Cours Mecanique Quantique Chapitre I Smp s4 2014 Najib

7/26/2019 Cours Mecanique Quantique Chapitre I Smp s4 2014 Najib

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Sommaire

Chapitre I : Fondement Physique de la Mcanique Quantique

Chapitre II: Bases mathmatiques de la thorie quantique

Chapitre III : Description des Phnomnes Physique et

Postulats de la Mcanique Quantique

Chapitre IV : Etude de Quelques Systmes Quantiques Simples

Cours de mcanique quantique SMP S4du Prof. M. Aggour Knitra2014

http://najib-spectra.yolasite.com


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Chapitre I

Fondement Physique de la Mcanique Quantique


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La physique est dfinitivement constitue dans sesconcepts fondamentaux ; tout ce quelle peut

dsormais apporter, cest la dtermination prcise

de quelques dcimales supplmentaires.

Il y a bien deux petits problmes : celui du rsultatngatif de lexprience de Michelson et celui du

corps noir, mais ils seront rapidement rsolus et

naltrent en rien notre confiance

Lord Kelvin

en1892


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I-1. Introduction, Historique

En effet la fin du XIXe sicle, on distinguait dans les phnomnes physiques deux

entits: matire et rayonnement, pour lesquelles on disposait de lois compltement

diffrentes. Pour prvoir le mouvement des corps matriels, on utilisait les lois de la

mcanique newtonienne qui dtermine la trajectoire d'une particule soumise l'action

d'une autre partir du principe de Newton2

2

d rm F

dt

. En ce qui concerne le

rayonnement, la thorie de llectromagntisme avait abouti, grce lintroduction des

quations de Maxwell, une comprhension de phnomnes en lectricit, magntisme et

optique (fig : I.1). En fin les interactions entre rayonnement et matire sinterprtaient bien

partir de la force de Lorentz. Compte tenu des expriences de lpoque cet ensemble de

lois avaient donn des rsultats satisfaisants.

Fig. I.1 : Le spectre lectromagntique

Le dbut du XXe sicle est marqu par des bouleversements profonds qui aboutirent

lintroduction de la mcanique relativiste et la mcanique quantique qui montrent les

limites de la mcanique classique. En effet les lois classiques cessent dtre valables pour

des corps matriels anims de trs grandes vitesses, comparable celle de la lumire

(Domaine relativiste). Les lois classiques ne sont plus fiables l'chelle atomique ousubatomique (domaine quantique)

Dans les deux cas la physique classique apparat comme une approximation des nouvelles

thories. On ne dispose pas encore, l'heure actuelle, d'une thorie pleinement

satisfaisante qui soit la fois quantique et relativiste. Cependant la mcanique non


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relativiste que nous tudierons dans ce qui suit permet d'expliquer la plupart des

phnomnes atomiques et molculaires.

I-2. Thorie du Rayonnement Thermique et Thorie de

QuantificationTout corps port une temprature suffisamment leve met, du rayonnement (pour )ultraviolet, visible, infrarouge: rayonnement thermique. Le pouvoir dmission et

dabsorption des radiations thermiques dpend donc du corps considr. On dfinit ainsi

un corps rfrence par rapport auquel sont mesurs les pouvoirs dmission et

dabsorption des autres corps: cest le corps noir

Dfinition: un corps noir idal est par dfinition un corps qui absorbe toutes lesradiations quil reoit. On le ralise seulement artificiellement en considrant une cavit

vide perce dun petit trou. Toute radiation pntrant par ce trou naura presque pas de

chance den sortir aprs avoir t affaiblie par plusieurs rflexions successives sur les

parois internes de cette cavit (Fig. I.2)

Une cavit porte une temprature T trs grande met des radiations qui sont rgies par

les lois dites du rayonnement des corps noirs.

1) Loi de Stefan (Autriche: 1864-1928)-Boltzmann (Autriche: 1844-1906): Ladensit dnergie (u) du rayonnement du corps noir ne dpend que de la temprature T de

ce corps. Elle est proportionnelle T4

u = a T4 (I.1)

2) La densit dnergie du rayonnement thermique mesure exprimentalementprsente une forme universelle. Elle est nulle pour des frquences --> 0 et --> etpasse par un maximum pour une temprature donne (Fig. I.3).

Fig. I.2 : modle physique du

corps noir.


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3)Les premires caractristiques thoriques classiques de cette courbe ont tobtenues par Wien (Autriche : 1864-1928)

Le dplacement du maximum suit une loi et 3max 2,898 10 m K T

O maxest la longueur donde pour laquelle lintensit du rayonnement mis par le corps

noir une temprature Test maximale.

Exemple 1: Le pic du rayonnement solaire est situ 500 nm environ. Dterminez latemprature de surface de notre Soleil.

Rponse :3 3

3

-9

max

2,898 10 m K 2,898 10= 5,8 10 K

m 500 10T

Exemple 2: La temprature de la peau est voisine de 35 C. Quelle est la longueur dondedu pic dintensit du rayonnement mis par la peau ?

Rponse: 9,41 mm

Exemple 3:Nous pouvons considrer les toiles comme des corps noirs. Le tableau

ci-dessous indique la longueur donde du pic de rayonnement pour trois toiles.

toilemax

(mm) Couleur

Sirius

(rayon 1,71 fois celui du soleil)

0,33 Bleue

Fig. I.3 : Densit spectrale

dnergiedu rayonnementdu corps noir en fonction de la

longueur donde pour T =3500K , 4000K, 4500 K et T =

1500 K.


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Soleil 0,50 Jaune

Betelgeuse

(rayon 900 fois celui du Soleil)

0,83 Rouge

Dterminez la temprature de surface et lintensit du rayonnement mis pour cestrois toiles.

Rponses:

toile lmax (mm) Couleur Temprature (K) Intensit (W/m2)

Sirius 0,33 Bleue 8,8 x 103K 3,4 x 108

Soleil 0,50 Jaune 5,8 x 103K 6,4 x 107

Btelgeuse 0,83 Rouge 3,5 x 103K 8,4 x 106

4) Rayleigh et Jeans(anglais) ont dduit partir des lois classiques supposant unevolution continue de lnergie une forme gnrale de la densit spectrale dnergie du

rayonnement :

U(,T) =3

3

8

C

(I.2)

Si cette expression dcrit parfaitement la forme exprimental de la U(,T) pour de trsfaibles frquences, elle diverge rapidement des valeurs exprimentales. La thorie

classique est incapable de dcrire la courbe U(,T) en sa totalit. C'est l'chec de la thorieclassique. Donc :

La thorie classique nexpliquait pas les donnes exprimentales.Comme le montre

la figure ci dessous

Pour de grandes longueurs d'onde, la loi de Rayleigh-Jeans convenait.

Mais elle est totalement inadquate pour des courtes longueurs donde (tend vers

linfini).

Pour des trs courtes longueurs donde, lobservation indiquait une nergie nulle.

Cette contradiction est appele catastrophe ultraviolette .


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5) Quantification de lnergie -Loi de Planck

Pour sortir de cette impasse Max Planck (allemand) (1858-1947) mis son hypothse

gniale lourde de consquences sur toute la physique qui est la quantification de lnergie.

Il annonce l'hypothse suivante: Les parois du corps noir sont assimiles des oscillateurs

harmoniques qui vibrent et passent d'un tat de frquence dtermin un autre en mettant

ou absorbant un quantum dnergie h (l'nergie ne peut varier que dune faondiscontinue)ou est la frquence de loscillateuret h le quantum de laction ou constante

de Planck (h = 6,62 10-34 J.s) Partant de cette hypothse Planck tablit la loi du

rayonnement des corps noirs

U(,T) =3

3 /

8 1

1h kTC e

(I.3)

Cette expression permet de dcrire en dtail et en sa totalit la courbe exprimentale

U(,T). Ce succs spectaculaire de la thorie de Planck a donn naissance la plus bellethorie physique que l'esprit humain n'ait jamais construite: PHYSIQUE QUANTIQUE


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I-3. Aspect Corpusculaire de la Lumire: Photon dEinstein et laConfirmation des Ides de Planck

Vers 1905 Albert Einstein va encore plus loin en partant des ides de Planck. Il annonce

sa dcouverte du photon.

1- Dfinition du photon

- Le photon est un corpuscule lmentaire du rayonnement lumineux anim de la

vitesse dans le vide C, la masse modu photon au repos est nulle.

- Le photon possde une quantit dnergie lmentairehindivisible (quantum)

p =h/

La dcouverte du photon a permit l'explication de leffet photolectrique observexprimentalement par Hertz (1887) et de l'effet Compton.

2- Effet photolectrique

Introduction

Leffet photolectrique a t dcouvert par Hertz lors de ses recherches sur les ondes

lectromagntiques. Alors que la mise en vidence de ces dernires a valid de faon

clatante la thorie de Maxwell, leffet photolectrique tait rebelle toute interprtation

maxwellienne. Tandis que les ondes lectromagntiques contenaient les germes de larelativit restreinte, leffet photolectrique contenait ceux de la mcanique quantique !

Dcouverte accidentelle

Dans une srie dexprience sur les effets de rsonance entre des oscillations lectriques

trs rapides, deux tincelles lectriques sont produites simultanment par une bobine

dinduction. Ltincelle A est celle du primaire, ltincelle B celle du secondaire. Jai

enferm ltincelle B dans un compartiment obscur de faon faire les observations plus

facilement, jai alors constat que la longueur maximum de cette tincelle diminuait . Il

comprend que quelque chose de nouveau se produit et dcide dinterrompre ses

explorations antrieures pour se consacrer ltude du nouveau phnomne.

On appelle effet photolectriquel'mission dlectrons par la matire (Plaque mtalliqueM: Fe, Zn,...) sous leffet de la lumire.

Rsultats exprimentaux:


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Entre 1899 et 1902, en utilisant des tubes ayant un vide pouss, Lenard fait toute une srie

dobservation :

Fig. I.4 : Effet photolectrique: une onde lumineuse excite des lectrons du mtal. On mesure le

photocourant en fonction de la frquence de londe lectromagntique

Le phnomne napparat pas dans l'obscurit, en revanche l'clairement de la

plaque mtallique entrane un courant I (nombre d'lectrons mis par unit de

temps)

Le phnomne napparat que lorsque la frquence de la lumire incidente estsuprieure une frquence prcise, , appele seuil photolectrique, dpendant de

la nature du mtal. Si , leffet photolectrique ne se produit pas, quelle que

soit lintensit lumineuse (Voire Fig: I.4).

Si , lmission est quasi instantane, mme faible intensit lumineuse.

Si , Lnergie cintique des lectrons est indpendante de lintensit

lumineuse

Si Lnergie cintique des lectrons des photolectrons augmente quand la

frquence lumineuse augmente.

Si V > 0 pour une valeur suffisamment leve de V, tous les photolectrons mis

atteignent lanode, et le courant I atteint une valeur maximale. Si on augmente

davantage V le courant demeure constant. Cependant, la valeur maximale du

courant est proportionnelle lintensit lumineuse.

Si V< 0 Seulement les e- avec une nergie cintique initiale Ke= mv2> | eV |

atteignent lanode. Si | V |> | V0 | aucun lectron natteint lanode. Le potentieldarrt V0est indpendant de lintensit lumineuse.


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Echec de la thorie lectromagntique et succs de la thorie dEinstein

La thorie lectromagntique est insuffisante pour expliquer ces faits. Elle stipule en effet

que :

l'onde lumineuse est une onde lectromagntique (E

, B

) et la force qui s'exercesur l'lectron est ( )F q E V B

. Les lectrons peuvent tre extraits du mtal.(v:

vitesse de l'lectron et q sa charge elle est gale 1,6 10-19C )

Lnergie transporte par londe est proportionnelle son intensit, lmission de

photolectrons devrait tre observe pour toute frquence pourvu que lintensit

soit suffisante.

Si lintensit lumineuse est faible, lnergie transmise aux lectrons est faible, et

leur amplitude doscillation galement, il faudrait quun lectron reoive pendant

longtemps une faible nergie avant que lnergie accumule soit suffisante pourlextraire du mtal.

Quand on envoie, sur un mtal, une onde lumineuse dintensit croissante, alors

E

et B

augmenteront ce qui implique que la force F

augmente. Les lectrons

seront, par consquent, acclrs. Ce rsultat est en contradiction avec les

observations exprimentales

Dans la thorie classique, lnergie de londe lumineuse ne dpend pas de sa

frquence.

Conclusion: La thorie ondulatoire de la lumire ne russit pas expliquer lmission

photolectriquecar elle est :

1.

Incapable dexpliquer la frquence seuil:

Avec le temps, llectron pourrait toujours acqurir suffisamment

dnergie pour schapper.

2.

Incapable dexpliquer pourquoi le potentiel darrte Vo est indpendant de

lintensit lumineuse:


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Puisque I est proportionnel au carr de lamplitude (A2), pour une

mme frquence, siIaugmente alors lnergie devrait augmenter.

3.

Incapable dexpliquer lmission instantane:

Le retard dmission calcul est beaucoup plus grand que celui

mesur exprimentalement.

Explication quantique (Einstein 1905)

En se basant sur lide de quantifierlnergie de Planck, Einstein suggra (en 1905) que

la quantification est une proprit fondamentale de lnergie lectromagntique.

Les collisions entre les quanta de lumire (photon) et les lectrons du mtal sont de type

mcanique o lnergie et la quantit demouvement se transmettent et se conservent.

Ainsi, basse frquence ( < 0 ), les photons incidents nont pas suffisamment dnergie

communiquer aux lectrons pour les faire passer la barrire de potentiel qui les retientdans le mtal (explication de la frquence seuil 0)

E h

o h= 6.626176 10-34

Js est la constante de Planck. Il faut, pour arracher llectron du

mtal (o il est soumis des forces intermolculaires), une nergie plus grande que

lnergie de liaison entre llectron et latome, appele travail dextraction, W. Lnergie

cintique de llectron qui schappe du mtal scrit donc:

Ek=h- WCest lquation dEinstein pour rendre compte de leffet photolectrique. On peut

interprter W de la manire suivante : quand llectron quitte le mtal, il laisse celui-ci

charg positivement et y est rappel par un champ lectrique. Ce dernier est le rsultat

dune diffrence de potentiel, et on peut dfinir le travail dextraction comme le travail

ncessaire llectron pour vaincre la barrire de potentiel V entre le mtal et un point

immdiatement voisin :

W eV

o V est le potentiel dextraction (qui varie dun mtal lautre). Lquation dEinsteinexplique les phnomnes incomprhensibles par la physique classique :

- existence dun seuil photolectrique : 0h eV eV

h WW h h

- effet immdiat : toute lnergie lumineuse est concentre dans le photon.


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- si vmest la vitesse dun photolectron nayant pas subi de freinage, son nergie cintique

est :

2 0m 0 m

2h( )1mv h W h( ) v

2 m

- la vitesse maximale des photolectrons augmente quand la frquence augmente, mais ne

dpend pas de lintensit lumineuse.

Millikan vrifia, en 1916, lquation dEinstein de la manire suivante : Il envoya sur un

mme mtal un rayonnement de frquence dcroissante, jusqu ce quil nobserve plus

dlectrons arrachs (lintensit du courant dans le circuit reli la plaque est nul). A ce

moment, =0pour le mtal considr. En traant un graphique de Eken fonction de, ilobtient une droite dont la pente en gale h et qui coupe laxe des Ek en W.Lexprience rpte avec dautres mtaux donne des droites parallles.

L'effet photolectrique a donc montr que le photon agit comme un corpuscule.L'effet photolectrique est utilis comme moyen pour l'ouverture automatique desportes, pour dclencher une sonnerie dalarme, ...

Exemple 1: Calculez lnergie dun photon si:

a) = 400 nm

b) = 700 nm

Remarque: 1 eV = 1,6 x 10-19

J

Solution: La lumire visible contient des photons dont lnergie varie entre: 1,77 et 3,1

eV


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= 400 nm E= 3,1 eV

= 700 nm E= 1,77 eV

Exemple 2: Lintensit de la lumire solaire la surface terrestre est environ 1400 W/m2.

Si lnergie moyenne dun photon est de 2 eV (l = 600 nm), calculez le nombre de photonsfrappant une surface de 1 cm2 chaque seconde.

Rponse chaque seconde 1400 J/m2= 0,14 J/cm2. Si N est le nombre de photons de 2 eVdnergie qui possdent au total 0,14 J (8,75 x 10 17eV).

On trouve N = 4,38 x 1017photons ( chaque seconde).

Exemple 3: Si la longueur donde maximale pour observer leffet photolectrique est de 564nm dans le cas du potassium (K), calculez:

a) Le travail dextraction:

b) Si la longueur donde de la lumire utilise est de 400 nm, dterminez lnergiecintique maximale des photolectrons.

Rponse :

a- 1242 nm 2,20

564 nm

eVeV

b-

2max 01 - 0,90

2mv eV h eV

Ainsi le potentiel darrt (pour le potassium) est de 0,90 Volt, si la longueur donde dela lumire utilise est l = 400 nm

Exemple 4: Une lumire poly chromatique comprenant 3 radiations (1=450 nm ; 2= 610nm ; 3=750 nm) irradie un chantillon de potassium, contenu dans une ampoule.Lnergie d'ionisation vaut 2,14 eV (nergie ncessaire a arracher un lectron de l'atomede potassium).

1. Etablir la relation E(eV) = 1241 / (nm)

2. quelle(s) radiation(s) donne(nt) lieu a l'effet photolectrique ?

3. Quelle est la vitesse des lectrons expulss du mtal ?

Masse de l'lectron 9,1 10-31kg.


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Solution :

Energie du photon E=h= hc/

E (joule)= 6,62 10-34*3 108/ (1)

1eV=1,6 10-19J et 1 nm = 10-9nm

Diviser l'expression (1) par 1,6 10-19 et multiplier par 109.

E (eV)= 1241 (nm)

Utiliser la relation prcdente pour calculer lnergie associe a chaque photon

E1= 1241/450=2,76 eV ; E2= 2,03 eV ; E3= 1,65 eV

Seule la radiation 1est suffisamment nergtique.

Llectron arrache de l'atome emporte :

2,76-2,14 = 0,62 eV sous forme dnergie cintique

0,5 mV2= 0,62*1,6 10-19 = 10-19 J

V2=10-19 /(0,5*9,31 10-31)=2,2 1011

vitesse = 4,7 105ms-1.


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3- Effet Compton,

En clairant un bloc de graphite (cf. figure I.5) avec un faisceau de rayons X (raieKdu molybdne de longueur donde = 0.71) monochromatiques de longueurdonde et en observant le spectre des radiations diffuses sous un angle ,

A.H. Compton dcouvrit, en 1923, le spectre indiqu la figure I.6(a) et figureI.6(b).

Fig.I.6 : Effet Compton : Mesure de Compton pour diffrents

Fig.I.5 : Exprience deCompton


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Selon la thorie classique, les lectrons soumis au champ lectrique oscillant delonde incidente se mettent vibrer en synchronisme avec ce champ ; par suite decette vibration force, ils rayonnent leur tour de la lumire de mme frquence.Lorigine de la raie non dplace est donc claire. Mai lorigine de la raie dplacereste obscure.

La thorie des photons dEinstein en fournit une interprtation particulirementsimple, ainsi que Compton la lui-mme montr. Suivant cette thorie, ladiffusion est considre comme rsultant du choc de chaque photon avec un deslectrons libres du graphite, comme indiqu schmatiquement la figure I.7.

Au cours de la collision, llectron est projet dans une certaine direction (faisant

un angle avec la direction du photon incident dnergie E= h), emportant aveclui une certaine nergie cintique T et impulsion ep

tandis que le photon dvi

par le choc continue sa course avec lnergie restante qui rsulte de la loi deconservation de lnergie, applique la collision (voir TD).

Avant Aprs

0 2

0

0

: , 0

: ,

e

o

e

o oph o ph

lectron E m c P

hphoton E h P k

c

2: ,

: ,

ee

ph ph

lectron E mc P mv mvu

hphoton E h P u

c

Conservation de l'nergie : (systme isol) (choc lastique)

2 2

0 0h m c h mc avec0

2

2

1

mm

v

c


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Conservation des impulsions:

0 0ph e ph xhv hv

P P P e mve e quation vectoriellec c

0Projection / cos cos

Projection / 0 sin sin

x

y

hv hve mvc c

hve mv

c

0

' 1 cosh

m c

Avec 00

2.43h

pm

m c

cest la longueur donde Compton

I-4. Gnralisation du Double Aspect Ondulatoire Et Corpusculaire

1- Photon: c'est la nature corpusculaire de la lumire qui est djondulatoire.

2- Aspect ondulatoire de la matire:Onde de matire

- Cherchant tablir une thorie unifie de la matire et du rayonnement Louis de

De Broglie a gnralis la notion de dualit onde -corpuscule la matire:

* toute particule matrielle d'nergie E et d'impulsion P

il associe uneonde de matire que nous notons ( r ,t) de frquence et de vecteur d'ondek

.

* il tablit la correspondance entre :

Le corpuscule L'onde

Variables dynamiques

des corpuscules

(E et P)

Energie et impulsion

et

grandeurs caractristiques

de l'onde de matire associe

( et k)

frquence et vecteur d'onde


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2=k = et = = avec = 22

hE h h

k P k

P k

v

Loi de Louis de Broglie

m: masse de la particule et v sa vitesse

La thorie de De Brologie sera vrifie exprimentalement en 1927 par Davissonet Germer, grce la dcouverte du phnomne de diffraction des lectrons. Cesphnomnes sont analogues diffraction de la lumire (photon)

Question: quand doit on appliquer la mcanique quantique? et quand doit on

appliquer la mcanique classique?

D'une manire gnrale, on peut fixer grossirement les limites dans lesquelles lamcanique quantique doit tre applique: Soit la longueur d'onde associe l'objet matriel tudi et soit d l'ordre de grandeur des distances mises en jeu,nous avons alors:

- si ~ d: on doit appliquer la mcanique quantique

- si


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dP( r ,t) =|( r ,t)|2 d3 r est la probabilit de trouver la particule dans

l'lment de volume d3 r au temps t donn.

2 3| ( , ) |r t d r = 1 car la particule se trouve certainement quelque part

dans lespace.

Connaissant 0,r t ) t0il faut dterminer ,

r t) un instant t donn, (a

fonction ,r t) dtermine compltement ltat dynamique de la particule). Do ilfaut connatre lquation de propagation de ,

r t) qui doit tre :

- linaire et homogne : ( ,r t ) possde la proprit de superpositioncaractristique des ondes en gnral. Si et sont solution de l'quationalors pour nous aurons + solution de l'quation.

- Une quation diffrentielle du premier ordre par rapport au tempspermettra partir de la connaissance de ( 0,r t

) la dtermination ( ,r t t.

L'quation de propagation de londe dune particule de masse m et subissant lepotentiel V( r ,t) est:

2( , )( , ) ( , ) ( , ) ( .4)

2

r ti r t V r t r t I

t m

Cest lquation fondamentale appele quation de Schrdinger.

Avec (=2

2x

+

2

2y

+

2

2z

)

Cas particulier d'une particule libre cest une particule dont l'nergie est purementcintique (pas de potentiel i.e. V( r ,t) =0), l'quation de Schrdinger sera:

2( , )( , )

2

r t

i r t

t m

(I.5)

Cette quation est la traduction de lquation classique2

2

PE

m , E et P

sont

reprsents dans la mcanique quantique par les oprateurs diffrentiels agissantsur


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E -------------> it

P

i

Lquationde Schrdinger (I.5) admet pour solution: ( )( , ) i kr t r t Ce

avec =2

2

k

m

, h2 2

2

k

m

,

2

2

PE

m

2 2( , )r t C

: Densit de probabilit de prsence uniforme dans tout lespace! cersultat n'est pas physique. Une telle onde ne peut pas reprsenter une particulecar elle n'est pas de carr sommable. 2 3| |C d r Diverge.

Mais daprs le principe de superposition, toute superposition dondes de type(I.6) est solution de lquation de Schrdinger. On peut donc considrer une

superposition d'une infinit d'ondes planes et on peut donc crire:

( , )r t = ( ) 3

3/ 2

1( )

(2 )

i kr t g k e d k

(I.7)

C'est un "paquet dondes 3 dimensions qui est une superposition linaire

dondes planes de vecteurs dondes voisins. La fonction ( )g k

est complexe ou

relle. ( )g k

n'a par hypothse de valeurs notables que dans un petit domaine

autour de ( ).k voir TD

g( k

)

Fig : I.8 : Fonction de distributiondans lespace des impulsions p = kpour un paquet dondes gaussien

On voit aussi que ( )g k

n'est autre que la transforme de fourrier de ( , )r t car:

( ) 3

3/ 2

1( ) ( )

(2 )

i kr t g k r e d r

(I.8)


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c) Vitesse de groupe, Vitesse de phase

Un paquet d'onde prsente un maximum central qui correspond l'interfrenceconstructive des diffrentes ondes (harmoniques) dont il est compos. La vitessede groupe vg est gale :

vg= (d

dk

)k=ko =dE

dP

O =2

2

k

m

pour une particule libre. K0 est le vecteur d'onde pour lequel la

fonction ( )g k

est maximum.

La vitesse de phase d'une onde plane c'est la vitesse de propagation des plans

d'gale phase, plans d'ondes. v= ( dxdt

)k=ko=k

Remarque: la vitesse de groupe est la quantit physique intressante car ellereprsente la vitesse laquelle se dplace l'endroit o se localise l'nergie (pourles ondes acoustiques ou lectronique). En mcanique quantique elle reprsente lavitesse de dplacement de la probabilit de prsence associe l'onde.


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Fig. I.9 : Enveloppe de modulation forme par la superposition de deux ondes de mmeamplitude et de frquences proches

Fig. I.10 : Un paquet dondes :paquet dondes rel form dun

grand nombre dondes planes

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