Cours Plaques

  • Published on
    02-Jul-2015

  • View
    2.501

  • Download
    1

Embed Size (px)

Transcript

<p>Volume2PlaquesOlivierPANTALEEcoleNationaled'IngnieursdeTarbesAnneuniversitaire2008/2009CalculdeStructuresiTable des matiresIntroduction 3I Elments nis de plaques 51 Elment niC0de plaque 71.1 Prsentation gnrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Tenseur des dformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Contraintes gnralises : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Loi de comportement en variables gnralises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.1 Forme gnrale de la matrice C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.2 Ecriture en variables gnralises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4.3 Cas particuliers de comportement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4.4 Coefcient de cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 Equations dquilibre dune plaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6 Elements nis de plaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6.1 Elements de type Kirchoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6.2 Elments de volume dgnrs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.6.3 ElmentsC0avec cisaillement transverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18II Exercices et travaux dirigs 211 Exercices dapplication 231.1 Elaboration mcanique dun problme de plaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.2 Plaques minces axisymtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3 Diffrences nies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4 Flambement dune plaque en exion cylindrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.5 Flambement dune plaque rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Olivier PANTALE Anne universitaire 2008/2009ii TABLE DES MATIRES2 Problmes de plaques 252.1 Plaque en traction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.1 Thorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.2 Modle continu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.1.3 Mthode des lments nis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2 Plaque en exion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.1 Etude dune paroi dchangeur : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.2 Modlisation numrique dune plaque : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Anne universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE1Table des guresI.1.1 Description gomtrique de la plaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7I.1.2 descriptif des efforts et moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15II.2.1 Description du chargement de la plaque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26II.2.2 reprsentation de la paroi de lchangeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28II.2.3 rpartition de la temprature :Tm =T1+T22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28II.2.4 modlisation de la plaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Olivier PANTALE Anne universitaire 2008/20092 TABLE DES FIGURESAnne universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE3IntroductionCepolycopisertdebasepourlecoursdestructures.Lecoursdestructurefaitpartiein-tgrantedelenseignementdesemestre7enlmentsnis,danslequel il sintgrecommedcrivant unefamilleparticuliredlmentsnisddielamodlisationnumriquedespoutres. Pourcetteraison, saplacesesitueaprslecoursgnral dlmentsnisdontilconstitue un prolongement naturel. Il est donc ncessaire de matriser parfaitement le coursdlmentsnisgnral dontlesnotionssontsupposesconnuespourleprsentcoursdestructure (PPV, passage domaine parent-rel, fonctions dinterpolation, construction des ma-trices lmentaires, intgration numrique...). De mme, la connaissance du cours gnral demcanique des milieux continus est requise (on pourra se rfrer par exemple aux ouvragesde Duvaut [1] ou de Germain [2]).Lelecteur pourrasereporter dautresouvragesdelalittratureandapprofondir sesconnaissances du calcul des structures par lments nis. Si lissue du cours plus gnraldu module Modlisation Numrique, la notion dlments nis ne vous inspire toujours pas,il est temps de vous plonger dans la lecture du petit livre de D. Gay [3]. Pour ce qui concerne lamodlisation des structures, on citera par exemple louvrage de J. C. Craveur [4] qui prsenteune base du calcul de structures par lments nis ainsi que des exemples de modlisation(poutres, plaques, coques) du point de vue dun utilisateur de code de calcul.Dunpointdevuedelaformulationdeslmentsnisdepoutres,desdtailsetdescom-plmentsconcernantlesmthodes prsentesdanscecourspourronttretrouvsdanslesdeuxpremiersvolumesdelasriepublieparJ.L.Batoz[5][6],oudansleslivresdeJ.F.Imbert [7] et P. Trompette [8].Enn,onpourraserfrerauxouvragesdeZienkiewicz[9],Bathe[10]ouHughes[11]quiconstituent 3 ouvrages de rfrence en anglais.ATTENTION : Ce polycopi est un rsum succint du contenu du cours de Structures.Olivier PANTALE Anne universitaire 2008/20094 IntroductionAnne universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE5Premire partieElments nis de plaquesOlivier PANTALE Anne universitaire 2008/20097-Chapitre1-Elment niC0de plaque1.1 Prsentation gnraleh/2h/2peau suprieurepeau infrieureplan moyenxyzPhoto I.1.1 Description gomtrique de la plaqueDans un systme de coordonnes rectangulaires (x,y,z), le domaine de la plaque est dnipar : =</p> <p>x R3; z h2; h2</p> <p>; (x, y) A R2</p> <p>avec comme notations : h paisseur de la plaquem surface de rfrence (surface moyenne)On complte cette dnition par un ensemble dhypothses :Lpaisseur h de la plaque est beaucoup plus petite que la plus petite des dimensions latralesdans le planx0y.Max|z| &lt; Min(Max|x| ; Max|y|); (x, y, z) Olivier PANTALE Anne universitaire 2008/20098 Elment niC0de plaqueOneffectuealorsunDLduchampdedplacementsUdanslaplaqueenpuissancesdezautour du point z = 0. On crit alors classiquement :U(x, y, z, t) = U0(x, y, t) +z1(x, y, t) +z22(x, y, t) +... +zpp(x, y, t) (1.1)avecp N+et :UT0= u(x, y, t), v(x, y, t), w(x, y, t)Tp= xp(x, y, t), yp(x, y, t), zp(x, y, t)On peut donc construire diverses thories plus ou moins rafnes. Dans le cas de la thorienaturelle, on prend alors :p = 1 etzz = 0Une section droite avant dformation la ligne moyenne demeure donc droite aprs dforma-tion. Le champ de dplacements est alors donn ci-dessous :</p> <p>Ux = u(x, y, t) +zxUy = v(x, y, t) +zyUz = w(x, y, t)(1.2)DanslecasdelhypothseHPP,onconsidreraquelinteractiondesphnomnesdemem-brane et de exion est nglige.Si on considre que la section droite au plan moyen reste perpendiculaire ce plan au coursdeladformation, onobtientlathoriedesplaquesmincesdeLove-Kirchoff qui ngligelecisaillement transverse dans la plaque.Lhypothse suivante est alors introduite dans le modle :On considre que la contrainte normale transverse est nulle dans la plaque (cest dire quezz = 0). On est donc dans un cas de contraintes planes.Cette hypothse est en contradiction avec lhypothse prcdente (zz = 0). Sa justication estpurementpratique.Cetteparticularit devratresupporteparlaloidecomportement dela plaque.Les dplacements gnralissu,v,w,x etysont : uetv:fonctionsdexety,caractrisentlatractiondansleplandelaplaquesuivantlesdirectionsx ety respectivement. w : est colinaire z (vecteur perpendiculaire au plan moyen). Cest le dplacement normal,cest dire la dexion de . x et y : rotations dun segment droit prlev sur lpaisseur de initialement perpendicu-laire au plan moyen de la plaque.Un dveloppement un ordre &gt; 1 conduit des thories plus rafnes (Reddy) permettant demieux modliser le cisaillement transverse et de prendre en comptezz = 0 etzz = 0.1.2 Tenseur des dformationsDans le cadre de la thorie naturelle, on pose alors :ij =12(ui,j +uj,i)do lcriture des dformations est donne ci-dessous :</p> <p>xx = u,x +zx,x = 0xx +zKxxyy = v,y +zy,y = 0yy +zKyy2xy = 0xy +zKxy2xz = 0xz2yz = 0yz(1.3)Anne universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE1.3 Contraintes gnralises : 9avec les notations suivantes :</p> <p>Kxx = x,xKyy = y,yKxy = x,y +y,xcourbures</p> <p>0xx = u,x0yy = v,y0xy = u,y +v,xdilatations</p> <p>0yz = y +w,y0xz = x +w,xdistorsions(1.4)La thorie de Love-Kirchoff implique alors que :yz = xz = 0 </p> <p>x = w,xy = w,y(1.5)Les dformations ne dpendent plus alors que du dplacementw de exion.</p> <p>(xx)F= zw,xx(yy)F= zw,yy(xy)F= zw,xy</p> <p>Kxx = w,xxKyy = w,yyKxy = 2w,xy(1.6)1.3 Contraintes gnralises :On introduit maintenant les contraintes gnralises suivantes :efforts normaux par unit de longueur :(Nxx, Nyy, Nxy) = h2h2(xx, yy, xy) dz (1.7)moments chissants et moment de distorsion par unit de longueur(Mxx, Myy, Mxy) = h2h2z (xx, yy, xy) dz (1.8)efforts tranchants par unit de longueur(Qyz, Qzx) = h2h2(yz, zx) dz (1.9)Ondnitdelammemanirelesrsultantesdeseffortsappliqussurlastructureparlesrelations suivantes :(nxx, nyy, nzz) = h2h2(fx, fy, fz) dz (1.10)(mxx, myy) = h2h2z (fx, fy) dz (1.11)</p> <p>Nxx, Nyy, Nzz</p> <p> = h2h2</p> <p>Fx, Fy, Fz</p> <p>dz (1.12)Olivier PANTALE Anne universitaire 2008/200910 Elment niC0de plaque</p> <p>Mxx, Myy</p> <p> = h2h2z</p> <p>Fx, Fy</p> <p>dz (1.13)Le vecteur contrainte ainsi la forme suivante : =</p> <p>NxxNyyNxyMxxMyyMxyQyzQzx</p> <p>=</p> <p>NMQ</p> <p>(1.14)1.4 Loi de comportement en variables gnralisesEn adoptant une loi de comportement thermo-visco-lastique linaire et anisotrope, permet-tant lanalyse des structures composites, la loi de comportement gnrale est de la forme : = C + C +0= C + C ++(1.15)avec les dnitions suivantes de et :T= xx, yy, xy, yz, zxT= xx, yy, 2xy, 2yz, 2zx= C (T T0)T= x, y, 2xy, 0, 01.4.1 Forme gnrale de la matrice CC =C</p> <p>p00 Ct</p> <p>C</p> <p>pestobtenuepartirdestermesdelamatricetri-dimensionnellegnraleenprenantencompte le fait quezz = 0. On obtient donc les critures suivantes pour C</p> <p>p et Ct :C</p> <p>p =</p> <p>C</p> <p>11C</p> <p>12C</p> <p>16C</p> <p>12C</p> <p>22C</p> <p>26C</p> <p>16C</p> <p>26C</p> <p>66et Ct =C44C45C45C55</p> <p>(1.16)Remarque : Dans le cas o le matriau est isotrope, on a :C</p> <p>p =E1 2</p> <p>1 0 1 00 012et Ct =56 00 </p> <p>(1.17)Le coefcient56est un coefcient correcteur de cisaillement destin compenser la mauvaisedistribution du cisaillement transverse (distribution constante enz).Anne universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE1.4 Loi de comportement en variables gnralises 111.4.2 Ecriture en variables gnralisesLcriture de la loi de comportement en variables gnralises conduit lexpression suivanteaprs intgration surz de la loi constitutive :</p> <p>NMQ</p> <p> =</p> <p>A B 0B D 00 0 E</p> <p>0K0</p> <p>. .. .elastique+</p> <p>NM0</p> <p>....thermique+</p> <p>NM0</p> <p>. .. .precontrainte+</p> <p>A B 0B D 00 0 E</p> <p>0,tK,t0,t</p> <p>. .. .viscoelastique(1.18)avec :NT= Nxx, Nyy, Nxy MT= Mxx, Myy, MxyQT= Qyz, Qzx 0T= 0xx, 0yy, 0xyKT= Kxx, Kyy, Kxy 0T= 0yz, 0zxEt les dnitions ci dessous :A = h2h2C</p> <p>pdz B = h2h2zC</p> <p>pdz D = h2h2z2C</p> <p>pdz (1.19)E = h2h2Ctdz N(,)= h2h2</p> <p>(,)xx, (,)yy, (,)xyTdzA : comportement global de membraneD : comportement global de exionE : comportement global de cisaillementB : couplage membrane-exion (B = 0 si la plaque est construite symtriquement par rap-port Oxy)1.4.3 Cas particuliers de comportement1.4.3.1 Thorie des plaques minces en exion pureOn a dans ce cas l : A, E, B = 0 et M = DK.Dans le cas o de plus la plaque est isotrope :C</p> <p>p =E1 2</p> <p>1 0 1 00 012(1.20)et on a :D = h2h2z2C</p> <p>pdz = h2h2z2E1 2</p> <p>1 0 1 00 012dz =Eh312(1 )</p> <p>1 0 1 00 012(1.21)Pour une plaque mince, dans le cas de lhypothse de Love-Kirchoff, on a alors en posant poursimplier lcriture que :D =Eh312(1 2)soit :D = D</p> <p>1 0 1 00 012(1.22)Olivier PANTALE Anne universitaire 2008/200912 Elment niC0de plaqueet par suite :Mxx = D(Kxx +Kyy)Myy = D(Kyy +Kxx)Mxy = 2D12Kxy(1.23)1.4.3.2 Plaques composites straties :Chaquecouchedelaplaqueest composedunmatriaucaractrispar unematricedecomportementCexprimedanslesaxesdorthotropie, dduitedelcrituredelamatricedecomportement Cprcdement tablie. Danslerepredelastructure, cettematricedecomportementdevientdaprslesrelationsdechangementdebasedestenseursderang2applicables :C,(k)p= T1(k)C(k)pT(k)(1.24)ok est le numro de la couche, et T est dni par :T =</p> <p>cos2 sin2 0 0 0 2cossinsin2 cos2 0 0 0 2cossin0 0 1 0 0 00 0 0 cos sin 00 0 0 sin cos 0cossin cossin 0 0 0 cos2 sin2(1.25)avec dni par langle de rotation autour de laxe z .Si on admet que dans chaque couche, les dformations gnralises sont les mmes (approchegrossire), en ralisant une homognisation sur lpaisseur de la structure, on obtient alors :A =Nk=1</p> <p>zk+1zkC,(k)pdz =Nk=1(zk+1 zk)C,(k)p(1.26)B =Nk=1</p> <p>zk+1zkzC,(k)pdz =12Nk=1(z2k+1 z2k)C,(k)p(1.27)D =Nk=1</p> <p>zk+1zkz2C,(k)pdz =13Nk=1(z3k+1 z3k)C,(k)p(1.28)E =Nk=1</p> <p>zk+1zkC(k)tdz =Nk=1(zk+1 zk)C(k)t(1.29)1.4.4 Coefcient de cisaillementLes composantes de cisaillement yzet xzsont supposes uniformes dans la section (car cal-cules partir des rotations). En fait cette rpartition nest pas correcte puisque par exempleyz(z = h2) = 0.Pourentenircompte, onaffectelamatricedecomportementCtdecoefcientspartirdeconsidrations dnergie quivalente. Par exemple, pour un matriau isotrope :</p> <p>yzzx</p> <p> = G1 00 1 0yz0zx</p> <p>(1.30)Anne universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE1.5 Equations dquilibre dune plaque 13c = [C]0(1.31)Uc =12</p> <p>cT 0d =12</p> <p>0T[C]T 0d =12</p> <p>cT[C]1c d (1.32)Ecrivons alorsUcsous la forme suivante, en utilisant la relation entre les efforts tranchantset les dformations de cisaillement :Q = [Ct]0(1.33)Uc =12</p> <p>QT 0d =12</p> <p>A0T[Ct]T 0dA =12</p> <p>AQT[Ct]1Q dA (1.34)La relation entre c et Q : c = f(z) QExemple :c = f(z) Q avec rpartition parabolique : h2h2f(z)dz = 1 et f(h2) = 0 f(z) =32h</p> <p>1 4z2h2</p> <p>(1.35)On crit alors :Uc =12</p> <p>AQT</p> <p> h2h2f(z) [C]1f(z)dz</p> <p>Q dA (1.36)et aussi :Uc =12</p> <p>AQT[Ct]1Q dA (1.37)Par identication, il vient alors :[Ct]1= h2h2f2(z) [C]1dz (1.38)dans le cas particulier prcdent : [Ct] =5h6[C]Soit nalement lcriture suivante :[Ct] =5Gh61 00 1</p> <p>(1.39)1.5 Equations dquilibre dune plaqueEnpartantdelcritureduPPVetenadoptantunchampdevitessesvirtuellesdelaformeU = U0 +z1, soit :</p> <p>Ux= u(x, y) +zxUy= v(x, y) +zyUz= w(x, y)(1.40)Le PPV scrit alors :Olivier PANTALE Anne universitaire 2008/200914 Elment niC0de plaqueEtant donnesf : RF : F Rtrouver U Utel que U U* :</p> <p>UTU,ttd = </p> <p>DT(U)(U)d+</p> <p>UTfd +</p> <p>FUTFdFavec : =</p> <p>x R3; z h2; h2</p> <p>; (x, y) A R2</p> <p>et (U) est caractrise par la loi de comportement de .Anne universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE1.5 Equations dquilibre dune plaque 15Lecalculexplicitedelafonctionnelleprcdenteseffectueaismentlaidedesremarquesci-dessous : (...)d = L0</p> <p>A(...)dA.dzDT(U)(U) = xxDxx +yyDyy + 2xyDxy + 2yzDyz + 2zxDzxD(U) se calcule en fonction de U comme (U).Compte tenu de lexpression de U, on obtient alors : h2h2</p> <p>A</p> <p>(u,tt +zx,tt) (u +zx) + (v,tt +zy,tt)</p> <p>v +zy</p> <p>+w,ttw</p> <p>dAdz= h2h2</p> <p>A</p> <p>xx</p> <p>u,x +zx,x</p> <p>+yy</p> <p>v,y +zy,y</p> <p>+xy</p> <p>u,y +v,x</p> <p>+zxy</p> <p>x,y +y,x</p> <p>+yz</p> <p>y +w,y</p> <p>+zx</p> <p>x +w,x</p> <p>dAdz+ h2h2</p> <p>AUTfdAdz + h2h2</p> <p>AUTFdAdzEn posant alors :Rk = h2h2(z)zkdz aveck = 0, 1, 2et en intgrant par parties comme par...</p>

Recommended

View more >