cours méca solides

Ecole Supérieure des Travaux Publics

Professeur :

Dr. A. KONIN

COURS DE CONSTRUCTION BOIS

Sommaire

SOMMAIRE

INTRODUCTION...............................................................................................................................................11. ÉQUATIONS DE BILAN (EQUATIONS DE CONSERVATION)...........................................................................................1

1.1. Equation de continuité ou de conservation de la masse......................................................................11.2. Equation de conservation de la quantité de mouvement....................................................................21.3. Premier principe de la thermodynamique (Equation de conservation de l’énergie).............................21.4. Second principe de la thermodynamique...........................................................................................2

2. MOTIVATION DU COURS................................................................................................................................. 33. OBJECTIF DU COURS...................................................................................................................................... 3BIBLIOGRAPHIE............................................................................................................................................ 4

CHAPITRE 1 : ELASTICITE..................................................................................................................................5OBJECTIFS.................................................................................................................................................... 51. CADRE...................................................................................................................................................... 5

1.1. Hypothèses........................................................................................................................................ 51.2. Notations et précisions...................................................................................................................... 5

2. EXPERIENCE DE TRACTION SIMPLE...........................................................................................................63. FORMULATION DES LOIS DE COMPORTEMENT.........................................................................................7

3.1. Elasticité linéaire............................................................................................................................... 73.2. Milieux isotropes - Elasticité classique................................................................................................8

4. EQUATIONS GENERALES EN ELASTOSTATIQUE LINEAIRE ISOTROPE..........................................................84.1. Equations aux déplacements (Equation de NAVIER)...........................................................................84.2. Equations aux contraintes (Equation de BELTRAMI)...........................................................................8

5. NOTIONS GENERALES SUR LES PROBLEMES D’ELASTOSTATIQUE..............................................................85.1. Existence et unicité de la solution......................................................................................................85.2. Champs cinématiquement admissible et champs statiquement admissible.........................................85.3. Principe de SAINT - VENANT...............................................................................................................8

6. METHODES DE RESOLUTIONS DES PROBLEMES D’ELASTOSTATIQUE.........................................................86.1. Méthode de Navier............................................................................................................................ 86.2. Méthode de Beltrami......................................................................................................................... 8

7. THEOREMES GENERAUX DE L’ELASTOSTATIQUE.......................................................................................87.1. Formulation globale de la loi de comportement.................................................................................87.2. Théorème des travaux virtuels...........................................................................................................87.3. Théorème du travail (ou théorème de CLAPEYRON)...........................................................................87.4. Théorème de réciprocité (ou théorème de MAXWELL-BETTI)..............................................................8

8. LES THEOREMES DE L’ENERGIE................................................................................................................. 88.1. Formulation fonctionnelle des données..............................................................................................88.2. Théorèmes de l’énergie potentielle....................................................................................................8

9. THERMOÉLASTICITÉ CLASSIQUE......................................................................................................................... 89.1. Formulation des lois de comportement..............................................................................................89.2. Equations des problèmes de thermo-élasticité en régime permanent.................................................89.3. Equations des problèmes de thermo-élasticité en régime quasi-statique transitoire...........................8

10. ÉLASTODYNAMIQUE..................................................................................................................................... 810.1. Lois de comportement..................................................................................................................... 810.2. Equations aux déplacements (Equations des ondes élastiques)........................................................8

11. EXERCICES D’APPLICATION..................................................................................................................... 811.1. Traction d’une barre cylindrique: application du principe de St Venant.............................................811.2. Lois de comportement - élasticité linéaire (anisotropie - orthotropie - isotropie)...............................89.3. Equilibre d’une enveloppe sphérique soumise a des pressions............................................................8

ANNEXE 1: MODÉLISATION DES STRUCTURES CURVILIGNES...........................................................................8OBJECTIF...................................................................................................................................................... 81. PROBLEMATIQUE..................................................................................................................................... 8

Mécanique des Solides – A. KONIN

1

Sommaire

1.1. La puissance des efforts intérieurs.....................................................................................................81.2. La puissance des efforts extérieurs.....................................................................................................81.3. Principe des puissances virtuelles - Equations d’équilibre...................................................................8

2. RELATION ENTRE LA THEORIE DES MILIEUX CURVILIGNES ET LA THEORIE TRIDIMENSIONNELLE...............83. DEFORMATIONS D’UN MILIEU CURVILIGNE EN PETITES PERTURBATIONS.................................................84. EQUILIBRE D’UN MILIEU CURVILIGNE EN H.P.P........................................................................................85. ELASTICITE LINEAIRE ISOTROPE DES MILIEUX CURVILIGNES.....................................................................8

5.1. Loi de comportement en H.P.P...........................................................................................................85.2. Problème d’élastostatique des milieux curvilignes..............................................................................8

6. EXERCICES D’APPLICATION....................................................................................................................... 86.1. Etude de l’influence de la condition de EULER - BERNOUILLI...............................................................86.2. Etude d’un système poutre - treillis sous EULER - BERNOUILLI............................................................8

CHAPITRE 2 : VISCO-ELASTICITE.......................................................................................................................8OBJECTIFS.................................................................................................................................................... 81. CADRE...................................................................................................................................................... 8

1.1. Hypothèses........................................................................................................................................ 81.2. Problématique................................................................................................................................... 8

2. RAPPEL DES EXPERIENCES FONDAMENTALES...........................................................................................83. FORMULATION FONCTIONNELLE DU COMPORTEMENT VISCOELASTIQUE LINEAIRE NON VIEILLISSANT....8

3.1. Loi de comportement unidimensionnel..............................................................................................83.2. Modèle de KELVIN - VOIGT en unidimensionnel.................................................................................83.3. Loi de comportement tridimensionnel................................................................................................83.4. Equations des problèmes de viscoélasticité........................................................................................83.5. Méthode de résolution des problèmes...............................................................................................8

4. FORMULATION THERMODYNAMIQUE......................................................................................................84.1. Solide de KELVIN - VOIGT à élasticité instantanée..............................................................................84.2. Solide de KELVIN - VOIGT simple : cas tridimensionnel.......................................................................8

5. IDENTIFICATION DES LOIS DE COMPORTEMENT.......................................................................................................85.1. Identification des fonctions I et K.......................................................................................................85.2. Identification des fonctions L et M.....................................................................................................8

6. EXERCICES D’APPLICATION............................................................................................................................... 86.1. Etude de l’équilibre d’un solide viscoélastique sous charge répartie...................................................8

CHAPITRE 3 : PLASTICITE.................................................................................................................................8OBJECTIFS.................................................................................................................................................... 8PROBLEMATIQUE........................................................................................................................................ 8

Motivation............................................................................................................................................... 8Domaine de validité et d’emploi...............................................................................................................8

1. FORMULATION UNIDIMENSIONNELLE DES LOIS.......................................................................................81.1. L’expérience de traction simple..........................................................................................................81.2. Relations de comportement............................................................................................................... 8

2. FORMULATION GENERALE DES LOIS DE COMPORTEMENT.......................................................................82.1. Critère de plasticité............................................................................................................................ 82.2. Critère de plasticité usuels................................................................................................................. 82.3. Ecoulement plastique - Règle de normalité........................................................................................82.4. Formulation thermodynamique.........................................................................................................82.5. Loi de PRANDLT - REUSS.................................................................................................................... 82.6. Equations des problèmes d’élasto-plasticité.......................................................................................8

3. EXERCICES D’APPLICATION....................................................................................................................... 83.1. Démonstration.................................................................................................................................. 83.2. Loi de PRANDLT - REUSS.................................................................................................................... 83.3. Plasticité d’une section fléchie........................................................................................................... 8

CONCLUSION............................................................................................................................................... 8CHAPITRE 4 : MILIEUX FISSURES......................................................................................................................8

OBJECTIFS.................................................................................................................................................... 81. DÉFINITION.................................................................................................................................................. 8

1.1. Rupture............................................................................................................................................. 8


2

Sommaire

1.2. Critère de propagation...................................................................................................................... 8


3

Introduction

INTRODUCTION

La MECANIQUE DES SOLIDES est le domaine de la Science qui étudie et modélise le

comportement de la matière en prenant en compte, contrairement à la Mécanique

Rationnelle, sa déformabilité. Comme les déformations dépendent non seulement des

forces, mais aussi de la température, il faut également prendre en compte les lois

d'échange de chaleur et les principes de la Thermodynamique. Cependant, il faut garder

présent à l'esprit le fait que tous les développements théoriques sont basés sur la

conception fondamentale d'un milieu continu dont les transformations sont continues.

Or nous savons que la matière est discontinue à l'échelle moléculaire, souvent même à

une échelle beaucoup plus grande : cristaux d'un métal, grains d'une roche, granulats

d'un béton. Mais la Mécanique se place à une échelle macroscopique, c'est-à-dire à une

échelle suffisamment grande pour que la matière apparaisse comme continue, sauf

éventuellement le long de certaines surfaces de discontinuité comme les fractures.

L’étude de l’équilibre d’un milieu continu a montré qu’en l’absence de transformations

physiques ou chimiques, quatre types d’équations sont en principe nécessaires pour

déterminer le mouvement de ce milieu. Il s’agit de:

- L’équation de continuité ou de conservation de la masse,

- L’équation de quantité de mouvement,

- Les principes de la thermodynamique (équations de conservation de l’énergie),

- L’équation thermique (cas où la température intervient dans les lois de déformation

: voir cours de THERMODYNAMIQUE).

1. ÉQUATIONS DE BILAN (EQUATIONS DE CONSERVATION)

1.1. EQUATION DE CONTINUITÉ OU DE CONSERVATION DE LA MASSE

Soit un domaine matériel D qu’on suit dans son mouvement, et soit sa masse

volumique. Le principe de la conservation de la masse postule qu’il n’y a ni apparition,

ni disparition de matière. Autrement dit, la vitesse de production volumique de matière

est nulle soit :

(1)

Ce qui s’écrit en utilisant la propriété de la dérivée particulaire :

(2)

En utilisant le théorème de la divergence :

(3)


1

Introduction

Cette égalité étant vraie quelque soit D(t), on obtient l’équation locale de la

conservation de la masse :

(4)

1.2. EQUATION DE CONSERVATION DE LA QUANTITÉ DE MOUVEMENT

Cette équation de conservation correspond au Principe fondamental de la dynamique.

En effet, dans un référentiel galiléen (absence de forces de Coriolis et d’inertie), pour

tout domaine matériel D, le torseur dynamique est égal à la somme des torseurs des

actions extérieures au système. Soit :

(5)

Pour obtenir l’équation locale, on utilise le théorème de la divergence (5) devient :

(6)

Cette égalité étant vraie pour tout D, on obtient l’équation locale du mouvement :

(7)

1.3. PREMIER PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE (EQUATION DE CONSERVATION DE L’ÉNERGIE)

Le premier principe postule que :

Il existe une fonction d’état scalaire u appelée énergie interne massique telle

que l’énergie interne U de D est :

(8)

On appelle énergie totale de D la somme de son énergie interne et de son

énergie cinétique

Le premier principe s’écrit alors :

dv (9)

En utilisant la propriété des intégrales de masse et les résultats précédents, on aboutit à

l’équation locale de la conservation de l’énergie :

(10)

1.4. SECOND PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE

Le second principe de la thermodynamique postule que :


2

Introduction

Il existe une fonction scalaire s appelée entropie massique telle que l’entropie S

de D est :

(11)

La variation d’entropie S dans une évolution infinitésimale doit respecter

(localement) :

(12)

En éliminant r dans (12), il vient :

(13)

est la dissipation, on a : où th est la dissipation thermique et int la

dissipation intrinsèque avec :

et

On admet généralement que les deux dissipations sont indépendamment positives. Le

second principe s’écrit aussi th 0 ; int 0.

La positivité de la dissipation thermique est assurée par le choix d’une loi de conduction

thermique adéquate (loi de Fourier par exemple).

La positivité de la dissipation intrinsèque impose qu’il y ait des relations entre , u et s.

Une autre forme du second principe est donnée par l’inégalité de Clausius-Duhem :

(14)

Où est l’énergie libre massique.

2. MOTIVATION DU COURS

On constate que les équations de bilan n’intègre pas la nature du matériau (les

équations sont les mêmes que l’on utilise du beurre, du bois, de l’acier ou du béton).

Ainsi, la résolution du problème du mouvement d’un milieu continu nécessite

l’utilisation de relations supplémentaires. Ces relations, dans le cas où la température

n’intervient pas dans l’équilibre du milieu, constituent les équations rhéologiques. Ce

sont les lois de comportement qui sont liées à la nature du matériau et elles sont

déterminées de façon expérimentale.


3

Introduction

De plus, le second principe impose l’existence de relations entre , u et s.

3. OBJECTIF DU COURS

L’objectif de ce cours est:

1. d’une part de formuler et d’identifier les lois de comportement de matériaux

solides généralement rencontrés dans le domaine du génie civil. Il s’agit notamment:

- des solides élastiques (acier, béton, bois, etc.) : cas des matériaux ne se souvenant

que de leur configuration initiale.

- des solides doués de viscosité (acier, bois, béton, bitume, etc.) : ce sont les

matériaux présentant des déformations dites différées.

- des solides doués de plasticité (métaux,...) : cas des matériaux se souvenant de

leur histoire de sollicitation. Il y a alors existence de déformations permanentes.

2. et d’autre part, de poser et de résoudre les problèmes de mécanique dans les

structures solides à partir des équations fournies par les lois de comportement.

Le chapitre 1 est consacré à l’ELASTICITE dans le cas général et l’annexe 1 présente la

modélisation des structures curvilignes. Le chapitre 2 traite de la VISCOELASTICITE et le

troisième chapitre est consacré à la PLASTICITÉ. Le chapitre 4 porte sur la RUPTURE des

matériaux.

Nous montrerons en outre comment la formulation thermodynamique permet d’établir

dans chaque cas les lois de comportement.

Chaque chapitre est suivi d’exercices d’application permettant aux étudiants d’effectuer

un travail personnel pour une meilleure assimilation du cours.

Les élèves sont également invités à consulter la bibliographie jointe:

- Pour le chapitre 1, les élèves pourront consulter les ouvrages de Y. Bamberger

(Mécanique des Solides déformables éd. DUNOD) et de J. SALECON (Mécanique du

continu, tomes 1 à 3 éd. ELLIPSES AUPELF/UREF) pour un approfondissement du cours et

des exercices d’application.

- En ce qui concerne les chapitres 2, 3 et 4, les ouvrages de J. LEMAITRE et J. L

CHABOCHE (Mécanique des Matériaux Solides éd. DUNOD) et de J. SALENCON (Cours

de calcul des structures élasto-plastiques, presses de l’ENPC) pour un complément

d’information.

BIBLIOGRAPHIE

1. J. LEMAITRE - J. L. CHABOCHE: ‘Mécanique des matériaux solides’ DUNOD

2. J. SALENCON - B. HALPHEN: ‘Cours de calcul des structures’, ENPC (1981)

3. J. SALENCON: ‘Mécanique du continu’, 3 tomes, éd. ELLIPSES

4. Y. BAMBERGER: ‘Mécanique des solides déformables’, éd. DUNOD


4

Introduction

5. L. SEDOV: ‘Mécanique des milieux continus’, éd. MIR (1975)

6. J.C. CHARMET: ‘Mécanique du solide et des matériaux’, ESPCI – Laboratoire

d’Hydrodynamique et Mécanique Physique


5

1. Elasticité

CHAPITRE 1 : ELASTICITE

OBJECTIFS

L’élève sera capable de:

- Formuler et identifier une loi de comportement de matériaux solides élastiques,

- Résoudre analytiquement un problème d’élasticité linéaire classique.

L'expérience montre que si la déformation du matériau est suffisamment faible, il

reprend son état primitif non déformé lors de la suppression des efforts extérieurs ayant

provoqué sa déformation. Le comportement élastique parfait correspond à une

réversibilité mécanique parfaite. Le tenseur des déformations est alors une variable

d'état et sa donnée détermine, de manière biunivoque, le tenseur des contraintes . Le

travail de déformation développé entre deux états d'équilibre est alors indépendant du

chemin suivi entre ces deux états.

1. CADRE

1.1. HYPOTHÈSES

- Le milieu étudié est élastique (la dissipation intrinsèque est nulle),

- Les perturbations sont petites (Hypothèses des Petites Perturbations),

- Les évolutions sont isothermes; évolutions lentes,

- L’état naturel est dénué de contraintes,

- Le milieu est homogène.

1.2. NOTATIONS ET PRÉCISIONS

x, t : désignent les variables d’espace et de temps pouvant être considérées aussi bien

comme variables Lagrangiennes ou Eulériennes (H.P.P) (voir cours de M. M. C),

- (x, t): le tenseur des déformations,

- (x, t): le tenseur des contraintes,

- W(): l’énergie libre volumique du milieu à la température considérée appelée

énergie volumique des déformations élastiques.

En général, W dépend de la particule W(x, ); mais on considérera par définition qu’un

milieu est homogène si l’énergie des déformations élastiques est indépendante de la

particule considérée; d’où W = W(). W est par hypothèse une fonction convexe fermée


6

1. Elasticité

non négative. La recherche de la loi de comportement pour un matériau élastique en

évolution isotherme revient à trouver la relation entre le tenseur des contraintes et le

tenseur des déformations, soit alors:

(1)

C’est l’expérience qui fournit ces relations.

2. EXPERIENCE DE TRACTION SIMPLE

Pour fixer les idées, on considère une éprouvette soumise à un essai de traction simple.

Cet essai met en évidence trois stades principaux dans l’évolution du comportement du

matériau.

Un comportement élastique linéaire ou non (domaine 1) pour lequel aucune

déformation résiduelle ne se maintient après décharge.

Un stade de déformation plastique parfait (domaine 2) et avec écrouissage

(domaine 3) caractérisé par une déformation résiduelle irréversible après décharge,

l'ensemble du comportement étant complètement indépendant du temps, notamment

de la vitesse de chargement.

Une étape d'endommagement (domaine 4) conduisant à la rupture.

L'endommagement se manifeste par l'altération progressive des propriétés mécaniques

qui accompagne, habituellement pour d'assez grandes déformations ou sous

sollicitations cycliques, la formation et la croissance de microfissures et microcavités,

altération pouvant aller jusqu'à la rupture. Naturellement liées à la déformation elle

même les lois d'endommagement doivent être couplées aux lois de comportement et

l'ensemble détermine le comportement réel du matériau. Selon les matériaux, la

rupture peut se produire plus ou moins tôt, notamment en stade élastique ou plastique

avant endommagement.

Cependant, dans bien des cas, le temps intervient et la courbe d'essai obtenue est une

fonction de la vitesse de sollicitation (domaine 5). Ainsi un arrêt à contrainte constante


7

1. Elasticité

s'accompagne d'une déformation de fluage, un arrêt à déformation constante

s'accompagne d'une relaxation de la contrainte, une sollicitation cyclique d'hystérésis.

C'est la manifestation de la viscosité du matériau visco-élasticité ou visco-élasto-

plasticité.

3. FORMULATION DES LOIS DE COMPORTEMENT

3.1. ELASTICITÉ LINÉAIRE

Contraintes en fonction des déformations

En tout point d’un matériau élastique linéaire, le tenseur des contraintes est une

fonction linéaire du tenseur des déformations.

(2)

et l’énergie libre volumique est une forme quadratique définie positive.

(3)

Les coefficients aijkl vérifient les identités: aijkl = ajikl = aijlk = alkij

(4)

Les relations (2) représentent la loi de HOOKE généralisée.

Les aijkl sont appelées modules d’élasticité et a est le tenseur des modules d’élasticité.

Remarques

La symétrie de aijkl en i et j tient au fait que ij est symétrique en i et j et la symétrie en k

et l tient à la symétrie de kl en k et l.

Les formes linéaires (2) font donc intervenir au plus 36 coefficients.

L’invariance par permutation des couples (i, j) et (k, l) tient à l’existence de W et impose

une restriction à la généralité des équations (2).

Avec les identités (4), il n’y a plus que 21 modules d’élasticité.

. Déformations en fonction des contraintes

Des relations (2), on peut déduire l’expression des déformations en fonction des

contraintes par inversion:

(5)

et on peut associer à W(), la forme duale W*() qui est une forme quadratique définie

positive.

(6)

Les coefficients a*ijkl vérifient également les identités (4).


8

1. Elasticité

Le tenseur a* est le tenseur des complaisances élastiques.

3.2. MILIEUX ISOTROPES - ELASTICITÉ CLASSIQUE

. Un milieu isotrope est un milieu où par définition toutes les directions autour d’un point

sont matériellement équivalentes (toute direction est axe de symétrie).

. Un milieu élastique linéaire est isotrope, si la loi de comportement (2) ou (5) a la même

expression dans tout repère orthonormé. Ce qui indique que le tenseur des modules

d’élasticité ou le tenseur des complaisances élastiques a les mêmes composantes dans

tout repère orthonormé.

. Contraintes en fonction des déformations

Pour un milieu élastique isotrope, la loi de comportement est de la forme:

(8)

ou

avec I = trace() premier invariant de

et (9)

avec II = ij.ij

II étant le deuxième invariant de .

Les coefficients et homogènes à une pression sont les coefficients de LAME.

. Déformations en fonction des contraintes

De façon classique, on introduit les coefficients d’élasticité E et :

(10)

et donc

(11)

avec I = trace()

II = 2 II = ij.ij

. Relations entre les différents coefficients

;

La condition nécessaire pour que W* soit définie positive est : E > 0 et -1 < < 1/2

4. EQUATIONS GENERALES EN ELASTOSTATIQUE LINEAIRE ISOTROPE

Etudier dans des conditions données l’équilibre d’un système élastique linéaire isotrope,

c’est trouver le champ des tenseurs des contraintes et le champ des déplacements des


9

1. Elasticité

différentes particules à partir de la configuration supposée connue, c’est à dire 9

fonctions à valeurs scalaires ij, Xi définies dans S.

Les équations dont on dispose pour cette étude dans S sont:

- Les 3 équations d’équilibre

(12)

- Les 6 équations déterminant le tenseur des déformations

(13)

- Les 6 équations de comportement

(14)

Au total on a 15 équations liant 15 fonctions scalaires X i, ij, ij.

4.1. EQUATIONS AUX DÉPLACEMENTS (EQUATION DE NAVIER)

Un champ de déplacements X peut être le champ des déplacements observé dans

l’équilibre d’un système élastique S si et seulement si, en tout point de S:

(15)

(16)

La vérification est facile en portant (13) dans (14) et en substituant l’expression de ij

dans (12) pour obtenir (15).

Remarques

- Si le champ X est irrotationnel, alors nécessairement le champ f dérive d’un potentiel

d’après (22), et

- S le champ dérive d’un potentiel , alors un champ de déplacements irrotationnel

peut être le champ des déplacements observés dans S si et seulement si

l’accroissement volumique est donné par:

(17)

où c est une constante d’intégration.

- Dans un cas général, en appliquant l’opérateur divergence à (21) on obtient:

(18)

(19)


10

1. Elasticité

4.2. EQUATIONS AUX CONTRAINTES (EQUATION DE BELTRAMI)

Un champ de tenseurs des contraintes peut être considéré comme le champ des

contraintes observé dans l’équilibre d’un système élastique S si et seulement si, en tout

point de S:

(20)

Les équations (20) sont appelées équations de BELTRAMI. Elles sont obtenues à partir

des équations de compatibilité (cours de M.M.C).

Dans les cas fréquents ; les équations de BELTRAMI se réduisent à:

(21)

5. NOTIONS GENERALES SUR LES PROBLEMES D’ELASTOSTATIQUE

Un problème d’élastostatique est un problème mathématique. A cet égard, il comporte

des données et des inconnues.

Résoudre ce problème revient à déterminer le champ X des déplacements et le

champ C des tenseurs des contraintes définis dans le système S que l’on étudie.

Le système d’équations à résoudre est:

- Equations d’équilibre

(22)

- Equations de compatibilité des déplacements

(23)

- Lois de comportement

(24)

- Conditions aux limites

sur

(25)

sur

(26)

Les forces de volumes sont considérées comme données:


11

1. Elasticité

représente les déplacements donnés

représente les efforts surfaciques donnés

représente la partie du contour où les déplacements sont donnés

représente la partie du contour où les forces surfaciques sont données.

5.1. EXISTENCE ET UNICITÉ DE LA SOLUTION

On constate qu’un problème d’élastostatique est un système d’équations aux dérivées

partielles; nous avons hormis les équations (23), 9 équations pour 9 inconnues ij et Xi.

Définitions

Le problème homogène associé à un problème d’élastostatique est le problème pour

lequel les données dans S et aux frontières S sont identiquement nulles (

(27)

Une solution est dite banale, si les efforts intérieurs (contraintes) et les déformations

sont nuls.

Pour un problème d’élastostatique, il y aura unicité de la solution si la solution du

système homogène qu’il convient d’ajouter à une solution particulière est

nécessairement la solution banale.

Théorème

Un problème d’élastostatique bien posé (régulier) admet au plus une solution.

5.2. CHAMPS CINÉMATIQUEMENT ADMISSIBLE ET CHAMPS STATIQUEMENT ADMISSIBLE

Définitions

- un champ cinématiquement admissible est un champ de déplacements vérifiant toutes

les données du problème relatives aux déplacements. Ainsi, un champ X’ de

déplacements est cinématiquement admissible pour le problème considéré, si les X’ i

sont continus dans S + S, continûment dérivables par morceaux dans S et si sur Sx:

X’i = i (déplacement imposé).

- Un champ statiquement admissible est un champ de contraintes vérifiant toutes les

données du problème relatives aux efforts. Ainsi un champ C’’ de contraintes ’’ est

statiquement admissible pour le problème type considéré, si les ij sont continus dans S

+ S, continûment dérivables par morceaux dans S et si:

dans S

(28)

dans SF

(29)

Théorème


12

1. Elasticité

Pour un problème d’élastostatique, un champ X de déplacements et un champ C de

contraintes constituent une solution si et seulement si:

- X est cinématiquement admissible

- C est statiquement admissible

- et C et X sont élastiquement liés.

5.3. PRINCIPE DE SAINT - VENANT

Tout l’intérêt du principe de SAINT VENANT réside dans le fait que:

- d’une part, du point de vue physique, il est clair qu’il est pratiquement impossible

de réaliser exactement dans une expérience les efforts sur une partie de la frontière

d’une structure;

- d’autre part, on se rend bien compte que les formulations des problèmes

d’élasticité présentent une complexité tel qu’il est en général hors de question de

pouvoir en trouver une solution mathématique explicitement calculable; en effet les

fonctions inconnues doivent vérifier un système d’équations aux dérivées partielles

assez compliqué que l’on ne saura résoudre, même dans des cas relativement simples,

que pour des conditions aux limites très particulières.

Principe

Si on remplace une première distribution de forces données agissant sur une partie

de la frontière, par une seconde agissant sur ces 2 distributions formant des

torseurs égaux, les autres conditions aux limites sur la partie complémentaire de

relativement à S restant inchangées, alors dans toute région de S suffisamment

éloignée de , les champs des contraintes et des déplacements sont pratiquement

inchangés (c.f. essai de traction).

6. METHODES DE RESOLUTIONS DES PROBLEMES D’ELASTOSTATIQUE

6.1. MÉTHODE DE NAVIER


13

Les champs X et sont

ses champs solutions

Conditions aux limites en

déplacements et symétrieChoix d’une forme de

champ de déplacementsVérification de l’équation

de NavierCalcul de et de

Vérification des conditionsaux limites en

Conditions vérifiées

Conditions non vérifiées


ses champs solutions













1. Elasticité

6.2. MÉTHODE DE BELTRAMI

7. THEOREMES GENERAUX DE L’ELASTOSTATIQUE

La forme quadratique w*() peut se déduire de la relation:

(30)

pour deux tenseurs quelconques

(31)

Si et vérifient la loi de comportement élastique au point considéré:

(32)

et en élasticité linéaire:

(33)

7.1. FORMULATION GLOBALE DE LA LOI DE COMPORTEMENT

Sous forme intégrale (intégration sur le domaine) la relation (31) devient:

posons:

W (E)

W*(C)

< E , C > = < C , E >

et donc la relation (31) se met sous la forme :

W (E) + W* (C) - < E , C > 0 (34)

Pour des champs quelconques; et en élasticité linéaire:

W (E) = W*(C) = < E , C >

(35)


14


les champs solutions

Conditions aux limites en contraintes et symétrie

Choix d’une forme dechamp de contraintes

Vérification de l’équationde Beltrami

Calcul de et de XVérification des conditionsaux limites en X




les champs solutions











1. Elasticité

Définitions

W(E) est appelée énergie des déformations élastiques dans le système S

W*(C) est appelée énergie des contraintes élastiques dans le système S.

7.2. THÉORÈME DES TRAVAUX VIRTUELS

Considérons un système S en équilibre sous l’action d’efforts extérieurs ( représentant

les forces extérieures volumiques et les forces surfaciques définies sur S).

Le travail virtuel des forces extérieures dans un champ virtuel X de vecteurs de

déplacements est: We = {X , F} =

Le travail des efforts intérieurs dans un champ X de déplacement virtuel est:

Wi = - < E , C >

Théorème

L’énoncé des travaux virtuels s’écrit :

X cinématiquement admissible, { X , F } = < E , C >

(36)

7.3. THÉORÈME DU TRAVAIL (OU THÉORÈME DE CLAPEYRON)

Si dans le système S en équilibre sous l’action de forces extérieures F, les déplacements

à partir de la configuration de référence définissent le champ X, alors le travail des

forces dans le champ X est égal au double de l’énergie de déformation.

{ X , F } = 2. W (E)

En effet : < E , C > = 2. W (E) = 2. W*(C)

{ X , F } = < E , C > et donc: { X , F } = 2. W(E)

7.4. THÉORÈME DE RÉCIPROCITÉ (OU THÉORÈME DE MAXWELL-BETTI)

Soit X(1) le champ des déplacements d’un système élastique S en équilibre sous l’action

des forces extérieures F(1),

Soit X(2) le champ des déplacements du même système élastique S en équilibre sous

l’action des forces extérieures F(2) ; alors : { X(1) , F(2) } = { X(2) , F(1) }

8. LES THEOREMES DE L’ENERGIE

8.1. FORMULATION FONCTIONNELLE DES DONNÉES

On attache à chacun des champs (de déplacements et de contraintes) un nombre réel

ayant la dimension d’un travail:

- la fonction K(X’) définie par:

X’ K(X’) =

(37)


15

1. Elasticité

Le travail des efforts donnés dans un champ de déplacements virtuels X’ (description

fonctionnelle des efforts donnés).

- la fonction K*(F’’) à partir de C’’ par:

C’’ F’’ K*(F’’) = (38)

avec sur SX

Le travail des déplacements donnés dans un champ de contraintes virtuelles C’’.

Si K(X’) et K*(F’’) sont définies respectivement pour un champ de déplacements

cinématiquement admissible X’ et pour un champ de contraintes statiquement

admissible C’’ alors:

K(X’) + K*(F’’) = {X’, F’’}

8.2. THÉORÈMES DE L’ÉNERGIE POTENTIELLE

On cherche à caractériser la solution d’un problème régulier en élasticité par des

propriétés fonctionnelles. Il s’agit de la formulation variationnelle du problème.

- Equations du problème

* sur les données du problème

K(X’) + K*(F’’) = {X’, F’’}

(39)

* Equations d’équilibre (travaux virtuels)

{ X’ , F’’ } - < E , C > = 0

(40)

* Loi de comportement

W(E’) + W*(C’’) - < E’ , C’’ > 0

(41)

Il vient des équations (39) et (40):

< E’ , C’’ > = K(X’) + K*(F’’)

(42)

Soit : W(E’) – K(X’) – [-W*(C’’) + K*(F’’) ] 0

(43)

Définitions :

On appelle énergie potentielle d’un champ cinématiquement admissible X’,

l’expression:

V(X’) = W(E’) – K(X’)

(44)

On appelle énergie potentielle d’un champ statiquement admissible C’’, l’expression:


16

1. Elasticité

V*(C’’) = - W*(C’’) + K*(F’’)

(45)

Théorèmes

(43) <=> V(X’) V*(C’’);

soit: l’énergie d’un champ cinématiquement admissible est toujours au moins égale à

celle d’un champ statiquement admissible.

Si X et C sont les champs solution, (43) est une égalité soit: V(X) = V*(C)

Et on montre que:

a- Le champ des déplacements solution X minimise l’énergie potentielle de tous

les champs cinématiquement admissibles X’.

b- Le champ des contraintes solution C maximise l’énergie potentielle de tous

les champs statiquement admissibles C’’.

9. THERMOÉLASTICITÉ CLASSIQUE

Un milieu a un comportement thermoélastique si la dissipation intrinsèque est nulle ; la

dissipation thermique étant en général différente de zéro.

Hypothèse

- Il existe un état naturel dénué de contrainte à T = T0 et à entropie s0 = 0

- On pose = T – T0, étant supposé petit

- Les variations de masse volumiques ne sont pas prises en compte = 0 (H.P.P)

- Le milieu est isotrope.

9.1. FORMULATION DES LOIS DE COMPORTEMENT

Les lois de comportement comprennent d’abord les lois d’état, liées à l’expression de

l’énergie libre et les lois complémentaires, celles qui gouvernent la dissipation.

9.1.1. Loi d’état

Nous nous intéressons à donner l’expression de la contrainte et de l’entropie s.

L’énergie libre spécifique 0 = w est une forme quadratique des variables scalaires ij

et . Soit :

(46)

On a : (47)

Et (48)

On en déduit l’expression de la déformation

Les coefficients k, E, sont ceux introduits en élasticité isotherme.


17

1. Elasticité

est le coefficient de dilatation thermique linéique du milieu et 3 le coefficient

de dilatation thermique volumique.

9.1.2. Loi complémentaire : loi de Fourier

Pour un milieu isotrope, le flux de chaleur est donné par :

(49)

Le coefficient K est dit coefficient de conductibilité thermique est peut être fonction de

la température dans un cas plus général.

9.1.3. Remarques

On pose :

(50)

(51)

(52)

c est appelé chaleur spécifique à déformation constante

c est appelé chaleur spécifique à contrainte constante

est appelé indice adiabatique du milieu.

9.2. EQUATIONS DES PROBLÈMES DE THERMO-ÉLASTICITÉ EN RÉGIME PERMANENT

L’état mécanique et thermique du système est entièrement défini par la connaissance

des grandeurs suivantes (à déterminer dans les problèmes) :

* le champ de déplacement X

* le champ de contraintes C

* le champ de température (x)

liées par les équations :

- équations d’équilibre

(53)

- équations de conservation de la chaleur

(54)

- lois de comportement


18

1. Elasticité

- conditions aux limites en déplacement, contraintes et température.

Les équations ci-dessus montrent que le champ de température peut être déterminé

indépendamment des grandeurs mécaniques en tenant compte uniquement des

conditions aux limites en ou du flux de chaleur.

9.3. EQUATIONS DES PROBLÈMES DE THERMO-ÉLASTICITÉ EN RÉGIME QUASI-STATIQUE TRANSITOIRE

Les effets d’inertie, autrement dit les quantités d’accélération restent négligeables par

rapport aux autres effets mis en jeu ; mais les grandeurs caractérisant le système

peuvent dépendre du temps t et sont liées par les équations :


(55)

- équations de l’énergie

(56)


- conditions aux limites en déplacement, contraintes et température.

Ces équations constituent un système de 4 équations à 4 inconnues (X i, ) permettant,

moyennant des conditions aux limites convenables la résolution du problème.

10. ÉLASTODYNAMIQUE

L’élasto-dynamique est l’étude des milieux élastiques avec prise en compte des effets

d’inertie. Cependant la transmission de la chaleur par conduction à l’intérieur du corps

est considérée comme lente. Ainsi, l’hypothèse d’adiabacité est justifiée. Mais les lois de

comportement sont quelque peu différentes que celles obtenues en isothermie.

10.1. LOIS DE COMPORTEMENT

On sait que les évolutions adiabatiques sont aussi isentropiques (ds = 0). En se plaçant

sous les hypothèses émises en thermoélasticité, l’équation (48) devient :

(57)

La relation (46) devient :


19

1. Elasticité

wa() étant l’énergie des déformations en évolutions adiabatiques. On peut la mettre

sous la forme :

(58)

avec a = ; a = + k (c/c - 1) soit = a.I.I + 2..

(60)

Ainsi, les modules de rigidité au glissement isotherme et adiabatique sont égaux. Les

modules de rigidité à la dilatation volumique 3k et adiabatiques sont reliés par la

relation ka c = k c.

10.2. EQUATIONS AUX DÉPLACEMENTS (EQUATIONS DES ONDES ÉLASTIQUES)

Les équations de Navier deviennent (s = 0) :

(61)

(62)

avec : ; (63)

11. EXERCICES D’APPLICATION

11.1. TRACTION D’UNE BARRE CYLINDRIQUE: APPLICATION DU PRINCIPE DE ST VENANT

On considère un élément de structure cylindrique homogène et constitué d’un matériau

élastique linéaire isotrope de module d’Young E et de coefficient de Poisson .

1) La structure est soumise aux sollicitations suivantes:

- Sur 0 et 1 sont exercées des densités surfaciques F

Déterminer le champ de déplacements et de contraintes.

2) Application du principe de St VENANT

a- Déterminer le torseur résultant des efforts définis sur 1.

b- On remplace les efforts surfaciques par le torseur ainsi déterminé sur 1, les

autres conditions restant inchangées. Quelle est la solution en contraintes et en

déplacements.


20

iFF iFF

1. Elasticité

11.2. LOIS DE COMPORTEMENT - ÉLASTICITÉ LINÉAIRE (ANISOTROPIE - ORTHOTROPIE - ISOTROPIE)

La loi de comportement locale d’un solide élastique linéaire peut se mettre sous la

forme:

On obtient alors 36 coefficients indépendants.

1) Montrer que si le corps possède un plan de symétrie alors il ne reste que 21

coefficients indépendants

2) Montrer que si le corps a 3 trois plans de symétrie (matériau orthotrope), il

possède 12 coefficients indépendants

3) Montrer que si le corps est matériellement équivalent dans toutes les

directions (matériau isotrope) autour du point considéré alors il possède 3 coefficients

indépendants. Donner ces coefficients en fonction de et (par utilisation de la loi de

comportement d’un matériau solide élastique linéaire isotrope).

9.3. EQUILIBRE D’UNE ENVELOPPE SPHÉRIQUE SOUMISE A DES PRESSIONS

Un réservoir sphérique de centre O, de rayon intérieur a et de rayon extérieur b, est

soumis d’une part à des pressions normales Pa et Pb, d’autre part à des forces

volumiques f dérivant d’une fonction de force F ne dépendant que de la seule variable r

= || ||.

1) On considère le champ de contraintes défini par:

0x1, x2, x3 les coordonnées d’un point M du réservoir; et deux fonctions de classe C1

sur [ a, b ]

1.1) Déterminer en chaque point M du réservoir, les directions principales du

tenseur des contraintes, les contraintes normales principales, la contrainte

hydrostatique H et la contrainte tangentielle maximale max

1.2) Ecrire les conditions que doivent vérifier les fonctions et pour que le

champ de contraintes soit un champ statiquement admissible

1.3) Dans le cas où F = 0, déterminer complètement les champs de contraintes

statiquement admissibles tels que la contrainte hydrostatique associée soit constante.

On posera: et

2) Le réservoir est constitué d’un matériau élastique, homogène isotrope de

coefficients de LAME et .

2.1) On suppose dans cette question que F est nulle.


21

1. Elasticité

a) Vérifier que le champ de contraintes défini au 1.3) est le champ

solution du problème

b) En déduire le champ de déformations et montrer que s’écrit

en tout point M sous la forme:

Où et x sont deux fonctions que l’on précisera.

c) En déduire le champ de déplacement solution

2.2) On suppose dans cette question que pa = pb = 0.

a) Donner à priori la forme d’un champ de déplacements solution

b) Vérifier que la contrainte associée à un tel champ est de la

forme définie

c) En déduire le champ de déplacements solution quand F =

- t.r²

2.3) Déduire des questions 2.1) et 2.2), la solution en contraintes et en

déplacements dans le cas général.


22

1bis. Modélisation des structures curvilignes

ANNEXE 1: MODÉLISATION DES STRUCTURES CURVILIGNES

OBJECTIF


- Formuler et identifier les lois gouvernant les milieux curvilignes,

- Résoudre analytiquement un problème d’élastostatique de solides curvilignes.

1. PROBLEMATIQUE

On se propose de présenter maintenant une approche d’une modélisation

unidimensionnelle des milieux continus. Le point de départ de cette théorie est

géométrique, fondé sur la constatation que de nombreux solides utilisés comme

éléments de structures dans la pratique ont une forme élancée. Ceci induit à penser

qu’il doit être possible d’en faire l’étude mécanique sur une géométrie

unidimensionnelle définie par une courbe directrice.

Cette modélisation s’applique à des systèmes (tiges, barres, arc, poutres), dont les

dimensions transversales sont très petites par rapport à la dimension longitudinale et

qui peuvent en première approximation être assimilés à un arc de courbe AB.

La schématisation géométrique étant faite, la schématisation mécanique est

déterminée à partie des mouvements Û qu’il faut choisir. L’idée la plus simple serait de

définir Û par un champ de vitesse virtuelle V(s) défini sur S. Mais ce choix n’est pas

assez fin pour prendre en compte les effets de torsion ou de flexion d’un arbre.

La schématisation des efforts, dans la théorie la plus classique des structures

curvilignes s’obtient à partir d’un espace Û de mouvements virtuels déterminé par deux

fonctions de s défini sur AB: V(s) (vitesse) et (s) (rotation).

Ainsi, le point P schématise macroscopiquement une ‘’ section’’ P passant par P et l’on

décrit les mouvements virtuels du système dans lesquels chaque section a, à l’instant

considéré un mouvement rigidifiant.


23

A

A

P

B

P

B

A

B

A

A

P

B

P

B

A

A

P

B

P

B

A

B

A

B


(1)

Et distributeur de vitesse(2)

1.1. LA PUISSANCE DES EFFORTS INTÉRIEURS

(3)

[T]: représente le torseur des contraintes généralisées dont les éléments de réduction

en P sont et . Les coordonnées du torseur de contraintes généralisées sont :

l le torseur des taux de déformations généralisées.

et sont dits ‘contraintes généralisées’. Par intégration sous hypothèse de

continuité et de dérivabilité dans s1 < s < s2 de T(s) et M(s):

(4)

1.2. LA PUISSANCE DES EFFORTS EXTÉRIEURS

On suppose que la puissance des efforts extérieurs résulte de deux contributions:

Pe = Pd + Pc

Pd: puissance des efforts exercés par l’extérieur, (5)

Avec (6)

Pc: puissance des efforts de contact, (7)

1.3. PRINCIPE DES PUISSANCES VIRTUELLES - EQUATIONS D’ÉQUILIBRE

1.3.1 Equations générales de l’équilibre

Il s’agit d’écrire que quel que soit {C(s)}, Pi + Pe = Pa

(8)

où Pa représente la puissance des quantités d’accélération


24

T

M

T

M


(9)

Donc en tenant compte de (4), (5) et (7), on aboutit à:

ce qui

donne:

- Equations d’équilibre

(11)


1.3.2 Equations vectorielles de l’équilibre

Pour traduire l’équation (11) en équations vectorielles, il faut prendre garde à effectuer

correctement la dérivation, car pour former un torseur dérivé, il faut dériver les

éléments de réduction en un point A qui reste fixe quand la variable (ici s) varie.

En A les éléments de réduction de [T] sont: et

et donc en A, les éléments de réduction de sont: et

Ainsi en P, les éléments de réduction de sont:

et

(12)

et la relation d’équilibre devient:

(13)

(14)

en général, m = 0.

1.3.3 Remarques

a) torseur des déformations et travail des efforts intérieurs

Les éléments de réduction du torseur des taux de déformations en P sont:

et

(15)

Soit

(16)


25


2. RELATION ENTRE LA THEORIE DES MILIEUX CURVILIGNES ET LA

THEORIE TRIDIMENSIONNELLE

Cette relation est fournie par la comparaison des expressions des puissances virtuelles.

On s’intéresse ici au cas des poutres droites.

La puissance des efforts intérieurs est donné par:

(17)

En développant l’expression (17), on aboutit après réarrangement aux relations

suivantes:

Efforts tranchants

Effort normal (tension)

(18)

Moments fléchissants

Moment de torsion

3. DEFORMATIONS D’UN MILIEU CURVILIGNE EN PETITES

PERTURBATIONS

On sait qu’en H.P.P, il y a une identité entre la structure des relations:

- Taux de déformation - vitesse

D: taux de déformation

V: vitesse

- Déformation - déplacements

: déformation

X: déplacement


26

B A P

M

x1

x2

x3B A P

M

x1

x2

x3


Cela conduit à représenter dans la théorie classique des milieux curvilignes en H.P.P.,

les déformations par un champ de distributeurs dont les éléments de réduction en P

sont et et tel que:

(19)

X et représentant les éléments de réduction du distributeur de mouvement (

représente le vecteur rotation).

Condition de NAVIER - BERNOUILLI

‘Le champ de déplacement est tel que si l’on donne à la microstructure transversale,

matérialisée par l’élément de surface plane orthogonal à la courbe directrice au point

courant P, le mouvement rigidifiant défini par le champ de déplacement, cet élément

demeure orthogonal à la courbe directrice’.

Cela signifie que les champs X et sont donc liés par la relation donnée ci-dessous:

La conséquence de l’application de l’hypothèse de NAVIER - BERNOUILLI est que les

efforts tranchants ont une contribution nulle dans le travail des efforts intérieurs (voir

TD n°2).

4. EQUILIBRE D’UN MILIEU CURVILIGNE EN H.P.P

On peut appliquer l’énoncé des puissances virtuelles en remplaçant le champ de vitesse

V par X le champ de déplacements et D par .

On aboutit alors aux relations suivantes:

- équilibre

(20)

(21)

- conditions aux limites

(22)

5. ELASTICITE LINEAIRE ISOTROPE DES MILIEUX CURVILIGNES


27


5.1. LOI DE COMPORTEMENT EN H.P.P

On suppose une relation linéaire entre le champ de contraintes généralisées et

le champ de déformations généralisées , soit:

(23)

avec: et

E, représentent le module d’Young et le module de cisaillement

S: aire

de la section p; I1 : moment d’inertie /ox1; I2 : moment d’inertie /ox2; d : moment

d’inertie /ox3

donc: T1 = S1; T2 = S2; T3 = ES3

M1= EI11; M2 = EI22; M3 = d3

EI1, EI2 sont des modules de rigidité à la flexion.

(24)

représente l’énergie des contraintes élastiques linéiques et l’énergie des déformations

élastiques linéiques est donnée par :

5.2. PROBLÈME D’ÉLASTOSTATIQUE DES MILIEUX CURVILIGNES

5.2.1 Equations

Un problème d’élastostatique de milieux curvilignes comporte des données et des

inconnues. Les inconnues seront le champ de contraintes généralisées T et M et le

champ de déplacements généralisés X et de rotation.

Il faut résoudre le problème mathématique suivant:

- équilibre

(25)

(26)

- loi de comportement

T1 = S1; T2 = S2; T3 = ES3


28


M1= EI11; M2 = EI22; M3 = d3

avec :

(27)

- conditions aux frontières

On peut avoir des conditions aux frontières en déplacement ou en rotation.

Remarques

A l’aide d’hypothèses supplémentaires sur la répartition du champ de contraintes

dans le milieu, on peut les déduire des équations (18) (Application du principe de SAINT

VENANT).

5.2.2 Exemples de conditions aux frontières

a) Appui console

- extrémité B est libre: FB = 0 et MB = 0.

- L’extrémité A est encastrée: FA et MA sont inconnues, mais XA = 0.

b) Appuis simples

MA = 0 et FA est normal à la barre, son intensité est indéterminée.

c) Appui sphérique

L’extrémité A est liée à une articulation rotoïde ou sphérique: MA = 0.


6.1. ETUDE DE L’INFLUENCE DE LA CONDITION DE EULER - BERNOUILLI

On considère la poutre droite représentée ci-dessous. Les extrémités 0 et L sont

encastrées dans deux supports verticaux rigides. Par suite d’un tassement de terrain,

les deux encastrements de niveau identique dans l’état naturel se retrouvent décalé

verticalement sans rotation des encastrements.

1) Calcul en théorie naturelle : calcul sans l’hypothèse d’EULER - BERNOUILLI

1) On choisit des champs V de déplacements virtuels de la forme:


29


1.1) Exprimer le travail virtuel des efforts intérieurs en fonction de:

1.2) Déterminer les champs M et T statiquement admissibles

2) Ecrire le théorème de l’énergie en contraintes généralisées et en déduire les

champs M et T solutions du problème.

3) A partir de M et T, on construit le tenseur des contraintes tel que:

avec

On considère la contrainte équivalente (contrainte équivalente de VON MISES) suivante:

Calculer le maximum de la contrainte équivalente.

2) Calcul sous l’hypothèse d’EULER - BERNOUILLI

1) Reprendre la partie 1 en se plaçant sous l’hypothèse d’EULER - BERNOUILLI

2) Calculer l’erreur relative en comparant les contraintes équivalentes obtenues

dans les 2 parties.

6.2. ETUDE D’UN SYSTÈME POUTRE - TREILLIS SOUS EULER - BERNOUILLI

On considère la structure représentée sur la figure ci-dessous, composée d’une poutre

droite et d’un treillis.

La poutre est encastrée à l’extrémité 0. Elle a une longueur L, une inertie suivant z

notée I, un module E et une section S. Le treillis est composé de deux barres articulées à

leurs extrémités et identiques de longueur l, de section S0 et de module d’Young E0.

A la jonction poutre treillis, soit à la section L de la poutre est appliquée une charge

F = px + qy. Les points 1, 2 et 3 sont des articulations.


30

FF


1) Déterminer les champs de déplacements cinématiquement admissibles

2) Déterminer les champs de contraintes généralisées statiquement admissibles

3) Ecrire le théorème de l’énergie potentielle en contraintes et en déduire les champs

solutions

4) Ecrire le théorème de l’énergie potentielle en déplacement.


31

2. Visco-élasticité

CHAPITRE 2 : VISCO-ELASTICITE

OBJECTIFS

L’élève sera capable de :

- Formuler et identifier une loi de comportement de matériaux viscoélastiques,

- Résoudre analytiquement un problème de viscoélasticité classique.

1. CADRE

Les polymères, le béton, le bois, le bitume, etc. présentent à différents degrés de la

viscosité associée à l’élasticité. Aussi, peut-on traduire leur comportement par un

modèle de viscoélasticité dont la modélisation s’effectue à partir de l’assemblage

ressort + amortisseur.

1.1. HYPOTHÈSES

- Les milieux considérés sont viscoélastiques linéaires isotropes,

- La dissipation intrinsèque n’est pas nulle,

- Les évolutions sont isothermes ; la dissipation thermique est nulle,

- Les perturbations sont petites (H. P. P),

- Les milieux sont ‘non vieillissants’.

1.2. PROBLÉMATIQUE

On s’attache à décrire le comportement des matériaux viscoélastiques linéaires ‘non

vieillissants’. Pour ce faire, nous nous attellerons à :

- présenter la formulation fonctionnelle des lois de comportement en partant du

cas général ; on donne les éléments de calcul de structures viscoélastiques linéaires

‘non vieillissantes,

- présenter succinctement la formulation thermodynamique du comportement

d’un solide de KELVIN-VOIGT,

- donner quelques éléments sur l’identification des caractéristiques mécaniques

de viscoélasticité linéaire isotrope.

2. RAPPEL DES EXPERIENCES FONDAMENTALES

Formuler une loi de comportement d’un matériau donné revient à établir formellement

la correspondance entre :

- la réponse à la déformation (t) et une histoire de contraintes (t).

(t) = F1(()) - t (1)


32


- ou la réponse en contrainte (t) et une histoire de déformation (t).

(t) = F2(()) - t (2)

Les matériaux viscoélastiques présentent des déformations différées telles qu’il est

nécessaire de faire intervenir dans leur comportement toute l’histoire de la sollicitation

contrairement aux matériaux élastiques où seule la valeur actuelle de la sollicitation est

prise en compte.

Les expériences suivantes permettent de caractériser les matériaux viscoélastiques ou

plus précisément d’appréhender leur comportement aux déformations différées (cas

d’expériences unidimensionnelles) :

(t) = 0 [y(t-t0)]

avec y(x) = 0 si x < 0

y(x) = 1 si x > 0

(t) = 0.J(t0, t, 0)

avec J = 0 pour t < t0

J croissant en t pour t > t0

(t) = 0 [y(t-t0)] (t) = 0.R(t0,t, 0)

Définition :

- J(t0, t, 0) est la fonction fluage ou retard, R(t0, t, 0) est la fonction de relaxation.

- Un corps viscoélastique est non vieillissant si l’effacement est total.

- De façon qualitative, un corps viscoélastique est non vieillissant si ses

caractéristiques mécaniques n’évoluent pas avec le temps ou encore si l’âge du

matériau n’intervient pas dans la formulation du comportement.

3. FORMULATION FONCTIONNELLE DU COMPORTEMENT

VISCOELASTIQUE LINEAIRE NON VIEILLISSANT

3.1. LOI DE COMPORTEMENT UNIDIMENSIONNEL

Si le comportement est linéaire,


33


- Pour l’expérience de retard ou de fluage effectuer à l’instant t0, la réponse (t)

est proportionnelle à 0 ; autrement dit, la fonction de retard J(t0, t, 0) est indépendante

de 0.

- Pour l’expérience de relaxation effectuée à l’instant t0, la réponse (t) est

proportionnelle à 0 ; autrement dit la fonction de relaxation R(t0, t, 0) est indépendante

de 0.

D’où :

Sollicitation (t) = 0 y(t-t0) =======> (t) = 0 J(t0, t) (3)

Sollicitation (t) = 0 y(t-t0) =======> (t) = 0 R(t0, t) (4)

Si le comportement est linéaire, pour une histoire de sollicitation quelconque (principe

de superposition de BOLTZMANN) :

- en contrainte

(5)

(6)

(7)

(Intégration par partie de (6) : formule de BOLTZMANN)

- en déformation

(8)

(9)

(10)

Si le comportement est linéaire non vieillissant alors :

- J(t0, t) = J(t-t0) où J() = 0 si < 0

(11)

- R(t0, t) = R(t-t0) où R() = 0 si < 0

(12)

Ainsi, la loi de comportement devient :

(13)

(14)

Remarques


34


- Ces dernières formules expriment que est obtenu par la convolution (de

RIEMANN) notée * de et de la dérivée de J au sens des distributions :

= J’ *

Et de même : = R’ *

- Soit (t) une fonction à valeurs réelles ou complexes indéfiniment dérivables

par morceaux et identiquement nulles pour t 0 ; considérons la transformation

suivante :

(14) +(p)

est dit ‘la transformée de LAPLACE - CARSON’ de (t)

On montre que :

( a(t) * b’(t) )+ = a+(p) + b+(p)

(15)

Ainsi: + = J+.+

(16)

+ = R+.+

(17)

1 = R+.J+

(18)

Les calculs de l’algèbre de convolution de RIEMANN sont alors remplacés par des calculs

algébriques ordinaires portant sur les transformés.

Fonction Transformée Fonction Transformée

f(t) f+(p) t

C.f(t) C.f+(p) tn

d/dt P exp(-at)

H(t) 1 1 - exp(-at)

H(t-) Exp(-p)cos wt

f(t-) Exp(-p).f+(p)sin wt

si f(t) = 0 pour t 0

f’(t) p f+(p) f(t).exp(-at)

(-t)m.f(t)

Tableau des transformées de LAPLACE - CARSON de fonctions usuelles.


35


Les transformées de LAPLACE - CARSON permettent alors de résoudre facilement les

problèmes. La démarche est la suivante :

1) prendre les transformées de LAPLACE - CARSON des données,

2) effectuer les calculs algébriques nécessaires à la résolution à l’aide des

transformées,

3) revenir aux fonctions originales (fonction de t) des fonctions de p, obtenues

par ces calculs algébriques.

3.2. MODÈLE DE KELVIN - VOIGT EN UNIDIMENSIONNEL

Les éléments de base de ce modèle sont le ressort (schématise le comportement

élastique) et l’amortisseur ou le frein hydraulique (pour le comportement de viscosité).

d’où

d’où d’où

d’où

Solide de KELVIN VOIGT simple

=======>

=======>

f est le temps caractéristique en fluage.

Le modèle n’est pas à élasticité instantanée.

Solide de KELVIN - VOIGT à élasticité instantanée


36

amortisseur

amortisseur

E (raideur)

ressort

E (raideur)

ressort

E

Ef

E

Ef

E1

E0

E1

E1

E0

E

2E2

E

2E2


Posons: = f.E1 = r.(E0 + E1)

E8 = E0.E1/(E0 + E1)

on a:

Posons: ’ = ’r.E2 = ’f. E2.E.(E2 + E)

E0 = E + E2

on a :

et donc : et donc :

f : temps caractéristique en fluage

r : temps caractéristique en relaxation

Remarques

- ces deux modèles sont équivalents

- La relaxation est un phénomène plus rapide que le fluage

3.3. LOI DE COMPORTEMENT TRIDIMENSIONNEL

Définissons:

- un tenseur de fonctions fluages J et un tenseur de fonction relaxation R tel que

====>

(19)

====>

(20)

- et donc pour des sollicitations quelconques :

ou (21)

Si on fait l’hypothèse d’isotropie, le même raisonnement que celui utilisé pour

l’élasticité permet de ramener à 2 le nombre de fonctions indépendantes définissant les

composantes de chacun des tenseurs J et R.

on peut choisir :


37


- deux fonctions I() et K() qui jouent un rôle équivalent aux coefficients 1/E et

/E dans la loi d’élasticité linéaire isotrope,

= (I’ + K’) * - K’ * tr() . I

(22)

- ou bien deux fonctions L() et M() qui jouent un rôle équivalent aux coefficients

de LAME et ,

= L’ * tr() . I + 2M’ *

(23)

3.4. EQUATIONS DES PROBLÈMES DE VISCOÉLASTICITÉ

La propriété de la transformée de LAPLACE - CARSON relative au produit de convolution

de RIEMANN permet d’écrire la loi de comportement viscoélastique linéaire non

vieillissant sous la forme :

+ = +.tr(+) || + 2+.+

(24)

avec: +(p) = L(L(t)) +(p) = L(M(t))

cela suggère d’examiner l’ensemble des équations du problème en transformée de

LAPLACE - CARSON :

- Données et inconnues

on aura :

f+ dans le solide S étudié

X+ sur la frontière SX et

F+ sur la frontière SF

les champs inconnus étant: X+, +, +

- Equations des problèmes

Dans le cas de problèmes quasi-statiques


div+ + f+ = 0

(25)


+ = +.tr(+) || + 2+.+

(26)

avec + = ½ (grad X+ + (grad X+)t)

(27)

- conditions aux limites

+.n = F sur SF

(28)


38


X+ = X sur SX

(29)

Ces équations sont similaires de celles d’un problème d’élasticité linéaire classique.

3.5. MÉTHODE DE RÉSOLUTION DES PROBLÈMES

L’analogie formelle entre le problème transformé et le problème d’élasticité conduit à la

résolution schématisée ci-dessous, dans laquelle on a à résoudre un problème

d’élasticité classique et une inversion ou déconvolution :

4. FORMULATION THERMODYNAMIQUE

4.1. SOLIDE DE KELVIN - VOIGT À ÉLASTICITÉ INSTANTANÉE

Avec

Les variables thermodynamiques sont ceux des ressorts ; comme variable interne, il y a

la déformation du frein hydraulique.

L’énergie des déformations s’écrit : = ½ [E .² + E.²1]

et exprimée avec la seule variable interne :

W = ½ [E .² + E.( - )²]

Les variables conjuguées de , soit e et A sont donc définis par les lois d’état :


39

(, )

E

E

(, ) (, )

(, )

E

E

(, ) (, )

Problème de viscoélasticité

Écriture des équations en transformée

de Laplace - Carson

Calcul des transformées des données

)p(X;)p(F

Problème d’élasticitééquivalent

Écriture transposéeX

+

+

Solution: X

Solution )t(X

(t)(t)

Inversion

Problème de viscoélasticité

Écriture des équations en transformée

de Laplace - Carson


)p(X;)p(F


)p(X;)p(F

Problème d’élasticitééquivalent


+

+


+

+

Solution: X

Solution: X

Solution )t(X

(t)(t)

Solution )t(X

(t)(t)

Solution )t(X

(t)(t)

InversionInversionInversion


La dissipation intrinsèque a pour expression :

1

La loi complémentaire est donnée par le pseudo-potentiel des dissipations: () ou *(A)

avec : ou *(A) = ½ A²/

et ou

Remarques

- Les deux fonctions W et permettent de définir complètement le

comportement du modèle.

- Le milieu est à contrainte élastique : e =

- Relation contrainte - déformation

- En utilisant les transformées de LAPLACE - CARSON on a :

et

d’où

et comme = R+.+ alors

Ce qui donne en revenant à l’original :

En posant, E + E = E0 on obtient

On retrouve la fonction relaxation du $3.2 :

4.2. SOLIDE DE KELVIN - VOIGT SIMPLE : CAS TRIDIMENSIONNEL

On fait les choix suivants :

(30)

(31)


40


et = e + an

(32)

Par conséquent :

(33)

(34)

par la suite : (35)

5. IDENTIFICATION DES LOIS DE COMPORTEMENT

On rappelle les lois de comportement tridimensionnel en viscoélasticité linéaire

isotrope :

= (I’ + K’) * - K’ * tr() . I

= L’ * tr() . I + 2M’ *

L’identification des fonctions I et K ou L et M par des essais simples repose sur des

essais de fluage ou de relaxation en traction et cisaillement.

5.1. IDENTIFICATION DES FONCTIONS I ET K

o Essais de fluage en traction simple : 11 = cte

o Essais de fluage en cisaillement 12 = cte

5.2. IDENTIFICATION DES FONCTIONS L ET M

o Essais de relaxation en cisaillement simple 12 = cte

o Essais de relaxation en traction simple 11 = cte

représente la contraction - = 22/11

et comme 22 = 0 alors = L/(2L + 2M)

Après mesure de 11 = R().11, on obtient :


41



6.1. ETUDE DE L’ÉQUILIBRE D’UN SOLIDE VISCOÉLASTIQUE SOUS CHARGE RÉPARTIE

On étudie la structure définie ci-dessous, constituée d’une poutre droite de longueur 2l,

de section S et d’inertie par rapport à l’axe oz I. Cette poutre est supportée à ces

extrémités par deux appuis fixes. Elle est soumise à une charge uniforme

1. Equilibre de la poutre

Sous l’hypothèse de NAVIER - BERNOUILLI, en appliquant le principe des travaux

virtuels, déterminer le champ de contrainte généralisée M(x) (moment par rapport à oz)

solution du problème. En déduire les réactions d’appui.

2. Calcul en élasticité

Le matériau constitutif de la poutre est supposé homogène, élastique, linéaire isotrope

de module d’Young E et de coefficient de Poisson .

2.1. Déterminer le champ de contraintes généralisées.

2.2. On suppose que les composantes du tenseur de contraintes sont

données par: xx = - M(x).y/I, les autres étant nulles. Déterminer le lieu des contraintes

maximales.

3. Calcul en viscoélasticité

On suppose que la poutre est constituée d’un matériau viscoélastique linéaire non

vieillissant et homogène dont la fonction de fluage en traction - compression :

Le chargement est appliqué à l’instant t = 0 et est maintenu constant (on néglige les

effets d’inertie)

3.1. Déterminer l’expression v(t) de la flèche au centre de la poutre t > 0.

3.2. On donnera les valeurs de cette flèche aux instants t = 0 et t ==> +

.

6.2. Etude de l’équilibre d’un solide viscoélastique sous charge concentrée

On considère la même structure que ci-dessus.


42

2l

- p

2l

- p x

y

x

y


1. Au lieu du chargement précédent, on applique à l’instant t = 0 au milieu de la

poutre une charge verticale F descendante concentrée d’intensité F (on néglige les

effets d’inertie).

1.1. En utilisant les résultats des calculs que l’on effectuera en élasticité,

donner l’expression v(t) de la flèche au centre de la poutre.

1.2. On donnera les valeurs de cette flèche aux instants t = 0 et ===>

+8

2. Maintenant, au lieu de la charge F, on excite la poutre au point centre par un

vibreur sinusoïdal imposant à partir de l’instant t = 0, une flèche v(t) de la forme :

v(t) = V0 coswt = Re {V0.eiwt} = Re {Vw(t)}

2.1. En négligeant les effets d’inertie, déterminer l’évolution des réactions

d’appui que l’on notera X(t)

2.2. Vérifier que pour ces réactions, l’on tend asymptotiquement vers un

régime harmonique du type : X(t) = A.Re {Vw(t).R+(iw)}

R+(iw) est appelé module complexe du matériau.


43

l

F

ll

F

l

3. Plasticité

CHAPITRE 3 : PLASTICITE

OBJECTIFS


- Formuler et identifier une loi de comportement de matériaux solides plastiques,

- Résoudre analytiquement un problème de plasticité classique.

Lorsqu'un matériau est sollicité jusqu'à rupture, les essais montrent que la contrainte de

rupture R est une grandeur présentant de fortes fluctuations pouvant même dépasser

la décade pour certains matériaux et que le mode de ruine dépend de la nature du

matériau. Ainsi la rupture peut intervenir brutalement quasi sans déformation préalable

pour les matériaux qualifiés aujourd'hui de fragiles, tandis qu'elle n'intervient qu'après

une étape de grande déformation permanente pour les matériaux qualifiés aujourd'hui

de ductiles. Ainsi, les matériaux fragiles rompent brutalement au delà d'une certaine

tension, tandis que les matériaux ductiles s'écoulent plastiquement avant de rompre

sous cisaillement. Si la rupture est toujours l'étape ultime de la ruine des structures, elle

est précédée d'une étape de plastification pour les matériaux ductiles.

PROBLEMATIQUE

MOTIVATION

Les modèles classiques de la théorie de l’élasticité linéaire des corps isotropes ou

anisotropes sont loin d’embrasser tous les phénomènes qui accompagnent la

déformation d’un solide; et les résultats et méthodes de ces modèles se montrent

parfois insuffisants pour évaluer la rigidité des constructions ou les effets de

déformations et de répondre ainsi à de nombreuses questions techniques (stabilité,....).

Or, dans un solide, il peut exister plusieurs phénomènes comme nous l’avons en plus de

l’élasticité notamment la plasticité.

La plasticité est caractérisée quantitativement par l’aptitude d’un corps donné à tolérer

sans se rompre, une déformation plus ou moins importante. Contrairement à l’élasticité,

la plasticité se manifeste par des déformations permanentes (irréversibles).

DOMAINE DE VALIDITÉ ET D’EMPLOI

La théorie de la plasticité est la théorie mathématique des déformations irréversibles

indépendantes du temps. Elle est utilisée pour les calculs des déformations

permanentes dans les structures, pour les calculs prévisionnels de ruine plastique dans

les structures et pour les calculs de stabilité des remblais de terre par exemple.

Il s’agit de mouvement sans influence de phénomènes visqueux ni présence

d’endommagement (décohésion ou fissures).


44

3. Plasticité

pour ce faire, on se limite:

- aux petites perturbations (H. P. P.),

- aux faibles températures et à l’isothermie,

- aux sollicitations non endommageantes; on atteint pas la rupture (déformations

inférieures à la moitié de la déformation de rupture par exemple).

Cette théorie s’applique bien aux métaux et alliages; pour les bois , les déformations

irréversibles sont plutôt justiciables de la viscoplasticité; et pour les bétons, les

déformations irréversibles sont essentiellement dues à des micro-fissures donc on

appliquera la théorie du couplage élasticité - endommagement.

1. FORMULATION UNIDIMENSIONNELLE DES LOIS

1.1. L’EXPÉRIENCE DE TRACTION SIMPLE

L’expérience est effectuée à vitesse de déformation fixée:

< 0 : comportement élastique et réversible

> 0 : p apparaît et = e + p avec e = / E (1)

Définitions

0 est la limite d’élasticité initiale,

y est le seuil de plasticité. Il est fonction de la déformation plastique et le

phénomène correspond au cas de matériaux dits écrouissables (y est noté s).

Pour certains matériaux dits élastiques parfaitement plastiques, la contrainte

reste constante après atteinte de la limite d’élasticité 0.

Remarques

- L’effet d’écrouissage dû à l’écoulement plastique se manifeste par une

augmentation de la contrainte et une augmentation de la limite d’élasticité.

- L’augmentation du seuil de plasticité y suit l’augmentation de la contrainte en

première approximation.


45

F

F

F

F

F

F

y

A

B

p e

y

A

B

p e

y

A

B

p e

3. Plasticité

1.2. RELATIONS DE COMPORTEMENT

Les expériences physiques justifient le découplage des effets élastiques et plastiques:

o (partition des déformations)

o

o pour s (2)

o p = 0 si pour < s

(existence de relations de comportement découplées pour e et p).

La dernière relation n’est valable que dans le cas d’écoulement plastique continu (sans

décharge)

L’écoulement plastique n’a lieu que si = s

o dp = 0

o dp 0

Définitions - La condition | | < s est appelée critère d’élasticité

- La condition | | = s est appelée critère de plasticité ou critère limite

d’élasticité

- La manière dont l’écoulement plastique s’effectue constitue la règle

d’écoulement. La recherche de cette règle d’écoulement revient à exprimer

dp en fonction de , d et s.

1.2.1. Cas des solides parfaitement plastiques

Le seuil s est constant et est égal à 0

o < 0 (4)

o = 0 = e + p (p arbitraire, du signe de )

1.2.2. Cas des solides plastiques écrouissables (figure au $1.1)

(5)


46

A

A

3. Plasticité

2. FORMULATION GENERALE DES LOIS DE COMPORTEMENT

2.1. CRITÈRE DE PLASTICITÉ

Le critère de plasticité consiste à définir l’écart entre la contrainte et le seuil de

plasticité, et le moment où il y a écoulement plastique. Par conséquent la contrainte

étant mesurée par un tenseur, il faut lui substituer un scalaire qui caractérise ce que

l’on pourrait appeler en termes imagés, son efficacité par rapport au processus et que

l’on forme par une combinaison des invariants du tenseurs des contraintes par exemple.

Pour définir le domaine d’élasticité initial ou actuel dans l’espace des contraintes

(espace à 6 dimensions), on introduit une fonction scalaire f de appelée ‘fonction de

charge’ et telle que:

(6)

La frontière du domaine ou surface de charge sera convexe.

2.2. CRITÈRE DE PLASTICITÉ USUELS

On se limite ici aux critères isotropes.

Un critère est dit isotrope si la frontière du domaine d’élasticité est invariante par

changement de repère.

Remarques

- L’isotropie impose donc que f ne dépende que des trois invariants du tenseurs

des contraintes, soit f(I, II, III, s) = 0

(7)

- Dans le cas de matériaux métalliques, il peut y avoir incompressibilité plastique

(indépendance du comportement plastique vis-à-vis de I) et f ne dépend que du

déviateur des contraintes: ’ = - 1/3 I.I

Si SII et SIII représentent les premiers invariants non nuls de ’ alors f(SII, SIII, s) = 0

(8)

A la place des invariants SII et SIII, on peut utiliser les invariants homogènes à la

traction :

(9)

2.2.1. Critère de VON-MISES

la fonction de charge est donnée par: f = J2 - s = 0

(10)


47

3. Plasticité

où :

- dans l’espace des contraintes à 6 dimensions

- dans l’espace des contraintes principales à 3 dimensions

Le critère de VON-MISES est lié à l’énergie des déformations élastiques de cisaillement.

2.2.2. Critère de TRESCA

Dans ce cas on a: (11)

Ce critère est lié à la contrainte tangentielle maximale.

2.3. ECOULEMENT PLASTIQUE - RÈGLE DE NORMALITÉ

2.3.1. Ecoulement plastique

Quand et comment s’effectue la déformation plastique?

La réponse à la manière dont s’effectue la déformation plastique constitue la règle

d’écoulement.

Pour fixer les idées, revenons à l’expérience de traction simple:

- Pour un matériau écrouissable positivement:

(12)

- pour un matériau parfaitement plastique

(13)

Remarques

- Le signe de d indique la charge (d > 0) ou la décharge (d < 0) et - s =0 le

moment où il y a déformation plastique.

- C’est l’expression de dp (à trouver) en fonction de , d et s qui constitue la

règle d’écoulement.


48

3. Plasticité

Définition

Pour un matériau à écrouissage classique (écrouissage isotrope) et une frontière de

domaine d’élasticité régulière (f régulier en ij):

- Il y a charge si:

(14)

- Il y a décharge si:

(15)

Par conséquent:

(16)

Le problème de la règle d’écoulement consiste à exprimer dp en fonction de , d et s.

Une solution est fournie par la règle de normalité.

2.3.2. Règle de normalité

La vitesse de déformation plastique est normale à la surface de charge qui est convexe.

Et donc:

- Pour un point régulier de la frontière d’élasticité

(17)

- Pour un point singulier de la frontière d’élasticité

(18) où f

désigne le sous différentiel de f par rapport à


49

i

j

p

p

i

j

i

j

p

pp

3. Plasticité

Remarques

Le sous-différentiel df de f par rapport à est par définition, l’ensemble des éléments y

de l’espace dual de tel que:

En un point régulier de la frontière, cet ensemble se réduit au gradient de f par

rapport à s; et on peut écrire de façon générale:

dp d f (d 0) (règle de normalité)

- La règle de normalité et le principe du travail plastique maximal ou principe de

HILL sont équivalents

Définition

Un matériau élasto-plastique est standard si, sa fonction de charge étant

convexe, sa règle d’écoulement s’en déduit par la règle de normalité.

2.3.3. Ecriture particulière de la règle d’écoulement

- En admettant que d est linéaire en d (pour df > 0):

(19)

Où M > 0 est appelé module d’écrouissage ( est positivement homogène de

degré 1).

- En un point régulier

df > 0

(20)

- En un point singulier

si df = sup(y : d / yf) 0

(21)

2.4. FORMULATION THERMODYNAMIQUE

2.4.1. Choix des variables thermodynamiques

- Hypothèses

- La température est supposée constante,

- Les transformations sont petites,

- Les comportements élastiques et plastiques sont découplés.

= e + p (partition de la déformation) et e = a* : (e et sont élastiquement

liés)


50

3. Plasticité

- Choix des variables d’état

Les variables qui définissent l’état du milieu sont:

- les variables observables: (déformation totale), T (température),

- les variables internes:

- la déformation plastique p,

- les variables définissant l’état d’écrouissage du matériau; cet état

d’écrouissage peut être défini par la déformation plastique cumulée:

(22)

(on ne s’intéresse qu’à l’écrouissage isotrope; l’écrouissage cinématique n’est pas

abordé).

2.4.2. Lois d’état

Afin de respecter le découplage des comportements élastiques et plastiques, le

potentiel thermodynamique est:

(23)

(énergie libre spécifique)

et l’inégalité de CLAUSUS DUHEM devient:

et (24)

2.4.3. Lois complémentaire

La dissipation intrinsèque devient:

(25)

L’existence d’un pseudo-potentiel de dissipation *(, R) ; ce qui suppose le couplage

entre la dissipation intrinsèque et la dissipation thermique permet de trouver:

(26)

Définition


51

3. Plasticité

Un matériau est dit standard généralisé (dans le cadre présent) si::

(27)

f étant la fonction de charge (plasticité associée) et pour ces matériaux:

est le multiplicateur plastique

(28)

2.4.4. Expression du multiplicateur plastique

La charge et la décharge impose df = 0 (condition de consistance)

En multipliant cette relation par on a:

soit :

et donc (29)

2.5. LOI DE PRANDLT - REUSS

C’est une loi d’élasto-plasticité sous les hypothèses suivantes:

- hypothèses des petites perturbations (H. P. P.),

- écrouissage isotrope,

- élasticité linéaire isotrope,

- incompressibilité plastique: la déformation plastique se fait à volume constant

et l’écoulement ne dépend pas de la contrainte hydrostatique,

- la fonction de charge est celle de VON-MISES

f = éq - R - y = 0

(R + y : rayon de la limite d’élasticité)

- la loi d’écrouissage s’écrit: p = g(R + y)

- la plasticité standard associée à la normalité


52

3. Plasticité

on a :

et

or: p = g(R + y) = g(éq)

d’où:

(30)

Relations de comportement

On a alors:

si f = 0 et deq > 0

si f < 0 ou deq < 0

Remarques

- Le déviateur des contraintes et les déformations plastiques sont colinéaires,

- p et ’ ont mêmes directions principales,

- les relations de comportement sont de type incrémentale.

2.6. EQUATIONS DES PROBLÈMES D’ÉLASTO-PLASTICITÉ

De façon générale, pour un matériau standard, on a en quasi-statique:

- Equilibre

div + f = 0

- Loi de comportement

(isotropie)

d > 0

- Compatibilité des déplacements


53

3. Plasticité


sur SF

sur Sx

- Conditions initiales

Il faut tenir compte des conditions initiales de la structure, notamment de son

état d’écrouissage. ON A UN MODELE INCREMENTALE.


3.1. DÉMONSTRATION

Montrer que la règle de normalité et le principe du travail plastique maximal (ou

principe de HILL) sont équivalents

3.2. LOI DE PRANDLT - REUSS

Donner l’expression de la partie déviatrice des déplacements pour un matériau vérifiant

la loi de PRANDLT - REUSS. On partira de f = J2 - e²/3 = 0

3.3. PLASTICITÉ D’UNE SECTION FLÉCHIE

On considère une structure curviligne de section rectangulaire (hauteur h, largeur b)

composée d’un matériau élastique parfaitement plastique de module d’Young E et de

limite d’élasticité en contrainte 0. Cette structure est en flexion simple plane.

1. Soit alors une section fléchie:

En admettant que la répartition des contraintes normales est linéaire en

fonction de y (hypothèse de BERNOUILLI), calculer les moments fléchissants Me

(moment limite d’élasticité) et Mp (moment de plastification totale) en fonction de 0, h

et b.

2. On s’intéresse maintenant à la structure ci-dessous:

1. Quelle est la section la plus sollicitée. Donner le moment maximum

2. Calculer la charge limite Qe sous laquelle la structure est en régime élastique

3. Donner la charge de plastification totale Qp de la section la plus sollicitée

4. Déterminer les expressions du moment dans une section partiellement plastifiée:

- en fonction de l'abscisse x,

- en fonction de la hauteur de la zone élastique 2ye

En déduire le rapport entre la zone de plastification et la portée lorsqu’on atteint la

plastification totale de la section la plus sollicitée.

CONCLUSION


54

Q

l

Q

l

3. Plasticité

La présente modélisation a fait appel au comportement de solides plastiques

abstraction faite des effets de viscosité et de décohésion (endommagement).

Il est à noter qu’il est possible de procéder à une modélisation faisant intervenir tous

ces effets. Le cadre adapté à une telle modélisation est la thermodynamique par

introduction de variables internes. Ainsi, on peut bâtir des modèles:

- d’élasto-viscoplasticité

- de viscoplasticité couplée à l’endommagement.

L’ouvrage de J. LEMAITRE donne des aspects sur ces modélisations.


55

4. Milieux fissurés

CHAPITRE 4 : MILIEUX FISSURES

OBJECTIFS

L’élève sera capable d’:

- Identifier le mode de rupture de matériaux solides,

- Analyser le phénomène de fatigue des matériaux

1. DÉFINITION

1.1. RUPTURE

La rupture est une séparation irréversible, au moins localement de deux surfaces.

S : surface de rupture (S+, S-), notons [u] l’ouverture de la fissure, ses composantes sont

[u]n composante normale à S et [u]t composante suivant S. un point M appartenant à S

devient après fissuration M+ de S+ et M- de S- tel que .

Il existe trois modes fondamentaux de rupture :

Mode 1 Mode 2 Mode 3

Ce mode correspond à une

rupture par écartement des

surfaces en contact

Il correspond à une rupture

par glissement des

surfaces en contact

C’est une rupture par

glissement latéral des

surfaces en contact

Il existe également les modes mixtes qui correspondent à une combinaison de deux ou

trois modes fondamentaux.

1.2. CRITÈRE DE PROPAGATION

Selon l’hypothèse de GRIFFITH, l’énergie de rupture vaut : où est

l’énergie spécifique de rupture. L’énergie total est donnée par la relation :

avec dWélast : travail des efforts internes ; dWext

est l’opposé du travail des forces extérieures et dWcinét est l’énergie cinétique. La

relation ci-dessus s’écrit encore : , posons

avec G correspondant au taux de restitution de l’énergie et

supposons que l’on est en phase de propagation de fissure :

la propagation est stable si dWcinét = 0


56

4. Milieux fissurés

elle est instable si dWcinét 0 ce qui se signifie que : 0 ou

0

ainsi suivant la théorie de GRIFFITH, le critère de propagation de la fissure est le

suivant :

G = 2on est en phase de propagation stable

G 2 on est en phase de propagation instable

G 2 on n’est pas en phase de propagation.


57

Documents

cours méca solides