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Chapitre IV: Int´ egrales Multiples AMAL Youssef 2015-2016 AMAL Youssef Int´ egrales Multiples 2015-2016 1 / 38

Cours Integrals multiples

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Chapitre IV: Integrales Multiples

AMAL Youssef

2015-2016

AMAL Youssef Integrales Multiples 2015-2016 1 / 38

Plan

1 Rappel : Integrale Simple2 Integrale Double

Sur un rectangleSur une region quelconqueSur une region comprise entre deux courbes en xSur une region comprise entre deux courbes en ySur une region comprise entre deux courbesApplications : Aire, Volume, Aire de surfaceIntegrale double en coordonnees polaires

3 Integrale tripleSur une boite rectangulaireSur un solide compris entre deux surfaces donneesApplications : Volume, Masse, Centre de masse

4 Changement de variables dans une integrale multipleIntegrale doubleIntegrale triple

5 Intergrale curviligneIntegrale curviligne d’une fonctionIntegrale curviligne d’un champ de vecteursAMAL Youssef Integrales Multiples 2015-2016 2 / 38

Rappel : Integrale Simple

Definition

Pour toute fonction f definie sur l’intervalle [a,b], l’integrale simple de f sur [a,b] estdefinie par : ∫ b

a

f(x)dx = limsupn

i=1(∆xi)→0

n∑i=1

f(ci)∆xi

a condition que la limite existe et qu’elle est independante du choix du ci ∈ [xi−1, xi], pouri=1,2,...,n. Dans ce cas, f est dite integrable sur [a,b].

Surface associee a l’integrale simple.Surface approchee sur un sous-intervalle

[xi−1, xi].

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Integrale Double Sur un rectangle

Definition

Pour toute fonction f(x, y) definie sur le rectangle R = {(x, y)| a ≤ x ≤ b et c ≤ y ≤ d}, l’integrale double de f sur Rest definie par : ∫ ∫

R

f(x, y) dA = limsupn

i=1(∆Ai)→0

n∑i=1

f(ui, vi)∆Ai (⇒ n→ +∞)

a condition que la limite existe et qu’elle est independante du choix du (ui, vi) ∈ Ri, pour i=1,2,...,n. Dans ce cas, fest dite integrable sur R. La somme

∑ni=1 f(ui, vi)∆Ai est appelee somme de Riemann.

Approximation du volume par des parallelepipedes.

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Integrale Double Sur un rectangle

Exemple

Calculer une valeur approchee au volume compris entre la surfacez = x2 sin(πy6 ) et le rectangle R = {(x, y)| 0 ≤ x ≤ 6 et 0 ≤ y ≤ 6}. (lasolution exacte du volume est 864/π ' 275.02).

Partitionnement de la region R.

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Integrale Double Sur un rectangle

Theoreme (Theoreme de Fubini)

Soit f une fonction integrable sur le rectangle R = {(x, y)| a ≤ x ≤ b et c ≤ y ≤ d}. Alors l’integrale double de f surR peut etre exprimee comme suit :∫ ∫

R

f(x, y) dA =

∫ b

a

∫ d

c

f(x, y) dydx =

∫ d

c

∫ b

a

f(x, y) dxdy.

Tranchage du solide parallelement au plan yz et au plan xz : V =∫ baA(x)dx =

∫ dcA(y)dy ; avec A(x) =

∫ dcf(x, y) dy

et A(y) =∫ baf(x, y) dx.

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Integrale Double Sur un rectangle

Exemple

Soit R = {(x, y)| 0 ≤ x ≤ 2 et 1 ≤ y ≤ 4}. Calculer l’integrale∫ ∫R

6x2 + 4xy3 dA.

Exemple

Calculer la valeur exacte du volume compris entre la surface z = x2 sin(πy6 )et le rectangle R = {(x, y)| 0 ≤ x ≤ 6 et 0 ≤ y ≤ 6}.

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Integrale Double Sur une region quelconque

Definition

Pour toute fonction f(x, y) definie sur une region bornee R ∈ R2, l’integrale double de f sur R estdefinie par : ∫ ∫

R

f(x, y) dA = limsupn

i=1(∆Ai)→0

n∑i=1

f(ui, vi)∆Ai

a condition que la limite existe et qu’elle est independante du choix du (ui, vi) ∈ Ri, pour i=1,2,...,n.Dans ce cas, f est dite integrable sur R.

Figure – Approximation du volume associe a un integrale double sur une region non rectangulaire.

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Integrale Double Sur une region comprise entre deux courbes en x

Theoreme (Theoreme de Fubini)

Soit f une fonction continue sur la region definie par R = {(x, y)| a ≤ x ≤ b et g1(x) ≤ y ≤ g2(x)}, oug1(x) et g2(x) sont deux fonctions continues avec g1(x) ≤ g2(x) pour tout x ∈ [a, b]. Alors :∫ ∫

R

f(x, y) dA =

∫ b

a

∫ g2(x)

g1(x)

f(x, y) dydx.

Region comprise entre deux courbes. Volume par tranchage : A(x) =∫ g2(x)

g1(x)f(x, y) dy.

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Integrale Double Sur une region comprise entre deux courbes en x

Exemple

Soit R region delimitee par le graphes y = x, y = 0 et x = 4. Calculer l’integrale∫ ∫R

(4 exp(x2)− 5 sin(y)) dA.

La region R.

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Integrale Double Sur une region comprise entre deux courbes en y

Theoreme (Theoreme de Fubini)

Soit f une fonction continue sur la region definie par R = {(x, y)| c ≤ x ≤ d et h1(y) ≤ x ≤ h2(y)},ou h1(y) et h2(y) sont deux fonctions continues avec h1(y) ≤ h2(y) pour tout y ∈ [c, d]. Alors :∫ ∫

R

f(x, y) dA =

∫ d

c

∫ h2(y)

h1(y)

f(x, y) dxdy.

Region comprise entre deux courbes.

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Integrale Double Sur une region comprise entre deux courbes en y

Exemple

Soit R la region delimitee par les graphes : y =√x, x = 0 et y = 3. Calculer l’integrale :∫ ∫

R

2xy2 + 2y cos(x) dA.

La region R.

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Integrale Double Sur une region comprise entre deux courbes

Exemple

Calculer l’integrale∫ 1

0

∫ 1

yexp(x2) dxdy.

La region R.

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Integrale Double Sur une region comprise entre deux courbes

Theoreme (Proprietes)

Soit f et g deux fonction integrable sur la region R ⊂ R2 et soit c uneconstante reelle. Alors :

1∫ ∫

Rcf(x, y) dA = c

∫ ∫Rf(x, y) dA

2∫ ∫

Rf(x, y) + g(x, y) dA =

∫ ∫Rf(x, y) dA+

∫ ∫Rg(x, y) dA

3 si R = R1 ∪R2 et R1 ∩ R2 = ∅ alors∫ ∫Rf(x, y) dA =

∫ ∫R1

f(x, y) dA+∫ ∫

R2f(x, y) dA.

4 si f ≤ g sur R alors∫ ∫

Rf(x, y) dA ≤

∫ ∫Rg(x, y) dA.

5 |∫ ∫

Rf(x, y) dA| ≤

∫ ∫R|f(x, y)| dA.

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Integrale Double Applications : Aire, Volume, Aire de surface

Exemple

Determiner le volume du tetraedre delimite par le plan d’equation 2x+ y + z = 2 et les trois plans durepere cartesien.

Tetraedre. La region R.

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Integrale Double Applications : Aire, Volume, Aire de surface

Exemple

Determiner l’aire de la region delimitee par les graphes : x = y2, y − x = 3, y = −3 et y = 2.

La region R.

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Integrale Double Applications : Aire, Volume, Aire de surface

Theoreme

Soit f une fonction de classe C1 definie sur une region R ∈ R2 dans le plan (xOy). Alors l’aire de la surfaceS de la partie de la surface z = f(x, y), dont la projection sur le plan (xOy) est la region R, est donne par :

S =

∫ ∫R

öf

∂x(x, y)2 +

∂f

∂x(x, y)2 + 1dA.

Aire de surface. Partie Ti du plan tangent correspondante a la regionRi.

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Integrale Double Applications : Aire, Volume, Aire de surface

Exemple

Determiner l’aire de la surface de la partie de la surface z = y2 + 4x dont la projection sur le plan(xOy) est la region triangulaire R de sommets (0,0), (0,2) et (2,2).

La region R.

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Integrale Double Integrale double en coordonnees polaires

Theoreme (Theoreme de Fubini)

Soit f(r, θ) une fonction continue sur la region R = {(r, θ)| α ≤ θ ≤ β et g1(θ) ≤ r ≤ g2(θ)} ou0 ≤ g1(θ) ≤ g2(θ) pour toute θ ∈ [α, β]. Alors,∫ ∫

R

f(r, θ)dA =

∫ β

α

∫ g2(θ)

g1(θ)

f(r, θ)rdrdθ

Region polaire elementaire.

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Integrale Double Integrale double en coordonnees polaires

Exemple

Calculer l’integrale∫ ∫

Rsin(θ)dA ou R est la zone sombre dans la figure suivante :

La region R.

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Integrale Double Integrale double en coordonnees polaires

Theoreme (Theoreme de Fubini)

Soit f(r, θ) une fonction continue sur la region R = {(r, θ)| h1(r) ≤ θ ≤ h2(r) et 0 ≤ a ≤ r ≤ b} ouh1(r) ≤ h2(r) pour toute r ∈ [a, b]. Alors,∫ ∫

R

f(r, θ)dA =

∫ b

a

∫ h2(r)

h1(r)

f(r, θ)rdθdr

La region R.

Exemple

Reprendre l’integrale∫ ∫

Rsin(θ)dA en utilisant le resultat de ce theoreme.

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Integrale triple Sur une boite rectangulaire

Definition

Pour toute fonction f(x, y, z) definie sur la boite rectangulaireQ = {(x, y, z)| a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d et r ≤ z ≤ s}, l’integrale triple de f sur Q est definie par :∫ ∫ ∫

Q

f(x, y, z) dV = limn→+∞

n∑i=1

f(ui, vi, wi)∆Vi.

a condition que la limite existe et qu’elle est independante du choix du (ui, vi, wi) ∈ Qi, pouri=1,2,...,n. Dans ce cas, f est dite integrable sur Q.

La region elementaire Qi.

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Integrale triple Sur une boite rectangulaire

Theoreme (Theoreme de Fubini)

Soit f une fonction integrable sur la boite rectangulaireQ = {(x, y, z)| a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d et r ≤ z ≤ s}. Alors l’integrale triple def sur R peut etre exprimee comme suit :∫ ∫ ∫

Q

f(x, y, z) dV =

∫ b

a

∫ d

c

∫ s

r

f(x, y, z) dzdydx

avec toutes les permutations possibles entre les trois integrales.

Exemple

Calculer l’integrale triple suivante∫ ∫ ∫

Q 2xey sin(z) dV avec

Q = {(x, y, z)| 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1 et 0 ≤ z ≤ π}

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Integrale triple Sur un solide compris entre deux surfaces donnees

Theoreme (Theoreme de Fubini)

Soit f une fonction continue sur le solide defini parQ = {(x, y, z)|(x, y) ∈ Ret g1(x, y) ≤ z ≤ g2(x, y)}, ou g1(x, y) et g2(x, y) sont deux fonctionscontinues avec g1(x, y) ≤ g2(x, y) pour tout (x, y) ∈ R. Alors :∫ ∫ ∫

R

f(x, y, z) dV =

∫ ∫R

∫ g2(x,y)

g1(x,y)

f(x, y, z) dzdA.

Solide compris entre deux surfaces donnees.

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Integrale triple Sur un solide compris entre deux surfaces donnees

Exemple

Calculer l’integrale triple suivante∫ ∫ ∫

Q 6xy dV avec Q est le tetraedre delimite par lesplans : x = 0, y = 0, z = 0 et 2x+ y + z = 4

Le tetraedre Q et sa projection R sur le plan (xOy).

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Integrale triple Applications : Volume, Masse, Centre de masse

Exemple

Trouver la masse du solide Q de densite massique ρ(x, y, z) = 2z et qui est delimite par lesgraphes : le cone circulaire droit de surface z =

√x2 + y2 et le plan z = 4.

Le solide Q et sa base R sur le plan (xOy).

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Changement de variables dans une integrale multiple Integrale double

Theoreme

Une transformation T du plan uOv vers le plan xOy est une fonction verifiant :T (u, v) = (x, y) ou x = g(u, v) et y = h(u, v) pour certaines fonctions g et h. On considere lechangement de variables dans une integrale double definie par une transformation T de laregion S dans le plan uOv vers la region R dans le plan xOy : T (S) = R. T est supposeebijectif de S vers R au sens ou pour chaque point (x, y) dans R il existe un unique point(u, v) dans S tel que T (u, v) = (x, y). De plus h et g sont supposees de classe C1. Si f estcontinue sur R et le Jacobien det(JT ) est non nul sur S alors :∫ ∫

Rf(x, y)dA =

∫ ∫Sf(g(u, v), h(u, v))|det(JT (u, v))|dudv

Transformation T de la region S vers la region R.

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Changement de variables dans une integrale multiple Integrale double

Exemple

Soit R une region comprise entre les droites d’equations : y = 2x+ 3, y = 2x+ 1, y = 5− xet y = 2− x. Calculer l’integrale

∫ ∫R(x2 + 2xy)dA.

Transformation T de la region S vers la region R.

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Changement de variables dans une integrale multiple Integrale triple

Theoreme

On suppose que la region S dans l’espace uvw est mis en correspondance a la region R dansl’espace xyz par la transformation bijective T definie par : x = g(u, v, w), y = h(u, v, w) etz = l(u, v, w) ou h, g et l sont supposees de classe C1. Si f est continue sur R et le Jacobiendet(JT ) est non nul sur S alors :∫ ∫ ∫

Rf(x, y)dV =

∫ ∫ ∫Sf(g(u, v, w), h(u, v, w), l(u, v, w))|det(JT (u, v, w))|dudvdw

Transformation T de la region S vers la region R.

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Changement de variables dans une integrale multiple Integrale triple

Exemple

Utiliser le theoreme du changement de variables pour etablir la formule de l’integrale tripledans les coordonnees spheriques.

Coordonnees spheriques.

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Intergrale curviligne Integrale curviligne d’une fonction

Definition

L’integrale curviligne de (x, y) 7→ f(x, y) au longue d’une courbe C orientee dansl’espace (xOy), note par

∫C f(x, y)dl, est definie par∫

Cf(x, y)dl = lim

n→+∞

n∑i=1

f(x∗i , y∗i )∆li

a condition que la limite existe et qu’elle est independante du choix de point (x∗i , y∗i ).

De la meme maniere on peut definir l’integrale∫C f(x, y, z)dl.

Interpretation geometrique de l’integrale curviligne.

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Intergrale curviligne Integrale curviligne d’une fonction

Theoreme

On suppose que (x, y) 7→ f(x, y) soit continue sur une region D contenant lacourbe C et que C est decrit parametriquement par (x(t), y(t)), pour t ∈ [a, b]ou x(t) et y(t) sont de classe C1. Alors :∫

Cf(x, y)dl =

∫ b

af(x(t), y(t))

√x′(t)2 + y′(t)2dt

De la meme maniere on peut definir l’integrale∫C f(x, y, z)dl.

Exemple

Trouver la masse du ressort de forme curviligne parametree par :x(t) = 2 cos(t), y(t) = t, z = 2 sin(t), pour t ∈ [0, 6π], avec une densitelineique ρ(x, y, z) = 2y.

Exemple

Calculer l’integrale curviligne∫C 2x2ydl, ou C est la partie du parabole y = x2

de (−1, 1) au (2, 4).

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Intergrale curviligne Integrale curviligne d’une fonction

Theoreme

On suppose que (x, y, z) 7→ f(x, y, z) est continue sur une region Q contenant une courbeorientee C. Alors si C est de classe C1 avec C = C1 ∪ ...∪Cn, ou C1,...,Cn sont de classe C1

et ou le point final du Ci est le meme point initial du Ci+1, pour i = 1, ..., n− 1, Alors :

1∫C f(x, y, z)dl = −

∫−C f(x, y, z)dl.

2∫C f(x, y, z)dl =

∫C1f(x, y, z)dl +

∫C2f(x, y, z)dl + ...+

∫Cnf(x, y, z)dl.

Exemple

Calculer l’integrale curviligne∫C 3x− ydl ou C est le segment entre (1, 2) et (3, 3) suivie par

la partie du cercle x2 + y2 = 18 definie entre le point (3, 3) et le point (3,−3) orientee au sensdes aiguilles du montre.

Le chemin C.

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Intergrale curviligne Integrale curviligne d’une fonction

Theoreme

On suppose que (x, y, z) 7→ f(x, y, z) soit continue sur une region Q contenant la courbe C et que C estdecrit parametriquement par (x(t), y(t), z(t)), pour t ∈ [a, b] ou x(t), y(t) et z(t) sont de classe C1. Alors :

1∫C f(x, y, z)dx =

∫ ba f(x(t), y(t), z(t))x′(t)dt

2∫C f(x, y, z)dy =

∫ ba f(x(t), y(t), z(t))y′(t)dt

3∫C f(x, y, z)dz =

∫ ba f(x(t), y(t), z(t))z′(t)dt

Exemple

Calculer l’integrale curviligne∫C 4xdy+ 2ydz ou C est compose du segment du (0, 1, 0) au (0, 1, 1) suivie par

le segment du (0, 1, 1) au (2, 1, 1) et suivie par le segment du (2, 1, 1) au (2, 4, 1).

Le chemin C.

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Intergrale curviligne Integrale curviligne d’un champ de vecteurs

Definition

Un champ de vecteurs sur D ⊂ Rp est une application qui a tout point M de D associe un

vecteur−→F (M) de Rp.

En particulier, soit {−→i ,−→j } un repere orthonorme de R2, alors un champ de vecteurs−→F (x, y), (x, y) ∈ D ⊂ R2 est donne par deux fonctions P et Q sur D a valeurs reelles :

−→F (x, y) = P (x, y)

−→i +Q(x, y)

−→j

On dit que le champ de vecteurs−→F est de classe Cp sur D si P et Q sont de classe Cp.

Champ de vecteurs F (x, y) = (y,−x).

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Intergrale curviligne Integrale curviligne d’un champ de vecteurs

Definition

Soit (x, y) 7→ F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) continue sur une region Dcontenant la courbe C et que C est decrit parametriquement par (x(t), y(t)),pour t ∈ [a, b] ou x(t) et y(t) sont de classe C1. L’integrale curviligne duchamps de vecteurs F sur la courbe orientee C dans R2 est donnee par :∫

C

−→F .−→dr =

∫CP (x, y)dx+

∫CQ(x, y)dy

=

∫ b

aP (x(t), y(t))y′(t)dt+

∫ b

aQ(x(t), y(t))y′(t)dt

En physique, W =∫C

−→F .−→dr est interprete par le Travail fourni par le champ

de force F exerce sur un objet qui se deplace au long du chemin C.

Exemple

Calculer le Travail effectue par le champ de force F (x, y) = (y,−x) de laparabole y = x2 − 1 du point (1, 0) au point (−2, 3).

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Intergrale curviligne Integrale curviligne d’un champ de vecteurs

Definition

Un champ de vecteurs F est un champ gradient s’il existe f de D ⊂ Rn dans R telle que F = ∇fsur D. f est dite le potentiel du champ de vecteurs F .

Theoreme

Soit F = (F1, F2, ..., Fn) un champ de vecteurs de classe C1 sur un ouvert D. Alors :

F est un champ de gradient =⇒ ∂Fi

∂xj=∂Fj

∂xipour tout i et tout j.

Theoreme

Soit F = (F1, F2, ..., Fn) un champ de vecteurs de classe C1 sur un ouvert D etoile (s’il existe a ∈ Dtel que pour tout x ∈ D on a [a, x] ⊂ D). Alors :∂Fi

∂xj=∂Fj

∂xipour tout i et tout j =⇒ F est un champ de gradient.

Theoreme

Soit F un champ de vecteurs continu sur un ouvert D ⊂ Rn connexe par arcs contenant la courbe Cet que C est decrit parametriquement par γ qui associe t ∈ [a, b] a γ(t) ∈ D de classe C1. Alors :

F est un champ de gradient si et seulement si∫C

−→F .−→dr ne depend que des extremites de C dans D.

Dans ce cas, on obtient :∫C

−→F .−→dr = f(xf , yf )− f(xi, yi) avec F = ∇f et (xi, yi), (xf , yf ) sont les

extremites de la courbe C.

Exemple

Soit F (x, y, z) = (4xez, cos(y), 2x2ez). F est-il un champ de gradient ? si oui, trouver son potentiel f .

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Intergrale curviligne Integrale curviligne d’un champ de vecteurs

Theoreme (Green-Riemann)

Soit D un compact de R2 limite par un bord C = Fr(D) de classe C1

par morceaux et oriente positivement. P,Q : D → R des fonctions declasse C1. On a∮

CP (x, y)dx+Q(x, y)dy =

∫ ∫D

∂Q(x, y)

∂x− ∂P (x, y)

∂ydA.

Exemple

On considere l’integrale curviligne I =∮C(2xy − x2)dx+ (x+ y2)dy

avec C une courbe fermee constituee par les deux arcs de paraboley = x2 et x = y2 orientee positivement.

1 Calculer l’integrale curviligne I.

2 Verifier le resultat en utilisant la formule de Green-Riemann.

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