Tutoriel
LES PLANS DEXPERIENCES
Jacques GOUPY
Revue MODULAD, 2006
- 74 -
Numro 34
LES PLANS DEXPERIENCES
1. INTRODUCTION Les plans d'expriences permettent d'organiser au
mieux les essais qui accompagnent une recherche scientifique ou des
tudes industrielles [1]. Ils sont applicables de nombreuses
disciplines et toutes les industries partir du moment o lon
recherche le lien qui existe entre une grandeur dintrt, y, et des
variables, xi. Il faut penser aux plans d'expriences si lon
sintresse une fonction du type :y = f (xi )
Avec les plans d'expriences on obtient le maximum de
renseignements avec le minimum d'expriences. Pour cela, il faut
suivre des rgles mathmatiques et adopter une dmarche rigoureuse
[2]. Il existe de nombreux plans d'expriences adapts tous les cas
rencontrs par un exprimentateur. Les principes fondamentaux de
cette science seront indiqus et les principaux plans seront passs
en revue. La comprhension de la mthode des plans d'expriences
s'appuie sur deux notions essentielles, celle d'espace exprimental
et celle de modlisation mathmatique des grandeurs tudies. 1.1
Notion d'espace exprimental Un exprimentateur qui lance une tude
s'intresse une grandeur qu'il mesure chaque essai. Cette grandeur
s'appelle la rponse, c'est la grandeur d'intrt. La valeur de cette
grandeur dpend de plusieurs variables. Au lieu du terme variable on
utilisera le mot facteur. La rponse dpend donc de un ou de
plusieurs facteurs. Le premier facteur peut tre reprsent par un axe
gradu et orient (Figure 1). La valeur donne un facteur pour raliser
un essai est appele niveau. Lorsqu'on tudie l'influence d'un
facteur, en gnral, on limite ses variations entre deux bornes. La
borne infrieure est le niveau bas. La borne suprieure est le niveau
haut.
Domaine du facteur Facteur 1 -1 niveau bas +1 niveau haut
Figure 1 : Le niveau bas du facteur est not par - 1 et le niveau
haut par +1. Le domaine de variation du facteur est constitu de
toutes les valeurs comprises entre le niveau bas et le niveau haut.
L'ensemble de toutes les valeurs que peut prendre le facteur entre
le niveau bas et le niveau haut, s'appelle le domaine de variation
du facteur ou plus simplement le domaine du facteur. On a
l'habitude de noter le niveau bas par 1 et le niveau haut par +1.
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S'il y a un second facteur, il est reprsent, lui aussi, par un
axe gradu et orient. On dfinit, comme pour le premier facteur, son
niveau haut, son niveau bas et son domaine de variation. Ce second
axe est dispos orthogonalement au premier. On obtient ainsi un
repre cartsien qui dfinit un espace euclidien deux dimensions. Cet
espace est appel l'espace exprimental (Figure 2).Facteur 2
Espace exprimental
Facteur 1
Figure 2 : Chaque facteur est reprsent par un axe gradu et
orient. Les axes des facteurs sont orthogonaux entre eux. L'espace
ainsi dfini est l'espace exprimental. Le niveau x1 du facteur 1 et
le niveau x2 du facteur 2 peuvent tre considrs comme les coordonnes
d'un point de l'espace exprimental (Figure 3). Une exprience donne
est alors reprsente par un point dans ce systme d'axes. Un plan
d'expriences est reprsent par un ensemble de points
exprimentaux.Facteur 2
Point exprimental
x2
Facteur 1
x1Figure 3 : Dans l'espace exprimental, les niveaux des facteurs
dfinissent des points exprimentaux. Le regroupement des domaines
des facteurs dfinit le domaine d'tude. Ce domaine d'tude est la
zone de l'espace exprimental choisie par l'exprimentateur pour
faire ses essais. Une tude, c'est--dire plusieurs expriences bien
dfinies, est reprsente par des points rpartis dans le domaine
d'tude (Figure 4). Cette faon de reprsenter une exprimentation par
des points dans un espace cartsien est une reprsentation gomtrique
de l'tude. Une autre reprsentation d'une tude sera introduite au
paragraphe 2.1.
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Facteur 2
+1
-1
-1
+1
Facteur 1
Figure 4 : Les points exprimentaux sont disposs dans le domaine
d'tude dfini par l'exprimentateur. Les dfinitions qui ont t donnes
s'appliquent bien aux variables continues. Mais il existe d'autres
types de variables. Il y a les variables discrtes comme par exemple
des personnes : Julien, Arthur, Louis, Simon et Nathan. On peut
encore parler d'espace exprimental mais il n'aura pas les mmes
proprits que l'espace des variables continues. Il y a galement les
grandeurs ordonnables comme, par exemple, des distances qui peuvent
tre courtes, moyennes et longues. L aussi, la notion d'espace
exprimental existe toujours mais cet espace possde des proprits
diffrentes des deux premiers. 1.2 Notion de surface de rponse Les
niveaux xi reprsentent les coordonnes d'un point exprimental et y
est la valeur de la rponse en ce point. On dfinit un axe orthogonal
l'espace exprimental et on l'attribue la rponse. La reprsentation
gomtrique du plan d'expriences et de la rponse ncessite un espace
ayant une dimension de plus que l'espace exprimental. Un plan deux
facteurs utilise un espace trois dimensions pour tre reprsent : une
dimension pour la rponse, deux dimensions pour les facteurs. A
chaque point du domaine d'tude correspond une rponse. A l'ensemble
de tous les points du domaine d'tude correspond un ensemble de
rponses qui se localisent sur une surface appele la surface de
rponse (Figure 5). Le nombre et de l'emplacement des points
d'expriences est le problme fondamental des plans d'expriences. On
cherche obtenir la meilleure prcision possible sur la surface de
rponse tout en limitant le nombre dexpriences.
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Rponse
Facteur 2
+1
C
D
-1 -1
A +1
B
Facteur 1
Figure 5 : Les rponses associes aux points du domaine d'tude
forment la surface de rponse. Les quelques rponses mesures aux
points du plan d'expriences permettent de calculer l'quation de la
surface de rponses.
1.3 Notion de modlisation mathmatiqueOn choisit a priori une
fonction mathmatique qui relie la rponse aux facteurs. On prend un
dveloppement limit de la srie de Taylor-Mac Laurin. Les drives sont
supposes constantes et le dveloppement prend la forme d'un polynme
de degr plus ou moins lev :
y = a0 + ai xi + aij xi x j + L + aii xi2 + a ij...z xi x j ...x
z {1} o y est la rponse ou la grandeur d'intrt. Elle est mesure au
cours de l'exprimentation et elle est obtenue avec une prcision
donne. xi reprsente le niveau attribu au facteur i par
l'exprimentateur pour raliser un essai. Cette valeur est
parfaitement connue. On suppose mme que ce niveau est dtermin sans
erreur (hypothse classique de la rgression). a0, ai, aij, aii sont
les coefficients du modle mathmatique adopt a priori. Ils ne sont
pas connus et doivent tre calculs partir des rsultats des
expriences. L'intrt de modliser la rponse par un polynme est de
pouvoir calculer ensuite toutes les rponses du domaine d'tude sans
tre oblig de faire les expriences. Ce modle est appel "modle
postul" ou "modle a priori".1.4 Le modle de l'exprimentateur
Deux complments doivent tre apports au modle prcdemment dcrit.
Le premier complment est le "manque d'ajustement". Cette expression
traduit le fait que le modle a priori est fort probablement
diffrent du modle rel qui rgit le Revue MODULAD, 2006 - 78 Numro
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phnomne tudi. Il y a un cart entre ces deux modles. Cet cart est
le manque d'ajustement (lack of fit en anglais). Le second
complment est la prise en compte de la nature alatoire de la
rponse. En effet, si l'on mesure plusieurs fois une rponse en un
mme point exprimental, on n'obtient pas exactement le mme rsultat.
Les rsultats sont disperss. Les dispersions ainsi constates sont
appeles erreurs exprimentales. Ces deux carts, manque d'ajustement
et erreur exprimentale, sont souvent runis dans un seul cart, note
e. Le modle utilis par l'exprimentateur s'crit alors :y = a0 + a i
x i + a ij x i x j + L + a ii x i2 + a ij...z x i x j ...x z + e
{2}
1.5 Systme d'quations
Chaque point exprimental permet d'obtenir une valeur de la
rponse. Cette rponse est modlise par un polynme dont les
coefficients sont les inconnues qu'il faut dterminer. A la fin du
plan d'expriences, on a un systme de n quations (s'il y a n essais)
p inconnues (s'il y a p coefficients dans le modle choisi a
priori). Ce systme s'crit d'une manire simple en notation
matricielle : y = X a + e {3}y est le vecteur des rponses. X est la
matrice de calcul, ou matrice du modle, qui dpend des points
exprimentaux choisis pour excuter le plan et du modle postul. a est
le vecteur des coefficients. e est le vecteur des carts.
Ce systme possde un nombre d'quations infrieur au nombre
d'inconnues. Il y a n quations et p + n inconnues. Pour le rsoudre,
on utilise une mthode de rgression base sur le critre des moindres
carrs. On obtient ainsi les estimations des coefficients que l'on
note : a Le rsultat de ce calcul est : a = ( X ' X ) 1 X ' y {4}
Formule dans laquelle la matrice X ' est la matrice transpose de X
. De nombreux logiciels excutent ce calcul et donnent directement
les valeurs des coefficients. Deux matrices interviennent
constamment dans la thorie des plans dexpriences : La matrice
dinformation X ' X . La matrice de dispersion ( X ' X )1 . Nous
allons maintenant appliquer les notions et les proprits que nous
venons de dcrire aux plans dexpriences les plus classiques. Nous
verrons successivement les plans suivants : Plans factoriels
complets deux niveaux. Plans factoriels fractionnaires deux
niveaux. Autres plans deux niveaux. Plans plusieurs niveaux. Plans
pour surfaces de rponse. Plans de mlanges. Revue MODULAD, 2006 - 79
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Plans boolens. Plans optimaux. Plans pour simulations
numriques.2. PLANS FACTORIELS COMPLETS A DEUX NIVEAUX
Ces plans possdent un nombre de niveaux limit deux pour chaque
facteur. Toutes les combinaisons de niveaux sont effectues au cours
de l'exprimentation. Ces plans peuvent tre utiliss indistinctement
pour les variables continus et pour les variables discrtes.2.1 Plan
deux facteurs
Pour deux facteurs, le domaine d'tude est un carr (en units
codes- voir annexe 1). Par exemple, la Figure 6 reprsente un plan
factoriel complet deux facteurs. Le modle mathmatique postul est un
modle du premier degr par rapport chaque facteur : y = a0 + a1 x1 +
a 2 x2 + a12 x1 x 2 + e {5} y est la rponse xi reprsente le niveau
attribu au facteur i. a0 est la valeur de la rponse au centre du
domaine d'tude. a1 est l'effet (ou effet principal) du facteur 1.
a2 est l'effet (ou effet principal) du facteur 2. a12 est
l'interaction entre les facteurs1 et 2. e est l'cart. On dmontre
que les meilleurs emplacements des points d'expriences sont situs
aux sommets du domaine d'tude.Poids d'additif 10 gr. + 1
C
D
5 gr.
-1
A-1 20 C +1
B
Temprature
80 C
Figure 6 : Les meilleurs emplacements des points exprimentaux
sont les sommets du domaine d'tude lorsque le modle postul est du
premier degr.2.1.1 Reprsentation d'une tude sous forme de tableau
Les reprsentations gomtriques sont commodes et trs parlantes mais
ds que le nombre de facteurs est suprieur trois, elles ne peuvent
plus tre employes. Pour les espaces multidimensionnels, on adopte
une reprsentation en forme de tableau. Pour montrer la
correspondance entre les deux reprsentations, gomtrique et tableau,
nous allons expliquer la construction du tableau rassemblant les
expriences du plan 22 associ la Figure 6. Revue MODULAD, 2006 - 80
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Ce tableau comprend trois colonnes, la premire identifie les
essais, la seconde et la troisime indiquent les coordonnes des
points d'expriences. L'essai n1 est celui pour lequel les deux
facteurs tudis sont aux niveaux bas, 20C (ou - 1 en units codes) et
5 grammes (ou - 1 en en units codes). Cet essai n1 correspond au
point A de la Figure 6. L'essai n2 est celui pour lequel le premier
facteur est fix au niveau haut, 80 C (ou +1 en units codes) et le
second facteur est fix au niveau bas : 5 grammes (ou - 1 en units
codes). Cet essai n2 correspond au point B. Ce tableau s'appelle
Tableau d'exprimentation s'il est construit avec les units
physiques habituelles (Tableau 1) et Plan d'expriences s'il emploie
les units codes (Tableau 2). Dans ce dernier cas, on rappelle la
signification des units codes en indiquant, pour chaque facteur,
leurs valeurs en units physiques habituelles en bas du tableau.
Tableau 1 : Tableau d'exprimentation (units courantes).N essai 1
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) Temprature (1) 20 C 80 C 20 C 80 C Poids (2)
5 grammes 5 grammes 10 grammes 10 grammes
La reprsentation qui utilise les units codes est plus gnrale que
celle qui emploie les units physiques habituelles. C'est celle qui
est le plus souvent adopte et cest celle que nous utiliserons par
la suite. Tableau 2 : Plan d'expriences (units codes).N essai 1 (A)
2 (B) 3 (C) 4 (D) Facteur 1 -1 +1 -1 +1 Facteur 2 -1 -1 +1 +1
Niveau -1 Niveau +1
20 C 80 C
5 grammes 10 grammes
Les reprsentations gomtriques et les reprsentations par tableaux
sont quivalentes. Les tableaux (ou matrices) prsentent l'avantage
de pouvoir tre utiliss quel que soit le nombre de facteurs,
c'est--dire quel que soit le nombre de dimensions de l'espace
exprimental. Il est utile de savoir passer d'une reprsentation
l'autre pour bien interprter les rsultats des plans d'expriences.
2.1.2 Prsentation des rsultats d'essais A chaque essai,
l'exprimentateur mesure la rponse qu'il a choisie. Par exemple, la
rponse de l'essai n 1 est y1. Celle de l'essai n 2 est y2, et ainsi
de suite. Ces rponses sont indiques en face chaque essai et sont
rassembles dans la colonne Rponse (Tableau 3).
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Tableau 3 : Plan dexpriences et rsultats exprimentaux.N essai 1
2 3 4 Facteur 1 -1 +1 -1 +1 Facteur 2 -1 -1 +1 +1 Rponse y1 y2 y3
y4
Niveau - 1 Niveau +1
20 C 80 C
5 grammes 10 grammes
2.1.3 Calcul des coefficients Les quatre points d'expriences
apportent quatre quations.y 1 = a0 + a1x1,1 + a 2 x 2,1 + a12
x1,1x2,1 + e1 y 2 = a0 + a1x1,+1 + a 2 x 2,1 + a12 x1,+1x 2,1 + e2
y 3 = a0 + a1x1,1 + a 2 x 2,+1 + a12 x1,1x 2,+1 + e3 y 4 = a0 +
a1x1,+1 + a 2 x 2,+1 + a12 x1,+1x2,+1 + e4 La rsolution de ce
systme donne la valeur des coefficients : 1 a0 = [+y1 +y 2 +y 3 +y
4 ] {6 a} 4 1 a1 = [y1 +y 2 y 3 +y 4 ] {6 b} 4 1 a2 = [y1 y 2 +y 3
+y 4 ] {6 c} 4 1 a12 = [+y1 y 2 y 3 +y 4 ] {6 d} 4
Connaissant les coefficients, on peut crire le modle de
rgression qui servira faire des prvisions y = a0 + a1 x1 + a 2 x 2
+ a12 x1 x 2 {6} 2.1.4 Signification de a 0 Si l'on donne x1 et x2
la valeur zro, on dfinit le centre du domaine d'tude. La relation
{6} devient alors y 0 = + a0 {7} Le coefficient a0 est la valeur
calcule de la rponse au centre du domaine d'tude. 2.1.5
Signification de a1 Plaons nous maintenant au niveau moyen du
facteur 2, pour cela donnons la valeur zro x2. La relation {6}
devient : y = +a0 + a1x1 {8}
Cette relation permet de tracer l'volution de la rponse prdite
dans un plan de coupe x 2 = 0 (Figure 7). L'effet du facteur 1
apparat comme la variation de la rponse quand on passe du niveau
zro au niveau haut du facteur 1.
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REPONSE
y+ y0 y
EFFET DU FACTEUR 1
-1
0
+1
FACTEUR 1
Figure 7 : Dans le plan moyen du facteur 2, l'effet du facteur 1
est la variation de la rponse entre le centre du domaine dtude et
le niveau haut du facteur 1. 2.1.6 Signification de a12 La relation
{6d} peut s'crire
a12 =
1 1 1 1 ( y 4 y 3 ) ( y 2 y1) = +ef + ef 2 2 2 2
[
]
{9}
L'interaction apparat comme la demi diffrence entre l'effet du
facteur 1 au niveau haut du facteur 2 (effet not ef+) et l'effet du
facteur 1 au niveau bas du facteur 2 (effet not ef -). Elle traduit
une variation de l'effet d'un facteur en fonction du niveau d'un
autre facteur. L'interaction a12 entre les deux facteurs 1 et 2 est
une interaction d'ordre 2.2.2 Exemple 1 : Amlioration du rendement
2.2.1 Description de l'tude Un industriel cherche augmenter le
rendement de sa fabrication. Il prpare un mdicament partir de
plantes naturelles et cherche amliorer le rendement d'extraction du
principe actif. L'extraction est effectue en prsence de chlorure de
sodium dont la concentration est de 50 grammes par litre et une
temprature de 70C. L'industriel dcide d'tudier ces deux facteurs et
de les faire varier autour des consignes normales de
fonctionnement. D'o les facteurs et le domaine d'tude :
Facteur 1 : concentration en chlorure de sodium entre 40 et 60
grammes. Facteur 2 : temprature entre 60C et 80C. La rponse est la
masse de produit actif fabriqu. L'industriel excute un plan
factoriel complet 22. Ce plan est dfinit par Tableau 4. Les
rsultats exprimentaux sont consigns dans la colonne "Rponse".
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Tableau 4 : Plan dexpriences et rsultats exprimentauxN essai
Facteur 1 -1 +1 -1 +1 Facteur 2 -1 -1 +1 +1 Rponse grammes y1 = 115
y2= 185 y3= 104 y4= 156
1 2 3 4 Niveau -1 Niveau +
40 60
60C 80C
2.2.2 Interprtation Les calculs sont effectus en utilisant la
relation {4}.
Tableau 5 : Tableau des effets. Moyenne Effet de 1 Effet de 2
Interaction 140 grammes 30,5 grammes -10 grammes -4,5 grammes
L'effet de la concentration est de 30,5 grammes pour une
variation de 10 grammes en chlorure de sodium (Figure 8). On peut
donc amliorer la production en augmentant la concentration en
chlorure de sodium. L'effet de la temprature est de -10 grammes
pour une variation de 10C. Il en rsulte qu'il faut baisser la
temprature pour amliorer le rendement.Masse170,5
Masse
+ 30,5140
150 140 130
- 10
109,5
-1
0
+1
-1
0
+1
40%
80%
40C
60C
Concentration en Cl Na (1)
Temprature (2)
Figure 8 : Effets de la concentration en chlorure de sodium et
de la temprature sur le rendement en produit actif. Pour avoir une
vue d'ensemble des rsultats, on trace les courbes isorendement dans
le domaine d'tude (Figure 9)
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60 C110
Temprature (2)
120 130 140 150 160 170 180
40 C 40Concentration en Cl Na (1)
80
Figure 9 : Courbes isorponses montrant l'influence de la
concentration en chlorure de sodium et de la temprature sur le
rendement en produit actif.2.3 Plans factoriels k facteurs 2
niveaux
On peut augmenter le nombre de facteurs. L'espace exprimental
possde autant de dimensions qu'il y a de facteurs et le modle
mathmatique correspond la relation {2}. Un plan comportant k
facteurs deux niveaux est not 2k. Le k en exposant signifie qu'il y
a k facteurs tudis. Le 2 indique le nombre de niveaux par facteur.
On remarquera que cette notation indique galement le nombre
d'essais raliser. Ce nombre devient rapidement trs important. Pour
seulement 7 facteurs, il faudrait excuter 128 essais. Pour diminuer
le nombre des essais en conservant la possibilit d'tudier tous les
facteurs, les plans factoriels fractionnaires deux niveaux ont t
introduits.3. PLANS FACTORIELS FRACTIONNAIRES A DEUX NIVEAUX
2k-q
Les plans factoriels fractionnaires sont des plans factoriels
qui permettent d'tudier tous les facteurs mais dont le nombre
d'essais est rduit par rapport aux plans factoriels complets. Un
plan factoriel fractionnaire 2 fois moins, ou 4 fois moins ou 2q
fois moins d'essais que le factoriel complet correspondant. A la
fin d'un plan factoriel fractionnaire, on a un systme de n quations
p coefficients inconnus avec p plus grand que n. On ne sait pas
rsoudre un tel systme. Comme on ne peut pas augmenter le nombre
d'quations, il faut diminuer le nombre d'inconnues. On y arrive en
utilisant un artifice : on regroupe les coefficients de telle
manire qu'il y ait n inconnues. On rsout donc un systme de n
quations n groupes de coefficients. On appelle ces groupes de
coefficients, des contrastes ou des aliases et on dit que les
coefficients sont aliases dans les contrastes.3.1 Notation des
plans factoriels fractionnaires
Pour k facteurs prenant deux niveaux le plan complet est not 2k.
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Le plan fractionnaire, moiti du plan complet possde 1/2 2k ou
2k-1 essais. On peut donner une signification chaque caractre de
cette notation : Le k signifie qu'il y a k facteurs tudis. Le 2
signifie que chaque facteur prend deux niveaux. Le 1 signifie que
le nombre d'essais du plan a t divis par 21. Un plan 25-2 permet
d'tudier cinq facteurs prenant chacun deux niveaux en 8 essais. Le
plan complet a t divis par 22 = 4. Un plan 2k-q permet d'tudier k
facteurs prenant chacun deux niveaux. Le plan complet a t divis par
2q.3.2 Application au plan factoriel fractionnaire 23-1
On veut tudier 3 facteurs en ne faisant que 4 essais. On prend
la prcaution de choisir les 4 essais pour que la matrice X s soit
une matrice orthogonale d'Hadamard. Les 4 points choisis sont
disposs comme l'indique la Figure 10.
Facteur 3 Facteur 2 Facteur 1
Figure 10 : Un plan factoriel complet 23 peut tre divis en deux
plans factoriels fractionnaires 23-1, un plan noir et un plan gris.
Le modle mathmatique de la rponse d'un plan factoriel 3 facteurs
comporte 8 coefficients (modle 1) : y =a0 + a1x1 + a2 x 2 + a3 x3 +
a12 x1x2 + a13 x1x3 + a23 x2 x3 + a123 x1x2 x3 {10} Si on effectue
4 essais, on obtient un systme de quatre quations 8 inconnues :
y=Xa {11} On ne sait pas rsoudre le systme {11}. Comme il n'y a que
4 essais, on ne peut calculer que 4 inconnues. On adopte le modle
(modle 2) : y = l 0 + l 1 x1 + l 2 x2 + l 3 x3 avec {12}
l 0 = a0 + a123 l 1 = a1 + a23 l 2 = a2 + a13 l 3 = a3 + a12
{13}
On sait calculer les contrastes l i du modle 2. Mais la
difficult est d'arriver interprter ces contrastes pour remonter aux
coefficients. Revue MODULAD, 2006 - 86 Numro 34
3.3 Application au plan factoriel fractionnaire 25-2
Le modle 1 du plan complet comporte 32 coefficients inconnus. Le
modle 2 est tabli avec 8 essais de telle manire que la matrice X s
soit une matrice orthogonale d'Hadamard. On obtient, par exemple,
le plan d'expriences d'une telle matrice en prenant les colonnes 1,
2, 3, 12 et 13 de la matrice de calcul d'un plan 23 (Tableau 6).
Les niveaux d'tude du facteur 4 sont donns par les signes de
l'interaction 12 et ceux du facteur 5 par les signes de
l'interaction 13. Tableau 6 : Plan d'expriences du plan factoriel
fractionnaire 25-2.Numro de l'essai 1 2 3 4 5 6 7 8 Facteur 1
Facteur 2 Facteur 3 Facteur 4 = 12 Facteur 5 =13
+ + + +
+ + + +
+ + + +
+ + + +
+ + + +
On obtient un systme de 8 quations 32 inconnues qui s'crit sous
forme matricielle : y = X a {14} 8,1 8,32 32,1 Pour rduire le
nombre des inconnues, on introduit 8 contrastes.y (8,1) = Xs
l
(8,8) (8,1)
{15}
La meilleure faon de savoir comment les coefficients sont aliass
dans les contrastes, est de faire appel aux logiciels. Dans les cas
simples, on peut utiliser le calcul de Box. Pour cet exemple on
trouve :
l 0 = a0 + a124 + a135 + a2345 l 1 = a1 + a24 + a35 + a12345 l 2
= a2 + a14 + a345 + a1235 l 3 = a3 + a15 + a245 + a1234 {16} l 4 =
a 4 + a12 + a235 + a1345 l 5 = a5 + a13 + a234 + a1245 l 23 = a23 +
a 45 + a125 + a134 l 123 = a123 + a25 + a34 + a1453.4 Le pari des
plans fractionnairesD'aprs les relations {13} et {16} un contraste
n'est gal un effet principal que si les interactions avec
lesquelles il est alias sont ngligeables. C'est donc le pari que
l'on fait quand on ralise un plan fractionnaire. On espre que les
interactions sont assez
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faibles pour tre ngliges. A chaque fois que ce sera le cas, on
aura gagn. Mais si l'interaction est forte il faudra faire des
essais supplmentaires pour valuer individuellement l'effet
principal d'un ct et les interactions de l'autre. Le problme qui se
pose toujours est de savoir si un contraste contient ou non une
interaction non ngligeable. C'est le point dlicat de
l'interprtation des plans fractionnaires. On rsout ce problme en
connaissant bien la thorie des aliases et en appliquant
intelligemment les hypothses d'interprtation (paragraphe suivant).
Mais rien n'est ici automatique et l'exprimentateur devra mettre en
uvre son bon sens et les connaissances qu'il a du phnomne tudi.
3.5 Les hypothses d'interprtationTous les plans fractionnaires
posent le mme problme d'interprtation des rsultats. Comme on
n'effectue pas toutes les expriences du plan complet, on ne peut
pas obtenir la valeur de toutes les interactions. Il faut crer soi
mme des informations supplmentaires de remplacement. Ces
informations supplmentaires doivent tre ralistes et compatibles
avec l'tude mene. Elles sont introduites sous forme d'hypothses et
elles demandent tre vrifies avant la conclusion de l'tude. Les
hypothses de travail les plus souvent retenues sont les suivantes :
Hypothse 1 Les interactions d'ordre 3 (interaction entre 3
facteurs) ou d'ordre plus lev sont considres comme ngligeables. On
limine ainsi un grand nombre d'inconnues. Mais attention cette
hypothse peut parfois tre mise en dfaut. Hypothse 2 Si un contraste
est nul, cela peut signifier : - que les effets et les interactions
aliass sont tous nuls. Cest lhypothse est la plus probable et cest
celle que nous retiendrons sous le nom dhypothse 2. - que les
effets et les interactions aliass se compensent. Cette hypothse est
peu probable et nous ne la retiendrons pas. Hypothse 3 Si deux
contrastes sont faibles, on supposera que leur interaction l'est
aussi. Si un contraste est faible et l'autre fort, on supposera que
leur interaction est faible. Hypothse 4 Si deux contrastes sont
forts, on se mfiera de leur interaction qui peut l'tre galement.
Les hypothses prsentes ici sont trs souvent vrifies mais, il arrive
parfois qu'elles soient mises en dfaut. Il est toujours possible
d'en adopter d'autres en fonction du problme trait et des risques
encourus. Pour une bonne analyse des rsultats il est prudent de
toujours bien prciser les hypothses d'interprtation que l'on a
retenues.
3.6 Construction pratique d'un plan fractionnaireOn choisit un
plan complet et l'on crit sa matrice de calcul en omettant la
colonne de signes plus. On appelle cette nouvelle matrice le plan
de base. Dans ce plan de base, on choisit une colonne de signes
correspondant une interaction et on l'attribue un facteur
supplmentaire. Les signes de l'interaction choisie deviennent les
niveaux d'tude (haut et bas) de ce facteur supplmentaire. Revue
MODULAD, 2006 - 88 Numro 34
Dans l'exemple du paragraphe 3.3, on aurait pu aliaser le
facteur 4 (ou le facteur 5) sur une autre interaction, on aurait eu
d'autres points exprimentaux et d'autres aliases. On peut gnraliser
cette mthode et utiliser toutes les colonnes d'un plan de base. Par
exemple sur le plan de base bti sur la matrice de calcul d'un plan
23 on peut tudier sept facteurs. Sur le plan de base d'un plan 24,
on peut tudier jusqu' quinze facteurs.
3.7 Nombre maximum de facteurs tudis sur un plan de baseOn peut
tudier autant de facteurs supplmentaires qu'il y a d'interactions
dans le plan de base. Sur un plan de base 22 il y a une
interaction. On pourra donc tudier 3 facteurs, deux sur les
colonnes 1 et 2, le troisime sur la colonne de l'interaction. Sur
un plan de base 23, il y a quatre interactions. On pourra donc
tudier 7 facteurs. Trois sur les colonnes 1, 2 et 3. Les quatre
autres sur les colonnes d'interaction 12, 13, 23 et 123. Le Tableau
7 indique le nombre maximum de facteurs que l'on peut tudier sur
diffrents plans de base.
Tableau 7 : Nombre maximum de facteurs tudis sur un plan de base
donn Plan de base22 23 24 25 26 27
Nombre de facteurs principaux2 3 4 5 6 7
Nombre d'interactions1 4 11 26 57 120
Nombre maximum de facteurs tudis 3 7 15 31 63 127
3.8 Exemple 2 : Le gteau d'anniversaire 3.8.1 Description de
l'tude La petite Lucie a dcid de confectionner un gteau pour son
anniversaire. Comme la recette n'est pas trs claire et que les
conseils recueillis auprs de la famille sont divergents, Lucie
entreprend de raliser un plan d'expriences pour connatre
l'influence des quantits de produits et de la manire d'oprer
Tableau 8 : Facteurs et domaine d'tude FacteurTemprature (1) Dure
(2) Farine (3) Sucre (4) Oeufs (5) Lucie retient les facteurs
suivants : Revue MODULAD, 2006 - 89 Numro 34
Niveau -1 160 C 35 150 100 2
Niveau + 1 220 C 40 200 150 4
La temprature du four. La dure de cuisson. La quantit de farine.
La quantit de sucre. Le nombre d'ufs. La rponse est la hauteur du
cake mesure en millimtres. Plus, il sera haut meilleur sera le
rsultat. Comme elle ne veut pas prparer 32 gteaux, Lucie dcide
d'excuter un plan factoriel fractionnaire 25-2 en aliasant le
facteur 4 sur l'interaction 123 et le facteur 5 sur l'interaction
13. Ce plan est donn par le Tableau 9 dans lequel figurent galement
les rponses mesures.
Tableau 9 : Plan factoriel fractionnaire 25-2. N essai 1 2 3 4 5
6 7 8 Facteur Facteur Facteur Facteur Facteur 1 2 3 4 = 123 5 =13 +
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + Hauteur56 8 54 10 28 24 26
34
Les contrastes sont obtenus avec un logiciel ou avec le calcul
de Box. On les simplifie en tenant compte des hypothses
d'interprtation (Hypothse 1) :
l 0 = a 0 + a135 + a 245 + a1234 l 1 = a1 + a 35 + a 234 + a1245
l 2 = a 2 + a 45 + a134 + a1235 l 3 = a 3 + a15 + a124 + a 2345 l 4
= a 4 + a 25 + a123 + a1345 l 5 = a 5 + a13 + a 24 + a12345 l 12 =
a12 + a 34 + a 235 + a145 l 14 = a14 + a 23 + a125 + a 345
a0 a1 + a 35 a 2 + a 45 a 3 + a15 a 4 + a 25 a 5 + a 13 + a 24 a
12 + a 34 a 14 + a 23
Les coefficients sont calculs avec la relation {4}, on trouve
:
Revue MODULAD, 2006
- 90 -
Numro 34
l 0 a 0 = 30 l 1 a1 + a 35 = 11 l 2 a 2 + a 45 = 1 l 3 a 3 + a15
= 2 l 4 a 4 + a 25 = 1 l 5 a 5 + a13 + a 24 = 12 l 12 a12 + a 34 =
2 l 14 a14 + a 23 = 1Ces rsultats sont illustrs par Figure 11. On
constate que cinq contrastes sont faibles. D'aprs l'hypothse 2, on
peut conclure que les effets et les interactions aliass dans ces
contrastes sont tous faibles. On peut donc ngliger les facteurs
Dure (2), Farine (3) et Sucre (4).Effets des facteurs sur la
hauteur du gteau20 15 10 5 0 -5 -10 -15 -20 Tp (1) Dure (2) Farine
(3) Sucre (4) ufs (5) 12+34 23+14
Valeur des coefficients
Nom des coefficients
Figure 11 : Diagramme barres des effets.En revanche les
contrastes l 1 et l 5 ne sont pas ngligeables. Il faut donc se
mfier de l'interaction 15 qui pourrait tre forte (Hypothse 4).
Cette interaction est aliase avec le facteur 3 dans le contraste l
3 . Comme ce contraste est faible, l'interaction l'est aussi
(Hypothse 2). On peut donc conclure qu'il y a 2 facteurs influents
sur la hauteur du gteau, la Temprature (1) et le nombre d'oeufs
(5). Il n'y a pas d'interaction entre ces deux facteurs.
Revue MODULAD, 2006
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Hauteur41 30 19
Hauteur42
12 - 1130 18
-1
0
+1
-1
0
+1
160 C
220C
2
4
Temprature (1)
Oeufs (5)
Figure 12 : Effet de la Temprature (1), et du nombre d'oeufs (5)
sur la hauteur du gteau.Si l'on veut un gteau de bonne hauteur, il
faut travailler 160C (niveau bas) et avec 4 ufs (niveau haut).
C'est la recette que la petite Lucie a suivi pour prparer son gteau
d'anniversaire.
4. AUTRES PLANS A DEUX NIVEAUX 4.1 Objectifs des autres plans
deux niveauxLes plans factoriels complets et fractionnaires sont
bass sur des modles mathmatiques du premier degr. Ils couvrent la
plupart des besoins des exprimentateurs lors d'une tude de
dgrossissage. Ce sont eux qui sont employs dans la majorit des cas.
D'autres plans deux niveaux, et bass galement sur un modle
mathmatique du premier degr, ont t mis au point pour rpondre des
situations particulires. Nous examinerons les plans de Koshal, les
plans de Rechtschaffner, les plans de Plackett et Burman, les
Tables de Taguchi et les plans supersaturs.
4.2 Les plans de KoshalLes plans de Koshal [3] sont des plans
qui permettent de dterminer uniquement les effets principaux des
facteurs. On ne peut pas valuer les interactions. Le modle
mathmatique esty = a0 + ai xi {17}
Ces plans, peu connus, sont trs pratiques pour dgrossir un
problme. Ils offrent l'avantage de donner directement l'effet des
facteurs. Ils forment le dbut d'un plan factoriel qu'il est
toujours loisible de complter pour obtenir un plan complet ou
fractionnaire. La Figure 13 illustre un plan de Koshal pour 3
facteurs.
Revue MODULAD, 2006
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Numro 34
x3
+1
D+1
x2C
B A-1 +1
x1
Figure 13 : Plan de Koshal pour trois facteurs. Ces points
forment le dbut d'un plan factoriel complet 23. 4.3 Les plans de
RechtschaffnerLes plans de Rechtschaffner sont des plans factoriels
fractionnaires simplifis qui permettent de dterminer les effets des
facteurs et les interactions d'ordre deux. Toutes les autres
interactions sont supposes nulles avant mme l'exprimentation. Le
modle mathmatique adopt au dpart de l'tude est doncy = a0 + ai xi +
aij x i x j
{18}
Il suffit de choisir un plan fractionnaire de rsolution III pour
obtenir un plan de Rechtschaffner. Mais l'ide de ne dterminer que
les effets principaux et les interactions d'ordre deux a t tendue
par Rechtschaffner aux plans du second degr et aux facteurs prenant
trois niveaux. Ces plans spciaux sont indiqus dans des tables
auxquelles il conviendra de se rfrer en cas de besoin [4].
4.4 Les plans de Plackett et BurmannLes matrices de calcul des
plans de Plackett et Burman [5] sont des matrices d'Hadamard.
C'est--dire des matrices ayant 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36
lignes etc. Elles permettent donc des exprimentations ayant un
nombre d'essais intermdiaire de celui des plans factoriels qui,
eux, ont seulement 2k lignes (4, 8, 16, 32, etc.). Les plans de
Plackett et Burman sont le plus souvent saturs. Le modle
mathmatique est alors un modle sans interaction analogue celui des
plans de Koshal :y = a0 + ai xi
4.5 Les tables de TaguchiLes Tables de Taguchi [6] sont des
plans de Plackett et Burman dans lesquels on a remplac +1 par 1 et
1 par 2. Les noms des plans ont galement t traduits. Le plan 23 est
la Table L8 et le plan 24 est la Table L16. Le plan de 12 essais,
appel Table L12, est un plan de Plackett et Burman. A lorigine ces
plans taient utiliss avec un modle sans interaction. Aujourdhui,
certaines personnes leur appliquent les rsultats et les principes
de la thorie classique. Revue MODULAD, 2006 - 93 Numro 34
La prsentation des plans d'expriences selon les principes de
Taguchi est trs prise dans le domaine de la qualit.
4.6 Les plans sursatursUn plan satur est un plan qui comporte
autant d'essais que de coefficients dterminer dans le modle
mathmatique. Les plans de Rechtschaffner, les plans de Plackett et
Burman et les tables de Taguchi sont souvent des plans saturs. Un
plan sursatur est un plan qui comporte moins d'essais que de
coefficients dterminer dans le modle mathmatique. A ce titre les
plans factoriels fractionnaires peuvent tre considrs comme
sursaturs. Mais, il existe des plans encore plus sursaturs que les
plans factoriels fractionnaires [7]. Ce sont des plans dont les
facteurs principaux sont aliass entre eux. Ces plans sont utiles
lorsqu'il y a beaucoup de facteurs examiner et lorsqu'on est sr que
peu d'entre eux sont influents sur la rponse. Certains plans
proposent ltude de 66 facteurs en 12 essais ou de 272 facteurs en
24 essais. La thorie des aliases est applicable ces plans puisquon
regroupe les coefficients dans des contrastes. Mais l'interprtation
n'est pas toujours facile.
5. PLANS A PLUSIEURS NIVEAUXLes plans deux niveaux sont trs
utiliss parce qu'ils sont conomiques en nombre d'essais. Mais il
n'y a aucune raison de ne pas considrer des plans ayant des
facteurs prenant plus de deux niveaux. Il faut donner chaque
facteur le nombre de niveaux ncessaires aux exigences de l'tude. Il
existe, l aussi, des plans complets et des plans fractionnaires qui
permettent de rduire le nombre des essais malgr l'augmentation du
nombre de niveaux. L'interprtation des rsultats dpend de la nature
des variables. Si les facteurs sont continus, on pourra utiliser un
modle du premier ou du deuxime degr et excuter les calculs avec la
relation {4} en vue de la modlisation. Pour ces variables, il
existe des plans optimiss selon les diffrents critres doptimalit.
On les trouvera dcrits dans les paragraphes consacrs aux plans
factoriels et aux plans pour surfaces de rponse. Si les variables
sont discrtes, il faut employer l'analyse de la variance [8] pour
interprter les rsultats. Pour ces variables, il existe des plans
particuliers tels que les carrs latins, les carrs grco-latins, les
plans de Youden et les plans niveaux mixtes.
5.1 Plans complets trois niveauxS'il y a deux facteurs prenant
chacun trois niveaux, il faut excuter 9 essais. On note ce plan 32.
S'il y a trois facteurs prenant chacun trois niveaux (plan 33), il
faut excuter 27 essais. Ce qui commence faire beaucoup. C'est la
raison pour laquelle on a introduit les plans fractionnaires
correspondants qui portent le nom de carrs latins.
5.2 Carrs latinsLes carrs latins sont des plans pour tudier 3
facteurs prenant chacun 3 niveaux. On ralise 9 essais au lieu de 27
pour le plan complet. Ce sont des plans factionnaire 33-1. La
disposition des points exprimentaux est telle que tous les niveaux
sont reprsents et qu'il n'y a pas de rptition. La Figure 14
illustre un carr latin pour 3 facteurs. Ces plans sont souvent
utiliss pour les variables discrtes et le modle mathmatique est
souvent un modle sans interaction.
Revue MODULAD, 2006
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Numro 34
Facteur 3
Facteur 2 Facteur 1
Figure 14 : Plan en carrs latins. 5.3 Exemple 4 : Etude des
themomtres de prcisionUn exprimentateur dsire s'assurer de la
prcision de ses mesures de temprature. Il possde trois thermomtres
de prcision, trois cellules de mesure et il y a trois oprateurs
diffrents. Pour valuer l'influence de ces trois facteurs sur les
tempratures mesures, l'exprimentateur met en place un carr latin de
9 essais. La rponse est reprsente par les deux derniers chiffres
indiqus par les thermomtres. Linterprtation est base sur lanalyse
de la variance qui donne limportance de chacun des facteurs sur la
rponse. Cette analyse adopte le modle suivant
y =a0 + a1x1 + a 2 x 2 + a3 x3 + eDans ce modle les ai se
dcomposent en trois coefficients lis par une relation. Par exemple,
a1 se dcomposent en trois coefficients reprsentant respectivement
l'influence du thermomtre 1, du thermomtre 2 et du thermomtre 3. La
somme des trois coefficients est toujours nulle.
Tableau 10 : Plan d'expriences du plan en carr latin. N essai1 2
3 4 5 6 7 8 9 0
Thermo mtre 1 0 0 0 + + +1 2
Cellule 2 0 + 0 + 0 +A B
Oprateur 3 0 + 0 + + 0Jean Pierre - 95 -
Rponse36 17 37 38 18 39 37 19 41
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+
3
C
Luc
D'aprs l'analyse de la variance, l'importance des thermomtres
est de : 8,66667 sur les 817,33333 du modle (rponses calcules avec
le modle), soit 1%. L'importance des cellules est de : 806, soit
98,7 %. L'importance des oprateurs est de : 2,66667, soit 0,3
%.
Tableau 11 : Analyse de la variance. Source des
variationsThermomtres Cellules Oprateurs Total (Modle) Rsidus Total
(Rponses mesures)
Somme des carrs8,66667 806 2,66667 817,3333 0,66667 818
ddl2 2 2 6 2 8
Carrs moyens4,333 403 1,333
F de Fisher13 1209 4
Probabilit0,0714 0,0008 0,200
0,3333
Les thermomtres et les oprateurs ont une faible influence sur la
dispersion des tempratures. En revanche, les cellules influencent
considrablement la mesure de la temprature. Suivant la cellule
choisie, on ne trouvera pas la mme valeur de temprature. Lorsqu'on
examine les rsultats des cellules, on constate que les cellules 1
et 3 donnent des rsultats comparables (37 et 39 en moyenne avec des
cart-types respectifs de 0,58 et 1,15), alors que la cellule 2
donne des valeurs trs faibles (moyenne 18 avec un cart-type de
0,58). Il apparat que la cellule 2 comporte un dfaut qui la rend
impropre faire des mesures de prcision.
5.4 Carrs grco-latinsLes carrs grco-latins sont des plans de 16
essais permettant d'tudier 4 facteurs ayant chacun 4 niveaux. Ce
sont des plans 44-2. L'emplacement des points exprimentaux est tel
que la matrice de calcul est orthogonale. Ces plans sont utiliss
pour les variables discrtes et le modle mathmatique est un modle
avec ou sans interaction d'ordre 2.
5.5 Carrs de YoudenYouden [9] a dvelopp des plans pour deux
variables discrtes prenant plus de quatre niveaux. Le principe est
analogue celui des carrs latins. On rduit le nombre des essais en
retirant des points au plan complet. Ces plans sont souvent utiliss
pour les variables discrtes. Ils ont servi galement de base
l'tablissement de plans pour simulations numriques.
5.6 Plans niveaux mixtesIl y a autant de facteurs que l'on veut
et chaque facteur prend le nombre de niveaux ncessaires la bonne
excution de l'tude. Par exemple, un facteur peut prendre 3 Revue
MODULAD, 2006 - 96 Numro 34
niveaux, un autre 4 niveaux et un troisime 6. Ces plans sont trs
utiliss pour les variables discrtes.
6. LES PLANS POUR SURFACES DE REPONSELes plans du second degr ou
plans pour surfaces de rponse [10] permettent d'tablir des modles
mathmatiques du second degr. Ils sont utiliss pour les variables
continues. Pour deux facteurs, on a2 2 y = a0 + a1 x1 + a 2 x 2 +
a12 x1 x2 + a11 x1 + a 22 x 2 + e {19}
Ces plans sont utiles chaque fois que l'on se trouve prs d'un
maximum ou d'un minimum. La thorie dveloppe au cours de la premire
partie de cet article s'applique ces plans. A la fin des essais, on
a un systme d'quations dont les coefficients sont obtenus grce la
relation {4} a = ( X ' X )-1 X ' y Il existe plusieurs types de
plans du second degr dont les principaux sont dcrits cidessous.6.1
Les plans composites
Un plan composite est constitu de trois parties : 1. Un plan
factoriel dont les facteurs prennent deux niveaux. 2. Au moins un
point exprimental situ au centre du domaine dtude. 3. Des points
axiaux. Ces points exprimentaux sont situs sur les axes de chacun
des facteurs. La Figure 15 reprsente un plan composite pour deux
facteurs. Les points A, B, C et D sont les points exprimentaux d'un
plan 22. Le point E est le point central. Ce point peut avoir t
rpliqu une ou plusieurs fois. Les points F, G, H et I sont les
points axiaux. Ces quatre derniers points forment ce que l'on
appelle le plan en toile. On ralise 9 essais et 6 coefficients
doivent tre dtermins. Il faut donc rsoudre un systme de 9 quations
6 inconnues.
I C
+ D
+1
F
1E
+1
G
+
1A H
B
Figure 15 : Plan composite pour deux facteurs.
Revue MODULAD, 2006
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Numro 34
Les coordonnes des points en toile dpendent du critre
d'optimalit choisi (annexe 2). En gnral, on retient le critre de
presque orthogonalit ou le critre d'isovariance par rotation. Les
plans composites prennent facilement la suite d'un premier plan
factoriel dont les rsultats sont insuffisamment expliqus par un
modle du premier degr. Il suffit d'effectuer les expriences
correspondant aux points en toile et de faire les calculs sur
l'ensemble de toutes les expriences. Les plans composites sont
parfaitement adapts une acquisition progressive des rsultats.6.2
Exemple 5 : Optimisation d'un produit collant
On dsire optimiser la formulation d'un produit lgrement collant.
En effet, il s'agit de maintenir une simple cohsion entre les fils
d'une bobine pendant qu'on la droule. La colle est un mlange de
rsine silicone et de tension actifs dans du xylne. Les facteurs
sont la masse de tension actif et la masse de rsine silicone.
Facteur 1 : La masse de tensio actif. Facteur 2 : La masse de rsine
silicone. Les rponses sont la force de collage et la rgularit du
collage. Les objectifs sont Force de collage : entre 1,6 et 2.
Rgularit : suprieure 5. Tableau 12 : Le produit collant. Domaine
d'tudeFacteur Niveau Niveau Niveau Niveau Niveau -1 0 +1 + 1,21
1,21 0,229 0,250 0,350 0,450 0,471 0.007 0,010 0,025 0,040
0,043
Tensio actif (1) Rsine silicone (2)
Lexprimentateur ralise un plan composite avec 4 points au centre
du domaine d'tude et choisit = 1,21 pour respecter le critre de
presque orthogonalit. Les rsultats des essais sont rassembls dans
le Tableau 13. Tableau 13 : Le produit faiblement collant. Plan
d'expriences et rsultats.N Essai TA 1 1 +1 1 +1 0 0 1,21 + 1,21 0 0
0 0 Rsine 2 1 1 +1 +1 0 0 0 0 1,21 + 1,21 0 0 Force Rgularit
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1,4 0,2 0,8 0,2 1,4 1,6 0,4 1 1,1 1,2 1,6 1,8
4,2 1,6 4,6 2,4 4,8 5,1 3,3 4,3 4,2 3,2 5 5,2 Numro 34
Revue MODULAD, 2006
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Niveau 1 Niveau 0 Niveau + 1
0,250 0,350 0,450
0,010 0,025 0,040
Les rsultats de ce plan sont rsums dans les modles mathmatiques2
yForce = 1,6 + 0,36x1 0,10x2 + 0,15x1 x2 0,62 x12 0,31x22 yRgularit
= 5,03 0,87 x1 0,35x2 + 0,10 x1 x2 0,87 x12 0,94 x2
Ces modles permettent de tracer les courbes isorponses sur un
mme graphique (Figure 16) et de dlimiter les zones d'intrt.10,8
1
1
0,5
1,2
0,5
rgularit
resine
0
Force
resine
0
-0,51,4
1,6
-0,54,5 0,4 3
-1 -1 -0,5 0 tensio actif 0,5
0,6
-1 1 -1
4
3,5
2,5 2
-0,5
0 tensio actif
0,5
1
Figure 16 : Courbes d'isorponses pour la force ( gauche) et pour
la rgularit ( droite). Les zones grises ne respectent pas les
objectifs fixs. La Figure 17 indique la zone o les deux exigences
sont respectes. Si on choisit de se mettre au milieu de cette zone
on trouve une composition rpondant parfaitement aux objectifs de
l'tude : Tensio actif : 0,315 Rsine : 0,024
Revue MODULAD, 2006
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0,04 0,035rgularit
0,03 Resine 0,025 0,02 0,015 0,01 0,25 0,3 0,35 Tensio actif 0,4
0,45Force
Figure 17 : La zone claire indique la rgion o les deux objectifs
sont respects. Avant de prconiser cette composition pour la colle,
il est prudent de faire une ou deux expriences de confirmation.
C'est ce qui a t fait et les prvisions ont t confirmes.6.3 Les
plans de Doehlert
La caractristique principale des plans de Doehlert [11] est
d'avoir une rpartition uniforme des points exprimentaux dans
l'espace exprimental. La Figure 18 donne la disposition de ces
points pour un plan deux facteurs (essais 1 7). Tous les points
sont la mme distance du centre du domaine d'tude et sont situs sur
le cercle trigonomtrique. Ils forment un hexagone rgulier.
x
2
4
+ 0,866
3
10
5-1
-1- 0,5
1
+1+ 0,5
2+1
9+2
x
1
6
- 0,866
7
8
Figure 18 : Plan de Doehlert. Les points 1 7 illustrent un
premier plan de Doehlert. Les trois points 8, 9 et 10 illustrent
les expriences supplmentaires. Les points 2, 7, 8, 9, 10, 3 et 1
illustrent un deuxime plan de Doehlert. Si l'exprimentateur dsire
explorer le domaine exprimental, il peut facilement ajouter des
points d'expriences supplmentaires et retrouver une disposition
Revue MODULAD, 2006 - 100 Numro 34
identique celle de dpart. La Figure 18 montre qu'avec trois
points d'expriences supplmentaires (essais 8, 9 et 10), on peut
obtenir un nouveau plan de Doehlert (essais 2, 7, 8, 9, 10, 3 et
1). Ce type de plans existe pour un nombre quelconque de
facteurs.6.4 Les plans de Box-Behnken
Les points exprimentaux sont au milieu des artes de chacun des
cts du cube (Figure 19). Ce plan comporte douze essais auxquels on
peut ajouter un (ou plusieurs) point central. La matrice du Tableau
14 indique ces douze essais accompagns d'un seul point central.
Dans la pratique on ralise souvent 3 ou 4 points au centre. Les
plans de Box-Behnken [12] rpondent un critre d'optimisation
particulier : l'erreur de prvision des rponses est la mme pour tous
les points d'une sphre (ou une hyper sphre) centre l'origine du
domaine exprimental. C'est le critre disovariance par rotation. Le
plus connu des plans de Box-Behnken est celui qui permet d'tudier
trois facteurs.11 12 10 8 9 7 13 6 3 4 2 1
Facteur 3
5
Facteur 2
Facteur 1
Figure 19 : Plan de Box- Behnken pour trois facteurs. Tableau 14
: Plan de Box- Behnken pour 3 facteursn essai 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 Facteur 1 0 +1 0 -1 -1 +1 +1 -1 0 +1 0 -1 0 Facteur 2 -1 0
+1 0 -1 -1 +1 +1 -1 0 +1 0 0 Facteur 3 -1 -1 -1 -1 0 0 0 0 +1 +1 +1
+1 0
Revue MODULAD, 2006
- 101 -
Numro 34
6.5 Les plans hybrides
Les plans hybrides ont t mis au point par Roquemore [13]. Leur
objectif est d'essayer d'approcher deux critres d'optimalit, celui
d'orthogonalit et celui d'isovariance par rotation. L'orthogonalit
garantie la meilleure prcision possible sur les coefficients du
modle et l'isovariance par rotation conduit des erreurs de
prvisions identiques une mme distance du centre du domaine. Si
l'exprimentateur recherche ces deux proprits, il doit penser
utiliser un plan hybride. Les plans hybrides se dsignent de la
manire suivante : on indique le nombre de facteurs, puis le nombre
de points exprimentaux dont un seul point central, enfin une lettre
pour distinguer deux plans ayant le mme nombre de facteurs et le
mme nombre de points exprimentaux. Par exemple, il existe le plan
311A et le plan 311B qui permettent d'tudier 3 facteurs en onze
essais. Le Tableau 15 indique le plan hybride 311B. Tableau 15 :
Plan hybride 311Bn essai Facteur 1 Facteur 2 Facteur 3 2,449 -
2,449 +1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0 0 - 0,751 2,106 0,751 - 2,106 0,751 2,106 - 0,751 - 2,106
0
0 0 2,106 0,751 - 2,106 - 0,751 2,106 - 0,751 - 2,106 0,751
0
Les autres plans hybrides sont les plans 310, 416A, 416B, 416C
ou 628A.6.6 Les plans de Mozzo
Les plans de Mozzo [14] prsentent deux avantages : Ils sont
squentiels et le nombre de niveaux dtude est restreint. On peut
commencer par tudier deux facteurs en trois essais. Puis, si l'on
dsire tudier un troisime facteur, il suffit de raliser trois essais
supplmentaires. Douze essais permettent dtudier quatre facteurs.
Les plans de Mozzo ne permettent pas tous d'tablir un modle du
second degr. Il faut alors avoir recours aux plans quadratiques
gigognes de Mozzo.
Revue MODULAD, 2006
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Numro 34
Tableau 16 : Plans de Mozzo pour 2, 3 ou 4 facteursn essai 1 2 3
4 5 6 7 8 9 10 11 12 Facteur 1 0,268 0,732 -1 - 0,268 - 0,732 +1 -
0,268 - 0,732 +1 0,268 0,732 -1 Facteur 2 +1 - 0,732 - 0,268 -1
0,732 0,268 -1 0,732 0,268 +1 - 0,732 - 0,268 Facteur 3 -1 -1 -1 +1
+1 +1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 Facteur 4 -1 -1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 +1
+1
6.7 Les plans de Rechtschaffner pour le second degr
Les plans de Rechtschaffner permettant d'tablir un modle du
second degr sont des plans saturs. S'il y a k facteurs, il faut
effectuer un nombre, n, d'essais gal 1 n = (2 + 3k + k 2 ) {20} 2
La construction de ces plans est indique dans l'article original
[4].6.8 Les plans de D-optimaux
Les contraintes exprimentales ne permettent pas toujours d'tre
dans les conditions idales des plans dexpriences prcdemment dcrits.
Par exemple, les rglages de l'appareil ne permettent pas
d'atteindre les niveaux prconiss par la thorie ou des combinaisons
de niveaux peuvent se rvler dangereuses : raction explosive pour
les chimistes, concentration toxique pour les mdecins, etc. Dans
cette situation, il est extrmement commode d'utiliser les plans
D-optimaux. Le choix de l'emplacement des points exprimentaux
ncessite alors un logiciel de plans d'expriences. Il suffit de
prciser le nombre d'expriences que l'on dsire effectuer et le modle
a priori. Le logiciel calcule alors, grce un algorithme d'change,
le plan le mieux adapt l'tude.6.9 Les plans non conventionnels et
leur ventuelle rparation
Il peut arriver que lon soit en possession dune srie de rsultats
exprimentaux qui nont pas t obtenus selon un plan dexpriences. Dans
ce cas, il a t montr [15] que lon peut utiliser ces rsultats
moyennant certaines prcautions. Si la position des essais ne
s'loigne pas trop des plans classiques, les erreurs sur les
coefficients du modle sont faibles et les rponses prdites sont,
dans la plupart des cas, tout fait acceptables.
Revue MODULAD, 2006
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Numro 34
Facteur 2
Facteur 1
Figure 20 : Exemple de plan non conventionnel. Si la position
des essais s'loigne des plans classiques, les erreurs sur les
coefficients peuvent tre importantes et on ne pourra pas utiliser
le modle pour faire des prvisions. Dans ce dernier cas il est
possible de rparer lexprimentation en faisant de nouveaux essais
bien placs par rapport ceux qui avaient t dj raliss. Les calculs
ncessaires au choix de ces nouveaux points sont prvus dans les bons
logiciels de plans d'expriences.7. LES PLANS DE MELANGES
Les facteurs d'tude des plans de mlanges sont les proportions
des constituants du mlange [16]. Or, ces constituants ne sont pas
indpendants les uns des autres. La somme des proportions d'un
mlange est toujours gale 100%. Le pourcentage du dernier
constituant est impos par la somme des pourcentages des premiers
composs. C'est la raison pour laquelle les plans de mlanges sont
traits part. Les plans de mlanges sont aussi caractriss par de
nombreuses contraintes qui peuvent peser sur le choix des
proportions des constituants. Par exemple, la concentration d'un
produit doit tre au moins de x pour-cent ou cette concentration ne
peut excder une valeur donne. En fonction de ces contraintes la
planification de l'tude est modifie et elle doit tre adapte chaque
cas. Les plans de mlanges ont d'abord t tudis par des amricains
(Claringbold, Sheff, Cornell [17], Snee, Marquadt, Crozier,
etc.).7.1 La contrainte fondamentale des mlanges
Si l'on note par xi la teneur en constituant i, la somme des
teneurs de tous les constituants du mlange satisfait la relation :i
=n
x i = 100 %i =1
{21}
Si, au lieu d'utiliser les pourcentages, on ramne la somme des
teneurs des diffrents constituants l'unit on a :i =n
xi = 1i =1
{22}
Cette relation s'appelle la contrainte fondamentale des mlanges.
Les reprsentations gomtriques des plans de mlanges sont diffrentes
de celles Revue MODULAD, 2006 - 104 Numro 34
utilises pour les plans d'expriences classiques et les modles
mathmatiques sont eux aussi profondment modifis.7.2 Reprsentation
gomtrique des mlanges
On utilise un triangle quilatral pour reprsenter les mlanges
trois composants. Les produits purs sont aux sommets du triangle
quilatral. Les mlanges binaires sont reprsents par les cots du
triangle. Par exemple, le ct gauche du triangle (Figure 21)
reprsente les mlanges composs uniquement des produits A et B.A1,00
0,00
Echelle produit A0,50
0,25 0,75 0,50
Echelle produit C
xa0,25
Mlange
c
x
c0,75
a0,75 0,50
M0,25
0,00
bx b
1,00 0,00
B
1,00
C
Echelle produit B
Figure 21 : Reprsentation des mlanges trois constituants sur un
triangle quilatral. Un point de la surface intrieure du triangle
quilatral reprsente un mlange tertiaire. Les compositions de chaque
produit se lisent sur les cts du triangle. Les proprits gomtriques
du triangle quilatral assurent que la contrainte fondamentale des
mlanges est bien respecte. La reprsentation des mlanges quatre
constituants est un ttradre rgulier (Figure 22). S'il y a plus de
quatre constituants, il faut faire appel des hyperpolydres
rguliers.Produit D
Mlange Produit C Produit A Produit B
Figure 22 : Reprsentation des mlanges quatre constituants par un
ttradre rgulier.
Revue MODULAD, 2006
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Numro 34
7.3 Emplacement des points exprimentaux
Il existe plusieurs manires de disposer les points exprimentaux
dans le domaine d'tude : Plans de mlanges en rseaux (Simplex
lattice designs), plans de mlanges centrs (Simplex-Centroid
Designs), plans de mlanges centrs augments (Augmented
Simplex-Centroid Designs).A 1 A 1 A 1
4
6
4 7
6
4
8
6
7 B 2 5 3 C 9 B 2 5 3 C B 2 5 10 3 C
Figure 23 : Plan de mlanges en rseaux ( gauche), plan de mlanges
centrs (au milieu), plan de mlanges centrs augments ( droite).7.4
Modles mathmatiques des mlanges
La contrainte fondamentale des mlanges fait disparatre la
constante et les termes du second degr se rduisent aux termes
rectangles. Pour trois composants, le modle du premier degr est
donc : y = b1 x1 + b2 x2 + b3 x3 {23} et pour le second degr : y =
b1 x1 + b2 x2 + b3 x3 + b12 x1 x2 + b13 x1 x3 + b23 x2 x3 {24}
On est souvent amen utiliser des modles de degr suprieur, trois
et mme parfois quatre si les surfaces de rponses sont compliques.
Plus le degr du modle est lev, plus il faut raliser de points
d'expriences pour pouvoir dterminer tous les coefficients. Ces
coefficients sont calculs partir de la relation de rgression : b =
( X ' X )-1 X ' y {25}
Les mlanges sont galement caractriss par des contraintes :
contraintes basses, contraintes hautes ou contraintes
relationnelles. 7.5 Basses teneurs interdites La concentration d'un
ou de plusieurs constituants ne peut pas tre infrieure une valeur
donne. Dans ce cas le domaine d'tude est rduit (Figure 24) mais la
forme du domaine reste la mme : un triangle quilatral. La position
des points d'expriences se dduit des plans de mlanges classiques
prcdents.
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A1 0
L3
Zone autorise Zone interditeL1
0
1 1
B
C
L2
0
Figure 24 : Les limites infrieures de tous les produits
dlimitent deux zones : la zone interdite (zone ombre) et la zone
autorise qui la mme forme gomtrique que le domaine d'tude initial.
7.6 Hautes teneurs interdites La concentration d'un ou plusieurs
constituants ne peut pas tre suprieure une valeur donne. Dans ce
cas le domaine d'tude est rduit (Figure 25) mais la forme du
domaine est compltement modifie, ce n'est plus un triangle, c'est
un polygone. Pour les plans ayant plus de trois facteurs, le
domaine d'tude est un hyperpolydre.A
Zone interditeU1
Zone autorise
Zone interditeU3
B
C U2
Figure 25 : Les limites suprieures de tous les produits dcoupent
le domaine initial en plusieurs zones : les zones interdites (zones
ombres) et la zone autorise. 7.7 Hautes et basses teneurs
interdites Les proportions d'un ou de plusieurs constituants
peuvent tre soumises des contraintes infrieures et suprieures. Pour
un composant, le triangle des compositions est divis en trois zones
: la zone interdite par la limite basse, la zone interdite par la
limite haute et, entre les deux, la zone autorise. Chaque composant
peut avoir des limites hautes et basses. Illustrons cette situation
pour trois composants (Figure 26), la forme initiale du triangle
quilatral n'est pas conserve.
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A L3
Zone autoriseU3 U1 L1 C
Zone interdite
B
U2
L2
Figure 26 : Des limites basses et hautes dlimitent un domaine
d'tude polygonal. Pour trouver le meilleur emplacement des points
exprimentaux, il faut disposer un grand nombre de points
d'expriences, les points candidats, sur le domaine d'tude. Ces
points candidats sont souvent aux sommets, au milieu des artes, aux
centres des faces et au centre de gravit du polygone. Quand il y a
beaucoup de constituants le calcul du nombre et de l'emplacement
des sommets, des milieux d'artes et des centres des faces est trs
compliqu. Il faut un logiciel adapt pour faire ces calculs. Le
choix des points les plus utiles parmi les points candidats
ncessite aussi un logiciel adapt aux plans d'expriences. 7.8
Contraintes relationnelles Deux autres types de contraintes se
rencontrent dans l'tude des mlanges. Il s'agit soit de conserver un
rapport constant entre les proportions de deux constituants, soit
de respecter une relation d'addition entre les proportions de deux
ou de plusieurs constituantsx1 x = constante ou k1 1 k 2 x2 x2x1 +
x 2 = constante ou k 3 x1 + x 2 k 4
Ces nouvelles contraintes entranent de nouvelles restrictions
sur le domaine d'tude et modifient l'emplacement des points
d'exprimentation.
7.9 Exemple 6 : Contrainte de rapport constantDans un mlange
trois constituants, les teneurs en A et B doivent respecter la
relation x 1 b 1,2 {26} xa Les points qui satisfont xb = xa sont
sur une droite qui passe par le sommet C (constituant C pur) et
aboutit sur le ct AB une valeur gale au rapport constant r1 = 0,50.
Les points qui satisfont l'ingalit xa xb sont les points situs sous
la droite DC. Les points qui satisfont l'ingalit xb 1,2 xa sont les
points situs au-dessus de la droite EC. La zone autorise est le
biseau ECD comme l'indique la Figure 27.
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A
Zone autoriseD E
Zone interdite
B
C
Figure 27 : Reprsentation de la zone autorise (zone non hachure)
par les contraintes relationnelles. S'il y avait plus de trois
constituants, le rapport constant serait reprsent par un plan ou un
hyper plan qui passerait par les autres sommets. Dans le cas de
trois constituants, on remarque que la droite reprsentative d'un
rapport constant entre deux constituants passe par le troisime
constituant. On a l un moyen simple pour tudier l'volution d'une
proprit prs d'un mlange de rfrence (point M de la Figure 28).A
M1
MM2
M3
B
C
Figure 28 : Plan de Koshal adapt aux mlanges. Il suffit
d'ajouter une certaine quantit d'un produit pur au mlange M. On
obtient un mlange (M1, M2 ou M3 suivant le produit pur ajout) qui
se situe sur l'une des droites MA, MB ou MC. On peut considrer
l'ensemble de ces points comme un plan de Koshal adapt aux mlanges.
On obtient ainsi l'influence de chaque constituant sur le mlange de
rfrence M.
7.10 Exemple 7 : Contrainte de somme constanteDans un mlange
trois constituants, les teneurs en A et B doivent respecter la
relationxa + xb 0,8
{27}
l'galit s'critxb = xa + 0,8
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Les points de coordonnes xa et xb sont sur une droite qui passe
par le point D (xa = 0 et xb = 0,8) et par le point E (xa = 0,8 et
xb = 0) comme le montre la Figure 29.A
Zone autoriseE
Zone interdite
B
C D
. Figure 29 : Reprsentation de la zone satisfaisant la
contrainte introduite par la somme constante entre les compositions
des deux constituants A et B. Lorsque le nombre de constituants
augmente la reprsentation d'une somme constante est un plan ou un
hyperplan.
7.11 Plans de mlange et plan d'expriencesIl est tout fait
possible de traiter la fois des variables de mlanges (les
proportions des constituants) et des facteurs de plan d'expriences.
Pour illustrer cette situation on peut prendre l'exemple d'un
fabricant de chocolat. L'tude de la composition du chocolat donne
lieu un plan de mlanges et les conditions de prparation donnent
lieu un plan d'expriences factoriel ou du second degr. A chaque
point d'expriences du plan factoriel, il faut raliser un plan de
mlanges. On a donc rapidement un grand nombre d'essais raliser
puisqu'il faut faire np essais si le plan de mlange n essais et le
plan d'expriences p essais.
Facteur 2
Facteur 1
Revue MODULAD, 2006
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Numro 34
Figure 30 : Reprsentation de l'tude d'un mlange trois
constituants soumis deux facteurs.
8. LES PLANS BOOLEENSIl nest pas toujours possible dexploiter
les rsultats dun plan dexpriences avec les outils classiques :
rgression multilinaire pour les variables continues ou analyse de
la variance pour les variables discrtes. Si les facteurs dtude sont
des variables boolennes, cest--dire ne prenant que deux valeurs, il
faut trouver la fonction boolenne, ne prenant elle-mme que deux
valeurs, en fonction des valeurs des variables. Les plans boolens
[18] ressemblent aux plans factoriels deux niveaux mais
linterprtation mathmatique est compltement diffrente puisque la
nature des variables est diffrente. Chaque essai permet de connatre
la valeur dun minterm (ou dun maxterm). Lensemble de tous les
minterms donne la forme canonique de la fonction cherche. La forme
canonique est ensuite simplifie grce lune des mthode classiques de
simplification des fonctions boolennes (Mthode de Veitch, Harvard
ou Quine).
9. LES PLANS POUR SIMULATIONS NUMERIQUESLorsque les
exprimentations sont coteuses, il arrive de plus en plus frquemment
que l'on tudie d'abord les phnomnes l'aide de simulations
numriques. Les calculs sont souvent complexes et ncessitent des
temps de calcul trs longs. Il est alors avantageux d'organiser les
simulations de la mme manire que les essais des plans d'expriences.
Mais deux particularits des calculs numriques doivent tre prises en
compte. La premire est l'absence d'erreur exprimentale et la
seconde est la complexit des modles a priori permettant
l'interprtation des rsultats. Au paragraphe 1.3, nous avons signal
l'introduction de deux complments au modle mathmatique a priori :
le manque d'ajustement, , et l'erreur exprimentale, . Dans le cas
des simulations numriques, il n'y a pas d'erreur exprimentale. Le
seul complment est le manque d'ajustement. On modlise le manque
d'ajustement de telle manire que la surface de rponse passe par
tous les points de simulation. On appelle cette opration le
krigeage. Le modle des simulations numriques comporte donc une
premire partie expliquant la forme gnrale et moyenne de la surface
de rponse et une seconde partie expliquant les rponses aux points
de simulation. La premire partie est obtenue par les techniques
classiques de la rgression. La seconde partie est modlise par
diffrentes fonctions mathmatiques dont les principales sont des
fonctions gaussiennes ou des fonctions de corrlations. L'objectif
de ces fonctions est de dformer la surface de rponse pour qu'elle
passe par la valeur des rponses aux points de simulation. En ce qui
concerne la disposition des points de simulation dans l'espace
exprimental, on ne cherche plus minimiser l'erreur sur les
coefficients du modle mais obtenir une allure gnrale de la surface
de rponse. Les points de simulation sont rpartis de faon rgulire
dans l'espace exprimental ce qui permet de faire des modlisations
particulires et adaptes pour des zones diffrentes du domaine
.d'tude.
10. LES LOGICIELS DE PLANS D'EXPERIENCESLa construction des
plans d'expriences est souvent facile et il suffit de choisir parmi
les matrices dj publies. Mais, il importe que le plan soit adapt
l'tude et non Revue MODULAD, 2006 - 111 Numro 34
pas l'inverse. Il y a donc des situations ou il faut absolument
tailler un plan sur mesure. Les logiciels de plan d'expriences [19]
possdent des bibliothques de plans classiques et ils permettent
aussi de construire les plans sur mesures. En particulier, les
plans de mlanges et les plans avec contraintes sur le domaine
d'tude ncessitent l'usage d'un logiciel pour construire le plan le
mieux adapt l'tude. On peut raliser le calcul des coefficients avec
un tableur [20], mais cela ncessite de la programmation et du
temps. Il est donc prfrable d'utiliser un logiciel adapt qui
effectue non seulement le calcul des coefficients mais aussi tous
les calculs statistiques permettant d'valuer la qualit du modle
mathmatique (Coefficient de dtermination, carts-types des rponses
et des coefficients, p-value, etc.). Les logiciels de plans
d'expriences sont aussi programms pour calculer des rponses dans
tout le domaine d'tude, pour effectuer les analyses de variance,
pour tracer des courbes d'isorponses, pour construire les surfaces
de rponse et pour dterminer les zones d'intrt. Cet ensemble de
possibilits permet d'effectuer rapidement de multiples analyses et
de regarder ses donnes sous tous les angles. On arrive ainsi
extraire, en peu de temps, toute l'information prsente dans les
rsultats d'un plan d'expriences. Les logiciels de plans
d'expriences sont devenus des outils absolument indispensables pour
la construction de plans complexes et l'interprtation approfondie
des rsultats du plan. Nous indiquons ci-dessous les principaux
logiciels de plans d'expriences et les sites internet
correspondants. Quelques uns d'entre eux mettent disposition des
personnes intresses des versions de dmonstration et certains des
versions compltes simplement limites dans le temps. Tableau 17 :
Principaux logiciels de plans d'expriences. JMP Minitab Statistica
Statgraphics Unscrambler Pirouette Modde
http://www.jmpdiscovery.com http://www.minitab.fr
http://www.intesoft.com/produits/tech/statistica
http://www.sigmaplus.fr http://www.camo.no
http://www.infometrix.com http://www.umetrics.com
11. COMMENT S'INITIER AUX PLANS D'EXPERIENCES ?Si vous avez
envie de vous lancer dans l'utilisation des plans d'expriences,
vous pouvez facilement vous initier cette technique en faisant
l'acquisition d'un livre d'introduction aux plans d'expriences [1].
Ce n'est pas cher et c'est aussi le moyen de bien vous rendre
compte de l'intrt de cette technique. Si vous connaissez un peu les
plans d'expriences et si vous dsirez vous perfectionner, la rfrence
[21] est faite pour vous.
Revue MODULAD, 2006
- 112 -
Numro 34
12. BIBLIOGRAPHIE[1] GOUPY Jacques Introduction aux Plans
d'expriences. Dunod. Paris. 303 pages. (2001). [2] BOX George.E. P.
, HUNTER William G. , HUNTER J. Stuart Statistics for Experimenters
deuxime dition. John Wiley and Sons. New-York. 633 pages. (2005).
[3] KOSHAL R. S. Application of the method of maximum likehood to
the improvement of curves fitted by the method of moments Journal
of Royal Statistic Soc A96 303-313. (1933). [4] RECHTSCHAFFNER R.
L. Satured Fractions of 2n and 3 Factorial Designs. Technometrics,
vol. 9. (1967). 569-575. [5] PLACKETT R. L. and BURMAN J. P. The
design of optimum multifactorial experiments. Biometrika, n33.
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la mthode Taguchi. Les Editions d'organisation. Paris. 224 pages.
(1992). [7] BOOTH Kathleen H. V. and COX D. R. Some Systematic
Supersatured Designs. Technometrics, vol. 4. (1962). 489-496. [8]
POIRIER Jacques Analyse de la variance et de la rgression. Plans
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R260, p. 1-23. (1993). [9] YOUDEN W.J. Statistical Methods for
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GOUPY Jacques Plans dexpriences pour surfaces de rponse . Dunod.
Paris. 409 pages. (1999). ISBN 2 10 003993 8. [11] DOEHLERT David
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[13] ROQUEMORE K. G. Hybrid Designs for Quadratic Response Surfaces
Technometrics, vol. 18, n4. (1976). 419-423. [14] MOZZO Gil Plan
quadratique Gigogne. Revue de statistique applique, vol. 38 (3),
p.23-34. (1990). [15] GOUPY Jacques Plans d'expriences non
conventionnels. Thorie et applications (ou comment sauver un plan
rat) . Analusis. 23 152-158. (1995). [16] GOUPY Jacques. "Plans
d'expriences : les mlanges". Dunod. Paris. 285 pages. (2000). ISBN
2 10 004218 1. [17] CORNELL John A Experiment with Mixtures John
Wiley and Sons. NewYork. (1981). [18] GOUPY Jacques Boolean
Experimental Designs. Analusis vol 28, n7. 563-570. (2000). [19]
GOUPY Jacques. "Plans d'expriences". Techniques de l'ingnieur.
Trait Analyse Chimique et Caractrisation, P230, p. 1-20. (1992).
[20] MORINEAU Alain et CHATELIN Yves-Marie "Lanalyse statistique
des donnes. Apprendre, comprendre et raliser avec Excel. Ellipses ,
(2005). [21] GOUPY Jacques. "Pratiquer les Plans d'Expriences".
Dunod. Paris. 560 pages. (2005). Revue MODULAD, 2006 - 113 Numro
34
Annexe 1Les coordonnes centres rduites
Lorsqu'on attribue la valeur - 1 au niveau bas d'un facteur et
la valeur +1 au niveau haut, on effectue deux modifications
importantes : 1. On change l'unit de mesure. Par exemple, si le
niveau bas d'un facteur est 10C et le niveau haut 30C, il y a 20C
entre ces deux valeurs, soit 20 fois l'unit de temprature. Entre -1
et +1 il y a deux units nouvelles. La nouvelle unit vaut 10C, on
lui donne le nom de Pas. 2. On dplace l'origine des mesures. Dans
l'exemple choisi, le milieu de l'intervalle [-1 +1 ] correspond une
temprature de 30C. La nouvelle origine, note zro, diffre donc de
l'origine exprime en unit courante. Ces deux modifications
entranent l'introduction de nouvelles variables que l'on appelle
variables centres rduites (v.c.r.) ou units codes. Centres pour
indiquer le changement d'origine et rduites pour signaler la
nouvelle unit. Le passage des variables d'origine, A, aux variables
centres rduites, x, et inversement, est donn par la formule
suivante (A0 est la valeur centrale en units courantes) : A - A0
Pas L'intrt des v.c.r. est de pouvoir prsenter les plans
d'expriences de la mme manire quels que soient les domaines d'tude
retenus et quels que soient les facteurs. La thorie des Plans
d'Expriences prsente ainsi une grande gnralit. x=
Revue MODULAD, 2006
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Numro 34
Annexe 2Les critres d'optimalit
Les statisticiens ont tabli la formule qui donne l'erreur sur
les coefficients du modle lorsqu'on a une estimation du rsidu.
Cette formule, sous sa forme la plus simple, est la suivante.
V (a) = r2 ( X ' X) 1
{28}
C'est--dire que les variances des coefficients sont gales la
variance du rsidu, 2 , multiplie par la matrice de dispersion. Les
variances des coefficients sont les r termes diagonaux de la
matrice V ( a ) On obtient ces variances par identification.
Suivant les objectifs de l'tude, les meilleurs emplacements des
points exprimentaux dans le domaine d'tude ne sont pas les mmes. En
effet, la disposition optimale des points exprimentaux dpend de
plusieurs choix effectus par l'exprimentateur, choix qui dpendent
eux-mmes des caractristiques de l'tude et des objectifs atteindre.
Ces choix dpendent d'abord du domaine d'tude et du modle retenu a
priori par l'exprimentateur. Ils dpendent ensuite d'un critre
d'optimalit. Les principaux critres d'optimalit sont les suivants :
Critre de O-optimalit La matrice de calcul X est une matrice
orthogonale d'Hadamard. Il en rsulte que la matrice ( X ' X) 1 est
une matrice diagonale. Seuls les termes diagonaux de cette matrice
sont diffrents de zro et l'on dmontre que la variance des
coefficients est la plus faible possible. Critre de
presqu'orthogonalit Si la sous-matrice obtenue en retirant la
premire ligne et la premire colonne de la matrice ( X ' X) 1 est
diagonale, le critre de presqu'orthogonalit est respect.
Critre de D-optimalit Si l'on veut la plus petite variance
possible sur l'ensemble des coefficients, il faut que les termes
diagonaux de la matrice de dispersion soient eux-mmes les plus
petits possibles. On obtient ce rsultat en maximisant le dterminant
de la matrice X ' X . Le critre correspondant s'appelle le critre
de D-optimalit. Critre de A-optimalit La somme des variances des
coefficients peut tre minimise. Dans ce cas on parle de critre de
A-optimalit. Un plan est A-optimal si la position des points
exprimentaux minimise la trace de la matrice ( X ' X) 1 . Critre de
G-optimalit Parmi les variances des coefficients il y en a une qui
est plus grande que toutes les autres. On peut vouloir que cette
forte variance soit la plus faible possible. Le critre
correspondant s'appelle le critre de G-optimalit. Critre
d'isovariance par rotation On dsire que les rponses calcules avec
le modle issu du plan d'expriences aient une erreur de prvision
identique pour des points situs la mme distance du Revue MODULAD,
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centre du domaine d'tude. Dans ce cas on parle de plan
isovariant par rotation (rotatable en anglais) [2]. On remarquera
que ces critres conduisent des qualits de modlisation diffrentes.
Certains privilgient une bonne prcision sur les coefficients du
modle, d'autres assurent une rpartition homogne de l'erreur de
prvision.
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Numro 34
