {i} tels que z + iz i =

    z + i

    z i .

    z + i

    z i =z + i

    z i (z + i)(z i) = (z + i)(z i) zz iz + iz + 1 = zz iz + iz + 1

    2iz = 2iz z = z. Et voil.

    Thorme (Injectivit et composition) Soient f : E F et g : F G deux applications.Si f et g sont injectives, g f lest aussi.

    Dmonstration Soient x, x E tels que g f(x) = g f(x). Nous voulons montrer que x = x.Or g

    (f(x)

    )= g

    (f(x)

    )et g est injective, donc f(x) = f(x), mais f tant son tour injective, x = x.

    Thorme (Injectivit et stricte monotonie) Soient A une partie de R et f : A R une fonction.Si f est strictement monotone, alors f est injective.

    $ $ $ Attention ! La rciproque est fausse en gnral comme le montre le graphe de la fonction injective reprsente unpeu plus haut. Cette fonction est injective sans tre monotone, mais du coup elle nest pas continue. Nous verrons plus tard eneffet quune fonction injective et continue sur un intervalle y est toujours strictement monotone.

    Dmonstration Traitons seulement le cas o f est strictement croissante. Soient x, x A tels que f(x) = f(x).Peut-on avoir x < x ? Non, car on aurait alors f(x) < f(x), alors que f(x) = f(x). Peut-on avoir x < x ? Nonplus, car on aurait alors f(x) < f(x). Forcment, x = x.

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    Exemple Pour tous x, y ] 1, 1[ : Arctan x+Arctan y = Arctan x+ y1 xy .

    En effet Nous avons dj tabli ce genre de rsultat rcemment mais nous ne pouvions pas alors voquer lamoindre injectivit. Le concept claire aujourdhui les choses dun lumire un peu nouvelle. Soient x, y ] 1, 1[.Alors Arctan x et Arctan y sont compris entre

    4et

    4, donc Arctan x+Arctan y

    ]

    2,

    2

    [.

    tan(Arctan x+Arctan y

    )=

    tanArctan x+ tanArctan y

    1 tanArctan x tanArctan y =x+ y

    1 xy = tanArctanx+ y

    1 xy .

    Or la fonction tangente, strictement croissante sur]

    2,

    2

    [, y est a fortiori injective, donc on peut simplifier

    par tan ci-dessus et enfin : Arctan x+Arctan y = Arctanx+ y

    1 xy .

    2.2 Surjections

    Dfinition (Surjection) Soit f : E F une application. On dit que f est surjective de E sur F ou que cest unesurjection de E sur F si :

    y F, x E/ y = f(x). Cela revient dire que Im f = F .

    Explication

    f est injective sur E si et seulement si tout lment de F possde au plus un antcdent dans E par f .

    f est surjective de E sur F si et seulement si tout lment de F possde au moins un antcdent dans E par f .

    Quand on dit quune application f est dfinie de E dans F ou quelle est valeurs dans F , cela signifie que F en estun ensemble darrive, i.e. que les valeurs de f sont des lments de F . Cela ne signifie pas inversement que tout lmentde F est une valeur atteinte par f . Cest dailleurs pour cela que nous avons introduit limage Im f de f , i.e. prcismentlensemble des valeurs de f .Pour la surjectivit, on ne dit pas que f est surjective de E dans F mais bien quelle est surjective de E sur F , caralors f atteint tous les lments de F et en ce sens E couvre F travers f . Cette ide dune couverture justifielemploi de la prposition sur .

    Trs important galement. Parce que tout lment de Im f possde un antcdent par f , par dfinition :

    Toute application est surjective de son domaine de dfinition sur son image.

    Exemple La fonction carre nest pas surjective de R sur R, en revanche elle lest de R sur son image R+.

    Thorme (Surjectivit et composition) Soient f : E F et g : F G deux applications.Si f et g sont surjectives, g f lest aussi.

    Dmonstration Soit y G. Nous voulons montrer pour un certain x E : y = g f(x).Or g est surjective, donc y = g(t) pour un certain t F . Mais f est aussi surjective, donc t = f(x) pour un certainx E. Finalement, comme voulu : y = g(t) = g(f(x)) = g f(x).

    2.3 Bijections

    Le concept de bijection a dj t tudi dans un prcdent chapitre. Alors que nous nous tions contents de fonctions deR dans R, nous gnralisons prsent des applications dfinies sur et valeurs dans des ensembles quelconques. Certainespreuves seront omises car elles sont exactement celles que nous avons donnes alors.

    Dfinition (Bijection) Soit f : E F une application. Les assertions suivantes sont quivalentes :

    (i) f est injective sur E et surjective de E sur F. (ii) y F, ! x E/ y = f(x).

    Si lune de ces assertions est vraie, on dit que f est bijective de E sur F ou que cest une bijection de E sur F .

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    Explication

    f est bijective de E sur F si et seulement si tout lment de F possde un et une seul antcdent dans E par f .

    Dfinition (Rciproque) Soit f : E F une application. On appelle rciproque de f toute application g : F Epour laquelle : g f = IdE et f g = IdF .

    Explication Les identits x E, g f(x) = x et y F, f g(y) = y expriment lide que g dfait letravail que f opre et vice versa. Ce que lune tricote, lautre le dtricote.

    Thorme (Bijectivit et rciproque) Soit f : E F une application.

    f est bijective de E sur F si et seulement si f possde une rciproque.

    Une telle rciproque est alors unique, appele la rciproque de f et note f1. Pour tous x E et y F :

    y = f(x) x = f1(y).

    Dans le cas dune fonction de R dans R, cette quivalence signifie gomtriquement que le graphe de f et celui de f1 sontsymtriques lun de lautre par rapport la droite dquation y = x.

    Explication

    Les deux exemples suivants, bien connus, illustrent la sym-trie des graphes dune fonction de R dans R et de sa rci-proque quand elle en a une.

    y = ex

    y = lnx

    y = x y = x

    y = x1

    y = x

    Sur cette figure, > 1.

    Exemple Lapplication IdE est bijective de E sur E de rciproque elle-mme.

    En effet Tout simplement : IdE IdE = IdE .

    Exemple Soient a R et b R. La fonction x 7 ax+ b est bijective de R sur R de rciproque x 7 x ba

    .

    En effet Il nous suffit de montrer que les fonction xf7 ax+ b et x g7 x b

    asont rciproques lune de lautre.

    Or pour tout x R : g f(x) = (ax+ b) ba

    = x et f g(x) = a x ba

    + b = x.

    Exemple Soit f : E E une application telle que f f = IdE on dit dans ce cas que f est une involution de E. Alorsf est une bijection et f1 = f .

    Thorme (Bijectivit, rciproque et composition) Soient f : E F et g : F G deux applications.(i) Si f est bijective de E sur F , f1 est bijective de F sur E et :

    (f1

    )1

    = f .

    (ii) Si f et g sont bijectives, g f lest aussi et : (g f)1 = f1 g1.

    $ $ $ Attention ! Gare lordre ! Cest bien (g f)1 = f1 g1 et non pas (g f)1 = g1 f1 . Si vous

    cachez un trsor dans un coffre (f), puis ce coffre sous terre (g), et si ensuite vous voulez rcuprer votre trsor (dfaire g f),vous devez dabord dterrer le coffre (g1), puis louvrir (f1) au total : f1 g1.

    Dmonstration

    (i) Si f est bijective, les galits : f1 f = IdE et f f1 = IdF qui expriment la bijectivit de fexpriment pour la mme raison la bijectivit de f1 et indique bien que

    (f1

    )1

    = f .

    (ii) Si f et g sont bijectives :(f1 g1) (g f) = f1 (g1 g) f = f1 IdF f = f1 f = IdE et :(

    g f) (f1 g1) = g (f f1) g1 = g IdF g1 = g g1 = IdG,donc en effet g f est bijective de rciproque f1 g1.

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    En pratique Comment montrer concrtement quune application f : E F est bijective ? Le tableau suivant,essentiel, rsume la marche suivre.

    Priorit

    1

    2

    3

    Ce quon fait

    Si on connat spontanment une expression explicite def1, on appelle g la fonction en question et on vrifiesimplement que g f = IdE et f g = IdF .

    Si on ne connat pas spontanment f1 mais quon sesent capable den trouver une expression explicite, on lefait via lquivalence y = f(x) x = f1(y) .

    Si on ne se sent pas capable de trouver une expressionexplicite de f1, on montre en deux temps que f est lafois injective et surjective.

    Ce quon obtient

    Bijectivit+

    Rciproque

    Bijectivit+

    Rciproque

    Bijectivit

    Exemple Lapplication zf7 z + i

    z i est bijective de C \{i}sur C \ {1} de rciproque z 7 i z + 1

    z 1 .

    En effet Pour tout z C \ {i} et pour tout C : = f(z) z + i

    z i = z + i = z i i( + 1) = z( 1).

    On peut alors exprimer z en fonction de si et seulement si 6= 1. Conclusion : 1 na pas dantcdent par f etplus prcisment Im f = C \ {1}.Achevons maintenant nos calculs. Pour tout z C\{i} et pour tout C\{1} : = f(z) z = i + 1

    1 .

    Il en dcoule que f est bijective de C \ {i} sur C \ {1} de rciproque 7 i + 1 1 .

    Exemple Lapplication (x, y)f7 (2x+y,x2+y) de R2 dans R2 nest pas injective sur R2 mais elle est bijective de [1,[ R

    sur le demi-plan dquation y x+ 1 > 0, de rciproque (x, y) 7(1 +

    y x+ 1 , x 2 2y x+ 1

    ).

    En effet Pour tous (x, y), (a, b) R2 :

    (a, b) = f(x, y) {

    2x+ y = ax2 + y = b

    L2L2L1{

    2x+ y = ax2 2x = b a

    {y = a 2x(x 1)2 = b a+ 1.

    Ces quivalences montrent que les couples (a, b) pour lesquels b a+1 < 0 nont pas dantcdent par f , et mmeplus prcisment que Im f est exactement

    {(a, b) R2/ ba+1 > 0

    }, i.e. le demi-plan dquation yx+1 > 0.

    Poursuivons. Sous lhypothse additionnelle que b a+ 1 > 0 :

    (a, b) = f(x, y) (x = 1 +

    b a+ 1 ou x = 1

    b a+ 1

    )et y = a 2x.

    Ce rsultat prouve comme voulu que f nest pas injective sur R2 puisque tout couple (a, b) pour lequel ba+1 > 0possde exactement deux antcdents. Mais de ces deux antcdents (x, y), nous venons de voir que x > 1 pourlun et x < 1 pour lautre. Ds lors, pour tout (a, b) R2 tel que b a+ 1 > 0 et pour tout (x, y) [1,[R :

    (a, b) = f(x, y) (x, y) =(1 +

    b a+ 1 , a 2 2

    b a+ 1

    ).

    Cette quivalence prouve enfin que f est bijective de [1,[R sur le demi-plan dquation y x + 1 > 0, derciproque (x, y) 7

    (1 +

    y x+ 1 , x 2 2y x+ 1

    ).

    Thorme (Bijectivit et image rciproque) Soit f une bijection de E sur F et B une partie de F . Alors :

    f(B) = f1(B),

    o lon rappelle que f(B) est limage rciproque de B par f et f1(B) limage directe de B par f1.

    Dmonstration Pour tout x E : x f1(B) b B/ x = f1(b) b B/ f(x) = b f(x) B x f(B).

    7

  • c Christophe Bertault - MPSI

    $$$ Attention ! Le thorme prcdent justifie quon note dsormais toujours f1(B) plutt que f(B). La notationf(B) nexiste pas en fait, nous lavons juste introduite pour ne pas nous emmler les pinceaux dans un premier temps.

    Dans le cas o f est bijective, nous venons de voir que limage rciproque de B par f est exactement limage directe de Bpar f1. La confusion des notations f1(B) et f(B) nest donc pas gnante dans ce cas.

    Et dans le cas o f nest pas bijective ? Dans ce cas, de toute faon, il ny a pas de rciproque f1, donc pas dimagedirecte de B par f1. La notation f1(B) ne pose donc pas de problme dans ce cas non plus.

    En guise de conclusion : La notation f1(B) ne requiert pas la bijectivit de f !

    Explication Revenons un instant pour finir sur notre fameux corollaire strictement monotone du thorme desvaleurs intermdiaires. Les notions de ce chapitre nous permettent aujourdhui de mieux comprendre son conomie intrieure.

    f est continue sur [a, b].

    f est strictement croissante sur [a, b].

    f([a, b]

    )na pas de trou,

    cest un intervalle.

    f([a, b]

    )=[f(a), f(b)

    ].

    f est injective sur [a, b].

    f est bijective de [a, b]sur son image f

    ([a, b]

    ).

    f est bijective de [a, b]sur

    [f(a), f(b)

    ].

    3 Equipotence

    Le contenu de ce paragraphe est tout fait hors programme et ne vous est prsent qu titre culturel.

    Dfinition (Equipotence) Soient E et F deux ensembles.On dit que F est quipotent E sil existe une bijection de E sur F .

    Explication

    Pourquoi ce mot quipotent et pourquoi faire ? Issu du latin, quipotent veut dire mme puissance . En quelsens ? Lexistence dune bijection de E sur F nous garantit quon peut faire se correspondre parfaitement les lments deE et les lments de F , associer tout lment de E un et un seul lment de F et vice versa. Dire que F est quipotent E revient ainsi dire que F a exactement le mme nombre dlments que E.

    Intuitivement, de mme, lexistence dune injection de E dans F signifie quil y a moins dlments dans E que dansF (ventuellement autant), puisquon peut dans ce cas trouver dans F une copie de E qui nest pas forcment F toutentier. Quant lexistence dune surjection de E sur F , elle indique au contraire que cest E qui a plus dlments que F(ventuellement autant), puisquon peut associer tout lment de F au moins un antcdent, peut-tre plusieurs, ce quifait quen un sens E couvre F travers f .

    Thorme (Proprits de la relation dquipotence) Soient E, F et G trois ensembles.

    Symtrie : Si F est quipotent E, alors E est quipotent F . On peut donc dire sans ambigut que E et Fsont quipotents.

    Transitivit : Si F est quipotent E et si G est quipotent F , alors G est quipotent E.

    Dmonstration La symtrie repose sur le fait que la rciproque dune bijection est une bijection la transitivitsur le fait que la compose de deux bijections est une bijection.

    Le thorme suivant, hors programme mais trs important en mathmatiques, nest nonc qu titre culturel.

    Thorme (Thorme de Cantor-Bernstein) Soient E et F deux ensembles. Sil existe une injection de E dans F etune injection de F dans E, alors E et F sont quipotents.

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  • c Christophe Bertault - MPSI

    Explication Bref, si E a moins dlments que F et F moins dlments que E, alors E et F en ont autant !

    On donne ci-dessous des exemples dquipotence dont certains sont vraiment surprenants au premier abord. Nous allonsnotamment voir que deux ensembles peuvent tre quipotents alors que lun dentre eux est inclus strictement dans lautre.

    Exemple R et]

    2,

    2

    [sont quipotents alors quils nont pas la mme longueur. Bref, longueur et nombre de points nont

    aucune rapport. Plus gnralement, tout intervalle qui nest ni lensemble vide ni un singleton est quipotent R.

    En effet Tout simplement, la fonction tangente est bijective de]

    2,

    2

    [sur R.

    Exemple N et Z sont quipotents.

    En effet

    n Nf(n) Z

    6

    34

    22

    10

    0

    1

    1

    3

    2

    5

    3

    Il nest pas trop difficile de montrer que lappli-cation f : N Z reprsente ci-contre est bi-jective. Il suffit den trouver une expression ex-plicite, de trouver une expression explicite de cequon pense tre sa rciproque f , puis de vrifierque f f = IdN et f f = IdZ.

    Exemple N et N2 sont quipotents.

    En effet Notons g lapplication (p, q) 7 2p(2q+1) 1 de N2 dans N. Nous allons montrer que g est bijective.On pourrait le faire en utilisant la dcomposition des entiers en produit de facteurs premiers, mais comme tout lemonde na pas fait darithmtique en Terminale, nous allons procder autrement.

    Pour linjectivit, soient (p, q), (p, q) N2 tels que g(p, q) = g(p, q). Quitte permuter (p, q) et (p, q), onpeut supposer p 6 p sans perte de gnralit. Alors 2p

    p(2q + 1) = 2q + 1 galit dans laquelle 2p

    p,

    2q+1 et 2q+1 sont des entiers. Comme 2q+1 est impair, forcment p = p. Mais du coup 2q+1 = 2q+1donc q = q, et enfin (p, q) = (p, q) comme voulu.

    Pour la surjectivit, raisonnons par rcurrence forte. Nous allons montrer que pour tout n N, tout entierde J0, nK possde un antcdent par g.

    Initialisation : 0 possde un antcdent par g puisque g(0, 0) = 0.

    Hrdit : Soit n N. On suppose que tout lment de J0, nK possde un antcdent par g. Quen est-ilde n + 1 ? Si n est pair, disons n = 2q pour un certain q N, alors n + 1 = 2q + 1 = 20(2q + 1) = g(0, q)donc n+ 1 possde un antcdent par g.Supposons prsent n impair. Alors n + 1 est pair, disons n + 1 = 2m pour un certain m N. On peutmme en fait affirmer que m J0, nK. Par hypothse de rcurrence, m possde donc un antdcent par g,disons (p, q). Finalement n + 1 = 2m = 2g(p, q) = 2 2p(2q + 1) = 2p+1(2q + 1) = g(p + 1, q), donc n + 1possde un antcdent par g.

    Explication Pour que vous saisissiez bien lincroyable porte des deux exemples qui suivent, rappelons que Q etR \ Q sont denses dans R et qu ce titre : 1) entre deux rationnels distincts, il y a toujours un irrationnel ; et 2) entre deuxirrationnels distincts, il y a toujours un rationnel. Intuitivement, Q et R \Q sont donc comme deux peignes en vis--vis dont lesdents salternent et se croisent : entre deux dents rationnelles se trouve une dent irrationnelle et vice versa.

    Exemple N et Q sont quipotents. On peut donc numroter les rationnels : n 0, n 1, n 2, etc.

    En effet Contentons-nous dun sketch of the proof comme disent les anglo-saxons un aperu de la preuve.Nous conservons dans cet exemple les notations f et g des deux exemples prcdents.

    Lapplication n 7 n est injective de N dans Q. En vertu du thorme de Cantor-Bernstein, il nous suffitds lors dexhiber une injection de Q dans N pour montrer que N et Q sont quipotents.

    Rappelons quune fraction r = pqest irrductible lorsquaucune simplification nest plus envisageable entre

    son numrateur et son dnominateur sauf 1, bien sr. Avec ces notations, lapplication qui, r Q,associe (p, q) ZN est bien dfinie et injective. Nous disposons donc dune injection h de Q dans ZN.

    Lapplication n 7 n 1 est trs clairement une bijection de N sur N. Comme par ailleurs f est bijectivede N sur Z, lapplication produit (m,n) 7 (f1(m), n 1) est une bijection de Z N sur N2 sur nousnoterons i.

    Lapplication h i g est finalement injective de Q dans N par composition : Q h ZN i N2 g N.

    Exemple R et Q ne sont pas quipotents. Il y a donc infiniment plus dlments dans R que dans Q, donc a fortioriinfiniment plus dirrationnels que de rationnels. Le peigne des rationnels et le peigne des irrationnels ont donc la fois des dentsparfaitement alternes (au sens de la remarque faite un peu plus haut) et pas le mme nombre de dents !

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  • c Christophe Bertault - MPSI

    En effet Parce que N et Q sont quipotents, montrer que R et Q ne le sont pas revient montrer que R et Nne le sont pas non plus. Et pour montrer quil nexiste pas de bijection de N sur R, nous allons en fait prouverquaucune application de N dans R ne peut tre surjective. Ce sera suffisant.

    Soit : N R une application quelconque. Tchons de montrer que nest pas surjective de N sur R.

    Lun au moins des intervalles[0,

    1

    3

    ]et

    [2

    3, 1

    ]ne contient pas (0) : nous le notons I0 si les deux

    intervalles conviennent, on choisit celui de gauche par exemple. Par construction : (0) / I0. Notons a0et b0 les bornes de I0, de sorte que I0 = [a0, b0]. Lintervalle I0 a pour longueur

    1

    3.

    Ensuite on rpte. Pour tout n N, une fois les intervalles I0, I1, . . . , In construits, on construit lintervalleIn+1 de la faon suivante. Lun au moins des intervalles

    [an,

    2an + bn3

    ]et

    [an + 2bn

    3, bn

    ]ne contient

    pas (n + 1) : nous le notons In+1 si les deux intervalles conviennent, on choisit celui de gauche parexemple. Par construction : (n + 1) / In+1. Notons an+1 et bn+1 les bornes de In+1, de sorte queIn+1 = [an+1, bn+1]. Lintervalle In+1 a pour longueur

    1

    3n+1 la longueur est divise par 3 chaque tape.

    an

    2an + bn3

    an + 2bn3 bn

    In

    Les deux choix possibles pour In+1

    Nous avons finalement construit une suite dintervalles (In)nN qui sont embots les uns dans les autres :. . . I3 I2 I1 I0 et dont la longueur est toujours divise par 3 dun rang au suivant. Les suites(an)nN et (bn)nN vrifient donc les proprits suivantes :

    a0 6 a1 6 a2 6 . . . 6 b2 6 b1 6 b0 et pour tout n N : bn an = 13n+1

    .

    Bref : la suite (an)nN est croissante, la suite (bn)nN dcroissante et limn

    (bnan) = 0. Ces suites sont doncadjacentes, donc convergentes de mme limite en vertu du thorme des suites adjacentes.

    Par construction, an 6 6 bn pour tout n N avec (n) / In = [an, bn], donc forcment 6= (n).Conclusion : ne prend pas la valeur , donc nest pas surjective !

    Exemple On peut montrer que R, C/R2 et R3 sont quipotents. Il y a donc autant de points sur une droite ou sur un planque dans notre espace trois dimensions.

    Terminons ce chapitre en beaut avec un rsultat dune porte pistmologique et historique considrable.

    Thorme (Thorme de Cantor) Il nexiste pas de surjection de E sur P(E).

    Dmonstration Soit : E P(E) une application. On pose : A ={x E/ x / (x)

    }. Comme

    A P(E), on peut se demander si A possde ou non un antcdent par . Pour tout x E : si x A, alors x / (x) donc (x) 6= A, et si x / A, alors x (x) donc (x) 6= A.

    Dans les deux cas A 6= (x), et ce pour tout x, donc en effet A na pas dantcdent par f , donc f nest passurjective de E sur P(E).

    Explication

    Dans la mesure o lapplication x 7 {x} est injective de E dans P(E), le thorme de Cantor montre au fond que Eest toujours strictement plus petit que P(E) en termes dquipotence. Il en dcoule un procd de construction simple

    dinfinis de tailles diffrentes toujours plus grandes : N, P(N), P(P(N)

    ), P

    (P(P(N)

    )). . . Il nest pas trop dur de

    montrer que P(N) et R sont quipotents en particulier, on la vu, N et R ne sont pas quipotents.

    A la fin du XIXme sicle, Cantor se demande sil existe ou non entre N et P(N) un infini de taille intermdiaire maisnobtient aucun rsultat ni dans un sens ni dans lautre. Lnonc selon lequel il ny a pas de tel infini intermdiairesappelle depuis lhypothse du continu.

    En 1938, Gdel montre que lhypothse du continu ne rfute pas le cadre traditionnel des mathmatiques quon appelleZFC. Ce rsultat est compliqu comprendre : Gdel na pas montr que lhypothse du continu est vraie, mais que si onlajoute aux axiomes usuels, la thorie obtenue nest ni plus ni moins contradictoire que la thorie usuelle ZFC.

    En 1963, Cohen montre que lhypothse du continu nest pas dmontrable dans la thorie ZFC des mathmatiques usuelles.Lhypothse du continu est donc un de ces noncs quon dit indcidables, impossible prouver, impossible rfuter.

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