Cours Polynomes

MINI-COURS SUR LES POLYNMES UNE VARIABLE

Extrait du poly de Stage de Grsillon 1, aot 2010

Table des matires

I Oprations sur les polynmes 3

II Division euclidienne et racines 51 Division euclidienne de polynmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Racines et factorisation de polynmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Racines multiples et polynme driv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Cas des polynmes petit degr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

III Polynmes symtriques lmentaires 111 Relations de Vite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

IV Nombres complexes et thorme de dAlembert-Gauss 131 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Interlude : un peu de topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Thorme de dAlembert-Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

V Arithmtique deK[X] 151 Thorme de Bzout dansK[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Polynmes irrductibles deK[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Polynmes irrductibles coefficients entiers ou rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

VI Quelques exercices 19

VII Quelques motivations 21

VIIIDistinction entre polynme et fonction polynomiale 23

IX lmnts de rponse aux exercices 25

1. http://www.animath.fr

1

TABLE DES MATIRES

2

I. Oprations sur les polynmes

Dans ce qui suit, nous ne ferons pas de distinction entre polynme et fonction polynomiale associe.Il faudrait la faire en toute rigueur, mais plutt que de rendre lexposition abstraite, nous prfronsinsister sur les ides sous-jacentes. Voir lappendice situ la fin du cours pour plus de dtails.

Dfinition I.1. Une fonction P de R dans R est appele polynme coefficient rels (abrg en poly-nme dans ce qui suit) sil existe des nombres rels a0, . . . , an tels que pour tout x R :

P(x) = a0 + a1x+ + anxn.Si an 6= 0, on dit que le degr de P, not deg P, vaut n. On dcrte que le degr du polynme nul est.Dans ce cas, an est appel le coefficient dominant de P. Si le coefficient dominant de P vaut 1, on ditque ce polynme est unitaire. On note R[X] lensemble des polynmes coefficients rels. De mme,on note Q[X] lensemble des polynmes coefficients rationnels et Z[X] lensemble des polynmes coefficients entiers.

On notera indiffremment P(x) ou P(X).

Exemple I.2. La fonction P(x) =

2 2x+ pix2 est un polynme de degr 2 de coefficient dominantpi. La fonction Q(x) = |x| nest pas un polynme (pourquoi ?).Remarque I.3. Par convention, le degr du polynme nul est . Ainsi, les polynmes de degr zrosont exactement les fonctions constantes non nulles.

Proposition I.4. Soient P,Q deux polynmes. Alors P+Q et PQ sont galement deux polynmes.Dmonstration. Pour P+Q il suffit dutiliser le fait que xi + xi = (+ )xi pour un nombre rel x,et pour P(x)Q(x), il suffit de dvelopper le produit. Exemple I.5. Pour tout rel a et tout entier positif n, P(x) = (x a)n est un polynme. de degr n.Proposition I.6. Soient P,Q deux polynmes. Alors deg(P+Q) max(deg P, degQ) et deg(PQ) =deg P + degQ (avec la convention + = pour que cet nonc soit valable si lun des deuxpolynmes est nul).

Dmonstration. On vrifie aisment que deg(P+ Q) = deg P si deg P > degQ, que deg(P+ Q) =degQ si degQ > deg P et que si deg P = degQ, alors deg(P+Q) deg P. Il peut cependant ne pas yavoir galit (prendre par exemple P(x) = x2 et Q(x) = x2).

La deuxime partie de la proposition dcoule du fait que si an est le coefficient dominant de P et bmest le coefficient dominant de Q, alors anbm est le coefficient dominant de PQ.

Exemple I.7. Soit E un ensemble fini et f : EN une application. Alors

P(x) = E

x f ()

3

I. OPRATIONS SUR LES POLYNMES

est un polynme coefficients entiers. Si kn dsigne le nombre nombre dlments E tels quef () = n, alors le coefficient devant xn est gal kn. Le polynme P est appel fonction gnratriceassocie f . Ce genre de polynmes apparaissent frquemment en combinatoire, ou il arrive quonne connaisse pas de formule explicite pour kn, bien que le polynme P se calcule aisment (voir exer-cice 26). Lintrt dintroduire cette fonction gnratrice est que la connaissance du polynme P nouspermet alors daccder certaines informations (par exemple des formules de rcurrence ou un com-portement asymptotique).

4

II. Division euclidienne et racines

Dans cette partie, notre but est dexpliquer en quoi la connaissance des racines dun polynme P,cest--dire des lments x tels que P(x) = 0, donne des informations sur P. On commence par montrerquil existe une notion de division euclidienne de polynmes trs similaire celle des entiers.

1 Division euclidienne de polynmes

Ici, et dans tout ce qui suit,K dsigne Q ou R.

Thorme II.1. Soient P,U K[X] avec degU 1. Alors il existe un unique couple de polynmesQ, R K[X] tels que :

P = QU + R et deg(R) deg(U) 1.Dmonstration. Pour lexistence, on applique lalgorithme vu en cours en abaissant chaque tape ledegr de P. Plus prcisment, on pose P0 = P et Q0 = 0. On commence ltape 0 et voici ce quonfait ltape k : notons d degr de Pk et pd son coefficient dominant. Notons galement n le degr de Uet un son coefficient dominant. Si deg(Pk) deg(U) 1, on arrte lalgorithme en prenant Q = Qk etR = Pk. Sinon, on pose :

Pk+1 = Pk pdunXdnU et Qk+1 = Qk +

pdun

Xdn.

On passe ensuite ltape k+ 1. Lalgorithme se termine bien car le degr de Pk est au plus deg P k,et les polynmes Q et R donns par lalgorithme vrifient les conditions requises.

Pour lunicit, supposons par labsurde quil existe deux tels couples Q, R et Q, R. Alors QU+R =QU + R. En particulier, Q 6= Q, car sinon on a aussi R = R. Cela implique galement :

U(QQ) = R R.

Or, daprs la proposition I.6, le degr du terme de gauche et suprieur ou gal celui de U et celui dedroite est infrieur ou gal deg(U) 1, ce qui est contradictoire et conclut la dmonstration. Exemple II.2. La division euclidienne de X5 3X+ 2X+ 1 par X3 + 3X2 2X 1 est :

X5 3X3 + 2X+ 1 = (X2 3X+ 8)(X3 + 3X2 2X 1) + (29X2 + 15X+ 9) .Remarque II.3. La division euclidienne telle quelle est fausse pour des polynmes coefficients en-tiers. Par exemple, il nexiste pas de Q Z[X] tel que 3x2 + 1 = Q(x)(2x+ 1) (comparer les coefficientsdominants). En revanche, en reproduisant la dmonstration prcdente, si P,U Z[X] et que le co-efficient dominant de U est 1, alors si degU 1, il existe il existe un unique couple de polynmesQ, R K[X] tels que :

P = QU + R et deg(R) deg(U) 1.

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II. DIVISION EUCLIDIENNE ET RACINES

En effet, dans la preuve prcdente, il a fallu diviser par un . Or, lorsquon divise par des lmentsde Z, on ne reste pas dans Z. Ceci explique un peu dailleurs pourquoi la thorie des polynmes plusieurs variables est plus complique que celle des polynmes une variable. En effet, on peut parexemple voir les polynmes rels deux variables comme les polynmes en y coefficients dansR[X].Mais, de mme que dans Z, tous les lments de R[X] ne sont pas inversibles.

Dfinition II.4. Soient P,Q K[X] avec P non nul. On dit que P divise Q sil existe R K[X] tel queQ = PR.

Ainsi, P divise Q si le reste de la division euclidienne de Q par P vaut 0.

Exemple II.5. Trouvons le reste de la division euclidienne de A(x) = x2012 + 2012 par B(x) = x 1.Par division euclidienne, on crit A(x) = Q(x)B(x) + R(x) avec R(x) un polynme de degr au plus0. Ainsi R est un polynme constant quon notera c. Autrement dit, A(x) = Q(x)B(x) + c et il nousreste trouver la valeur de c. Prenons x = 1 : A(1) = Q(1)B(1) + c. Or B(1) = 1. On en dduit quec = A(1) = 2013.

Exercice 1 Trouver le reste de la division euclidienne de x100 2x51 + 1 par x2 1.

2 Racines et factorisation de polynmes

Nous voyons ici que la connaissance des racines dun polynme permet de le factoriser. RappelonsqueK dsigne R ou Q.

Dfinition II.6. Un lment x K est appel racine dun polynme P K[X] si P(x) = 0.Exemple II.7. Le polynme rel X2 1 a deux racines relles, qui sont 1 et 1. Le polynme X2 + 1na pas de racine relle. Le polynme rel X2 2 a deux racines relles, mais le polynme coefficientsrationnels X2 2 na pas de racines rationnelles car2 est irrationnel. Si a K, le polynme (X 1)2012est de degr 2012 mais na quune seule racine qui est 1.

Le thorme suivant est trs important et doit tre connu.

Thorme II.8. Soient P K[X] et a K. Les deux propositions suivantes sont quivalentes :1. a est racine de P, autrement dit P(a) = 0.2. Il existe un polynme Q K[X] tel que :

P(x) = Q(x)(x a).Dmonstration. Il est clair que le deuxime point implique le premier. Quant la rciproque, le pointcl est dutiliser la division euclidienne. En effet, supposons que P(a) = 0. crivons alors la divisioneuclidienne de P par X a sous la forme P(x) = Q(x)(x a) + R(x) avec R un polynme de degrau plus 1 1 = 0. Ainsi, R est un nombre rel, not c. Bref, P(x) = Q(x)(x a) + c. valuons cettequantit en x = a : 0 = P(a) = Q(a)(a a) + c. Donc c = 0, ce quon voulait dmontrer. Thorme II.9. Un polynme de degr n a au plus n racines diffrentes.

Dmonstration. Par labsurde, soit P R[X] de degr n ayant au moins n + 1 racines diffrentes,notes r1, . . . , rn+1. Daprs le thorme prcdent, il existe un polynme Q tel que P(x) = Q(x)(x r1). Mais alors, pour 2 i n + 1, 0 = P(ri) = Q(ri)(ri r1). Comme ri r1 6= 0, ceci imposeQ(ri) = 0. On recommence ce raisonnement avec Q pour finalement obtenir lexistence dun polynmeT tel que P(x) = T(x)(x r1) (x rn+1). Alors daprs la proposition I.6 :

n = deg(P) = deg T + n+ 1 > n,

ce qui est absurde.

6


Remarque II.10. Il existe des polynmes qui nont pas de racines relles, par exemple P(x) = x4 + 1.

Ce thorme important implique quelques corollaires donnant une information concernant le po-lynme sachant quelque chose sur ses racines.

Corollaire II.11. Soit P(x) = a0 + a1x + + anxn un polynme de degr n. On suppose quil a nracines diffrentes r1, . . . , rn. Alors :

P(x) = an(x r1) (x rn).Dmonstration. En reprenant la dmonstration prcdente, on voit quil existe un polynme T tel queP(x) = T(x)(x r1) (x rn). En comparant les degrs des termes de gauche et de droite, il vientque T est de degr nul, donc un nombre rel. En regardant le coefficient dominant des deux cts delgalit, on trouve que T(x) = an.

Corollaire II.12. Un polynme de degr n ayant n+ 1 racines est nul. Ainsi, un polynme ayant uneinfinit de racines est forcment le polynme nul.

Exercice 2 En utilisant le corollaire prcdent, retrouver le fait que Q(x) = |x| nest pas un polynme.

On en dduit le rsultat important suivant.

Proposition II.13. Soient a0, a1, . . . , an et b0, b1, . . . , bm des nombres rels. On suppose que pour toutnombre rel x :

a0 + a1x+ a2x2 + anxn = b0 + b1x+ + bmxm.Alors m = n et pour tout i entre 0 et n on a ai = bi.

Dmonstration. Soit P(x) = a0 + a1x+ a2x2 + anxn (b0 + b1x+ + bmxm), qui est un polynme coefficients rels. Par hypothse, ce polynme a une infinit de racines ; il est donc nul !

Exercice 3 Soit P un polynme de degr 2009 vrifiant P(k) = k pour k = 1, 2, . . . , 2009 et P(0) = 1.Trouver P(1).

3 Racines multiples et polynme driv

Doit-on dire que le polynme P(x) = (x 1)n a une seule racine, ou bien n racines qui sont lesmmes ? Pour ne pas faire de confusion, nous traitons le cas des racines multiples.

Dfinition II.14. Soient P K[X], K et un entier m N. On dit que est racine de multiplicitm de P sil existe Q K[X] tel que P(x) = (x )mQ(x) et sil nexiste pas Q K[X] tel que P(x) =(x )m+1Q(x). On dit que est une racine multiple si m 2.

Il se trouve quon dispose dun critre assez pratique permettant de reconnatre une racine multiple.

Dfinition II.15. Soit P = a0 + a1x+ + anxn K[X]. On dfinit le polynme driv P par P(x) =a1 + 2a2x+ + nanxn1.

La proposition suivante, rminiscente des proprits de loprateur de drivation sur les fonctionsrelles drivables, est fondamentale.

Proposition II.16. Pour P,Q K[X], on a :(PQ) = PQ + PQ.

7


Corollaire II.17. Soit P K[X] et K. Alors est une racine multiple de P si, et seulement si,P() = 0.

Dmonstration. Dans le sens direct, crivons P(x) = (x )mQ(x) avec m 2 et Q K[X]. Endrivant cette expression, il vient P(x) = m(x )m1Q(x) + (x )mQ(x). En prenant x = , onconclut que P() = 0.

Pour la rciproque, supposons que P() = 0 et raisonnons par labsurde en supposant que soit une racine non multiple de P. Alors P scrit P(x) = (x )Q(x) avec Q() 6= 0 (si Q() = 0,daprs le thorme II.8, on pourrait crire P(x) = (x )2R(X)). En drivant cette expression, il vientP(x) = Q(x) + (x )Q(x). En prenant x = , il vient P() = Q() 6= 0, ce qui est absurde. Exemple II.18. Soit n 1 un entier et montrons que (X + 1)2 divise P(X) = X4n+2 + 2X2n+1 + 1.Daprs le thorme II.8, il suffit que 1 est racine double de P. Ceci dcoule aisment du fait queP(1) = 0 et P(1) = 0.Remarque II.19. Si P() = 0, cela nimplique pas que soit racine multiple (ou racine tout court !) deP. Il faut en effet sassurer que P() = 0 pour utiliser le corollaire prcdent. Par exemple, si P(x) =x2 2, on a P(x) = 2(x 1), mais 1, bien que racine de P, nest pas racine de P.Exercice 4 Trouver les rels a, b tels que (x 1)2 divise ax4 + bx3 + 1.

Exercice 5 Trouver tous les polynmes P R[X] tels que pour tous rels x, P(2x) = P(x)P(x).

Exercice 6 Soit P(x) = a0 + a1x+ + anxn R[X] qui possde n racines relles diffrentes. Montrerque pour tout x rel, P(x)P(x) P(x)2. En dduire que pour 1 k n 1, ak1ak+1 a2k .

Exercice 7 (Oral ENS 2009) Soit P R[X] de degr n 1. On supposer que toutes les racines de Psont relles. Montrer que (n 1) (P(x))2 nP(x)P(x) et dterminer les cas dgalit.

4 Interpolation

tant donns un nombre fini de points du plan, existe-t-il un polynme tel que que sa courbe repr-sentative passe par ces points ? Trouver un tel polynme, cest rsoudre un problme dinterpolation.

Thorme II.20. Soient a1, . . . an et b1, . . . , bn des nombres rels (avec les ai deux deux distincts). Alorsil existe un unique polynme unitaire P de degr n 1 tel que pour tout i, P(ai) = bi.Dmonstration. Montrons dabord lunicit en considrant P,Q deux polynmes vrifiant les condi-tions de lnonc du thorme. Comme P et Q sont unitaires, PQ est un polynme de degr au plusn 1, qui admet au moins n racines diffrentes, savoir a1, . . . , an. Il est donc ncessairement nul.

Quant lexistence, pour 1 i n, introduisons les polynmes suivants, appels polynmesdinterpolation de Lagrange :

Li(x) =n

j=1,j 6=i

x ajai aj .

Lintrt est que pour tout j diffrent de i, Li(aj) = 0, alors que Li(ai) = 1. On en dduit aisment quele polynme :

P(x) =n

i=1

biLi(x)

convient.

8


Ainsi, un polynme de degr n est compltement dtermin par les images de n+ 1 points distincts.

Exercice 8 Soient a1, . . . an et b1, . . . , bn des lments de K (avec les ai deux deux distincts). Trouvertous les polynmes P K[X] tels que P(ai) = bi.

Exercice 9 Trouver tous les polynmes coefficients complexes P tels que pour tout rationnel q, P(q)est rationnel.

Exercice 10 On dfinit les polynmes de Hermite comme suit : H0 = 1 et pour n 1, Hn(x) =1n!

n1k=0 (X k).

1. Vrifier que pour tout k Z, Hn(k) Z.2. Trouver tous les polynmes P C[X] tels que pour tout k N, on a P(k) Z.3. (i) Calculer, pour des entiers j k la somme :

k

i=j(1)ki

(ki

)(ij

).

Indication. On pourra crire Xk = (X+ 1 1)k.(ii) Soit (uj) une suite de nombres rels. Montrer que les deux conditions suivantes sont qui-

valentes :1. Il existe P R[X] tel que, pour tout j N, on a uj = P(j).2. Il existe un entier positif n tel que pour tout entier i n+ 1, on a

i

j=0(1)ij

(ij

)uj = 0.

5 Cas des polynmes petit degr

Nous maintenant quelques applications des rsultats prcdents, parfois sous la forme dexercicecorrig.

Proposition II.21. Soient b, c deux nombres rels. On souhaite connatre le nombre de rels x tels quex2 + bc+ c = 0. Soit = b2 4c, appel le discriminant. Alors :

1. Si < 0, il ny a pas de solution.

2. Si = 0, il y a une seule solution qui est b2 .3. Si > 0, il y a exactement deux solutions, qui sont :

b+b2 4c2

etbb2 4c

2.

Dmonstration. Lide est de se ramener au cas b = 0 en crivant x2 + bx+ c sous la forme suivante,dite forme canonique :

x2 + bx+ c = (x+b2)2 + c b

2

4.

Lintrt rside dans le fait que x nintervient quune fois dans la nouvelle expression. Cette forme rendtrs souvent de prcieux services et est retenir. Ainsi, x2 + bx+ c = 0 si, et seulement si, (x+ b2 )

2 =

9


b24 c. Ainsi, un carr tant positif, si b

2

4 c = /4 < 0, il ny a pas de solution, dou le premier point.Dun autre ct, si 0, alors (x+ b2 )2 = b

2

4 c si, et seulement si :

x+b2=

b2

4 c ou x+ b

2=

b2

4 c.

On en dduit les points 2. et 3.

Exemple II.22. Le polynme P(x) = x2 + x+ 1 a un discriminant gal 3, et na donc pas de racinerelle.

Exercice 11 Soient a, b, c R, avec a 6= 0, et considrons le graphe de la fonction P(x) = ax2 + bx+ c.Montrer quen faisant une homothtie et une translation, on peut obtenir le graphe de la fonctionQ(x) = x2.

Remarque II.23. Il sensuit qutant donn un polynme de degr 2, on peut aisment dire sil a desracines relles, et le cas chant donner leur expression. Ceci est tout fait remarquable : on peutmontrer quil existe des polynmes de degr 5 dont les racines relles ne sexpriment pas en utilisantdes racines carres, cubiques, etc. Cependant, si P(x) est un polynme de degr 3 et si on trouve uneracine vidente a (par exemple a = 1, 2,1,2, ...), alors on peut effectuer la division euclidienne de Ppar x a. On en dduit quil existe Q, un polynme de degr 2, tel que P(x) = Q(x)(x a). Mais Q estde degr 2, et ce qui prcde sapplique. La moralit de ceci est que si on trouve une racine videntedun polynme de degr 3, alors on arrivera connatre toutes ses racines. titre dillustration, onpourra chercher lexercice suivant.

Exercice 12 Trouver tous les nombres rels x, y, z vrifiant :(x+ 1)yz = 12(y+ 1)zx = 4(z+ 1)xy = 4.

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III. Polynmes symtriques lmentaires

Dans cette partie, nous nous intressons aux liens unissant les coefficients dun polynme sesraines.

1 Relations de Vite

Proposition III.1 (Relations de Vite). Soit P(x) = ax2 + bx + c un polynme rel de degr 2 (aveca 6= 0) ayant z1 et z2 comme racines relles. Alors z1z2 = ca et z1 + z2 = ba .Dmonstration. Daprs le corollaire II.11, on a P(x) = a(x z1)(x z2). En dveloppant le terme dedroite, on trouve les galits annonces. Remarque III.2. Ces relations sont utiles car elles expriment les coefficients du polynme en fonctiondes racines. ce titre, on cherchera lexercice suivant.

Exercice 13 Trouvez toutes les valeurs du paramtre a pour que lquation :

ax2 (a+ 3)x+ 2 = 0admette deux racines relles de signes opposs.

Proposition III.3 (Relations de Vite dans le cas gnral). Soit P(x) = anxn + an1xn1 + + a1x +a0 K[X] avec an 6= 0. Si 1, . . . , n sont les racines de P, alors, en notant, pour 1 k n,

k = 1i1

III. POLYNMES SYMTRIQUES LMENTAIRES

Bref, lorsquon a affaire des quantits symtriques, il peut tre parfois judicieux de faire intervenirles fonctions symtriques lmentaires associes.

Exercice 14 Soit P R[X] non nul. Montrer que les sommes des racines complexes de P, P, . . . , P(n1)(ou P(n1) dsigne le polynme P driv n 1 fois) forment une suite arithmtique.

Exercice 15 Trouver tous les rels x, y vrifiant x5 + y5 = 33 et x+ y = 3.

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IV. Nombres complexes et thorme dedAlembert-Gauss

1 Nombres complexes

Nous avons vu quil existait des polynmes de R[X] qui ne possdaient pas de racines relles.Un des intrts de lintroduction des nombres complexes (et cest dans cette optique quils ont tintroduits au XVI sicle) est de pallier cette difficult via le thorme de dAlembert-Gauss (noncpar dAlembert et dmontr par Gauss).

Dfinition IV.1. Notons C lensemble des couples de nombres rels (a, b) munis :

1. de laddition suivante : (a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d),

2. des multiplications suivantes : (a, b) (c, d) = (ac bd, ad+ bc) et pour rel, (a, b) = (a,b).Nous voyons lensemble des nombres rels plongs dans lensemble des nombres complexes : chaquerel a, on peut associer le nombre complexe (a, 0). Notons enfin i le nombre complexe (0, 1). Ainsi, nouspouvons reprsenter chaque nombre complexe (a, b) sous la forme (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = a+ ib.

Remarque IV.2. Avec les rgles de multiplication prcdentes, on voit que i2 = 1, et que (a+ bi)(c+di) = ac bd+ (ad+ bc)i. Ainsi, tout se passe comme si i tait un nombre tel que i2 = 1 danstoutes les manipulations. En particulier, i est racine du polynme X2 + 1 = 0.

Remarque IV.3. Tout lment non nul deC possdant un inverse, les rsultats des sections prcdentessont aussi valables pourK = C.

Exercice 16 Pour quels entiers n 1 le polynme 1 + x2 + x2 + + x2n2 est-il divisible par lepolynme 1+ x+ x2 + + xn1 ?

2 Interlude : un peu de topologie

Exercice 17 Trouver tous les polynmes P coefficients rels tels que pour tout rel x > 0 on ait :P(x)P(1x) 1.

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IV. NOMBRES COMPLEXES ET THORME DE DALEMBERT-GAUSS

3 Thorme de dAlembert-Gauss

Nous admettons le thorme (quon appelle aussi thorme fondamental de lalgbre) suivant :

Thorme IV.4. Tout polynme non constant de C[X] possde au moins une racine. On dit que C estalgbriquement clos.

Par une rcurrence sur le degr, on en dduit :

Corollaire IV.5. Soit P C[X]. Alors P peut scrire sous la forme :P(x) = c(x 1)m1 (x k)mk ,

ou c, 1, . . . , k sont des nombres complexes et m1, . . . ,mk sont des entiers strictement positifs.

Nous dfinissons finalement la conjugaison complexe, qui sera utile lorsque nous voudrons dter-miner les polynmes irrductibles de R[X].

Dfinition IV.6. Soit z = a+ bi C. On dfinit son conjugu z par z = a bi.Proposition IV.7. Pour tous w, z C, on a wz = w z.Dmonstration. Exercice.

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V. Arithmtique deK[X]

De mme que dans le cas des nombres entiers, la division euclidienne entre polynmes permetde dmontrer le thorme de Bzout, et par voie de consquence de dfinir la notion de PGCD etdavoir accs au lemme de Gauss. Les dmonstrations tant similaires au cas des entiers, nous ne lesreproduisons pas. Dans tout ce qui suit,K = Q,R ou C.

1 Thorme de Bzout dansK[X]

Dfinition V.1. Soient P,Q K[X]. Lorsque P est non nul, on rappelle que P divise Q sil existeR K[X] tel que Q = PR. On dit que P et Q sont premiers entre eux sils nont comme diviseurscommuns (dans K[X]) que les constantes non nulles. Nous utilisons aussi ces dfinitions dans le casde Z[X].

Remarque V.2. La dfinition prcdente laisse penser que la notion de primalit entre deux polynmesdpend de lensemble choisi pour ses coeffecients : ainsi, a priori, rien nempche que deux polynmes coefficients entiers soient premiers entre eux lorsquils sont vus comme lments deQ[X], mais quilsne le soient plus lorsquon les voit comme lments de C[X].

Thorme V.3 (Bzout). Soient P,Q K[X]. Alors P et Q sont premiers entre eux si, et seulement si, ilexiste U,V K[X] tels que PU +QV = 1.Exercice 18 Soit x R. Les noncs suivants sont-ils vrais ou faux ?

a. Si x7 et x12 sont rationnels, alors x est rationnel.

b. Si x9 et x12 sont rationnels, alors x est rationnel.

Corollaire V.4. Si P,Q Q[X] sont premiers entre eux, alors, vus comme lments de R[X], ils sontpremiers entre eux.

Dmonstration. Daprs le thorme de Bzout, il existe U,V Q[X] tels que PU+QV = 1. A fortiori,U,V R[X], donc, daprs la rciproque du thorme de Bzout, P et Q sont premiers entre eux vuscomme lments de R[X].

Du thorme de Bzout on dduit le thorme de Gauss.

Thorme V.5. Si P,Q, R K[X] sont tels que P soit premier avec Q et P divise QR, alors P divise R.

2 Polynmes irrductibles deK[X]

Les polynmes irrductibles jouent le rle des nombres premiers : ce sont en quelque sorte lesbriques de base lorsquon souhaite factoriser des polynmes.

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V. ARITHMTIQUE DEK[X]

Dfinition V.6. Un polynme P K[X] est dit irrductible dans K[X] si P nest pas constant et si sesseuls diviseurs dans K[X] sont les constantes et les polynmes proportionnels P non nuls, ou, demanire quivalente, sil nexiste pas Q, R K[X] avec degQ 1 et deg R 1.

On en dduit lquivalent du thorme de factorisation en nombre premiers.

Thorme V.7. Tout polynme de K[X] se dcompose de manire unique, lordre des facteurs prs,sous la forme :

P = cPk11 Pk22 Pkk ,

ou c K, ki N et les Pi sont des polynmes distincts unitaires et irrductibles dansK[X]. titre dexercice nous laissons la preuve de ce thorme (trs proche de son quivalent pour les

nombres entiers).Le thorme prcdent nous invite chercher les polynmes irrductibles de C[X],R[X],Q[X].

Nous commeni ons par une proposition gnrale.

Proposition V.8. Un polynme P K[X] de degr 2 ou 3 est irrductible si, et seulement si, il na pasde racine.

Dmonstration. Exercice.

Proposition V.9. Les polynmes irrductibles de C[X] sont les polynmes de premier degr.

Dmonstration. Il est clair que ces polynmes sont bien irrductibles. Rciproquement, si P C[X]de degr au moins 2 est irrductible, daprs le thorme de dAlembert-Gauss, il peut scrire P(x) =(x )Q(x), se qui contredit son irrductibilit.

Passons maintenant ltude des polynmes coefficients rels.

Proposition V.10. Tout polynme P R[X] se dcompose sous la forme :

P(x) = cr

i=1

(x i)s

i=1

(x2 + aix+ bi).

En consquence, les polynmes irrductibles de R[X] sont les polynmes de premier degr et ceux dusecond degr discriminant ngatif.

Dmonstration. Daprs le corollaire IV.5, on peut crire P(x) = c(x 1) (x n), ou les i sontcomplexes. En utilisant la proposition IV.7, on voit que si est racine de P, alors est galement racinede P. En effet, si P(x) = a0 + a1x+ + anxn avec les ai rels, on a 0 = P() = a0 + a1x+ + anxn =a0 + a1x + + anxn = a0 + a1x + + anxn. Dans lexpression donnant P sous forme factorise, onregroupe alors par pairs les racines complexes (non relles) avec leurs conjugus. En remarquant quepour un nombre complexe z, (x z)(x (z)) = x2 + ax + b, avec a, b R tels que a2 4b 0, onconclut.

Le raisonnement prcdent montre quun polynme irrductible de R[X] est un polynme de pre-mier degr ou du second degr discriminant ngatif. Rciproquement, de tels polynmes sont irr-ductibles en vertu de la proposition V.8.

Exercice 19 Soient P,Q R[X] deux polynmes non nuls tels que pour tout rel x, P(x2 + x + 1) =P(x)Q(x). Montrer que P est de degr pair. Peut-on trouver de tels polynmes ?

Exercice 20 Soit P un polynme coefficients rels tel que P(x) 0 pour tout rel x. Montrer quilexiste deux polynmes Q, R R[X] tels que P = Q2 + R2.

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3 Polynmes irrductibles coefficients entiers ou rationnels

Dans le cas de Q[X], il ny a pas de caractrisation satisfaisante des polynmes irrductibles (es-sentiellement parce que des proprits arithmtiques de Z rentrent en jeu). On peut toutefois donnerquelques mthodes de recherche de racines et des critres dirrductibilit.

Proposition V.11. Soit P(x) Q[X] et cherchons ses racines rationnelles. Quitte multiplier P par leppcm des dnominateurs de ses coefficients, on peut supposer que P(x) = anxn + + a0 Z[X].Soit p/q une racine rationnelle de P. Alors p divise a0 et q divise an.

Dmonstration. Il suffit dcrire P(p/q) = 0, de rduire au mme dnominateur et dutiliser le lemmede Gauss pour les entiers.

Venons-on lirrductibilit.

Remarque V.12. En vertu de la remarque V.8, on peut en pratique vrifier si un polynme de degr 2ou 3 coefficients entiers ou rationnels est irrductible.

Exemple V.13. Le polynme x3 + x2 2x 1 est irrductible dans Q[X] puisquil est sans racine dansQ.

On commence par introduire le contenu dun polynme afin de montrer que les irrductibles deZ[X] sont irrductibles dans Q[X], ce qui nest pas vident a priori.

Dfinition V.14. Soit P Z[X] non nul. On appelle contenu de P et on note c(P) le pgcd de sescoefficients (au signe prs).

Exemple V.15. Par exemple, c(6x6 + 3x5 + 27x 90) = 3.Lemme V.16. Pour P,Q Z[X] non nuls, c(PQ) = c(P)c(Q) au signe prs.Dmonstration. Montrons dabord le rsultat lorsque c(P) = c(Q) = 1. Raisonnons par labsurde quec(PQ) 6= 1 en considrant un nombre premier p divisant c(PQ). crivons P(x) = i aixi, Q(x) =i bixi, P(x)Q(x) = i cixi. Comme c(P) = c(Q) = 1, il existe i0, j0 N tels que :

i < i0, p|ai mais p 6 |ai0j < j0, p|bj mais p 6 |bj0 .

Par hypothse, on a :p|ci0+j0 =

i+j=i0+j0

aibi = ai0bj0 + i+j=i0+j0

i


bdP(x) = acQ(x)R(x). Comme c(P) = 1, il vient bd = c(bdP(x)) = c(acQR) = ac (au signe prs).Ainsi, P = QR = acbdQ

R = QR (au signe prs) avec Q, R Z[X]. Ceci contredit lirrductibilit deP dans Z[X].

De manire un peu similaire, on dmontre la proposition suivante, parfois utile.

Proposition V.18. Soit P,Q Q[X] unitaires tels que R = PQ Z[X]. Alors P et Q sont coefficientsentiers.

Dmonstration V.19. Notons u (resp. v) le ppcm des dnominateurs des coefficients de P (resp. Q).Alors uvR = uvPQ = (uP)(vQ). Donc c(uvR) = c(uP)c(vQ) daprs le lemme prcdent. Or, commeP et Q sont unitaires, c(uP) = c(vQ) = 1 et c(uvR) uv. On en dduit que u = v = 1 et donc queP,Q Z[X].Exercice 21 Soit P(x) = ax3 + bx2 + cx+ d Z[X] avec ad impair et bc pair. On suppose que P a toutesses racines relles. Montrer quau moins une racine de P est un nombre rel irrationnel.

Remarque V.20. Ainsi, ltude de lirrductibilit dun polynme coefficients entiers sur Q[X] serduit ltude de lirrductibilit de Z[X], qui est a priori plus facile.

Voici un exemple (important) dapplication de ceci.

Thorme V.21. Soit P(x) = anxn + + a1x+ a0 un polynme de Z[X]. On suppose quil existe unnombre premier p tel que :

1. p divise a0, a1, . . . , an1,2. p ne divise pas an,

3. p2 ne divise pas a0.

Alors P est irrductible dans Q[X].

Dmonstration. Daprs la proposition prcdente, il suffit de montrer que P est irrductible dansZ[X]. Supposons donc par labsurde que P(x) = Q(x)R(x) avec Q, R deux polynmes non constantsde Z[X] avec Q(x) = qkxk + q0 et R(x) = rlxl + + r0. Alors a0 = q0r0. Par suite, daprs le point3., p divise q0 ou r0, mais pas les deux la fois. Sans perte de gnralit, supposons que p|q0 et quep 6 |r0. Dautre part, p ne divise pas qk car sinon il diviserait an, ce qui est exclu. Soit donc i0 le plus petitindice i (1 i k) tel que p ne divise par qi. Alors :

ai0 = qi0r0 + qi01r1 + + qori0 .Comme i0 k < n, p divise ai0 et donc p divise qi0r0, et donc p divise r0, ce qui est absurde. Exemple V.22. Soit p un nombre premier et P(x) = xp1 + + x+ 1 Z[X]. En appliquant le critredEisenstein au polynme Q(x) = P(x+ 1), on voit que P est irrductible dans Q[X].

Exercice 22 (IMO 93, exercice 1)Soit n 2 un entier. Montrer que le polynme P(x) = xn + 5xn1 + 3est irrductible sur Z[X].

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VI. Quelques exercices

Exercice 23 (Canada 1970) Soit P un polynme coefficients entiers. On suppose quil existe des entiersdeux deux distincts a, b, c, d tels que P(a) = P(b) = P(c) = P(d) = 5. Montrer quil nexiste pasdentier k tel que P(k) = 8.

Exercice 24 (Benelux 2010) Trouver tous les polynmes P R[X] tels que pour tous rels a, b, c on ait :p(a+ b 2c) + p(b+ c 2a) + p(c+ a 2b) = 3p(a b) + 3p(b c) + 3p(c a).

Exercice 25 (IMO 2004, exercice 2)Trouver tous les polynmes P coefficients rels qui vrifient, pourtous a, b, c rels tels que ab+ bc+ ca = 0 :

P(a b) + P(b c) + P(c a) = 2P(a+ b+ c).

Exercice 26 Soit n 1 un entier. On note Sn lensemble des permutations de lensemble {1, 2, . . . , n}.Pour Sn, on note aussi cyc() le nombre de cycles de . Soit Pn(x) le polynme suivant :

Pn(x) = Sn

xcyc().

Montrer que Pn a toutes ses racines relles et que ce sont des entiers ngatifs.

Exercice 27 (Test de slection Chine 2008) Soient m, n des entiers strictement positifs et P Z[X] unpolynme de degr n tel que tous ses coefficients soient impairs. On suppose que (x 1)m divise P.Montrer que si m 2k (avec k 2 entier), alors n 2k+1 1.

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VI. QUELQUES EXERCICES

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VII. Quelques motivations

Pourquoi tudie-t-on les polynmes ? Voici quelques lments de rponse donns sans dmonstra-tion.

Thorme VII.1. Soit f une fonction relle infiniment drivable (si vous ne savez pas ce que i a veutdire, imaginez quelle est trs gentille). Soit x0 R. Alors pour tout entier n, pour tout e > 0, il existe > 0 et des rels a0, . . . , an tels que pour tout x [x0 , x0 + ] :

| f (x x0) a0 a1(x x0) an(x x0)n| e|(x x0)n|.Ainsi, au voisinage de tout point, la fonction ressemble un polynme.

Thorme VII.2. Soit f : [0, 1] R une fonction continue. Alors il existe une suite de polynmesP1(x), P2(x), telle que pour tout e > 0, il existe N > 0 tel que pour tout n N :

pour tout x [0, 1] | f (x) Pn(x)| e.Ainsi, toute fonction continue sur [0, 1] peut tre approche sur tout [0, 1] par des polynmes.

Signalons finalement que ltude de lensemble des zros communs de plusieurs polynmes nvariables, appel varit algbrique, est centrale en gomtrie algbrique.

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VII. QUELQUES MOTIVATIONS

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VIII. Distinction entre polynme etfonction polynomiale

Ici, nous expliquons pourquoi il est ncessaire de faire cette distinction en commeni ant par dfinirdune autre manire un polynme. Ici, K = Q,R,C ou bien Z/pZ muni des lois daddition et demultiplication usuelles.

Dfinition VIII.1. Un polynme coefficients dans K est une suite infinie dlments de K nulle partir dun certain rang.

Exemple VIII.2. Par exemple, (0, 1, 2, 3, 0, 0, . . . , 0, . . .) est un polynme, de mme que (0, 0, . . . , 0, . . .).Par contre, (1, 1, . . . , 1, . . .) nen est pas un.

Dfinition VIII.3. Soit P = (un)n et Q = (vn)n deux polynmes. On dfinit le polynme P+ Q par lasuite wn = un + vn (qui est bien nulle partir dun certain rang) et le polynme PQ par la suite (zn),ou zn = i+j=n unvn (vrifier que (zn) est nulle partir dun certain rang). On identifie les lmentsde K avec les polynmes constants via lapplication qui un lment K associe le polynme(, 0, 0, . . . , 0, . . .). Remarquons que ceci est cohrent avec la notion de multiplication intuitive dunpolynme par un lment de K : si (un) est un polynme et K, alors le polynme (un) est lepolynme (un).

Nous introduisons maintenant lindtermine X.

Dfinition VIII.4. Notons X le polynme (0, 1, 0, 0, . . .).

Proposition VIII.5. Tout polynme P sexprime sous la forme P = ni=0 anXn. On note indiffremment

P ou P(X) pour rappeler quon note X lindtermine (on pourrait trs bien la noter Y !).

Dmonstration. Si P = (a0, a1, a2, . . .), notons N un entier tel que i N implique ai = 0. Alors P(X) =a0 + a1X+ + aNxN . Ceci est une consquence immdiate de la dfinition de X et de la multiplicationentre polynmes.

Voici maintenant le lien entre polynme et fonction polynomiale associe. Rappelons que, pourlinstant, un polynme est juste une suite de nombres qui est nulle partir dun certain rang et nestpas vu comme une application.

Proposition VIII.6. Soit P(X) = a0 + a1X + + anXn K[X] un polynme. On note P lapplica-tion dfinie par P(x) = a0 + a1x + + anxn pour x K, quon appelle application polynomialeassocie P. Lapplication P 7 P est injective si K est infini. Si K est fini, cette application nest pasncessairement injective.

Dmonstration. Plai ons nous dabord dans le cas ouK est infini. Soient P,Q K[X] tels que P = Q.crivons P(X) = i aiXi et Q(X) = i biXi. Alors le polynme P(x) Q(x), au sens des sectionsprcdentes, a une infinit de racines, donc est nulle. Donc ai = bi pour tout i.

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VIII. DISTINCTION ENTRE POLYNME ET FONCTION POLYNOMIALE

Par contre, dans le cas ouK est fini, le raisonnement prcdent ne sapplique pas. Exhibons dailleursun contre-exemple. Considrons K = Z/pZ et P(X) = Xp X. Daprs le petit thorme de Fermat,pour tout x K, on a P(x) = 0. Ainsi, P nest pas le polynme nul, mais les deux fonctions polyno-miales associes sont les mmes.

En dautres termes, lorsqueK est infini (par exempleK = Q,R,C, ce qui explique que nous navonspas perdu de gnralit dans les premires sections), nous pouvons parler sans distinction de poly-nme ou de fonction polynomiale associe. En revanche, dans les autres cas, il faut faire trs attention !

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IX. lmnts de rponse aux exercices

Solution de lexercice 1 On cherche le reste sous la forme R(X) = aX + b. On a R(1) = P(1), R(1) =P(1), ce qui permet de calculer R(X) = 2X+ 2.Solution de lexercice 2 Si Q(x) tait un polynme, alors Q(x) x serait un polynme avec une infinitde racines, donc serait de degr nul, cest absurde.

Solution de lexercice 3 venir.

Solution de lexercice 4 1 doit tre racine double de P. Cela nous donne deux quations : P(1) = 0 etP(1) = 0, qui permettent de trouver a = 3 et b = 4.Solution de lexercice 5 On note n le degr de P. En passant lquation aux degrs, on obtient n = (n1) + (n 2) = 2n 3, donc n = 3. On peut facilement calculer le coefficient dominant, on laisse le soinau lecteur de terminer les calculs.

Solution de lexercice 6 On remarque que la drive de PP est

PP2P2 qui est du mme signe que P

P2.Or on voit facilement que P

(x)P(x) =

1xi donc (

P(x)P(x) )

= 1(xi)2 < 0 dou le rsultat. Pour obtenirlingalit sur les coefficients on procde de la manire suivante. Pour k = 1, lingalit provient de

P(0)P(0) P(0)2. Ensuite on applique lingalit aux polynmes P(k1) : P(k1)P(k+1) (P(k)

)2dou ak1(k 1)! ak+1(k+ 1)! a2k k!2 or k!

2

(k1)!(k+1)! =k

k+1 1 dou le rsultat.

Solution de lexercice 7 venir (cela commence comme dans lexercice prcdent).


Solution de lexercice 9 Un polynme coefficients rationnels est clairement solution. Rciproquement,si P est un polynme de degr n vrifiant cette proprit, alors en interpolant en n+ 1 points rationnels,on remarque que P est coefficients rationnels.


Solution de lexercice 11 On met P sous forme canonique : P = a(x b)2 + c. On translate de b selonlaxe des abscisses, de c selon laxe des ordonnes, et on applique une homothtie de rapport 1a .

Solution de lexercice 12 Soit (x, y, z) une solution. Visiblement, aucun de ces nombres nest nul. En re-tranchant la troisime quation la deuxime quation, on en dduit que zx = xy, puis, en simplifiantpar x (qui est non nul), on obtient que z = y. En retranchant la troisime quation la premire qua-tion, on obtient : y2 xy = 8, ou encore xy = y2 8. La deuxime quation se rcrit y2x+ xy = 4. Ilvient donc :

y(y2 8) + y2 8 = 4,

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IX. LMNTS DE RPONSE AUX EXERCICES

ou encore y3 + y2 8y 12 = 0. On remarque que y = 3 est une solution. En effectuant la divisioneuclidienne de y3 + y2 8y+ 12 par y 3, on trouve :

y3 + y2 8y 12 = (y 3)(y2 + 4y+ 4) = (y 3)(y+ 2)2.

On en dduit que y = z = 3 ou y = z = 2. Dans le premier cas, x = 13 et dans le deuxime cas, x = 2.Rciproquement, les triplets (2,2,2) et ( 13 , 3, 3) sont solution et ce sont donc les seules.

Solution de lexercice 13 Supposons que ax2 (a+ 3)x+ 2 = 0 admette deux racines de signe oppos,notes z1, z2. Alors daprs les relations de Vite, z1z2 = 2/a. Or z1 et z2 sont de signe opposs si,et seulement si, z1z2 < 0. On en dduit que a < 0. Rciproquement, si a

IX. LMNTS DE RPONSE AUX EXERCICES

par3 car b0a0 = 3 et a0 = 3. Compte tenu de lexpression de f ,j n 1, donc k n 1 donc p 1donc le polynme h scrit x 1, ce qui est absurde car f (1) = 0.

Solution de lexercice 23 On crit P sous la forme P(X) = Q(X)(X a)(X b)(X c)(X d) + 5, et onsuppose par labsurde que P(k) = 8. Alors Q(k)(k a)(k b)(k c)(k d) = 13. Or (k a), (k b),(k c) et (k d) sont des entiers distincts, et comme 3 est premier, il ne peut pas tre crit commeproduit de 4 entiers distincts, contradiction.

Solution de lexercice 24 En injectant a = b = c = 0, on trouve P(0) = 0. En prenant b = c = 0,on obtient P(2a) = 3P(a) + P(a), et ce pour tout a. On suppose P de degr n. En examinant lescoefficients dominants, on obtient 2n = (1)n + 3, donc n vaut 1 ou 2, et P est de la forme aX2 + bX.On vrifie rciproquement que ces polynmes conviennent.

Solution de lexercice 25 On remarque tout dabord, en prenant b = c = 0, que P est pair, et ne contientdonc que des termes de degr pair. En valuant en zro, on trouve que le terme constant doit tre nul.On essaie ensuite a = 6x, b = 3x et c = 2x. Cela donne P(3x) + P(5x) + P(8x) = 2P(7x). Onnote n le degr de P. En comparant les coefficients dominants, on trouve 3n + 5n + (8)n = 2 7n.Cest impossible pour n 5. P est donc de la forme aX4 + bX2. On vrifie rciproquement que cespolynmes conviennent.

Solution de lexercice 26 Notons cn(k) le nombre de permutations de longueur n. Pour rsoudre lexer-cice, nous tablissons une relation de rcurrence sur les cn(k). Nous allons, pour cela, dnombrer lespermutations n tel que cyc() = k en les comptant sparment selon la valeur de (n). Si(n) = n, on remarque que se donner une telle permutation revient simplement se donner unepermutation de {1, . . . , n 1} ayant (k 1) cycles (puisque n est tout seul dans son cycle). Il y a donccn1(k 1) permutations qui relvent de ce cas.

Examinons maintenant le cas ou (n) est un entier m fix strictement infrieur n. Lentier napparat alors dans un cycle de qui est de longueur au moins 2 (puisquil contient au moins n et m)et on peut construire une permutation de {1, . . . , n 1} simplement en retirant n de ce cycle et enlaissant les autres cycles inchangs. Par construction, il est vident que a encore k cycles. Par ailleurs,on peut reconstruire partir de et lentier m comme suit : on regarde le cycle de qui contient met, dans ce cycle, on insre lentier n juste avant m. On dduit de cela quil y a cn1(k) permutations k cycles telles (n) est gal un entier m < n fix.

En mettant ensemble les deux raisonnements prcdents, on aboutit cn(k) = cn1(k 1) + (n1)cn1(k). En tenant compte du fait que cn1(0) = cn1(n) = 0 trivialement, et en sommant lgalitprcdente pour k variant de 1 n, il vient :

Pn(x) =n

k=1

cn(k)xk =n1k=1

cn1(k)xk+1 + (n 1) n1k=1

cn1(k)xk = (x+ n 1) Pn1(x).


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I Oprations sur les polynmesII Division euclidienne et racines1 Division euclidienne de polynmes2 Racines et factorisation de polynmes3 Racines multiples et polynme driv4 Interpolation5 Cas des polynmes petit degr

III Polynmes symtriques lmentaires1 Relations de Vite

IV Nombres complexes et thorme de d'Alembert-Gauss1 Nombres complexes2 Interlude: un peu de topologie3 Thorme de d'Alembert-Gauss

V Arithmtique de K[X]1 Thorme de Bzout dans K[X]2 Polynmes irrductibles de K[X]3 Polynmes irrductibles coefficients entiers ou rationnels

VI Quelques exercicesVII Quelques motivationsVIII Distinction entre polynme et fonction polynomialeIX lmnts de rponse aux exercices

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Cours Polynomes