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Principe Fondamental de la

Statique

Principe fondamental de la Statique 1 13/08/2012

REVENONS AU PFD


PFD

PFS

RSOLUTION PB

RSOLUTION GRAPHIQUE

2 FORCES

3 FORCES

RSOLUTION ANALYTIQUE

PLAN DE SYMTRIE

Rsultante mcanique = Rsultante dynamique

Moment mcanique = Moment dynamique

On peut aussi crire en utilisant les torseurs:

Que devient ce principe sil ny a pas de mouvement du solide S ?

Evidemment :

Donc :

Avec A, point quelconque appartenant au repre li S

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PLAN DE SYMTRIE


PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE

Un systme matriel (S) est en quilibre par rapport un repre (R) si la somme des torseurs des actions mcaniques extrieures s'appliquant sur (S) est gale au torseur nul

Avec A, point quelconque appartenant au repre li S

Thorme du moment rsultant : Si (S) est en quilibre par rapport un repre fixe, le moment rsultant en un point A quelconque, des actions mcaniques extrieures (S) est nul :

Thorme de la rsultante : Si (S) est en quilibre par rapport un repre fixe, la rsultante gnrale des actions mcaniques extrieures (S) est nulle :

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RSOLUTION DE PROBLMES DE STATIQUE Rsoudre un problme de statique revient dfinir entirement les actions mcaniques extrieures sappliquant un systme isol.

S

Frontire de l'tude :

Le systme (S) considr doit tre parfaitement dlimit. Il peut comprendre une ou plusieurs pices ou partie(s) de pice. Tout ce qui n'est pas (S) et qui agit sur (S) est dit "extrieur" (S) et sera not ( ) La frontire d'isolement permet de distinguer (S) de ( )et facilite la prise en compte des diffrentes actions mcaniques extrieures qui agissent sur (S) .

S

Isoler un systme consiste diviser l'univers en deux parties :

d'autre part, l'extrieur, c'est--dire tout ce qui n'est pas le systme matriel considr

d'une part le systme matriel considr, objet de votre tude :

Actions mcaniques extrieures / intrieures :

Sachant qu'en isolant un systme matriel, on a dfinit une frontire qui divise l'univers en deux parties : les actions mcaniques s'exerant sur les composants de votre systme matriel vont tre soit extrieures, soit intrieures votre systme. Considrons les 3 solides S1, S2, S3 et le systme matriel E = {S1 + S2} alors l'action mcanique exerce par S3 sur S2 sera extrieure E l'action mcanique exerce par S1 sur S2 sera intrieure E

S1

S2

S3

Pour les problmes de mcanique que vous aurez traiter, seules les actions mcaniques extrieures s'exerant sur le systme matriel isol seront prendre en compte

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PLAN DE SYMTRIE


RSOLUTION GRAPHIQUE DE PROBLMES DE STATIQUE

Ces techniques de rsolution sappliquent exclusivement aux problmes plan faisant intervenir des actions mcaniques modlisables par des glisseurs coplanaires.

A

Un glisseur est un torseur dont le champ des moments s'annule en au moins un point. Sa rsultante a donc le mme effet en tous points de sa ligne daction

Equilibre graphique dun ensemble matriel soumis deux actions mcaniques

On dira que les rsultantes sont directement opposes

Considrons le systme matriel (S) soumis deux actions mcaniques modlisables par des glisseurs, on montre que :

Un systme matriel soumis deux glisseurs de rsultantes et est en quilibre si et seulement si : A

B + = =

et ont mme support

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RSOLUTION GRAPHIQUE DE PROBLMES DE STATIQUE

Equilibre graphique dun ensemble matriel soumis trois actions mcaniques

Considrons le systme matriel (S) soumis trois actions mcaniques modlisables par des glisseurs, on montre que :

A

B

C

En tous points P de la ligne daction de ,

En tous points L de la ligne daction de ,

Il existe donc un point I, commun aux deux lignes dactions, pour lequel :

En ce point I, la somme de moments des actions mcaniques devant tre nulle, nous avons forcement :

Un systme matriel soumis trois glisseurs est en quilibre si et seulement si : - Le polygone form par les rsultantes est ferm. Ce polygone s'appelle dynamique des forces. (c'est la traduction graphique du thorme de la rsultante statique) - Les supports des trois rsultantes sont coplanaires et concourants en un mme point. (c'est la traduction graphique du thorme du moment statique)

I

Donc :

Si nest pas nulle alors, la ligne daction de passe forcement par le point I

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PLAN DE SYMTRIE


Considrons le systme matriel (S) soumis trois actions mcaniques exerces par (1), (2) et (3). Soit ci-dessous les lments de rduction en un point O des torseurs modlisant ces actions mcaniques :

RSOLUTION ANALYTIQUE DE PROBLMES DE STATIQUE

A B

C

(S)

(1) (2)

(3)

Le Principe Fondamental de la Statique exprim en O s'crit :

Thorme de la rsultante Thorme du moment rsultant

On peut donc aussi lcrire :

Rsoudre un problme de statique de faon analytique revient trouver toutes les inconnues dun systme de 6 quations

3

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NOTION DE PLAN DE SYMTRIE Dans le cas o le systme admet un plan de symtrie et pour la gomtrie du systme et pour les actions mcaniques, on dit que le problme est plan. Les torseurs associs aux actions mcaniques sont rductibles : des glisseurs dont l'axe appartient au plan de

symtrie des couples orients suivant la direction orthogonale

au plan de symtrie Exemple: Un tel systme conduit crire seulement trois quations algbriques traduisant analytiquement l'quilibre du systme matriel isol. Ici, par exemple :

FIN

Le principe Fondamental de la Statique


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