COURS (LEÇONS ET EXERCICES)...Mathématiques, Cours de Mathématiques, Terminale ES, Trimestre 1 Année scolaire 2016 / 2017 ENSEIGNEMENT À DISTANCE 76-78 rue Saint-Lazare 75009

Mathématiques, Cours de Mathématiques, Terminale ES, Trimestre 1 Année scolaire 2016 / 2017

ENSEIGNEMENT À DISTANCE

76-78 rue Saint-Lazare 75009 Paris

Tél. : 01 42 71 92 57

COURS

(LEÇONS ET EXERCICES)

1 E R T R I M E S T R E

Classe de

T L-ES

Maths

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SOMMAIRE

TERMINALE L-ES

MATHÉMATIQUES

1er Trimestre Série 1

Droites et systèmes

1ère Leçon La droite

2ème Leçon Résolut ion des systèmes de deux équations à deux

inconnues

Série 2

Second degré. Équations et inéquations 1ère Leçon Trinôme – Signe du tr inôme

2ème Leçon Résolut ion d’équations et d’ inéquations Série 3

Généralités sur les suites

1ère Leçon Définit ion – Modes de génération

2ème Leçon Variat ions des suites

Série 4

Suites arithmétiques et géométriques

1ère Leçon Suites arithmétiques

2ème Leçon Suites géométriques

3ème Leçon Comportement d’une suite



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Série 5

Leçon Courbe représentative d’une fonct ion

Série 6

Leçon Continuité Série 7

Dérivées

1ère Leçon Fonct ions dérivées

2ème Leçon Util isations de la dérivée Série 8

Leçon Exemples d’étude de fonct ions



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MATHÉMATIQUES

TERMINALE L-ES

1ère SÉRIE

DROITE ET SYSTÈMES

PREMIÈRE LEÇON

La droite

DEUXIÈME LEÇON

Résolution des systèmes de deux équations à deux inconnues



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1ère SÉRIE - 1ère leçon

DROITES ET SYSTÈMES

PREMIÈRE LEÇON

La droite

Objectif : Mettre au point définitivement des techniques rencontrées dans les classes antérieures et indispensables en terminale. Le plan est muni d’un repère (O ; 𝑖 , 𝑗) qui n’est pas obligatoirement orthonormal.

I - Propriété

Toute droite non parallèle à l'axe des ordonnées admet une équation unique du type

y = m x + p. On l’appelle équation réduite.

m est appelé le coefficient directeur, p est appelé l’ordonnée à l’origine.

Vous devez savoir :

- Trouver une équation d’une droite passant par deux points donnés.

Exemple : A(2 ; 4) B(-1 ; 5)

2 -1 donc la droite (AB) a pour équation : y = mx + p

Elle passe par A donc : 4 = 2m + p (1)

Elle passe par B donc : 5 = -m + p (2) En soustrayant (1) – (2), il vient :

-1 = 3m donc m = -1

3 puis en reportant cette valeur dans (1) [ou dans (2)],

on obtient : 4 = -2

3 + p donc p = 4 +

2

3 =

14

3 .

(AB) a pour équation y = 1

3 x +

14

3 .

- Trouver l’équation d’une droite parallèle à une droite donnée et passant par un point donné.

Exemple : () a pour équation y = 2x – 5. Trouver une équation de la droite (D) parallèle à () passant par le point C de coordonnées (1 ; 4).

()(D) donc (D) a une équation qui s’écrit y = 2x + p. (D) passe par C donc 4 = 2 + p et p = 2.

(D) a pour équation y = 2x + 2.



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II - Interprétation graphique

Rappel : Pour tracer une droite connaissant son équation, la méthode la plus élémentaire consiste à chercher deux points de cette droite comme dans l’exemple :

(D) a pour équation y = 3x – 1

Si x = 1 on trouve y = 3 1 – 1 = 2

Si x = -1 on trouve y = 3 (-1) – 1 = -4

Donc les points de coordonnées (1 ; 2) et (-1 ; -4) appartiennent à (D).

III – Visualisation du coefficient directeur

Il représente l’accroissement de l’ordonnée d’un point qui parcourt la droite et dont l’abscisse augmente d’une unité.

Exemple :

Si (D) a pour coefficient directeur 3 et passe par le point de coordonnées (0 ; -1) on peut la tracer :

3 est le coefficient directeur.

Si (D) a pour coefficient directeur –2 et passe par le point de coordonnées (2 ; 1) :

-2 est le coefficient directeur.

𝑖

𝑗

𝑗

𝑖 𝑗

𝑖

2

O

4

(D)

y

3 unités

O

1 unité

x

y

O

1 unité

2 unités

-4

-1

1



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IV - Équation cartésienne

Toute droite du plan admet une équation du type ux + vy + w = 0 u, v, w étant des réels fixés tels

que u et v soient non nuls simultanément. Une telle équation est appelée équation cartésienne de la droite.

Exemples : 3x - 8y + 10 = 0 est une équation cartésienne d’une droite.

-6x + 16y - 20 = 0 est une autre équation cartésienne de cette même droite.

Si la droite est parallèle à l’axe des abscisses

(noté ici x’Ox), cette équation est du type y = k.

Si la droite est parallèle à l’axe des

ordonnées (noté y’Oy), cette équation

s’écrit x = k.

Remarque : Mettre l’équation cartésienne sous forme réduite permet de faire apparaître le coefficient

directeur et l’ordonnée à l’origine donc de « visualiser » la droite.

Exemple : Soit la droite d’équation 6x + 2y - 10 = 0. Cette équation est équivalente à 2y = -3x + 10

ou encore y = -3x + 5. L’ordonnée à l’origine est 5 donc la droite

passe par le point (0 ; 5).

𝑖

𝑗

Åi

Åj

𝑗

𝑖

y

y = k

x ' O

y

x

y x = k

x ' O k

y '

x

y

1

(0;5)

3

O x

𝑖

𝑗



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Exercice 1

Dans un repère (O ; �⃗� , 𝑗) :

A a pour coordonnées (2 ; 3) et B(-1 ; -1).

(D) a pour équation y = -3x + 2.

() a pour équation 2x + 3y – 5 = 0.

1. Trouvez une équation de la droite (AB). 2. Tracez (AB), (D) et (). 3. Trouvez une équation de la parallèle à (D) passant par A. 4. Trouvez une équation de la parallèle à () passant par l’origine du repère.

Exercice 2

Trouvez par lecture (sans calcul), les équations des droites représentées.

Åi

Åj

y ( D 1 ) 2 ( D 2 )

-3 O 4

( D 4 )

-1

x

( D 3 )

𝑗 𝑖



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1ère SÉRIE - 2ème leçon

DEUXIÈME LEÇON

Résolution des systèmes de deux équations à deux inconnues

I - Les deux principales méthodes algébriques (sur des exemples)

Il est nécessaire de savoir résoudre vite et bien un système linéaire de deux équations à deux inconnues.

Vous procéderez au choix, par substitution ou combinaison comme dans les exemples.

Exemple 1 : Résolvez par combinaison le système d’inconnues x et y suivant : 3x – 5y = 7

-4x + 3y = -8

En multipliant les équations par les coefficients indiqués en marge on obtient le système équivalent :

4

3 3x – 5y = 7

-4x + 3y = -8

12x – 20y = 28

-12x + 9y = -24

Donc par addition : -11y = 4

Donc y = -4

11

De même :

3

5 3x – 5y = 7

-4x + 3y = -8

9x – 15y = 21

-20x + 15y = -40

Donc -11x = -19

x = 19

11

La solution du système est le couple 19

11 ; -4

11

Exemple 2 : Résolvez par substitution x – 3y = 7

3x + 5y = 4

L’une des inconnues ayant 1 ou –1 pour coefficient, il est facile de procéder par substitution grâce aux équivalences suivantes :

x – 3y = 7

3x + 5y = 4

x = 7 + 3y

3(7 + 3y) + 5y = 4

x = 7 + 3y

14y = -17

x = 7 – 51

14

y = -17

14

x = 47

14

y = -17

14

La solution du système est le couple (47

14 ; -

17

14)

Remarque : On rencontrera souvent dans les problèmes le système élémentaire suivant :

x + y = a où les inconnues sont x et y

x – y = b

La somme fournit 2x= a + b

La différence 2y = a – b

On en déduit rapidement que : x = 𝑎 + 𝑏

2 et que y =

𝑎 − 𝑏

2



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II - Identification des coefficients d’un polynôme, décomposition d’une fraction rationnelle

Théorème

Deux polynômes sont égaux si et seulement si les coefficients de leurs termes de même degré sont

égaux.

Exemple : Déterminez les réels a et b tels que pour tout x réel on ait :

x3 + x2 – x – 1 = (x – 1) (x2 + ax + b)

Développons et ordonnons le second membre :

x3 + x2 – x – 1 = x3 + x2 (a – 1) + x (b – a) - b

Identifions : a – 1 = 1 et b – a = -1 et -b = -1

Donc a = 2 et b = 1

Conclusion : Pour tout réel x, on a x3 + x2 – x – 1 = (x – 1) (x2 + 2x + 1)

Application : Décomposer une fraction.

Exemple : Soit f définie pour tout réel différent de 1 et –1 par f (x) = x

3 + 3x – 2

x2 - 1

Déterminez les réels a, b, c et d tels que, pour tout x de ℝ - {-1 ; 1}, f (x) = ax + b + c

x - 1 +

d

x + 1

Réduisons au même dénominateur. On a : f (x) = (ax + b)(x

2 – 1) + c(x + 1) + d(x – 1)

x2 - 1

a, b, c, d doivent donc permettre l’identité : x

3 + 3x – 2

x2 - 1

= ax

3 + bx

2 – ax – b + cx + c + dx – d

x2 - 1

Soit en tenant compte des polynômes numérateurs :

x3 + 3x – 2 = ax3 + bx2 + x (-a + c + d) – b + c – d

qui conduit, en identifiant, à : a = 1 et b = 0 et – a + c + d = 3 et – b + c – d = -2

Donc à : a = 1

b = 0 et

c + d = 4

c – d = -2 et l’on trouve c = 1 et d = 3

Conclusion : On a f (x) = x + 1

x - 1 +

3

x + 1

III - Exemple de problèmes conduisant à de tels systèmes

Deux entreprises E1 et E2 font appel pour leurs livraisons à deux transporteurs A et B exclusivement.

Ces deux transporteurs organisent des « tournées » mixtes pour les entreprises E1 et E2.

L’entreprise E1 a, en un mois, effectué 7 000 km pour ses livraisons et payé 16 800 € dont 8 400 € au

transporteur B.



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L’entreprise E2 a, le même mois, fait parcourir 5 200 km pour ses livraisons et payé 13 900 € dont

10 500 € au transporteur A.

Déterminez le prix de revient au kilomètre pour chaque transporteur.

Résolution

Appelons x et y le prix de revient au kilomètre du transport respectivement pour A et B.

Traduisons l’énoncé : 8 400 € à y € du kilomètre, donc E1 a commandé à B : 8 400

y km.

Elle a donc payé : 16 800 – 8 400 à A et lui a fait parcourir 16 800 – 8 400

x km et l’on a :

8 400

y +

8 400

x = 7 000.

De même, on obtient : 10 500

x +

(13 900 – 10 500)y

= 5 200.

On obtient donc le système : {

8 400

𝑥+

8 400

𝑦

10 500

𝑥+

3 400

𝑦

Posons 1

x = X et

1

y = Y.

Le système s’écrit 84𝑋 + 84𝑌 = 70

105𝑋 + 34𝑌 = 52, donc X =

70 – 84Y

84 =

35

42 - Y et, on substitue,

105

35

42 - Y + 34Y = 52.

71 Y = 1 491

42

71 Y = 35,5

Y = 0,5

D’où X = 35

42 - 0,5 =

5

6 -

1

2 =

5

6 -

3

6 =

1

3

qui convient ; or X = 1

x donc x =

1

X =

1

1

3

et Y = 1

y donc y =

1

Y =

1

1

2

. Il vient x = 3 et y = 2.

Le transporteur A fait payer ses services 3 euros au km.

Le transporteur B fait payer ses services 2 euros au km.

Exercice 3

Résolvez les systèmes suivants d’inconnues x et y.

x – y = 5

x + y = -4

3x – 5y = 1

x + 3y = 2

1

2 x –

5

3 y = 4

3

4 x +

5

7 y =

1

2

= 7 000

= 5 200



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Exercice 4

P(x) = 3x3 – 5x2 + 3x – 10 1. Calculez P(2)

2. Déterminez trois réels a, b, c tels que pour tout x, P(x) = (x– 2)( ax2 + bx + c).

3. Résolvez l’équation P(x) = 0.

Exercice 5

Soit la fonction f telle que f (x) = 3x

3 + x

2 – 5x + 3

x2 + x + 1

1. Vérifiez que f est définie pour tout réel x.

2. Déterminez des réels a, b, c, d tels que pour tout x réel on ait :

f (x) = ax + b + cx + d

x² + x + 1



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