90
D(Ω) C (Ω) D(Ω) D(Ω) D 0 (Ω) D 0 (Ω) D 0 (Ω) δ a a δ 0 δ 0 D(R) ˇ T C δ a C 1 (R) C 0 (R) C 1 (R) C 0 (R) C 1 (R) T 0 =0 Log|x| E 0 (Ω) Ω max (T ) supp(T ) E 0 (Ω) suppsing(T ) C (Ω) E 0 (Ω) xT =0 T = 0

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Notes du cours d'Équations aux Dérivées Partielles de l'ISIMA, deuxième annéehttp://www.isima.fr/leborgne

Introduction à la théorie des DistributionsGilles Leborgne

8 mars 2006

Table des matières1 Premières dénitions et propriétés des distributions 4

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 L'espace D(Ω) des fonctions C∞(Ω) à support compact . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2 Convergence dans D(Ω) (au sens de D(Ω)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 L'espace D′(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.1 Dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.3 Remarque pour la notation intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.4 L'espace vectoriel D′(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.5 Convergence (faible) dans D′(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Masses de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.1 Masse de Dirac δa en a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.2 δ0 comme limite de fonctions portes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.3 δ0 comme limite de fonctions de D(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 Dénitions d'opérations élémentaires sur les distributions . . . . . . . . . . . . . . 101.5.1 Translation (changement d'origine) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5.2 Transposition et notation T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5.3 Changement d'unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5.4 `Multiplication' : par une fonction C∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5.5 Application : δa est un élément absorbant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6 Dérivation des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6.1 Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6.2 Linéarité de la dérivation et passage à la limite . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.7 Exemples de dérivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7.1 Fonction C1(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7.2 Fonction C0(R), et C1(R) par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7.3 Fonction C0(R) par morceaux et C1(R) par morceaux . . . . . . . . . . . . 141.7.4 Masse de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.7.5 Dérivation d'ordre 1 d'un produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.7.6 Formule de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.7.7 Dérivations successives d'une fonction tronquée . . . . . . . . . . . . . . . . 161.7.8 Résolution de T ′ = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.7.9 Dérivation de Log|x| et valeur principale de Cauchy . . . . . . . . . . . . . 18

2 Distribution à support borné, E ′(Ω) 192.1 Support d'une distribution, distribution à support compact . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.1 Ωmax(T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1.2 supp(T ) et E ′(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.3 suppsing(T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Dual de C∞(Ω) : E ′(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3 Application : xT = 0 implique T = cδ0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4 Généralisation de la dénition : supports compatibles . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Dérivation et intégration sous le crochet 24

Page 2: Cours Maths

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4 Produit tensoriel de distributions : théorème de Fubini 264.1 Théorème de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5 Produit de convolution de fonctions 295.1 Rappel formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.1.1 Dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.1.2 Dans Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.2 Dénition et cas L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.3 Cas de g ∈ D(Ω) : régularisation C∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.4 Suite régularisante ou approximation de l'identité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.5 Régularisation C∞ d'une fonction en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6 Produit de convolution de distributions 336.1 Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

6.1.1 Dénition formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.1.2 Domaines de dénition : supports convolables . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.1.3 Application : convolution de fonctions L1

loc(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.2 Régularisation C∞ des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6.2.1 Régularisation C∞ des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.2.2 Densité de D(Ω) dans D′(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6.3 Convolution d'une fonction par une distribution à support compact . . . . . . . . . 376.3.1 Convolution par 1 et par des polynômes d'une distribution à support compact 376.3.2 Autre exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6.4 Masses de Dirac et convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.4.1 Elément unitaire : masse de Dirac δ0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.4.2 Translation : masse de Dirac δa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.4.3 Dérivation : dérivée de Dirac δ′0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.4.4 Fonctions de Heaviside et H0e

λx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

7 Transformée de Fourier 397.1 Transformation de Fourier de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

7.1.1 Série de Fourier d'une fonction périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407.1.2 Introduction à la transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417.1.3 Premières propriétés de la transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 427.1.4 Notation F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.1.5 Notations, dérivation et produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

7.2 Transformée de Fourier dans S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457.2.1 Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457.2.2 F(S) ⊂ S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467.2.3 Topologie sur S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477.2.4 F : S → S est continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477.2.5 Densité de D(R) dans S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7.3 Les Gaussiennes et l'égalité de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487.3.1 Étalement ou concentration par Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487.3.2 Conservation des gaussiennes par Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497.3.3 Égalité de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497.3.4 Application : relations d'incertitude d'Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . 50

7.4 Espace S ′ des distributions tempérées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517.4.1 Dénition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517.4.2 Convergence dans S ′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527.4.3 Convergence pour les gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7.5 Transformée inverse dans S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547.6 Transformée de Fourier d'une distribution tempérée . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7.6.1 Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557.6.2 F(S ′) ⊂ S ′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557.6.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557.6.4 Transformée de Fourier de δ0 et de δa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567.6.5 Transformée de Fourier de 1R et de e±ixξ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

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7.6.6 Exercice : transformée de Fourier d'une distribution à support compact . . 577.7 Transformée inverse dans S ′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587.8 Transformée de Fourier dans L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587.9 Échange du produit simple et du produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.9.1 Échange dans le cas des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597.9.2 Préliminaire : convergence et densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597.9.3 Échange dans le cas des distributions tempérées . . . . . . . . . . . . . . . . 60

8 Résolution d'équations diérentielles 628.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628.2 Algèbre de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

8.2.1 Convolution de plusieurs distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628.2.2 Algèbres de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

8.3 Équations de convolution et solution élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648.3.1 Solution élémentaire dans une algèbre de convolution . . . . . . . . . . . . . 648.3.2 Contre-exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

8.4 Équations diérentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658.4.1 Calcul d'une solution élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658.4.2 Remarque : dérivation comme inverse de l'intégration dans D′(R)+ . . . . . 678.4.3 Solution générale au sens des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678.4.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

8.5 Calcul symbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698.5.1 Produit d'inverses de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708.5.2 Application : Décomposition en facteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708.5.3 Résumé et notations symboliques pour le calcul de E = H0w . . . . . . . . 718.5.4 Application : calcul symbolique de Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

9 Transformée de Laplace 739.1 Dénitions et holomorphie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

9.1.1 Cas des fonctions et holomorphie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739.1.2 Cas des distributions et holomorphie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

9.2 Dérivées et translations, exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759.3 Inversion de la Transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769.4 Transformée de Laplace et convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769.5 Retour sur le calcul symbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

10 Résolution d'équations aux dérivées partielles 7810.1 Partition de l'unité, Formules de Stokes et de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

10.1.1 Partition de l'unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7810.1.2 Domaine régulier, élément de surface et normale extérieure . . . . . . . . . 7810.1.3 Formule de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8010.1.4 Intégration par parties et formule de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

10.2 Formule des sauts dans l'espace et formule de Rankine-Hugoniot . . . . . . . . . . 8210.2.1 Formule des sauts dans l'espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8210.2.2 Formule de Rankine-Hugoniot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

10.3 Équations aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8310.3.1 Existence et unicité dans E ′(Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8310.3.2 Équation de Laplace dans R3 : distributions et fonctions harmoniques . . . 8410.3.3 Équation de Poisson dans R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8510.3.4 Principe du maximum et fonctions harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . 8510.3.5 Retour à l'équation de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

A Annexe : topologie de D(Ω) et ordre d'une distribution 86A.1 * topologie de D(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86A.2 * Ordre d'une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

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1 Premières dénitions et propriétés des distributions1.1 Introduction

Les distributions généralisent la notion de fonction et permettent de faire et justier des calculssans ambiguité. En particulier, on introduit la masse de Dirac δa, ou mesure de Dirac, comme étantl'opérateur qui agit sur les fonctions f qui sont continues en a ∈ R :

δa(f) = f(a). (1.1)

On rappelle qu'un objet de densité ρ : [a, b] → R, où ρ ∈ L1([a, b]), a sa masse donnée parM =

∫ b

aρ(x) dx. Mais cette formule n'est pas applicable pour un objet ponctuel de masse unité :

on aurait, si cet objet placé en a pouvait être représenté par une densité ρ : 1 = M =∫ a

aρ(x) dx = 0,

ce qui est absurde. Donc une masse ponctuelle ne peut pas être mesurée par une fonction (densité).Ce sera la mesure (masse) de Dirac qui permettra de mesurer la masse d'un objet ponctuel.

La théorie des distributions permettra de faire des calculs systématiques quand il s'agira decalculer des valeurs (masse d'un objet ponctuel, charge électrique ponctuelle, distribution de chargesélectriques...) non calculables de manière classique, ainsi que de dérivées des fonctions qui ne sontmêmes pas continues : la dérivation ne sera pas une dérivation au sens des fonctions mais unedérivation généralisée (au sens des distributions).

Notez que toutes les formules qu'on va établir pour les distributions devront être valides pourles fonctions. On dit d'ailleurs que les distributions sont des fonctions généralisées.

1.2 L'espace D(Ω) des fonctions C∞(Ω) à support compactOn se donne un ouvert Ω de Rn (éventuellement Rn tout entier), pour n ≥ 1. On se placera le

plus souvent dans Ω ⊂ R pour simplier la présentation.

1.2.1 DénitionsSi f : Ω → R est une fonction de L1(Ω) (à valeurs réelles), on appelle support de f le fermé :

supp(f) = adhérence de ~x ∈ Ω : f(~x) 6= 0, (1.2)

i.e., le plus petit fermé sur lequel f(x) 6= 0. C'est donc l'ensemble des points où il est intéressantd'étudier f (ailleurs f est identiquement nulle).

Par exemple dans R, la fonction de Heaviside H0 = 1[0,∞[ a pour support R+ (elle est nullesur R∗−). Et la fonction x → x1]−1,1] a pour support [−1, +1], faire le dessin.

On note D(Ω) l'espace des fonctions réelles ϕ ∈ C∞(Ω,R) = C∞(Ω) à support compact (ferméet borné) :

D(Ω) = ϕ ∈ C∞(Ω) : supp(ϕ) ⊂ Ω, supp(ϕ) compact. (1.3)En particulier, une fonction ϕ ∈ D(Ω) sera nulle dans un voisinage du bord de Ω, puisque supp(ϕ)est un fermé de Ω ouvert. D(Ω) est aussi appelé l'espace des fonctions inniments lisses à supportcompact (appellation anglophone `innitly smooth').

Remarque 1.1 Si on se place dans un compact K de Rn, on a tout simplement :

K compact ⇒ D(K) = C∞(K), (1.4)

puisque les fonctions de C∞(K) sont C∞ et à support compact. On ne considèrera pas ce cas : onverra qu'il faudra considérer D(Ω) avec Ω ouvert pour ne pas avoir de problème avec le bord de Ω,les fonctions de D(Ω) étant identiquement nulles dans un voisinage ouvert du bord de Ω.

Exemple 1.2 L'espace D(R) n'est pas vide. Par exemple la fonction :

ζ(x) =

exp(− 11− x2

), ∀x ∈]− 1, 1[,

0, ∀x 6∈]− 1, 1[,(1.5)

dont le support est [−1, 1] appartient à D(] − 2, 2[). On a également ζ ∈ D(] − 1 − ε, 1 + ε[) pourtout ε > 0.

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Page 5: Cours Maths

5 1.2. L'espace D(Ω) des fonctions C∞(Ω) à support compact

Exemple 1.3 Plus généralement, on note :

ζab(x) =

exp(−12(

1b− x

− 1a− x

), ∀x ∈]a, b[,

0, ∀x 6∈]a, b[,(1.6)

fonctions C∞(R) dont le support est [a, b] et qui appartiennent à D(]a−ε, b+ε[) pour tout ε > 0.

Exemple 1.4 Et dans Rn, considérer :

ζ(~x) = exp(− 11− |~x|2 ), (1.7)

si ~x est dans la boule unité, et 0 sinon.

Exemple 1.5 Pour f ∈ L1(Ω) à support borné dans R (ou dans Rn avec intégrales multiples), siϕ ∈ D(Ω), la fonction convolée

ψ(x) = (f ∗ ϕ)(x) =∫

Rf(t)ϕ(x− t) dt (=

Rf(x− t)ϕ(t) dt) (1.8)

est une fonction de D(Ω). En eet, ψ est à suport borné inclu dans supp(f)⋃

supp(ϕ). Et elle estC∞(R) comme l'application du théorème de la convergence dominée de Lebesgue le montre, puisquepresque tout t ∈ R, x → f(t)ϕ(x − t) est Ck (en x), et | ∂k

∂xk (f(t)ϕ(x − t))| ≤ supR |ϕ(k)(t)|f(t)intégrable (indépendamment de x). On aura même D(Ω) dense dans L1(Ω).

Exemple 1.6 (Régularisation) On considère la fonction, pour n ≥ 1 :

γn(x) =ζ(nx)∫

R ζ(nx) dx(donc supp(γn) = [− 1

n,1n

] et∫

γn = 1). (1.9)

Montrer que la fonction : ϕ = γn ∗ 1]a,b[ est dans D(]a− 2n , b + 2

n [), est positive, et vaut 1 sur ]a, b[.Cette fonction est une régularisée de la fonction discontinue 1]a,b[. Faire le dessin.

Exercice 1.7 Montrer que si f et g sont deux fonctions, alors supp(fg) ⊂ suppf⋂

suppg.(Et, par exemple, si f = 1R∗+ et g = 1R− alors fg = 0 et donc supp(fg) = ∅, alors que

suppf = R+ et suppg = R− d'où suppf⋂

suppg = 0, et l'inclusion supp(fg) ⊂ suppf⋂

suppgest stricte.)

1.2.2 Convergence dans D(Ω) (au sens de D(Ω))Dénition 1.8 On dit qu'une suite (ϕn)n∈N de D(Ω) converge vers ϕ ∈ D(Ω) ssi :

∃K ⊂ Ω, K compact, tel que : 1) ∀n ∈ N, supp(ϕn) ⊂ K,

2) ∀i ∈ N, supK|∂iϕn(x)− ∂iϕ(x)| −→

n→∞0.

(1.10)

Donc les ϕn ont toutes un support inclu dans un compact commun K, et elles convergent unifor-mément ainsi que toutes leurs dérivées vers ϕ (qui a donc son support inclus dans K).

Remarque 1.9 Cette notion de convergence sera susante un `certain temps' : elle donnera lacontinuité des distributions comme limite : si ϕj −→

j→∞ϕ au sens de la convergence (1.10), alors

T : D(Ω) → R sera un opérateur continu si T (ϕj) −→j→∞

T (ϕ) dans R.Par contre, pour certaines propriétés des distributions à support compact, on aura besoin de

regarder la topologie de D(Ω) (ses ouverts). Cette topologie est celle d'un espace métrique nonnormé (il n'y a pas de norme sur D(Ω) associée à la distance), et sera rapidement décrite quandon abordera les distributions à support compact.

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Page 6: Cours Maths

6 1.3. L'espace D′(Ω)

1.3 L'espace D′(Ω)

1.3.1 DénitionsDénition 1.10 On appelle distribution T tout élément de L(D(Ω),R) = D′(Ω) ensemble desformes linéaires continues sur D(Ω). I.e., toute fonctionnelle T : D(Ω) → R telle que :

1. pour tout ϕ,ψ ∈ D(Ω) et tout λ ∈ R :

T (ϕ + λψ) = T (ϕ) + λT (ψ) (linéarité), (1.11)

2. si (ϕn)n∈N est une suite de fonctions de D(Ω) qui converge vers ϕ ∈ D(Ω) (au sens de D(Ω)voir (1.10)), alors :

|T (ϕn)− T (ϕ)| −→n→∞

0 dans R (continuité), (1.12)

soit encore limn→∞

T (ϕn) = T ( limn→∞

ϕn) (dans R).

L'ensemble D′(Ω) (dual topologique de D(Ω)) est appelé espace des distributions sur Ω.

Remarque 1.11 Donc, par dénition de la continuité de T , on peut passer à la limite sous ladistribution T :

limn→∞

T (ϕn) = T ( limn→∞

ϕn) (= T (ϕ)). (1.13)

dès que (ϕn) est une suite de D(Ω) qui converge vers ϕ ∈ D(Ω) au sens de D(Ω).

Notation : La linéarité fait qu'on emploie le crochet de dualité :

T (ϕ) = 〈T, ϕ〉, ∀ϕ ∈ D(Ω), (1.14)

ou la notation intégrale :T (ϕ) =

∫Tϕ. (1.15)

Et la continuité de T fait qu'on peut passer à la limite sous le crochet :

limn→∞

〈T, ϕn〉 = 〈T, limn→∞

ϕn〉 (= 〈T, ϕ〉), (1.16)

ou qu'on peut passer à la limite sous le signe∫:

limn→∞

∫Tϕn =

∫T lim

n→∞ϕn (=

∫Tϕ), (1.17)

dès que (ϕn) est une suite convergente dans D(Ω) (i.e. convergente au sens de D(Ω)).

1.3.2 ExemplesDénition 1.12 On appelle L1

loc(R) l'espace des fonctions f qui sont localement intégrables sur R,i.e., l'ensemble des f intégrables sur tout compact K de R, i.e. t.q.

K

|f | dx < ∞ pour toutcompact K de R. En particulier, toute fonction intégrable est localement intégrable, et doncL1

loc(R) ⊃ L1(R), mais L1loc(R) 6⊂ L1(R) : par exemple la fonction 1R est L1

loc(R) sans êtredans L1(R).

Dénition 1.13 Soit f ∈ L1loc(R). On appelle distribution régulière T = Tf associée à f : la

distribution dénie par :

∀ϕ ∈ D(Ω) 〈Tf , ϕ〉 déf=∫

Rf(x)ϕ(x) dx. (1.18)

On vérie que Tf ainsi dénie est bien une distribution. On identie dans ce cas Tf et f , et onpourra noter 〈Tf , ϕ〉 = 〈f, ϕ〉.

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Page 7: Cours Maths

7 1.3. L'espace D′(Ω)

Exemple 1.14 La fonction constante f = 1R dénit une distribution régulière qui à une fonction ϕassocie son `aire sous la courbe' T1R(ϕ) =

∫R ϕ(x) dx.

Et pour une fonction f ∈ L1loc(R), Tf (ϕ) =

∫R ϕ(x) (f(x)dx) associe à ϕ son aire pondérée par

la densité dm = f(x)dx (une densité massique quand f est une fonction positive).Exemple 1.15 La fonction x → 1

x ne dénit pas une distribution sur R. Mais sa restrictionà ]0,∞[ dénit une distribution régulière dans D′(]0,∞[).Exemple 1.16 Le produit de deux distributions ne dénit pas forcément une distribution : Lafonction x → 1√

|x| dénit une distribution sur R (elle est dans L1loc(R)) alors que son produit par

elle-même ne dénit pas une distribution sur R.Exemple 1.17 La masse de Dirac δa dénie sur D(R) par :

δa(ϕ) déf= ϕ(a)

est une distribution. En eet la linéarité est immédiate, et si ϕn → ϕ dans D(Ω), alors en particulierϕn(a) → ϕ(a) (car supx∈R |ϕn(x)− ϕ(x)| → 0). Donc δa est continue.

Mais ce n'est pas une distribution régulière : si elle l'était, il existerait f ∈ L1loc(R) telle δa(ϕ) =∫

R f(x)ϕ(x) dx pour tout ϕ ∈ D(R), et en particulier pour tout ϕ ∈ D(R−a) on aurait δa(ϕ) =ϕ(a) = 0 =

∫R f(x)ϕ(x) dx. Et donc f = 0 presque partout (pour la mesure de Lebesgue). D'où

δa = 0. Ce qui est faux, puisque δa(ζ) = e−1 6= 0 (avec ζ donné en (1.5)).Exemple 1.18 Le peigne de Dirac

∑k∈Z δk ∈ D′(R) dénit une distribution. Le vérier. Mais ce

n'est pas une distribution régulière.Exemple 1.19 La dérivée de la masse de Dirac δ′a, dénie par 〈δ′a, ϕ〉 = −ϕ′(a) pour tout ϕ ∈D(R), est une distribution. De même que toutes les dérivées de la masse de Dirac dénies sur D(R)par :

〈δ(k)a , ϕ〉 déf= (−1)kϕ(k)(a).

Le vérier. Mais ce ne sont pas des distributions régulières.

Exemple 1.20 La fonctionnelle∑n

k=0 δ(k)0 dénit une distribution pour n ∈ N.

Par contre la fonctionnelle∑∞

k=1 δ(k)0 ne dénit pas de distribution : considérer une fonction

ϕ ∈ D(R) qui vaut e−x au voisinage de 0 et pour laquelle 〈∑∞k=1 δ

(k)0 , ϕ〉 =

∑∞1 1 = ∞ 6∈ R.

(On pourra prendre par exemple ϕ(x) = e−x(γ1 ∗ 1[−2,2])(x) où γ1 ∗ 1[−2,2] est la régularisée de lafonction 1[−2,2], voir exemple 1.6.)

Exemple 1.21 la fonctionnelle∑∞

k=1 δ(k)k dénit une distribution. Le vérier.

Exemple 1.22 Dans Rn la masse de Dirac en ~0 donne ici 〈δ~0, ϕ〉 = ϕ(~0) et au point ~a ∈ Rn :〈δ~a, ϕ〉 = ϕ(~a). On vérie que ce sont bien des distributions sur D(Rn).Exemple 1.23 Dans Rn, le moment d'inertie par rapport à ~x0 d'une distribution à support com-pact est déni par :

I(~x0) = 〈T, ||~x− ~x0||2〉. (1.19)Si T = Tf est une distribution associée à une fonction f à support borné K, le moment d'inertiepar rapport à ~0 vaut :

I(~0) =∫

K

f(~x) r2 dx, (1.20)

où r = ||~x||. Et si T = δ~a, alors I(~a) = ||~a||2.Exemple 1.24 Si T = Tf est une distribution régulière avec f ∈ L1(Rn) de support excluant ~0,i.e. f = 0 dans un voisinage de ~0, le potentiel Newtonien est déni au point ~x0 par :

U(~x0) = 〈Tf ,1

||~x0 − ~x|| 〉 =∫

~x∈Rn

f(~x)||~x0 − ~x|| dΩ. (1.21)

Et pour la masse de Dirac δ~a de support compact ~a il est déni par :

U(~x0) = 〈δ~a,1

||~x0 − ~x|| 〉 =1

||~x0 − ~a|| , (1.22)

pour ~x0 6= ~a.

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Page 8: Cours Maths

8 1.3. L'espace D′(Ω)

1.3.3 Remarque pour la notation intégraleLa propriété de linéarité de T fait qu'on peut utiliser formellement le signe de l'intégration :

T (ϕ) = 〈T, ϕ〉 =∫

T ϕ = 〈T (x), ϕ(x)〉 =∫

T (x)ϕ(x) dx. (1.23)

Mais attention, ce n'est qu'une notation formelle. En particulier T (x) ne veut rien dire puisqueseul T (ϕ) a un sens : le domaine de dénition de T est l'ensemble des fonctions D(Ω) et non unensemble de points.

Par exemple, δ0(x) n'a aucun sens puisque δ0 n'est pas une fonction. C'est δ0(ϕ) pour unefonction ϕ qui a un sens. Par contre l'écriture abusive δ0(x) utilisée dans l'expression 〈δ0(x), ϕ(x)〉permettra d'alléger les notations lorsque ϕ sera une fonction paramétrée, x jouant alors le rôle dela variable `muette' d'intégration.

Ainsi on aura 〈δ0(x), ϕ(x, y)〉 = ϕ(x, y)|x=0 = ϕ(0, y) alors que 〈δ0(y), ϕ(x, y)〉 = ϕ(x, y)|y=0 =

ϕ(x, 0). Pour être rigoureux, on aurait d'abord dû dénir les fonctions ϕy : x → ϕy(x) déf= ϕ(x, y)

et ϕx : y → ϕx(y) déf= ϕ(x, y) et écrire 〈δ0, ϕy〉(= ϕy(0) = ϕ(0, y)) dans le premier cas, et 〈δ0, ϕx〉(=ϕx(0) = ϕ(x, 0)) dans le second cas.

1.3.4 L'espace vectoriel D′(Ω)

On dénit dans D′(Ω) les opérations d'addition et de multiplication par un réel : pour deuxdistributions S et T et un réel λ ∈ R, les distributions (S + T ) et (λT ) sont dénies par :

〈S + T, ϕ〉 déf= 〈S, ϕ〉+ 〈T, ϕ〉, ∀ϕ ∈ D(R)

〈λT, ϕ〉 déf= λ〈T, ϕ〉, ∀ϕ ∈ D(R)(1.24)

On vérie que les fonctionnelles (S + T ) et (λT ) ainsi dénies sont bien des distributions. EtD′(Ω) = (D′(Ω), +, .), espace D′(Ω) muni des opérations + (addition interne) et . (multiplicationexterne), est ainsi un espace vectoriel.

Exemple 1.25 Montrez que si T = Tf et T = Tg sont deux distributions régulières, alors Tf +λTg = Tf+λg (l'intégrale est linéaire).

Remarque 1.26 L'addition de deux fonctions et la multiplication par un scalaire avaient été demême dénies par (f +g)(x) =déf f(x)+g(x) et (λf)(x) =déf λ(f(x)) pour tout x ce qui faisait del'espace des fontions F(Ω,R) un espace vectoriel. Et pour toutes fonctions localements sommablesf et g et tout λ ∈ R, on avait, l'intégration étant une opération linéaire, pour tout ϕ ∈ D(Ω) :

Ω

(f + λg)(x) ϕ(x) dx =∫

Ω

f(x)ϕ(x) dx + λ

Ω

g(x) ϕ(x) dx (1.25)

Soit, au sens des distributions (les fonctions f et g étant identiées aux distributions régulières Tf

et Tg) :〈f + λg, ϕ〉 = 〈f, ϕ〉+ λ〈g, ϕ〉, ∀ϕ ∈ D(Ω) (1.26)

Les opérations + et . dénies sur D′(Ω) sont donc des généralisations compatibles avec les opéra-tions usuelles de l'intégration classique.

1.3.5 Convergence (faible) dans D′(Ω)

Dénition 1.27 On dit qu'une suite de distributions (Tn)n∈N de D′(Ω) converge dans D′(Ω) siquelque soit ϕ ∈ D(Ω), la suite des scalaires 〈Tn, ϕ〉 converge (dans R) :

∀ϕ ∈ D(Ω), ∃cϕ ∈ R, limn→∞

〈Tn, ϕ〉 = cϕ.

On note alors cϕ = T (ϕ) la limite réelle.

Proposition 1.28 Si elle existe, la limite T de la suite Tn est également une fonctionnelle linéaireet continue sur D(Ω), i.e. T dénit une distribution.

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Page 9: Cours Maths

9 1.4. Masses de Dirac

Preuve. Pour tout ϕ,ψ ∈ D(Ω) et tout λ ∈ R on a 〈T, ϕ + λψ〉 = limn→∞〈Tn, ϕ + λψ〉 =limn→∞(〈Tn, ϕ〉+λ〈Tn, ψ〉) = limn→∞〈Tn, ϕ〉+λ limn→∞〈Tn, ψ〉 = 〈T, ϕ〉+λ〈T, ψ〉, d'où la linéa-rité.

Soit (ϕk) une suite de D(Ω) convergeant vers ϕ ∈ D(Ω). On a limk〈T, ϕk〉 = limk limn〈Tn, ϕk〉.On admet qu'on peut inverser les signes limites.D'où = limn〈Tn, ϕ〉 = 〈T, ϕ〉, d'où la continuité.

Donc : (Tn) converge vers T dans D′(Ω) ssi :∀ϕ ∈ D(Ω), 〈Tn, ϕ〉 −→

n→∞〈T, ϕ〉 dans R, (1.27)

ou encore si, à ϕ xé (quelconque), |Tn(ϕ)− T (ϕ)| → 0 dans R. On note alors :Tn T faiblement dans D′(Ω) (1.28)

C'est similaire à la convergence simple des fonctions : (fn) converge simplement vers f si pourchaque x (quelconque xé), on a fn(x) −→

n→∞f(x).

Ici, les distributions Tn ne sont pas des fonctions mais des fonctionnelles (elles agissent sur desfonctions et non sur des points), et la convergence simple est appelée convergence faible.Exemple 1.29 Montrez que γn δ0 dans D′(R).

1.4 Masses de Dirac1.4.1 Masse de Dirac δa en a

La masse de Dirac en a ∈ R est la distribution dénie par :

∀ϕ ∈ D(Ω), 〈δa, ϕ〉 déf= ϕ(a). (1.29)La masse de Dirac n'est pas une distribution régulière (n'est pas identiable à une fonction L1

loc(R)),voir exemple 1.17.

1.4.2 δ0 comme limite de fonctions portesOn regarde ici la masse de Dirac δ0 en 0, la masse de Dirac δa en a s'en déduisant facilement

par la translation : δa(x) = δ0(x− a), voir plus loin.Soit les fonctions `portes' :

Πn(x) = n 1]− 12n , 1

2n [ =

n pour x ∈]− 12n

,12n

[,

0 pour |x| ≥ 12n

,

(1.30)

(à dessiner) qui sont des fonctions de L1(R) de masse 1 :∫

RΠn(x) dx = 1 (=

∫ 12n

− 12n

ndx). (1.31)

Cette suite de fonctions ne converge pas vers une fonction dans L1(R) : cette fonction limitevaudrait 0 sur R∗, et donc nulle presque partout, mais avec une masse égale à 1. (On véried'ailleurs que ce n'est pas une suite de Cauchy dans L1(R) puisque

∫R |Πn(x)−Π2n(x)| dx = 1.)

Cependant, pour tout ϕ ∈ D(R) :∫

RΠn(x)ϕ(x) dx → ϕ(0). (1.32)

En eet, ϕ étant continue on a ϕ(x) = ϕ(0) + o(x) (développement limité de ϕ), et donc quelquesoit ε > 0, on peut choisir n susamment grand de telle sorte que cette intégrale soit encadrée parϕ(0)− ε et ϕ(0) + ε.

Donc les fonctions Πn de L1(R) sont identiables à des distributions régulières qui tendent versδ0 au sens de D′(R) (mais distribution non régulière) : pour ϕ ∈ D(R) (quelconque) :

〈δ0, ϕ〉 = ϕ(0) = limn→∞

〈Πn, ϕ〉, (1.33)ou encore :

Πn δ0 dans D′(R). (1.34)Et symboliquement, on peut noter

∫R δ0 = 1.

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Page 10: Cours Maths

10 1.5. Dénitions d'opérations élémentaires sur les distributions

Remarque 1.30 On aurait aussi bien pu utiliser les fonctions portes non centrées Πn(x) = n 1]0, 1n [

au lieu des fonctions portes centrées (1.30).

1.4.3 δ0 comme limite de fonctions de D(R)

On considère la fonction ζ dénit en (1.5), et on va rétrécir son support, cela à masse constante.On considère pour n ≥ 1 les fonctions positives dénies en (1.9) :

γ1(x) déf=ζ(x)∫

R ζ(x) dx, γn(x) déf= nγ1(nx),

qui satisfont à, pour tout n ∈ N∗ :

supp(γn) = [− 1n

,1n

],∫

Rγn(x) dx = 1.

On a alors au sens des distributions (même démarche que pour les fonctions portes) :

γn δ0 dans D′(R), (1.35)

i.e., pour toute fonction ϕ ∈ D(R) : limn→∞

Rγn(x)ϕ(x) dx = ϕ(0) ∈ R.

1.5 Dénitions d'opérations élémentaires sur les distributionsOn dénit les opérations sur les distributions de manière à retrouver les résultats connus dans

le cas des fonctions intégrables. Ce sont des dénitions qu'on donne dans ce paragraphe.

1.5.1 Translation (changement d'origine)Pour f une fonction localement sommable, on a, pour tout ϕ ∈ D(R) :

Rf(x− a)ϕ(x) dx =

Rf(x)ϕ(x + a) dx. (1.36)

On note τaf la translatée de f : `τaf(x) = f(x− a)'. On a donc au sens des distributions :

〈τaf, ϕ〉 = 〈f, τ−aϕ〉, ∀ϕ ∈ D(R). (1.37)

(On aurait dû noter 〈Tτaf , ϕ〉 = 〈Tf , τ−aϕ〉, mais on a identié la distribution régulière Tf avecla fonction f , ce que nous ferons dans la suite.)

Dénition 1.31 De même pour une distribution T ∈ D(R), on dénit la distribution translatéeτaT ∈ D(R) par :

〈τaT, ϕ〉 déf= 〈T, τ−aϕ〉, ∀ϕ ∈ D(R). (1.38)

On vérie immédiatement qu'eectivement τaT ∈ D(R). Et, avec des notations abusives,voir (1.23) :

〈T (x− a), ϕ(x)〉 déf= 〈T (x), ϕ(x + a)〉, ∀ϕ ∈ D(R). (1.39)

Exemple 1.32 On retrouve ainsi la masse de Dirac en a dénit par δa = τaδ0 : pour tout ϕ ∈D(Ω) :

〈δa, ϕ〉 = 〈τaδ0, ϕ〉 = 〈δ0, τ−aϕ〉 = τ−aϕ(0) = ϕ(x + a)|x=0 = ϕ(a), (1.40)soit encore avec des notations abusives : δa(x) = δ0(x− a).

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Page 11: Cours Maths

11 1.5. Dénitions d'opérations élémentaires sur les distributions

1.5.2 Transposition et notation T

Un changement de variables donne, pour f ∈ L1loc(R) et ϕ ∈ D(R) :

∫ ∞

−∞f(−x)ϕ(x) dx =

∫ ∞

−∞f(x)ϕ(−x) dx (1.41)

On note f la fonction dénie par f(x) = f(−x), et la formule ci-dessus s'écrit au sens de D′(R) :

〈f , ϕ〉 = 〈f, ϕ〉. (1.42)

Dénition 1.33 Et on dénit pour une distribution T ∈ D′(R) la distribution T par :

〈T , ϕ〉 déf= 〈T, ϕ〉, ∀ϕ ∈ D(R). (1.43)

On vérie immédiatement qu'eectivement T ∈ D′(R).

On peut noter alors (abusivement), si ϕ ∈ D(R) :

〈T (−x), ϕ(x)〉 déf= 〈T (x), ϕ(−x)〉. (1.44)

Et on appelle `distribution paire' une distribution T ∈ D(R) qui satisfait T (−x) = T (x), i.e.,pour tout ϕ ∈ D(R), 〈Tx, ϕ(x)〉 = 〈Tx, ϕ(−x)〉.

Et une distribution de D(R) est dite impaire si T (−x) = −T (x).

1.5.3 Changement d'unitéPour f localement sommable, α ∈ R∗ et ϕ ∈ D(R), on a par changement de variables :

∫ ∞

−∞f(αx)ϕ(x) dx =

1|α|

∫ ∞

−∞f(x)ϕ(

x

α) dx. (1.45)

Soit au sens des distributions :

〈f(αx), ϕ(x)〉 =1|α| 〈f(x), ϕ(

x

α)〉. (1.46)

Dénition 1.34 Et on dénit pour une distribution T ∈ D′(R) la distribution S :

〈S, ϕ〉 déf= 〈T (x),1|α|ϕ(

x

α)〉, ∀ϕ ∈ D(Ω). (1.47)

On vérie immédiatement que S est bien une distribution sur R. On note `S(x) = T (ax)', ce quidonne :

〈T (ax), ϕ(x)〉 déf= 〈T (x),1|α|ϕ(

x

α)〉, ∀ϕ ∈ D(Ω). (1.48)

Exemple 1.35 〈δa(αx), ϕ(x)〉 = 1|α|ϕ( a

α ), et en particulier 〈δ0(αx), ϕ(x)〉 = 1|α|ϕ(0). Donc atten-

tion !On rappelle que les dénitions sont données pour généraliser les opérations sur les fonctions.

Donc, de manière systématique, les formules valides pour les fonctions seront valides pour lesfonctions généralisées qu'on appelle les distributions.

1.5.4 `Multiplication' : par une fonction C∞

On ne peut pas multiplier deux distributions entre elles. Par exemple la distribution Tf as-sociée à la fonction f(x) = 1√

x∈ L1

loc(R) ne peut pas être multipliée par elle-même : l'intégrale∫R

1x ϕ(x) dx n'a pas de sens en général, ou encore la fonction x → 1

x ne dénit pas une distributionsur R.

Mais pour une fonction f ∈ L1loc(R) et une fonction ψ ∈ C∞(R), on a pour tout ϕ ∈ D(R) :

R

(f(x)ψ(x)

)ϕ(x) dx =

Rf(x)

(ψ(x)ϕ(x)

)dx, (1.49)

et ce avec ψϕ ∈ D(R) (vérication triviale). Soit au sens de D′(R) :

〈fψ, ϕ〉 = 〈f, ψϕ〉, ∀ϕ ∈ D(R). (1.50)

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Page 12: Cours Maths

12 1.6. Dérivation des distributions

Dénition 1.36 Et si T ∈ D′(Ω) est une distribution, dès que ψ ∈ C∞(Ω) on dénira la distri-bution (ψT ) = (Tψ) ∈ D′(Ω) par :

∀ϕ ∈ D(Ω), 〈Tψ, ϕ〉 déf= 〈T, ψϕ〉. (1.51)

On vérie immédiatement que Tψ est bien une distribution sur R.

Remarque 1.37 Donc par dénition, la distribution S dénie par 〈S, ϕ〉 =déf 〈T, ψϕ〉 est notéeindiéremment S = ψT ou S = Tψ.

1.5.5 Application : δa est un élément absorbantPour la masse de Dirac δ0, si ψ ∈ C∞(R) :

〈ψδ0, ϕ〉 = 〈δ0, ψϕ〉 = ψ(0)ϕ(0) = ψ(0)〈δ0, ϕ〉 = 〈ψ(0)δ0, ϕ〉, (1.52)

pour tout ϕ ∈ D(Ω). Soit :ψδ0 = ψ(0)δ0, dans D′(R). (1.53)

On voit ici le caractère `absorbant' de la masse de Dirac δ0 : la distribution ψδ0 est `nulle' là où δ0

l'est, et dans la distribution ψδ0, seule la valeur de ψ en 0 est intéressante.

Exercice 1.38 Montrer que, si a ∈ R et ψ ∈ C∞(R), alors :

ψδa = ψ(a)δa, (1.54)

i.e. que δa absorbe ψ : seule la valeur de ψ en a intervient.

Remarque 1.39 Attention : on verra que les dérivées de δa ne sont pas absorbantes ! En particu-lier,

ψδ′a 6= ψ(a)δ′a.Voir paragraphe suivant, où on montrera que

ψδ′a = ψ(a)δ′a − ψ′(a)δa, (1.55)

qui n'est autre que la formule de leibniz (ψδa)′ = ψ′δa + ψδ′a, qui s'écrit bien, comme δa estabsorbant comme (ψ(a)δa)′ = ψ′(a)δa + ψδ′a.

1.6 Dérivation des distributions1.6.1 Dénition

Pour f fonction C1(]a, b[), une intégration par partie donne :∫ b

a

f ′(x)ϕ(x) dx = −∫ b

a

f(x)ϕ′(x) dx, ∀ϕ ∈ D(]a, b[), (1.56)

puisque ϕ est nul au bord. Au sens des distributions cela s'écrit :

〈f ′, ϕ〉 = −〈f, ϕ′〉, ∀ϕ ∈ D(Ω). (1.57)

Dénition 1.40 On dénit alors la dérivée T ′ de la distribution T ∈ D′(Ω) par :

〈T ′, ϕ〉 déf= − 〈T, ϕ′〉, ∀ϕ ∈ D(Ω). (1.58)

Si ϕ ∈ D(Ω) alors on vérie trivialement que ϕ′ ∈ D(Ω) et cette dénition a bien un sens. Et onvérie immédiatement que cela fait bien de T ′ une distribution.

On en déduit qu'on peut dériver une distribution à tout ordre : pour m ∈ N, notant T (m) =(T (m−1))′ :

〈T (m), ϕ〉 = (−1)m〈T, ϕ(m)〉, ∀ϕ ∈ D(Ω). (1.59)

12

Page 13: Cours Maths

13 1.7. Exemples de dérivations

Exemple 1.41 La masse de Dirac dérivée δ′0 est donc la distribution dénie par :

〈δ′0, ϕ〉 = −ϕ′(0), ∀ϕ ∈ D(Ω) (1.60)

(Attention au signe.)

Exemple 1.42 La fonction x → |x| n'est pas dérivable en 0 au sens classique (au sens des fonc-tions). Par contre elle est dérivable au sens des distributions, sa dérivée vaut :

(|x|)′ = −H0(−x) + H0(x) = −1R−(x) + 1R+(x) dans D′(R)

Le vérier.Réponse : considérer ϕ ∈ D(R) et calculer

〈|x|′, ϕ〉 =déf − 〈|x|, ϕ′〉 =∫R |x|ϕ′(x) dx =

∫ 0

−∞(−x)ϕ′(x) dx +∫∞0

xϕ′(x) dx,puis intégrer par partie pour obtenir, pour tout ϕ ∈ D(R) : 〈|x|′, ϕ〉 = 〈(−H0), ϕ〉 + 〈H0, ϕ〉. Ce résultatétait attendu, car eectivement, là où elle est dénie classiquement la dérivée vaut bien -1 sur R∗− et +1sur R∗+.

Remarque 1.43 La fonction |x| est elle-même la dérivée de la fonction signe(x)x2

2 (qui est dansC1(R)) qui vaut −x2

2 sur R− et x2

2 sur R+, et signe(x)x2

2 n'est donc pas C2(R).

1.6.2 Linéarité de la dérivation et passage à la limiteIl est immédiat que

Proposition 1.44 Pour toutes distributions S et T ∈ D′(Ω), et tout λ ∈ R :

(S + λT )′ = S′ + λT ′, (1.61)

et donc l'opération de dérivation est une opération linéaire dans D′(Ω).Et si (Tn) est une suite de distribution de D′(Ω) qui converge vers T ∈ D′(Ω), alors (T ′n) est

une suite de distribution qui converge vers T ′ ∈ D′(Ω).

Preuve. Puisque l'addition est linéaire dans D′(Ω) : pour tout ϕ ∈ D(Ω) on a :

〈(S + λT )′, ϕ〉 = −〈(S + λT ), ϕ′〉 = −〈S, ϕ′〉 − λ〈T, ϕ′〉 = 〈S′ + λT ′, ϕ〉. (1.62)

Puis, 〈Tn, ϕ′〉 → 〈T, ϕ′〉 dans R par dénition de la convergence (faible ou simple) dans R, cepour tout ϕ ∈ D(R).

1.7 Exemples de dérivations1.7.1 Fonction C1(R)

Une fonction f ∈ C1(R) est en particulier L1loc(R). Et on a immédiatement :

Proposition 1.45 Si f ∈ C1(R) et si Tf est la distribution régulière associée à f alors :

(Tf )′ = T(f ′),

i.e. la dérivée de la distribution régulière est la distribution régulière associée à la dérivée. Ouencore, si on identie Tf à f , on peut également identier (Tf )′ à f ′.

Preuve. C'est immédiat car pour toute ϕ ∈ D(R) :

〈(Tf )′, ϕ〉 = −∫

Rf(x)ϕ′(x) dx =

Rf ′(x)ϕ(x) dx = 〈T(f ′), ϕ〉.

13

Page 14: Cours Maths

14 1.7. Exemples de dérivations

1.7.2 Fonction C0(R), et C1(R) par morceauxOn rappelle que H0 = 1R+ (et H0 est appelée fonction de Heaviside).On commence par regarder la fonction f = xH0 (qui vaut 0 sur R− et x sur R+, faire le dessin).

Cette fonction est trivialement continue sur R, C1 sur R+ et sur R−, et de dérivée à droite et àgauche nie en 0.

Cette fonction n'est pas dérivable en 0 (au sens classique). Regardons sa dérivée au sens desdistributions : soit donc Tf la distribution régulière associée à f . Alors :

(Tf )′ = H0 dans D′(R), (noté (xH0)′ = H0 dans D′(R)). (1.63)

En eet, pour tout ϕ ∈ D(R) :

〈(Tf )′, ϕ〉 = −∫

RxH0(x)ϕ′(x) dx = −

∫ ∞

0

xϕ′(x) dx =∫ ∞

0

ϕ(x) dx− 0 = 〈H0, ϕ〉.

Exercice 1.46 Montrer que |x|′ = −H0(−x) + H0(x) dans D′(R).Réponse. On pourra se servir de la linéarité de la dérivée en écrire que |x| = x(H0(x)−H0(−x)).

Exercice 1.47 Montrer que((x−a)H0(x−a)

)′ = H0(x−a) au sens D′(R). La fonction H0(x−a) =(τaH0)(x) est aussi notée Ha(x) et est la fonction troncature au point a.

La généralisation aux fonctions continues sur R et C1 par morceaux sur R est immédiate : unetelle fonction est de la forme :

f(x) = f1(x) +n∑

i=1

σi(x− xi)H0(x− xi), (1.64)

où f1 est une fonction C1 sur R, et où les réels σi représentent les sauts de pente de f aux points xi.

Proposition 1.48 On a alors :

(Tf )′ = T(f ′1) +n∑

i=1

σiH0(x− xi) dans D′(R). (1.65)

Preuve. Linéarité.

1.7.3 Fonction C0(R) par morceaux et C1(R) par morceauxL'exemple de base est la fonction de Heaviside (`unit step function', ou `marche unité en 0')

H0(x) = 1[0,∞[. C'est une fonction de L1loc(R) qui n'est pas dérivable en 0 (elle n'est même pas

continue en 0). On peut cependant calculer au sens des distributions sa dérivée en 0 : notons TH0

la distribution (régulière) associée à H0. Alors :

(TH0)′ = δ0 (noté H ′

0 = δ0) dans D′(R). (1.66)

En eet, pour tout ϕ ∈ D(R) :

〈(TH0)′, ϕ〉 = −

RH0(x)ϕ′(x) dx = −

∫ ∞

0

ϕ′(x) dx = −[ϕ(x)]∞0 = ϕ(0) = 〈δ0, ϕ〉. (1.67)

Exercice 1.49 Montrer que H ′a = δa dans D′(R).

Remarque 1.50 On `retrouve' le fait que sur R∗, H ′0 = 0, ce qui n'a de sens qu'au sens des

distributions et qui signie : si ϕ ∈ D(R∗) (donc ϕ nul dans un voisinage de 0), alors H ′0(ϕ) = 0

(c'est également vrai si ϕ ∈ D(R) et ϕ(0) = 0).Ce résultat sur R∗ était attendu : H0 étant constante par morceaux, sa dérivée est nulle sur

chacun des morceaux. Le seul point à problème est le point 0 où il est nécessaire d'utiliser lesdistributions pour donner un sens à la dérivée de H0 en 0.

14

Page 15: Cours Maths

15 1.7. Exemples de dérivations

La généralisation aux fonctions continues et C1 par morceaux sur R est immédiate : une tellefonction est de la forme :

f(x) = f1(x) +n∑

i=1

σi(x− xi)H0(x− xi) +n∑

i=1

σiHxi(x), (1.68)

la fonction f1 étant C1(R), les σi mesurant les sauts de f au point xi.

Proposition 1.51 On a alors :

(Tf )′ = (Tf1)′ +

n∑

i=1

σi(x− xi)H0(x− xi) +n∑

i=1

σiδxi dans D′(R). (1.69)

Preuve. Exercice.

1.7.4 Masse de DiracLa dérivée de la masse de Dirac est donnée par dénition : pour tout ϕ ∈ D(R) :

〈δ′0, ϕ〉 déf= − 〈δ0, ϕ′〉 = −ϕ′(0), ∀ϕ ∈ D(R). (1.70)

Exercice 1.52 Montrer qu'avec δa = τaδ0 on a 〈δ′a, ϕ〉 = −ϕ′(a) pour ϕ ∈ D(R).

On a également vu que δ0 était la limite des fonctions portes Πn(x), cf. (1.30). Par dénitiondes distributions, on peut passer à la limite voir proposition 1.44, et doit retrouver le fait que :

δ′0 = limn→∞

Π′n au sens de D′(Ω). (1.71)

Montrons-le :Les fonctions portes élémentaires Πn(x) cf. (1.30) peuvent s'écrire :

Πn(x) = n (H−12n

(x)−H 12n

(x)) = −Hh(x)−H−h(x)2h

où h =12n

−→n→∞

0. (1.72)

On en déduit par linéarité de la dérivée au sens des distributions :

Π′n = − 12h

(δh(x)− δ−h(x)

), au sens de D′(Ω), (1.73)

i.e., pour tout ϕ ∈ D(Ω), (avec (h → 0) ⇔ (n →∞)) :

〈Π′n, ϕ〉 = −ϕ(h)− ϕ(−h)2h

−→h→0

−ϕ′(0). (1.74)

Et on a bien Πn δ′0 dans D′(R).

Remarque 1.53 Et on a vu que Π′n = − δh−δ−h

2h et l'expression limite est δ′0 = − limh→0δh−δ−h

2h ,qui, au signe près, est l'écriture classique de la dérivée.

En électrostatique, δ′0 représente un doublet, i.e., l'eet que donne les deux charges ponctuellesunitaires +δ− ε

2et −δ ε

2de signes opposés et distantes de ε.

Le doublet unité des électriciens est en fait orienté par convention de la charge− vers la charge +et vaut donc −δ′0 et non δ′0.

1.7.5 Dérivation d'ordre 1 d'un produitSi ϕ ∈ C1(Ω;Ω) et ψ ∈ C∞(Ω), alors :

(ϕψ)′ = ϕ′ψ + ϕψ′, (1.75)

dont on déduit que :

15

Page 16: Cours Maths

16 1.7. Exemples de dérivations

Proposition 1.54 pour T ∈ D′(Ω) et ψ ∈ C∞(Ω) la distribution (Tψ)′ est donnée par :(Tψ)′ = T ′ψ + Tψ′ dans D′(Ω). (1.76)

Preuve. En eet, pour tout ϕ ∈ D(Ω) et ψ ∈ C∞(Ω) on a ϕψ, ϕψ′ et ϕ′ψ dans D(Ω) et lesexpressions suivantes ont un sens ; on a :

〈(Tψ)′, ϕ〉 = −〈Tψ, ϕ′〉 = −〈T, ψϕ′〉 = −〈T, (ψϕ)′〉+ 〈T, ϕψ′〉 = 〈T ′, ψϕ〉+ 〈Tψ′, ϕ〉.

Exemple 1.55 Si T = δ0, alors on a, pour ψ ∈ C∞(Ω) :(δ0ψ)′ = δ′0ψ + δ0ψ

′. (1.77)Et un calcul direct donne, pour tout ϕ ∈ D(Ω), sachant que la distribution ψδ0 n'est autre que ladistribution ψ(0)δ0, car δ0 est élément absorbant voir paragraphe 1.5.5, d'où :

(δ0ψ)′ = ψ(0)δ′0. (1.78)C'est le même résultat que (1.77) ! Pour s'en convaincre, montrer que δ′0ψ = −ψ′(0)δ0 + ψ(0)δ′0dans D′(R).

1.7.6 Formule de LeibnizOn rappelle que, pour les fonctions f et g dans Ck(Ω), le produit fg est dans Ck(Ω) et que sa

dérivée à l'ordre k est donnée par :

(fg)(k) =k∑

j=0

Cjk f (j)g(k−j), (1.79)

où Cjk = k!

j!(k−j)! . Par exemple,(fg)′′ = f ′′g + 2f ′g′ + fg′′. (1.80)

On la démontre par récurrence pour les distributions, ce au sens des distributions :Proposition 1.56 pour T ∈ D′(R) et ψ ∈ C∞(R) :

(Tψ)(k) =k∑

j=0

Cjk T (j)ψ(k−j) dans D′(R), (1.81)

i.e., pour toute fonction ϕ ∈ D(Ω) :

〈(Tψ)(k), ϕ〉 =k∑

j=0

Cjk 〈T (j)ψ(k−j), ϕ〉. (1.82)

Preuve. Exercice.

1.7.7 Dérivations successives d'une fonction tronquéeDans le cas simple d'une fonction tronquée, on a une formule plus simple que la formule de

Leibniz (formule équivalente) : on se sert du fait que δ0 est absorbant (voir paragraphe 1.5.5).On considère une fonction f ∈ D(Ω) et la fonction tronquée (en 0) associée :

g(x) = f(x)H0(x) =

f(x) x > 0,

0 x ≤ 0.(1.83)

Cette fonction g n'est pas dérivable au sens usuel, mais au sens des distributions :(Tg)′ = f ′H0 + f(0)δ0 dans D′(Ω), (1.84)

car δ0 est absorbant. Continuant à dériver, la dérivation étant linéaire et f(0)∈R étant uneconstante, on obtient :

(Tg)′′ = f ′′H0 + f ′(0)δ0 + f(0)δ′0noté= g′′ dans D′(Ω). (1.85)

Et de manière générale, la dérivée m-ième de la fonction tronquée fH0 vaut :

(TfH0)(m) = f (m)H0 + f (m−1)(0)δ0 + . . . + f(0)δ(m−1)

0noté= (fH0)(m) dans D′(Ω). (1.86)

16

Page 17: Cours Maths

17 1.7. Exemples de dérivations

Remarque 1.57 Le résultat (1.86) sera très utilisé lors de l'étude des équations diérentielles etde son application au calcul symbolique.

Exemple 1.58 Soit T = δ0 avec ψ ∈ D(R) :

(δ0ψ)′′ = δ′′0 ψ + 2δ′0ψ′ + δ0ψ

′′ au sens de D′(Ω), (1.87)

ce qui veut dire que pour tout ϕ ∈ D(Ω) :

〈(δ0ψ)′′, ϕ〉 = 〈δ0, (ψϕ)′′〉 − 2〈δ0, (ψ′ϕ)′〉+ 〈δ0, ψ′′ϕ〉. (1.88)

Et on vérie immédiatement que c'est bien égal à :

〈(δ0ψ)′′, ϕ〉 = 〈δ0ψ, ϕ′′〉 = 〈δ0, ψϕ′′〉 = ψ(0)ϕ′′(0) = ψ(0)〈δ′′0 , ϕ〉, (1.89)

i.e. :(δ0ψ)′′ = ψ(0)δ′′0 ,

résultat plus simple à écrire. On retrouve le fait que (ψδ0)′′ = (ψ(0)δ0)′′ = ψ(0)δ′′0 (linéarité de ladérivation), ce qui n'a donc rien de contradictoire avec la formule de Leibniz.

Exemple 1.59 Vérier que, dans D′(R) :

(H0(x) cos(x))′ = −H0(x) sin(x) + δ0,

(H0(x) sin(x))′ = H0(x) cos(x).(1.90)

Remarque 1.60 Pour la fonction tronqué g = fH0 donnée en (1.83) on peut également appliquerla formule de Leibniz, en faisant attention à son écriture au sens des distributions. Par exemplepour m = 2, on a au sens des distributions :

(fH0)′′ = f ′′H0 + 2f ′H ′0 + fH ′′

0 = f ′′H0 + 2f ′δ0 + fδ′0 au sens de D′(Ω), (1.91)

avec 2f ′δ0 = 2f ′(0)δ0 ainsi que fδ′0 = −f ′(0)δ0 + f(0)δ′0. Le vérier avec la formule de Leibniz.Et on retrouve bien le résultat (1.86) : (fH0)′′ = f ′′H0+f ′(0)δ0+f(0)δ′0. La formule de Leibniz

n'est ici pas appropriée étant donné que δ0 est `absorbant' et qu'il est beaucoup plus simple deconsidérer la distribution ψδ0 comme étant la distribution ψ(0)δ0.

Rappel : on a fδ0 = f(0)δ0, i.e. la masse de Dirac est `absorbante', mais fδ′0 6= f(0)δ′0 (saufdans les cas particuliers où f ′(0) = 0) : la dérivée δ′0 n'est pas absorbante.

1.7.8 Résolution de T ′ = 0

On dispose d'une distribution T (un instrument de mesure) dont on sait a priori que sa dérivée T ′

est nulle. Peut-on en déduire T ?Il est immédiat que si T = c constante, alors T ′ = 0 : en eet, pour tout ϕ ∈ D(R) il vient par

intégration par parties (sachant ϕ nulle à l'innie car à support compact) :

〈T ′, ϕ〉 = −〈T, ϕ′〉 = −∫

Rcϕ′(x) dx =

R0 ϕ(x) dx− [cϕ(x)]∞−∞ = 0− 0 = 0.

Et dans ce cas T = c, il est immédiat que, si ϕ ∈ D(R) est une fonction donnée, alors 〈T, ϕ〉 =∫R c ϕ(x) dx = c

∫R ϕ(x) dx, et 〈T, ϕ〉 ne dépend que de l'aire sous la courbe

∫R ϕ(x) dx (et d'aucune

valeur ponctuelle de ϕ en particulier).On va établir la réciproque :

Proposition 1.61 Si T ∈ D′(R) vérie T ′ = 0 alors T = c est une distribution constante (i.e.T est la distribution régulière Tc associée à la fonction constante c1R), la constante c valant 〈T, γ〉pour toute fonction γ ∈ D(R) telle que

∫R γ(x) dx = 1.

17

Page 18: Cours Maths

18 1.7. Exemples de dérivations

(Remarque : si T = c, alors 〈T, γ〉 =∫

cγ = c(∫

γ) qui est une valeur réelle indépendante des γvériant

∫γ = 1.)

Preuve. Soit T une distribution qui vérie T ′ = 0. Il faut vérier qu'il existe une constante c ∈ Rtelle que pour tout ϕ ∈ D(R) on ait 〈T, ϕ〉 = 〈c1R, ϕ〉, i.e. 〈T, ϕ〉 =

∫R c ϕ(x) dx = c

∫R ϕ(x) dx.

On a par hypothèse T ′ = 0, i.e. qu'on connaît 〈T ′, ϕ〉 pour tout ϕ ∈ D(R) (à savoir 〈T ′, ϕ〉 = 0).I.e., par dénition de la dérivée T ′, on sait que 〈T, ϕ′〉 = 0 pour tout ϕ ∈ D(R).

Et on cherche à connaître T , i.e. 〈T, ψ〉 pour tout ψ ∈ D(R). Ce serait chose faite si pour toutefonction ψ ∈ D(R) il existait une fonction ϕ ∈ D(R) telle que ψ = ϕ′. Et on aurait alors 〈T, ψ〉 = 0pour tout ψ ∈ D(R).

Mais si une telle fonction ϕ existait, ayant ϕ(−∞) = 0, on aurait ϕ(x) =∫ x

−∞ ψ(t) dt et enparticulier que ϕ(+∞) =

∫R ψ(x) dx = 0. Or il existe des fonctions ψ positives non nulles dans D(R)

(par exemple la fonction ζ de (1.5)) qui vérient donc∫R ψ(x) dx > 0. Donc à ψ donné, il n'existe

pas en général de ϕ ∈ D(R) telle que ϕ′ = ψ.Il faut corriger cette approche, i.e. il faut s'arranger pour compenser la valeur nie non nulle

de∫R ψ(x)dx. On prend une seconde fonction γ ∈ D(R) telle que

∫R γ(x) dx = 1 et on pose, pour ψ

donné (quelconque) :

ϕ(x) =∫ x

−∞ψ(t) dt− (

Rψ(x) dx)

∫ x

−∞γ(t) dt.

On vérie maintenant que ϕ ∈ D(R) : le caractère C∞ est immédiat, et le support de ϕ est bornécar si x est à droite ou à gauche de la réunion des supports de γ et ψ, alors ϕ(x) = 0. Et on a :

ϕ′(x) = ψ(x)− (∫

Rψ(x) dx)γ(x).

Et par hypothèse T ′ = 0 donc :

0 = 〈T, ϕ′〉 = 〈T, ψ〉 − 〈T, γ〉(∫

Rψ(x) dx), (1.92)

ce, quel que soit ψ ∈ D(R). Donc :〈T, ψ〉 = 〈T, γ〉〈1, ψ〉 =

⟨〈T, γ〉1, ψ⟩, ∀ψ ∈ D(R), (1.93)

i.e., T = 〈T, γ〉1R est une distribution constante.On vérie immédiatement que c = 〈T, γ〉 est indépendant de la fonction γ choisie vériant

γ ∈ D(R) et∫

γ = 1. En eet, si γ2 ∈ D(R) est aussi de masse unité, on obtient de la mêmemanière 〈T, ψ〉 =

⟨〈T, γ2〉, ψ⟩pour tout ψ ∈ D(R) et par diérence,

⟨〈T, γ2〉 − 〈T, γ1〉, ψ⟩

= 0 pourtout ψ ∈ D(R) et donc 〈T, γ2〉 − 〈T, γ1〉 = 0 dans D′(R).

1.7.9 Dérivation de Log|x| et valeur principale de CauchyOn note ici Log la fonction logarithme népérien : pour x > 0, Log(|x|) =

∫ x

11t dt et pour x < 0

Log(|x|) = Log(−x) =∫ −x

11−t dt, i.e. Log(x) =

∫ −1

x1t dt pour x < 0 (vérication immédiate).

Remarque 1.62 En clair, on dénit la fonction g : x ∈ R∗→g(x) par g(x) = Log(x) si x > 0 etpar g(x) = Log(−x) si x < 0. Et on a donc g(x) = g(−x) (= Log|x|)) et g est une fonction paire(primitive de la fonction impaire t→ 1

t ). Et on a g(x) = Log|x| pour tout x 6= 0. Dessiner g.On a donc, pour x > 0 : g(x) =

∫ x

1dtt , et pour x < 0 : g(x) =

∫ −x

1dtt =

∫ x

−1duu . Faire un dessin.

En particulier, pour −1 < x < 0 on a g(x) < 0 et pour x < −1 on a g(x) = − ∫ −1

xdtt > 0 (opposée

de l'aire sous la courbe qui est négative).On rappelle que pour une fonction f intégrable sur ]a, c − η[

⋃]c + ε, b[, où ε > 0 et η > 0 et

a < c < b, on a f intégrable sur ]a, b[ uniquement sous les deux conditions :

limη→0

∫ c−η

a

f(x) dx < ∞ et limε→0

∫ b

c+ε

f(x) dx < ∞. (1.94)

Il se peut que ces limites n'existent pas, comme dans le cas de la fonction f(x) = 1x pour c = 0,

mais que la limite suivante existe quand on prend η = ε :

limε→0

(∫ c−ε

a

f(x) dx +∫ b

c+ε

f(x) dx)

< ∞, (1.95)

cas de la fonction f(x) = 1x pour c = 0.

18

Page 19: Cours Maths

19

On dit que f est dans ce cas convergente en valeur principale de Cauchy, et on note :

v.p.

∫ b

a

f(x) dxdéf= lim

ε→0

(∫ c−ε

a

f(x) dx +∫ b

c+ε

f(x) dx), (1.96)

toujours pour a < c < b. Et on note v.p.(f) la distribution associée. Donc 〈v.p.(f), ϕ〉 =∫R f(x)ϕ(x) dx pour tout ϕ ∈ D(R).

Exemple 1.63 On vérie immédiatement que, pour a, b ∈ R∗ (positifs ou négatifs, mais nonnuls) :

v.p.

∫ b

a

1x

dx = Log|b||a| . (1.97)

La fonction logarithme népérien g(x) = Log|x| est localement intégrable dans R tout entier :en eet, une primitive est G(x) = xg(x)− x = xLog(|x|)− x (pour x 6= 0 la dérivée est G′(x) =g(x) + xg′(x) − 1 avec g′(x) = 1

x , et on prolonge usuellement par continuité en 0, i.e. on poseG(0) = 0).

On note Tg =noté g la distribution régulière associée (puisque g ∈ L1loc(R)), et sa dérivée au

sens des distributions est donnée par, pour tout ϕ ∈ D(R) :

〈T ′g|x|, ϕ〉 = −〈Log|x|, ϕ′〉 = −∫

RLog|x|ϕ′(x) dx. (1.98)

On aimerait cependant retrouver une expression plus classique de Log′(x), à savoir 1x . On approche

la dernière intégrale de (1.98) par les termes (symétriques) :

−∫

RLog|x|ϕ′(x) dx = −

∫ 0

−∞Log(−x)ϕ′(x) dx−

∫ ∞

0

Log(x) ϕ′(x) dx

= limε→0

−(∫ −ε

−∞Log(−x)ϕ′(x) dx +

∫ ∞

ε

Log(x)ϕ′(x) dx).

(1.99)

Intégrant par parties l'expression sous la limite on obtient une écriture qui a un sens lorsque ε > 0 :

−∫

RLog|x|ϕ′(x) dx =

∫ −ε

−∞

ϕ(x)x

dx +∫ ∞

ε

ϕ(x)x

dx− Log(ε)ϕ(−ε) + Log(ε)ϕ(ε). (1.100)

On fait un passage à la limite lorsque ε tend vers 0. Le terme Log(ε)(ϕ(ε) − ϕ(−ε)) tend vers 0(puisque ϕ(ε) − ϕ(−ε) est de l'ordre de O(ε), cf. développement limité à l'ordre 1 au voisinagede 0), et il reste :

〈Log′|x|, ϕ〉 = limε→0

(∫ −ε

−∞

ϕ(x)x

dx +∫ ∞

ε

ϕ(x)x

dx). (1.101)

On note alors v.p. 1x la distribution T ′g =noté Log′|x| :

〈v.p.1x

, ϕ〉 déf= limε→0

(∫ −ε

−∞

ϕ(x)x

dx +∫ ∞

ε

ϕ(x)x

dx),

pour tout ϕ ∈ D(R), i.e. :(Log|x|)′ = v.p.

1x

dans D′(R). (1.102)

Donc v.p. 1x est la notation désignant la dérivée de la fonction Log(x) au sens des distributions :

〈Log′, ϕ〉 = 〈v.p.1x

, ϕ〉 = v.p.

∫ ∞

−∞

ϕ(x)x

dx, ∀ϕ ∈ D(R). (1.103)

C'est une fonction très utilisée en physique.

2 Distribution à support borné, E ′(Ω)

On traitera pour simplier le cas Ω = Rn, le cas Ω ouvert quelconque s'en déduisant aisément.

19

Page 20: Cours Maths

20 2.1. Support d'une distribution, distribution à support compact

2.1 Support d'une distribution, distribution à support compact2.1.1 Ωmax(T )

Faire des dessins, et tout sera clair.

Dénition 2.1 Soit Ω un ouvert de Rn. On dit qu'une distribution T ∈ D′(Rn) est nulle sur Ωssi 〈T, ϕ〉 = 0 pour tout ϕ ∈ D(Ω) :

T nulle sur Ω ⇔ ∀ϕ ∈ D(Ω), 〈T, ϕ〉 = 0. (2.1)

Et donc, T est non nulle sur Ω ssi il existe ϕ ∈ D(Ω) telle que 〈T, ϕ〉 6= 0.

Exemple 2.2 La masse de Dirac δ0 est nulle sur R∗, sur R∗+ et sur R∗−. En eet, si ϕ ∈ D(R) àson support dans R∗, i.e. si ϕ ∈ D(R∗), alors ϕ(0) = 0 et δ0(ϕ) = 0. De même sur R∗+ et sur R∗−.Et la masse de Dirac est non nulle sur tout intervalle ouvert contenant 0.

Exemple 2.3 Soit f ∈ L1loc(R) telle que supp(f) est compact. Alors la distribution régulière

associée Tf est nulle sur R−supp(f), car∫R f(x)ϕ(x) dx est nulle pour tout ϕ ∈ D(R−supp(f)).

On note :Ωmax(T ) =

ouverts Ω

T nulle sur Ω. (2.2)

En particulier Ωmax(T ) est ouvert (réunion d'ouverts).

Proposition 2.4 Si T ∈ D′(R) est nulle sur deux ouverts Ω1 et Ω2, alors T est nulle sur Ω1

⋃Ω2.

D'où T est nulle sur Ωmax(T ). Et il n'existe pas d'ouvert Ω strictement plus grand que Ωmax telque T est nulle sur Ω.

Preuve. Supposons T nulle sur deux ouverts Ω1 et Ω2, i.e. 〈T, ϕ〉 = 0 pour tout ϕ ∈ D(Ω1) etpour tout ϕ ∈ D(Ω2). Soit ϕ ∈ D(Ω1

⋃Ω2). On note K = suppϕ et on a K ⊂ Ω1

⋃Ω2.

On applique le théorème 10.2 de partition de l'unité : il existe deux fonctions χ1 ∈ D(Ω1) etχ2 ∈ D(Ω2) telles que pour tout x∈K : χ1(x) + χ2(x) = 1.

On pose alors ϕ1 = χ1ϕ ∈ D(Ω1) et ϕ2 = χ2ϕ ∈ D(Ω2), et on a ϕ = ϕ1 + ϕ2.D'où 〈T, ϕ〉 = 〈T, ϕ1〉 + 〈T, ϕ2〉 = 0, car T est nulle sur Ω1 et sur Ω2, et T est bien nulle sur

Ω1

⋃Ω2. Et par récurrence, si T est nulle sur n ouverts Ωk pour k = 1, ..., n, alors T est nulle sur⋃Ωk : k = 1, ..., n.

On en déduit que T est nulle sur Ωmax. En eet, soit ϕ ∈ D(Ωmax), et soit K = suppϕ. CommeK est compact, on peut le recouvrir par un nombre ni d'ouverts Ωk ⊂

⋃Ω : T nulle sur Ω. Etdonc 〈T, ϕ〉 = 0.

Enn, il n'existe pas d'ouvert Ω strictement plus grand que Ωmax tel que T est nulle sur Ω.C'est la dénition de Ωmax (qui devrait donc contenir un tel Ω).

Proposition 2.5 On a x ∈ Ωmax(T ) ssi il existe ε > 0 tel que T est nulle sur B(x, ε) la boule derayon ε centrée en x, i.e. ssi : ∃ε > 0, ∀ϕ ∈ D(B(x, ε)) on a 〈T, ϕ〉 = 0.

On encore, on a x /∈ Ωmax(T ) ssi ∀ε > 0, ∃ϕ ∈ D(B(x, ε)) t.q. 〈T, ϕ〉 6= 0.

Preuve. Montrons ⇒. Supposons x ∈ Ωmax(T ). Par dénition de Ωmax(T ), si x ∈ Ωmax(T ) alorsx appartient à l'union, i.e. il existe Ω ⊂ Ωmax(T ) tel que x ∈ Ω et T est nulle sur Ω.

Et comme les boules forment une base de voisinage, l'Ω ci-dessus contient une boule B(x, ε).Et si ∀ϕ ∈ D(Ω) on a T (ϕ) = 0, et en particulier, ∀ϕ ∈ D(B(x, ε)) on a 〈T, ϕ〉 = 0.

Réciproquement, montrons ⇐. Supposons qu'on a un ε > 0 tel que T (ϕ) = 0 pour toutϕ ∈ D(B(x, ε)). Alors B(x, ε) ⊂ Ωmax(T ), et donc x ∈ Ωmax(T ).

Proposition 2.6 On a x /∈ Ωmax(T ) ssi ∀ε > 0, ∃ϕ ∈ D(B(x, ε)) t.q. 〈T, ϕ〉 6= 0.

Preuve. Montrons ⇒. Il est équivalent de démontrer que : si ∃ε > 0 t.q. ∀ϕ ∈ D(B(x, ε)) on a〈T, ϕ〉 = 0, alors x ∈ Ωmax(T ). Et cette armation est vraie car l'hypothèse dit que T est nullesur Ω = B(x, ε).

Réciproquement, montrons ⇐. Par hypothèse il n'existe pas d'ouvert Ω 3 x tel que T est nulsur Ω. Donc x /∈ Ωmax(T ).

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Page 21: Cours Maths

21 2.1. Support d'une distribution, distribution à support compact

2.1.2 supp(T ) et E ′(Ω)

Dénition 2.7 Le support de T est par dénition le complémentaire de Ωmax :

supp(T ) déf= R− Ωmax(T ). (2.3)

Par dénition, supp(T ) est donc fermé (complémentaire d'un ouvert).

Donc si on cherche supp(T ), soit on commence par calculer Ωmax(T ), soit on cherche les x ∈supp(T ) vériant la proposition 2.6.

Exemple 2.8 Pour T = δ0, on a Ωmax(δ0) = R∗ et supp(δ0) = 0.En eet : 1- on sait déjà que δ0 est nulle sur R∗+ et sur R∗−. Donc δ0 est nulle sur R∗+∪R∗− = R∗,

donc Ωmax(δ0) ⊃ R∗.2- Puis on a x = 0 /∈ Ωmax(δ0), car pour tout ε > 0, il existe n ∈ N tel que 1

n < ε, et pour untel n on a γn ∈ D(B(0, ε)) (cf (1.9)), avec δ0(γn) = γn(0) > 0. D'où 0 ∈ supp(δ0).

D'où Ωmax = R∗.

Exemple 2.9 Pour T = 1R (notation abusive de T = T1R), on a Ωmax = ∅.En eet, soit B(x, ε) =]x−ε, x+ε[. Et soit ϕ = ζab, voir (1.6), où a=x− ε

2 et b=x+ ε2 . On a∫

R 1Rϕ > 0, et donc T n'est pas nulle sur B(x, ε). Comme x et ε sont quelconques, T n'est nullesur aucune boule, et les boules formant une base de voisinage, on en déduit que T n'est nulle suraucun ouvert. D'où Ωmax = ∅.

Exemple 2.10 Soit T = Tϕ, distribution régulière associée à ϕ ∈ D(R) (fonction donnée et xée).Montrons que suppT = suppϕ, i.e. que T est nulle sur R− suppϕ, et que Ωmax = R−suppϕ.

Prenons ψ ∈ D(R−suppϕ) i.e. t.q. suppψ⋂

suppϕ = ∅. Les supports de ψ et de ϕ étantdisjoints, on a

∫R ϕ(x)ψ(x) dx = 0, i.e. 〈Tϕ, ψ〉 = 0. On en déduit que Tϕ est nulle que R−suppϕ,

et donc que Ωmax ⊃ R−suppϕ.Puis soit x ∈ suppϕ et soit ε > 0.Par dénition de suppϕ, quelque soit ε>0, il existe y ∈ B(x, ε)

tel que ϕ(y) 6= 0. Supposons par exemple ϕ(y)>0. Par continuité de ϕ en y, il existe η > 0 telque ϕ(z)> 1

2ϕ(y) pour tout z∈B(y, η). Et soit la fonction non nulle ζab, voir (1.6), où a=y−η2 et

b=y+η2 . On a alors 〈T, ζab〉>0. Donc T n'est nul dans aucune boule B(x, ε). Donc x 6∈ Ωmax.

Dénition 2.11 La distribution T ∈ D′(Ω) est dite à support compact dans Ω si suppT estcompact dans Ω.

Notation. On note E ′(Ω) l'espace des distributions à support compact.

Proposition 2.12 E ′(Ω) est un sous-espace vectoriel de D′(Ω).

Preuve. Vérication immédiate : pour S et T dans E ′(Ω), S +T ∈ D′(Ω) à son support inclu danssuppS + suppT , donc borné, donc S + T ∈ E ′(Ω). Et si λ ∈ R alors supp(λT ) = supp(T ), et doncsi T ∈ E ′(Ω) alors λT ∈ D′(Ω).

2.1.3 suppsing(T )

Ce paragraphe nécessiterait quelques développements. Comme dans la suite on ne se serviraque des distributions non régulières qui sont des combinaisons linéaires (ou limites de combinaisonslinéaires) de masses de Dirac et de ses dérivées, on se contente ici du minimum intuitif.

Dénition 2.13 On appelle support singulier d'une distribution T , et on note suppsing(T ) le sousensemble de suppT sur lequel T n'est pas distribution régulière.

Donc sur Ω = Rn − suppsing(T ) on a T qui s'écrit comme une distribution régulière, i.e. ilexiste f ∈ L1

loc(R) telle que pour tout ϕ ∈ D(Rn − suppsing(T )) on a 〈T, ϕ〉 =∫Rn f(x)ϕ(x) dx.

Remarque 2.14 Pour être précis, il faudrait considérer les ouverts U tels que T est régulièresur U , i.e. tels que il existe fU ∈ L1

loc(R) vériant 〈T, ϕ〉 =∫Rn fU (x)ϕ(x) dx pour tout ϕ ∈ D(U),

puis considérer la réunion Umax de tous ces U , puis dire qu'il n'y a qu'une fonction fUmax telle quefUmax restreinte à U vaut fU , et appeler suppsing(T ) = Rn − Umax.

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Page 22: Cours Maths

22 2.2. Dual de C∞(Ω) : E ′(Ω)

Exemple 2.15 On a suppsingδa = a = suppδa. En eet, on a suppsing ⊂ suppδa = a etsuppsingδa 6= ∅ car δa n'est pas une distribution régulière.

Et pour le peigne de Dirac T =∑

k∈Z δk ∈ D′(R), le support singulier est Z.

Exemple 2.16 Pour f ∈ L1loc(R) on a supp(Tf ) = supp(f) et suppsing(Tf ) = ∅.

Exemple 2.17 Soit T = δ0 + TH0 . Si ϕ ∈ D(R∗−) alors 〈T, ϕ〉 = 0, d'où Ωmax ⊃ R∗−, d'oùsuppT ⊂ R+. Puis suppT = R+ (exercice). Puis si ϕ ∈ D(R∗+) alors 〈T, ϕ〉 = 〈TH0 , ϕ〉 d'où T estrégulière sur R∗+. D'où suppsingT ⊂ 0.

Et T n'est pas une distribution régulière, d'où suppsingT = 0. (S'il existait une fonction f ∈L1

loc(R) telle que T = Tf ∈ D′(R), on aurait immédiatement f = H0 p.p. sur R, car Tf = TH0

dans D(R∗), et donc T = TH0 , ce qui est faux.)

2.2 Dual de C∞(Ω) : E ′(Ω)

Pour toute fonction f ∈ L1loc(R) on avait déni la distribution régulière Tf associée, le domaine

de dénition de Tf étant D(R).Ici, pour toute fonction f ∈ L1

loc(R) à support borné (donc a fortiori f ∈ L1(R)), on peutconsidérer son action sur les fonctions ψ ∈ C∞(R) (sans restriction de support pour les ψ) :

f ∈ L1loc(R), supp(f) borné, ∀ψ ∈ C∞(R), 〈f, ψ〉 =

Rf ψ dx < ∞, (2.4)

puisque∫

Rf ψ dx =

supp(f)

f ψ dx ≤ ( supx∈supp(f)

|ψ(x)|) ||f ||1 < ∞.

On a plus généralement :

Proposition 2.18 et dénition Si T ∈ E ′(Ω), si ψ ∈ C∞(Ω) alors, pour toute fonction α ∈ D(Ω)telle que α(x) = 1 pour tout x dans un voisinage ouvert de suppT , on a αψ ∈ D(Ω) et la quantité〈T, αψ〉 est indépendante de α. Et on pose par dénition :

∀T ∈ E ′(R), ∀ψ ∈ C∞(R), 〈T, ψ〉 déf= 〈T, αψ〉. (2.5)

Preuve. Soit β ∈ D(Ω) une autre fonction telle que β(x) = 1 pour tout x dans un voisinage ouvertde suppT (on démontrera par convolution qu'une telle fonction existe). Alors (α− β)(x) = 0 dansun voisinage ouvert de suppT . Et donc α− β ∈ D(Ω− suppT ) et donc pour tout ψ ∈ C∞(R) on a(α− β)ψ ∈ D(Ω− suppT ) et :

〈T, αψ〉 − 〈T, βψ〉 = 〈T, (α− β)ψ〉 = 0, (2.6)

i.e., 〈T, αψ〉 = 〈T, βψ〉 est bien indépendante de α (à partir du moment où α ≡ 1 dans un voisinageouvert de suppT ).

Remarque 2.19 Il n'est pas susant dans la propriété ci-dessus de considérer des fonctions α et βde D(Ω) qui valent 1 sur suppT : il faut avoir 1 dans un ouvert Ω′ qui contient le compact suppT (i.e.il faut avoir α ≡ 1 dans un voisinage ouvert de suppT ). Sinon on n'a pas (α− β) ∈ D(Ω− suppT ),mais uniquement (α− β)|suppT = 0 ce qui est insusant pour conclure. Un exemple est donné parla distribution

T : ϕ ∈ D(R) → T (ϕ) = limm→∞

( m∑

j=1

ϕ(1j)−mϕ(0)− log(m)ϕ′(0)

)

dont le support est 1, 12 , ..., 1

m , ...⋃0, et le problème est que 0 est un point d'accumulationdans le support. Voir par exemple Zuily [12], exercice 10 page 29, pour les calculs.

Proposition 2.20 Le dual de C∞(Ω) est l'ensemble E ′(Ω) (= L(C∞(Ω),R)).

Preuve. Admis (hors programme).Idée : on munit C∞(Ω) de la famille de normes pK,m rendant C∞(Ω) complet, voir annexe A.

Puis, pour tout T dans E ′(Ω), et pour tous ϕ et ψ dans C∞(Ω) et tout λ ∈ R, on a T (ϕ + λψ) =T (ϕ) + λT (ψ) (linéarité) ; et pour toute suite (ϕn) d'éléments de C∞(Ω) convergeant vers ϕ dansC∞(Ω) au sens des normes pK,m où il sut de prendre K compact voisinage de supp(T ), on a〈T, ϕ− ϕn〉 → 0 (continuité).

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Page 23: Cours Maths

23 2.3. Application : xT = 0 implique T = cδ0

Remarque 2.21 On vient de voir deux dualités : d'une part entre D′(Ω) et D(Ω) (entre distri-butions quelconques et fonctions C∞(Ω) à support borné), et d'autre part entre E ′(Ω) et C∞(Ω)(entre distributions à support borné et fonctions C∞(Ω) sans restriction sur le support).

Entre ces deux extrêmes, on introduira lorsque Ω = R, une autre dualité sans condition desupport, mais avec conditions de décroissance à l'inni (distributions à croissance lente, et fonc-tions C∞ à décroissance rapide). Elle sera introduite avec la transformation de Fourier.

2.3 Application : xT = 0 implique T = cδ0

On note (abusivement) I = x la fonction C∞(R;R) dénie par I : x → I(x) = x (identité). Etcomme I ∈ C∞(R), le produit IT = xT a bien un sens, voir paragraphe 1.5.4.

Problème posé : on dispose d'une distribution T dont on sait qu'elle vérie xT = 0 dans D′(R).Que peut-on dire de T ? Il est immédiat que si T = Cδ0, alors xT = 0 : en eet,

〈xT, ϕ〉 = C〈xδ0, ϕ〉 = C〈δ0, xϕ〉 = C0ϕ(0) = 0, ce pour tout ϕ ∈ D(R).Donc pour tout C ∈ R, on a x(Cδ0) = 0. C'est la réciproque qu'il s'agit d'établir.

Proposition 2.22 Si une distribution T ∈ D′(R) vérie xT = 0, alors T est proportionnelle à lamasse de Dirac δ0. I.e., il existe une constante C telle que T = Cδ0.

Et la constante C est alors donnée par C = 〈T, 1R〉.

Preuve. Soit T une distribution telle que xT = 0 dans D′(R). On veut montrer que :il existe C ∈ R, pour tout ϕ ∈ D(Ω), on a 〈T, ϕ〉 = Cϕ(0).

On remarque d'abord que T a son support borné et mieux, contenu dans 0. En eet, soit ϕ ∈ D(R)telle que supp(ϕ) ⊂ R∗, posons ψ = ϕ

x : on a ψ ∈ D(R), et ayant 〈xT, ψ〉 = 0 par hypothèse, ona donc 〈xT, ϕ

x 〉 = 0 = 〈T, xϕx 〉 = 〈T, ϕ〉 = 0. Ceci étant vrai pour toute ϕ telle que supp(ϕ) ⊂ R∗,

on a Ωmax ⊃ R∗, d'où suppT ⊂ 0.T étant donc à support compact, 〈T, ψ〉 a un sens pour toute fonction ψ ∈ C∞(R). Et l'hypo-

thèse 0 = 〈xT, ϕ〉 =déf 〈T, xϕ〉 vraie pour toute fonction ϕ ∈ D(R) est également vraie pour toutefonction ϕ ∈ C∞(R) (proposition 2.18).

On cherche à connaître T , i.e. à calculer 〈T, ψ〉 pour tout ψ ∈ C∞(R). Si pour toute fonction ψ ∈C∞(R) il existait une fonction ϕ ∈ D(R) telle que ψ = xϕ, on aurait 〈T, ψ〉 = 0 (et donc T = 0).Mais cela imposerait ϕ = ψ

x , et ϕ ne serait pas dénie au voisinage de 0 dès que ψ(0) 6= 0 : à ψdonné, on ne peut donc pas dénir ϕ aussi brutalement.

On corrige : pour ψ ∈ C∞(R) donnée, on considère la fonction ϕ ∈ C∞(R) dénie sur R par :

ϕ(x) =ψ(x)− ψ(0)

x

Il est immédiat que ϕ ∈ C∞(R) (c'est trivial sur R∗, et en 0 le vérier à l'aide du développementlimité de ψ au voisinage de 0), et comme 〈T, xϕ〉 = 0 :

〈T, ψ〉 = 〈T, xϕ〉+ 〈T, ψ(0)〉 = 0 + ψ(0)〈T, 1〉 = 〈 δ0, ψ〉〈T, 1〉 =⟨〈T, 1〉 δ0, ψ

Ceci étant vrai pour tout ψ ∈ C∞(R), on en déduit que : si T est une distribution donnée telle quexT = 0, alors posant C = 〈T, 1〉, on a T = Cδ0.

Remarque 2.23 Dans la démontration précédente, même si ψ ∈ D(R), la fonction ϕ construiten'est pas a support compact à cause de ψ(0)

x qui ne s'annule pas à l'inni, d'où l'utilisation de ladualité E ′(R)C∞(R).

Remarque 2.24 Dans la démonstration précédente, il n'était pas nécessaire de considérer la dua-lité entre E ′(R) et C∞(R) : on pouvait résoudre cet exercice au paragraphe 1.5.4 : il aurait sutde considérer la fonction ϕ(x) = ψ(x)−α(x)ψ(0)

x où α ∈ D(R) avec α(0) = 1, la fonction ϕ étantmaintenant dans D(R) dès que ψ ∈ D(R). Exercice.

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Page 24: Cours Maths

24 2.4. Généralisation de la dénition : supports compatibles

2.4 Généralisation de la dénition : supports compatiblesLa dénition d'une distribution est actuellement limitée aux deux cas suivants :1. T distribution à support quelconque agissant sur ϕ fonction C∞ à support compact,2. T distribution à support compact et pas de restriction sur le support de ϕ (avec ϕ ∈ C∞(Rn)).Mais il sut en fait pour dénir la quantité 〈T, ϕ〉 que l'intersection des supports soit bornée :

Proposition 2.25 dénition. Si T ∈ D(Rn)′ et ψ ∈ C∞(Rn) sont tels que K = suppT⋂

suppψest compact, et si α est une fonction de D(Rn) qui vaut 1 sur un voisinage ouvert de K, alors〈T, αψ〉 est indépendant de α. On dénit alors :

〈T, ψ〉 déf= 〈T, αψ〉. (2.7)

Et on dit que les supports de T et de ψ sont compatibles.

Preuve. Tout d'abord, une telle fonction α existe (on le verra avec le produit de convolution etla proposition 5.13), et de plus le produit αψ est bien dans D(Rn), et donc 〈T, αψ〉 a bien un sens.

Soit maintenant un autre fonction β ∈ D(Rn) qui vaut également 1 sur un voisinage ouvertde K. Montrons que 〈T, αψ〉 = 〈T, βψ〉, i.e. que 〈T, (α− β)ψ〉 = 0. On a :

supp(α− β) ⊂ R−K, donc supp(ψ(α− β)

) ⊂ supp(ψ)⋂

(R−K) (2.8)

et donc supp(ψ(α − β)

)⋂supp(T ) ⊂ K

⋂(R − K) = ∅ et donc 〈T, (α − β)ψ〉 = 0, voir propo-

sition 2.5. On a bien 〈T, αψ〉 = 〈T, βψ〉, et la quantité 〈T, αψ〉 est bien indépendante de α : ladénition proposée est légitime.

3 Dérivation et intégration sous le crochetPour ϕ : (~x, ~y) ∈ Rn × Rm→ϕ(~x, ~y), à ~x xé on note ϕ~x(~y) = ϕ(~x, ~y) et on s'intéresse à, pour

T ∈ D′(Rm) :θ(~x) = 〈T, ϕ~x〉 noté= 〈T (~y), ϕ(~x, ~y)〉 (=

~y

T (~y)ϕ(~x, ~y) dΩy),

le crochet (l'intégrale) qui dépend du paramètre ~x, et ~y étant le nom de la variable d'intégration.

Proposition 3.1 Soit ϕ ∈ C∞(Rn+m;R) et soient K1 ⊂ Rn et K2 ⊂ Rm tels que suppϕ ⊂K1 ×K2. Soit T ∈ D′(Rm), et on suppose que suppT

⋂K2 est compact (pour la compatibilité des

supports). Alors la fonction :

θ : ~x ∈ Rn −→ θ(~x) = 〈T, ϕ~x〉 noté= 〈T (~y), ϕ(~x, ~y)〉 (3.1)

est dans C∞(Rn) (et même dans D(Rn) si K1 est compact). Et(i) On peut dériver sous le crochet, pour i = 1, ..., n :

∂xi(〈T (~y), ϕ(~x, ~y)〉) = 〈T (~y),

∂xiϕ(~x, ~y)〉, (3.2)

i.e. on peut dériver sous le signe somme : ∂

∂xi

~y∈Ω

T (~y)ϕ(~x, ~y) dΩy =∫

~y∈Ω

T (~y)∂

∂xiϕ(~x, ~y) dΩy.

(ii) On peut intégrer sous le crochet, si K est un compact de Rn :∫

~x∈K

〈T (~y), ϕ(~x, ~y)〉 dΩx = 〈T (~y),∫

~x∈K

ϕ(~x, ~y) dΩx〉, (3.3)

ou encore :∫

~x∈K

(∫

~y∈Rm

T (~y)ϕ(~x, ~y) dΩy) dΩx =∫

~y∈Rm

T (~y)(∫

~x∈K

ϕ(~x, ~y) dΩx) dΩy.

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Page 25: Cours Maths

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Preuve. On se place pour simplier les notations dans le cas n = m = 1 avec de plus ϕ ∈ D(R2),donc à support compact, et donc on peut prendre K1 = [a, b] et K2 = [c, d] compacts (faire undessin), et avec T ∈ D′(R), les autres cas étant laissés au lecteur (modications simples de ladémonstration).

Soit ϕ une fonction quelconque de D(R2). Alors à x xé quelconque, la fonction ϕx : y →ϕx(y) = ϕ(x, y) est dans D(R) (de support dans K2), et pour T ∈ D′(R), la quantité 〈T, ϕx〉 abien un sens (à x xé).

Dans la suite, on notera 〈T, ϕx〉 = 〈T (y), ϕx(y)〉 = 〈T (y), ϕ(x, y)〉 (i.e. y est la variable d'inté-gration et x n'est qu'une constante dans cette expression).

Posons θ(x) = 〈T (y), ϕ(x, y)〉. Montrons que θ ∈ D(R). Tout d'abord, elle est à support com-pact : si suppϕ ⊂ K1 ×K2 alors supp(θ) ⊂ K1. En eet, si x 6∈ K1 alors ϕx = ϕ(x, .) ≡ 0 sur R(fonction nulle), et θ(x) = 〈T, 0〉 = 0. D'où θ est nul sur l'ouvert R−K1, d'où suppθ ⊂ K1.

Montrons que θ est continue sur R. Soit x0 ∈ R : pour h ∈ R, on a :

θ(x0 + h)− θ(x0) = 〈T (y), ϕ(x0+h, y)− ϕ(x0, y)〉 = 〈T (y), ϕh(x0, y)− ϕ(x0, y)〉,où on a noté ϕh(x, y) = ϕ(x+h, y), et on vérie immédiatement que ϕh ∈ D(R2).

Et on a ϕh(x0, .)−→h→0

ϕ(x0, .) au sens de D(R), cf. dénition 1.10 : en eet, 1- il sut deconsidérer les |h| < 1 et ϕ(x, .) et les ϕh(x, .) ont leur support dans le même compact K1+[−1, 1] =x1 + x2 : x1 ∈ K1, x2 ∈ [−1, 1], et 2- ϕ(k)(x0+h) = ϕ(k)(x0) + o(h) donne ||ϕ(k)(x0+h, .) −ϕ(k)(x0, .)||∞→0 quand h→0.

Donc, T étant continue sur D(R) (par dénition d'une distribution) et ayant ϕh(x0, .)→ϕ(x0, .)dans D(R), on a bien θ(x0+h)− θ(x0) → 0 quand h → 0.

De même, θ est dérivable par continuité de T car :

θ(x0+h)− θ(x0)h

= 〈T (y),ϕ(x0+h, y)− ϕ(x0, y)

h〉 −→

h→0〈T (y),

∂ϕ

∂x(x0, y)〉.

En eet ϕ(x0+h,y)−ϕ(x0,y)h →∂ϕ

∂x (x0, y) au sens de D(R) (vérication facile avec le développementlimité au premier ordre des ϕ(k) au voisinage de x0), et T est une distribution. On vient par lamême occasion d'établir la dérivation sous le 〈., .〉.

Et de même par récurrence, elle est C∞. Étant à support compact, θ est donc bien dans D(R).Passons à l'intégration. Posons F (x, y) =

∫ x

aϕ(t, y) dt pour a ∈ R. On a F ∈ C∞(R2), et Fx(y)

à son support contenu dans K2. Posons alors :

Φ(x) = 〈T (y), F (x, y)〉 = 〈T (y),∫ x

a

ϕ(t, y) dt〉, (3.4)

pour laquelle Φ(a) = 0 car F (a, y) = 0 pour tout y.Par dérivation sous le crochet (qui vient d'être établie), il vient :

Φ′(x) = 〈T (y), ϕ(x, y)〉. (3.5)

et donc par intégration :Φ(x)− Φ(a) =

∫ x

a

〈T (y), ϕ(t, y)〉 dt. (3.6)

Donc avec (3.4) on vient de voir qu'on peut donc intégrer sous le 〈., .〉.

Remarque 3.2 Attention, le fait qu'on puisse toujours dériver sous le signe∫

au sens des dis-tributions ne remet pas en cause le théorème de convergence dominée de Lebesgue : on ne peutdériver sous le signe

∫que parce que ϕ uniformément continue et uniformément dérivable (car

ϕ ∈ D(R)), et qu'en particulier le théorème de convergence dominée s'applique lorsque T = Tf estune distribution régulière.

Exercice 3.3 Soit θ(x) = 〈δ0(y), ϕ(x, y)〉 pour ϕ ∈ C∞(R2;R). Vérier la formule de dérivationsous le crochet.Réponse. On a par dénition de δ0 : θ(x) = ϕ(x, 0) (on prend la valeur pour y=0). Donc on a θ′(x) =∂ϕ∂x

(x, 0) (= limh→0θ(x+h)−θ(x)

h= limh→0

ϕ(x+h,0)−ϕ(x,0)h

).Et par dérivation sous le crochet, on a θ′(x) = 〈δ0(y), ∂ϕ

∂x(x, y)〉 donc = ∂ϕ

∂x(x, 0) (on prend la valeur

pour y=0).

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Page 26: Cours Maths

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Exercice 3.4 Soit f ∈ L1(R) à support compact, et soit sa transformée de Fourier dénie sur Rpar f(ξ) = 1√

∫x∈R f(x)e−ixξ dx. Mettre f sous la forme f(ξ) = 〈T (x), ψ(x, ξ)〉, et dériver f .

Dans quel sens f est dérivable ?Réponse. On pose T = Tf qui est dans E ′(R), et ψ(x, ξ) = 1√

2πe−ixξ qui est dans C∞(R2). Et on a

f(ξ) = 〈Tf , 1√2π

e−ixξ〉 qui a bien un sens car l'exponentielle est C∞ et les supports sont compatibles.D'où la dérivée (f)′(ξ) = 〈Tf , ∂ψ

∂ξ〉 = 〈Tf (x), −i√

2πxf(x)e−ixξ〉dx, qui a bien un sens car xe−ixξ est C∞ est

support de Tf est compact (compatibilité des supports). Ici on a obtenu la dérivée au sens des distributions.Mais on ne peut pas écrire (f)′(ξ) = 〈T−ixf (x), e−ixξ〉dx, à moins que xf soit dans L1

loc(R) (et dénitainsi une distribution régulière). Et dans ce dernier cas, on peut eectivement appliquer le théorème deconvergence dominée pour dériver sous le signe somme. En fait ici, ayant f dans L1 à support compact,on a également xf ∈ L1 puisque |xf | est dominée par M |f | où M vérie [−M, M ] ⊃ suppf .

4 Produit tensoriel de distributions : théorème de Fubini4.1 Théorème de Fubini

Soit f une fonction numérique sur Rm et g une fonction numérique sur Rn. On appelle produittensoriel f ⊗ g des fonctions f et g la fonction h : Rm+n → R dénie par le produit :

h(x, y) = f(x)g(y) (= (f ⊗ g)(x, y)) (4.1)

h est donc à `variables séparées' sur Rm+n = Rm × Rn. Elle est également notée abusivement :

h(x, y) = f(x)⊗ g(y) (4.2)

(au lieu de (f ⊗ g)(x, y).)Si f et g sont localement sommables (=intégrables) sur Rm et Rn, alors h est localement som-

mable sur Rm+n, et on peut étendre le produit tensoriel aux distributions : si ϕ(x, y) ∈ D(Rm+n)est de la forme u(x)v(y) avec u(x) ∈ D(Rm) et v(x) ∈ D(Rn) alors :

〈f(x)⊗ g(y), u(x)v(y)〉 =∫

Rm+n

f(x)g(y)u(x)v(y) dxdy =∫

Rm

f(x)u(x) dx

Rn

g(y)v(y) dy

= 〈f(x), u(x)〉 〈g(y), v(y)〉

Et si ϕ n'est pas de cette forme, alors on applique le théorème de Fubini :

〈f(x)⊗ g(y), ϕ(x, y)〉 =∫

Rm

f(x)(∫

Rn

g(y)ϕ(x, y) dy)dx

=⟨f(x) , 〈g(y), ϕ(x, y)〉 ⟩

=⟨g(y) , 〈f(x), ϕ(x, y)〉 ⟩ (4.3)

ce qui est toujours licite quand ϕ ∈ D(Rm+n) puisque qu'alors l'intégrant (x, y) → f(x)g(y)ϕ(x, y)est intégrable (dans L1(Rm+n)).

La généralisation aux distributions est donnée par la proposition suivante :

Proposition 4.1 et dénition, théorème de Fubini :Étant données deux distributions S ∈ D(Rm)′ et T ∈ D(Rn)′, il existe une unique distribution

W ∈ D(Rm+n)′ telle que pour tout u ∈ D(Rm) et v ∈ D(Rn) on ait :

〈W (x, y), u(x)v(y)〉 = 〈S(x), u(x)〉 〈T (y), v(y)〉 (4.4)

Et W est appelé le produit tensoriel de S par T et noté S⊗T , et donc 〈S⊗T, u⊗v〉 = 〈S, u〉 〈T, v〉.Et pour ϕ ∈ D(Rm+n) (non à variables séparées), la fonction :

θ(x) = 〈T (y), ϕ(x, y)〉 (4.5)

est dans D(Rm) et on a peut inverser l'ordre des calculs (théorème de Fubini) :

〈S(x)⊗ T (y), ϕ(x, y)〉 =⟨S(x), 〈T (y), ϕ(x, y)〉⟩ =

⟨T (y), 〈S(x), ϕ(x, y)〉⟩ (4.6)

26

Page 27: Cours Maths

27 4.1. Théorème de Fubini

(On a fait bien sûr l'abus de notation 〈W,ϕ〉 =noté 〈W (x, y), ϕ(x, y)〉.)Preuve. On admet ce résultat. Les étapes sont : on vérie que W = S⊗T est bien une distributionet son unicité est admise.

Puis la dérivation sous le crochet, proposition 3.1, nous donne la régularité de θ.Enn, on admet que l'ensemble engendré par les combinaisons linéaires de fonctions de la

forme ϕ1 ⊗ ϕ2 avec (ϕ1, ϕ2) ∈ D(Rm)×D(Rn) est dense dans D(Rm+n). De (4.4) on déduit alorsl'inversion des crochets pour le calcul de 〈S(x)⊗ T (y), ϕ(x, y)〉.Notations : les indices des crochets de dualité sont implicites dans (4.4) qui s'écrit aussi :

〈W (x, y), u(x)v(y)〉D′(Rm+n),D(Rm+n) = 〈S(x), u(x)〉D′(Rm),D(Rm) 〈T (y), v(y)〉D′(Rn),D(Rn).

(On n'a pas le choix.)

Remarque 4.2 Avec le théorème de Fubini, on retrouve les dérivations et intégrations sous lecrochet. En eet, on veut (3.2), i.e. :

⟨ ∂

∂xi(〈T (y), ϕ(x, y)〉dy) , ψ(x)

⟩dx

=⟨〈T (y),

∂xiϕ(x, y)〉dy , ψ(x)

⟩dx

, ∀ψ ∈ D(Rm), (4.7)

où on a indicé les crochets par dx ou bien dy pour préciser les variables d'intégration. Mais lemembre de gauche de (4.7) donne, par application de Fubini :

⟨ ∂

∂xi(〈T (y), ϕ(x, y)〉dy) , ψ(x)

⟩dx

= −⟨〈T (y), ϕ(x, y)〉dy,∂ψ

∂xi(x)

⟩dx

= −⟨T (y), 〈ϕ(x, y),

∂ψ

∂xi(x)〉dx

⟩dy

=⟨T (y), 〈 ∂ϕ

∂xi(x, y), ψ(x)〉dx

⟩dy

=⟨〈T (y),

∂xiϕ(x, y)〉dy , ψ(x)

⟩dx

,

d'où (4.7). Et pour l'intégration (3.3) :∫

x∈R〈T (y), ϕ(x, y)〉dy dx =

⟨1x, 〈T (y), ϕ(x, y)〉⟩

dx=

⟨T (y), 〈1x, ϕ(x, y)〉dx

⟩dy

= 〈T (y),∫

Rϕ(x, y) dx〉

comme souhaité.

Et en ce qui concerne le support de W on a :

Proposition 4.3 Si W = S ⊗ T alors suppW = suppS × suppT .

Preuve. (Faire un dessin dans le cas m = n = 1.) Soit W = S ⊗ T . Montrons que suppW ⊂suppS × suppT . Soit (x, y) /∈ suppS × suppT . Soit alors ϕ ∈ D(B((x, y), ε)) où ε = 1

2d, avecd = d((x, y), suppS× suppT la distance de (x, y) à suppS× suppT . On a ε > 0 car suppS× suppTest fermé et (x, y) n'est donc pas hypothèse pas dans l'adhérence.

Si x ∈ suppS alors y /∈ suppT . D'où à l'aide du théorème de Fubini, pour tout ϕ ∈D(B((x, y), ε)) :

〈W,ϕ〉 =⟨S(x), 〈T (y), ϕ(x, y)〉⟩ = 〈S(x), 0〉 = 0.

Et si x /∈ suppS alors à l'aide du théorème de Fubini, pour tout ϕ ∈ D(B((x, y), ε)) :

〈W,ϕ〉 =⟨T (y), 〈S(x), ϕ(x, y)〉⟩ = 〈T (y), 0〉 = 0.

Donc pour tout ϕ ∈ D(B((x, y), ε)) on a 〈W,ϕ〉 = 0, et donc (x, y) ∈ Ωmax(W ), i.e. (x, y) /∈supp(W ).

Réciproquement, soit (x0, y0) ∈ suppS × suppT . Donc x0 ∈ suppS, et y0 ∈ suppT . Donc, pourtoute boule ouverte B(x, εx) de Rm, il existe α ∈ D(B(x, εx)) telle que 〈S, α〉 6= 0. De même ilexiste β ∈ D(B(y, εy)) telle que 〈T, β〉 6= 0. Et on a :

〈S ⊗ T, α⊗ β〉 = 〈S, α〉〈T, β〉 6= 0.

Comme tout ouvert de Rm+n contenant (x, y) contient un ouvert de type B(x, εx) × B(y, εy), onen déduit que (x, y) /∈ Ωmax(W ), i.e. (x, y) ∈ suppW .

Et on a la proposition :

27

Page 28: Cours Maths

28 4.2. Exemples

Proposition 4.4 Le produit tensoriel S ⊗ T a un sens sur une fonction ϕ ∈ C∞(Rm × Rn) dèsque :

Eϕ = (suppS × suppT )⋂

suppϕ (4.8)

est borné. Et pour une telle fonction ϕ on peut appliquer le théorème de Fubini :

〈S(x)⊗ T (y), ϕ(x, y)〉 =⟨S(x), 〈T (y), ϕ(x, y)〉⟩ =

⟨T (y), 〈S(x), ϕ(x, y)〉⟩.

Preuve. (i) D'abord, si ϕ est à support compact, aucune condition n'est requise sur le support deS et T : c'est la dénition des distributions, dualité entre D(Rk) et D(Rk)′ pour k ∈ N.

(ii) Cas général. C'est grâce à la dénition généralisée (voir la proposition 2.25) : soit ϕ ∈C∞(Rm+n) donnée et soit α ∈ D(Rm+n) avec α = 1 dans un voisinage ouvert Uα de Eϕ. Lafonction αϕ est dans D(Rm+n), et donc 〈S ⊗ T, αϕ〉 ∈ R est bien déni, et on a le théorème deFubini :

〈S(x)⊗ T (y), α(x, y)ϕ(x, y)〉 =⟨S(x), 〈T (y), α(x, y)ϕ(x, y)〉⟩ =

⟨T (y), 〈S(x), α(x, y)ϕ(x, y)〉⟩.

Il reste à voir que ces quantités sont indépendantes de α, dès que α ∈ D(Rm+n) avec α = 1 dansun voisinage ouvert de Eϕ. C'est le cas pour 〈S(x)⊗ T (y), α(x, y)ϕ(x, y)〉, voir proposition 2.25.

Et à x xé, la quantité f(x) = 〈T (y), α(x, y)ϕ(x, y)〉 ne dépend pas de α. En eet, si βest une fonction qui vaut également 1 dans un voisinage ouvert Uβ de Eϕ, alors α − β estnulle dans le voisinage ouvert Uα

⋂Uβ de Eϕ et donc 〈T (y), (α(x, y) − β(x, y))ϕ(x, y)〉 = 0, i.e.

〈T (y), α(x, y)ϕ(x, y)〉 = 〈T (y), β(x, y)ϕ(x, y)〉. Par conséquent, 〈S(x), fx〉 est indépendant de α. Ilen est de même pour le dernier terme

⟨T (y), 〈S(x), α(x, y)ϕ(x, y)〉⟩.

4.2 ExemplesExemple 4.5 Une fonction w(x, y) de Rm × Rn est indépendante de x si elle est de la formew(x, y) = (1R ⊗ v)(x, y) = v(y).

De même, on dira qu'une distribution de D(Rm+n) est indépendante de x si elle est de la forme1R(x)⊗ T (y) = T (y). On a alors, pour tout ϕ ∈ D(Rm+n) :

〈1R(x)⊗ T (y), ϕ(x, y)〉 = 〈1R(x), 〈T (y), ϕ(x, y)〉〉 =∫

Rm

〈T (y), ϕ(x, y)〉 dx = 〈T (y),∫

Rm

ϕ(x, y) dx〉(4.9)

Exemple 4.6 La masse de Dirac δ~x pour ~x = (x1, . . . , xn) est dénie par :

δ~x = δx1 ⊗ . . .⊗ δxn (4.10)

C'est donc la distribution de support réduit à ~x et dont l'action à un sens sur toute fonctioncontinue f : on a dans ce cas 〈δ~x, f〉 = f(~x).

Exercice 4.7 Montrer que si W est le produit tensoriel des distributions régulières Tα et Tβ oùα ∈ L1(R) et β ∈ L1(R), alors W = Tα ⊗ Tβ est la distribution régulière W = Tα⊗β associée à lafonction (α⊗ β) ∈ L1(R2).

Et noter que cette distribution W est diérente de la distribution Tβ ⊗ Tα.Réponse : Par dénition, W = Tα ⊗ Tβ est déni sur les ϕ⊗ ψ pour ϕ et ψ dans D(R) par :

〈W, ϕ⊗ ψ〉 = 〈Tα, ϕ〉 〈Tβ , ψ〉.Et on a avec le théorème de Fubini :

〈Tα, ϕ〉 〈Tβ , ψ〉 = (∫R α(x)ϕ(x) dx)(

∫R β(y)ψ(y) dx) =

∫R2(α(x)β(y)) (ϕ(x)ψ(y)) dxdy.

D'où le résultat. Et en général,(∫R α(x)ϕ(x) dx)(

∫R β(y)ψ(y) dx) 6= (

∫R α(x)ψ(x) dx)(

∫R β(y)ϕ(y) dx),

i.e. Tα⊗β 6= Tβ⊗α. Exemple : α(x) = x et β(x) = x2 qui donne (α⊗β)(x, y) = xy2 et (β⊗α)(x, y) = x2y.

Exercice 4.8 Montrer que si Dpx est une dérivation par rapport à x, alors :

Dpx(S(x)⊗ T (y)) = (Dp

xS(x))⊗ T (y)

Réponse : avec le Théorème de Fubini on obtient :〈Dp

x(S(x)⊗ T (y)), ϕ〉 = (−1)p〈(S(x)⊗ T (y)), Dpxϕ〉 = (−1)p〈T (y), 〈S(x), Dp

xϕ〉〉...

28

Page 29: Cours Maths

29

Exercice 4.9 Soit la fonction de Heaviside de n variables H(~x) = H0(x1) ⊗ . . . ⊗ H0(xn), i.e.,H vaut 1 dans le `quadrant positif' et 0 ailleurs. Montrer que :

∂H

∂x1(~x) = δ0 ⊗H(x1)⊗ . . .⊗H(xn) et ∂nH

∂x1 . . . ∂xn(~x) = δx1 ⊗ . . .⊗ δxn .

Réponse : écrivons le résultat pour ~x = (x, y) ∈ R2 pour simplier les écritures. Et notons TH0 la distribu-tion régulière associée à H0. Alors, pour tout ϕ ∈ D(R2), avec le théorème de Fubini :

〈Dx(TH0(x)⊗ TH0(y)), ϕ(x, y)〉 = − 〈(TH0(x)⊗ TH0(y)), Dxϕ(x, y)〉 = −〈TH0(y), 〈TH0(x), Dxϕ(x, y)〉〉= 〈TH0(y), 〈DxTH0(x), ϕ(x, y)〉〉 = 〈DxTH0(x)⊗ TH0(y), ϕ(x, y)〉= 〈δ0(x)⊗ TH0(y), ϕ(x, y)〉.

5 Produit de convolution de fonctions5.1 Rappel formel5.1.1 Dans R

On rappelle que pour deux fonctions f et g, quand cela a un sens, le produit de convolutionf ∗ g est donné par l'intégrale :

h(x) = (f ∗ g)(x) =∫

t∈Rf(t)g(x− t) dt (=

Rf(x− t)g(t) dt). (5.1)

(L'intégrale h(x) est une intégrale dépendant du paramètre x.)

Exemple 5.1 En particulier, si f ∈ L1(R) et g = 1R, on (f ∗ 1R)(x) =∫R f(t) dt =constante, et

donc f ∗ 1R est la fonction constante `aire sous la courbe f ' (indépendante de x).

Exemple 5.2 Si g = δ0 alors on verra que f ∗ δ0 = f , i.e. h(x) = f(x) pour tout x :

h = f ∗ δ0 = f = δ0 ∗ f. (5.2)

C'est `naturel', une fois qu'on considère une approximation de δ0 par des fonctions, comme lesfonctions portes, Πk(x) = k1]− 1

2k , 12k [ car on a :

(f ∗Πk)(x) = k

∫ x+ 12k

x− 12k

f(t) dt, (5.3)

qui représente la valeur moyenne de f sur ]x− 12k , x + 1

2k [.En particulier, la mesure de f en x à travers un appareil (idéal) de précision parfaite représentée

par f ∗ g où g = δ0 permettra de connaître f(x) en chaque point x. Alors qu'un appareil réel nepermettra de connaître qu'une valeur moyenne f(x) (à travers une fenêtre de largeur ]− 1

2k , 12k [).

Puis on rappelle que :

Proposition 5.3 Si f et g sont convolables, i.e. si h(x) = (f ∗ g)(x) a un sens, alors le support dela fonction h = f ∗ g vérie :

supp(f ∗ g) ⊂ suppf + suppg,

i.e. supp(f ∗ g) ⊂ x ∈ R : ∃(y, z) ∈ suppf × suppg, x = y + z.

Preuve. En eet, pour x ∈ R (quelconque mais xé) :

(f ∗ g)(x) =∫

suppf

f(t)g(x− t) dt : est = 0 dès que x− t /∈ suppg, ∀t ∈ suppf.

Et x − t /∈ supp(g) pour tout t∈suppf équivaut à x /∈ t + supp(g) pour tout t∈suppf , i.e. àx /∈ suppf + suppg. Donc si x est dans l'ouvert R− (suppf + suppg), on a bien (f ∗ g)(x) = 0.

Exercice 5.4 Montrer que f ∗ 1[a,b] vérie (f ∗ 1[a,b])(x) =∫

t∈suppf∩[x−b,x−a]f(t) dt.

Réponse. On a 1[c,d](z) = 1[−d,−c](−z) (vaut 1 ssi −d ≤ −z ≤ −c ssi c ≤ z ≤ d), d'où à x xé,1[a,b](x− t) = 1[−b,−a](t− x) = 1[x−b,x−a](t) (vaut 1 ssi x− b ≤ t ≤ x− a).

29

Page 30: Cours Maths

30 5.2. Dénition et cas L1

5.1.2 Dans Rn

De même, quand cela a un sens, la convolution dans Rn est dénie par :

h(~x) = (f ∗ g)(~x) =∫

~t∈Rn

f(~t )g(~x− ~t ) dt (=∫

~t∈Rn

f(~x− ~t )g(~t ) dt) (5.4)

(l'intégrale est une intégrale dépendant du paramètre ~x.)

5.2 Dénition et cas L1

Les dénitions ci-dessus sont formelles. On précise :

Dénition 5.5 Soient f ∈ L1loc(R) et g ∈ L1

loc(R) deux fonctions localement intégrables. Onappelle produit de convolution de f par g la fonction notée f ∗ g dénie par, lorsqu'elle existe :

(f ∗ g)(x) =∫

Rf(t) g(x− t) dt. (5.5)

(Intégrale dépendant du paramètre x, également intégrale de f (pondérée) pour la mesure µ =g(x− t) dt.)

Notation. On note symboliquement (f ∗ g)(x) = (f(t) ∗ g(t))(x) pour éviter d'introduire tropde notations. On impose explicitement le nom (ici t) de la variable d'intégration : (f(t)∗g(t))(x) =∫

t∈R f(t)g(x− t) dt.Exemple :

h(t) = (f(s) ∗ eiνs)(t) =∫

Rf(s) eiν(t−s) ds,

où s est le nom (imposé explicitement) de la variable d'intégration. Il faudrait en toute rigueurposer gν(s) = eiνs et écrire (f ∗ gν)(t) et non (f(s) ∗ gν(s))(t) = (f(s) ∗ eiνs)(t), mais ça alourdil'exposé quand le contexte n'est pas ambigü.

Proposition 5.6 Quand elle est dénie, l'opération ∗ est distributive et commutative :

f ∗ (g1 + g2) = f ∗ g1 + f ∗ g2, g ∗ f = f ∗ g, (5.6)

d'où le nom de `produit'.

Preuve. La commutativité est triviale à l'aide du changement de variable y = x−t, dy = −dt. Et ladistributivité résulte de la distributivité de la multiplication de R et de la linéarité de l'intégrale.

L'existence du produit de convolution f ∗g est soumis à des restrictions sur f et g. Par exemple,on ne peut pas convoler les deux fonctions constantes égales à 1 : on aurait (1∗1)(x) =

∫∞−∞ 1dt = ∞.

Notant ||f ||1 = ||f ||L1(R) =∫R |f(x)| dx quand f ∈ L1(R) on a :

Proposition 5.7 Si f ∈ L1(R) et g ∈ L1(R) (intégrables), alors f ∗ g est bien dénie, et de plusf ∗ g ∈ L1(R) (est aussi intégrable) avec :

||f ∗ g||L1(R) ≤ ||f ||1 ||g||1. (5.7)

Même résultat si f et g sont dans L1(Rn).

Preuve. La démonstration est basée sur le théorème de Fubini qui donnera :

||f ∗ g||1 =∫

x∈R|(f ∗ g)(x)| dx =

t∈R|∫

x∈Rf(t) g(x− t) dx| dt

≤∫

t∈R

x∈R|f(t)| |g(x− t)| dx dt =

t∈R|f(t)|

(∫

x∈R|g(x− t)| dx

)dt

= (∫

t∈R|f(t)| dt)(

y∈R|g(y)| dy) = ||f ||1 ||g||1 < ∞.

(5.8)

Pour pouvoir appliquer le théorème de Fubini, il faut montrer que la fonction F dénie par F (t, y) =f(t)g(y) est bien dans L1(R2), ce qui est le cas, car F = f ⊗ g avec f et g dans L1. D'où on peut

30

Page 31: Cours Maths

31 5.2. Dénition et cas L1

appliquer Fubini à∫

t,y|f(t)| |g(y)| dtdy =

∫t∈R |f(t)|(∫

y∈R |g(y)| dy) dt. Puis par changement devariables, sachant le domaine d'intégration R2 = (t, y) ∈ R2 vaut :R2 = (t, x−t) ∈ R2 : t ∈ R, x−t ∈ R = (t, x) ∈ R2 : t ∈ R, x−t ∈ R, il vient :∫

t∈R |f(t)|(∫y∈R |g(y)| dy) dt =

∫t∈R(

∫x∈R |f(t)| |g(x− t)| dx) dt, cette dernière intégrale étant supé-

rieure à∫

t∈R(|∫

x∈R f(t) g(x− t) dx|) dt.

Remarque 5.8 L'inégalité obtenue ||f ∗ g||1 ≤ ||f ||1 ||g||1 est donc une inégalité où à gauche on aune intégrale double, alors qu'à droite on a un produit des deux intégrales simples.

En particulier, ||f ∗ g||1 (calcul d'une intégrale double) n'a rien à voir avec le produit ||fg||1(calcul d'une intégrale simple) qui en général n'a pas de sens pour f et g dans L1(R).

Par exemple, f(t) = g(t) = 1√t1]0,1] sont dans L1(R) (avec

∫ 1

01√t

= [2√

t]10 = 2), mais (fg)(t) =1t 1]0,1] n'est pas dans L1(R). Alors que f ∗g donnée par (f ∗g)(x) =

∫t

1√|t|

1√|x−t| dt est dans L1(R) :

cette fonction est dénie p.p., et plus précisément pour tout x ∈ R∗, et n'est pas dénie en x=0,mais ce n'est pas gênant ici puisque seul le caractère intégrable (au sens de Lebesgue) nous intéresseici. En particulier, on a vu que

∫R |f ∗ g|(x) dx ≤ ||f ||1||g||1 < ∞.

On a également le résultat suivant :

Proposition 5.9 Si f ∈ L1(R) et g ∈ Lp(R), alors f ∗ g ∈ Lp(R) et :

||f ∗ g||p ≤ ||f ||1||g||p. (5.9)

Même résultat si f ∈ L1(Rn) et g ∈ Lp(Rn).

Preuve. On se ramène au cas de la proposition 5.7, sachant f ∈ L1(R) et gp ∈ L1(R).On veut montrer que

∫x∈R |(f ∗ g)(x)|p dx < ∞, i.e. que :

x∈R

∣∣∣∫

t∈Rf(t)g(x− t) dt

∣∣∣p

dx < ∞. (5.10)

Il faut donc pour commencer regarder si (f ∗ g)(x) =∫

t∈R f(t)g(x − t) dt a un sens à x xé pourpresque tout x. On a :

|f(t)g(x− t)| = (|f(t)| 1p |g(x− t)|) (|f(t)| 1q ), (5.11)

où q est l'exposant conjugué de p : 1p + 1

q = 1.Puisque f ∈ L1(R) on a |f | 1q ∈ Lq(R) ; et à x xé, on a t → |f(t)| 1p |g(x− t)| ∈ Lp(R) puisque∫

R(|f(t)| |g(x − t)|)p dt = (f ∗ gp)(x) a un sens d'après la proposition 5.7 (on a bien f ∈ L1(R) etgp ∈ L1(R)).

D'où avec l'inégalité d'Hölder (voir cours d'intégration) on a à x xé, t → f(t)g(x− t) ∈ L1(R)et :

|(f ∗ g)(x)| = |∫

t∈Rf(t)g(x− t) dt| ≤ (∫

t∈R|f(t)| |g(x− t)|p dt

) 1p

(∫

t∈R|f(t)| dt

) 1q , (5.12)

et donc :|(f ∗ g)(x)|p ≤ |(|f | ∗ |g|p)(x)| ||f ||

pq

1 . (5.13)D'où avec la proposition 5.7 :

x∈R|(f ∗ g)(x)|p dx ≤ ||f ||1 ||gp||1 ||f ||

pq

1 (5.14)

soit puisque 1 + pq = p :

||f ∗ g||p =(∫

x∈R|(f ∗ g)(x)|p dx

) 1p ≤ ||f ||1 ||g||p. (5.15)

Démonstration similaire dans Rn.

31

Page 32: Cours Maths

32 5.3. Cas de g ∈ D(Ω) : régularisation C∞

5.3 Cas de g ∈ D(Ω) : régularisation C∞

On commence par noter qu'il sut de supposer que l'une des deux fonctions est à supportcompact pour que le produit de convolution est un sens, puis, si le produit de convolution a unsens et si l'une des fonctions est C∞ alors le produit est C∞ : le produit de convolution estrégularisant :

Proposition 5.10 Si f ∈ L1loc(R) et si g ∈ D(R), alors f ∗ g est une fonction de C∞(R).

Preuve. On note k(x, t) = f(t)g(x− t) = kx(t) l'intégrant de (f ∗ g)(x).À x xé quelconque la fonction partielle kx(t) = k(x, t) est intégrable car mesurable (produit

de fonctions mesurables), à support borné car g l'est, et bornée en valeur absolue par C|f(t)| oùC = supy∈R |g(y)| (qui existe car g est continue à support compact). On peut donc appliquer lecritère d'intégrabilité par domination : à x xé, (f ∗ g)(x) =

∫kx(t) dt a un sens.

Et pour le caractère C∞(R) on est dans le cas d'une intégrale h(x) = (f ∗g)(x) dépendant d'unparamètre x et on applique le théorème de convergence dominée de Lebesgue : 1- on a vu que pourtout x l'application kx est intégrable, 2- à t xé l'application partielle kt(x) = k(x, t) est C∞(R)en x car g l'est, 3- et sa k

(m)t (x) dérivée d'ordre m est bornée sur tout compact par Cm|f(t)| où

Cm = ||g(k)||∞, et donc h est C∞ sur tout compact, donc sur R.

Remarque 5.11 Par contre, il n'y a aucune raison pour que f ∗ g soit à support compact si fn'est pas à support compact : prendre f = 1R et (1 ∗ g)(x) =

∫R g(t) dt constante non nulle si∫

R g(t) dt 6= 0. Ce même exemple montre que dans ce cas f ∗ g n'est pas non plus dans L1(R).

5.4 Suite régularisante ou approximation de l'identitéDénition 5.12 On appelle suite régularisante une suite (ϕk) de D(R) telle que :

ϕk(x) ≥ 0 ∀x ∈ Rsupp(ϕk) ⊂ [−1

k,1k

]∫

Rϕk(x) dx = 1

(5.16)

Une telle suite approchant δ0 est également appelée approximation de l'identité, l'opérateur (δ0∗)étant l'opérateur identité, i.e. (δ0∗)f = f . Voir paragraphes suivants sur la convolution des distri-butions.

Dénition similaire dans Rn où [− 1k , 1

k ] est remplacé par la boule de centre 0 et de rayon 1k .

On a construit une suite régularisante en (1.9) page 5, à savoir (γk)k∈N∗ , où γk(x) = ζ(kx)∫R |ζ(kt)| dt

.

5.5 Régularisation C∞ d'une fonction en escalierOn ane le résultat de régularisation donné dans la proposition 5.10.

Proposition 5.13 Étant donné un intervalle fermé [a, b], avec −∞ < a < b < ∞, et γk est donnéepar (1.9), la fonction ϕ = 1[a,b] ∗ γk est une fonction de D(R) à support dans [a − 1

k , b + 1k ], telle

que 0 ≤ ϕ ≤ 1 et qui vaut 1 sur [a + 1k , b− 1

k ] dès que 2k < b− a.

Dans le cas de Rn, avec γk(~x) = ζ(k~x)∫Rn |ζ(nt)| dΩ

où ζ est donnée dans (1.7), la fonction 1K ∗ γk

est également dans D(Rn) de support K + B(~0, 1k ), où B(~0, 1

k ) est la boule unité de centre ~0 etrayon 1

k .

Preuve. La fonction 1[a,b] ∗γk est C∞ car γk l'est. On a (avec le changement de variable u = x− tdonnant du = −dt) :

ϕ(x) = 1[a,b] ∗ γk(x) =∫ b

t=a

γk(x− t) dt = −∫ x−b

u=x−a

γk(u) du =∫

u∈[x−b,x−a]

γk(u) du.

Donc, sachant que supp(γk) ∈ [− 1k , 1

k ], si x− b > 1k ou si x− a < − 1

k , on a 1[a,b] ∗ γk(x) = 0, d'oùsupp(1[a,b] ∗ γk) ∈ [a− 1

k , b + 1k ].

32

Page 33: Cours Maths

33

Et la fonction γk étant positive d'intégrale∫R γk = 1, on a 0 ≤ ∫

u∈[x−b,x−a]γk(u) du ≤ 1, i.e.

0 ≤ ϕ ≤ 1.Enn, si x− b < − 1

k et si x− a > 1k , i.e. si x ∈ [a + 1

k , b− 1k ], alors

ϕ(x) =∫

u∈[x−b,x−a]

γk(u) du ≥∫

u∈[− 1k , 1

k ]

γk(u) du = 1.

Et l'autre résultat attendu (très utilisé) est :

Proposition 5.14 Étant donné un intervalle ouvert ]a, b[, avec −∞ < a < b < ∞, et un intervallefermé [c, d] ⊂]a, b[, il existe une fonction ϕ ∈ D(]a, b[) qui vaut 1 sur [c, d], et qui de plus est positiveet bornée par 1.

Mêmes résultats dans Rn où [a, b] est remplacé par un compact K.

Preuve. C'est un corollaire de la proposition précédente : on prend ϕ = 1[a− 1k ,b+ 1

k ] ∗ γk avec k

assez grand pour que c < a− 1k et d > b + 1

k .

6 Produit de convolution de distributions6.1 Dénition6.1.1 Dénition formelle

Étant donné deux fonctions f et g de L1(Rn), leur produit de convolution est déni par, pourx ∈ Rn :

(f ∗ g)(x) =∫

Rn

f(y)g(x− y) dy (=∫

Rn

g(x− y)f(y) dy ) (6.1)

Au sens des distributions, cela donne pour toute fonction ϕ ∈ D(Ω) :

〈(f ∗ g)(x), ϕ(x)〉 =∫

Rn

(f ∗ g)(x)ϕ(x) dx =∫

R2n

f(y)g(x− y)ϕ(x) dx dy (6.2)

soit encore :

〈(f ∗ g)(x), ϕ(x)〉 =∫

R2n

f(y)g(x)ϕ(x + y) dx dy = 〈f(y)⊗ g(x), ϕ(x + y)〉 (6.3)

dès que le produit f ∗ g a un sens.

Dénition 6.1 On dénit alors le produit de convolution de deux distributions S et T de D′(Ω)par, lorsque cela a un sens :

∀ϕ ∈ D(Rn), 〈S ∗ T, ϕ〉 déf= 〈S ⊗ T, h〉 où h(x, y) déf= ϕ(x + y) (6.4)

Il est immédiat que si S ∗T a un sens alors S ∗T = T ∗S (commutativité). Et on note abusivement :

∀ϕ ∈ D(Rn), 〈S ∗ T, ϕ〉 déf= 〈Sx ⊗ Ty, ϕ(x + y)〉. (6.5)

Un des outils principaux pour l'étude de ce produit de convolution sera le théorème de Fubini,proposition 4.1.

Remarque 6.2 On rappelle qu'on ne peut pas convoler les deux fonctions constantes égales à 1 :on aurait (1 ∗ 1)(x) =

∫R 1dt = ∞.

De même, la dénition au sens des distributions pose un problème : pour ϕ ∈ D(R) on aurait〈1(x)⊗ 1(y), ϕ(x + y)〉 =

∫R(

∫R ϕ(z)dz)dx intégrale de fonctions à variables séparées donc égale à

(∫R dx)(

∫R ϕ(z)dz) = ∞.

33

Page 34: Cours Maths

34 6.1. Dénition

6.1.2 Domaines de dénition : supports convolablesLe produit de convolution n'a pas toujours de sens : si ϕ ∈ D(Ω) est bien à support borné, la

fonction h(x, y) = ϕ(x + y) n'est jamais à support borné (sauf si ϕ ≡ 0). En eet, si a ∈ suppϕ,alors le sous ensemble x+ y = a (droite de pente −1 dans R2) appartient au support de h, et doncle support de h n'est pas borné : h 6∈ D(R × R). Et le support de h est la bande oblique dans R2

(`de pente -1') qui passe par supp(ϕ)× 0 ⊂ R2 (faire le dessin).Voici des cas où on restreint les support de S ou de T de manière à conserver un sens à S ∗ T :

Proposition 6.3 et dénition. Soit S, T ∈ D′(Ω) deux distributions données. Pour que le pro-duit de convolution S ∗ T ait un sens dans D′(Ω), i.e. pour que 〈S ∗ T, ϕ〉 ait un sens pour toutϕ ∈ D(Ω), il sut que les sous ensembles de R2 :

Eϕ = (x, y) ∈ R2n : x ∈ suppS, y ∈ suppT, et x + y ∈ suppϕ (6.6)

soient bornés (les Eϕ dépendent de ϕ, et chaque Eϕ doit être borné). C'est en particulier le cas siles distributions S et T vérient :

1. suppS est borné,2. suppS et suppT sont limités tous deux à gauche (ou tous deux à droite).

On dit alors que les supports de S et T (ou simplement que S et T ) sont convolables.

Faire les dessins en commençant par représenter la bande oblique support de h(x, y) = ϕ(x + y).Preuve. Plaçons-nous, pour simplier les notations, dans le cas n = 1 (i.e. Rn = R). Pour S et Tdans D′(R) et ϕ ∈ D(R), le produit de convolution 〈S ∗ T, ϕ〉 a un sens ssi 〈S ⊗ T, h〉 a un sens oùh(x, y) =déf ϕ(x + y).

Et, pour que 〈Sx⊗ Ty, h(x, y)〉 ait un sens il sut que le support de Sx⊗ Ty et le support de hait une intersection bornée, grâce à la proposition 4.4 (ou à la propositiondénition 2.25).

Et les 2 cas présentés, satisfont visiblement à cette condition quelque soit ϕ.

Exercice 6.4 Soient S ∈ D′(R) et ψ ∈ C∞(R) t.q. leurs supports soient compatibles (propositiondénition 2.25). Montrer que les supports de S et de Tψ ne sont pas forcément convolables.Réponse. Soit S = 1R− et ψ = 1[−1,∞[∗γ1 avec ψ(t) = 1 pour t ≥ 0, voir (1.5) et (1.6) : ici suppS =]−∞, 0]est limité à droite et suppTψ = [−1,∞[ est limité à gauche, et suppS ∩ suppψ ⊂ [−1, 0]. Soit ϕ = γ1. AlorsEγ1 n'est pas borné (faire le dessin) et les supports ne sont pas convolables.

Et de plus S ∗ Tψ n'a pas de sens en général : on a 〈S ∗ Tψ, ϕ〉 =∫ 0

x=−∞∫∞

y=−1ψ(y)ϕ(x + y) dydx)

et pour ϕ = γ1 la fonction (x, y) → ψ(y)ϕ(x + y) n'est pas dans L1(R− × [−1,∞[). Sinon on pourraitappliquer le théorème de Fubini qui donnerait = ∞.

Exercice 6.5 Montrer que si les distributions S et T sont convolables alors on n'a pas forcémentsuppS et suppT compatibles.Réponse. On se met dans le cas 2. de la proposition avec S = 1R+ ∗ γ1 = T = ψ ∈ C∞(R). Alors S et T

sont convolables, mais 〈S, ψ〉 = ∞.

Remarque 6.6 La proposition 6.3 a pour hypothèse que pour chaque ϕ, l'ensemble Eϕ est borné.Cela ne veut pas dire que (

⋃ϕ∈D(R) Eϕ) est bornée !

Par exemple, si suppT est borné et S = 1R (on est dans le cas 1. de la proposition), l'ensemble Eϕ

est contenu dans la bande oblique (de pente −1) qui coupe l'axe des x sur le support de ϕ, et quise situe dans la bande horizontale délimitée par suppT . Les ψn dénis par ψn(x) = ϕ(x− n) sontbien sûr dans D(R), et Eψn est borné, mais l'union

⋃n∈NEψn n'est pas borné.

Remarque 6.7 La proposition 6.3 ne donne que des conditions susantes pour que S ∗ T ait unsens, pas des conditions susantes. Par exemple, si f et g sont des fonctions L1(R) alors leurssupports ne sont pas convolables, alors que f ∗ g a un sens (et f ∗ g ∈ L1(R), voir proposition 5.7).

Et il en est de même au sens des distributions pour f, g ∈ L1(R) : Tf ∗ Tg a un sens puisque siϕ ∈ D(R), alors :

〈Tf ∗ Tg, ϕ〉 =∫

R

Rf(x)g(y)ϕ(x + y) dxdy

et que l'intégrant est intégrable dans R2 car majoré par k(x, y) = ||ϕ||∞|f(x)g(y)|, et k ∈ L1(R2)car k est une fonction à variables séparées, chaque fonction étant dans L1(R).

34

Page 35: Cours Maths

35 6.1. Dénition

Remarque 6.8 Le cas 1. de la proposition 6.3 est intéressant dans l'étude des E.D.P., et le cas 2.dans l'étude des équations diérentielles.

Remarque 6.9 Ne pas confondre supports compatibles au sens de la proposition 2.25 (qui s'ap-plique à l'opération 〈., .〉) et supports convolables (qui s'applique à l'opération de convolution).

6.1.3 Application : convolution de fonctions L1loc(R)

On a par exemple dans le cas de distributions régulières (dénies par des fonctions de L1loc(R)) :

Lemme 6.10 Soient f ∈ L1loc(R) et g ∈ L1

loc(R) deux fonctions localement sommables, Tf et Tg lesdistributions régulières associées. On suppose les supports de Tf et Tg convolables (proposition 6.3).Alors :

h(x) = (f ∗ g)(x) =∫

Rf(x− t)g(t) dt (6.7)

est localement sommable : h ∈ L1loc(R).

Preuve. On considère f ∗g au sens des distritutions, i.e. on considère Tf ∗Tg : pour tout ϕ ∈ D(Ω) :

〈f ∗ g, ϕ〉 = 〈f(x)g(y), ϕ(x + y)〉 =∫

R2f(x)g(y)ϕ(x + y) dxdy (6.8)

Cela a bien un sens grâce à l'hypothèse sur les supports de f et g : la fonction f(x)g(y)ϕ(x+y) estlocalement sommable de support borné et est donc sommable. On peut donc appliquer le théorèmede Fubini, ce qui donne, après changement de variable :

〈f ∗ g, ϕ〉 =∫

R2f(z − y)g(y)ϕ(z) dzdy =

R

(∫

Rf(z − y)g(y) dy

)ϕ(z) dz =

Rh(z)ϕ(z) dz (6.9)

Et la fonction h(z)ϕ(z) étant sommable pour tout ϕ ∈ D(R), la fonction h(z) est localementsommable (pour un compact K donné, prendre ϕ ∈ D(R) avec ϕ = 1 sur K). Et comme 〈f ∗g, ϕ〉 =〈h, ϕ〉 pour tout ϕ ∈ D(Ω), on déduit que f ∗ g = h ∈ L1

loc(R).Notation. Corollaire : pour des distributions régulières Tf , Tg avec f, g ∈ L1

loc(R) et Tf , Tg

convolables, on note :Tf ∗ Tg = f ∗ g. (6.10)

Et pour f ∈ L1loc(R) et T ∈ D′(R) avec Tf , Tg de supports convolables, on note :

Tf ∗ T = f ∗ T. (6.11)

Exercice 6.11 Montrer que si f, g ∈ L1(R), alors Tf ∗ Tg = Tf∗g.Réponse. Voir remarque 6.7.

Exercice 6.12 Montrer que T ∗ δ0 = T (= δ0 ∗ Tf ) pour T ∈ D(R). Montrer que si f ∈ L1loc(R),

alors f ∗ δ0 = Tf (= δ0 ∗ f).Réponse. Comme δ0 est à support compact, T et δ0 sont convolables. Et 〈T ∗δ0, ϕ〉 = 〈T (x)⊗δ0(y), ϕ(x+

y)〉 = 〈T (x), 〈δ0(y), ϕ(x + y)〉〉 grâce au théorème de Fubini, = 〈T (x), ϕ(x)〉. D'où T ∗ δ0 = T , et de mêmeδ0 ∗ T = T . En particulier si T = Tf alors Tf ∗ δ0 = Tf , ce qui est noté abusivement f ∗ δ0 = f = δ0 ∗ f .

Exercice 6.13 Montrer que T ∗ δ′0 = T ′ (= δ′0 ∗ T ) pour T ∈ D(R). Montrer que si f ∈ C1(R),alors f ∗ δ′0 = f ′ (= δ′0 ∗ f).Réponse. Comme δ′0 est à support compact, T et δ′0 sont convolables. Et 〈T ∗δ′0, ϕ〉 = 〈T (x)⊗δ′0(y), ϕ(x+

y)〉 = 〈T (x), 〈δ′0(y), ϕ(x + y)〉〉 grâce au théorème de Fubini, = 〈T (x),−ϕ′(x)〉 = 〈T ′, ϕ〉. D'où T ∗ δ′0 = T ′,et de même δ′0 ∗ T = T ′. En particulier si T = Tf alors δ′0 ∗ Tf = (Tf )′, et si f ∈ C1(R) on a (Tf )′ = Tf ′ ,d'où avec les notations abusives δ′0 ∗ f = f ′ = δ′0 ∗ f (pour f ∈ C1(R)).

35

Page 36: Cours Maths

36 6.2. Régularisation C∞ des distributions

6.2 Régularisation C∞ des distributions6.2.1 Régularisation C∞ des distributions

On a vu dans 5.1 que convoler f par une fonction g en un point x sert à connaître une valeurmoyenne de f autour du point x pour la mesure g(x− t)dt. Une moyenne étant un objet `régulari-sant', on peut s'attendre à ce que le produit de convolution soit régularisant. On le sait déjà pourles fonctions de L1

loc(R), voir le paragraphe 5.5.

Proposition 6.14 et dénition. Soit Ω ouvert de Rn. Si T ∈ D′(Ω) et si ψ ∈ C∞(Ω) sont tellesque leurs supports sont convolables (voir proposition 6.3), alors T ∗ψ est une fonction C∞(Ω) (avecla notation (6.11)) et :

(T ∗ ψ)(x) = 〈T (t), ψ(x− t)〉 (6.12)On dit que T ∗ψ est la régularisée de T par ψ ∈ C∞(Ω), et que la convolution par ψ ∈ C∞(Ω) estune régularisation.

De plus, si (Tj) est une suite de D′(R) qui tend vers T dans D′(R), alors :

(Tj ∗ ψ)(x) → (T ∗ ψ)(x), ∀x ∈ R (6.13)

Preuve. T ∗ Tψ =noté T ∗ ψ a un sens car les supports sont supposés convolables. Puis dansle cas où T = Tf est une distribution régulière, on a (f ∗ ψ)(x) =

∫R f(t)ψ(x − t) dt. Et on a

ψ(x− t) = ψ(t− x) = τxψ(t), d'où (f ∗ ψ)(x) = 〈f, τxψ〉.Montrons que si T et ψ sont convolables, alors pour tout x les supports de T et de τxψ sont

compatibles, voir proposition 2.25. Supposons le contraire, i.e. que il existe x t.q. suppT ∩ suppτxψest non borné. Regardons le cas du voisinage de +∞ (même démarche pour le voisinage de −∞).Donc, pour tout R > 0, il existe a > R tel que a ∈ suppT et τxψ(a) 6= 0 i.e. ψ(x − a) 6= 0.Donc par dénition du support de T , pour tout ε > 0, il existe ξ ∈ D(B(a, ε)) avec ξ(a) 6= 0 telleque 〈T, ξ〉 6= 0. Puis on considère la fonction τx−aξ donnée par τx−aξ(y) = ξ(y + a − x) Et on al'ensemble E(τx−aξ) (de la proposition 6.3) qui contient le point (a, x − a). En eet a ∈ suppT ,x− a ∈ suppψ et τx−aξ(a + x− a) = ξ(a) 6= 0. Comme on peut choisir a aussi grand que souhaité,les supports ne sont pas convolables, ce qui est contraire à l'hypothèse. Donc T et τxψ ont leurssupports compatibles. (Faire un dessin avec τx−aξ telle que (u, v) → τx−aξ(u+v) = ξ(u+v−(x−a))a pour support la bande oblique qui passe par le point (u = a, v = x− a).)

On peut donc poser h(x) = 〈T (t), ψ(x− t)〉 = 〈T, τxψ〉, fonction ainsi dénie pour chaque x. Deplus h est C∞ grâce au théorème de dérivation sous le crochet (proposition 3.1) puisque (x, t) →ψ(x− t) est trivialement C∞(R2) quand ψ ∈ C∞(R). Donc h est localement intégrable et déniela distribution régulière Th.

Montrons que T ∗ψ = la distribution régulière Th, i.e. que T ∗ψ peut être identiée à la fonctionh ∈ C∞(R). On a, pour tout ϕ ∈ D(Ω) :

〈T ∗ ψ, ϕ〉 = 〈T (x)⊗ ψ(y), ϕ(x + y)〉 = 〈T (x), 〈ψ(y), ϕ(x + y)〉〉= 〈T (x),

Rn

ψ(y)ϕ(x + y) dy〉 = 〈T (x),∫

Rn

ϕ(z)ψ(z − x) dz〉

= 〈T (x), 〈ϕ(z), ψ(z − x)〉〉= 〈ϕ(z), 〈T (x), ψ(z − x)〉〉 = 〈ϕ, h〉 = 〈h, ϕ〉.

(6.14)

Et donc T ∗ ψ = h au sens des distributions (i.e. T ∗ Tψ = Th) et donc ici au sens des fonctions.Puis, pour ψ ∈ D(R) quelconque, à x xé, (Tj ∗ ψ)(x) = 〈Tj , ˇτxψ〉 → 〈T, ˇτxψ〉 = (T ∗ ψ)(x) par

dénition de la convergence dans D′(R), voir paragraphe 1.3.5.

Remarque 6.15 Si f ∈ L1(R) alors la formule (6.12) donne, pour ψ ∈ C∞(R) et f et ψ convo-lables :

(f ∗ ψ)(x) = 〈f(t), ψ(x− t)〉 =∫

t∈Rf(t)ψ(x− t) dt, (6.15)

et f ∗ ψ est C∞.

36

Page 37: Cours Maths

37 6.3. Convolution d'une fonction par une distribution à support compact

6.2.2 Densité de D(Ω) dans D′(Ω)

On sait déjà que la distribution δ0 (masse de Dirac) est limite de la suite de fonctions (γk)de D(R) (voir paragraphe 1.4.3).

On commence par le cas où Ω = R tout entier (ou Rn).

Proposition 6.16 Toute distribution T ∈ D′(R) est limite dans D′(R) d'une suite de fonctionsde D(R). On dit que D(R) est dense dans D′(R).

Preuve. (Par régularisation et troncature) On se donne une distribution T ∈ D′(R). Il s'agit detrouver une suite (αk) de D(R) telle que αk T dans D′(R), i.e. telle que pour tout ϕ ∈ D(R)〈T − αk, ϕ〉 → 0 quand k →∞ (voir paragraphe 1.3.5).

D'après le proposition 6.14, γk ∗ T est une fonction C∞(R). On restreint son support : soitαk = λk(γk ∗ T ) où la fonction λk ∈ D(R) vaut 1 sur [−k, +k] et 0 sur [−k−1, k+1] (une tellefonction existe, voir proposition 5.13). Il est immédiat que αk ∈ D(R).

Enn, pour ϕ donné dans D(R), on a, en prenant k assez grand pour que supp(ϕ) ⊂ [−k, k],et donc λkϕ = ϕ :

〈λk(γk ∗ T ), ϕ〉 = 〈γk ∗ T, λkϕ〉 = 〈γk ∗ T, ϕ〉 =⟨Ty, 〈γk(x), ϕ(x + y)〉⟩

−→k→∞

⟨Ty, 〈(δ0)x, ϕ(x + y)〉⟩ = 〈Ty, ϕ(y)〉 = 〈T, ϕ〉. (6.16)

Ce résultat étant vrai pour tout ϕ ∈ D(R) on a bien αk = λk(γk ∗ T ) T quand k →∞.Dans le cas où Ω est un ouvert de R quelconque, le résultat n'est pas modié :

Proposition 6.17 Toute distribution T ∈ D′(Ω) est limite dans D′(Ω) d'une suite de fonctionsde D(Ω). On dit que D(Ω) est dense dans D′(Ω).

Preuve. On reprend la démonstration précédente, mais on construit maintenant une suite defonctions λk de D(Ω) qui vaut 1 sur le compact K tel que d(K,R−Ω) ≤ 1

k (distance maximale dubord de K au bord de Ω). Et une telle suite existe d'après la proposition 5.14.

6.3 Convolution d'une fonction par une distribution à support compactProposition 6.18 Si T est une distribution à support compact et si ϕ est C∞ alors on a simple-ment :

(T ∗ ϕ)(x) = 〈T (t), ϕ(x− t)〉.

Preuve. Voir proposition 6.14.

Exemple 6.19 (δ0 ∗ ϕ)(x) = 〈δ0(t), ϕ(x− t)〉 = ϕ(x).

6.3.1 Convolution par 1 et par des polynômes d'une distribution à support compactLa proposition 6.3 ne donne qu'une condition susante, et non nécessaire.Pour une fonction f ∈ L1(R), on a h(x) = (f ∗ 1)(x) = 〈f, 1〉 =

∫R f(t) dt et donc la fonction h

est constante =∫

f . Et au sens des distributions toujours avec f ∈ L1(R), et pour tout ϕ ∈ D(R) :

〈f ∗ 1, ϕ〉 =∫

R

Rf(x)1(y)ϕ(x + y) dxdy =

R

Rf(x)ϕ(u) dxdu = 〈

Rf(x) dx, ϕ〉 = 〈〈f, 1〉, ϕ〉,

et h = f ∗ 1 est donc la fonction constante 〈f, 1〉 au sens des distributions ou des fonctions.Pour une distribution T à support borné, la convolée T ∗1 a un sens (au sens des distributions car

les supports sont compatibles), et c'est la fonction constante 〈T, 1〉 : avec la proposition précédenteil vient :

(T ∗ 1)(x) = 〈T (t), 1(x− t)〉 = 〈T (t), 1〉 = cste.

On peut le vérier avec la dénition, pour ϕ quelconque dans D(R) :

〈(T ∗1)(x), ϕ(x)〉R = 〈T (t)⊗1(x), ϕ(x+t)〉R2 =⟨T (t), 〈1, ϕ(u)〉R

⟩R =

⟨〈T (t), 1〉R, ϕ(u)⟩R = 〈c0, ϕ〉R,

grâce au théorème de Fubini, où c0 = 〈T, 1〉.

37

Page 38: Cours Maths

38 6.4. Masses de Dirac et convolution

De même, pour l'application linéaire ψ(x) = x, on a :

(T ∗ ψ)(x) = 〈T (t), x− t〉 = x〈T (t), 1〉+ 〈T (t),−t〉 = 〈c1 + c0 x, ϕ〉,

où c0 = 〈T, 1〉 et c1 = 〈T (t),−t〉, et T ∗ ψ est donc une application ane.Plus généralement, si P est un polynôme de degré n il est donné par son développement limité

au voisinage d'un point z par P (h + z) =∑n

k=0hk

k! ψ(k)(z).

Et donc P (x− t) =∑n

k=0xk

k! ψ(k)(−t) (son développement de Taylor au voisinage de −t). D'où

T ∗ P est aussi un polynôme de degré n donné par (on suppose toujours T à support borné pourêtre assuré de la compatibilité des supports) :

(T ∗ P )(x) = 〈T (t), P (x− t)〉 =n∑

k=0

xk

k!〈T (t), P (k)(−t)〉 =

n∑

k=0

ck

k!xk (6.17)

où ck = 〈T (t), P (k)(−t)〉.

6.3.2 Autre exempleUn cas où qui rentre dans le cadre de la proposition 6.3 est :

Exemple 6.20 Dans l'espace-temps R4, supposons que suppS ⊂ A et suppT ⊂ B où A est lecône d'ondes d'avenir et B le demi-espace des temps positifs :

A = t = x4 ≥ 0, x24 − x2

1 − x22 − x2

3 ≥ 0 B = t = x4 ≥ 0 (6.18)

Alors S ∗ T est bien déni : en eet, si ~x = (x1, x2, x3, x4) et ~y = (y1, y2, y3, y4), alors supposant~x + ~y borné, par exemple, maxi(xi + yi) ≤ C, implique x4 + y4 ≤ C. Et comme x4 ≥ 0 et y4 ≥ 0on en déduit que x4 et y4 sont bornés. Puis comme x2

4 ≥ x21 + x2

2 + x23, on déduit que les xi sont

bornés, donc que les yi sont aussi bornés.

6.4 Masses de Dirac et convolution6.4.1 Elément unitaire : masse de Dirac δ0

La masse de Dirac a un support borné puisque réduit à 0. La proposition 6.18 donne, pourf ∈ C∞(R) :

δ0 ∗ f = f = f ∗ δ0 (6.19)puisque (δ0 ∗ f)(x) = 〈(δ0)t, f(x− t)〉 = f(x) (c'est en fait vrai dès que f ∈ C0(R)).

Regardons la distribution T ∗ δ0. Elle a un sens car δ0 est à support borné, voir proposition 6.3.Et si ψ ∈ D(Ω) alors :

〈δ0 ∗ T, ψ〉 = 〈Ty, 〈δ0(x), ψ(x + y)〉〉 = 〈Ty, ψ(y)〉 = 〈T, ψ〉 (6.20)

Donc :T ∗ δ0 = T = δ0 ∗ T, ∀T ∈ D′(R). (6.21)

Et δ0 est élément neutre pour l'opération de convolution dans D′(R).Et l'opérateur (δ0∗) : D′(R) → D′(R) dénit par (δ0∗)T = δ0 ∗ T est l'opérateur identité.

6.4.2 Translation : masse de Dirac δa

La masse de Dirac en a joue le rôle de la translation : pour tout T ∈ D′(Rn) :

δa ∗ T = τaT (6.22)

ou encore : τaδ0 ∗ T = δ0 ∗ τaT = τaT .En eet, 〈δa ∗ T, ϕ〉 = 〈Ty, ϕ(y + a)〉 = 〈T, τ−aϕ〉 = 〈τaT, ϕ〉 pour tout ϕ ∈ D(Rn).

38

Page 39: Cours Maths

39

6.4.3 Dérivation : dérivée de Dirac δ′0

La dérivée de la masse de Dirac joue le rôle de dérivation :

δ′0 ∗ T = T ′ = T ∗ δ′0, δ(m)0 ∗ T = T (m) = T ∗ δ

(m)0 , (6.23)

pour toute distribution T . En eet, comme δ′0 a un support borné, δ′0 ∗ T a toujours un sens, eton a, pour tout ϕ ∈ D(Ω) :

〈δ′0 ∗ T, ϕ〉 = 〈δ′0(x)⊗ T (y), ϕ(x + y)〉 = 〈T (y), 〈δ′0(x), ϕ(x + y)〉〉= 〈T (y),−ϕ′(y)〉 = 〈T ′, ϕ〉 (6.24)

En particulier, on a pour la fonction de Heaviside : δ′0 ∗H0 = H ′0 = δ0.

Et pour la fonction constante unité : δ′0 ∗ 1 = 1′ = 0.

Exemple 6.21 Montrer que l'opérateur diérentiel P = d2

dx2 + a1ddx + a2, qui est déni en parti-

culier sur les fonctions ϕ ∈ D(R), s'écrit aussi appliqué à ϕ ∈ D(R) :

P (ϕ) = (δ′′0 + a1δ′0 + a2δ0) ∗ ϕ

Cela permettra de faire du calcul symbolique : au lieu de résoudre une équation diérentielle detype P (ϕ) = f on résoudra une équation de produit (de convolution) A ∗ ϕ = f où ici A =δ′′0 + a1δ

′0 + a2δ0.

6.4.4 Fonctions de Heaviside et H0eλx

En vue de la résolution des équations de convolution, on pose pour λ ∈ C et n ∈ N :

H(n)(λ) (x) = H0(x)eλx xn−1

(n− 1)!(6.25)

Alors on a :(H(n)

(λ) ∗H(m)(λ) )(x) = H

(n+m)(λ) (x) (6.26)

En eet :(H(n)

(λ) ∗H(m)(λ) )(x) =

∫ x

0

(x− t)n−1

(n− 1)!tm−1

(m− 1)!eλ(x−t) eλt dt

=eλx xn+m−1

(n− 1)! (m− 1)!

∫ 1

0

(1− u)n−1 um−1 du

(6.27)

après avoir posé t = xu. Or l'intégrale vaut (n−1)! (m−1)!(n+m−1)! (exercice).

7 Transformée de Fourier7.1 Transformation de Fourier de fonctions

Ici on considère les fonctions f : R → C (de la variable réelle à valeurs complexes). On noterasimplement L1(R) = L(R;C) l'ensemble des fonctions (Lebesgue) intégrables sur R à valeursdans C. Exemple : f : θ → eiθ

1+θ2 .Les buts de la série de Fourier, pour une fonction f qui est T périodique, et qu'il sut de

considérer sur l'intervalle [−T2 , T

2 ], sont les suivants :1- Connaissant la fonction f : t → f(t) (de la variable temporelle), on souhaite connaître son

expression fréquentielle. Les coecients de Fourier ck = 1T

∫ T2

−T2

f(t) e−i 2πkT t dt sont les expressions

fréquentielles cherchées pour la fréquence νk = 2πkT . Et les ck sont les composantes de f dans la

base orthogonale (ei 2πkT t)k∈Z de Fourier dans L2([−T

2 , T2 ]) : on a ck = (f, ei 2πk

T t)L2 .2- Connaissant les expressions fréquentielles ck (données par un oscilloscope par exemple)

d'une fonction, on souhaite connaître (récupérer) la fonction f . Elle est donnée par : f(t) =∑∞k=−∞ ck ei 2πk

T t (dès que f est C0(R) et C1 par morceaux par exemple). On a ainsi récupérer f(ou au moins ses valeurs moyennes) à l'aide de ses composantes.

Pour les transformées de Fourier, la démarche est la même, pour une fonction f ∈ L1(R) (sanscondition de périodicité) :

39

Page 40: Cours Maths

40 7.1. Transformation de Fourier de fonctions

1- Connaissant la fonction f : t → f(t) (de la variable temporelle), on souhaite connaître sonexpression fréquentielle. Les coecients de Fourier, appelés transformées de Fourier dans ce cas,fω = 1√

∫∞−∞ f(t) e−iωt dt sont les expressions fréquentielles cherchées pour la fréquence νω = 2πω.

2- Connaissant les expressions fréquentielles fω = f(ω) (données par un oscilloscope parexemple) d'une fonction, on souhaite connaître (récupérer) la fonction f . Elle est donnée par :f(t) =

∫∞ω=−∞ f(ω) eiωt dω (dès que f est L1(R) par exemple).

Le cas des séries de Fourier est supposé connu. On va commencer par préciser le passage desséries aux intégrales de Fourier, puis on démontrera la transformation de Fourier inverse. Ensuite,on passera aux transformées de Fourier des distributions.

7.1.1 Série de Fourier d'une fonction périodiquePour f une fonction L1

loc(R) périodique de période T , i.e. f(x + T ) = f(x) pour tout x ∈ R, ondénit sa série de Fourier Sf par :

(Sf)(t) =∞∑

k=−∞ck ei 2πk

T t (7.1)

où on a posé :

ck =1T

∫ T2

−T2

f(t) e−i 2πkT t dt (7.2)

On sait que Sf(t) = f(t) presque pour tout t et que Sf = f si par exemple la fonction périodiquef est C0(R) et C1 par morceaux sur R.

Notons :ek : t ∈ R→ ek(t) = e

2ikπT t ∈ R.

les fonctions de base (trigonométriques) de C0([−T2 , T

2 ]).

Remarque 7.1 (ek)k∈Z est une base orthogonale de L2([−T2 , T

2 ]) : en particulier on vérie que(ek, e`)L2 =

∫ T2

−T2

ek(t)e`(t) dt =∫ T

2

−T2

e2ikπ

T te−2i`π

T t dt = Tδk`. Et ( ek√T

)k∈Z est une base orthonor-mée.

Et pour f ∈ L2([−T2 , T

2 ]), les√

Tck sont les composantes de f sur la base orthonormée( ek(t)√

T)k∈Z, i.e.,

√Tck = (f, ek√

T)L2 =

∫ T2

−T2

f(t) ek(t)√T

dt = 1√T

∫ T2

−T2

f(t) e−i 2πkT t dt, expression de ck

équivalente à la précédente.Ces composantes ck de f ne font intervenir aucune valeur ponctuelle de f , uniquement des

valeurs moyennes de f pour la mesure 1T eiωkt dt. En particulier, pour une fonction C1 par morceaux,

la série de Fourier Sf vérie (Sf)(x) = f(x+)+f(x−)2 et n'est donc égale à f qu'aux points où f est

continue.Cette approche est donc très diérente de l'approche par développement limité qui fait intervenir

des valeurs ponctuelles de f .

Remarque 7.2 Pour un opérateur A ∈ L(E,E) d'un espace E dans lui-même, un vecteur e nonnul est vecteur propre s'il existe λ ∈ R (valeur propre) tel que Ae = λe, i.e., si l'espace Vecte estinvariant par A.

Si pour f ∈ L1(R) on note Cf = f∗ l'opérateur de L1(R) dans L1(R) dénit par Cf (g) = f ∗ g,alors on a avec la dénition des coecients de Fourier, notant ek(t) = ei 2πk

T t :

Cf (ek)(t) = (f ∗ ek)(t) =∫

Rf(s)ei 2πk

T (t−s) ds = ei 2πkT t ck. (7.3)

Et donc :Cf (ek) = f ∗ ek = ckek (7.4)

et donc la fonction ek(t) = ei 2πkT t est fonction propre pour Cf associée à la valeur propre ck

(le k-ième coecient de Fourier de f).

40

Page 41: Cours Maths

41 7.1. Transformation de Fourier de fonctions

Dénition 7.3 La pulsation d'ordre k associée à la période T est :

ωk =2πk

T= kω1

et ω1 = 2πT est la pulsation fondamentale. La fréquence fondamentale est ν1 =

1T

=ω1

2π, et les

fréquences harmoniques sont données par νk = kν1 =ωk

2π.

On notera également ∆ω = ωk+1 − ωk, et donc ∆ω = 2πT = ω1.

On a alors :ck =

1T

∫ T2

−T2

f(t) e−iωkt dt (7.5)

et :(Sf)(t) =

∞∑

k=−∞ck eiωkt (= f(t) p.p.). (7.6)

Deux fonctions de bases successives ek et ek+1 ont pour pulsations ωk = 2πkT et ωk+1 =

2π(k+1)T = ωk + ∆ω. Et quand T >> 1 (i.e. T est `grand'), ∆ω << 1 (i.e. ∆ω est `petit') et

les pulsations ωk et ωk+1 sont très voisines. Et il pourra être plus judicieux de considérer f(t)comme une fonction qui dépend de manière continue de ω, et non de manière discrète comme ici.Et ainsi au lieu d'écrire (Sf(t)) = f(t) =

∑k∈Z ck eiωkt, écrire f(t) =

∫ω∈R b(ω) eiωt dω.

C'est le cas lorsque la fonction f considérée a une période très grande, auquel cas on ne laconsidère plus comme étant périodique : ce cas est traité à l'aide des transformées de Fourier, lepassage de la somme discrète

∑Z à la somme continue

∫R étant l'objet du paragraphe suivant.

7.1.2 Introduction à la transformée de FourierOn prend une fonction qui n'est plus périodique, mais qui est intégrable (f ∈ L1(R)). Heuris-

tiquement, cela revient à faire tendre T vers +∞ de la manière suivante. On pose :

a(ωk) =T√2π

ck i.e. a(ωk) =1√2π

∫ T2

−T2

f(t) e−iωkt dt (7.7)

d'où, en restreignant f à l'intervalle [−T2 , T

2 ] :

Sf(t) =√

T

∑ωk

a(ωk) eiωkt (7.8)

Mais deux valeurs successives de ωk sont séparées de ∆ω = 2πT , d'où pour t ∈ [−T

2 , T2 ] :

Sf(t) =1√2π

∑ωk

a(ωk) eiωkt∆ω (7.9)

Et lorsque T tend vers ∞, ∆ω → 0, et on trouve heuristiquement :

Sf(t) =1√2π

∫ ∞

−∞a(ω) eiωt dω où a(ω) =

1√2π

∫ ∞

−∞f(t) e−iωt dt (7.10)

D'où :

Dénition 7.4 On appelle transformée de Fourier de f ∈ L1(R), et plus généralement d'unefonction f ∈ L1(R,C) fonction de la variable réelle à valeurs dans C, la fonction a : R → Cdonnant la valeur a(ω) trouvée en (7.10) (valeur qui dépend de f). On note a(ω) = (F(f))(ω) =(Ff)(ω) = f(ω). Donc :

f(ω) déf=1√2π

∫ ∞

−∞f(t) e−iωt dt (7.11)

41

Page 42: Cours Maths

42 7.1. Transformation de Fourier de fonctions

Ayant supposé f ∈ L1(R), cette dénition a bien un sens : f(ω) est une intégrale dépendant duparamètre ω, et la fonction t → f(t) e−iωt est intégrable puisque majorée par |f(t)| indépendantde ω.

On note également de manière abusive :

f(t) (ω) =1√2π

∫ ∞

−∞f(t) e−iωt dt, (7.12)

avec donc t variable d'intégration (variable `muette') et ω paramètre.On a donc, avec la notation (formelle) des distributions et du produit scalaire L2 (pour les

fonctions à valeurs complexes) :

f(ω) = 〈f(t),e−iωt

√2π〉 = (f(t),

eiωt

√2π

)L2 = (f,eiω.

√2π

)L2 (7.13)

Et f(ω) est `donc' la `composante' de f correspondant à la fréquence ω. (Ne pas oublier que(f, g)L2 =

∫fg dt ∈ C est associé à la norme ||f ||2L2 = (f, f)L2 =

∫ |f |2 dt ∈ R).Et (formellement) on reconstituera f à l'aide des ses composantes : formellement on considère

la somme, pour presque tout t ∈ R :

f(t) =1√2π

ω∈Rf(ω)eiωt dω (7.14)

(ce, dès que f ∈ L1(R).) Un des buts de ce cours est de prouver cette formule d'inversion, àcomparer avec (7.11).

7.1.3 Premières propriétés de la transformée de FourierProposition 7.5 Si f ∈ L1(R), la fontion :

f :

R → C

ω 7→ f(ω)(7.15)

est une fonction qui est continue et bornée par ||f ||L1(R).

Preuve. f est bornée sur R car : |f(ω)| ≤ ∫R |f(t)| dt = 1√

2π||f ||1 pour tout ω ∈ R.

Et f est continue si pour ω0 donné (quelconque) dans R on a f(ω) →ω→ω0 f(ω0). Mais à t xé,l'intégrant f(t) e−iωt est une fonction continue de ω, et il est dominé indépendamment de ω par lafonction intégrable |f(t)|. Le théorème de la convergence dominée de Lebesgue s'applique : f estcontinue.

On vient de voir que pour f ∈ L1(R) = L(R;C) on a f ∈ L∞(R) = L∞(R;C). On dénit alorsla fonctionnelle :

F :

L1(R) → L∞(R)

f 7→ F(f) = f .(7.16)

On rappelle que L∞(R) est l'ensemble des fonctions mesurables bornées, i.e. des fonctions f tellesque supx∈R |f(x)| < ∞. Notant ||f ||∞ = supx∈R |f(x)|, on rappelle que (L∞(R), ||.||∞) est unespace de Banach. (Plus exactement ||f ||∞ = sup essx∈R|f(x)|, le sup essentiel, i.e. à un ensemblenégligeable près, voir cours d'intégration. Mais ici f étant continue, c'est bien le sup sur tout R.)

Proposition 7.6 La fonctionnelle F est linéaire et continue de (L1(R), ||.||1) dans (L∞(R), ||.||∞).

Preuve. La linéarité de F est évidente : F(f + λg) = F(f) + λF(g) dès que f et g sont dansL1(R) et λ ∈ R par linéarité de l'intégrale.

D'où F est continue s'il existe C > 0 tel que pour tout f ∈ L1(R) on a ||f ||∞ ≤ C||f ||1(continuité en 0). Ceci a été prouvé dans la proposition 7.5 avec C = 1.

Corollaire 7.7 Si f ∈ L1(R), la fontion f : R → C (qui est continue et bornée) est telle que|f(ω)| → 0 quand ω →∞.

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Page 43: Cours Maths

43 7.1. Transformation de Fourier de fonctions

Preuve. Commençons par le cas où f = ϕ ∈ D(R) (donc en particulier ϕ′ ∈ L1(R)). Par intégra-tion par parties il vient :

ϕ(ω) = −∫

R

e−iωt

−iωϕ′(t) dt + 0 =

1iω

ϕ′ (ω) (7.17)

et comme ϕ′ ∈ L1(R), d'après (i) on a ϕ′ borné, et donc |ϕ(ω)| −→ω→∞

0.Maintenant, on sait que D(R) est dense dans L1(R), et d'après la proposition 7.6, on a F :

L1(R) → L∞(R) continue de L1(R) dans L∞(R). Ayant densité et continuité, on déduit quepour f ∈ L1(R) on a également f(ω) −→

ω→∞0. En eet, si ϕn ∈ D(R) est une suite qui vérie

||f − ϕn||1 −→n→∞

0, alors 0 ≤ ||f − ϕn||∞ ≤ ||f − ϕn||1 → 0. Donc ||f − ϕn||∞ → 0 et sachantϕn(ω) → 0 on obtient f(ω) → 0.

Remarque 7.8 Dire que la fonctionnelle F est continue (donc en un point f ∈ L1(R)) ne veut pasdire que la fonction f est continue (en un point ω ∈ R), mais que la fonctionnelle F est continuede L1(R) dans L∞(R).

Remarque 7.9 Le résultat pour les fonctions à valeurs complexes se démontre de la même ma-nière : si f ∈ L1(R,C), alors f est bornée et continue, et F est linéaire continue de L1(R,C) dansL∞(R,C).

Exercice 7.10 Montrer formellement que ˇf = f .

7.1.4 Notation FOn a par dénition, pour f ∈ L1(R) :

F(f)(ω) = f(ω) =1√2π

∫ ∞

t=−∞f(t) e−iωt dt,

On note alors, dès que g ∈ L1(R) :

F(g)(t) =1√2π

∫ ∞

ω=−∞g(ω) eiωt dω,

où F fait référence à la conjugaison : e−iωt = eiωt. (On montrera plus loin que F = F−1.)

Exercice 7.11 Vérier que, pour g ∈ L1(R) :

F(g) = F(g) et F(g) = F(g) (i.e. g = F(g)).

Réponse. On a pour ω ∈ R :F(g)(ω) = 1√

∫∞−∞ g(−t) e−iωt dt = 1√

∫∞−∞ g(t) eiωt dt = F(g)(ω).

Remarque 7.12 La convolée par la fonction périodique eω : t → 1√2π

eiωt de pulsation ω vaut :

(f(s) ∗ eiωs

√2π

)(t) =1√2π

s∈Rf(s)eiω(t−s) ds = f(ω)

eiωt

√2π

. (7.18)

Et donc eω est fonction propre de l'opérateur Cf (.) = f ∗. associée à la valeur propre a(ω) = f(ω).Ceci a un sens dès que f ∈ L1(R).

7.1.5 Notations, dérivation et produitPour simplier les écritures, on a déjà noté L1(R) pour désigner L1(R,C). On notera de même

C∞(R) pour désigner C∞(R,C) (fonctions C∞ de la variable réelle à valeurs dans C). Ainsi eω :t → 1√

2πeiωt = 1√

2π(cos(ωt) + i sin(ωt)) vérie eω ∈ C∞(R).

43

Page 44: Cours Maths

44 7.1. Transformation de Fourier de fonctions

Dans ce qui suit, on change les notations précédentes pour revenir à x variable réelle au lieude t. On notera ξ la variable de la transformée de Fourier (au lieu de ω). Donc on note pour ξ ∈ R :

(F(f))(ξ) = f(ξ) =1√2π

∫ ∞

x=−∞f(x) e−iξx dx, (7.19)

dès que f ∈ L1(R).Et on note xf la fonction xf : x → xf(x) dénie sur R quand f ∈ L1(R), notation qui sous

entend que x est le nom de la variable.

Proposition 7.13 (i) Dérivée de la transformée de Fourier : si f ∈ L1(R) et si xf ∈ L1(R), alorsf est C1(R) (i.e. f continue, dérivable, de dérivée continue) et on a :

(f)′

= −i (xf) i.e.(f)′

(ξ) = −i(xf)(ξ), ∀ξ ∈ R. (7.20)

Ou encore (xf) = i(f)′

: la transformée de Fourier transforme l'expression polynomiale (algé-

brique) (xf) en la dérivée (xf) = −(f)′.

(ii) Transformée de Fourier de la dérivée : si f ∈ L1(R) et si f est dérivable avec f ′ ∈ L1(R), alors :

f ′ = iξ f i.e. f ′ (ξ) = iξ f(ξ), ∀ξ ∈ R, (7.21)

i.e. la transformée de Fourier transforme la dérivée f ′ est en l'expression polynomiale (algébrique)f ′ = ξ f .

Preuve. C'est immédiat avec le théorème de la convergence dominée pour (i) et par intégrationpar parties pour (ii) :

Rf ′(x)e−ixξ dx = −

Rf(x)(−iξ)e−ixξ dx + [f(x)e−ixξ]∞−∞.

et sachant f ′ ∈ L1(R), on en déduit que f s'annule à l'inni (voir remarque suivante) d'où lerésultat.

Remarque 7.14 Le seul petit détail manquant dans la démonstration précédente est la propriétésuivante : si f et f ′ sont dans L1(R), alors f(x)−→x→∞ 0.

Montrons cette propriété. Comme f ′ ∈ L1(R), on a :

∀ε > 0, ∃A ∈ R, ∀B > A,

∫ B

A

|f ′(x)| dx < ε.

Donc, à ε xé, et A xé en conséquence, | ∫ B

Af ′(x) dx| < ε i.e. |f(B)−f(A)| < ε pour tout B > A.

Et donc ∀x > A, |f(A)|+ε > |f(x)| > |f(A)|−ε. Et comme f ∈ L1(R), on en déduit que |f(A)| ≤ ε(et donc que |f(x)| < 2ε). En eet, sinon |f(A)| − ε = c > 0 et ||f ||L1(R) ≥

∫∞A|f(x)| dx ≥∫∞

A(|f(A)| − ε) dx = ∞, ce qui est absurde.Donc, pour tout ε > 0, on a f(x) < 2ε pour x assez grand, et donc f(x)→0 quand x→∞.

Remarque 7.15 Attention, f ∈ L1(R) n'implique pas f(x) → 0 quand x → ∞. Prendre parexemple f(x) =

∑∞n=1 1[n,n+ 1

n2 ] qui vérie∫ |f | = ∑∞

n=11

n2 < ∞ et f(n) = 1 pour tout n ∈ N∗.On peut même avoir f ∈ L1(R) et f non borné au voisinage de ∞. Prendre par exemple

f(x) =∑∞

n=1 n1[n,n+ 1n3 ], qui vérie f(n) = n pour tout n ∈ N∗ avec

∫ |f | = ∑∞n=1

1n2 < ∞.

Donc dans la remarque précédente, l'hypothèse supplémentaire f ′ ∈ L1(R) est indispensable.

On a eu besoin pour cette proposition d'hypothèses de régularités : on ne peut pas calculer sansprécaution, l'espace L1 n'étant pas assez régulier. Et de plus, F déni sur L1 n'est pas à valeursdans L1, et on ne peut pas parler en général de la transformée de Fourier inverse : les fonctionsde L1(R) ne sont pas assez `régulières'. Ce sont des motivations pour introduire l'espace S deSchwartz des fonctions ayant par défaut `toutes les bonnes propriétés'.

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Page 45: Cours Maths

45 7.2. Transformée de Fourier dans S

7.2 Transformée de Fourier dans S7.2.1 DénitionDénition 7.16 On appelle fonction à décroissance rapide toute fonction ϕ ∈ C∞(R) qui décroîtplus vite que toute fonction rationnelle 1

xk (où k ∈ N) au voisinage de ±∞, ainsi que toutes sesdérivées. On note S l'espace de ces fonctions. Autrement dit, ϕ ∈ S ssi :

(ϕ ∈ C∞(R)) et (∀k ∈ N, ∀l ∈ N, ||xkϕ(l)||∞ < ∞). (7.22)

Cela veut dire : ϕ ∈ S ssi :

(ϕ ∈ C∞(R)) et (∀k ∈ N, ∀l ∈ N, ∃Ckl(ϕ) > 0, supx∈R

|xkϕ(l)(x)| < Ckl(ϕ)). (7.23)

(On notera Ckl(ϕ) = Ckl s'il n'y a pas d'ambiguïté sur la fonction ϕ.) Ou encore, ϕ ∈ S ssi :

(ϕ ∈ C∞(R)) et (∀k ∈ N, ∀l ∈ N, ∃Ckl > 0, ∀x ∈ R∗, |ϕ(l)(x)| < Ckl

|xk| ). (7.24)

(Comme annoncé, ϕ ainsi que toutes ses dérivées sont majorées par les fractions rationnelles.)

Exercice 7.17 Montrer que ϕ ∈ S équivaut aussi à :

ϕ ∈ C∞(R) et ∀k ∈ N, ∀l ∈ N, ∃Ckl > 0, ∀x ∈ R, |ϕ(l)(x)| < Ckl√1 + x2k

.

ce qui évite dans de ne considérer que les x 6= 0.Réponse. ⇒. Il s'agit de montrer que, ϕ étant C∞ :

∀(k, l) ∈ N2, ∃Ckl > 0, ∀x ∈ R∗, |√

1 + x2kϕ(l)(x)| < Ckl.

On a |√1 + x2kϕ(l)(x)|2 = |(1 + x2k)ϕ(l)(x)2| ≤ |ϕ(l)(x)|2 + |xkϕ(l)(x)|2, et il sut donc de prendreCkl =

√C2

0l + C2kl.

⇐ (réciproque). On suppose que |(1 + x2k)(ϕ(l))2(x)| < C2kl. On a donc, tous les termes étant positifs :

(ϕ(l))2(x) < C2kl et x2k(ϕ(l))2(x) < C2

kl, donc |xkϕ(l)(x)| ≤ Ckl.

Exercice 7.18 Montrer que ϕ ∈ S équivaut aussi à :

ϕ ∈ C∞(R) et ∀(k, l) ∈ N2, ∃Ckl > 0, ∀x ∈ R, |ϕ(l)(x)| < Ckl√1 + x2

k.

Exemple 7.19 La gaussienne e−x2 (fonction à décroissance `exponentielle') appartient à S ainsique son produit par tout polynôme.

Il en est de même pour la fonction γ1 ∗ e−|x| (régularisée de la fonction à décroissance exponen-tielle).

La fonction 1(1+x2) n'appartient pas à S (décroissance trop lente à l'inni). En eet, |x3 1

(1+x2) |n'est pas majoré quand x →∞.

Proposition 7.20 On a D(R) ⊂ S, et S est un sous-espace vectoriel de C∞(R). Et pour ϕ ∈ Son a :

1- ϕ ∈ L∞(R),2- xkϕ(l) ∈ S pour tout (k, l) ∈ N2,3- ϕ ∈ L1(R) et ϕ ∈ Lp(R) pour p ≥ 1.

Preuve. Soit ϕ ∈ D(R) : ϕ est nulle au voisinage de ±∞ donc est à décroissance rapide. En eetxkϕ(l) est uniformément continu sur suppϕ, donc sur R, ce pour tout k, l, et donc ||xkϕ(l)||∞ estatteint dans R : on note cette valeur Ckl, et (7.23) est alors vériée.

Si ϕ,ψ ∈ S et λ ∈ R alors |xk(ϕ + λψ)(l)| ≤ Ckl(ϕ) + λCkl(ψ) < ∞. D'où (ϕ + λψ) ∈ S et Sest un sous-espace vectoriel de C∞(R).

45

Page 46: Cours Maths

46 7.2. Transformée de Fourier dans S

Soit ϕ ∈ S. On a1- ||ϕ||∞ = ||x0ϕ(0)||∞ ≤ C00 < ∞, et donc ϕ ∈ L∞(R).2- Soit ψ = xkϕ(l) et (m,n) ∈ N2. Alors xmψ(n) = xm(xkϕ(l))(n), et la formule de Leibniz donne

(xkϕ(l))(n) =∑n

i=0

(ni

)(xk)(i)ϕ(l+n−i) =

∑ni=0 αix

k−iϕ(l+n−i) où αi ∈ R pour tout i = 1, ..., n.

D'où |xmψ(n)| ≤ ∑i αiCk+m−i,l+n−i < ∞ pour tout x ∈ R à n et m xé qcq. D'où ψ ∈ S.

3- Les fonctions ϕ et x2ϕ : x → x2ϕ(x) sont dans S, et donc la fonction (1 + x2)ϕ ∈ S (espacevectoriel), avec |(1 + x2)ϕ(x)| ≤ C00 + C20 pour tout x ∈ R. D'où |ϕ(x)| ≤ C00+C20

1+x2 qui estintégrable, d'où ϕ ∈ L1(R). Et |ϕ(x)|p ≤ (C00+C20

1+x2 )p qui est intégrable pour p ≥ 1, d'où ϕ ∈ Lp(R)pour p ≥ 1.

7.2.2 F(S) ⊂ SAyant S ⊂ L1(R), proposition 7.20, on peut en particulier appliquer la proposition 7.13 :

Proposition 7.21 Pour tout ϕ ∈ S, tout ξ ∈ R et tout k, l ∈ N on a :

ϕ′ (ξ) = iξϕ(ξ), ϕ(l) (ξ) = (iξ)lϕ(ξ)

(ϕ)′ (ξ) = −ixϕ(ξ), (ϕ)(k) (ξ) = (−i)kxkϕ(ξ)

τaϕ(ξ) = e−iaξ ϕ

τaϕ(ξ) = eiaxϕ

(7.25)

Preuve. Pour ϕ ∈ S on sait que ϕ′ ∈ S et sachant ϕ et ϕ′ dans L1(R), et les relations (7.25) ontdéjà été démontrées dans la proposition 7.13 dans les cas k = l = 1. Puis sachant que ϕ′′ ∈ L1(R),on a ϕ′′ (ξ) = iξϕ′ (ξ) = (iξ)2ϕ(ξ), et par récurrence, on obtient la relation (7.25)1 pour tout l.

De même, (ϕ)′′ (ξ) = −i (xϕ)′ (ξ) = (−i)2(x2ϕ

)(ξ), et par récurrence, on obtient la rela-

tion (7.25)2 pour tout k.Puis un calcul direct donne pour la translatée :

τaϕ(ξ) =1√2π

Rϕ(x− a) e−ixξ dx =

1√2π

Rϕ(y) e−i(y+a)ξ dy = e−iaξϕ(ξ) (7.26)

et de même :

τaϕ(ξ) = ϕ(ξ − a) =1√2π

Rϕ(x) e−ix(ξ−a) dx = F(ϕ(x) eixa)(ξ) (7.27)

d'où le résultat.

Proposition 7.22 Si f ∈ S alors f ∈ S, i.e. F(S) ⊂ S.

Preuve. Soit ϕ ∈ S. De (7.25) on déduit :

|ξkϕ(l)| = |ξk xlϕ| = | (xlϕ)(k) | (7.28)

(la dérivation est devenue puissance polynomiale et réciproquement.) Et comme ψ = (xlϕ)(k) ∈ Set S ⊂ L1(R), on a F(ψ) = ψ borné, i.e. |ξkϕ(l)| borné. Ceci étant vrai pour tout k, l ∈ N, on abien F(ϕ) ∈ S et donc F(S) ⊂ S.

Remarque 7.23 La transformée de Fourier s'écrit ici, pour ϕ ∈ S :

(Fϕ)(ξ) = 〈e−iξx

√2π

, ϕ(x)〉 (7.29)

notation des distributions qui est trivialement dénie par l'intégrale usuelle de Lebesgue pourϕ ∈ S. On verra l'extension de la notion des distributions dénies sur S avec les distributionstempérées.

46

Page 47: Cours Maths

47 7.2. Transformée de Fourier dans S

7.2.3 Topologie sur SOn considère la famille de normes (pk,l)0≤k,l<∞ dénies sur S par :

pk,l(ϕ) =∑

α≤k,β≤l

||xαϕ(β)||∞. (7.30)

La dénition (7.23) de S s'écrit alors de manière équivalente : ϕ ∈ S ssi :

(ϕ ∈ C∞(R)) et (∀k ∈ N, ∀l ∈ N, pk,l(ϕ) < ∞). (7.31)

On munit alors S de cette famille de normes.En particulier, disposant d'une famille dénombrable de semi-normes, on munit S de la distance :

d(ϕ,ψ) =∑

k,l

12k+l

pk,l(ψ − ϕ).

Et on peut montrer que S muni de cette distance est un espace métrique complet (admis). Et doncles passages à la limite ne poseront pas de problème pour la topologie induite : les suites de Cauchyseront convergentes dans S.

L'utilisation de cette distance n'étant pas très pratique, pour les propriétés de convergence oude continuité on utilise en fait les semi-normes pk,l.

Note : il n'y a pas de normes sur S qui rende S complet, et en particulier la distance ci-dessusne dérive pas d'une norme.

7.2.4 F : S → S est continueOn a montré que F(S) ⊂ S. On a également, lorsque S est muni de la famille de semi-

normes pk,l :

Proposition 7.24 La transformée de Fourier F : S → S est une application linéaire et continuede S dans lui-même. Plus précisément :

∀k, l ∈ N, ∃C > 0 : ∀ϕ ∈ S, pk,l(F(ϕ)) ≤ C pl+2,k(ϕ).

Preuve. On a F linéaire sur S puisque S ⊂ L1(R) et F linéaire sur L1(R), et pour montrer lacontinuité (hors programme) il faut montrer que `toute image est bornée par un antécédent' (avecles semi-normes adéquat), i.e. :

∀k, l ∈ N, ∃k′, l′ ∈ N, ∃C > 0, ∀ϕ ∈ S, pk,l(ϕ) ≤ C pk′,l′(ϕ) (7.32)

Mais on a :| (xlϕ)(k) | ≤ 1√

(∫

R

11 + x2

dx)||(1 + x2) (xlϕ)(k)||∞ (7.33)

d'où, avec∫R

11+x2 dx = [arctan]∞−∞ = π > 0 :

||ξkϕ(l)||∞ ≤√

π√2

α≤l+2, β≤k

||xαϕ(β)||∞ (7.34)

Et donc pour la norme (7.30) :pk,l(ϕ) ≤ C pl+2,k(ϕ) (7.35)

avec C > 0, et ce pour tout ϕ ∈ S. Et donc la tranformée de Fourier est bien continue de Sdans S.

7.2.5 Densité de D(R) dans SIl est évident que D(R) ⊂ S, une fonction nulle à l'inni étant en particulier à décroissance

rapide à l'inni. On a en fait :

47

Page 48: Cours Maths

48 7.3. Les Gaussiennes et l'égalité de Parseval

Proposition 7.25 L'espace D(R) est dense dans S : pour ϕ ∈ S donné, il existe une suite (ϕj) ∈D(R) telle que :

∀k, l ∈ N, pk,l(ϕ− ϕj) −→j→∞

0 (7.36)

(Ou encore, ∀ε > 0, ∀ϕ ∈ S, ∃ψ ∈ D(R), ∀k, l ∈ N2, pk,l(ϕ− ψ) < ε.)

Preuve. (Par troncature et régularisation.) Soit ϕ ∈ S donnée, et soit θ1 une fonction de D(R)qui vaut 1 sur [−1, 1] et à support dans [−2, 2] et telle que 0 ≤ θ1(x) ≤ 1 sur R (une telle suiteà déjà été construite par régularisation de 1[−1,1], à savoir 1[−1,1] ∗ γ1, voir proposition 5.13). Onconstruit la suite (θj) de D(R) qui vaut 1 sur [−j, j] :

θj(x) = θ1(x

j), ∀x ∈ R (7.37)

Puis on considère la suite de terme ϕj = ϕθj de D(R), qui vérie ϕ(x)−ϕj(x) = 0 sur [−j, j] (parconstruction) et qui est à décroissance rapide puisque ϕ(x)−ϕj(x) = ϕ(x) pour x à l'extérieur de[−2j, 2j].

Montrons que cette suite converge vers ϕ ∈ S, i.e. pour α, β ∈ N montrons que ||xα(ϕ −ϕj)(β)||∞ → 0 quand j →∞. On a, avec la formule de Leibniz et (ϕ− ϕj)(x) = ϕ(x)(1− θ1(x

j )) :

(ϕ− ϕj)(β)(x) = ϕ(β)(x)(1− θ1(x

j))−

β∑γ=1

γ

)ϕ(β−γ)(x)

1jγ

θ(γ)1 (

x

j)

= ϕ(β)(x)(1− θj)(x)− 1j

β∑γ=1

γ

)ϕ(β−γ)(x)

1jγ−1

θ(γ)1 (

x

j)

(7.38)

D'où on déduit que (après multiplication par xα) :

||xα(ϕ− ϕj)(β)||∞ ≤ max|x|≥j

|xαϕ(β)|+ 1jC(

β∑γ=1

||xαϕ(β−γ)||∞) (7.39)

(avec C > 0) qui tend bien vers 0 quand j → 0. Et pour k, l ∈ N, pk,l est une somme nie determes qui tendent vers 0 et tend donc vers 0.

7.3 Les Gaussiennes et l'égalité de Parseval7.3.1 Étalement ou concentration par Fourier

Et voici une propriété générale de la transformée de Fourier :

Proposition 7.26 Si ϕ ∈ S et si ϕa = ϕ(ax) alors :

ϕa (ξ) =1aϕ (

ξ

a) (7.40)

Et donc, la fonction ϕa qui `étale' ϕ pour a < 1 est tranformée par Fourier en une fonction qui`concentre' ϕ. Et la fonction ϕa qui `concentre' ϕ pour a > 1 est tranformée par Fourier en unefonction qui `étale' ϕ.Preuve. On a ϕa ∈ S et :

ϕa(x) (ξ) =1√2π

Rϕ(ax)e−ixξ dx =

1a√

Rϕ(y)e−i yξ

a dy =1aϕ (

ξ

a) (7.41)

Donc, si a << 1, alors ϕa est très `étalée', et sa transformée de Fourier est très `concentrée auvoisinage de 0'. Et réciproquement, si a >> 1, alors ϕa est très `concentrée au voisinage de 0', etsa transformée de Fourier est très `étalée'.

48

Page 49: Cours Maths

49 7.3. Les Gaussiennes et l'égalité de Parseval

7.3.2 Conservation des gaussiennes par FourierLa gaussienne x → e−ax2 est une fonction fondamentale de S pour la transformée de Fourier :

elle se transforme en une autre gaussienne par Fourier comme le montre la proposition suivante.

Proposition 7.27 Par Fourier, une gaussienne est transformée en une gaussienne : pour a > 0 :

(F(e−ax2))(ξ) =

1√2a

e−ξ2

4a (7.42)

et en particulier, la gaussienne réduite e−x22 est conservée :

e−x22

F−→ e−ξ2

2 (7.43)

Preuve. Posons χ : x → e−ax2 pour a > 0. On remarque que χa satisfait à l'équation diérentielle :

χ′a(x) + 2a xχa(x) = 0, χa(0) = 1 (7.44)

Et en appliquant la transformée de Fourier à cette équation (la transformation F est une opérationlinéaire) on obtient :

iξχa(ξ) + 2ai (χa)′ (ξ) = 0, χa(0) =1√2a

(7.45)

la condition initiale étant calculée directement à l'aide de :

χa(ξ) =1√2π

Re−ax2

e−ixξ dx qui donne χa(0) =1√2a

(7.46)

(On rappelle que(∫R e−y2

dy)2 =

∫ ∫R2 e−x2−y2

dxdy = π est calculé par passage en coordonnéespolaire.)

Et donc :(χa)′ (ξ) +

12a

ξχa(ξ) = 0, χa(0) =1√2a

(7.47)

Et χa satisfaisant le même type d'équations que χa, on en déduit que (unicité de la solution pourune équation diérentielle linéaire) :

χa(ξ) =1√2a

e−ξ2

4a (7.48)

Donc une gaussienne est transformée en une gaussienne par Fourier. En faisant a = 12 , on trouve

la Gaussienne réduite.On retrouve la propriété d'étalement concentration dans ce cas particulier.

7.3.3 Égalité de ParsevalOn a le lemme immédiat :

Proposition 7.28 Si ϕ et ψ sont dans S, alors :∫

y∈Rϕ(y)ψ(y) dy =

ξ∈Rϕ(ξ)ψ(ξ) dξ (7.49)

Preuve. C'est une égalité entre intégrales doubles : c'est une application immédiate du théorèmede Fubini.

On en déduit que l'énergie est conservée par transformée de Fourier :

Proposition 7.29 On a l'égalité de Parseval, pour tout ϕ, ψ ∈ S :∫

x∈Rϕ(x) ψ(x) dx =

ξ∈Rϕ(ξ) ψ(ξ) dξ (7.50)

En particulier, l'énergie est conservée par transformée de Fourier : pour tout ϕ ∈ S :∫

x∈R|ϕ(x)|2 dx =

ξ∈R|ϕ(ξ)|2 dξ (7.51)

49

Page 50: Cours Maths

50 7.3. Les Gaussiennes et l'égalité de Parseval

(On a noté ϕ la fonction conjuguée x → ϕ(x).)Preuve. On a besoin pour démontrer cette proposition d'admettre le résultat suivant, qui seradémontré au paragraphe 7.5 : si ψ ∈ S, alors

ψ(ξ) = ψ(−ξ) pour tout ξ ∈ R (i.e. que la transforméede Fourier inverse de F est F).

Dans (7.49) on prend la fonction g ∈ S qui vérie g(y) = g(y) = ψ(y), i.e. dénie par g(y) =

ψ(y). On a alors g(ξ) = ψ(ξ) = ψ(−ξ). Et enn on remarque que g(−ξ) = g(ξ) puisque :

g(ξ) =1√2π

y

g(y) e−iyξ dy =1√2π

y

g(y) eiyξ dy = g(−ξ) (7.52)

D'où∫

x∈R ϕ(x) g(x) dx =∫

ξ∈R ϕ(ξ) g(ξ) dξ i.e. (7.50).

Remarque 7.30 Il est immédiat que S ⊂ L2(R), et donc (7.50) et (7.51) s'écrivent :

(f, g)L2 = (f , g)L2 , ||f ||L2 = ||f ||L2

dès que f et g sont dans S. Et on verra que c'est encore vrai pour f et g dans L2(R).

7.3.4 Application : relations d'incertitude d'HeisenbergEn mécanique quantique, ce sont les mesures Wx et Wω de l'énergie qui permettent de situer

la particule (probabilité de présence) ou de connaître sa quantité de mouvement :

W 2x =

∫R x2 |f(x)|2 dx∫R |f(x)|2 dx

et W 2ω =

∫R ω2 |f(ω)|2 dω∫R |f(ω)|2 dω

. (7.53)

Proposition 7.31 (Principe d'incertitude) On a si f ∈ S :

WxWω ≥ 12. (7.54)

(Ce n'est rien d'autre qu'un résultat de étalement-concentration par Fourier : si Wx est concentré,alors Wω est étalé, et si Wω est concentré, alors Wx est étalé, et on mesure le minimum duproduit WxWω.)

Voir un cours de mécanique quantique pour l'interprétation de cette inégalité : si une particuletourne autour d'une position moyenne x = 0, alors l'écart quadratique moyen (ou dispersion) estdonné par Wx, et si cette dispersion Wx est petite (particule ne s'éloignant que très peu de 0),alors la dispersion sur la vitesse donnée par Wω est nécessairement grande, i.e. la vitesse est malconnue. Autrement dit, on ne peut pas simultanément mesurer précisément la position et la vitessed'une particule.Preuve. On vérie que si f ∈ S alors f ∈ L2(R) ainsi que xf . On peut appliquer l'inégalité deCauchySchwarz :

|∫

Rx f(x) f ′(x) dx|2 ≤

(∫

Rx2 |f(x)|2 dx

)(∫

R|f ′(x)|2 dx

). (7.55)

On regarde chacun des trois termes de cette inégalité.Pour le membre de gauche, par intégrations par parties, il vient :

R(x) (f(x) f ′(x)) dx = −1

2

Rf2(x) dx +

12

[xf2(x)

]∞−∞

, (7.56)

et le terme de bord est nul car f ∈ S.

50

Page 51: Cours Maths

51 7.4. Espace S′ des distributions tempérées

Pour le membre de droite de (7.55), l'égalité de Parseval donne :(∫

R|f ′(x)|2 dx

)=

(∫

R|f ′ (ω)|2 dω

)=

(∫

R|ω2f(ω)|2 dω

). (7.57)

D'où on déduit de (7.55) que :(1

2

Rf2(x) dx

)2

≤(∫

Rx2 |f(x)|2 dx

)(∫

R|ω2f(ω)|2 dω

)(7.58)

Et l'égalité de Parseval donnant∫R |f(x)|2 dx =

∫R |f(ω)|2 dω il vient :

14

(∫

R|f(x)|2 dx

)(∫

R|f(ω)|2 dω

)≤

(∫

Rx2 |f(x)|2 dx

)(∫

Rω2|f(ω)|2 dω

)(7.59)

ce qui est le résultat cherché.

7.4 Espace S ′ des distributions tempérées7.4.1 Dénition et exemplesDénition 7.32 Soit T ∈ D′(R) une distribution. T est dite distribution tempérée si T est uneforme linéaire continue sur D muni de la topologie induite par S, i.e., T linéaire et continue ausens (image bornée par un antécédent) :

∃C > 0, ∃k, l ∈ N, ∀ϕ ∈ D(R), |〈T, ϕ〉| ≤ C pk,l(ϕ) (7.60)

On note S ′ l'espace des distributions tempérées.

Et on admet :

Théorème 7.33 (Extension de la dualité) Si T : D(R) → R est une distribution tempérée, alors Tse prolonge de manière unique à S, et T conserve la continuité. I.e. on a T : S → R et :

∃C > 0, ∃k, l ∈ N, ∀ϕ ∈ S, |〈T, ϕ〉| ≤ C pk,l(ϕ) (7.61)

Et S ′ dénit le dual topologique de S.

Preuve. Admis. La démonstration est basée sur la densité de D(R) dans S, voir 7.2.5, et leprolongement par continuité, et ce théorème exprime le fait qu'une distribution tempérée est à`croissance au plus polynomiale' à l'inni.

Exemple 7.34 Une fonction f ∈ L1(R) dénit une distribution tempérée, puisque :

|∫

Rf(x)ϕ(x) dx| ≤ (

R|f(x)| dx) ||ϕ||∞ = C p0,0(ϕ) (7.62)

avec C = ||f ||L1(R).

Exemple 7.35 Une fonction f ∈ L2(R) (qui n'est pas en général dans L1(R)) dénit une distri-bution tempérée.

En eet, pour ϕ ∈ S, on a∫R fϕ =

∫R(fϕ(1 + x2))( 1

1+x2 ) dx, et les deux termes de l'intégrantétant dans L2, on en déduit que :

Rfϕ ≤ (

R

(f(x)ϕ(1 + x2))2 dx)12 (

R

(1

1 + x2)2 dx)

12

≤ (supR

(|ϕ(1 + x2)|2) 12 (

R

(f(x)2) dx)12 (

R

(1

1 + x2)2 dx)

12 ≤ C p20(ϕ)

(inégalité de CauchySchwarz) où C = ||f ||L2(∫

R( 11+x2 )2 dx)

12 .

De même, si p > 1, toute fonction f ∈ Lp(R) est dans S ′ (grâce à l'inégalité de Hölder).

51

Page 52: Cours Maths

52 7.4. Espace S′ des distributions tempérées

Exemple 7.36 Toute fonction polynôme dénit une distribution tempérée. On vérie par exempleque tout monôme xk est tempéré puisque pour tout ϕ ∈ S :

|〈xk, ϕ〉 = |∫

Rxk ϕ(x) dx| ≤ (

R

11 + x2

dx) ||xk(1 + x2)ϕ||∞ ≤ C pk+2,0(ϕ) (7.63)

où C =∫R

11+x2 dx = [arctan]∞−∞ = π > 0.

En particulier, une fonction constante est tempérée, et toute fonction dont le module est bornépar un poylnôme dénit une distribution tempérée.

Exemple 7.37 La fonction complexe : x ∈ R→ 1√2π

e−iξx qui dépend du paramètre ξ ∈ R dénitune distribution tempérée (majorée en module par la fonction constante 1). C'est une distributionrégulière (fonction de L1

loc) mais non intégrable sur tout R.C'est la distribution (tempérée) qui dénit la transformée de Fourier ϕ(ξ) = 1√

2π〈e−iξx, ϕ(x)〉

pour ϕ ∈ S.

Exemple 7.38 δ0 est tempérée ainsi que ses dérivés δ(`)0 : démonstration immédiate car ϕ(`)(0) ≤

||ϕ(`)||∞ = p0,`(ϕ).Et on peut montrer que toute distribution à support compact dénit une distribution tempérée :

vérication immédiate en se référant au A.2.

Dénition 7.39 On appelle fonction à croissance lente, une fonction ϕ ∈ C∞(R) bornée par unpolynôme ainsi que toutes ses dérivées : ϕ ∈ C∞(R) et

∀l ∈ N, ∃Cl > 0, ∃ml ∈ N, ∀x ∈ R, |f (l)(x)| ≤ Cl(1 + |x|)ml (7.64)

Grâce à l'exemple 7.36 on a alors la propriété immédiate :

Proposition 7.40 Toute fonction à croissance lente dénit une distribution tempérée.

Exemple 7.41 L'exponentielle ex2 ne dénit pas une distribution tempérée, puisque e−x2 ∈ S et∫R ex2

e−x2dx =

∫R dx = ∞ n'est pas borné : pour tout C > 0, pour tout k, l ∈ N, ϕ = e−x2 ∈ S

donne 〈T, ϕ〉 ≥ C pk,l(ϕ).

Exemple 7.42 Soit (ak)k∈Z une suite numérique quelconque.(i) Montrer que akδk ∈ D′(R) et que akδk 0 dans D′(R).(ii) Montrer que akδk ∈ S ′ et que akδk 0 dans S ′ si et seulement si (ak)k∈Z est à croissance

lente. (On dit que (ak)k∈N est à croissance lente ssi ∃C > 0, ∃m ∈ N, ∀k ∈ Z, |ak| ≤C(1 + |k|)m.)

(iii) Montrer que∑Z akδk est dans S ′ si et seulement si (ak)k∈Z est à croissance lente. (Indica-

tion :∑

akϕ(k) < ∞ puisque ϕ(k) ≤ C(1+|k|)m+2 pour k assez grand.)

Et on a la propriété immédiate :

Proposition 7.43 Si T ∈ S ′, alors toutes ses dérivées T (l), l ∈ N, appartiennent à S ′.

Preuve. Au sens des distributions, pour T ∈ D′(R), on a 〈T ′, ϕ〉 = −〈T, ϕ′〉, pour tout ϕ ∈ D(R).Et si de plus T ∈ S ′, cette dénition est conservée pour tout ϕ ∈ S, puisque D(R) est densedans S. Et puisque pour ϕ ∈ S on a ϕ′ ∈ S, on en déduit que si T ∈ S ′ alors T ′ ∈ S ′ (vérierla dénition 7.32). Puis il est clair (par récurrence) que pour tout l ∈ N que T (l) ∈ S ′ dès queT ∈ S ′.

7.4.2 Convergence dans S ′

S ′ est le dual de S (i.e. S ′ est l'ensemble des applications linéaires et continues sur S), et onretrouve la convergence faible :

Dénition 7.44 On dit que la suite (Tj) de distributions tempérées converge vers T dans S ′ si :∀ϕ ∈ S, 〈Tj , ϕ〉 −→

j→∞〈T, ϕ〉 (dans R) (7.65)

Et on note (Tj) T dans S ′ (convergence faible ou ponctuelle, i.e. pour ϕ xé on a convergence).

52

Page 53: Cours Maths

53 7.4. Espace S′ des distributions tempérées

On a alors :Proposition 7.45 Si (Tj)j∈N est une suite de S ′ telle que Tj T dans S ′ alors pour tout l ∈ N,T

(l)j T (l) dans S ′.

Preuve. Et pour (Tj) suite de S ′ qui converge faiblement vers T ∈ S ′, on a 〈T ′j , ϕ〉 = −〈Tj , ϕ′〉

pour tout ϕ ∈ S, qui converge vers −〈T, ϕ′〉 = 〈T ′, ϕ〉. Et donc T ′j T ′ dans S ′.Et par récurrence sur l on montre le résultat de convergence T

(l)j T (l).

7.4.3 Convergence pour les gaussiennesOn a vu que, cf (7.40) et (7.42), la transformée de Fourier transforme les fonctions concen-

trées autour de l'origine en fonctions étalées, et réciproquement. Précisons ce résultat pour lesgausiennes χε, voir 7.3.2 :

χε(x) = χ(√

εx) = e−εx2 donne (χε)(ξ) =1√2ε

e−ξ2

4ε (7.66)

L'ensemble des points d'ordonnée supérieure à β avec β ∈]0, 1[ est donné par :

Ix = x : χε(x) ≥ β = [−M, M ], M =1√ε

√|Log

1β|

Jξ = ξ : (χε)(ξ) ≥ β = [−m,m], m = 2√

ε

√|Log

1√2εβ

|(7.67)

Et à β xé, quand ε → 0, alors Ix tend vers R et Jξ tend vers 0.D'ailleurs on a (au sens des distributions) :

Proposition 7.46 On a au sens de S ′, quand ε → 0 :

e−εx2 1R et 1√

2εe−

ξ2

4ε √

2π δ0 (7.68)

i.e., pour tout ϕ ∈ S :∫

Re−εx2

ϕ(x) dx−→ε→0

Rϕ(x) dx et

R

1√2ε

e−ξ2

4ε ϕ(ξ) dξ−→ε→0

√2π ϕ(0) (7.69)

Preuve.1- On s'intéresse à F (ε) =

∫R e−εx2

ϕ(x) dx, et on applique le théorème de convergence dominéede Lebesgue.

L'intégrant f(ε, x) = e−εx2ϕ(x) est, à ε xé quelconque, bien dans L1, et à x xé on a

f(ε, x)−→ε→0 ϕ(x). Puis |f(ε, x)| ≤ ϕ(x) avec ϕ ∈ L1. D'où F (ε)→F (0) = 〈1R, ϕ〉.2- Puis on s'intéresse à F (ε) =

∫R

1√2ε

e−x24ε ϕ(x) dx. Dans ce cas, le théorème de Lebesgue

n'est pas applicable : l'intégrant f(ε, x) = 1√2ε

e−x24ε ϕ(x) est, à ε xé quelconque, bien dans L1,

et à x 6= 0 xé on a f(ε, x)−→ε→0 0 (avec f(ε, 0)−→ε→0 ϕ(0)). Mais |f(ε, x)| n'est pas dominéepar une fonction h ∈ L1 : si c'était le cas on pourrait passer à la limite sous le signe

∫et on

aurait F (0) = 0. Or il sut de prendre ϕ = 1 dans un voisinage de 0 pour voir que c'est faux (casparticulier de la démonstration suivante).

On commence par faire le changement de variable y = x√2ε, d'où dx =

√2ε dy et :

F (ε) =∫

y∈Re−

y2

2 ϕ(√

2εy) dy.

Et là on peut appliquer le théorème de convergence dominée de Lebesgue.

Preuve. Autre démonstration du 2- ci-dessus. Pour ϕ ∈ D(R) alors ϕ est continue en 0, d'où,sachant que 1√

∫R e−

ξ2

4ε dξ =√

2π :

〈 1√2ε

e−ξ2

4ε , ϕ(x)〉−→ε→0

√2πϕ(0) = 〈

√2πδ0, ϕ〉. (7.70)

Le vérier avec ε susamment petit pour `écraser' ϕ ailleurs que dans un voisinage de 0, cf. (7.67).Le passage par densité de D(R) à S est laissé en exercice.

53

Page 54: Cours Maths

54 7.5. Transformée inverse dans S

7.5 Transformée inverse dans SConnaissant ϕ ∈ S, on peut calculer ϕ. Réciproquement, on va montrer qu'on peut reconstituer

ϕ connaissant ϕ à l'aide de la transformée inverse :

Proposition 7.47 La transformée de Fourier est un isomorphisme de S dans S d'inverse donnépar, pour tout ϕ ∈ S :

(F−1ϕ)(x) =1√2π

ξ∈Rϕ(ξ) e+ixξ dξ = (Fϕ)(−x) (= f(−x) = ˇ

f(x)). (7.71)

En particulier, on a :

ϕ(x) = (F−1 Fϕ)(x) =1√2π

ξ∈Rϕ(ξ) e+ixξ dξ = (FFϕ)(−x) (=

f(−x) =ˇf(x)). (7.72)

On notera F−1 = F (en référence à la conjugaison de l'exponentielle sous l'intégrale).Preuve. Pour ϕ ∈ S, on a ϕ ∈ S, et donc (F(ϕ))(x) pour ϕ ∈ S est bien dénie pour tout x ∈ Ret donc (F(F(ϕ))(−x) est bien dénie pour tout x ∈ R.

Montrons que (F(F(ϕ))(−x) = ϕ(x) pour ϕ ∈ S, i.e. F(ϕ)(−x) = ϕ(x). On a :

(F(F(ϕ))(−x) =1√2π

ξ∈Rϕ(ξ) e+ixξ dξ =

12π

ξ∈R

(∫

y∈Rϕ(y) e−iyξ dy

)e+ixξ dξ. (7.73)

Mais on ne peut pas inverser les signes d'intégration car∫

ξ∈R e+i(x−y)ξ dξ n'est pas dénie : onne peut pas appliquer le théorème de Fubini (l'intégrant (y, ξ) → ϕ(y) e−i(y−x)ξ n'est pas dansL1(R2)).

On va montrer que (F(F(ϕ))(−x) = 〈δx, ϕ〉, i.e. on va travailler au sens des distributions.On réécrit les intégrales en considérant que e+ixξ est une distribution tempérée, et en introdui-

sant une fonction ψ ∈ S de telle sorte que maintenant∫

ξ∈R e+i(x−y)ξ ψ(ξ) dξ soit bien dénie demanière à pouvoir appliquer le théorème de Fubini. On pose donc, pour ψ ∈ S :

I(x, ψ) = 〈ψ(ξ),e+ixξ

√2π

ϕ(ξ)〉, = 1√2π

ξ∈Rψ(ξ)ϕ(ξ) e+ixξ dξ

et on choisira ψ pour que ψ(ξ) tende vers 1R. Prenons dès maintenant ψ(ξ) = χε(ξ) = e−εξ2 . Cettefonction est bien dans S et donc χε(ξ)e+ixξ est une distribution tempérée. De plus on a dans S ′,voir (7.68) :

χε(ξ) ε→0

1R.

D'où :

I(x, χε) = 〈χε(ξ),e+ixξ

√2π

ϕ(ξ)〉−→ε→0

〈1,e+ixξ

√2π

ϕ(ξ)〉 = 〈e+ixξ

√2π

, ϕ(ξ)〉 = F(ϕ)(−x), (7.74)

et I(x, χε) tend bien vers l'expression souhaitée (F(F(ϕ))(−x) de (7.73).Et on peut maintenant appliquer le théorème de Fubini pour I(x, χε) :

I(x, χε) =1√2π

ξ∈Rϕ(ξ) e+ixξ χε(ξ) dξ =

12π

y∈Rϕ(y)

(∫

ξ∈Re+i(x−y)ξ χε(ξ) dξ

)dy

=1√2π

y∈Rϕ(y)χε(y − x) dy =

1√2π〈χε(y), ϕ(x + y)〉.

Et avec (7.68), il vient :

I(x, χε)−→ε→0

1√2π〈√

2πδ0(y), ϕ(x + y)〉 = ϕ(x).

Identiant la limité ci-dessus avec la limite trouvée dans (7.74), on obtient F(F(ϕ))(−x) = ϕ(x)pour tout x ∈ R (dès que ϕ ∈ S), et F : F(S) → S déni bien l'inverse de F .

Il reste à montrer que F est surjective, i.e. que F(S) = S. Mais c'est immédiat car si ϕ ∈ S,alors ϕ = F(F(ϕ)) et donc ϕ est l'image de F(ϕ).

On obtient bien sûr le même résultat en considérant F(F(ϕ)).

54

Page 55: Cours Maths

55 7.6. Transformée de Fourier d'une distribution tempérée

7.6 Transformée de Fourier d'une distribution tempérée7.6.1 Dénition

On a déjà vu que pour les fonctions de S on avait, cf (7.49) :

〈ϕ, ψ〉 = 〈ϕ, ψ〉, ∀ϕ, ψ ∈ S. (7.75)

On généralise cette propriété aux distributions tempérées en posant la dénition :

Dénition 7.48 Pour T ∈ S ′ distribution tempérée, on dénit sa transformée de Fourier pardualité :

∀ϕ ∈ S, 〈T , ϕ〉 déf= 〈T, ϕ〉 (7.76)

Cette dénition a un sens car si ϕ ∈ S alors ϕ ∈ S.Exemple 7.49 Si f ∈ L1(R) alors f est tempérée (i.e. Tf distribution régulière associée à f esttempérée), et on retrouve la dénition usuelle puisque, pour tout ψ ∈ S :

〈f, ψ〉 =∫

ξ

f(ξ) ψ(ξ) dξ =1√2π

ξ

f(ξ)∫

x

ψ(x) e−ixξ dx dξ

=1√2π

x

(∫

ξ

f(ξ) e−ixξ dξ) ψ(x) dx = 〈f , ψ〉(7.77)

On peut en eet appliquer le théorème de Fubini puisque la fonction (x, ξ) → ψ(x)f(ξ) e−ixξ estdans L1(R2). Et donc on retrouve bien f(x) = 1√

∫ξf(ξ) e−ixξ dξ = 〈 e−ixξ√

2π, f〉.

7.6.2 F(S ′) ⊂ S ′

La dénition par dualité donne :

Proposition 7.50 La transformée de Fourier d'une distribution tempérée est une distributiontempérée, i.e., F(S ′) ⊂ S ′.

Preuve. On sait que F est un isomorphisme de S dans S, et donc, pour T ∈ S ′ on a T qui estune application linéaire et continue sur S (dénition (7.76)). La linéarité est triviale et sachantpk,l(ϕ) ≤ C pl+2,k(ϕ) où C > 0 (voir proposition 7.24 et équation (7.35)), la continuité de T surS ′ est immédiate.

7.6.3 PropriétésOn a alors :

Proposition 7.51 Si (Tj)j∈N est une suite de S ′ qui tend vers T ∈ S ′, alors Tj tend vers Tdans S ′ :

Tj T dans S ′ ⇐⇒ Tj T dans S ′ (7.78)

Preuve. Par dénition, sachant que Tj ∈ S ′ implique Tj ∈ S ′, on a pour tout ϕ ∈ S sachantqu'alors ϕ ∈ S :

〈Tj , ϕ〉 = 〈Tj , ϕ〉 −→j→∞

〈T, ϕ〉 = 〈T , ϕ〉 (7.79)

D'où le résultat.Et par dualité, avec la proposition 7.52 il vient :

Proposition 7.52 Pour tout T ∈ S ′, tout ξ ∈ R et tout k, l ∈ N on a :

T ′ (ξ) = iξT (ξ), T (l) (ξ) = (iξ)lT (ξ)(T

)′(ξ) = −ixT (ξ),

(T

)′(ξ) = (−i)kxkT (ξ)

τaT (ξ) = e−iaξ T

τaT (ξ) = eiaxT

(7.80)

55

Page 56: Cours Maths

56 7.6. Transformée de Fourier d'une distribution tempérée

Preuve. On applique la dénition 〈T , ϕ〉 = 〈T, ϕ〉 pour T ∈ S ′ et ϕ ∈ S et on se sert de laproposition 7.21. Le faire, presque facile : mais faire très très attention aux notations ! Par exemple,pour tout ϕ ∈ S :

〈T ′(x) (ξ), ϕ(ξ)〉 déf= 〈T ′(x), ϕ(ξ) (x)〉 déf= − 〈T (x), ϕ(ξ)′(x)〉 = −〈T (x),−iξϕ(ξ)(x)〉

à l'aide de (7.25). Puis :

i〈T (x), ξϕ(ξ)(x)〉 déf= i〈T (x)(ξ), ξϕ(ξ)〉 nota= i〈T (ξ), ξϕ(ξ)〉 = 〈iξT (ξ), ϕ(ξ)〉

D'où le premier résultat. On a écrit toutes les variables `muettes' d'intégration, bien que ce soitune notation abusive. On peut commencer par écrire cette démonstration pour T = f ∈ L1(R) eten utilisant le signe

∫qui fait apparaître les variables d'intégration (`muettes') plutôt que le signe

〈., .〉.

7.6.4 Transformée de Fourier de δ0 et de δa

δ0 n'est pas une fonction, mais c'est une distribution tempérée. On peut donc lui appliquer latransformation de Fourier.

Un calcul direct donne, pour tout ϕ ∈ S :

〈δ0, ϕ〉 = 〈δ0, ϕ〉 = ϕ(0) =1√2π

Rϕ(x) e0 dx =

1√2π〈1, ϕ〉 (7.81)

d'où :δ0 =

1√2π

(7.82)

Et de même :δa =

1√2π

e−iaξ (7.83)

7.6.5 Transformée de Fourier de 1R et de e±ixξ

La distribution T = 1R (fonction constante = 1) n'est pas dans L1(R) et n'a pas de transforméede Fourier au sens des fonctions. Mais c'est une distribution tempérée, et on sait que, avec (7.68),quand ε → 0 :

e−εx2 1R dans S ′ (7.84)

Par ailleurs on sait que, avec (7.68), quand ε → 0 :

e−εx2 =1√2ε

e−ξ2

4ε √

2πδ0. (7.85)

On en déduit, à l'aide de la convergence dans S ′ que, proposition 7.51 :

1 =√

2πδ0 dans S ′. (7.86)

Ici, la transformée de Fourier de 1R est obtenue comme limite de transformée de Fourier de fonctionsde S. Un calcul direct ne peut pas se faire puisqu'on ne peut pas inverser l'ordre de l'intégration(le théorème de Fubini n'est pas applicable).

À l'aide de la proposition 7.52, on en déduit :

e+ixξ =√

2πδξ, e−ixξ =√

2πδ−ξ, (7.87)

puisque eixξ = eixξ 1 = τξ1.

56

Page 57: Cours Maths

57 7.6. Transformée de Fourier d'une distribution tempérée

7.6.6 Exercice : transformée de Fourier d'une distribution à support compactUne distribution à support compact est en particulier tempérée. Et dans ce cas, l'expression :

T (ξ) = 〈Tx,1√2π

e−ixξ〉. (7.88)

est parfaitement dénie car x → 1√2π

e−ixξ est une fonction C∞(R) (et T (ξ) est noté abusivement1√2π

∫T (x) e−ixξ dx, l'intégration se faisant sur le support borné de T .)

Proposition 7.53 Si T ∈ E ′ (distribution à support compact), alors sa transformée de Fourierest donnée par :

T (ξ) =1√2π〈Tx, e−ixξ〉. (7.89)

Preuve. T étant à support compact est tempérée (voir exemple 7.38) et T est donc bien déni etest tempérée. Montrons que T est bien donné par (7.89). Par dénition, pour tout ϕ ∈ S :

〈T , ϕ〉 = 〈T, ϕ〉 =1√2π〈Tξ,

x∈Rϕ(x) e−ixξ dx〉. (7.90)

Et par intégration Fubini, on a :

〈T , ϕ〉 =1√2π

x∈R〈Tξ, e

−ixξ〉ϕ(x) dx =1√2π〈〈Tξ, e

−ixξ〉 , ϕ(x)〉. (7.91)

D'où (7.89).

Exemple 7.54 La distribution δ0 étant à support compact, il vient :

δ0(ξ) =1√2π〈(δ0)x, e−ixξ〉 =

1√2π

1. (7.92)

Et on retrouve la transformée de Fourier de δ0 déjà calculée. Et de même, δa(ξ) = 1√2π

e−iaξ.De même pour les dérivées :

δ′0(ξ) =i√2π

ξ, δ′a(ξ) =i√2π

ξ e−iaξ. (7.93)

Proposition 7.55 Si T ∈ E ′ (distribution à support compact), alors T est une fonction C∞ àcroissance lente ainsi que toutes ses dérivées.

Preuve. Ayant ξ → e−ixξ dans C∞(R), on a T qui est C∞(R) (proposition 3.1), et avec (7.89)on a (dérivation sous le crochet, proposition 3.1) :

dξαT (ξ) = 〈Tx, (−ix)αe−ixξ〉. (7.94)

Il reste à voir la lenteur de la croissance (au plus polynomiale). Hors programme (voir annexe) :sachant T à support compact, T est une distribution d'ordre nie p ∈ N :

∃C > 0, ∀ϕ ∈ C∞(R), |〈T, ϕ〉| ≤ C supx∈K,β≤p

|ϕ(β)(x)|, (7.95)

où K est un compact tel que K ⊃ supp(T ). Et donc ici :

〈Tx, (−ix)αe−ixξ〉 ≤ C supx∈K,β≤p

|(xαe−ixξ)(β)|. (7.96)

D'où :| dα

dξαT (ξ)| ≤ C ′ (1 + |ξ|)p, (7.97)

avec C ′ > 0 donné par la formule de Leibniz. Et T est bien à croissance lente ainsi que toutes sesdérivées.

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Page 58: Cours Maths

58 7.7. Transformée inverse dans S′

7.7 Transformée inverse dans S ′On dénit F sur S ′ par :

〈FT, ϕ〉 déf= 〈T,Fϕ〉 (7.98)(On rappelle que (F (−1)ϕ)(ξ) = (Fϕ)(ξ) = (Fϕ)(−ξ) = 1√

∫R ϕ(x) e+ixξ dx pour tout ϕ ∈ S.)

Proposition 7.56 La transformée de Fourier est un isomorphisme de S ′ dans S ′ et, pour toutT ∈ S ′ :

F (−1)(T ) = F(T ) dans S ′ (7.99)

Preuve. Puisque pour T ∈ S ′ on a FT ∈ S ′, on peut considérer FFT . Et on a pour tout ϕ ∈ S :

〈FFT, ϕ〉 = 〈T,FFϕ〉 = 〈T, ϕ〉 (7.100)

D'où FFT = T et de même FFT = T . On en déduit que F est inversible dans S ′ et queF (−1) = F .

Exemple 7.57 Si on sait que√

2π δ0 = 1R (calcul direct immédiat, voir (7.81) ou (7.92)), on endéduit que F(1R) = F(

√2π δ0) et donc que, F(1R) =

√2πδ0 dans S ′, résultat qui ne peut pas être

obtenu par un calcul immédiat. Et δ0 n'étant pas une fonction, ce résultat 1 =√

2πδ0 n'a pas desens au sens des fonctions.

7.8 Transformée de Fourier dans L2

Les fonctions de L2(R) ne sont pas dans L1(R) en général : la fonction x → 11+|x| est dans L2(R)

mais pas dans L1(R) (problème à l'inni). Et on ne peut pas dénir brutalement leurs transforméesde Fourier.

Par contre, les fonctions de L2(R) sont à croissance lente et dénissent en particulier desdistributions tempérées. On a mieux :

Proposition 7.58 La transformée de Fourier F est une isométrie bijective de L2(R) sur lui-même,d'inverse F−1 = F .

Preuve. On a trivialement S ⊂ L2(R). De plus, muni de la norme de L2(R), F : S → S dénit uneisométrie de S dans S pour le produit scalaire (·, ·)L2 : c'est le théorème d'inversion 7.47 associéau théorème de Parseval 7.29 (conservation du produit scalaire (·, ·)L2).

Il reste à considérer L2(R) (et non seulement S). Admettons un instant que S soit dense dansL2(R) muni de sa norme. Montrons que si (ϕj) suite de S tend vers f ∈ L2(R), alors (ϕj) (quiest une suite de S) est convergente dans L2(Ω) : on a ||f − ϕj ||2 → 0, et donc (ϕj) est unesuite de Cauchy de L2(Ω) et ||ϕi − ϕj ||2 → 0 dans L2(R). Et à l'aide du théorème de Parseval,||ϕi− ϕj ||2 → 0 dans L2(R). Donc (ϕj) est une suite de Cauchy dans L2(R) qui est complet. Doncc'est une suite convergente de L2(R). Notons g = lim(ϕj). Mais L2(R) ⊂ S ′ et donc f = g dansS ′, et donc f ∈ L2(R).

Il reste à démontrer que S est dense dans L2(R), ce qui est l'objet du lemme suivant.

Lemme 7.59 L'espace S est dense dans L2(R) (muni de sa norme).

Preuve. (Par troncature et régularisation.) On montre par exemple que D(R) est dense dansL2(R), puis on se sert de D(R) ⊂ S ⊂ L2(R). Soit donc f ∈ L2(R), et soit la fonction θj = 1[−j,j].On considère la fonction gj = fθj (produit simple = troncature) qu'on régularise pour former lafonction hj = γ1 ∗ gj ∈ D(R), avec γ1 donné par (1.9), et on montre que (hj) tend vers f dansL2(R) (le faire).

Un résultat essentiel dans L2(R) est l'identité de Parseval (7.50) qu'on réécrit dans L2(R) icivu son importance (l'énergie est conservée par transformée de Fourier) :

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Page 59: Cours Maths

59 7.9. Échange du produit simple et du produit de convolution

Proposition 7.60 On a l'égalité de Parseval, pour tout ϕ, ψ ∈ L2(R) :

(ϕ,ψ)L2(R) = (ϕ, ψ)L2(R) (7.101)

En particulier, l'énergie est conservée par transformée de Fourier : pour tout ϕ ∈ L2(R) :

||ϕ||L2(R) = ||ϕ||L2(R) (7.102)

Preuve. C'est un corollaire du lemme 7.59 et de (7.50).

7.9 Échange du produit simple et du produit de convolution7.9.1 Échange dans le cas des fonctions

Le théorème de Fubini donne :

Proposition 7.61 Si ϕ ∈ S et ψ ∈ S alors :

ϕ ∗ ψ =√

2π ϕ ψ (7.103)

i.e., F(ϕ ∗ ψ) =√

2πF(ϕ)F(ψ). Et ces relations sont conservées si ϕ et ψ sont dans L1(R).Et on en déduit, si ϕ ∈ S et ψ ∈ S alors :

ϕψ =1√2π

ϕ ∗ ψ (7.104)

Et ces égalités sont conservées si ϕ ∈ C∞(R) est à croissance lente (toujours avec ψ ∈ S).

Preuve. La relation (7.103) n'est autre que l'intégrable double d'une fonction à variables séparées :

ϕ ∗ ψ(ξ) =1√2π

x∈R

y∈Rϕ(y)ψ(x− y) dy e−ixξ dx

=1√2π

(∫

y∈Re−iyξ ϕ(y) dy)(

z∈Re−izξ ψ(z) dz) =

√2πϕ(ξ)ψ(ξ)

(7.105)

le théorème de Fubini étant applicable la fonction (z, y) → e−i(y+z)ξ ϕ(y)ψ(z) étant dans L1(R2).Ces relations sont vraies pour les mêmes raisons pour ϕ et ψ dans L1(R), et sont conservées si

on remplace F par F (calcul similaire).On en déduit que, pour tout ϕ et ψ dans S :

F(ϕ ∗ ψ) =√

2πF(ϕ)F(ψ) =√

2πϕψ (7.106)

d'où en appliquant F : ϕ ∗ ψ =√

2πF(ϕψ). Si ϕ est à croissance lente et ψ ∈ S, on a ϕψ ∈ S, etϕψ ∈ S. Puis ϕ est tempérée, et ϕ est tempérée, d'où, avec f ∈ S, on a 〈ϕ ∗ ψ, f〉 = 〈ϕ,

ˇψ ∗ f〉 =

〈ϕ,F(ˇψ ∗ f〉) =√

2π〈ϕ,ψf〉 =√

2π〈ϕψ, f〉 =√

2π〈ϕψ, f〉.

7.9.2 Préliminaire : convergence et densitéOn commence par un lemme de calcul basé sur le théorème de Fubini :

Lemme 7.62 Si S ∈ E ′(R) (à support compact) et si T ∈ D′(R) alors pour tout ϕ ∈ D(R) :

〈S ∗ T, ϕ〉 = 〈S, T ∗ ϕ〉 (7.107)

Preuve. S étant à support compact, S ∗ T a bien un sens dans D′(R). Et, pour tout ϕ ∈ D(R) :

〈S ∗ T, ϕ〉 =⟨S(x), 〈T (y), ϕ(x + y)〉⟩ =

⟨S(x), 〈T (−y), ϕ(x− y)〉⟩ = 〈S, T ∗ ϕ〉 (7.108)

ce qui est le résultat annoncé.On a le résultat de convergence :

59

Page 60: Cours Maths

60 7.9. Échange du produit simple et du produit de convolution

Lemme 7.63 Si S ∈ E ′(R) (à support compact) et si Tj est une suite de D′(R) qui converge versT dans D′(R), alors la suite S ∗ Tj converge vers S ∗ T dans D′(R) quand j →∞ :

S ∈ E ′(R) et Tj T =⇒ S ∗ Tj S ∗ T (7.109)

Preuve. S étant à support compact, S∗Tj a bien un sens dans D′(R). Et on a, pour tout ϕ ∈ D(R) :

〈S ∗ Tj , ϕ〉 = 〈S, Tj ∗ ϕ〉 (7.110)

avec Tj ∗ϕ ∈ C∞(R) et pour tout x ∈ R on a (Tj ∗ϕ)(x) → (T ∗ϕ)(x) les fonctions Tj ∗ϕ et T ∗ϕétant C∞(R) (convergence ponctuelle, voir proposition 6.14). On en déduit que :

〈S ∗ Tj , ϕ〉 = 〈S, Tj ∗ ϕ〉 −→j→∞

〈S, T ∗ ϕ〉 = 〈S ∗ T, ϕ〉 (7.111)

(convergence dans R.) D'où le résultat.Et on a le résultat de densité :

Lemme 7.64 Pour tout T ∈ S ′ (tempérée), il existe une suite (Tj) ∈ E ′(R) (à support compact)telle que Tj T dans S ′.

Preuve. (Par troncature et régularisation.) Soit T ∈ S ′ et soit θj = 1[−j,j] ∗ γ1 ∈ D(R) où γ1 estdonnée par (1.9). Alors la suite Tj = θjT est une suite de E ′(R). Et on a pour ϕ ∈ S :

|〈T − Tj , ϕ〉| = |〈T, (1− θj)ϕ〉| ≤ C pk,l((1− θj)ϕ) (7.112)

où C, k et l ne dépendent que de T ∈ S ′. Et pk,l((1− θj)ϕ) → 0 quand j → 0 voir par exemple leparagraphe 7.2.5, d'où le résultat.

7.9.3 Échange dans le cas des distributions tempéréesOn déduit par dualité :

Proposition 7.65 Si T ∈ S ′ (disribution tempérée) et si f est une fonction C∞(R) à croissancelente (compatibilité avec T ), alors on conserve (7.104) au sens de S ′ :

fT =1√2π

f ∗ T (7.113)

Et pour T ∈ S ′ (tempérée) et S ∈ E ′ (à support compact), on conserve les relations (7.103) ausens de S ′ :

S ∗ T =√

2π S T (7.114)i.e., F(S ∗ T ) =

√2πF(S)F(T ), et de même :

F(S ∗ T ) =√

2πF(S)F(T ) (7.115)

Preuve. Avec T ∈ S ′ et f ∈ C∞(R) à croissance lente on a fT ∈ S ′ (démonstration immédiate).Et par transformée de Fourier, pour tout ϕ ∈ S :

〈fT , ϕ〉 = 〈fT, ϕ〉 = 〈T, fϕ〉 (7.116)

On vérie que cela a bien un sens car ϕ ∈ S et donc fϕ ∈ S. Puis :

fϕ = F(F(fϕ)) =1√2πF(Ff ∗ F(ϕ)) =

1√2πF(ˇf ∗ ϕ) (7.117)

D'où :〈fT , ϕ〉 =

1√2π〈T,F(ˇf ∗ ϕ)〉 =

1√2π〈T ,

ˇf ∗ ϕ〉 =

1√2π〈T ∗ f , ϕ〉 (7.118)

ceci étant vrai pour tout ϕ ∈ S, on a obtenu (7.113).Si T ∈ S ′ et S ∈ S ′ on procède à l'aide des étapes suivantes :

60

Page 61: Cours Maths

61 7.9. Échange du produit simple et du produit de convolution

(i) Si S et T sont dans E ′(R) alors S ∗ T a bien un sens (proposition 6.3), et S ⊗ T ∈ E ′(R2) (àsupport compact, de support le produit cartésien des supports). D'où :

S ∗ T (ξ) =1√2π〈(S ∗ T )(x), e−ixξ〉 =

1√2π〈S(x)⊗ T (y), e−i(x+y)ξ〉

= 〈S(x),1√2π〈T (y), e−i(x+y)ξ〉〉 = 〈S(x), e−ixξ T (ξ)〉 =

√2πS(ξ) T (ξ)

(7.119)

et le cas des distributions tempérées à support compact est traité.(ii) Supposons encore S ∈ E ′(R), avec maintenant T ∈ S ′. On sait, avec le lemme 7.64, qu'il

existe une suite Tj ∈ E ′(R) qui converge faiblement vers T dans S ′.Et, à l'aide du lemme 7.63, on a :

S ∗ Tj S ∗ T d'où F(S ∗ Tj) F(S ∗ T ) (7.120)

par continuité de la transformée de Fourier dans S ′.Puis le (i) et la continuité de F donnent :

F(S ∗ Tj) = F(S)F(Tj) et F(Tj) F(T ) ∈ S ′ (7.121)

De plus, F(S) ∈ C∞(R) à croissance lente (proposition 7.55). On en déduit que F(S)F(Tj) F(S)F(T ) dans S ′ et donc :

F(S ∗ Tj) F(S)F(T ) dans S ′ (7.122)

D'où le résultat (7.114). Et (7.115) est obtenue de la même manière.

Exemple 7.66 On peut retrouver les résultats de la proposition 7.52 : Pour T ∈ S ′ on a, si l ∈ N,a ∈ R et ξ ∈ R :

T (l) = il ξl T et F(T (l)) = (−i)l ξl F(T )

(−i)l xl T = T (l)

τaT = e−iaξ T

τaT = eiaxT

(7.123)

En eet :T ′ = δ′0 ∗ T d'où T ′ = δ′0 ∗ T =

√2πδ′0 T = i ξ T (7.124)

puisque F(δ′0) = 1√2π

iξ. De même, F(δ′0) = −1√2π

iξ et donc F(T ′) = −iξF(T ). Puis par récurrencesur l. Et la deuxième relation s'en déduit, voir la proposition 7.52.

La troisième relation s'obtient comme :

τaT = F(δa ∗ T ) =√

2πF(δa)F(T ) = e−iaξ F(T ) (7.125)

puisque δa ∈ E ′(R) et donc F(δa) = 1√2π〈δa(x), e−ixξ〉 = 1√

2πe−iaξ. Et la quatrième relation s'en

déduit, voir la proposition 7.52.

61

Page 62: Cours Maths

62

8 Résolution d'équations diérentielles8.1 Motivation

On souhaite résoudre uniquement en cherchant les racines d'un polynôme (calcul symbolique)une équation diérentielle de degré m de type :

dmu

dxm+ a1

dm−1u

dxm−1+ . . . + am−1

du

dx+ amu = f,

u(0) = u0, . . . , u(m−1)(0) = um−1 (m conditions initiales),

(8.1)

l'inconnue u étant une distribution (ou plus simplement une fonction), les (ui)0≤i≤m−1 étant desdonnées du problème (constantes d'intégrations). On note P l'opérateur diérentiel :

P =dm

dxm+ a1

dm−1

dxm−1+ . . . + am−1

d

dx+ am, (8.2)

et (8.1) s'écrit alors :

P (u) = f, u(0) = u0, . . . , u(m−1)(0) = um−1.

P est associé au polynôme (noté également abusivement P ) :

P (z) = zm + a1z(m−1) + . . . + am (= (z − z1)...(z − zm)).

Et les racines zi de ce polynôme (qu'on devra calculer) vont permettre de résoudre simplement (8.1).On se rappelle que :(i) δ0 est l'élément neutre pour la convolution : A ∗ δ0 = δ0 ∗ A = A pour tout distribution A

(cela a un sens car δ0 est à support borné), et que,(ii) δ′0 ∗A = A′ pour toute distribution A, ainsi que δ

(m)0 ∗A = A(m).

L'idée est d'écrire P (u) = f comme l'équation de convolution :

P (δ0) ∗ u = f,

u(0) = u0, . . . , u(m−1)(0) = um−1,

(8.3)

où P (δ0) est la distribution (de support compact réduit à 0) :

P (δ0) = δ(m)0 + a1δ

(m−1)0 + . . . + am−1δ

′0 + amδ0 ∈ D′(R). (8.4)

(La notation P (δ0) est abusive, car P n'a été déni que sur les fonctions Cm, mais elle est explicite :polynôme en δ0.)

Alors si on sait trouver un inverse de A = P (δ0) pour le produit de convolution, i.e. si B estune distribution qui vérie A ∗ B = δ0 = B ∗ A, i.e. B = A∗−1 inverse au sens de la convolution,et si B ∗ f a un sens, alors u = B ∗ f est solution aux conditions initiales près.

Le problème des conditions initiales montre que cette approche formelle n'est pas bien dénie(en ce qui concerne l'unicité de B) : il faut se donner un cadre dans lequel l'inverse d'une distributionexiste et est unique. Ceci n'est pas possible en général : on se limitera au cas où on dispose d'unealgèbre de convolution A′, l'inverse dans une algèbre étant unique quand il existe, et on supposeraque le second membre f est dans A′. On cherchera alors une solution u dans A′.

Ceci demande quelques précisions, bien que le résultat soit `simple' et donne naissance au calculsymbolique dont la programmation est élémentaire.

8.2 Algèbre de convolution8.2.1 Convolution de plusieurs distributions

Soient trois distributions R, S et T de D′(Rn). On dénit formellement leur produit de convo-lution par :

〈R ∗ S ∗ T, ϕ〉 = 〈Rx ⊗ Sy ⊗ Tz, ϕ(x + y + z)〉 (8.5)Les propriétés du produit tensoriel donne :

62

Page 63: Cours Maths

63 8.2. Algèbre de convolution

Proposition 8.1 Le produit de convolution a un sens si en particulier :1 - toutes les distributions, sauf une au plus, ont leurs supports bornés,2 - n = 1 et toutes les distributions ont leur support limités à gauche,

Et dans le cas où le produit de convolution a un sens, il est associatif ((R ∗ S) ∗ T = R ∗ (S ∗ T ))et commutatif (R ∗ S = S ∗R).

Remarque 8.2 L'associativité n'est pas vrai si les supports ne sont pas convolutifs, i.e., bien quechaque terme ait éventuellement un sens, (R ∗ S) ∗ T 6= R ∗ (S ∗ T ) en général. Par exemple :

0 = (1 ∗ δ′0) ∗H0 6= 1 ∗ (δ′0 ∗H0) = 1 (8.6)

En eet, δ′0 étant à support compact les quantités suivantes ont un sens et(1 ∗ δ′0) = (1′ ∗ δ0) = (0 ∗ δ0) = 0 d'où (1 ∗ δ′0) ∗H0 = 0, et(δ′0 ∗H0) = (δ0 ∗H ′

0) = (δ0 ∗ δ0) = δ0, d'où 1 ∗ (δ′0 ∗H0) = 1.Mais ici, les supports de 1, δ′0 et H0 ne sont pas compatibles. Par exemple 1∗(δ′0∗H0) = 1∗(H0∗δ′0)ne peut être égal à (1 ∗H0) ∗ δ′0 car 1 ∗H0 n'est pas déni, les supports n'étant pas compatibles((1 ∗H0)(x) =

∫RH0(t) dt = ∞ pour tout x).

Remarque 8.3 La proposition ne donne qu'une condition susante. Dans R4 par exemple, R ∗S ∗ T a un sens si toutes les distributions ont leur support dans le demi-espace t ≥ 0 et en outre sitoutes, sauf une au plus, ont leur support dans le cône d'ondes d'avenir t ≥ 0, t2 ≥ x2 + y2 + z2.

8.2.2 Algèbres de convolutionRappels.Une loi interne + sur un ensemble E est une application (f, g) ∈ E × E→f + g ∈ E, i.e. une

application telle que si f ∈ E et g ∈ E alors f + g ∈ E (stabilité).Un groupe (E, +) est un ensemble E muni d'une loi interne + telle que :(i) la loi + est associative (i.e. (f+g)+h = f+(g+h) pour tout f, g, h ∈ E),(ii) il existe un élément neutre e ∈ E (i.e. e+f = f+e = f pour tout f ∈ E). (Si de plus on a

une structure d'anneau, cet élément neutre est appelé élément nul et noté e = 0.)(iii) tout élément f ∈ E admet un opposé (ou inverse) dans E (i.e. il existe g ∈ E tel que

f+g = g+f = e) et cet inverse est alors unique (si h est un autre inverse, alors g = (h+f)+g =h+(f+g) = h).Et le groupe est commutatif si f+g = g+f pour tout f et g dans E.

Un anneau (E, +, ∗) est un groupe commutatif (E, +) muni d'une loi interne ∗ qui :(i) est associative (i.e. (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h) pour tout f, g, h ∈ E),(ii) admet un élément neutre δ (i.e. δ ∗ f = f ∗ δ = f pour tout f ∈ E), appelé élément unité.(iii) est distributive (i.e. (f + g) ∗ h = f ∗ h + g ∗ h pour tout f, g, h ∈ E),

Et un anneau est commutatif si f ∗ g = g ∗ f pour tout f, g ∈ E.Et c'est un corps si tout élément non nul admet un inverse pour la loi ∗, i.e., si f ∈ E − 0

alors ∃g ∈ E : f ∗ g = g ∗ f = δ. Et un corps est commutatif si c'est un anneau commutatif (noterqu'on dénit parfois un corps comme étant un corps commutatif).

Et dans un anneau, si l'inverse existe, il est unique. En eet, si f en 2 inverses g et h, alorsf ∗ g = δ et h ∗ f = δ d'où h = h ∗ (f ∗ g) = (h ∗ f) ∗ g = δ ∗ g = g.

Un espace vectoriel (E, +, .) sur un corps K est un groupe commutatif (E, +) muni d'une loiexterne ., fonction dénie par (λ, f) ∈ K × E→λ.f , telle que, si on note 1 l'élément neutre ducorps K :

(i) 1.f = f , pour tout f ∈ E,(ii) λ.(f + g) = λ.f + λ.g, pour tout λ ∈ K et tous f, g ∈ E,(iii) (λ + µ).f = λ.f + µ.f , pour tous λ, µ ∈ K et tout f ∈ E,(iv) (λµ).f = λ.(µ.f), pour tous λ, µ ∈ K et tout f ∈ E.

Ces 4 lois impliquent également que, si 0 est l'élément nul du corps K :(v) 0.f = 0 pour tout f ∈ E, et(vi) λ.0 = 0 pour tout λ ∈ K (ici 0 est l'élément neutre de (E, +)).Une algèbre A = (E, +, ∗, .) sur un corps K (ce sera R ou C dans la suite) est un anneau

(E, +, ∗) muni d'une loi externe `.' telle que :(i) (E, +, .) est un espace vectoriel sur K, et(ii) λ.(f ∗ g) = (λ.f) ∗ g = f ∗ (λ.g), pour tout λ ∈ K.

Et que cette algèbre est commutative si (E, +, ∗) est un anneau commutatif.

63

Page 64: Cours Maths

64 8.3. Équations de convolution et solution élémentaire

Exemple 8.4 Algèbre Rn2 des matrices.

La proposition 8.1 permet de dénir des algèbres de convolution, où δ0 est l'élément unitaire :

δ0 ∗ T = T ∗ δ0 = T (8.7)

Voici des exemples :

Exemple 8.5 A = D′(R)+ est l'algèbre de convolution des distributions à support limité à gaucheen 0 : permet de traiter les équations diérentielles avec conditions initiales. (Application égalementà la transformée de Laplace).

Exemple 8.6 A = E ′(Rn) est l'algèbre de convolution des distributions de Rn à support borné :permet de traiter les équations aux dérivées partielles avec conditions aux limites.

Exemple 8.7 Dans R4, on a l'algèbre de convolution des distributions à support dans le côned'avenir t ≥ 0, t2 ≥ x2 + y2 + z2.

8.3 Équations de convolution et solution élémentaire8.3.1 Solution élémentaire dans une algèbre de convolution

Soit A une algèbre de convolution (ici A = D′(R)+ ou = E ′(R)). Pour A ∈ A et f ∈ A on veuttrouver u ∈ A telle que :

A ∗ u = f. (8.8)

Dénition 8.8 On dit que E ∈ A est solution élémentaire de l'équation de convolution (8.8) si Eest solution de l'équation :

A ∗ E = δ0 dans A, (8.9)i.e. si E est l'inverse de A dans A. On note E = A∗−1, et on dit encore que A admet une solutionélémentaire ou que A a inverse dans A.

Remarque 8.9 Il n'existe pas toujours de solution élémentaire. Par exemple si A = ϕ ∈ D(R)(donc A ∈ C∞(R) à support compact), il n'y a jamais de solution élémentaire : en eet, si E ∈D′(R), alors ϕ ∗ E ∈ C∞(R) et est donc une fonction qui ne peut donc pas être égale à δ0 (quin'est pas une fonction).

Par contre, un théorème de Malgrange et Ehrenpreis assure que toute équation aux dérivéespartielles à coecients constants possède une solution élémentaire (et même une innité).

Enn, il n'y a aucune raison pour que si la solution élémentaire existe, elle soit dans l'algèbre A.Mais si on en trouve une E qui soit dans A, alors E est l'inverse de A dans A (unicité de l'inversedans une algèbre).

Proposition 8.10 On se donne une algèbre de convolution A (par exemple D′(R)+ ou E ′(Rn)), eton suppose A ∈ A et f ∈ A. Si (8.8) admet une solution élémentaire E (i.e. si A admet un inverse Edans A), alors l'équation de convolution (8.8) admet une unique solution u dans A donnée paru = E ∗ f ( =noté A∗−1 ∗ f).

Preuve. On suppose donc que A admet une solution élémentaire E = A∗−1 ∈ A. On multiplie(convolution) (8.8) à gauche par E, et on obtient :

E ∗A ∗ u = E ∗ f. (8.10)

D'où u = E ∗ f est solution dans A car E et f sont dans l'algèbre A.Et l'unicité de u est donnée par l'unicité de l'inverse dans une algèbre.

64

Page 65: Cours Maths

65 8.4. Équations diérentielles

8.3.2 Contre-exempleLa recherche de la solution élémentaire est le problème essentiel de la résolution. Et il est

indispensable de rester dans une algèbre de convolution. Sinon :Par exemple, dans R3 avec la distribution A = ∆δ0 et l'algèbre de convolution E ′(R3), qui

donne l'équation de Poisson :∆δ0 ∗ u = f ⇐⇒ ∆u = f (8.11)

Il existe une solution élémentaire E = − 14πr (i.e. ∆E = δ0), mais E 6∈ E ′(R3), i.e. n'est pas à

support borné. Et le produit de convolution E ∗ f n'a pas de sens, à moins que f soit à supportborné. Mais même dans ce cas, il n'y a aucune raison pour que la solution soit unique. En eet, sif est à support borné, u = − 1

4πr ∗ f est solution particulière, la solution générale étant :

u = − 14πr

∗ f + distribution harmonique (8.12)

une distribution harmonique étant une distribution u solution de −∆u = 0 (équation de Laplacede solution dépendant des conditions aux limites, voir cours éléments nis).

(On rappelle qu'une fonction harmonique est une fonction solution de l'équation de Laplace−∆u = 0, et que, dans R2, toute partie réelle d'une fonction holomorphe est une fonction harmo-nique.)

8.4 Équations diérentiellesOn se placera dans l'algèbre de convolution D′(R)+ des distributions à support dans [0,∞[

(l'élément unitaire δ0 fait bien sûr partie de cette algèbre).

8.4.1 Calcul d'une solution élémentaireSoit l'opérateur diérentiel :

P =dm

dxm+ a1

dm−1

dxm−1+ . . . + am−1

d

dx+ am, (8.13)

Pour g ∈ D′(R)+ donné, l'équation diérentielle d'inconnue la distribution v ∈ D′(R)+ :

P (v) = g ∈ D′(R)+, (8.14)

s'écrit comme l'équation de convolution :

A ∗ v = g ∈ D′(R)+, (8.15)

où A est la distribution de D′(R)+ (de support compact réduit à 0) :

A = δ(m)0 + a1δ

(m−1)0 + . . . + am−1δ

′0 + amδ0 = P (δ0). (8.16)

Le problème consiste donc à chercher l'inverse E = A∗−1 = (Pδ0)∗−1 de Pδ0 dans l'algèbreD′(R)+, i.e. de trouver la solution élémentaire E ∈ D′(R)+ de :

A ∗ E = δ0 i.e. P (δ0) ∗ E = δ0. (8.17)

On cherche donc E comme solution de l'équation diérentielle :

P (E) = δ0, (8.18)

et la solution v de (8.15) sera donnée par :

v = A∗−1 ∗ g = E ∗ g, (8.19)

à condition que g soit dans l'algèbre de convolution D′(R)+.

65

Page 66: Cours Maths

66 8.4. Équations diérentielles

Proposition 8.11 Si P est un opérateur diérentiel d'ordre m à coecients constants de la forme(8.13), alors A = P (δ0) est inversible dans l'algèbre de convolution D′(R)+, et son inverse danscette algèbre est la solution élémentaire E = A∗−1 ∈ D′(R)+ donnée par :

E(x) = H0(x)w(x) ∈ D′(R)+, (8.20)

(c'est donc une fonction) où w ∈ C∞(R) est la solution classique C∞(R) de l'équation diérentiellehomogène aux conditions initiales (de Cauchy) :

P (w) = 0,

w(0) = 0 = w′(0) = . . . = w(m−2)(0),

w(m−1)(0) = 1.

(8.21)

(Toutes les conditions initiales sont nulles sauf la dernière qui vaut 1.)

Preuve. Le théorème de CauchyLipschitz donne l'existence et l'unicité de la solution homogènew ∈ C∞(R). Pour être dans l'algèbre D′(R)+, on considère la fonction tronquée H0w (qui doncpar construction a bien son support dans R+).

Il s'agit de montrer que E = H0w , i.e. :

P (δ0) ∗ (H0w) = δ0

Les dérivées de la fonction H0w au sens des distributions se calculent séquentiellement, entenant compte des conditions initiales :

(H0w)′ = H0w′ + w(0)δ0 = H0w

′ + 0 = H0w′

. . .

(H0w)(m−1) = H0 w(m−1) + 0 = H0 w(m−1)

(H0w)m = H0 w(m) + w(m−1)(0)δ0 = H0 w(m) + δ0

(8.22)

On en déduit, avec A = P (δ0), et notant pour une fonction g donnée P (g) = P (δ0) ∗ g :

P (H0w) = H0P (w) + δ0 = 0 + δ0 = δ0 (8.23)

puisque P (w) = 0. Et posant E = H0w ∈ D′(R)+ on a bien P (E) = A ∗ E = δ0, i.e. queH0w = E est inverse de A = P (δ0) pour la convolution dans l'algèbre D′(R)+ : H0w = P (δ0)−1

dans D′(R)+.D'où le corollaire :

Corollaire 8.12 Pour g ∈ D′(R)+, la solution v ∈ D′(R)+ de P (v) = g est donnée par :

v = (H0w) ∗ g ∈ D′(R)+

Preuve. Vérions que P ((H0w)∗g) = g, i.e. que P (δ0)∗((H0w)∗g) = δ0. On a P (δ0)∗((H0w)∗g) =(P (δ0) ∗ (H0w)) ∗ g = δ0 ∗ g = g dans D′(R)+ (associativité dans une algèbre).

Le problème (8.15) se résume ainsi : pour g ∈ D′(R)+,

trouver v ∈ D′(R)+ tel que :P (v) = g ∈ D′(R)+,

⇐⇒

trouver E ∈ D′(R)+ tel que :P (δ0) ∗ E = δ0,

puis calculer v = E ∗ g,

(8.24)

la seule équation diérentielle à résoudre étant (8.21) qui donne w donc E = H0w.

66

Page 67: Cours Maths

67 8.4. Équations diérentielles

8.4.2 Remarque : dérivation comme inverse de l'intégration dans D′(R)+

Soit l'équation diérentielle (recherche de E dans D′(R)+) :dE

dx= δ0 (= δ′0 ∗ v) (8.25)

La solution (élémentaire) est donnée par E = H0w où w est solution de l'équation homogène :

P (w) =dw

dx= 0, w(0) = 1 (8.26)

La solution est w(x) = 1. Donc, la solution (élémentaire) E de E′ = δ0 dans l'algèbre D′(R)+ est :E(x) = H0(x) (8.27)

Et donc (δ′0)∗−1 = H0 =

∫δ0 : l'inverse de la dérivée d

dx est la primitive∫: attention, uniquement

dans l'algèbre D′(R)+.

8.4.3 Solution générale au sens des fonctionsAttention : on a trouvé une solution unique dans l'algèbre D′(R)+. Et il n'a jamais été question

de conditions initiales !Pour trouver une solution u de (8.1), on s'intéresse uniquement aux valeurs u(x) pour x > 0 :

on tronque u en 0, i.e. on considère v = H0u, et ainsi on s'est placé dans l'algèbre D′(R)+. Et ladérivation de H0u va introduire naturellement les conditions initiales u0, ..., um−1 comme donnéesdu problème, i.e. dans le membre de droite.

On rappelle qu'on cherche à résoudre (8.1), i.e. qu'on cherche une solution classique aux condi-tions initiales : trouver u fonction telle que, pour f ∈ C0(R) une fonction donnée :

P (u) = f,

u(0) = u0, . . . , u(m−1)(0) = um−1.

(8.28)

Le théorème de CauchyLipschitz nous dit qu'il existe une unique solution u ∈ Cm(R). On ne peutdonc pas appliquer directement la proposition 8.11 puisqu'on n'est pas dans l'algèbre D′(R)+.

On ramène l'équation (8.28) au cadre précédent, i.e. dans l'algèbre D′(R)+ : on a v = H0u ∈D′(R)+, et on commence par chercher l'équation satisfaite par v.

On calcule donc P (H0u) = Pδ0 ∗ H0u (au sens des distributions, la fonction tronquée H0un'étant pas dérivable au sens des fonctions en générale) : on obtient à l'aide des conditions initiales :

P (H0u) = H0P (u) + e0δ0 + . . . + em−1δ(m−1)0 , où

e0 = um−1 + a1um−2 + . . . + am−2u1 + am−1u0,

e1 = um−2 + a1um−3 + . . . + am−2u0,

. . .

em−1 = u0.

(8.29)

Et donc :

P (H0u) = H0f +m−1∑

k=0

ekδ(k)0 ∈ D′(R)+. (8.30)

Et donc v = H0u vérie :

P (v) = g où g = H0f +m−1∑

k=0

ekδ(k)0 ∈ D′(R)+, (8.31)

avec les ek dénis dans (8.29). On vérie bien que tous les termes sont bien des distributions àsupport dans R+ : on est bien dans l'algèbre D′(R)+.

Et donc :

(v =) H0u = E ∗ g = H0w ∗ g = H0w ∗ (H0f +m−1∑

k=0

ekδ(k)0 )

= H0w ∗H0f +m−1∑

k=0

ek H0 w(k)

(8.32)

(avec la proposition 8.11 et (H0w) ∗ δ(k)0 = (H0w)(k) = H0(w)(k) pour k ≤ m− 1, voir (8.22).)

Donc, on connaît u(x) pour tout x > 0 (et on connaît u(0) la condition initiale) :

67

Page 68: Cours Maths

68 8.4. Équations diérentielles

Proposition 8.13 Pour f ∈ C∞(R) donnée, la solution de (8.28) est donnée par :

∀x > 0, u(x) =∫ x

0

w(t)f(x− t) dt +m−1∑

k=0

ekw(k)(x) (8.33)

où w est la solution de (8.21).

Exemple 8.14 En particulier, résoudre l'équation diérentielle avec conditions initiales homo-gènes : P (u) = f avec u(0) = ... = u(m−1)(0) = 0 donne le résultat simple u = (H0w) ∗ (H0f).

Exemple 8.15 En particulier, l'équation diérentielle homogène P (u) = 0 avec conditions ini-tiales u(0), . . ., u(m−1)(0) donnés, a pour solution u =

∑m−1k=1 ek w(k) sur R+.

Remarque 8.16 Pour x ≤ 0, il faut travailler dans l'algèbre D′(R)−, et donc avec la fonction−H0(−x)u. On retrouve la même formule (8.33) qui est donc valide pour tout x ∈ R.

8.4.4 ExemplesExemple 8.17 Soit l'équation diérentielle :

du

dx= f, u(0) = u0 (8.34)

où f est une fonction C0(R). La solution élémentaire E dans D′(R)+ vaut E = H0(x) (inverse deδ′0 dans D′(R)+). D'où :

∀x > 0, u(x) = (H0 ∗ (H0f))(x) + e0 H0(x) =∫ x

0

f(t) dt + u0

et on retrouve le résultat connu.

Exemple 8.18 Soit l'équation diérentielle, avec λ ∈ C :

du

dx+ λu = f, u(0) = u0 (8.35)

La solution élémentaire dans D′(R)+ de (δ′0 + λδ0) ∗ E = δ0 est donnée par E = H0w où w estsolution de l'équation homogène :

P (w) =dw

dx+ λw = 0, w(0) = 1 (8.36)

i.e. w(x) = e−λx. Donc, la solution (élémentaire) dans l'algèbre D′(R)+ est E(x) = H0(x)e−λx. Onobtient :

∀x > 0, u(x) = (H0w ∗ (H0f))(x) + e0 H0(x)w(x) =∫ x

0

e−λ(x−t)f(t) dt + u0e−λx

et on retrouve le résultat connu (solution particulière + solution homogène).

Exemple 8.19 Cas d'un polynôme à racines multiples : pour l'opérateur P = ( ddx −λ) . . . ( d

dx −λ) =

(ddx − λ

)m (où la puissance m dénote donc la composition des opérateurs), la solution élé-mentaire de PE = δ0 dans D′(R)+ est donnée par :

E = H0(x)w(x) = H0(x) (eλx xm−1

(m− 1)!), (8.37)

d'après (6.26). D'où la solution générale :

∀x > 0, u(x) =∫ x

0

(x− t)m−1

(m− 1)!)eλ(x−t)f(t) dt +

m−1∑

k=0

ekw(k)(x),

où il reste à calculer w(k) (élémentaire : on connaîtra w à l'aide du simple calcul symbolique, et ilrestera à dériver).

68

Page 69: Cours Maths

69 8.5. Calcul symbolique

Exemple 8.20 Par exemple, pour m = 2, on a :

P =(

d

dx− λ

)2

= (d

dx− λ) (

d

dx− λ) =

d2

dx2− 2λ

d

dx+ λ2, (8.38)

associé à l'opérateur de convolution :

A = (δ′0 − λδ0) ∗ (δ′0 − λδ0) = δ′′0 − 2λδ′0 + λ2δ0. (8.39)

On sait que la solution générale de l'équation homogène Pw = 0 (pour les fonctions) est unecombinaison linéaire des solutions indépendantes eλx et xeλx : w(x) = aeλx + bxeλx, et la solutionhomogène qui nous intéresse a pour conditions initiales w(0) = 0 et w′(0) = 1, et donc :

w(x) = xeλx.

On retrouve (8.37). Donc l'équation diérentielle :

(d

dx− λ

)2

(u) = f

u(0) = u0, . . . , u(m−1)(0) = um−1

a pour solution :

∀x > 0, u(x) =∫ x

0

(x− t)eλ(x−t)f(t) dt + e0w(x) + e1w′(x).

Exemple 8.21 Polynôme à racines distinctes. Avec ω ∈ R, la solution homogène de (avec m = 2,a1 = 0 et a2 = ω2) :

Pw = (d2

dx2+ ω2)w = 0, w′(0) = 1, w(0) = 0,

est w(x) = sin(ωx)ω . Donc, avec PE = P (δ0) ∗ E = (δ′′0 + ω2δ0) ∗ E, la solution élémentaire de

PE = δ0 est :E = (δ′′0 + ω2δ0)∗−1 = H0(x)

sin(ωx)ω

, ∀x ∈ R. (8.40)

On vérie bien que P (H0(x) sin(ωx)ω ) = δ0. D'où pour la solution au sens des fonctions :

Pu = (d2

dx2+ ω2)w = f, u(0) = u0, u′(0) = u1

on obtient e0 = u1 + 0 et e1 = u0 d'où :

∀x > 0, u(x) =∫ x

0

sin(ω(x− t))ω

f(t) dt +u1

ωsin(ωx) + u0 cos(ωx)

(On rerouve le résultat connu).Cette équation est obtenue par transformation de Fourier partielle de l'équation des ondes (la

transformée de Fourier partielle permet dans ce cas de transformer une équation aux dérivéespartielles en une équation diérentielle).

8.5 Calcul symboliqueBut : calculer w solution de (8.21), et ainsi connaître la solution élémentaire E (avec E = H0w =

fonction w tronquée à gauche en 0).

69

Page 70: Cours Maths

70 8.5. Calcul symbolique

8.5.1 Produit d'inverses de convolutionOn a :

Proposition 8.22 Si deux distributions B ∈ D′(R)+ et C ∈ D′(R)+ sont inversibles dans D′(R)+,alors B ∗ C est inversible dans D′(R)+ d'inverse :

(B ∗ C)∗−1 = C∗−1 ∗B∗−1 (= B∗−1 ∗ C∗−1). (8.41)

Preuve. En eet, dans l'algèbre de convolution, le produit de convolution est associatif et il vient :

(B ∗ C) ∗ (C∗−1 ∗B∗−1) = B ∗ (C ∗ C∗−1) ∗B∗−1 = B ∗ δ0 ∗B∗−1 = B ∗B∗−1 = δ0, (8.42)

et le produit de convolution est commutatif quand il a un sens.On en déduit :

Corollaire 8.23 Si dans l'algèbre D′(R)+ la distribution A est le produit B ∗ C, avec B et Cinversibles dans l'algèbre D′(R)+, alors l'équation de convolution :

A ∗ E = δ0 = B ∗ C ∗ E, (8.43)

a pour solution élémentaire dans D′(R)+ : E = B∗−1 ∗ C∗−1.Et si g ∈ D′(R)+, alors la solution dans D′(R)+ de l'équation de convolution A ∗ v = g est :

v = B∗−1 ∗ C∗−1 ∗ g. (8.44)

Preuve. On a B ∗ B∗−1 = δ0 et C ∗ C∗−1 = δ0 dans l'algèbre D′(R)+, d'où E = B∗−1 ∗ C∗−1 ∈D′(R)+ et B ∗C ∗E = C ∗B ∗E = δ0 d'après la proposition précédente. Et E est bien la solutionélémentaire dans D′(R)+, dont on déduit que v = E ∗ g est la solution de l'équation de convolutiondans D′(R)+.

Exemple 8.24 Soit A = δ′′0 + ω2δ0 = (δ′0 + iωδ0) ∗ (δ′0 − iωδ0) = B ∗ C (avec ω 6= 0). On a(δ′0 + iωδ0)∗−1 = H0(x)e−iωx dans D′(R)+ et on déduit que la solution élémentaire de A (dansl'algèbre D′(R)+) satisfait :

∀x > 0, E(x) = (δ′′0 + ω2δ0)∗−1(x) = (B∗−1 ∗ C∗−1)(x) = H0(x)eiωx ∗H0(x)e−iωx

= eiωx

∫ x

0

e−2iωt dt =sin(ωx)

ω,

(8.45)

et on retrouve le résultat déjà vu. Pour x < 0, il sut de se placer dans l'algèbre D′(R)− pourtrouver le même résultat.

8.5.2 Application : Décomposition en facteursOn généralise l'exemple précédent. Décomposant en facteurs le polynôme :

P (z) = zm + a1zm−1 + . . . + am−1z + am = (z − z1)(z − z2) . . . (z − zm), (8.46)

on déduit que l'opérateur diérentiel P déni par (8.13) donne :

Pδ0 = (δ′0 − z1δ0) ∗ (δ′0 − z2δ0) ∗ . . . ∗ (δ′0 − zmδ0). (8.47)

Et donc que P = ( ddx − z1) ( d

dx − z2) . . . ( ddx − zm).

Avec le rappel précédent, on déduit que :

E = (Pδ0)∗−1 = (δ′0 − z1δ0)∗−1 ∗ (δ′0 − z2δ0)∗−1 ∗ . . . ∗ (δ′0 − zmδ0)∗−1

= H0(x)ez1x ∗H0(x)ez2x ∗ . . . ∗H0(x)ezmx ∈ D′(R)+.(8.48)

Exemple 8.25 Et en particulier, notant (δ′0− z1δ0)∗m le produit de convolution (δ′0− z1δ0) ∗ . . . ∗(δ′0 − z1δ0) (m-fois), et (δ′0 − z1δ0)∗−m son inverse, on a :

(δ′0 − λδ0)∗−m = H0eλx ∗ . . . ∗H0e

λx = H0(x)eλx xm−1

(m− 1)!noté= H

(m)(λ) (x), (8.49)

d'après (6.26).

70

Page 71: Cours Maths

71 8.5. Calcul symbolique

8.5.3 Résumé et notations symboliques pour le calcul de E = H0w

On a donc vu que, pour l'inverse pour le produit de convolution dans D′(R)+ :1.

(δ′0

)∗−1 = H0 dans D′(R)+ (l'inverse de la dérivée δ′0 de δ0 est la primitive H0 de δ0 dansD′(R)+).

2.((δ0)′ + λδ0

)∗−1 = H0e−λx dans D′(R)+.

3.([(δ0)′ + λδ0]∗m

)∗−1 = H0(x) e−λx xm−1

(m−1)! dans D′(R)+.On note symboliquement :

pnota= δ′0, 1 nota= δ0,

1p

nota= H0, ∗ nota= · (8.50)

puisque 1p := H0 est bien l'inverse de p := δ′0 dans D′(R)+.

On a donc la notation symbolique :1. 1

p = H0

2. 1p+λ = H0e

−λx

3. 1(p+λ)m = H0(x) e−λx xm−1

(m−1)!

8.5.4 Application : calcul symbolique de HeavisideOn calcule ici la solution élémentaire E = H0w = P (δ0)∗−1 à l'aide du calcul symbolique, i.e.

on écrit E = P (p)−1 = 1P (p) , et il s'agit de calculer 1

P (p) . On décompose alors la fraction rationnelle1

P (p) en éléments simples.

Exemple 8.26 On veut résoudre ∂u∂x + a1u = f avec u(0) = u0. On commence par chercher la

solution élémentaire E (telle que (δ′0 − a1δ0) ∗ E = δ0). On a :

E =1

p− a1soit E(x) = H0(x)ea1x.

D'où pour x > 0 :u(x) =

∫ x

t=0

ea1tf(x− t) dt + u0ea1x.

Exemple 8.27 On veut résoudre ∂2u∂x2 +a1

∂u∂x +a2 = f avec u(0) = u0 et u′(0) = u1. On commence

par factoriser le polynôme p2+a1p+a2. Si z1 et z2 sont les racines, on a p2+a1p+a2 = (p−z1)(p−z2).1- si z1 6= z2, alors :

1(p− z1)(p− z2)

=a

p− z1+

b

p− z2

avec a = 1z1−z2

(équation ci-dessus multipliée par p − z1 et valeur prise en p = z1) et b = 1z2−z1

(équation ci-dessus multipliée par p− z2 et valeur prise en p = z2). D'où la solution élémentaire :

E(x) = H0(x)w(x) où w(x) = aez1x + bez2x =1

z1 − z2ez1x +

1z2 − z1

ez2x.

2- si z1 = z2, alors la solution élémentaire est :E(x) = H0(x)w(x) où w(x) = xez1x.

D'où pour x > 0, u(x) =∫ x

t=0w(t)f(x−t) dt+e0w(x)+e1w

′(x) où e1 = u0 et e0 = u1 +a1u0.

Exemple 8.28 On veut résoudre ∂2u∂x2 + ω2u = f avec u(0) = u0 et u′(0) = u1. Donc ici P (p) =

p2 + ω2 = (p− iω)(p + iω). Puisque :1

P (p)=

1p2 + ω2

=1

2iω(

1p− iω

− 1p + iω

) (8.51)

il vient dans D′(R)+ pour la solution élémentaire E(x) = (δ′′ + ω2δ)∗−1 dans D′(R)+ :

E(x) = H0(x)w(x) où w(x) =1

2iω(eiωx − e−iωx) =

sin ωx

ω(8.52)

Déjà fait dans l'exercice 8.21. D'où pour x > 0, u(x) =∫ x

t=0sin ωt

ω f(x−t) dt+u1sin ωx

ω +u0 cosωx.

71

Page 72: Cours Maths

72 8.5. Calcul symbolique

Exemple 8.29 On veut résoudre P (δ0)∗u = f pour des C.I. u(0) = u0, u′(0) = u1 et u′′(0) = u2,lorsque P (z) = (z − z1)2(z − z2) avec z1 6= z2. La solution élémentaire est donnée par :

E =1

(p− z1)2(p− z2)=

a

p− z1+

b

(p− z1)2+

c

p− z2. (8.53)

Pour trouver c on multiplie (8.53) par p − z2 puis on prend la valeur pour p = z2 : c = 1(z2−z1)2

.Pour trouver b on multiplie (8.53) par (p − z1)2 puis on prend la valeur pour p = z1 : b = 1

z1−z2.

Pour trouver a on multiplie (8.53) par p et on fait tendre p vers ∞ : a = −c = − 1(z2−z1)2

.D'où :

E(x) = H0(x)w(x) où w(x) = aez1x + bxez1x + cez2x,

D'où pour x > 0, avec e0 = u2 + a1u1 + a2u0, e1 = u1 + a1u0 et e2 = u0 :

u(x) =∫ x

t=0

(aez1t + btez1t + cez2t)f(x− t) dt + e0w(x) + e1w′(x) + e2w

′′(x),

où w′ et w′′ sont triviaux à calculer.

Remarque 8.30 On rappelle que dans C les éléments simples sont les fractions rationnelles1

(z−zi)j . Ainsi la décomposition en éléments simples dans C est pour tout polynôme P de la forme :

1P (z)

=a11

z − z1+ ... +

a1k

(z − z1)k1+ ... +

an1

z − zn+ ... +

ank

(z − zn)kn,

si les zi sont les racines complexes de multiplicité ki (et zi 6= zj quand i 6= j). (On appelle résidules constantes ai1 ∈ C correspondant aux coecients ai1

z−zi.)

Par contre si on cherche les racines réelles, alors les éléments simples sont les 1(x−xi)j et les

αx+β(x2+ax+b)j quand x2 + ax + b n'a pas de racines réelles. Pour le calcul symbolique, on se placetoujours dans C, et si le polynôme est un polynôme réelle alors les racines complexes sont 2 à 2conjuguées.

Pour le calcul général, on a, en regroupant les racines confondues (zi 6= zj pour i 6= j) :

P (z) = (z − z1)k1(z − z2)k2 . . . (z − zm)km =∏

j

(z − zj)kj (8.54)

Et donc :A = P (δ0) =

j

(δ′0 − zjδ0)∗kj :=∏

j

(p− zj)kj (8.55)

On en déduit que :E = A∗−1 =

j∗(δ′0 − zjδ0)−kj :=

j

1(p− zj)kj

(8.56)

On décompose 1P (z) en éléments simples :

1P (z)

=∑

j

(cj,kj

(z − zj)kj+ . . . +

cj,1

(z − zj)

)=

j

(cj,kj (z − zj)−kj + . . . + cj,1(z − zj)−1

)(8.57)

D'où :E = (Pδ0)∗−1 :=

j

(cj,kj (p− zj)−kj + . . . + cj,1(p− zj)−1

)=

1P (p)

:=∑

j

(cj,kj H0(x)ezjx xkj−1

(kj − 1)!+ . . . + cj,1H0(x)ezjx

) (8.58)

On résout donc les équations de convolution dans D′(R)+ en décomposant en éléments simples lepolynôme inverse.

72

Page 73: Cours Maths

73

Exemple 8.31 Voici un autre exemple d'application du calcul symbolique. Soit l'équation à l'in-connue u : ∫ x

0

cos(x− t)u(t) dt = g(x) (8.59)

On s'intéresse à x ≥ 0, et l'équation s'écrit dans D′(R)+ :

(H0 cos ∗H0u)(x) = H0(x)g(x)

On a cosx = 12 (eix + e−ix) et H0(x)eix = (δ′0 − iδ0)∗−1 dans D′(R)+, et l'équation s'écrit :

12((δ′0 − iδ0)∗−1 +

12(δ′0 + iδ0)∗−1) ∗H0u = H0(x)g(x)

Soit avec la notation symbolique :12(

1p− i

+1

p + i)H0u = H0g

d'où, puisque 12 ( 1

p−i + 1p+i ) = p

p2+1 :

H0u =p2 + 1

pH0g = (p +

1p)H0g

Et revenant aux notations usuelles :

H0u = (δ′0 + H0) ∗H0g

D'où la solution :∀x > 0, u(x) = g′(x) +

∫ x

0

g(t) dt (8.60)

Ne pas oublier de considérer H0g et non simplement g puisque qu'on doit travailler dans l'algèbreD′(R)+ : le membre de droite de l'équation de convolution doit être pris dans l'algèbre (le produitde convolution n'a pas de sens en général sinon).

9 Transformée de LaplaceCette transformation qui est une extension de la transformée de Fourier nécessite la connaissance

des fonctions holomorphes.Ce paragraphe est une introduction à la transformée de Laplace qui permet de justier le calcul

symbolique de manière plus simple a posteriori que la transformée de Fourier.

9.1 Dénitions et holomorphie9.1.1 Cas des fonctions et holomorphie

Soit p = α + iβ ∈ C où α = Re(p) ∈ R et β = Im(p) ∈ R.Pour f : t ∈ R→ f(t) ∈ C, on pose quand cela a un sens :

L(f)(p) déf=∫ ∞

0

f(t)e−pt dt =∫ ∞

0

f(t)e−αte−iβt dt (9.1)

et L(f) est appemée transformée de Laplace de la fonction f .Il est clair que pour une fonction intégrable sur R+ (dans L1(R+)), la transformée de Laplace

aura un sens dès que α > 0. De manière plus générale, on a :

Proposition 9.1 Si f ∈ L1loc(R) est telle que pour α = α0 la fonction |f(t)e−α0t| est intégrable,

alors pour tout β ∈ R, posant p = α0 + iβ, la transformée de Laplace L(f)(p) est bien dénie. Etil en est alors de même pour tout p ∈ C tel que Re(p) ≥ α0.

Preuve. On a |f(t)e−pt| ≤ |f(t)e−Re(p)t| ≤ |f(t)e−α0t| et par hypothèse h(t) = |f(t)e−α0t| estintégrable : la domination par une fonction intégrable donne bien f(t)e−pt ∈ L1(R) (cette fonctionétant mesurable comme produit de fonctions mesurables).

73

Page 74: Cours Maths

74 9.1. Dénitions et holomorphie

Dénition 9.2 Pour f ∈ L1loc(R) donné, le plus petit α0 vériant la propriété précédente est ap-

pelé l'abscisse de sommabilité (ou de convergence absolue) de l'intégrale de Laplace. Et le domaine(demi-plan) p ∈ C : Re(p) > α0, où α0 est l'abscisse de sommabilité, est appelé domaine desommabilité de l'intégrale de Laplace.Exemple 9.3 Pour f = polynôme non nul, l'abscisse de sommabilité est α0 = 0 et le domaine desommabilité est le demi-plan de partie réelle strictement positive.

Pour f(t) = et, l'abscisse de sommabilité est α0 = 1 et le domaine de sommabilité est ledemi-plan de partie réelle strictement supérieur à 1.

Pour f(t) = et2 , l'abscisse de sommabilité est α0 = ∞.Pour f(t) = e−t2 , l'abscisse de sommabilité est α0 = −∞ et le domaine de sommabilité est

l'espace C tout entier.Dans tous les cas, pour déterminer l'abscisse de sommabilité, plutôt que f , on considère en fait

les fonctions tonquées H0f , puisqu'on ne considère que l'intégrale sur R+.On a alors :

Proposition 9.4 La transformée de Laplace d'une fonction f est une fonction C∞(Ω) où Ω ⊂ Cest le domaine de sommabilité. Donc L(f) est une fonction holomorphe dans Ω et donc analytiquedans Ω (développable en série entière au voisinage de tout point de Ω).

Preuve. C'est une application directe du théorème de la convergence dominée de Lebesgue.

Exemple 9.5 Pour la fonction de Heaviside H0, sa transformée de Laplace est donnée par :

∀p ∈ C, p 6= 0, Re(p) ≥ 0, L(H0)(p) =1p

(9.2)

qui est bien analytique dans Ω = R∗+ × R.

9.1.2 Cas des distributions et holomorphieOn note S = S(C) l'espace des fonctions ϕ : t ∈ R→ ϕ(t) ∈ C telles que |ϕ| : t ∈ R→ |ϕ(t)| ∈ R

soit à décroissance rapide : |ϕ| ∈ S.En particulier, pour α0 ∈ R et p ∈ C tels que Re(p − α0) > 0, la fonction t → e−(p−α0)t est

dans S.Et dans ce cas, si T ∈ D′(R)+ avec de plus e−α0tT ∈ S ′ on pose :

L(T )(p) déf= 〈e−α0tTt, e−(p−α0)t〉, ∀p ∈ C tel que Re(p) > α0 (9.3)

Cette quantité est bien dénie comme le montre l'application du théorème de la convergencedominée de Lebesgue.Proposition 9.6 et dénition. Si T ∈ D′(R)+ avec de plus e−α0tT ∈ S ′, alors si α1 > α0 on ae−α1tT ∈ S ′ et :

L(T )(p) = 〈e−α1tTt, e−(p−α1)t〉, ∀p ∈ C tel que Re(p) > α1 (9.4)

Cette quantité est indépendante de α1 > α0 et on pose :

L(T )(p) déf= 〈Tt, e−pt〉 ∀p ∈ C tel que Re(p) > α0 (9.5)

On appelle abscisse de sommabilité (ou de convergence absolue) le plus petit α0 tel que e−α0tT ∈ S ′.Et le domaine (demi-plan) p ∈ C : Re(p) > α0, où α0 est l'abscisse de sommabilité, est le domainede sommabilité de l'intégrale de Laplace.

Preuve. Si α1 > α0, on a, pour tout ϕ ∈ S que e−(α1−α0)tϕ est C∞(R) à décroissance rapide en+∞ et donc, pour T distribution à support dans R+ :

〈e−α0tTt, e−(α1−α0)tϕ〉 = 〈e−(α1−α0)te−α0tTt, ϕ〉 = 〈e−α1tTt, ϕ〉 (9.6)

toutes les quantités ci-dessus étant bien déni. On en déduit que e−α1tTt ∈ S ′. Puis avec ϕ(t) =e−(p−α1)t où Re(p) ≥ α1 (le support de T étant dans R+) :

〈e−α1tTt, e−(p−α1)t〉 = 〈e−α0tTt, e

−(p−α0)t〉 = L(T )(p) (9.7)et cette quantité est bien indépendante de α1 > α0.

Et comme pour les fonctions :

74

Page 75: Cours Maths

75 9.2. Dérivées et translations, exemples

Proposition 9.7 Les transformées de Laplace des distributions de D′(R)+ sont holomorphes, etdonc analytiques, dans le domaine de sommabilité.

Preuve. C'est la propriété de dérivation sous le signe 〈., .〉, proposition 3.1.

9.2 Dérivées et translations, exemplesOn a (généralisation de la transformée de Fourier) :

Proposition 9.8 Si p ∈ C est dans le domaine de sommabilité de T ∈ D′(R)+, pour l ∈ N et poura ∈ R :

L(T ′)(p) = pL(T )(p) et L(T (l))(p) = plL(T )(p)

L(T )′(p) = −L(tT )(p) et L(T )(l))(p) = (−1)lL(tlT )(p)

L(τaT )(p) = e−apL(T )(p)

(9.8)

Et pour λ ∈ C si p et p + λ sont dans le domaine de sommabilité de T ∈ D′(R)+ :τλL(T )(p) = L(e+λtT )(p) (9.9)

En particulier, on retrouve le fait qu'une dérivation est transformée en polynôme par Laplace.Preuve. On a, toutes les quantités ayant un sens :

L(T ′)(p) = 〈T ′t , e−pt〉 = −〈Tt,−pe−pt〉 = p〈Tt, e−pt〉 puis par récurrence pour l ∈ N on a la

première relation. Puis par dérivation sous le crochet :L(T )′(p) = d

dp 〈Tt, e−pt〉 = 〈Tt,−te−pt〉 = 〈−tTt, e

−pt〉 = −L(tT )(p) puis par récurrence pourl ∈ N on a la deuxième relation. Puis par un calcul direct :

L(τaT )(p) = 〈Tt, e−p(t+a)〉 = e−pa〈Tt, e

−pt〉 et quand cela a un sens :L(e+λtT )(p) = 〈Tt, e

λte−pt〉 = 〈Tt, e−t(p−λ)〉 = L(T )(p− λ) = τλL(T ).

Exemple 9.9 Pour la masse de Dirac :L(δ0)(p) = 1 (= 〈δ0, e

−pt〉)L(δ′0)(p) = p et L(δ(l)

0 )(p) = pl

L(H0)(p) =1p

L(τaδ0)(p) = e−ap

(9.10)

La primitive H0 de δ0 apparaît donc comme l'inverse de la dérivée δ′0 de δ0 après transformationpar Laplace : cela redonnera le calcul symbolique.

Les autres relations donnant L(tδ0)(p) = 0 et τaL(δ0)(p) = 1.On retrouve les mêmes formules que dans le cas de la transformée de Fourier, p jouant le rôle

de iξ.Exemple 9.10 Pour p ∈ C et ω ∈ R tel que Re(p) > 0 :

L(H0(t)eiωt)(p) = τiωL(H0(t))(p) =1

p− iω

L(H0(t)e−iωt)(p) =1

p + iω

L(H0(t) cos(ωt))(p) =p

p2 + ω2

L(H0(t) sin(ωt))(p) =ω

p2 + ω2

(9.11)

Exemple 9.11 Pour la fonction H0(t) tn

n! :

L(H0(t)tn

n!)(p) = (−1)n+1 1

n!L(H0)(n)(p) = (−1)n+1 1

n!dn

dpn(1p) =

1pn+1

(9.12)

Et pour la fonction H0(t)eλt tn

n! , dès que Re(p) > Re(λ) :

L(H0(t)eλt tn

n!)(p) = τλL(H0(t)

tn

n!)(p) =

1(p− λ)n+1

(9.13)

75

Page 76: Cours Maths

76 9.3. Inversion de la Transformée de Laplace

9.3 Inversion de la Transformée de LaplaceElle est donnée à l'aide de l'inversion de la transformée de Fourier : on a, dans le domaine de

sommabilité de f , i.e., pour α > α0 :

L(f)(α + iβ) =∫ ∞

0

(f(t)e−αt) e−iβt dt =√

2πF(H0fe−αt)(β) (9.14)

Et on a par transformée de Fourier inverse :

H0(t)f(t)e−αt = FF(H0fe−α.)(t) =1√2π

∫ ∞

β=−∞F(H0fe−α.)(β) e+iβt dβ

=12π

∫ ∞

β=−∞(∫ ∞

s=−∞H0(s)f(s)e−αs e−iβs ds) e+iβt dβ

(9.15)

D'où :(H0f)(t) =

eαt

∫ ∞

β=−∞L(f)(α + iβ) e+iβt dβ (9.16)

(donc on ne peut connaître f que sur R+ puisqu'on ne sait calculer que la fonction tronquée H0f .)Soit encore, en intégrant sur la droite imaginaire z = α avec donc dp = 0 + idβ :

∀t ≥ 0, f(t) =1

2iπ

∫ α+i∞

α−i∞L(f)(p) e+ipt dp (9.17)

C'est la formule d'inversion. Il reste à savoir sous quelles conditions cette formule est valide.On sait que la transformée de Laplace est une fonction holomorphe. Il s'agit donc de savoir sous

quelles conditions une fonction holomorphe L(p) est la transformée de Laplace d'une distribution.

Proposition 9.12 Pour qu'une fonction holomorphe p → L(p) soit la transformée de Laplaced'une distribution de D′(R)+, il faut et il sut qu'il existe un demi-plan α > α0 (domaine desommabilité) dans lequel L(p) soit tempérée.

(Admis.)

9.4 Transformée de Laplace et convolutionPar Laplace, la convolution est transformée en produit :

Proposition 9.13 Soit S ∈ D′(R)+, resp. T ∈ D′(R)+, ayant une transformée de Laplace pour ptel que Re(p) > α1, resp. tel que Re(p) > α2, avec α1, α2 ∈ R.

Alors, pour tout p ∈ C tel que Re(p) > max(α1, α2), on a :

L(S ∗ T )(p) = L(S)(p)L(T )(p) (9.18)

Preuve. Ce n'est autre que le théorème de Fubini :

L(S ∗ T )(p) = 〈(S ∗ T )t, e−pt〉 = 〈Sx ⊗ Ty, e−p(x+y)〉 = 〈Sx, e−px〉〈Ty, e−py〉 (9.19)

On retrouve par exemple :

Corollaire 9.14 Si T ∈ D′(R)+ a une transformée de Laplace pour p dans le domaine de somma-bilité Re(p) > α0, alors dans le domaine de sommabilité :

L(T (l))(p) = pl L(T ) (9.20)

Preuve. En eet, T (l) = δ(l)0 ∗ T , d'où L(T (l))(p) = L(δ(l)

0 )L(T ) = pl L(T ).

Exemple 9.15 On retrouve :

L(δ0)(p) = L(H ′0)(p) = L(δ′0 ∗H0)(p) = L(δ′0)(p)L(H0)(p) = p

1p

= 1 (9.21)

i.e., par Laplace, la dérivée δ′0 est bien l'inverse de la primitive H0.

76

Page 77: Cours Maths

77 9.5. Retour sur le calcul symbolique

9.5 Retour sur le calcul symboliqueOn applique l'idée que l'intégration est l'opération inverse de la dérivation : grâce à la trans-

formée de Laplace appliquée à l'intégrale H0 et à la dérivé δ′0 de δ0 :

L(δ0) = 1, L(δ′0) = p, L(H0) =1p

(pour p ∈ R∗+ × R) (9.22)

Puis grâce à la transformée de Laplace d'un produit de convolution :

L(u′) = L(δ′0 ∗ u) = L(δ′0)L(u) = pL(u) (9.23)

on a transformé une dérivation en expression polynomiale, ceci dans R∗+ × R.Et avec :

L(∫ T

0

u(t) dt)(p) = L(H0 ∗H0u)(p) = L(H0)(p)L(u)(p) =1pL(u)(p) (9.24)

on a transformé une primitive en expression rationnelle, ceci pour p ∈ R∗+ × R.

Exemple 9.16 Soit à résoudre u′′ + ω2u = f . On se limite à la recherche de u(t) pour t ≥ 0. Onapplique alors L pour obtenir à partir de (δ′′0 + ω2δ0) ∗ u = f :

(p2 + ω2)L(u)(p) = L(f)(p) (9.25)

On retrouve le polynôme caractéristique de l'équation diérentielle :

P (p) = p2 + ω2 = (p− iω)(p + iω) (9.26)

d'inverse :1

P (p)=

12iω

(−1

p + iω+

1p− iω

) (9.27)

Et il vient :L(u)(p) =

12iω

(−1

p + iω+

1p− iω

)L(f)(p) (9.28)

D'où par transformée inverse (qui ne donne que u sur R+) :

(H0u)(t) =1

2iω(−H0e

−iωt + H0eiωt) ∗H0f(t) =

sin(ωt)ω

∗H0f(t) (9.29)

résultat annoncé dans l'exemple 8.28. Ne pas oublier de considérer H0f et non simplement fpuisque la transformée de Laplace inverse ne donne que la fonction tronquée H0f (et non f).

77

Page 78: Cours Maths

78

10 Résolution d'équations aux dérivées partielles10.1 Partition de l'unité, Formules de Stokes et de Green10.1.1 Partition de l'unité

On rappelle la proposition 5.14 dans Rn.

Proposition 10.1 Soit Ω un ouvert de Rn et K un compact, K ⊂ Ω. Alors il existe une fonctionϕ ∈ D(Ω) telle que ϕ(x) = 1 dans un voisinage de K.

Preuve. Soit r la distance de K à Rn − Ω. Soit Km = x ∈ Rn : d(x,K) ≤ 1m pour m ∈ N.

Soit alors (ϕm) ∈ D(R) une suite régularisante, et on considère θm = ϕm ∗ 1Km∈ D(R) qui

vaut 1 sur Km. On prend alors m (assez grand) tel que 2m < r ce qui donne θm ∈ D(Ω) avec θm

qui vaut bien 1 au voisinage de K.On en déduit :

Proposition 10.2 (Partition de l'unité.) Soit K un compact dont on considère un recouvrementni K ⊂ ⋃m

j=1 Ωj , les Ωj étant des ouverts de Rn.Il existe alors m fonctions χj ∈ D(Ωj) telles que :

χ1(x) + ... + χm(x) = 1 dans un voisinage de K (10.1)

Preuve. Admettons un instant qu'on puisse trouver des compacts Kj ⊂ Ωj qui recouvrent K :K ⊂ ⋃m

j=1 Kj .Soit alors ψj ∈ D(Ωj) une fonction qui vaut 1 sur Kj (une telle fonction existe d'après la

proposition précédente). On pose dans Rn :

χ1(x) = ψ1(x)χ2(x) = ψ2(x)(1− χ1(x))

...

χm(x) = ψm(x)(1− χm−1(x))...(1− χ1(x))

(10.2)

On vérie que si x ∈ K1 on a χ1(x) + χ2(x) = 1 + ψ2(x)(1 − 1) = 1 ; et si x ∈ K2 on aχ1(x) + χ2(x) = ψ1(x) + 1(1− χ1(x)) = ψ1(x) + 1− ψ1(x) = 1 et donc que χ1(x) + χ2(x) = 1 surK1

⋃K2. Et on vérie de même que si x ∈ Ki, pour i quelconque, alors χ1(x) + ... + χm(x) = 1

sur⋃m

j=1 Kj .Il reste à montrer que de tels Kj existent. C'est l'objet du lemme suivant.

Lemme 10.3 Soit K un compact contenu dans la réunion nie d'ouverts⋃m

j=1 Ωj . Alors il existedes compacts Kj ⊂ Ωj tels que K ⊂ ⋃m

j=1 Kj .

Preuve. Soit x ∈ K et soit jx ∈ [1,m] tel que x ∈ Ωjx . Puis soit Cjx ⊂ Ωjx un compact includans Ωjx qui soit un voisinage de x, i.e. tel que x ∈ Cjx . On a donc K ⊂ ⋃

x∈K Cjx .On applique le théorème de BorelLebesgue : il existe un recouvrement ni de K par M ouverts

Ck = Cjxkpour k = 1,M , i.e. il existe un nombre ni M de points xk tels que les Cjxk

recouvrent K.On prend maintenant pour Kj la réunion (nie) =

⋃xk∈Ωj

Cjxket on a le résultat.

10.1.2 Domaine régulier, élément de surface et normale extérieureOn notera Rn = Rn−1 × R = ~x = (x′, xn) ∈ Rn−1 × R, ce qui donnera l'écriture générique

d'une fonction ϕ : Rn−1 → R de graphe (x′, ϕ(x′)) : x′ ∈ Rn−1 ⊂ Rn.Et on notera x′ = (x1, ..., xn−1) ∈ Rn−1, ainsi que |x′| =

√x2

1 + ... + x2n−1.

Ainsi, une boule Bn−1 ⊂ Rn−1 et un intervalle [an, bn] dénissent le `cylindre' Bn−1 × [an, bn],et une fonction ϕ : Bn−1 → R avec ϕ ∈ C∞(Bn−1,R) dénira une `surface' régulière (i.e., songraphe (x′, ϕ(x′)) : x′ ∈ Bn−1 est une `surface inniment lisse' de Rn).

Dénition 10.4 On dit que Ω ouvert borné de Rn est une domaine régulier si localement Ω estl'ensemble des points situés au dessus du graphe d'une fonction C∞(Rn−1,R), i.e. :

78

Page 79: Cours Maths

79 10.1. Partition de l'unité, Formules de Stokes et de Green

1. Ω est un ouvert borné connexe de Rn. On note ∂Ω sa frontière.2. Pour tout ~a = (a′, an) ∈ ∂Ω, il existe un repère orthonormé Ra (dit adapté), il existe ε > 0

et η > 0, et il existe une fonction ϕa ∈ C∞(Rn−1,R) tels que : dans le repère Ra on ait~a = (0, ..., 0) (origine dans Rn) et :

Ω⋂(x′, xn) : |x′| < ε, |xn| < η = (x′, xn) : |x′| < ε, |xn| < η et xn > ϕa(x′) (10.3)

(Ω est localement d'un seul côté du graphe de ϕa.)

On se donne un domaine régulier Ω et un point ~a = (a′, an) ∈ ∂Ω. Avec ϕa déni ci-dessusdans un voisinage Va de ~a, on dénit le vecteur normal unitaire extérieur (ou sortant) à ∂Ω en~x = (x′, xn) ∈ Va

⋂∂Ω comme étant le vecteur normal unitaire au graphe de ϕa en ~x déni par :

~n(~x) =1√

1 + |∇ϕa(x′)|2

∂ϕa(x′)∂x1

...∂ϕa(x′)∂xn−1

− 1

=1√

1 + |∇ϕa(x′)|2

(∇ϕa

)(x′)

−1

(10.4)

où ∇ϕa(x′) = (∂ϕa(x′)∂x1

, ..., ∂ϕa(x′)∂xn−1

)t est le vecteur gradient de ϕa en x′ = (x1, ..., xn−1), et |∇ϕa(x′)|sa norme dans Rn−1. Noter que Ω étant (localement) au dessus du graphe de ϕa, la dernièrecomposante de ~n(~x) est bien dénie par un signe `−' pour avoir la normale extérieure (ou sortante).Pour mémoire :

Dénition 10.5 On appelle i-ème cosinus directeur de la normale ~n(~x) la projection du vecteurnormal ~n(~x) dans la i-ème direction : cos θi = (~n(~x), ~ei)Rn = ni(~x).

Puis on dénit localement (au voisinage de ~a) l'élément de surface comme étant la mesure surRn−1 dénie au voisinage de ~a par :

dσa =√

1 + |∇ϕa(x′)|2 dx′ (10.5)

où on a noté dx′ = dx1...dxn−1. On montre que cette mesure est indépendante du choix du repèreRa (exercice). Et 1√

1+|∇ϕa(x′)|2 n'est autre que la jacobien de la transformation en x, voir coursd'intégration sur des surfaces paramétrées.

Donc localement, i.e. pour ψ ∈ D(ω) où ω est un `petit' voisinage de ~a, on a déni dσa par :

〈dσa, ψ〉 =∫

ψ(x′)√

1 + |∇ϕa(x′)|2 dx′ =∫

ψ dσa.

Puis, à partir des propriétés locales, on passe aux propriétés globales : on recouvre K = Ω(compact) par un nombre ni d'ouverts `cylindriques'. Quitte à considérer des unions de telsouverts, on note ce recouvrement Ω0

⋃(⋃m

j=1 Ωj), où on a noté Ω0 l'ouvert d'intersection videavec ∂K et où Ωj

⋂∂K 6= ∅ pour 1 ≤ j ≤ m. On se donne alors une partition de l'unité χ0 + χ1 +

... + χm relative à ce recouvrement, et on dénit l'élément de surface au voisinage de ~x ∈ ∂K par :

dσ =m∑

i=1

χi(x′)dσai (10.6)

On a ainsi une mesure globale sur ∂Ω (on fait la somme nie des mesures locales dans leurs repèresadaptées).

Puis on dénit l'intégrale de surface d'une fonction continue f par :

〈dσ, f〉 =∫

∂Ω

f(~x) dσ(~x) (10.7)

Enn, on rappelle que pour une fonction f : Rn → R qui est C1(Rn,R) on a en ~x ∈ ∂Ω :∂f

∂n(~x) déf= lim

h→0

f(~x + h~n)− f(~x)h

=∂f

∂x1n1 + ... +

∂f

∂xnnn = ∇f.~n (10.8)

C'est la dérivée de f dans la direction ~n. Attention, ici f est une fonction des n variables `(x′, xn)'et a un sens dans tout l'espace Rn et non seulement sur la surface ∂Ω (variété d'ordre n−1). Alorsque la surface ∂Ω est dénie (localement) comme une fonction ϕ des n− 1 variables x′.

79

Page 80: Cours Maths

80 10.1. Partition de l'unité, Formules de Stokes et de Green

10.1.3 Formule de StokesOn note Rn

+ le demi-espace Rn−1 × R+. On commence par une propriété locale grâce auxfonctions à support compact, et on regarde le cas d'une frontière `plane'.

Lemme 10.6 Si ϕ ∈ D(Rn−1) et si f ∈ D(Rn) alors, notant t = xn :pour i = 1, ..., n− 1 :

∫ ∞

t=0

x′∈Rn−1

∂f

∂xi(x′, t + ϕ(x′)) dx′dt =

x′∈Rn−1f(x′, ϕ(x′))

∂ϕ(x′)∂xi

dx′ (10.9)

et pour i = n :∫ ∞

t=0

x′∈Rn−1

∂f

∂xn(x′, t + ϕ(x′)) dx′dt = −

x′∈Rn−1f(x′, ϕ(x′)) dx′ (10.10)

Et ceci est conservé si ϕ et f sont C1 à support compact.

Preuve. On applique le théorème de Fubini en posant g(x′, t) = f(x′, t+ϕ(x′)) qui est C∞ et quidonne : ∫ ∞

t=0

x′∈Rn−1

∂g

∂x1(x′, t) dx1...dxn−1dt = 0 (10.11)

(en intégrant d'abord en x1 sur ]−∞,∞[, g étant à support compact.)Et on a :

∂g

∂x1(x′, t) =

∂f

∂x1(x′, t + ϕ(x′)) +

∂f

∂xn(x′, t + ϕ(x′))

∂ϕ

∂x1(x′) (10.12)

Il vient donc :∫

Rn−1

∫ ∞

0

∂f

∂x1(x′, t + ϕ(x′)) dx′dt = −

Rn−1

∫ ∞

0

∂f

∂xn(x′, t + ϕ(x′))

∂ϕ

∂x1(x′) dx′dt (10.13)

Et ϕ étant indépendant de xn on a :∫

Rn−1

∫ ∞

0

∂f

∂x1(x′, t + ϕ(x′)) dx′dt = −

Rn−1

∂ϕ

∂x1(x′)

[f(x′, t + ϕ(x′))

]∞t=0

dx′ (10.14)

d'où (10.9) pour i = 1 f étant à support compact. Et même calcul pour i ≤ n− 1.Pour i = n, on a directement, ϕ ne dépendant pas de xn :

∫ ∫

Rn+

∂f

∂xn(x′, t + ϕ(x′)) dx′dt =

Rn−1[f(x′, t + ϕ(x′))]∞t=0 dx′ (10.15)

f étant à support compact, i.e. (10.10).On en déduit :

Théorème 10.7 (Formule de Stokes) Pour un domaine régulier Ω ⊂ Rn et f ∈ C1(Ω) où Ω estun voisinage de Ω, on a, pour i = 1, ..., n :

Ω

∂f

∂xi(~x) dx =

∂Ω

f(~x)ni dσ(~x) (10.16)

où ~n = (n1, ..., nn) est le vecteur unitaire extérieur à Ω.Et donc, pour tout champ de vecteur ~X : Rn → Rn qui est C1 dans un voisinage de Ω :

Ω

div( ~X) dx =∫

∂Ω

~X.~n dσ(~x) (10.17)

(formule de Stokes.)

80

Page 81: Cours Maths

81 10.1. Partition de l'unité, Formules de Stokes et de Green

(On rappelle que pour ~X : (x1, ..., xn) →

X1(x1, ..., xn)...

Xn(x1, ..., xn)

un champ de vecteur C1 donné,

on a div( ~X) = ∂X1∂x1

+ ... + ∂Xn

∂xn.)

Preuve. On applique le lemme précédent : on considère le compact régulier K = Ω, et le recouvre-ment ni Ω0

⋃mj=1 Ωj de la dénition de dσ. Et on prend une partition de l'unité relative à

⋃mj=0 Ωj

avec laquelle on a :

f =m∑

j=0

fχj =m∑

j=0

fj , fjdéf= fχj

Et on applique le lemme précédent à chaque fj , ce qui donne, pour 1 ≤ i ≤ n− 1 et ϕ ∈ D(Rn) :∫

Rn+

∂fj

∂xi(x′, t + ϕ(x′)) dx =

Rn−1fj(x′, ϕ(x′))

∂ϕ(x′)∂xi

dx′.

Puis on passe de Rn+ à Ω : pour 1 ≤ i ≤ n − 1, on prend pour ϕ la fonction déterminant locale-

ment ∂Ω ; on obtient, pour tout 0 ≤ j ≤ m, grâce à (10.4) :∫

Rn+

∂fj

∂xi(x′, t + ϕ(x′)) dx =

∂Ω

fj [ni.√

1 + |∇ϕ|2) dx′] =∫

∂Ω

fj ni dσ

Puis comme∑m

j=0∂fj

∂xi=

∂∑m

j=1 fj

∂xi= ∂f

∂xi, on en déduit (10.16) pour tout 1 ≤ i ≤ n− 1.

Le cas i = n est immédiat avec le lemme précédent et la dénition de ~n donnée en (10.4) ainsique de l'élément de surface dσ déni en (10.5). D'où la formule (10.16) pour tout 1 ≤ i ≤ n.

Et la formule de Stokes (10.17) s'en déduit puisque :∫

Ω

div( ~X) dx =n∑

i=1

Ω

∂Xi

∂xi(~x) dx =

n∑

i=1

∂Ω

Xi ni dσ =∫

∂Ω

~X.~n dσ (10.18)

10.1.4 Intégration par parties et formule de GreenDe la formule (10.16) on déduit immédiatement :

Théorème 10.8 (Intégration par parties) Si f et g sont deux fonctions C1 dans un voisinage d'unouvert régulier Ω de Rn, on a, pour tout i = 1, ..., n :

Ω

f∂g

∂xidx = −

Ω

∂f

∂xig dx +

∂Ω

f g ni dσ (10.19)

Preuve. C'est la formule (10.16) appliquée à la fonction fg.Et de la formule de Stokes (10.17) on déduit immédiatement :

Théorème 10.9 (Formule de Green) Si f et g sont deux fonctions C2 dans un voisinage d'unouvert régulier Ω de Rn, on a, pour tout i = 1, ..., n :

Ω

(f ∆g −∆g f) dx =∫

∂Ω

(f∂g

∂n− ∂f

∂ng) dσ (10.20)

Preuve. On considère le champ de vecteur ~X = f∇g qui donne div ~X = f∆g + ∇f.∇g, auquelon applique la formule de Stokes, et de même pour le champ de vecteur ~Y = g∇f , et on fait ladiérence des deux formules trouvées.

81

Page 82: Cours Maths

82 10.2. Formule des sauts dans l'espace et formule de Rankine-Hugoniot

10.2 Formule des sauts dans l'espace et formule de Rankine-Hugoniot10.2.1 Formule des sauts dans l'espace

C'est la contrepartie du cas 1-D, paragraphe 1.7.2, pour une fonction C1 et C0 par morceauxsur Rn.

Soit Ω un ouvert régulier de bord ∂Ω, et soit f une fonction dénie sur Rn supposée régulièrepar morceaux : on suppose f ∈ C1(Ω) et f ∈ C1(Rn − Ω) avec de plus f prolongeable au bord :d'une part en une fonction fint ∈ C1(Ω) (intérieure), et d'autre part en une autre fonction fext ∈C1(Rn − Ω) (extérieure).

On applique alors le résultat du cas 1-D, paragraphe 1.7.2, où maintenant l'élément de surfaceorthogonal à la direction x1 a pour mesure n1 dσ :

Proposition 10.10 Pour la fonction f C1 par morceaux dénie ci-dessus, on a au sens des dis-tributions, pour tout i = 1, ..., n :

∂f

∂xi=

∂f

∂xi

+

(fext − fint

)ni dσ, au sens de D′(Rn) (10.21)

∂f

∂xi

est la dérivée usuelle de f .

Preuve. Soit une fonction ϕ ∈ D(Rn), alors f étant L1loc(Rn) :

〈 ∂f

∂xi, ϕ〉 déf= − 〈f,

∂ϕ

∂xi〉 = −

Rn

f(~x)∂ϕ

∂xi(~x) dΩ = −

Ω∪(Rn−Ω)

f(~x)∂ϕ

∂xi(~x) dΩ (10.22)

On applique la formule d'intégration par parties (10.19) sur chaque morceaux (f y est C1) :

Ω

f(~x)∂ϕ

∂xi(~x) dΩ = −

Ω

∂f

∂xi(~x)ϕ(~x) dΩ +

∂Ω

fint(~x) ϕ(~x)ni dσ

Rn−Ω

f(~x)∂ϕ

∂xi(~x) dΩ = −

Rn−Ω

∂f

∂xi(~x)ϕ(~x) dΩ +

∂Ω

fext(~x)ϕ(~x) (−ni) dσ

(10.23)

(~n est la normale extérieure pour Ω et −~n est la normale extérieure pour Rn −Ω.) On en déduit :

〈 ∂f

∂xi, ϕ〉 =

Ω∪(Rn−Ω)

∂f

∂xi(~x) ϕ(~x) dΩ +

∂Ω

(fext − fint)(~x)ϕ(~x)ni dσ (10.24)

ceci étant vrai pour tout ϕ ∈ D(Rn), c'est le résultat annoncé.

Remarque 10.11 La formule des sauts (10.21) est aussi notée, dans D′(Rn) :

∂f

∂xi(~x) =

∂f

∂xi

(~x) +

(f(~x + 0~n)− f(~x− 0~n)

)ni dσ =

∂f

∂xi

(~x) +

[f]ni dσ (10.25)

où[f]dénote le saut de f à travers ∂Ω. Et si ~x 6∈ ∂Ω, alors f est dérivable en ~x, et la dérivée au

sens des distributions est identiable à la dérivée usuelle : la mesure dσ à son support dans ∂Ω etsi ϕ ∈ D(Rn) est nulle sur ∂Ω, on a 〈dσ, ϕ〉 = 0.

Remarque 10.12 Une fonction d'une seule variable x1, cas traité au paragraphe 1.7.2, se com-porte comme le cas n-D où Ω est un cylindre d'axe x1, la normale sortante en `entrée' (à gauche) ducylindre valant ~n(−1, 0, ..., 0). On retrouve alors : (i) σ0 = f(~x+0)−f(~x−0) = −f(~x+0~n)+f(~x−0~n)et (ii) n1 dσ = −1 σ0δ0. Et on retrouve

f ′ = f ′+ σ0δ0, au sens de D′(R) (10.26)

La formule n-D peut s'en déduire heuristiquement en notant que la dérivée dans la direction 1 nedépend pas des autres directions, et en particulier, le taux de variation de f dans la direction 1 nedépend pas de l'inclinaison de la surface par rapport sur l'axe x1 (qui dépend des autres directions)mais uniquement de l'aire de la surface projeté, i.e., de n1 dσ.

82

Page 83: Cours Maths

83 10.3. Équations aux dérivées partielles

10.2.2 Formule de Rankine-HugoniotOn considère les variable (t, ~x) ∈ R×Rn = Rn+1. Un choc (type `onde de choc') est décrit par

la discontinuité d'une fonction u : Rn+1 → R notée u(t, ~x) le long d'une surface Σ de Rn+1. Leproblème est alors de décrire les lois de conservations sur Σ, surface supposée régulière. La normaleà la frontière Σ est notée ~n = (n0, n1, ..., nn) ∈ Rn+1.

Une loi de conservation de u(t, ~x) est décrite par :

∂u(t, ~x)∂t

+ div(~f(u(t, ~x)) = 0 =∂u(t, ~x)

∂t+

n∑

i=1

∂xi

(fi(u(t, ~x))

)(10.27)

au sens des distributions, la fonction ~f : R → Rn notée ~f(v) =

f1(v)...

fn(v)

étant une fonction qui

est C1(R,Rn). On déduit de la formule des sauts que la densité par rapport à dσ vaut :

[u(x + 0~n)− u(x− 0~n)

]n0 +

n∑

i=1

[fi(u(x + 0~n)− fi(u(x− 0~n)

]ni = 0 (10.28)

où avec le notation des sauts :[u]n0 +

n∑

i=1

[fi u

]ni = 0 (10.29)

C'est la formule de RankineHugoniot qui permet la description du choc (de la dérivée de ladiscontinuité de u au sens des distribution).

10.3 Équations aux dérivées partiellesPour A ∈ E ′(Rn), on cherche une solution u ∈ D′(Rn) de l'équation :

A ∗ u = f (10.30)

pour f ∈ D′(Rn). Dans le cas où A =∑|α|≤m cα

∂|α|∂xα δ0 est une combinaison linéaire de masse de

Dirac et de ses dérivées, l'équation de convolution est l'équation aux dérivées partielles :

|α|≤m

∂|α|u∂xα

= f (10.31)

10.3.1 Existence et unicité dans E ′(Rn)

Proposition 10.13 On se place dans l'algèbre E ′(Rn) des distributions à support compact. SiA ∈ E ′(R) admet une solution élémentaire E ∈ D′(Rn), alors si f ∈ E ′(Rn),

(i) il existe au moins une solution u ∈ D′(Rn) de (10.31) à savoir u = E ∗ f ∈ D′(Rn),(ii) il existe au plus une solution u ∈ E ′(Rn), c'est u = E ∗ f ,(iii) si A est inversible dans l'algèbre E ′(Rn), i.e., s'il existe une solution élémentaire E = A−1

dans E ′(Rn), alors il existe une unique solution u ∈ E ′(R) donnée par u = A−1 ∗ f .

Preuve. Ayant au moins deux des distributions ayant des supports compacts, à savoir A et f , leproduit de convolution est associatif et :

A ∗ (E ∗ f) = (A ∗ E) ∗ f = δ0 ∗ f = f (10.32)

d'où u = E ∗ f est solution. De plus, si on suppose u à support compact, alors le produit deconvolution suivant est associatif et donne :

u = (E ∗A) ∗ u = E ∗ (A ∗ u) = E ∗ f (10.33)

et donc u s'il existe est unique. Et si A a un inverse dans l'algèbre E ′(Rn), i.e. si A−1 existe,A−1 ∈ E ′(Rn) et A−1 ∗ f ∈ E ′(Rn), alors u = A−1 ∗ f est bien solution dans E ′(Rn).

83

Page 84: Cours Maths

84 10.3. Équations aux dérivées partielles

10.3.2 Équation de Laplace dans R3 : distributions et fonctions harmoniquesDénition 10.14 Une fonction (resp. distribution) u : Rn → R est dite harmonique si elle satisfaitl'équation de Laplace :

∆u = 0 (10.34)

Les fonctions solutions de cette équation sont appelées fonctions harmoniques, et dans R2, ce sontles parties réelles de fonctions holomorphes (voir par exemple Rudin [7] chapitre 11).

Proposition 10.15 La fonction ~r = (x, y, z) ∈ R3 → 1|~r| = (x2 + y2 + z2)−

12 ∈ R est une fonction

harmonique dans R3 − 0.

Preuve. En eet :

∀~r 6= 0,∂ 1

r

x= − x

r3,

∂2 1r

x2= − 1

r3+

3x2

r5, ∆

1r

= 0 (10.35)

Il reste donc à voir ce qui se passe en 0. Noter que E = 14π

1r est une fonction localement

intégrable de R3 et dénit une distribution régulière. Par contre, ce n'est pas une distribution àsupport compact.

Proposition 10.16 Une solution élémentaire E ∈ D′(R3) du Laplacien : ∆δ0 ∗E = ∆E = δ0 est :

E = − 14π

1r

(10.36)

où r = |~r| =√

x2 + y2 + z2 si ~r = (x, y, z) est le rayon vecteur.

Preuve. On note Sε la sphère de centre 0 et de rayon ε, et on pose :

fε(~r) =

1r

r ≥ ε

r ≤ ε

(10.37)

(faire le dessin.) Un calcul direct montre que ∆fε = 0 dans R3 − Sε : fε est harmonique dansR3 − Sε. Et comme fε converge presque partout vers 1

r quand ε → 0, on en déduit que fε 1r

dans D′(R3). Et donc :∆

1r

= limε→0

∆fε (10.38)

(continuité de la dérivée dans D′.)D'autre part, la fonction fε est continue sur Sε, et la formule des sauts donne au sens des

distributions :

∂fε

∂x(~x) =

∂fε

∂xi

(~x) +

(fε(~x + 0~n)− fε(~x− 0~n)

)n1 dσ =

∂fε

∂xi

(~x) =

−x

r3, r > ε

0, r < ε(10.39)

On applique la formule des sauts à ∂fε

∂x (~x) et il vient :

∂2fε(~r)∂x2

=

∂2fε(~r)∂x2

+ [

∂fε

∂x(~r + 0.~n)− ∂fε

∂x(~r − 0.~n)] n1 dσε

=

∂2fε(~r)∂x2

− x

r3n1 dσε

(10.40)

D'où :∆fε = 0− ~r.~n

r3dσε = − 1

ε2dσε (10.41)

puisque sur la sphère ~n = ~rr . D'où, pour tout ϕ ∈ D(R3) :

〈∆fε, ϕ〉 = − 1ε2

ϕ(~r) dσε−→ε→0

− 1ε2

ϕ(0)4πε2 = −4π〈δ0, ϕ〉 (10.42)

D'où ∆1r = −4πδ0, et E = − 1

4π1r est une solution élémentaire.

84

Page 85: Cours Maths

85 10.3. Équations aux dérivées partielles

10.3.3 Équation de Poisson dans R3

On en déduit :

Proposition 10.17 Si f ∈ E ′(R3) alors l'équation de Poisson dans R3 :

∆u = f (10.43)

admet une solution u dans D′(R3) donnée par :

u = E ∗ f = − 14π

1r∗ f (10.44)

Cette solution est C∞(R3 − supp(f)) et tend vers 0 à l'inni.

(Il y a d'autres solutions, à savoir u + v où v est harmonique. Par contre on montrera queu = E ∗ f est la seule solution qui tend vers 0 à l'innie. f ∈ E ′ représente une distribution decharge en électricité par exemple.)Preuve. Puisque f ∈ E ′(Rn), la proposition 10.13 nous dit qu'eectivement E ∗ f est solution.

Maintenant, f étant à support compact, pour ~r xé, si ~r 6∈ supp(f), alors pour tout ~x ∈ supp(f)on a ~r − ~x 6= 0 et :

(E ∗ f)(~r) = 〈f(~x), E(~r − ~x)〉 =∫

~x∈supp(f)

f(~x)E(~r − ~x) d~x (10.45)

(Écriture intégrale abusive si f n'est pas une fonction.) Et E ∗ f est bien C∞ au voisinage de ~rpuisque ~x → E(~r − ~x) est C∞ sur un voisinage de supp(f) (dérivation sous le crochet).

Il reste à montrer que u = E ∗f tend vers 0 à l'inni : f est une distribution à support compactdonc d'ordre ni (proposition A.7). Soit m l'ordre de f . On a, l'existence d'une constante C > 0telle que, si K est un voisinage de suppf et si ~r /∈ K :

(f ∗ E)(~r) = 〈f~x, E(~r − ~x)〉 ≤ C sup~x∈K, |α|≤m

|E(α)(~r − ~x)| (10.46)

Toutes les dérivées de 1r étant des fractions rationnelles d'ordre 1

rk pour k ≥ 1 tendent vers 0 quandr →∞. Et on obtient (f ∗ E) → 0 quand r →∞.

Corollaire 10.18 Si Ω ⊂ R3 et si u ∈ D′(Ω) est harmonique, i.e. ∆u = 0, alors u est une fonctionC∞(Ω). Autrement dit, les seules distributions harmoniques sont les fonctions harmoniques etcelles-ci sont C∞(Ω).

Preuve. Il s'agit de montrer qu'en ~r ∈ Ω donné, u est C∞. On se ramène à une distribution àsupport compact v = ϕu où ϕ ∈ D(Ω) vaut 1 dans un voisinage ω ⊂ Ω de ~r. Dans ce cas :

v = δ0 ∗ v = (E ∗∆δ0) ∗ v = E ∗ (∆δ0 ∗ v) = E ∗∆v (10.47)

le produit de convolution étant associatif puisque deux des trois distributions sont à supportcompact. Et d'après la proposition précédente, avec ici f = ∆v, si ~r 6∈ supp(∆v), alors E ∗∆v estC∞ au voisinage de ~r, donc v est C∞ au voisinage de ~r.

Mais dans le voisinage ω, ϕ étant constante, ∆v = ∆uϕ + 2∇u.∇ϕ + u∆ϕ = 0 + 0 + 0 = 0.Donc ~r 6∈ supp(∆v) et v = uϕ est C∞ en ~r. Donc u = v/ϕ est C∞ au voisinage de ~r.

Il reste à voir qu'une fonction harmonique ne tend pas vers 0 à l'inni.

10.3.4 Principe du maximum et fonctions harmoniquesOn vient de voir que les fonctions harmoniques étaient C∞(R3). On a aussi :

Proposition 10.19 (Propriété de la moyenne.) Soit Ω un ouvert de Rn et u une fonction harmo-nique dans Ω. Alors si B(~r0, R) ⊂ Ω, où B(~r0, R) est une boule de centre ~r0 de rayon R de frontièreSR, on a :

u(~r0) =1

4πR2

SR

u(~r) dσR (10.48)

Autrement dit, pour u harmonique, la valeur de u en ~r0 est complètement déterminée par lesvaleurs de u au bord SR.

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Page 86: Cours Maths

86

Preuve. On sait que u ∈ C∞(Ω), et il s'agit de montrer que :

〈4πδ0, u〉 = 〈 1R2

dσR, u〉 (10.49)

On considère la fonction continue gR sur R3 :

gR(~r) =

1r− 1

R, si r ≥ R

0, si r < R(10.50)

qui donne (voir le calcul de fε dans la démonstration de la proposition 10.16) :

∆gR =1

R2dσR − 4πδ0 (10.51)

On en déduit (10.49).

Corollaire 10.20 (Principe du maximum) Une fonction harmonique non constante dans Ω atteintses maximum et minimum au bord ∂Ω.

Preuve. Soit uM = u(~rM ) le maximum de u atteint en ~rM . La fonction v = u − uM vériev(~rM ) = 0, elle est harmonique et C∞, et si elle n'est pas identiquement nulle on a v(~rM ) < 0 dansune boule de centre ~rM d'après la propriété de la moyenne. Absurde, donc u = cste = uM .

Corollaire 10.21 Si u est une fonction harmonique qui tend vers 0 à l'inni dans R3, alors u = 0dans R3.

Preuve. Soit ε > 0 et R tel que |u(~r)| ≤ ε pour r > R. Et pour ~r0 donné, ~r0 est centre de la boulede rayon |~r0| + R, et l'inégalité de la moyenne donne u(~r0) ≤ 1

4π ε, et ce pour tout ε > 0. Doncu(~r0) = 0.

10.3.5 Retour à l'équation de PoissonCorollaire 10.22 Si f ∈ E ′(R) alors la seule solution de l'équation de Poisson dans R3 :

∆u = f (10.52)

qui s'annule à l'inni est :u = E ∗ f = − 1

1r∗ f (10.53)

cette solution étant C∞(R3 − supp(f)).

Preuve. Si ∆u = f alors ∆(u−E ∗ f) = 0, et donc u−E ∗ f est une fonction harmonique. Et sielle s'annule à l'inni, elle est identiquement nulle d'après le corollaire précédent.

A Annexe : topologie de D(Ω) et ordre d'une distributionA.1 * topologie de D(Ω)

Cette annexe est hors programme, un résultat simple à retenir étant la proposition A.9 : unedistribution ayant son support réduit à un point a est une combinaison linéaire (somme nie)de dérivées de δa.

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Page 87: Cours Maths

87 A.1. * topologie de D(Ω)

RappelsOn désigne par Cm(Ω) l'espace des fonctions dénies et m-fois continûment dérivables dans

l'ouvert Ω.On rappelle qu'une fonction est continue sur Ω si elle est continue en tout point x ∈ Ω :

∀x ∈ Ω, ∀ε > 0, ∃ηx,ε, ∀y ∈ Ω, |x− y| < ηx,ε =⇒ |f(x)− f(y)| < ε (A.1)

Par exemple, la fonction f(x) = 1x est continue sur ]0,∞[.

On rappelle qu'une fonction est uniformément continue sur Ω si :

∀ε > 0, ∃ηε, ∀x ∈ Ω, ∀y ∈ Ω, |x− y| < ηε =⇒ |f(x)− f(y)| < ε (A.2)

Par exemple, la fonction f(x) = 1x n'est pas uniformément continue sur ]0,∞[ : il existe ε > 0, on

prend ε = 1 par exemple, tel que pour un η quelconque, on peut trouver (il existe) x et y, et onprend y = 2x tels que |x− y| < η et | 1x − 1

y | = |y−xxy | = | 1

2x | ≥ 1 : prendre x < η avec x ≤ 12 .

Puis on rappelle que toute fonction continue sur un compact y est uniformément continue.

Remarque A.1 La notion de convergence uniforme est indépendante du point qu'on regarde etpermet de dénir une norme sur l'espace des fonctions uniforméments continues sur un borné :||f ||∞ = supx∈Ω |f(x)|.

Alors que la notion de convergence simple ou ponctuelle ne donne aucune structure topologiqueassociée à une norme à l'ensemble des fonctions simplement continues.

Norme sur Cm(K)Pour K compact ⊂ Ω, toute fonction continue étant uniformément continue sur un compact,

pour m ∈ N, on munit Cm(K) de la topologie de la convergence uniforme, i.e., on considère lanorme sur Cm(K) :

pK,m(f) =m∑

j=0

supx∈K

|f (j)(x)| =m∑

j=0

||f (j)||∞ (A.3)

En particulier, pK,0 = supx∈K |f(x)| = ||f ||∞ est la norme de la convergence uniforme sur C0(K),et C0(K) muni de cette norme est normé et complet. De même, les (Cm(K), pK,m) sont des espacesde Banach (normés et complets).

Distance sur C∞(K)L'espace C∞(K) est muni de la famille de normes (pK,m)m∈N qui lui confère la structure

d'espace métrique complet pour la distance :

d(f, g) =∑

m∈N

12m

min(1, pK,m(f − g)) (A.4)

mais C∞(K) n'est pas un espace normé complet : il n'existe pas de norme qui le rende complet(complet uniquement pour des distances).

Topologie sur D(Ω)On dénit alors la topologie sur D(Ω) comme étant celle induite de

⋃K⊂Ω C∞(K), i.e. à l'aide

de la famille (pK,m)(K⊂Ωm∈N

) de semi-normes pour K compact inclu dans Ω. La notion de continuitésur D(Ω) (espace D′(Ω)) a été dénie avec cette topologie et la convergence d'une suite (ϕj)de D(Ω) vers une fonction ϕ ∈ D(Ω) a été donnée en (1.10). On la réécrit comme (convergencedans un Cm(K) pour tout m) :

∃K ⊂ Ω, K compact, tel que : 1) ∀n ∈ N, supp(ϕn) ⊂ K,

2) ∀m ∈ N, pK,m(ϕn − ϕ) →n→∞

0 (dans R). (A.5)

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Page 88: Cours Maths

88 A.2. * Ordre d'une distribution

Distance sur C∞(Ω)Pour Cm(Ω), et C∞(Ω), on considère la famille de semi-normes indexée par K et m, où K est

un compact de Ω :pK,m(f) =

j≤m

supx∈K

|f (j)(x)| (A.6)

Chacune de ces fonctionnelles pK,m est bien une norme sur C∞(Ω) (vérication immédiate). Onmontre alors que C∞(Ω) a ainsi une structure d'espace métrique (non normable), voir par exemplel'annexe Espaces de Fréchet dans Bony [2] ou voir Zuily [12] chapitre 1). Et la convergence d'unesuite (ψj) de C∞(Ω) vers une fonction ψ ∈ C∞(Ω) s'exprime comme :

∀K compact ⊂ Ω, ∀m ∈ N, pK,m(ψj − ψ) −→j→∞

0

Remarque A.2 Plus simplement pour C∞(Ω), si (Km) est une suite croissante exhaustive decompact de Ω (telle que Km ⊂ Km+1 et

⋃Km = Ω), on considère :

pm(f) =∑

j≤m

supx∈Kj

|f (j)(x)|

On dispose ainsi sur C∞(Ω) d'une famille de normes (pm) dont on déduit une distance sur C∞(Ω)comme en (A.4).

A.2 * Ordre d'une distributionLa dénition 1.10 s'écrit alors aussi, ayant une topologie sur D(Ω) (donnée par une distance),

et ayant donc des ouverts, et donc des applications continues :

Dénition A.3 On appelle distribution T tout élément de L(D(Ω),R) = D′(Ω) ensemble desformes linéaires continues sur (D(Ω), (pK,m)(K⊂Ω

m∈N)). I.e., toute fonctionnelle T : D(Ω) → R linéaire

telle que (continuité en 0) :

∀K compact ⊂ Ω, ∃m ∈ N, ∃C > 0 t.q. :∀ϕ ∈ D(Ω) vériant supp(ϕ) ⊂ K, |〈T, ϕ〉| ≤ C pK,m(ϕ)

(A.7)

Dénition A.4 Lorsque m peut être choisi indépendamment de K, on dit que m est l'ordre dela distribution. Donc, une distribution est d'ordre m si :

∃m ∈ N, ∀K compact ⊂ Ω, ∃C > 0 t.q. :∀ϕ ∈ D(Ω) vériant supp(ϕ) ⊂ K, |〈T, ϕ〉| ≤ C pK,m(ϕ)

(A.8)

Exemple A.5 Une fonction f ∈ L1(R) dénit une distribution d'ordre 0 puisque pour tout com-pact K et toute fonction ϕ ∈ D(R) on a

∫K

f(x)ϕ(x) dx ≤ ||f ||0 pK,0(ϕ).

Exemple A.6 Puisque 〈δ0, ϕ〉 = ϕ(0) ≤ 1 pK,0(ϕ), la masse de Dirac dénit une distributiond'ordre 0 .

Et la dérivée de la masse de Dirac dénit une distribution d'ordre 1.Et la distribution

∑k≤m δ

(k)0 est d'ordre m.

Et la distribution∑

k∈N δ(k)k est d'ordre inni.

(Noter que la quantité∑

k∈N δ(k)0 ne dénit pas une distribution : prendre une fonction qui au

voisinage de 0 vaut ϕ(x) = ex et pour laquelle 〈∑k∈N δ(k)0 , ϕ〉 =

∑k∈N 1 = ∞. C'est également une

conséquence de la proposition suivante.)

Proposition A.7 Toute distribution T ∈ E ′(Ω) (à support compact dans Ω) est d'ordre ni. Etplus précisément :

∃m ∈ N, ∀Kvoisinage compact de supp(T ), ∃C > 0 :

∀ϕ ∈ D(Ω), |〈T, ϕ〉| ≤ C supx∈K,α≤m

|ϕ(α)(x)| (A.9)

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Page 89: Cours Maths

89 A.2. * Ordre d'une distribution

Preuve. Soit K1 ⊂ Ω un voisinage compact de suppT (i.e. K1 compact et K1 ⊃ suppT ). Et Tétant une distribution, par dénition A.3, K1 étant xé, soit m le plus petit entier vériant :

∀ϕ ∈ D(Ω), supp(ϕ) ⊂ K1, |〈T, ϕ〉| ≤ C pK1,m(ϕ) (A.10)

avec C > 0 indépendant de ϕ. S'il existe, l'ordre de T est donc au moins m = m(K1) (i.e. m dépendde K1 a priori). Montrons qu'il est au plus d'ordre m (indépendant de K1 contenant supp(T )).

1- Soit K compact ⊂ K1 (K est un compact inclu dans K1), alors pour ϕ à support compactdans K on a ϕ à support compact dans K1 et donc |〈T, ϕ〉| ≤ C pK1,m(ϕ) ≤ C pK,m(ϕ) (car ϕ estnul à l'extérieur de K).

2- Soit K compact ⊃ K1. Et soit ϕ ∈ D(Ω) telle que supp(ϕ) ⊂ K. Soit χ ∈ D(Ω) avec χ(x) = 1pour tout x dans un voisinage de supp(T ) avec χ(x) = 0 à l'extérieur de K1. Alors χϕ ∈ D(K1),et ϕ(x)−χ(x)ϕ(x) = 0 sur K1 et donc 〈T, ϕ−χϕ〉 = 0 car K1 est un voisinage ouvert de supp(T ).Et donc :

|〈T, ϕ〉| = |〈T, χϕ〉| ≤ C pK1,m(χϕ) (A.11)avec C > 0 indépendant de ϕ. Et avec la formule de Leibniz, on a pour α ≤ m :

|(χϕ)(α)(x)| ≤ C ′ pK1,m(ϕ) (A.12)

où C ′ est une constante qui fait intervenir les coecients binoniaux et les ||χ(β)||∞ pour β ≤ α.Et donc :

|〈T, ϕ〉| = |〈T, χϕ〉| ≤ C ′′ pK1,m(ϕ) (A.13)avec C ′′ > 0. Ceci est vrai quelque soit ϕ ∈ D(Ω) et donc T est au plus d'ordre m. Et comme ilest au moins d'ordre m, l'ordre de T est d'ordre ni m.

Corollaire A.8 Si T ∈ E ′(Ω) et si son ordre est m, alors pour toute fonction ϕ ∈ D(Ω) telle que ϕet ses dérivées ϕ(α) soient nulles sur suppT pour α ≤ m, alors 〈T, ϕ〉 = 0.

Preuve. On se ramène à la proposition précédente : soit donc Kε le voisinage de K déni parKε = x ∈ Ω : d(x,K) ≤ ε. On suppose ε susamment petit pour que K3ε ⊂ Ω.

Si χε ∈ D(Ω) vaut 1 sur Kε, alors :

ψ(x) = ϕ(x)− χε(x)ϕ(x) = 0, ∀x ∈ Kε

D'après la proposition précédente on a donc 〈T, ψ〉 = 0 et donc :

〈T, ϕ〉 = 〈T, χεϕ〉

On prend χε = 1Kε ∗ γε avec k > 1ε et (γε(x) = 1

εγ1(xε )) est une approximation de δ0, voir (1.9).

En particulier χε (régularisée de 1Kε) vaut 0 à l'extérieur de K2ε. On a γ(α)ε (x) = 1

ε1+α γ(α)1 (x

ε ) etdonc ||γ(α)

ε ||1 = Cα1

ε1+α avec Cα > 0 connu. Et sachant que (1Kε ∗ γε)(α) = 1Kε ∗ (γε)(α) il vient :

supKε

|χ(α)ε | ≤ Cα

εα

Puis le développement de Taylor de ϕ donne au voisinage d'un point x0 ∈ K, avec c ∈ [x0, x](ou bien c ∈ [x, x0] si x < x0) et avec |x− x0| < ε :

|ϕ(α)(x)| = |0 + (x− x0)m+1−αϕ(m+1)(c)| ≤ 0 + εm+1−α supy∈Kε

|ϕ(m+1)(y)| ≤ C εm+1−α

pour tout α ≤ m avec C qui ne dépend pas de ε.D'où avec la formule de Leibniz :

(ϕχε)(α) ≤ C∑

β≤α

β)Cαεm+1−βεβ−α ≤ C ′ε

et on fait tendre ε vers 0 pour obtenir 〈T, ϕ〉 = 0.Le cas particulier des distributions à support réduit à un point est donné par :

89

Page 90: Cours Maths

90 RÉFÉRENCES

Proposition A.9 Les distributions ayant leur support réduit à un point a sont des combinaisonslinéaires (somme nie) de dérivées de δa.

Preuve. Une telle combinaison linéaire s'écrit∑k

j=0 cjδ(j)a (somme nie) et à son support réduit

à a. Réciproquement, soit T ∈ D′(R) avec suppT = a. Alors T est d'ordre ni d'après laproposition précédente. Soit m son ordre. On va montrer que, pour ϕ ∈ D(R) :

〈T, ϕ〉 =m∑

j=0

cjϕ(j)(a) (A.14)

On considère le développement de Taylor au voisinage de a de ϕ :

ϕ(x) =m∑

j=0

(x− a)j

j!ϕ(j)(a) + r(x) (A.15)

où r ∈ D(R) s'annule en a ainsi que toutes dérivées jusqu'à l'ordre m et donc 〈T, r〉 = 0 d'après lecorollaire précédent. On en déduit que :

〈T, ϕ〉 =m∑

j=0

ϕ(j)(a)〈T,(x− a)j

j!〉+ 0 (A.16)

d'où le résultat avec cj = (−1)(j)〈T, (x−a)j

j! 〉 : on a T =∑m

j=0 cjδ(j)a .

Références[1] Artola M. : Distributions et équations aux dérivées partielles, Traité généralités, A1230a.

Techniques de l'Ingénieur.[2] Bony J.-M. : Analyse. Éditions de l'École Polytechnique, 1988.[3] Dupraz J. : La théorie des distributions et ses applications. Cepadues, 1977.[4] Guichardet A. : Calcul intégral, maîtrise de mathématiques C2. Collection U, Armand Colin.[5] Lachand-Robert T. : Analyse harmonique, distributions, convolution, Traité généralités, A142.

Techniques de l'Ingénieur.[6] Roddier F. : Distributions et transformation de Fourier. Ediscience.[7] Rudin W. : Analyse réelle et complexe. Masson.[8] Schwartz L. : Méthodes mathématiques pour les sciences physiques. Hermann.[9] Schwartz L. : Théorie des distributions. Hermann.[10] Spiegel M.R. : Analyse de Fourier et application aux problèmes de valeurs aux limites. Mc

Graw Hill, Série Schaum.[11] Trèves F. : Topological Vector Spaces, Distributions and Kernel. Academic Press.[12] Zuily C. : Problèmes de distributions avec solutions détaillées. Hermann.[13] http://wims.unice.fr/wims/[14] http://fr.wikipedia.org/wiki/Portail:Math%C3%A9matiques

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