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Cours M2 ASTR - module FRS - Commande Robuste Toulouse Dec 2015-F ´ ev 2016 Dimitri PEAUCELLE - LAAS-CNRS - Universit´ e de Toulouse Renseignements pratiques n Enseignant : Dimitri Peaucelle, chercheur au LAAS-CNRS l Contacts : 05 61 33 63 09 - [email protected] l Page web : homepages.laas.fr/peaucell/teaching.php n Organisation du cours l Cours magistral avec supports de cours sur planches : 12h s 9, 9 d ´ ecembre et 5, 6, 12, 13 janvier l TD/TP avec support MATLAB : 13h s 11 d ´ ecembre et 6, 13, 21, 28 janvier l Examen, tous documents autoris ´ es et avec support MATLAB : 2h s 16 f ´ evrier Cours M2 UPS - Commande robuste 1 Dec 2015 - F´ ev 2016, Toulouse

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Cours M2 ASTR - module FRS - Commande Robuste

Toulouse Dec 2015-Fev 2016

Dimitri PEAUCELLE - LAAS-CNRS - Universite de Toulouse

Renseignements pratiques

n Enseignant : Dimitri Peaucelle, chercheur au LAAS-CNRS

l Contacts : 05 61 33 63 09 - [email protected]

l Page web : homepages.laas.fr/peaucell/teaching.php

n Organisation du cours

l Cours magistral avec supports de cours sur planches : 12h

s 9, 9 decembre et 5, 6, 12, 13 janvier

l TD/TP avec support MATLAB : 13h

s 11 decembre et 6, 13, 21, 28 janvier

l Examen, tous documents autorises et avec support MATLAB : 2h

s 16 fevrier

Cours M2 UPS - Commande robuste 1 Dec 2015 - Fev 2016, Toulouse

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Prologue

Robuste ?

Cours M2 UPS - Commande robuste 2 Dec 2015 - Fev 2016, Toulouse

Prologue

n Stabilite robuste - Sur la base du critere de Nyqvist (systemes SISO)

− Σ+ K

l Plus le lieu de Nyquist de G(s) = ⌃(s)K(s) est distant du point �1

plus on peut attendre de robustesse

s Marge de gain : de combien augmenter/diminuer le gain de G(s) sans couper �1

s Marge de phase : de combien augmenter/diminuer la phase de G(s) sans couper �1

s Marge de module : rayon maximal du cercle autour de �1 qui ne coupe pas G(s)

s Marge de module : rayon des cercles en tout point de G(s) qui ne coupent pas �1.

Cours M2 UPS - Commande robuste 3 Dec 2015 - Fev 2016, Toulouse

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Prologue

n Interpretation des “marges” : soit � une incertitude et H(�, s) = �G(s)

1+�G(s)

la FT en BF

s Marge de gain : stabilite de H(�, s) pour tout � 2 [1 , Kg

] ⇢ R

s Marge de phase : stabilite de H(�, s) pour tout � = ej� 2 C : � 2 [0 , m�

]

s Marge de module : stabilite de H(�, s) pour tout � 2 C : |�| KM

n Methodes pour d’autres fonctions H(�, s) ?

l Exemple analyse de la stabilite de y + (1 + �1

)y + (2 + �2

)y = u en fonction de �i

l Exemple de synthese de u = ky pour le meme systeme et |�i

| ¯�

Cours M2 UPS - Commande robuste 4 Dec 2015 - Fev 2016, Toulouse

Prologue

l Exemple avec H(�, s) = 1

D(�,s)

avec

D(�, s) = s4

+ 10s3

+ 10(10 � �1

2

)s2

+ (10 � �2

2

)s + 10(1 � �1

3

+ 5�2

2

)

s Crirtere Routh : stable ssi

100(10 � �1

2

) > 10 � �2

2 > 0 , �1

3 � 5�2

� 1 < 0 ,

100�1

2�2

2 � �2

4

+ 1000�1

3 � 1000�1

� 5980�2

2 > 0

s Inegalites satisfaites pour

(�1

, �2

) = (�1, 1) , (�1, �1) , (1.8, �1) , (1.8, 1)

s Mais pas satisfaites pour (�1

, �2

) = (1.8, 0) , (1, 0)

Cours M2 UPS - Commande robuste 5 Dec 2015 - Fev 2016, Toulouse

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Prologue

l Exemple avec H(�, s) = 1

D(�,s)

avec

D(�, s) = s4

+ 10s3

+ 10(10 � �1

2

)s2

+ (10 � �2

2

)s + 10(1 � �1

3

+ 5�2

2

)

s Valeurs stabilisantes de (�1

, �2

)

−2 −1 0 1 2 3 4−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

s Il ne suffit pas de tester la stabilite des valeurs extremes !

Cours M2 UPS - Commande robuste 6 Dec 2015 - Fev 2016, Toulouse

Prologue

l Exemple avec x = A(�)x, � 2 [0 , 1] et

A(�) = �

2

4

�1 �1

10 �1

3

5

+ (1 � �)

2

4

�1 10

�1 �1

3

5

s Combinaison lineaire convexe de deux sommets stables

A[1]

=

2

4

�1 �1

10 �1

3

5 , A[2]

=

2

4

�1 10

�1 �1

3

5 , �(A[i]

) = �1.0000 ± 3.1623j

Cours M2 UPS - Commande robuste 7 Dec 2015 - Fev 2016, Toulouse

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Prologue

l Exemple avec x = A(�)x, � 2 [0 , 1] et

A(�) = �

2

4

�1 �1

10 �1

3

5

+ (1 � �)

2

4

�1 10

�1 �1

3

5

s Combinaison lineaire convexe de deux sommets stables

A[1]

=

2

4

�1 �1

10 �1

3

5 , A[2]

=

2

4

�1 10

�1 �1

3

5 , �(A[i]

) = �1.0000 ± 3.1623j

s Analyse du centre A(

1

2

) =

1

2

A[1]

+

1

2

A[2]

=

2

4

�1 4.5

4.5 �1

3

5

�(A(

1

2

)) = �5.5 , +3.5

Au moins un des poles est a partie reelles positive = instable.

s En realite stable pour � < 0.1011 ou � > 0.8989

Cours M2 UPS - Commande robuste 8 Dec 2015 - Fev 2016, Toulouse

Prologue

l Theoreme de Kharitonov , ai

ai

ai

independants les uns des autres

D(�, s) = a0

+ a1

s + a2

s2

+ . . . + an

sn

le polynome est stable ssi les quatre polynomes suivants sont stables

a0

+ a1

s + a2

s2

+ a3

s3

+ a4

s4

+ . . .

a0

+ a1

s + a2

s2

+ a3

s3

+ a4

s4

+ . . .

a0

+ a1

s + a2

s2

+ a3

s3

+ a4

s4

+ . . .

a0

+ a1

s + a2

s2

+ a3

s3

+ a4

s4

+ . . .

Cours M2 UPS - Commande robuste 9 Dec 2015 - Fev 2016, Toulouse

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Prologue

s Exemple s4

+ 10s3

+ [100 91.9]s2

+ [10 9]s + [2.71 67.29]

(i.e. |�1

| 0.9 et |�2

| 1 dans ex precedent)

racines(2.71 + 9s + 100s2

+ 10s3

+ s4

) =

0

@

�4.96 ± j8.63

�0.044 ± j0.16

1

A

racines(2.71 + 10s + 100s2

+ 10s3

+ s4

) =

0

@

�4.95 ± j8.63

�0.049 ± j0.16

1

A

racines(67.29 + 10s + 91.9s2

+ 10s3

+ s4

) =

0

@

�4.98 ± j8.12

�0.014 ± j0.86

1

A

racines(67.29 + 9s + 91.9s2

+ 10s3

+ s4

) =

0

@

�4.99 ± j8.13

�0.009 ± j0.86

1

A

s Kharitonov permet de prouver stabilite robuste pour �0.9 �1

0.9, |�2

| 1

s ... mais ne permet pas de prouver stabilite robuste pour �1 �1

0.9, |�2

| 1

n Autres methodes ?

Cours M2 UPS - Commande robuste 10 Dec 2015 - Fev 2016, Toulouse

Introduction

n Commande robuste - Cadre general

l Automatique / Theorie de la commande

l Commande de systemes dynamiques

s Representes par des equations differentielles (systemes a temps continu)

s ou par des equations recurrentes (systemes a temps discret)

l Modeles non-lineaires dans l’espace d’etat8

<

:

x(t) = f(x, u, t)

y(t) = g(x, u, t)ou

8

<

:

xk+1

= f(x, u, k)

yk

= g(x, u, k)

s x : etat du systemes u : commandes du systeme (actionneurs)s y : mesures du systeme (capteurs)

l Modeles lineaires dans l’espace d’etat et matrices de transfert (MIMO)

⌃(s) ⇠

8<

:x(t) = Ax(t) +Bu(t)

y(t) = Cx(t) +Du(t)ou ⌃(z) ⇠

8<

:xk+1 = Ax

k

+Buk

yk

= Cxk

+Duk

Cours M2 UPS - Commande robuste 11 Dec 2015 - Fev 2016, Toulouse

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Introduction

n Systemes dynamiques, exemples

c� AIRBUS S.A.S. - H. Gousse c� ProMinent

c� CNES - ill. D. Ducos HRP-2 Promet @ Astrium - Ariane 5 @ Quanser - 3DOF helico

Cours M2 UPS - Commande robuste 12 Dec 2015 - Fev 2016, Toulouse

Introduction

n Commande robuste - Specificites

l Systemes incertains

s Representations polytopiques et LFT

s Stabilite et performances garanties pour toutes les incertitudes = robuste

l Principalement dans le cadre de modeles lineaires

s Outils mathematiques : matrices, transformees de Laplace, normes, etc.

l Peu de resultats analytiques

s Formules avec contraintes de type inegalites matricielles

s Resolution par outils d’optimisation convexe

l Methodologie relativement generique

s Actuellement repandue au dela du cadre des systemes lineaires

Cours M2 UPS - Commande robuste 13 Dec 2015 - Fev 2016, Toulouse

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Introduction

n Modelisation pour la commande

l Isoler un comportement dynamique

s Decouplage par axes - mouvement longitudinaux/lateraux d’un avion

s Decouplage temporel - incidence/remplissage reservoir d’un lanceur

s Decouplage par modes - rejoindre destination / positionnement precis

s Decouplage frequentiel - echantillonnage, dynamiques composants

l Definir trajectoire/position de reference

s Termes non-lineaires negliges, simplifies ou linearises

s Enonce de performances a atteindre

s Enonce de contraintes a satisfaire

l Tenir compte de meconnaissances

s Tous les phenomenes physiques n’ont pas de description concise

s Parametres varient d’un produit manufacture a l’autre

s Identification de parametres est toujours entachee d’erreur

Cours M2 UPS - Commande robuste 14 Dec 2015 - Fev 2016, Toulouse

Introduction

n Les modeles obtenus

l dependent de parametres ✓

s (mode, etat d’une dynamique lente, trajectoire de reference...)

s connus, choisis ou mesurables (avec une certaine precision)

l dependent d’incertitudes �

s (dynamiques negligees, approximations, meconaissances...)

s inconnus mais bornes, a dynamiques nulles, lentes ou bornees

l sont influences par des perturbations w

s (phenomenes, couplages, frequences negligees... et trajectoire)

s inconnus, avec caracteristiques frequentielles, temporelles, energetiques...

l doivent satisfaire des contraintes sur certaines composantes z

s (performances, validite des hypotheses de modelisation...)

s caracteristiques frequentielles, temporelles, energetiques...

Cours M2 UPS - Commande robuste 15 Dec 2015 - Fev 2016, Toulouse

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Introduction

n Modeles non-lineaires dans l’espace d’etat

⌃(✓, �) :

8

>

>

<

>

>

:

x(t) = f(x, u, t, w, ✓, �)

y(t) = g(x, u, t, w, ✓, �)

z(t) = h(x, u, t, w, ✓, �)

l Etapes de modelisation permettent simplifications

s Decouplage temporel f(x, u, t) �! f(x, u, ✓)

s Linearisation f(x, u, ✓) �! A(�, ✓)x + B(�, ✓)u

avec � bornee sous contraintes sur certaines composantes z de l’etat

s ...

l Exemples

s cos(t)x(t) �! ✓(t)x(t) avec ✓ 2 [�1 1]

s x1

(t)x2

(t) �! �(t)x2

(t) avec � 2 [�1 1] si z = x1

2 [�1 1]

Cours M2 UPS - Commande robuste 16 Dec 2015 - Fev 2016, Toulouse

Introduction

n Typologie de modeles :

l Systeme physique reel - parfois accessible pour experimentation

l Modele physique ideal - pour modelisation mathematique

(Agregat de systemes elementaires)

l Modele mathematique ideal - pour simulation sur calculateurs

(Modele de connaissance obtenu par application des lois de la physique)

l Modele mathematique reduit - pour simulations rapides

(Modele de comportement obtenu par decouplage, linearisation, reduction...)

l Modele reduit incertain - pour analyse robuste, pessimiste

(Modele mathematique reduit, simplifie, souvent LTI)

(erreurs contenues dans incertitudes et specifications de performance)

l Modele reduit nominal - pour la synthese de lois de commande

(Modele sans incertitudes avec un seul critere de performance)

Cours M2 UPS - Commande robuste 17 Dec 2015 - Fev 2016, Toulouse

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Introduction

n Commande classique : synthese pour ✓ = ✓0

fixe, sans incertitudes � = 0

⌃(✓0

, 0) :

8

>

>

<

>

>

:

x(t) = f(x, u, t, w, ✓0

, 0)

y(t) = g(x, u, t, w, ✓0

, 0)

z(t) = h(x, u, t, w, ✓0

, 0)

c

:

8

<

:

⌘(t) = fc

(⌘, y, t)

u(t) = gc

(⌘, y, t)

l Exemple : synthese LQG - min kzk2

sous w bruit blanc gaussien8

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

:

x(t) = A✓0(t)x(t) + B

✓0(t)u(t) + w1

(t)

y(t) = C✓0(t)x(t) + w

2

(t)

z1

(t) = Q1/2

(t)x(t)

z2

(t) = R1/2

(t)u(t)

8

<

:

⌘(t) = (A✓0(t) � L(t)C

✓0(t) � B✓0(t)K(t))⌘(t) + L(t)y(t)

u(t) = �K(t)⌘(t)

Cours M2 UPS - Commande robuste 18 Dec 2015 - Fev 2016, Toulouse

Introduction

n Commande classique : synthese pour ✓ = ✓0

fixe, sans incertitudes � = 0

l Commande en boucle fermee est intrinsequement robuste, mais ...

s Stabilite preservee en reponse a des perturbations non-modelisees, faibles

s Comportement inchange pour petits ecarts de ✓ et �

s Performances fortement degradees pour ecarts moyens

s Risque d’instabilite pour grands ecarts

n Systeme de commande robuste :

Un systeme de commande est dit robuste s’il conserve ses proprietes malgre les incertitudes et

les perturbations affectant le systeme

l Tenir compte des ecarts lors de la conception : Synthese robuste

l Valider robustesse d’une loi de commande : Analyse robuste

Cours M2 UPS - Commande robuste 19 Dec 2015 - Fev 2016, Toulouse

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Introduction

n Exemple

l Systeme physique reel

@ Astrium - Ariane 5

l Modele physique ideal

l Modele mathematique reduit incidence, 1 axe, sans modes flexibles ...

J(t)¨✓(t) = m(t)g sin ✓(t)+LT (t), T = sat(F (s)u(s)), u(t) = kp

(✓r

(t)�✓(t))�kd

˙✓(t).

l Modele reduit LTI incertain en un point de vol Est-il stable ?

✓ =

1

s2 � �m

s· 1

�⌧

s + 1

u, u = kp

✓r

� (kp

+ skd

)✓

Cours M2 UPS - Commande robuste 20 Dec 2015 - Fev 2016, Toulouse

Plan du cours

n 9 decembre, 7h45 : Introduction + Rappels - cours

n 9 decembre, 10h00 : Modeles incertains polytopiques et stabilite - cours

l 11 decembre, 13h30 : Modeles incertains polytopiques - salle TP I1 - petite salle

n 5 janvier, 7h45 : Modeles incertains polytopiques et resultats LMI - cours

l 6 janvier, 7h45 Modeles incertains polytopiques - salle TP I3

n 6 janvier, 10h : Modeles incertains LFT - cours

n 12 janvier, 10h : Theoreme du petit gain - cours

l 13 janvier, 9h : Modeles LFT - salle TP I3

l 13 janvier, 13h30 : µ-analyse - cours

l 21 janvier, 9h : Modelisation d’un probleme de performance robuste - salle TP I3

l 28 janvier, 9h : Synthese robuste et analyse robuste de la boucle fermee - salle TP I3

s 16 fevrier, 10h : Examen - salle TP I3

Cours M2 UPS - Commande robuste 21 Dec 2015 - Fev 2016, Toulouse

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Cours M2 UPS - Commande robuste 22 Dec 2015 - Fev 2016, Toulouse

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Cours M2 UPS - Commande robuste 23 Dec 2015 - Fev 2016, Toulouse