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c Christophe Bertault - MPSI Limite d’une fonction Dans tout ce chapitre, I,J... sont des intervalles de R. Définition (Intérieur et adhérence d’un intervalle) On appellera intérieur de I et on notera I l’intervalle I privé de ses bornes. Par exemple, R+ = R × + et [0, 1[ = ]0, 1[. On appellera adhérence de I et on notera ¯ I l’intervalle I augmenté de ses bornes, qui éventuellement ne lui appartiennent pas. Par exemple, [0, 1[ = [0, 1] et ]0, [ = [0, ]. Soient f : I -→ R une application et a ¯ I . On dit que f vérife une certaine propriété P au voisinage de a s’il existe un voisinage V de a tel que f vérifie la propriété P sur V∩ I . Par exemple, la fonction sinus est croissante au voisinage de 0 ; la fonction cosinus est minorée par 1 2 et majorée par 1 au voisinage de 0. 1 Définitions de la limite d’une fonction 1.1 Limite d’une fonction en un point Définition (Limite d’une fonction en un point) Soient f : I -→ R une application, a ¯ I et ¯ R. On dit que f admet pour limite en a si : pour tout voisinage V de , il existe un voisinage Va de a tel que : x ∈Va I, f (x) ∈V . Explication Si vous avez bien compris la définition de la limite d’une suite, vous devriez à présent comprendre la définition de la limite d’une fonction. Avec les suites, on demandait que pour tout voisinage V de la limite , tous les termes à partir d’un certain rang soient piégés dans V . A présent, avec les fonctions, on demande que toutes les valeurs que la fonction f considérée prend au voisinage de a soient piégées dans V . a ∃Va ∀V lim a f = avec R et a R ∃V∀V lim f = ∃V∀V lim f = avec R a ∃Va ∀Vlim a f = avec a R Théorème (Unicité de la limite) Soient f : I -→ R une application et a ¯ I . (i) Si f possède une limite en a, celle-ci est unique, notée lim a f ou lim xa f (x). Pour tout ¯ R, la relation lim a f = se note souvent f -→ a ou f (x) -→ xa . (ii) Si a I et si f possède une limite en a, alors lim a f = f (a). 1

Cours - Limite d'Une Fonction

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  • c Christophe Bertault - MPSI

    Limite dune fonction

    Dans tout ce chapitre, I, J . . . sont des intervalles de R.

    Dfinition (Intrieur et adhrence dun intervalle)

    On appellera intrieur de I et on notera

    I lintervalle I priv de ses bornes. Par exemple,

    R+ = R

    + et

    [0, 1[ = ]0, 1[.

    On appellera adhrence de I et on notera I lintervalle I augment de ses bornes, qui ventuellement ne lui appartiennentpas. Par exemple, [0, 1[ = [0, 1] et ]0,[ = [0,].

    Soient f : I R une application et a I . On dit que f vrife une certaine proprit P au voisinage de a sil existe unvoisinage V de a tel que f vrifie la proprit P sur V I . Par exemple, la fonction sinus est croissante au voisinage de 0 ; lafonction cosinus est minore par

    1

    2et majore par 1 au voisinage de 0.

    1 Dfinitions de la limite dune fonction

    1.1 Limite dune fonction en un point

    Dfinition (Limite dune fonction en un point) Soient f : I R une application, a I et ` R. On dit que f admet` pour limite en a si :

    pour tout voisinage V` de `, il existe un voisinage Va de a tel que : x Va I, f(x) V`.

    Explication Si vous avez bien compris la dfinition de la limite dune suite, vous devriez prsent comprendre ladfinition de la limite dune fonction. Avec les suites, on demandait que pour tout voisinage V` de la limite `, tous les termes partir dun certain rang soient pigs dans V`. A prsent, avec les fonctions, on demande que toutes les valeurs que la fonctionf considre prend au voisinage de a soient piges dans V`.

    b

    a

    `

    Va

    V`

    limaf = `

    avec ` R et a R

    V

    V`

    lim

    f =

    `

    V

    V`

    lim

    f = `

    avec ` R

    a Va

    V

    limaf =

    avec a R

    Thorme (Unicit de la limite) Soient f : I R une application et a I.(i) Si f possde une limite en a, celle-ci est unique, note lim

    af ou lim

    xaf(x).

    Pour tout ` R, la relation limaf = ` se note souvent f

    a` ou f(x)

    xa`.

    (ii) Si a I et si f possde une limite en a, alors limaf = f(a).

    1

  • c Christophe Bertault - MPSI

    Explication

    On peut comprendre lassertion (ii) de ce thorme au moyen de deuxpetits dessins trs simples.

    b

    a

    f(a)

    f est dfinie en a

    et limaf = f(a).

    b

    a

    f(a)bc

    f est dfinie en a

    mais limaf nexiste pas.

    Pourtant nous verronsque lim

    af = lim

    a+f .Dmonstration

    (i) Raisonnons par labsurde et faisons lhypothse que f possde deux limites ` et ` distinctes. Parce que` 6= `, il existe un voisinage V` de ` et un voisinage V` de ` tels que V` V` = . Or par hypothse sur f ,il existe deux voisinages Va et V a de a tels que :

    x Va I, f(x) V` et x V a I, f(x) V` .Finalement, donnons-nous x VaV aI cet ensemble est non vide. Alors f(x) V`V` , ce qui contreditcomme voulu notre choix de V` et V` .

    (ii) Faisons lhypothse que f est dfinie en a i.e. a I et possde une limite ` en a.Peut-on avoir alors ` = ? Si ctait le cas, il existerait donc un voisinage Va de a tel que f(x) ]f(a),[pour tout x Va ; en particulier, pour x = a, on aurait donc f(a) ]f(a),[ contradiction. Ainsi ` 6=,et on pourrait montrer de mme que ` 6= .Bref, ` R. Soit finalement > 0. Il existe par hypothse un voisinage V a de a tel que f(x) ]`, `+[ pourtout x V aI ; en particulier f(a) ]`, `+[. Nous venons donc de montrer que : > 0,

    f(a)`

    < .

    Aussitt ` = f(a) comme voulu choisir =1

    n, puis faire tendre n vers .

    En pratique Vous ntes pas obligs dapprendre la dfinition gnrale et abstraite de la limite que nous venonsde donner car elle nest pas au programme. Nous allons cependant la reformuler de neuf faons diffrentes dans neuf contextes,et il est impratif que vous connaissiez, ou du moins sachiez retrouver trs vite, ces neuf dfinitions. Des dessins tels que ceuxque nous avons effectus ci-dessus pourront vous tre utiles pour bien comprendre ces reformulations.

    Dfinition (Les 9 limites) Soient f : I R une application, a I et ` R. Cas o ` R et a R :

    limaf = ` > 0, > 0/ x I, |x a| 6 = f(x) ` 6 .

    Cas o ` = et a = :

    lim

    f = A > 0, B > 0/ x I, x > B = f(x) > A.

    Cas o ` = et a = :

    lim

    f = A < 0, B > 0/ x I, x > B = f(x) 6 A.

    Cas o ` = et a = :

    lim

    f = A > 0, B < 0/ x I, x 6 B = f(x) > A.

    Cas o ` = et a = :

    lim

    f = A < 0, B < 0/ x I, x 6 B = f(x) 6 A.

    Cas o ` R et a = :

    lim

    f = ` > 0, B > 0/ x I, x > B =

    f(x) `

    6 .

    Cas o ` R et a = :

    lim

    f = ` > 0, B < 0/ x I, x 6 B =

    f(x) `

    6 .

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  • c Christophe Bertault - MPSI

    Cas o ` = et a R, a / I :

    limaf = A > 0, > 0/ x I, |x a| 6 = f(x) > A.

    Cas o ` = et a R, a / I :

    limaf = A < 0, > 0/ x I, |x a| 6 = f(x) 6 A.

    $ $ $ Attention ! Dans ces dfinitions, les quantificateurs et ne doivent tre permuts sous aucun prtexte.

    Remarque On peut montrer que dans ces dfinitions, toutes les ingalits ingalits larges peuvent tre remplaces par desingalits strictes.

    Le rsultat suivant est une consquence directe de la dfinition de la limite.

    Thorme Soient f : I R une application, a I et ` R. Si ` R : lim

    xaf(x) = ` lim

    xa

    f(x) ` = 0.

    Si a R : limxa

    f(x) = ` limh0

    f(a+ h) = `.

    Exemple limx1

    1x 1 =.

    En effet Soit A > 0. On cherche > 0 tel que : x ]1,[, |x 1| 6 = 1x 1 > A. Or pour

    tout x ]1,[ : 1x 1 > A

    x 1 6 1

    A |x 1| 6 1

    A2car x > 1.

    Posons =1

    A2. Via ce qui prcde, on a bien : x ]1,[, |x 1| 6 = 1

    x 1 > A comme voulu.

    Exemple limx

    x2

    x2 + 1= 1.

    En effet Soit > 0. On cherche B > 0 tel que : x R, x > B =

    x2

    x2 + 1 1

    6 . Or pour tout

    x R :

    x2

    x2 + 1 1

    6 1x2 + 1

    6 x2 + 1 > 1

    x2 > 1 1.

    Nous pouvons en fait supposer < 1 car ce sont les valeurs voisines de 0 de qui nous sont utiles ici. Posons alors

    B =

    r

    1

    1. Via ce qui prcde, on a bien : x R, x > B =

    x2

    x2 + 1 1

    6 comme voulu.

    Thorme (Limite et bornitude) Soient f : I R et a I.Si f possde une limite finie en a, alors f est borne au voisinage de a.

    Dmonstration Puisque ` = limaf existe et est finie, il existe un voisinage Va de a tel que :

    x I, x Va =

    f(x) ` 6 1.

    En particulier : x I Va,

    f(x)

    6 |`|+1. Ceci montre que f est borne sur I Va, donc que f est borneau voisinage de a.

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    1.2 Limites dune fonction gauche/ droite en un point

    Dfinition (Limite dune fonction gauche/ droite en un point) Soient f : I R une application, a I et ` R. Si f est dfinie au voisinage de a gauche, on dit que f admet ` pour limite gauche en a si f

    I ],a[admet ` pour

    limite en a. En tant que limite, la limite de f en a gauche, si elle existe, est unique et note lima

    f ou limxa

    f(x) ou limxaxa

    f(x).

    En pratique Ces dfinitions sont un peu abstraites. Vous devez surtout retenir leurs reformulations en situation .Les voici dans le cas des limites gauche :

    Cas o ` R : > 0, > 0/ x I, a 6 x < a = f(x) ` 6 .

    Cas o ` = : A > 0, > 0/ x I, a 6 x < a = f(x) > A.

    Cas o ` = : A < 0, > 0/ x I, a 6 x < a = f(x) 6 A.

    Exemple limx0

    1

    x= et lim

    x0+

    1

    x=.

    En effet Montrons par exemple que limx0+

    1

    x=. Soit donc A > 0. Nous cherchons > 0 tel que 1

    x> A pour

    tout x ]0, ]. Or pout tout x R+ :1

    x> A x 6 1

    A.

    Posons finalement =1

    A. Via ce qui prcde on a bien : x ]0, ], 1

    x> A comme voulu.

    Thorme (Caractrisation de la limite laide des limites gauche/ droite) Soient f : I R une application,a

    I et ` R.lim

    af = ` lim

    af = lim

    a+f = ` et ` = f(a) .

    $ $ $ Attention ! La prcision ` = f(a) est indispensable. On peut trs bien avoir lima

    f = lima+

    f sans que f ait une

    limite en a. Pour vous en convaincre, jetez un il aux figures du haut de la page 2.

    Dmonstration

    Supposons dabord que limaf = `. Nous avons dj observ qualors ` = f(a), et il est immdiat, daprs

    toutes nos dfinitions, que lima

    f = lima+

    f = `.

    Rciproquement, supposons quon ait lima

    f = lima+

    f = ` et ` = f(a) en particulier ` R. Nous voulonsmontrer que lim

    af = `. Soit donc > 0. Il existe > 0 et + > 0 tels que :

    x I, a 6 x < a = f(x) ` 6 x I, a < x 6 a+ + = f(x) ` 6 .

    Posons enfin = minn

    , +o

    et donnons-nous x I tel que |x a| 6 , i.e. a 6 x 6 a+ . Alors :

    1) si a 6 x < a, on a en fait a 6 x < a, et donc

    f(x) `

    6 ;

    2) si x = a, f(x) = f(a) = `, donc

    f(x) ` 6 ;3) si a < x 6 a+ , on a en fait a < x 6 a+ +, et donc

    f(x) ` 6 .Du coup, dans tous les cas,

    f(x) ` 6 .Un certain > 0 tant fix, nous avons trouv > 0 tel que : x I, |xa| 6 = f(x)` 6 .Cela qui signifie bien que lim

    af = `.

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  • c Christophe Bertault - MPSI

    Exemple Soit f : R R, x 7

    ex si x > 01 x si x < 0 . Alors lim0 f = 1.

    En effet Puisque f est dfinie au moyen de deux expressions diffrentes gauche et droite de 0, les notionsde limite gauche/ droite vont nous tre utiles.Nous savons que lim

    x0(1 x) = 1 et que lim

    x0+ex = 1, et enfin f(0) = 1. Le thorme prcdent affirme bien,

    comme annonc, que limx0

    f(x) = 1.

    1.3 Limite dune fonction en un point intrieur

    en lequel elle nest pas dfinie

    Pour toute application f : I R, nous avons jusquici dfini limaf , en cas dexistence, dans le cas o a I . Nous tendons

    prsent cette dfinition au cas o a

    I mais o f nest pas dfinie en a.

    Dfinition (Limite dune fonction en un point intrieur en lequel elle nest pas dfinie) Soient a

    I, f : Ir

    a R

    une application et ` R. On dit que f admet ` pour limite en a si :pour tout voisinage V` de `, il existe un voisinage Va de a tel que : x Va

    I r

    a

    , f(x) V`.

    Explication

    Cette dfinition de la limite est la mme que la premire que nousavons donne, ceci prs que les I y ont t remplacs pardes I r

    a

    . En pratique on rcrit bien sr cette dfinitionavec des > 0 ou des A R comme on la fait avecnos dfinitions prcdentes.

    a

    `

    V

    V`bc

    lim

    f = ` avec ` Ra Va

    V

    limaf =

    Thorme (Unicit de la limite) Soient a

    I et f : I r

    a R une application. Si f possde une limite en a, celle-ci

    est unique, note limaf ou lim

    xaf(x).

    Pour tout ` R, la relation limaf = ` se note souvent f

    a` ou f(x)

    xa`.

    ExplicationComparez donc la figure ci-contre avec les deux figuresanalogues que nous avons dj vues page 2.

    a

    ` bc

    f nest pas dfinie en a mais pourtantlim

    af = ` existe. On voit quon pour-

    rait rajouter un point en a avec la valeurf(a) = `, qui prolongerait f en la ren-dant continue en a ; nous reverrons celabientt.

    Exemple limx0

    1

    x2=.

    En effet Soit A > 0. Nous cherchons > 0 tel que : x R, |x| 6 = 1x2> A. Or pout tout

    x R on a : 1x2> A |x| 6 1

    A. On obtient donc le rsultat voulu en posant =

    1A.

    Exemple limx0

    sin x

    x= 1 (nombre driv de la fonction sinus en 0).

    Thorme (Caractrisation de la limite laide des limites gauche/ droite) Soient a

    I, f : I r

    a R une

    application et ` R.lim

    af = ` lim

    af = lim

    a+f = `.

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    2 Proprits des limites de fonctions

    2.1 Caractrisation squentielle de la limite dune fonction

    Caractrisation squentielle signifie caractrisation en termes de suites .Vous remarquerez que ce thorme contient le rsultat sur les limites des suites de terme gnral de la forme f(un) .

    Jusquici nous utilisions ce rsultat sans lavoir dmontr.

    Thorme (Caractrisation squentielle de la limite dune fonction) Soient f : I R une application, a I et` R. Les assertions suivantes sont quivalentes :

    (i) limaf = `.

    (ii) Pour toute suite (un)nN de limite a valeurs dans I , la suite

    f(un)

    nNa pour limite `.

    Remarque Ce thorme est encore vrai si a est un point intrieur en lequel f nest pas dfini ; il faut cependant dans ce casremplacer les I par des I r

    a

    .

    Dmonstration

    (i) = (ii) On suppose que limaf = `. Soit alors (un)nN une suite de limite a valeurs dans I . Nous devons

    montrer que limn

    f(un) = `. Partons donc dun voisinage V` de `.Puisque lim

    af = a, il existe un voisinage Va de a tel que : x I, x Va = f(x) V`.

    Mais limn

    un = a. Il existe donc un rang N partir duquel un Va.

    Finalement, pour tout n > N , un Va, donc f(un) V`. Cela montre bien que limn

    f(un) = `.

    (ii) = (i) Au lieu de travailler avec des voisinages, travaillons dans le cas particulier o a, ` R pour varier.Raisonnons par contraposition. On suppose donc que f nadmet pas ` pour limite. Nous devons en dduirelexistence dune suite (un)nN de limite a valeurs dans I telle que

    f(un)

    nNnadmette pas ` pour limite.

    Mais puisque f nadmet pas ` pour limite, il existe 0 > 0 tel que :

    > 0, x I/ |x a| 6 et

    f(x) `

    > 0.

    Pour tout n N, choisissons donc un lment un I tel que |un a| 6 1n

    et

    f(un) `

    > 0 poser

    =1

    ndans la proposition prcdente. Ce procd nous fournit bien une suite (un)nN de limite a valeurs

    dans I telle que

    f(un)

    nNnadmette pas ` pour limite.

    Exemple Puisque limx

    ex = et limn

    n! =, alors limn

    en! =.

    Exemple limx0

    sin1

    xnexiste pas.

    En effet Posons un =1

    npiet vn =

    1

    npi +pi

    2

    pour tout n N. Alors limn

    un = limn

    vn = 0.

    Pourtant sin1

    un= sin(npi) = 0

    n0 et sin

    1

    vn= sin

    npi +pi

    2

    = 1 n

    1. Ces deux limites tant

    diffrentes, nous en dduisons le rsultat annonc via la caractrisation squentielle de la limite.

    2.2 Oprations sur les limites

    Pour cette partie du cours, allez faire un tour du ct des limites de suites. Il se passe avec les fonctions la mme chosequavec les suites pour les oprations de somme, produit, multiplication par un scalaire et inverse en particulier, les formesindtermines, notamment, sont les mmes. Les rsultats en question valent ici pour toutes les notions de limite que nous avonsabordes.

    Pour ne pas perdre de temps inutilement, nous ne nous arrterons pas davantage sur ces points.

    6

  • c Christophe Bertault - MPSI

    Thorme (Limite et composition) Soient f : I J et g : J R deux applications, a I , b J et c R.Si lim

    af = b et si lim

    bg = c, alors lim

    ag f = c.

    Dmonstration Lide de la preuve est rsume par la figure ci-aprs.Nous voulons montrer que lim

    ag f = c. Soit donc Vc un voisinage de c.

    Puisque limbg = c, il existe un voisinage Vb de b tel que : x J, x Vb = g(x) Vc.

    Du coup, puisque limaf = b, il existe un voisinage Va de a tel que : x I, x Va = f(x) Vb.

    Il est alors vident que : x I, x Va = g f(x) Vc. Nous avons ainsi montr comme voulu quelim

    ag f = c.

    b aI Va

    3

    . . . et donc aussi un voisinage Va de aque f envoie dans Vb.

    f

    b b

    J

    Vb

    2

    . . . il existe un voisinage Vb de bque g envoie dans Vc. . .

    g

    b c Vc

    Pour tout voisinage Vc de c. . .1

    g f4

    Finalement g f envoie Va dans Vc dun coup dun seul.

    En pratique Vous devez savoir appliquer parfaitement ce thorme sur la composition des limites.

    Montrons par exemple que limx

    lne2x + 1

    (ex + 1)2= 0. Il faut pour cela savoir dans quel ordre et avec quelles fonctions lmentaires

    cette limite est construite. On peut, au brouillon, pour viter de se mlanger les pinceaux, reprsenter les diffrents niveaux de

    composition de la faon suivante :

    8

    m au voisinage de a, alors ` > m.

    $ $ $ Attention ! Ces rsultats sont faux avec des ingalits strictes : les ingalits strictes ne sont pas conserves par

    passage la limite. Ainsi la limite limx

    1

    x2= 0 nest pas strictement positive, et pourtant : x R, 1

    x2> 0.

    Remarque Ce thorme est encore vrai si a est un point intrieur en lequel f nest pas dfini ; il faut cependant dans ce casremplacer les I par des I r

    a

    .

    7

  • c Christophe Bertault - MPSI

    Dmonstration

    (i) Les limites ` et ` tant finies, nous savons que lima

    (g f) = ` `. Pour montrer que ` ` > 0, raisonnonspar labsurde en supposant que ` ` < 0. Par dfinition de la limite, il existe un voisinage Va de a pourlequel on a : x I, x Va =

    g(x) f(x) (` `)

    6` `

    2. En particulier, pour tout

    x Va I on a : g(x) f(x) 6 (` `) + ` `

    2=

    ` `2

    < 0.

    Ceci vient contredire le fait que par hypothse, f(x) 6 g(x) au voisinage de a. Ainsi ` ` > 0 comme voulu.

    (ii) et (iii) sont des cas particuliers de lassertion (i), quand lune des fonctions est constante.

    Thorme (Limites et ingalits strictes) Soient f : I R une application, a I , ` R et m,M R.(i) Si lim

    af = ` et si ` < M , alors f(x) < M au voisinage de a.

    (ii) Si limaf = ` et si ` > m, alors f(x) > m au voisinage de a.

    $ $ $ Attention ! Ces rsultats sont faux avec des ingalits larges. Ainsi la limite limx

    1

    x2est ngative ou nulle, et

    pourtant : x R, 1x2

    > 0.

    Remarque Ce thorme est encore vrai si a est un point intrieur en lequel f nest pas dfini ; il faut cependant dans ce casremplacer les I par des I r

    a

    .

    Dmonstration Contentons-nous de dmontrer lassertion (ii). Par hypothse, puisque `m > 0, il existe unvoisinage Va de a tel que : x I, x Va =

    f(x) `

    6`m

    2.

    Alors pour tout x Va I : f(x) > ` `m2

    =`+m

    2>

    m+m

    2= m. Cela montre bien que f(x) > m au

    voisinage de a.

    3 Thormes dexistence de limites pour les fonctions

    3.1 Thorme des gendarmes, thormes de minoration/majoration

    Thorme Soient f : I R, m : I R et M : I R trois applications, a I et ` R.(i) Thorme des gendarmes/de lencadrement : Si lim

    am = lim

    aM = `, et si m(x) 6 f(x) 6 M(x) au

    voisinage de a, alors limaf existe et lim

    af = `.

    (ii) Thorme de minoration : Si limam = et si f(x) > m(x) au voisinage de a, alors lim

    af existe et

    limaf =.

    (iii) Thorme de majoration : Si limaM = et si f(x) 6 M(x) au voisinage de a, alors lim

    af existe et

    limaf = .

    Remarque Ce thorme est encore vrai si a est un point intrieur en lequel f nest pas dfini ; il faut cependant dans ce casremplacer les I par des I r

    a

    .

    Dmonstration

    (i) Par hypothse, il existe un voisinage Va de a sur lequel m(x) 6 f(x) 6 M(x).Soit alors > 0. Par hypothse sur m et M , il existe deux voisinages V a et V a de a tels que :

    x I, x V a =

    m(x) ` 6 et x I, x V a =

    M(x) ` 6 .Posons V0a = Va V a V a , qui est un voisinage de a. Alors pour tout x V0a I :

    ` 6 m(x) 6 f(x) 6 M(x) 6 `+ , et donc f(x) ` 6 .

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  • c Christophe Bertault - MPSI

    Nous avons bien trouv un voisinage V0a de a tel que : x I, x V0a =

    f(x) `

    6 , ce quimontre que lim

    af = `.

    (ii) et (iii) Reprenez votre cours sur les suites et tchez dimiter la preuve que nous avons faite alors.

    Le thorme des gendarmes est souvent utilis sous lune des deux formes suivantes, que vous dmontrerez seuls :

    Corollaire Soient f : I R et : I R deux applications et a I. Si f(x) 6 (x) au voisinage de a et si lim

    a = 0, alors lim

    af = 0.

    Si f est borne au voisinage de a et si lima = 0, alors lim

    xa(x)f(x) = 0.

    Exemple limx0

    x sin1

    x= 0 car x 7 sin 1

    xest borne et lim

    x0x = 0.

    3.2 Thorme de la limite monotone

    Thorme (Thorme de la limite monotone) Soient f : I R une application croissante.

    (i) Soit a

    I . Alors lima

    f et lima+

    f existent, sont finies et vrifient : lima

    f 6 f(a) 6 lima+

    f .

    (ii) liminf I+

    f existe. Cette limite est finie si f est minore ; elle vaut sinon.

    (iii) limsup I

    f existe. Cette limite est finie si f est majore ; elle vaut sinon.b

    a

    bc

    bc

    Assertion (i)

    Si f est dcroissante, on dispose bien entendu dun rsultat analogue.

    Dmonstration Montrons seulement lassertion (i) pour ne pas perdre trop de temps. Soit a

    I. Nous allonsmontrer lexistence de lim

    a+f et lingalit : f(a) 6 lim

    a+f . On procderait de mme pour la limite gauche en a.

    Posons F+a = f

    I ]a,[. Alors F+a est une partie de R minore par f(a), car f tant croissante :x I ]a,[, f(a) 6 f(x).

    Comme a

    I , F+a 6= , et donc la proprit de la borne infrieure affirme lexistence de ` = inf F+a R.

    Montrons que lima+

    f = `. Soit > 0.

    Puisque ` est le plus grand des minorants de F+a , `+ nen est pas un minorant. Il existe donc y0 F+a telque y0 6 `+ . Considrons en outre x0 I ]a,[ tel que y0 = f(x0).Posons enfin = x0 a > 0. Alors pour tout x I tel que a < x 6 a+ = x0 :` 6 ` 6 f(x) 6 f(x0) = y0 6 `+, car par dfinition ` = inf F+a = inf f

    I ]a,[ et car f est croissante.Nous venons donc de montrer que pour tout > 0, il existe > 0 tel que :

    x I, a < x 6 a+ =

    f(x) `

    6 .

    Il est donc bien vrai que lima+

    f existe et vaut ` comme annonc.

    a I

    F+a

    ` b

    bc

    bc

    y = f(x)

    b

    y0

    x0

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  • c Christophe Bertault - MPSI

    4 Extension au cas des fonctions complexes

    Nous allons brivement tendre les rsultats que nous avons obtenu pour les fonctions relles aux fonctions complexes.

    $ $ $ Attention ! Les notions de fonction complexe majore/minore/monotone nont aucun sens car la relation dordrenaturelle 6 nest pas dfinie sur C.

    Malgr cela, la notion de fonction borne conserve un sens.

    Dfinition (Fonction borne) Soit f : I C une application. On dit que f est borne sil existe K R+ tel que :x I, f(x) 6 K.

    Dfinition (Limite dune fonction complexe en un point) Soit f : I C une application, a I et ` C. On dit quef admet ` pour limite en a si :

    pour tout voisinage V` de `, il existe un voisinage Va de a tel que : x Va I, f(x) V`.

    Cela revient dire que limxa

    f(x) ` = 0, ce qui nous ramne au cas des limites de fonctions relles.

    Le thorme dunicit de la limite est encore valable.

    Explication Cette dfinition est exactement la mme que dans le cas des fonctions relles. La seule chose qui achang, cest lallure des voisinages. Pour un rappel, consultez les dernires pages du chapitre Limite dune suite .

    Thorme (Caractrisation de la limite partir des parties relle et imaginaire) Soient f : I C, a I et ` C.Les assertions suivantes sont quivalentes :

    (i) limaf = `. (ii) lim

    aRe(f) = Re(`) et lim

    aIm(f) = Im(`).

    Dmonstration

    (i) = (ii) Supposons quon ait limaf = `. Montrons que lim

    aRe(f) = Re(`) pour la partie imaginaire,

    remplacer Re par Im . On a :

    Re(f)Re(`)

    =

    Re(f `)

    6 |f `|. On conclut avec le thormedes gendarmes.

    (ii) = (i) Supposons quon ait lima

    Re(f) = Re(`) et lima

    Im(f) = Im(`). Alors par dfinition du module, et

    tant donnes les oprations quon peut faire sur les limites, on a lima|f `| = 0. Ceci signifie prcisment

    que limaf = `.

    Exemple limx

    eix

    1 + x2= 0 car lim

    x

    cos x

    1 + x2= lim

    x

    sin x

    1 + x2= 0.

    Avec les fonctions complexes, il est toujours vrai quune fonction possdant une limite en un point est borne au voisinagede ce point.

    Les notions de limite gauche et droite, ainsi que la caractrisation de la limite en termes de limite gauche et droite,pourraient tre dfinies sans changement dans le cadre des fonctions complexes. De mme pour la notion de limite en un pointen lequel la fonction tudie nest pas dfinie.

    La caractrisation squentielle de la limite est maintenue. De mme les oprations daddition, produit, multiplication par unscalaire et inverse sur les limites donnent lieu aux mmes rsultats que dans le cas rel ; plus prcisment, dans une expressionde la forme lim

    af = ` o f est une fonction complexe, on peut avoir a = , mais pas ` = car ` doit tre un nombre

    complexe.

    Les grands thormes dexistence de limites nont pas de sens dans le cas des fonctions complexes car ils utilisent de faonessentielle la relation dordre naturelle 6 sur R.

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