13
I) Introduction On fait une étude statistique de la taille des individus d'une population. Dans chaque cas, la taille moyenne est de 170 cm, avec un écart type de 10 cm. On trace les histogrammes de la taille, avec des classes de 5cm de large. Echantillon de 10 individus taille (cm) 140 160 180 200 120 2 1 0 3 Echantillon de 100 individus taille (cm) 140 160 180 200 120 10 5 15 20 Echantillon de 1000 individus taille (cm) 140 160 180 200 120 100 50 0 150 Echantillon de 10.000 individus taille (cm) 140 160 180 200 120 1000 500 0 1500 Echantillon de 100.000 individus. n o m b r e d’ i n d i v i d u s taille (cm) 140 160 180 200 120 4000 2000 0 6000 Terminale S Chapitre 10 « Loi Normale » 21/03/2013 Au fur et à mesure que la taille de l'échantillon augmente (et que la taille des classes diminue), l'histogramme devient de plus en plus régulier et se rapproche d'une courbe en cloche, appelée loi normale. On parle de loi normale lorsque l’on a une variable aléatoire continue dépendant d’un grand nombre de causes indépendantes dont les effets s’additionnent et dont aucune n’est prépondérante (conditions de Borel). Historiquement, cette loi acquiert sa forme définitive avec Gauss (en 1809) et Laplace (en 1812). C’est pourquoi elle porte également les noms de : loi de Laplace, loi de Gauss ou loi de Laplace- Gauss. La distribution normale est une distribution théorique, en ce sens qu'elle est une idéalisation mathématique qui ne se rencontre jamais exactement dans la nature. Mais de nombreuses distributions réellement observées s’en rapprochent et ont cette fameuse forme de « cloche » (beaucoup d’individus autour de la moyenne, de moins en moins au fur à mesure qu’on s’en éloigne, et ceci de façon symétrique).

Cours Loi Normalemathildeboucher.free.fr/wp-content/fichiers/2012/08/T12... · 2013. 5. 22. · NormCD , normalcdf , normCdf , a b P a X b a b a b ≤ ≤ =. On peut donner à a et

  • Upload
    others

  • View
    2

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Cours Loi Normalemathildeboucher.free.fr/wp-content/fichiers/2012/08/T12... · 2013. 5. 22. · NormCD , normalcdf , normCdf , a b P a X b a b a b ≤ ≤ =. On peut donner à a et

I) Introduction

On fait une étude statistique de la taille des individus d'une population.

Dans chaque cas, la taille moyenne est de 170 cm, avec un écart type de 10 cm.

On trace les histogrammes de la taille, avec des classes de 5cm de large.

Echantillon de 10 individus

taille (cm) 140 160 180 200 120

2

1

0

3

Echantillon de 100 individus

taille (cm) 140 160 180 200 120

10

5

15

20

Echantillon de 1000 individus

taille (cm) 140 160 180 200 120

100

50

0

150

Echantillon de 10.000 individus

taille (cm) 140 160 180 200 120

1000

500

0

1500

Echantillon de 100.000 individus.

n

o

m

b

r

e

d’

i

n

d

i

v

i

d

u

s

taille (cm)140 160 180 200120

4000

2000

0

6000

Terminale S Chapitre 10 « Loi Normale » 21/03/2013

Au fur et à mesure que la taille de l'échantillon augmente (et

que la taille des classes diminue), l'histogramme devient de

plus en plus régulier et se rapproche d'une courbe en cloche,

appelée loi normale.

On parle de loi normale lorsque l’on a une variable aléatoire

continue dépendant d’un grand nombre de causes

indépendantes dont les effets s’additionnent et dont aucune

n’est prépondérante (conditions de Borel). Historiquement,

cette loi acquiert sa forme définitive avec Gauss (en 1809) et

Laplace (en 1812). C’est pourquoi elle porte également les

noms de : loi de Laplace, loi de Gauss ou loi de Laplace-

Gauss.

La distribution normale est une distribution théorique, en ce

sens qu'elle est une idéalisation mathématique qui ne se

rencontre jamais exactement dans la nature. Mais de

nombreuses distributions réellement observées s’en

rapprochent et ont cette fameuse forme de « cloche »

(beaucoup d’individus autour de la moyenne, de moins en

moins au fur à mesure qu’on s’en éloigne, et ceci de façon

symétrique).

Page 2: Cours Loi Normalemathildeboucher.free.fr/wp-content/fichiers/2012/08/T12... · 2013. 5. 22. · NormCD , normalcdf , normCdf , a b P a X b a b a b ≤ ≤ =. On peut donner à a et

II) La loi binomiale pour un grand nombre d’épreuves

( )

( ) ( )

Rappel :

On considère une variable aléatoire qui suit la loi binomiale , .

associe le nombre de succès lors de répétitions d'une épreuve de Bernoulli de paramètre .

Dans ce cas, et

X B n p

X n p

E X np X nσ= = ( )1p p−

Exercice 1 :

On considère une variable aléatoire X qui suit la loi binomiale ( )10,0.3B .

Construire un tableau de la loi de X.

Réaliser un histogramme de cette loi.

En faisant varier n :

En faisant varier p :

] [ ( )

( )

( )

( ) ( )

Propriété :

Etant donnés et 0,1 , on considère une variable aléatoire qui suit la loi binomiale , .

On lui associe la variable centrée réduite .

On a alors , 0 et 1.

n

n n

n

n

n n

n p X B n p

X E XZ

X

n E Z Z

σ

σ

∈ ∈

−=

∀ ∈ = =

Pour des grandes valeurs de n l’histogramme de la variable nZ décrit une courbe en cloche. Cette courbe est la

densité de la loi normale centrée réduite. On le démontrera plus tard, c’est le théorème de Moivre-Laplace.

La "cloche" se décale de gauche à droite

Pour éliminer cet effet de décalage,

il suffit d'ôter l'espérance .

La variable est alors centrée.

npµ =

( )

( )

La "cloche" est plus ou moins large et haute .

Pour éliminer cette dispersion, il suffit de diviser par l'écart type 1np pσ = −

Page 3: Cours Loi Normalemathildeboucher.free.fr/wp-content/fichiers/2012/08/T12... · 2013. 5. 22. · NormCD , normalcdf , normCdf , a b P a X b a b a b ≤ ≤ =. On peut donner à a et

III) Loi normale centrée réduite

( ) ( )

( )

2

2

Définition :

Soit une variable aléatoire continue à valeurs dans l'intervalle .

1On appelle loi normale centrée réduite, notée 0,1 sur la loi ayant pour densité = e .

2

On a alors

x

Z

N Z x f x

P a Z b

π

≤ ≤ =

2

21

e . 2

xb

adx

π

Remarques :

� La fonction de densité est paire.

Sa représentation graphique est appelée courbe en cloche.

Elle est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

� C’est bien une fonction de densité.

Elle est continue, positive et on admettra que

2

21

e 1.2

x

dxπ

+∞ −

−∞=∫

� Il n’est pas possible de déterminer une forme explicite des primitives de la fonction

2

21

e2

x

π

.

On utilise des tables ou la calculatrice pour déterminer des valeurs approchées des intégrales.

1) Avec la calculette :

Pour tracer la fonction de densité :

La fonction

casio

TI

TI nspire

NormPD

normalpdf

normPDF

permet de tracer ( )

( )

( )

( )

2

2

NormPD1

e normalpdf2

normPdf

xx

f x x

= pour calculer l’intégrale.

Pour calculer une probabilité :

La fonction

casio

TI

TI nspire

NormCD

normalcdf

normCdf

permet de calculer ( )

( )

( )

( )

NormCD ,

normalcdf ,

normCdf ,

a b

P a X b a b

a b

≤ ≤ = .

On peut donner à a et le b des valeurs infinis avec 99 9910 ou 10−∞ − +∞� �

Exemple :

Calculer ( ) ( ) ( )1 1 , 2 2 , 3 3P X P X P X− ≤ ≤ − ≤ ≤ − ≤ ≤ .

Donner le résultat sous forme de pourcentage tronqué à l’entier.

Exercice 2 :

Si une variable aléatoire X suit la loi ( )0,1N , utiliser la calculatrice pour déterminer des valeurs approchées à

310 près− de ( ) ( ) ( )0.3 0.6 0.5 et 0.1P X P X P X− ≤ ≤ ≤ ≥

( )2

12

11 1 e 0.68

x

p Z dx−

−← − ≤ ≤ = ∫ �

Page 4: Cours Loi Normalemathildeboucher.free.fr/wp-content/fichiers/2012/08/T12... · 2013. 5. 22. · NormCD , normalcdf , normCdf , a b P a X b a b a b ≤ ≤ =. On peut donner à a et

2) Graphiquement à partir de la courbe de densité :

Exemple :

Soit Z une variable aléatoire

suivant la loi N (0,1) dont la

fonction de densité est

tracée ci-contre. Estimer

graphiquement à 5% près :

1) ( )1 2P X≤ ≤

2) ( )2P X ≥

3) Avec une table :

On appelle ( ) ( ) la fonction qui à associe x x P X xΠ ∈ Π = ≤�

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Propriété :

1Si suit la loi 0,1 alors , , 0 , 1

2

, , 1 et 2 1

Z N a b a a

P Z b b P a Z b b a P a Z a P a Z a a

∀ ∈ Π = Π − = − Π

≤ = Π ≤ ≤ = Π − Π ≤ = − Π − ≤ ≤ = Π −

Remarque :

Avant l’utilisation massive des calculatrices, on utilisait des tables de valeurs de la fonction Π pour calculer

des probabilités avec la loi normale.

Exemple :

Cette table donne les valeurs de la fonction ( ) ( ): où suit la loi 0,1 .x P Z x Z Nπ → < .

Utiliser cette table pour calculer donner des valeurs approchées de :

( )1.24P Z <

( )0.62 1.24P Z− < < et ( )0.62P Z− <

4) Calculs d’antécédents pour la fonction ���� :

Etant donnée un réel ] [0,1α ∈ , on peut aussi chercher la valeur x telle que ( )xπ α= .

Pour cela on peut utiliser la fonction casio

TI et nspire

InvNormCD

invNorm permet de calculer

( )

( )

InvNormCD

invNormx

α

α=

Exemple : Déterminer a tel que ( ) 0.75aΠ = puis b tel que ( ) 0.5P b Z b− ≤ ≤ =

Page 5: Cours Loi Normalemathildeboucher.free.fr/wp-content/fichiers/2012/08/T12... · 2013. 5. 22. · NormCD , normalcdf , normCdf , a b P a X b a b a b ≤ ≤ =. On peut donner à a et

5) Espérance et écart type

( )

( ) ( )

Propriété : Espérance et Variance

Si est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite 0;1 ,

alors 0 et 1.

X N

E Z V Z= =

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

Dem :

1 1 1 1e e lim e lim e 0 0 0

2 2 2 2

1e 1 se démontre avec une IPP

2

x x x x

x x

x

E X x dx

V X E X E X E X x dx

π π π π

π

+∞

+∞ − − − −

−∞ →+∞ →−∞

−∞

+∞ −

−∞

= = − = − − − = − =

= − = = =

IV) Le cas général : La loi normale

( )2 2

Définition :

Soit une variable aléatoire continue à valeurs dans l'intervalle .

On dit que suit la loi normale de paramètres et notée ,

si la variable aléatoire associée suit la lo

X

X N

ZZ

µ σ µ σ

µ

σ

−=

( )

( )

i 0,1 .N

a bP a X b P Z

µ µ

σ σ

− − ≤ ≤ = ≤ ≤

1) Avec la calculette :

Pour calculer des probabilités :

la fonction

casio

TI

TI nspire

NormCD

normalcdf

normCdf

permet de calculer ( )

( )

( )

( )

NormCD , ,

normalcdf , , ,

normCdf ,

,Attention à l'ordre

des paramètres !! !, ,

!

a b

P a X b a b

a b

µ σ

µ σ

σ µ

≤ ≤ =

On peut donner à a et le b des valeurs infinis avec 99 9910 ou 10−∞ − +∞� �

Exemples :

1) Si ( ) ( )5,2 , déterminer 4 6X N P X≤ ≤∼

2) Si ( ) ( )7,3 , déterminer 8X N P X ≤∼

3) Si ( ) ( )0,2 , déterminer 1X N P X≤∼

Exercice 3 :

On note X la variable aléatoire qui, à chaque homme prélevé au hasard, associe sa taille en centimètres. On

suppose que X suit la loi normale de moyenne 178 et d'écart-type 10.

Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants :

1) A : « Un homme interrogé au hasard a une taille supérieure ou égale 180 »

2) B : « Un homme interrogé au hasard a une taille strictement inférieure à 150 »

3) C : « Un homme interrogé au hasard a une taille comprise entre 160 et 185 »

Exercice 4 : Déterminer σ connaissant une valeur

Soient X et Z des variables aléatoires suivant respectivement les lois ( )20,N σ et ( )0,1N

1) Montrer que ( )5

0, 5P X P Zσσ

∀ > < = <

2) Donner le réel x tel que ( ) 0.8P Z x< =

Page 6: Cours Loi Normalemathildeboucher.free.fr/wp-content/fichiers/2012/08/T12... · 2013. 5. 22. · NormCD , normalcdf , normCdf , a b P a X b a b a b ≤ ≤ =. On peut donner à a et

3) En déduire la valeur de σ telle que ( )5 0.8P X < =

Exercice 5 : Déterminer µ connaissant une valeur

Soient X et Z des variables aléatoires suivant respectivement les lois ( )2,4N µ et ( )0,1N

1) Montrer que ( )20

, 204

µµ P X P Z

− ∀ ∈ > = >

2) Donner le réel x tel que ( ) 0.01P Z x> =

3) En déduire la valeur de µ telle que ( )20 0.01P X > =

2) Avec une table :

On utilise encore une table de valeurs de la fonction ( ) ( ): où suit la loi 0,1 .x P Z x Z Nπ → < .

Par exemple :

Si X une variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètres 11 et 3.22µ σ= = , pour calculer la

probabilité ( )7 15P X≤ ≤ , on pose 11

3.22

XZ

−= qui suit la loi normale centrée et réduite.

( ) ( ) ( ) ( )

11Comme 7 15 1.24 1.24 1.24 1.24

3.22

7 15 1.24 1.24 1.24 1.24 0.892 0.108 0.78

XX Z

P X P Z

−≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤

≤ ≤ = − ≤ ≤ = Π − Π − = − =

3) Espérance et écart type

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

2

Propriété :

Si est une variable aléatoire qui suit la loi normale , ,

alors et .

Dem : On pose . D'après le cours, la variable suit la loi 0,1 et 0 et 1.

Comme

X N µ

E X V X

X µZ Z N E Z V Z

X

σ

µ σ

σ

= =

−= = =

= ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 22 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

, par linéarité .

On a 2

2 2

car 0 et 1 1 1

Z µ E X E Z µ E Z µ µ

V X E X E X E Z µ µ E Z µ Z µ µ

E Z µ E Z µ µ E Z µ E Z

E Z V Z E Z E Z E Z

σ σ σ

σ σ σ

σ σ σ σ σ σ

+ = + = + =

= − = + − = + + −

= + + − = + =

= = ⇔ − = ⇔ =

A connaitre : ( ) ( )2Si , et 0,1 alorsX N µ Z Nσ∼ ∼

[ ]( ) [ ]( )

[ ]( ) [ ]( )

[ ]( ) [ ]( )

, 1,1 0.683

2 , 2 2,2 0.954

3 , 3 3,3 0.997

P X µ µ P Z

P X µ µ P Z

P X µ µ P Z

σ σ

σ σ

σ σ

∈ − + = ∈ −

∈ − + = ∈ −

∈ − + = ∈ −

Page 7: Cours Loi Normalemathildeboucher.free.fr/wp-content/fichiers/2012/08/T12... · 2013. 5. 22. · NormCD , normalcdf , normCdf , a b P a X b a b a b ≤ ≤ =. On peut donner à a et

( ) ( )2Dem : Si est une variable aléatoire qui suit la loi normale , , alors suit la loi 0,1 .

On a alors : pour .

X µX N µ Z N

µ i µ X µ µ i µµ i X µ i i Z i i

σσ

σ σσ σ

σ σ σ

−=

− − − + −− ≤ ≤ + ⇔ ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ ∈�

Exercice 6 :

On suppose que la glycémie est distribuée normalement dans la population avec une moyenne de 1 g/l et un

écart-type de 0.03 g/l. On mesure la glycémie chez un individu.

1) Calculer la probabilité pour que sa glycémie soit inférieure à 1.06.

2) Calculer la probabilité pour que sa glycémie soit comprise entre 0.94 et 1.08.

3) On mesure la glycémie chez 1000 individus.

Donner le nombre moyen d’individus dont la glycémie est supérieure à 0.99.

4) Donner le taux moyen de la glycémie dans la population.

Exercice 7 :

Une usine utilise une machine automatique pour remplir des flacons contenant un certain produit en poudre.

Par suite de variations aléatoires dans le mécanisme, le poids de poudre par flocon est une variable aléatoire

de loi normale de moyenne m et d’écart type 1.1 mg. Les flacons sont vendus comme contenant 100 mg de

produit.

1) La machine est réglée sur 101.2 mgm = . Quelle est la probabilité que le poids de produit dans un

flacon soit inférieur au poids annoncé de 100 mg ?

2) Donner une valeur approchée de la valeur de m sur laquelle il faut régler la machine pour qu’au plus 4

% des flacons aient un poids inférieur au poids annoncé de 100 mg ?

1ère

méthode : On pourra tracer la courbe de la fonction ( ) ( ),1.1100

N xx P X→ ≤ .

2ème

méthode : On pourra utiliser la démarche de l’exercice 5.

V) Théorème de Moivre-Laplace

1) Convergence de la loi binomiale

] [ ( )

( )

( )

Théorème de Moivre - Laplace :

Pour tous et 0;1 , on considère une variable aléatoire qui suit la loi binomiale , .

et la variable centrée réduite associée.

Alors , , t

n

n n

n

n

n p X B n p

X E XZ

X

a b

σ

∗∈ ∈

−=

∀ ∈

� ( )2

21

els que , on a lim e .2

xb

nan

a b P a Z b dxπ

→+∞< ≤ ≤ = ∫

Application pratique : On considère que la limite dans la théorème de Moivre-Laplace est pratiquement atteinte

lorsqu’on a simultanément ( )30, 5 et 1 5n np n p≥ ≥ − ≥ . C’est-à-dire un échantillon de taille supérieure ou

égale à 30 avec une espérance de posséder ou pas le caractère supérieure ou égale à 5.

Dans ces conditions ( )

( )1

nX np

P a b P a Z bnp p

− ≤ ≤ ≤ ≤ −

� où ( )0,1Z N∼ .

Exemple :

Page 8: Cours Loi Normalemathildeboucher.free.fr/wp-content/fichiers/2012/08/T12... · 2013. 5. 22. · NormCD , normalcdf , normCdf , a b P a X b a b a b ≤ ≤ =. On peut donner à a et

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

18 42 19 41 20 40

Avec 60,0.25 , on a bien : 60 30, 60 0.25 15 5 et 1 60 0.75 45 5.

18 22 18 19 20 21 22

60 60 600.25 0.75 0.25 0.75 0.25 0.75

18 19 20

60

21

X B n np n p

P X P X P X P X P X P X

= ≥ = × = ≥ − = × = ≥

≤ ≤ = = + = + = + = + =

= × × + × × + × ×

+

( ) ( )

( ) ( )

21 39 22 3860

0.25 0.75 0.25 0.75 0.2022

15On a 15 1 60 0.25 0.75 3.35 et 0,1

3.35

18 15 15 18 1518 22 0.89 9.84 0.19

3.35 3.35 3.35

Xnp np p Z N

XP X P P Z

× × + × ×

−= − = × × =

− − + ≤ ≤ = ≤ ≤ = ≤ ≤ =

� ∼

Exercice 8 : (BTS biochimie 1994)

On effectue des contrôles d’alcoolémie d’automobilistes dans une région donnée, un jour donné, pendant une

période horaire donnée. Les statistiques permettent d’établir que la probabilité pour qu’un automobiliste choisi au

hasard dans les conditions précédentes présente un contrôle positif est 1

50. On considère un échantillon de la

population constitué de 2000 automobilistes dont on veut contrôler le taux d’alcoolémie dans les conditions

précédentes. On appelle X la variable aléatoire comptant le nombre de contrôles positifs parmi ces 2000.

1) Quelle loi suit la variable X ? En donner les paramètres. Calculer l’espérance et l’écart type de X.

2) Calculer la probabilité que X soit compris entre 33 et 43.

3) Est-il raisonnable d’utiliser une approximation normale pour calculer cette probabilité ?

Quels sont alors ses paramètres.

4) En utilisant cette loi normale calculer les probabilités ( ) ( )36 et 33 43 .P X P X≥ ≤ ≤

Exercice 9 : (BTS biochimie 1998)

Dans un pays d’Afrique, 15% de la population est atteinte du virus du sida.

Partie A :

La stratégie de dépistage met en place un test biologique qui doit être négatif si la sujet est sain, et positif si le

sujet est contaminé.

La probabilité qu’un test soit positif sachant que le sujet est sain est 0.004.

La probabilité qu’un test soit négatif sachant que le sujet est contaminé est 0.024.

On choisit un individu au hasard dans ce pays.

1) Calculer la probabilité que le test soit positif et l’individu sain.

2) Calculer la probabilité que le test soit négatif et l’individu contaminé.

3) En déduire la probabilité que le résultat soit erroné.

Partie B :

Une campagne de dépistage est mise en place sur un échantillon de 500 personnes prises au hasard dans la

population. On suppose que l’effectif de la population est très grand. On suppose que les risques d’erreur du test

sont négligeables et on admet que la probabilité qu’un test réalisé sur une personne prise au hasard soit positif est

0.15. On appelle X la variable aléatoire qui compte le nombre de tests positifs sur les 500 tests effectués.

1) Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire X ? Calculer son espérance et son écart type.

2) Par quelle loi peut-on approcher la loi définie ci-dessus ?

3) En utilisant cette approximation, calculer la probabilité que plus de 80 individus soient positifs au test.

Exercice 10 :

Un revendeur de téléphones désire s’implanter dans une galerie marchande.

Il estime qu’il pourra vendre 40 appareils par jour et les ventes sont deux à deux indépendantes.

Une étude lui a montré que, parmi les différentes marques disponibles, la marque A réalise 38.6 % du marché.

1) On appelle X la variable aléatoire qui compte le nombre d’appareils de marque A vendus ce jour-là.

2) a) Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale. Préciser ces paramètres.

b) Calculer la probabilité que , sur 40 appareils vendus par jour, 20 soient de marque A.

Calculer l’espérance de X . Calculer l’écart type à 0.1 près.

Page 9: Cours Loi Normalemathildeboucher.free.fr/wp-content/fichiers/2012/08/T12... · 2013. 5. 22. · NormCD , normalcdf , normCdf , a b P a X b a b a b ≤ ≤ =. On peut donner à a et

3) On décide d’approcher cette loi par une loi normale de paramètres µ et σ

a) Expliquer pourquoi 15.44 et 3µ σ= =

b) On note Y la variable aléatoire qui suit la loi normale ( )15.44,3N .

Donner une valeur approchée à 0.01 près de ( )19.5 20.5P Y≤ ≤

c) Déterminer la probabilité de l’événement : « un jour donné, 20 au moins des appareils vendus sont de

marque A ».

d) Déterminer une valeur approchée de l’événement : « un jour donné, le nombres d’appareils de marque A

vendus est compris entre 15 et 25 ».

2) Intervalles de fluctuation

La population

On étudie un caractère dans une population. Chacun des individus possède ce caractère ou pas.

On note p la proportion du caractère dans la population.

L’échantillon

Un échantillon de taille n de cette population est constitué des résultats de n répétitions indépendantes de la même

expérience. On note X la variable aléatoire qui compte de nombre de succès (l’individu possède le caractère).

Cette variable suit une loi binomiale ( ),B n p d’espérance np et d’écart type ( )1np p− .

( )

] [ ( )

Propriété :

Si est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite 0;1 ,

alors pour tout 0,1 , il existe un unique réel tel que 1 .

Z N

u P u Z uα α αα α∈ − ≤ ≤ = −

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

0

Dem :

On définit la fonction sur par 2 .

On rappelle que la fonction est la primitive sous forme intégrale de qui s'annule en 0.

La fonction est donc continue et dér

x

x

g g x P x X x f x dx

x f x dx f

g

+ = − ≤ ≤ =

( )

( )

( ) ( )2

2

ivable de dérivée 2 .

Comme , 0, la fonction est donc strictement croissante.

1La fonction est continue, strictement croissante sur et 0 0 et lim e 1.

2

D'après le

x

x

f x

x f x g

g F g x dxπ

+∞ −+

−∞→+∞

∀ ∈ >

= = =∫

( ) ( )

( )

TVI, comme 1 est compris entre 0 et lim ,

il existe un unique réel tel que 1 .

xF g x

u g uα α

α

α

→+∞

+

∈ = −�

Exemple : Déterminer 0.05 0.011.96 et 2.58u u� �

Avec la calculette :

1ère méthode : On utilise ( ) ( ) ( )1

2 12

P x Z x x xα

α π α π+

− ≤ ≤ = ⇔ × − = ⇔ =

Page 10: Cours Loi Normalemathildeboucher.free.fr/wp-content/fichiers/2012/08/T12... · 2013. 5. 22. · NormCD , normalcdf , normCdf , a b P a X b a b a b ≤ ≤ =. On peut donner à a et

la fonction casio

TI et nspire

InvNormCD

invNorm permet de calculer

1

2

1

2

InvNormCD

invNormx

α

α

+

+

=

2ème méthode : On trace le graphe ( )x P x X x+∈ → − ≤ ≤�

la fonction

casio

TI

TI nspire

NormCD

normalcdf

normCdf

permet de tracer ( )

( )

( )

( )

NormCD ,

normalcdf ,

normCdf ,

x x

P x Z x x x

x x

− ≤ ≤ = −

Exercice 11 :

Si la variable aléatoire X suit la loi normale N(0,1), déterminer 0.10 .u

( )

] [( ) ( )

Propriété : Corollaire du théorème de Moivre-Laplace

Si la variable aléatoire suit une binomiale , , alors la fréquence des succès =

1 1vérifie pour tout 0,1 , lim

n

n n

nn

XX B n p F

n

p p p pP p u F p u

n nα αα

→+∞

− −∈ − ≤ ≤ +

( ) ( )

( ) ( )

1

où vérifie 1 avec 0,1 .

1 1L'intervalle , est appelé intervalle de fluctuation asymptotique de .

n n

u P u Z u Z N

p p p pI p u p u F

n n

α α α

α α

α

α

= −

− ≤ ≤ = −

− − = − +

Démonstration :

( )

( )

( )( ) ( )

( )

( ) ( )( )

Si suit la loi binomiale , alors d'après le théorème de Moivre-Laplace :

lim où 0,1 .

On note :

11

n

n n

nn

n

n

n n n

n

n

X B n p

X E XP u u P u Z u Z N

X

XF

n

X E X X npu u u u u np p np X

X np p

α α α α

α α α α α

σ

σ

→+∞

−− ≤ ≤ = − ≤ ≤

=

− −− ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇔ − − + ≤ ≤

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

1

1 1 1 1

1 1Donc lim lim

1

n n

n n

nn n

n

u np p np

np p np p p p p pp u F p u p p u F p u

n n n n

p p p p X E XP p u F p u P u u

Xn n

P u Z u

α

α α α α

α α α α

α α

σ

α

→+∞ →+∞

− +

− − − −⇔ − ≤ ≤ + + ⇔ − ≤ ≤ +

− − − − ≤ ≤ + = − ≤ ≤

= − ≤ ≤ = −

A connaitre : 0.05 0.011.96 et 2.58u u� �

En pratique : On rappelle que la limite du théorème de Moivre-Laplace est pratiquement atteinte

quand ( )30, 5 et 1 5 .n np n p≥ ≥ − ≥

a) Application pratique : « Intervalles de fluctuations asymptotiques à 95 % » On souhaite, par exemple déterminer les intervalles de fluctuation au seuil 0.95 (c’est-à-dire avec 0.05α = ).

Page 11: Cours Loi Normalemathildeboucher.free.fr/wp-content/fichiers/2012/08/T12... · 2013. 5. 22. · NormCD , normalcdf , normCdf , a b P a X b a b a b ≤ ≤ =. On peut donner à a et

On a vu que 0.05 1.96u � :

( )

( ) ( )

Intervalles de fluctuation au seuil 95 %

Si la variable aléatoire suit une binomiale , ,

1 1alors la fréquence des succès fluctue dans l'intervalle 1.96 , 1.96

avec une pr

n

n n

X B n p

p p p pF I p p

n n

− − = − +

obabilité d'autant plus proche de 0.95 que est grand. n

Exemple :

Si on reprend l’exemple du dé avec 0.5p = , on a ( )30 et 1 30 0.5 15 5n np n p≥ = − = × = ≥ et :

100 1000 4000[0.40,0.60] [0.47,0.53] [0.48,0.52]I I I= = =

La fréquence d’apparition du pile appartient donc à l’intervalle [0.48,0.52]

avec une probabilité proche de

0.95.

b) Version simplifiée (programme de seconde)

( )

] [ 0 0

Si la variable aléatoire suit une binomiale , ,

alors pour tout 0,1 , il existe un entier tel que ,

1 1 fluctue dans l'intervalle , avec une probabilité supérieure à 95 %.

D

n

n

X B n p

p n n n

F p pn n

∈ ∀ ≥

− +

( ) ( )

( ) [ ]

( )

em:

1 1 1 11) Montrons d'abord que 2 , 2 ,

1 En étudiant la fonction 1 sur 0,1 , on montre qu'elle admet un maximum égal à .

4

1 1 On en déduit que 2 et donc

p p p pp p p p

n n n n

x x x

p p

n n

− − − + ⊂ − +

→ −

−≤

( ) ( )

0

l'inclusion.

2) Prenons 2, on calcule alors 0.045.

1 1 D'après le corallaire du Théorème de Moivre-Laplace lim 2 2 0.9545.

Il existe donc un entier tel que dès q

nn

u

p p p pP p F p

n n

n

α α

→+∞

=

− − − ≤ ≤ +

( ) ( )

( ) ( )

0

0.95

1 1ue : 2 2 0.95

1 11 1 Comme 2 2

n

n n

p p p pn n P p F p

n n

p p p pP p F p P p F p

n n n n

− − ≥ − ≤ ≤ + >

− − − ≤ ≤ + ≥ − ≤ ≤ + > .

Exercice 12 : 110 du livre page 407

Un fabricant de diodes électroluminescentes (LED) garantit que la probabilité qu’une diode ne fonctionne

pas vaut au plus 0.03. Pascal s’est fait livrer 5000 diodes. On note X le nombre de diodes défectueuses

parmi les 5000 diodes et F leur fréquence.

1) Quelle est la loi suivie par X ?

2) D’après Moivre-Laplace, dans quel intervalle fluctue F avec une probabilité 0.95 ?

3) En déduire que X fluctue à plus de 95% dans l’intervalle [127,174].

Pascal a constaté que 172 diodes ne fonctionnaient pas dans le lot de 5000 qu’il a commandé.

Il trouve que ce nombre est trop élevé. Peut-il considéré que le lot est « non conforme » ?

4) Quelle est la probabilité pour qu’un lot ne soit pas conforme ?

5) Si le lot de Pascal n’avait contenu aucune diode défectueuse, aurait-il été considéré comme

conforme ?

Page 12: Cours Loi Normalemathildeboucher.free.fr/wp-content/fichiers/2012/08/T12... · 2013. 5. 22. · NormCD , normalcdf , normCdf , a b P a X b a b a b ≤ ≤ =. On peut donner à a et

6) Pascal trouve cette règle de décision absurde, il propose une autre règle : si le lot contient moins de

170 diodes défectueuses, alors il est jugé conforme. Suivant cette nouvelle règle, qu’elle est la

probabilité qu’un lot ne soit pas conforme ?

7) Quelle règle de décision vous parait plus adaptée au problème : celle de fabricant ou celle de Pascal ?

8) Selon sa règle de décision, le lot reçu par Pascal est-il conforme ?

1) Estimation du paramètre p d’une loi B(n,p)

Situation :

Considérons une expérience à deux issues contraires dont on ne connait pas la probabilité p. On désire estimer au

mieux p à partir ne n expériences indépendantes. En notant nX le nombre de succès, il est naturel de proposer

comme estimation n

n

XF

n= . A quel point peut-on se fier à cette estimation ?

( )( )

Propriété :

1 1Lorsque est assez grand en pratique 30, 5 et 1 5 , , 0.95.

1 1On dit que , est un intervalle de confiance à 95 %.

Admis.

n n

n n

n n np n p P p F Fn n

F Fn n

≥ ≥ − ≥ ∈ − + ≥

− +

Exemple :

Lors d’un scrutin électoral, on souhaite connaître la proportion p de français qui voteront pour un candidat « A ».

Un institut de sondages mène une enquête auprès de 1000 personnes tirées au hasard. Le résultat indique de 49%

d’entre-elles voteront pour le candidat « A ».

1) Quelle est la loi suivie par le nombre de personnes votant « A » dans cette enquête ?

2) Etant donné le résultat de l’enquête, donner un intervalle de confiance à 95 % pour la proportion p.

3) Peut-on affirmer d’après l’enquête que le candidat « A » n’aura pas la majorité des votes ?

Exercices résolus 4 et 5 page 390-1

Page 13: Cours Loi Normalemathildeboucher.free.fr/wp-content/fichiers/2012/08/T12... · 2013. 5. 22. · NormCD , normalcdf , normCdf , a b P a X b a b a b ≤ ≤ =. On peut donner à a et

A savoir ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Rappel de seconde :

En seconde, on a vu que pour 1 1

25 et 0.2 0.8, l'intervalle ,n p p pn n

> < < − +

constitue un intervalle de

fluctuation au seuil 95 %.

On veut tester l’hypothèse selon laquelle la pièce est équilibrée, c’est-à-dire que 0.5p = .

On a [ ]4040 et l'intervalle de fluctuation au seuil 95% est donc 0.48,0.52 .n =

La fréquence du pile dans l’échantillon est 2048

0.514040

f = � .

Cette fréquence appartient à l’intervalle de fluctuation, on peut donc accepter l’hypothèse « la pièce est

équilibrée ».

Rappel de première :

En supposant que la pièce est équilibrée, la variable aléatoire X qui dénombre les résultats pile obtenus dans

l’échantillon suit une loi binomiale ( )4040,0.5B .

On a vu en première que l’intervalle de fluctuation à 95% associé à X est l’intervalle 1 2,k k

n n

( )

( )

1

1

est le plus petit des entiers vérifiant 0.025

est le plus grand des entiers vérifiant 0.975

k k P X k

k k P X k

≤ >

≤ ≥

On détermine 1k et

2k en réalisant des simulation sur tableur :

( )LOI.BINOMIALE ; ; ;1Nbsuccès Nbtirages proba=

On obtient

1 21958 et 2082k k= = .

[ ]1958 2082

L'intervalle de fuctuation est donc ; 0.4847;0.51534040 4040

=

.

Ce qui est assez proche des valeurs approchées obtenues en seconde.