Cours Math Se

8/12/2019 Cours Math Se

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Universit Moulay IsmalUniversit Moulay Ismal

EnseignantEnseignant ChercheurChercheur


2/24



ChapitreChapitre II II


SERIES ENTIERESSERIES ENTIERES


3/24



OnOn appelleappelle sriesrie entireentire dede variablevariable rellerelle x,x, toutetoute sriesrie dedefonctionsfonctions dontdont lele termeterme gnralgnral (U(Unn(x))(x)) estest dede lala formeforme: :

oo (a(a nn)) dsignedsigne uneune suitesuite dede nombresnombres rels,rels, appeleappele coefficientcoefficientdordredordre nn dede lala sriesrie entireentire . .

( ) n n nU x a x====

I. DEFINITIONSI. DEFINITIONSI.1 DfinitionI.1 Dfinition


Une srie entire est note:Une srie entire est note:

SelonSelon cettecette dfinition,dfinition, lala sommesomme partiellepartielle (S(Snn)) dede rangrang nn estest ununpolynmepolynme dede degrdegr nn.. ElleElle constitueconstitue doncdonc uneune gnralisationgnralisation dede lala

notionnotion dede polynmepolynme. .

Pour une valeurPour une valeur x x00 fixe defixe de x x , est une srie numrique, est une srie numrique00

n

nn

a x

=

0

n

n

n x

====


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I.2 Lemme (Lemme dAbel)I.2 Lemme (Lemme dAbel)

Soit une srie entire. On suppose quil existe xSoit une srie entire. On suppose quil existe x 00RR

tel que la suite soit borne. Alors la srie:tel que la suite soit borne. Alors la srie:0

n

n

n

a x

=

( )0nn

na x

n


est absolument convergente pour |x|0 tel que nnNN( )0nn na x

0.n

na x M R2. |x| > R diverge.diverge.

3. |x| = R est le cas douteux o on ne peut rien dire sur la3. |x| = R est le cas douteux o on ne peut rien dire sur lanature de la srie.nature de la srie.

0

n

nn

a x

=


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10/24



11.. PourPour

0

n

nn

a x

=

CeciCeci impliqueimplique: :

LaLa sriesrie estest absolumentabsolument convergenteconvergente. .

11 L x x

L<

DoncDonc::

estest lele rayonrayon dede convergenceconvergence dede lala sriesrie..


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ExerciceExercice: :

TrouverTrouver lele rayonrayon dede convergenceconvergence desdes sriessries suivantessuivantes: :

0 !

n

n

xn

=

11..


22..

33..

21

n

n

xn

=

1 2

n

nn

x

=


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III.1 Continuit de la fonction sommeIII.1 Continuit de la fonction somme

0

n

nn a x

=Soit une srie entire de rayon de convergence RSoit une srie entire de rayon de convergence Ret soitet soit S(x)S(x) la fonction somme de cette srie dfinie par:la fonction somme de cette srie dfinie par:

III. PropritsIII. Proprits des sries entiresdes sries entires


SS est alors une application continue sur lintervalle deest alors une application continue sur lintervalle de

convergence I = ]convergence I = ]- -R,R[.R,R[.

( ) lim ( )nnS x S x=


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III.2 DrivationIII.2 Drivation dune srie entiredune srie entiren

na x

UneUne sriesrie entireentire peutpeut--tretre drivedrive ouou primitive,primitive, termeterme terme,terme,dansdans touttout intervalleintervalle contenucontenu dansdans lintervallelintervalle dede convergenceconvergence dedelala sriesrie..


et soit S(x) sa fonction somme dfinie par:et soit S(x) sa fonction somme dfinie par:

Alors S est drivable sur I = ]Alors S est drivable sur I = ]- -R, +R[ et on a:R, +R[ et on a:

0n=

0

( )n

nn

S x a x

=

=

1'

1

( )n

nn

S x n a x

=

=


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III.3 IntgrationIII.3 Intgration dune srie entiredune srie entire

0

n

n

n

a x

=

Soit une srie entire de rayon de convergence RSoit une srie entire de rayon de convergence Ret soit S(x) sa fonction somme dfinie par:et soit S(x) sa fonction somme dfinie par:

n


on considre la fonction F: I = ]on considre la fonction F: I = ]- -R, +R[R, +R[ |R|R dfinie par:dfinie par:

Alors F(x) = S(x)Alors F(x) = S(x) xx I = ]I = ]--R, +R[ .R, +R[ .

0n

n x a x== ,

x +

1

0

( )1

nn

n

aF x xn

+

=

=+


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sisi0

( )n

nn

S x a x

=

= RemarqueRemarque

avec aavec a nn |R et|R et xx I = ]I = ]--R, +R[ , alors:R, +R[ , alors:


0 0 00 0

( ) n n x x xn nn n

S t dt a t dt a t dt

= =

= =

11

0 11n n

n n

n n

a a x xn n

+

= == =+

xx ]]--R, +R[ .R, +R[ .


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IV.IV. Oprations sur les sries entiresOprations sur les sries entires

n

na x

Soit et deux sries entires a antSoit et deux sries entires a antn

nb x

Les sries entires de coefficients aLes sries entires de coefficients a nn etet aa nn ont le mmeont le mmerayon de convergence.rayon de convergence.

IV.2 Somme de deux sries entiresIV.2 Somme de deux sries entires

IV.1 Multiplication dune srie entire par un scalaireIV.1 Multiplication dune srie entire par un scalaire


0n =

respectivement Rrespectivement R 11 et Ret R 22 comme rayon de convergence. Alorscomme rayon de convergence. Alors lele

rayon de convergence R de la srie est: rayon de convergence R de la srie est:

1. si R1. si R 11 RR 22,,

2. R R, si R2. R R, si R 11 = R= R 22 = R= R

''1 2m in ( , ) R R R=

0n =

( )0

n

n nn

a b x

=

+


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ExempleExemple

Soient les deux sriesSoient les deux sries

Les deux sries ont pour rayon de convergence R = 1. Par contreLes deux sries ont pour rayon de convergence R = 1. Par contre

0( )

n

n f x x

== 0

1 2

( ) 2

nn

nng x x

=

=

etet


a pour rayon de convergence R = 2.a pour rayon de convergence R = 2.

0

1( )( )

2

n

nn

f g x x

=

+ =


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V. Dveloppement dune fonction en srie entireV. Dveloppement dune fonction en srie entire

SoitSoit f f uneune fonctionfonction rellerelle dede lala variablevariable rellerelle dfiniedfinie dansdans unun

voisinagevoisinage dede 00.. OnOn ditdit queque f f estest dveloppabledveloppable enen sriesrie entireentireautourautour dede 00 silsil existeexiste uneune sriesrie entireentire rellerelle dede rayonrayon dedeconvergenceconvergence RR nonnon nulnul etet unun relrel strictementstrictement positif positif rr teltel queque::

V.1 DfinitionV.1 Dfinition


0( )

n

nn

f x a x=

= ] [, x r r +V.2 PropositionV.2 Proposition

PourPour quunequune fonctionfonction f f soitsoit dveloppabledveloppable enen sriesrie entireentire auau

voisinagevoisinage dundun pointpoint xx00 |R,|R, ilil estest ncessairencessaire quellequelle soitsoit dede classeclasseCC dansdans unun voisinagevoisinage ]x]x00-- , , xx00+ [+ [ dede xx00 etet dansdans cece cascas onon aa::

( )( )

00

0

( )( )

!

nn

n

f x f x x x

n

=

= ] [, x r r +


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V.3 PropositionV.3 PropositionSoitSoit f f :: ]r,]r, r[r[ |R|R uneune applicationapplication dede classeclasse CC dansdans ununvoisinagevoisinage dede 00.. OnOn supposesuppose quilquil existeexiste MM >> 00 teltel queque pourpour touttoutnn NN ,, etet pourpour touttout xx ]] r,r, r[,r[,

( ) ( )n f x M


Alors la srieAlors la srie

est simplement convergente dans ]r, r[ et on a:est simplement convergente dans ]r, r[ et on a:

( )

0

(0)!

n n

n

f xn

=

( )

0

(0)( )

!

nn

n

f f x x

n

=

= ] [, x r r +


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Preuve:Preuve:En effet, si:En effet, si:

0

( ) nnn

f x a x

=

= Par application de la proposition prcdente on a :Par application de la proposition prcdente on a :

' 1n x na x

=


1

n

n =

( ) ( ) ( 1)( 2).......( 1)k n k nn k

f x n n n n k a x

=

= +

De cette expression, il rsulte queDe cette expression, il rsulte que ( ) (0) !k k f a k =

Cest dire que:Cest dire que:( ) (0)

!

k

k

f a

k =


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1

1

ln (1 ) ( 1)n

n

n

x xn

+

=

+ =

0 !

n x

n

xe

n

=

=

1 n

=

Intervalle de convergence ]Intervalle de convergence ]- - ,, [[

Intervalle de convergence ]Intervalle de convergence ]- -1, 1[1, 1[

Intervalle de conver enceIntervalle de conver ence - -1 11 1

Quelques sries entires connatreQuelques sries entires connatre


01 n x =

1

(1 ) 1 ( 1)...( 1)!

n

n

x x n

n

=

+ = + + Intervalle de convergence ]Intervalle de convergence ]- -1, 1[1, 1[2 1

0

sin( )(2 1)!

n

n

x xn

+

=

=+ Intervalle de convergence ]Intervalle de convergence ]- - ,, [[

2

0

cos( ) ( 1)(2 ) !

nn

n

x x

n

=

= Intervalle de convergence ]Intervalle de convergence ]- - ,, [[


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FINFIN


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