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7/24/2019 Cours-RDM.pdf

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Dpartement Maintenance Industrielle

SUPPORT DE COURS EN

RSISTANCE DES MATRIAUX

Pour le !meni"eau de la #ormation d$un tec%niciensuprieur en Maintenance Industrielle &M'I(

SOMMAIRE

ANNEE UNIVERSITAIRE : 2003-2004

E)A*ORES PAR + MA,-OU* Med Mo.%tar &ISET Ma%dia( S*A/ Rania &ISET Ma%dia(

ANNEE UNI0ERSITAIRE + 1123114


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C%apitre 5 +INTRODUCTION A LA RSISTANCE DES

MATRIAUX

1- But de la RDM.

2- Principe du calcul de RDM.

3- Hypothses gnrales de la RDM.

4- !!orts intrieurs "torseur de cohsion#.

$- %o&posantes du torseur de cohsion.

'- (ecteur contrainte en un point.

)- *ollicitations si&ples et co&poses

C%apitre +LA TRACTION SIMPLE

1- D!inition.

2- ssai de traction.

3- tude des d!or&ations.

4- tude des contraintes.

$- Relation %ontrainte - D!or&ation.

'- %aractristi+ues &cani+ues d,un &atriau.

)- %ondition de rsistance en traction.

- %ondition de rigidit en traction.- %oncentration de contrainte.

C%apitre 6 +LA COMPRESSION SIMPLE

1- D!inition.



4- %ondition de rsistance en co&pression.

C%apitre 7 + LE CISAILLEMENT SIMPLE1- D!inition.

2- ssai de cisaille&ent.


4- tudes des contraintes.

$- Relation %ontrainte / D!or&ation.

'- %ondition de rsistance au cisaille&ent

C%apitre 8 :LA TORSION SIMPLE1- D!inition.


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2- ssai de torsion.

3- Relation %ontrainte 0 D!or&ation.

4- +uation de d!or&ation.

$- Relation %ontrainte -&o&ent de torsion.

'- %ondition de rsistance la torsion.

)- %ondition de rigidit.

-%oncentration de contrainte.

C%apitre 2 : LA FLEXION SIMPLE

1- D!inition.


3- Relation %ontrainte - &o&ent de !leion.

4- %ondition de rsistance la !leion.

$- %oncentration de contrainte.

'- D!or&ation en !leion.

)- %ondition de rigidit en !leion.

- hor&e de superposition des d!or&ations.

C%apitre 4 : SOLLICITATIONS COMPOSES

1- leion5torsion

2- raction5torsion.

C%apitre 9 : LE FLAMBEMENT

1- tude du !la&6e&ent.

2- lance&ent.

3- %harge criti+ue.

4- %ontrainte criti+ue.

$- %ondition de rsistance.

BIBIOGRAPHIE

ANNEXE 1 : %opie re&ettre au tudiants.

ANNEXE : ransparents pour rtropro7ecteur.


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SET MAHDIA A.U : 2006-2007

C%apitre 5

INTRODUCTION A LA RSISTANCE DES MATRIAUX

Objectifs :

%o&prendre les notions de 6ase de la RDM.

Prrequis :

Modlisation des actions &cani+ues.

8e principe !onda&ental de la stati+ue.

Elments de contenu :

1- But de la RDM.

2- Principe du calcul de RDM.

3- Hypothses gnrales de la RDM.

4- !!orts intrieurs "torse ur de cohsion#.$- %o&posantes du torseur de cohsion.

'- (ecteur contrainte en un point.

)- *ollicitations si&ples et co&poses

Parmi les objectifs viss par l'tude mcanique des systmes matriels estle dimensionnement des diffrents solides constituant le systme.

La premire modlisation des solides, en solides lobalement indformables,permet, en appliquant le principe fondamental de la statique ou de la dynamique,de dterminer les actions appliques ! ces solides.

"ne deu#ime modlisation des solides, en poutres droites permet deprvoir leur comportement sous c$are. %&formations, rsistance... et celar(ce au# diffrentes lois de la rsistance des matriau#.

La rsolution des problmes poss par la rsistance des matriau# faitappel ! de nombreuses $ypot$ses, ncessaires pour obtenir rapidement des

rsultats e#ploitables.

Rsistance des matriau ! Intr"ducti"n # $a RDM


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)*+O&"-+)O* L

/0)0+*-E &E0 1+/)"2

1-But de la rsistance des matriaux

La rsistance des matriau# est l'tude de la rsistance et de ladformation des solides. Elle permet de dfinir les formes, les dimensions et lesmatriau# des pices mcaniques de fa3on ! ma4triser leur rsistance, leurdformation tout en optimisant leur co5t.

E#emples:

"n pont est vrifi en rsistance des matriau# pour:6 ssurer sa rsistance sous son propre poids et celui des v$icules 7

6 ssurer sa rsistance en cas de forte temp8te.

"ne bouteille est vrifie en rsistance des matriau# pour:

6 ssurer sa rsistance lorsqu'elle est pleine 7

6 ssurer une rsistance minimum en cas de c$ute 7

6 1inimiser l'paisseur de la bouteille pour faire des conomies sur la

matire premire.2- Principe du calcule de RDM :

9iure .

Pour raliser un calcul de rsistance des matriau#, nous avons besoin deconna4tre les actions mcaniques e#erces sur le mcanisme %ces actions sontdtermines dans l'tude de statique ou de dynamique et les matriau# utiliss.L'tude de rsistance des matriau# va permettre de dfinir les sollicitations etles contraintes qui en rsultent.

Rsistance des matriau % Intr"ducti"n # $a RDM


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3- Hypothses nrales de la RDM :

Pour faire une tude de rsistance des matriau#, nous avons besoin defaire des $ypot$ses simplificatrices. "ne fois que ces $ypot$ses sont dfinies,

nous pouvons nous lancer dans l'tude.

;6


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!-"##orts intrieurs $%orseur de cohsion& :

0oit une poutre E @?A, enquilibre sous l'effet d'actions

mcaniques e#trieures. Pour mettreen vidence les efforts transmis par lamatire au niveau d'une section 0,nous effectuons une coupureimainaire dans le plan P contenant 0.)l la spare en deu# tron3ons El%Partieauc$e et E=. %Partie droite %9iure.;.

9iure .;

On isole le tron3on El

6 Les actions mcaniques que .le tron3on E= e#erce sur le tron3on El !travers la section droite 0 sont des actions mcaniques intrieures ! la poutre E.*ous en inorons ! priori la nature, cependant la liaison entre E let E=peut 8tremodlise par une liaison complte. On peut donc modliser l'action mcanique E=sur Elpar un torseur appel torseur de co$sion et not Bco$C dont les lmentsde rduction en > seront %# et 1>%#.

BE=DElC Bco$C ( )( ) XMXR

G

LFquilibre du tron3on se traduit par :

{ } { }GEEG

cohGcohGEE 11 //0 ==+

{ }GSdegauchesmcaniquesactionsGcoh

=

9iure .G

-ette relation permet de calculer les lments de rduction du torseur deco$sion ! partir des actions mcaniques e#trieures ! auc$e %connues par lastatique.

emarque : L'quilibre de la poutre E se traduit par :

{ } { } 0=+GSdedroitemcaniquesactionsGSdegauchesmcaniquesactions

{ } { } { }0=+G

SdedroitemcaniquesactionsGcoh lors{ } GSdedroitemcaniquesactionsGcoh =

Rsistance des matriau 7 Intr"ducti"n # $a RDM


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-ette relation permet de simplifier le calcul du torseur de co$sion dans lecas oH le torseur des actions mcaniques ! droite est plus simple ! dterminer.

-onclusion :

-$aque tron3on est en quilibre et l'application du P90, ! l'un ou ! l'autre,permet de faire appara4tre et de calculer le torseur de co$sion au niveau de lacoupure.

emarque :

Le torseur de co$sion est modifi lorsque l'on dplace la coupure le lon dela poutre :

6 0i une discontinuit d'ordre omtrique %c$anement de direction de laline moyenne appara4t %e#emple: poutre en querre.

6 0i une discontinuit lie ! une rsultante nouvelle %ou un moment nouveauappara4t.

'- (omposantes du torseur de cohsion :

Le torseur de co$sion e#prim dans le repre %>, #,y,I s'crit :

{ } ( )

( )

Gfzz

fyy

t

G

coh

MT

MT

MN

XM

XR

=

=

9iure .J

* : Effort normal sur %>, # 1t: 1oment %couple de torsion sur %>, #

+y: Effort tranc$ant sur %>, y 1fy: 1oment de fle#ion sur %>, y

+I: Effort tranc$ant sur %>, I 1fI: 1oment de fle#ion sur %>, I

Rsistance des matriau & Intr"ducti"n # $a RDM


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)- *ecteur contrainte en un point :

K6 ecteur contrainte :

Les actions mcaniques de co$sion sont les efforts que le tron3on E=e#erce sur le tron3on El! travers la section droite %0 de la coupure fictive. -esaction mcaniques sont rparties en tout point 1 de 0 suivant une loi a prioriinconnu. *otons df l'action mcanique au point 1 et d0 l'lment de surfaceentourant le point. 0oit n la normale issue de 1 au plan de la section 0, orientevers l'e#trieur de la matire du tron3on E. %9iure .K.

9iure .KOn appelle vecteur contrainte au point 1 relativement ! l'lment de

surface d0 orient par sa normale e#trieuren , le vecteur not ( )nMC , tel que :

( )dS

Fd

S

FnMC Lim

S

=

=

0

, %9iure .K.

L'unit de la contrainte est le rapport d'une force par une unit de surface%*Dmm= ou %1Pa.

Les lments de rduction s'crivent donc, en fonction du vecteurcontrainte :

( ) ( ) ==SS

dSnMCFdXR , et ( ) ( )dSnMCMGXMS

G = ,^

K6= -ontrainte normale et contrainte tanentielle :

On dfinit les contraintes normales et tanentielles respectivement laprojection de ( )nMC , sur la normale n , et la projection de ( )nMC , sur le plan del'lment de surface d0. %9iure .G : ( ) tnnMC +=,

: -ontrainte normale. : -ontraintes tanentielle.

n : ecteur normal ! lFlment de surface.t : ecteur tanent a l'lment de surface.

Rsistance des matriau ' Intr"ducti"n # $a RDM


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+- ,ollicitations simples et composes :

"ne sollicitation est dite simple si le torseur de co$sion comprend uneseule composante non nulle %+orsion par e#emple et une sollicitation est dite

compose si le torseur de co$sion comprend plusieurs sollicitations simples%+raction M fle#ion par e#emple.

Le tableau . reroupe les sollicitations simples les plus courantes.

,ollicitation +orseur de co$sion ,ollicitation +orseur de co$sion

%raction(ompression

G

N

00

00

0 %orsion

G

tM

00

00

0

(isaillement $selon $./y&&

G

yT

00

0

00 0lexion pur $selon

$./&&

G

fyM

00

0

00

+ableau .

E2E-)-E &FPL)-+)O* :

0oit le uidae en rotation de la roue de uidae dFun systme automatis

de transport de personnes %fiure . On sou$aite dterminer les efforts deco$sion dans lFarbre = dont la omtrie est reprsente en dtail dans %lafiure =.

Figure 1

LFarbre = est en liaison encastrement avec le support de uidae G. "netude statique a permis de dterminer les actions mcaniques qui lui sontappliques :

"nit : les efforts en *eNtons et les lonueurs en millimtres

ctions des roulements et =en Pet P=:

Rsistance des matriau (0 Intr"ducti"n # $a RDM


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( ){ }

( )zy!

R

,,1

21

04900

0230

00

= et ( ){ }

( )zy!

R

,,2

22

01140

060

00

=

ction de lFcrou en + : ( ){ }

( )zyT

,,

21

00

0006730

=

ction de lFentretoise ; en 9 : ( ){ }

( )zyF

,,

23

00

0230

06430

=

ction de support G en E : ( ){ }

( )zyE

,,

24

308206040

650240290

0300

=

Figure 2

6&terminer dans ( )zy ,,= et en fonction de lFabscisse #, les variationsdes composantes du torseur de co$sion le lon de lFarbre.

=6+racer les diarammes correspondants.

Rsistance des matriau (( Intr"ducti"n # $a RDM


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C%apitre

LA TRACTION SIMPLE

Objectifs :

Dter&iner la rpartition des contraintes dans la section d9une poutre

sollicite la traction.

Dter&iner les conditions de rsistance et de rigidit d9une poutre sollicite

traction.

Di&ensionner une poutre sollicite la traction.

Prrequis :

Hypothses de la RDM.

orseur de cohsion.

(ecteur contrainte.


1- D!inition.

2- ssai de traction.



$- Relation %ontrainte - D!or&ation.

'- %aractristi+ues &cani+ues d,un &atriau.)- %ondition de rsistance en traction.

- %ondition de rigidit en traction.

- %oncentration de contrainte.

Rsistance des matriau 12 $a tracti"n sim)$e


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L +-+)O* 0)1PLE1-D#inition :

"ne poutre est sollicite ! lFe#tension simple si elle est soumise ! deu#

forces directement opposes qui tendent ! lFalloner ou si le torseur de co$sionpeut se rduire en >, barycentre de la section droite 0, ! une rsultante porte

par la normale ! cette section. %9iure =.

{ }

G

G

Gcoh

N

N

=

=

0

0

0

0

00

9iure =.

2-"ssai de traction

=6 Principe :

LFessai de traction est lFessai mcanique le plus classique. )l consiste !

e#ercer sur une prouvette

normalise deu# efforts

directement opposs croissants qui

vont la dformer proressivementpuis la rompre en vue de

dterminer quelques

caractristiques du matriau de

lFprouvette. %9iure=.=

9iure =.=

=6= &iaramme effortdformation.



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La dformation se passe en deu# p$ases %fiure=.; :

6P$ase O : p$ase lastique oH la

dformation est rversible et

lFallonement est proportionnel !

la c$are. On dit que lFprouvette

dans le domaine lastique.

P$ase ?- : p$ase plastique ou la

dformation est permanente.

LFallonement nFest plus

proportionnel ! la c$are. On dit

que lFprouvette est dans le

domaine plastique.

9iure =.;

3- "tude des d#ormations

llonement : 0LLL =

llonement relatif :0L

Le = * 100%0

=L

Le

&formation selon : [ ] ( )eLnL

LLnLnLLnLLnL

L

dL L

L

L

L

o

+===== 10

00

&ans le domaine lastique0L

Le

== * +

( ) +1Ln si tend vers 0)

La dformation lonitudinale

sFaccompane dFune dformation de

contraction transversale tel que :

y = et z = %9iure =.G

: -oefficient de poisson et 3.0

pour les aciers. 9iure =.G

!- "tudes des contraintes :



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Le vecteur Cse rduit ! une contrainte normale ! la section et repartie

uniformment sur toute la section : , = %fiure =.J

&Fautre part dSdN

dS

dN

dS

Nd

====

dS

Fd

,

S

NS =====

SSS

dSdSd

* en @*A 7 0 en @mm=A et en @1PaA

Pour une poutre, de section 0,

sollicit ! la traction simple la valeur de la

contrainte normale est ale au rapportde lFeffort normal * par la section 0.

9iure =.J

'- Relation contrainted#ormation :

&ans la premire portion de la courbe %one O, il y a proportionnalit

entre la c$are et la dformation. La loi de


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llonement en U aprs rupture : 100%0

0

=L

LLu# Lu lonueur de la

poutre aprs rupture.

0triction : 100%0

0 =S

SSuS

+- (ondition de rsistance en traction :

Pour des raisons de scurit la contrainte

doit rester infrieure ! une valeur limite

appel contrainte pratique ! lFe#tension, en

adoptant un coefficient s appel coefficient de

scurit tel ques

Re=R$e , s dpend de

lFapplication. %+ableau=. et%+ableau=.=

&FoH la condition de rsistance dFune pice

en traction : R$e

+ableau=.

+ableau=.=

6- (ondition de riidit :

Pour des raisons fonctionnelles, il est parfois important de limiter

lFallonement. )l doit rester infrieur ! une valeur L lim



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&FoH la condition de riidit dFune pice en traction : limLES

FL

7- (oncentration de contraintes

0i le solide prsente des variations brusques de section, dans une Ione

proc$e de ces variations, la rpartition des contraintes nFest plus uniforme. )l y a

concentration de contrainte. La contrainte ma#imale est : nomt" =m!

Tt est appel coefficient de concentration de contrainte de traction.

nom : -ontrainte normale nominale %S

Nnom =

Tt est fonction de la forme de la pice %circulaire ou plane et de la nature duc$anement de section %paulement, ore, alsae, etc. %fiure =.K.

Pour un filetae )0O trianulaire Tt=.J au fond des filets.

Tt est donn par des abaques. %fiure =.V

9iure =.K



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9iure =.V

"8"R(9(" ;1rification dFun tirant :

"n profil )P*, sert de c$emin de

roulement pour un palan. )l est suspendu par ;

tirants de Wmm et de lonueur GWWmm. -es

tirants sont en aciers de rsistance lastique

e=GW1Pa, de module dFRoun :E=.WJ 1pa.



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Le coefficient de scurit est : sX %appareil de levae. Le tirant le plus c$ar

supporte une c$are verticale de KWW*. LFallonement ne doit pas dpasser

W.Jmm.

S rifier que ce tirant peut supporter cette c$are dans des conditions

satisfaisantes de scurit.

=S rifier que lFallonement reste acceptable.

"8"R(9(" ;2 rification dFune

biellette :

La biellette reprsente cicontre

est soumise ! une traction %

NF 20000= .

S -alculer les contraintes dans les

sections %0 et %0=.

"8"R(9(" ;3 0uite de lFe#ercice du c$apitre .

On se propose de soumettre lFarbre = ! une traction de F JWWWW *.0ac$ant que cette dernire est en acier de rsistance lastique e =YJ 1Pa et

de coefficient de scurit s ; :

6-alculer les contraintes dans les sections %0 et %0=.

rifier si cet arbre peut supporter cette c$are dans les conditions

satisfaisantes de scurit.

9iure de lFarbre =



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C%apitre 6

LA COMPRESSION SIMPLE

Objectifs :


sollicite la traction.

Dter&iner les conditions de rsistance et de rigidit d9une poutre

sollicite traction.

Di&ensionner une poutre sollicite la traction.

Prrequis :


orseur de cohsion.

(ecteur contrainte.


1- D!inition.



4- %ondition de rsistance en co&pression.

Rsistance des matriau 19 $a c"m)ressi"n sim)$e


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L -O1PE00)O* 0)1PLE

1-D#inition :

"ne poutre est sollicite ! lFe#tension simple si elle est soumise !deu# forces directement opposes qui tendent ! lFalloner ou si le torseur

de co$sion peut se rduire en >, barycentre de la section droite 0, ! une

rsultante native porte par la normale ! cette section. %9iure ;.

{ }

0

0

0

0

0

00

=

=

N

NN

G

G

Gcoh

9iure =.Hypothse :

Le solide est idal: matriau $omone, isotrope, poutre rectiline et

de section constante, de forme voisine du carr %b Z ,J a. Les sections

circulaires conviennent

parfaitement. La lonueur L

doit 8tre comprise entre ;et X fois la dimension

transversale la plus faible

pour viter le risque de

flambae. Les actions

e#trieures dans les sections e#tr8mes sont modlisables par deu#

rsultantes et ? appliques au# barycentres de ces sections, diriesselon la line moyenne, vers l'intrieur de la poutre.



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2-(ontraintes dans une section droite :

Elles sont normales ! %0 et uniformment rparties dans cette dernire.

La contrainte M %1Pa a pour valeur :S

NM= avec 0"0


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!-(ondition de rsistance :

Pour des raisons de scurit, la contrainte normale doit rester

infrieure ! la rsistance pratique ! la compression pc. On dfinit pc

par le rapport suivant :

ec : rsistan\ lastique ! la compression %1Pa.

0 : coefficient de scurit %sans unit.

La condition de rsistance est :

Les aciers dou# et mi6durs ont la m8me rsistance lastique een traction et en compression.

Le bton et la fonte ont

des rsistances lastiques trs

diffrentes en traction et en

compression, ainsi que tous les

matriau# non $omones et nonisotropes.

0i le poids de la poutre

verticale n'est pas nlieable

%c(bles d'ascenseurs de rands

immeubles, piles de ponts,

c$eminesd'usine.. ., la condition de

rsistanc est :

P : poids total de la poutre %*.

,olides rels :

-e sont des solides qui s'cartent des conditions idales.

0E-+)O*0 ?"0]"E1E*+ )?LE0 :



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La section est de forme proc$e du carr ou du cercle, comme en

traction, dans les Iones de c$anement de section, la rpartition

des contraintes n'est plus uniforme. -ette concentration de : contrainte

est peu danereuse en compression7 elle est, en nral, nlie.

9iure =.=0E-+)O*0 +^0 PL+E0 :

&ans le cas d'une poutre plate %par e#emple b W a, si ;b Z L Z Xb,

on a : ;Wa Z L Z XWa.

0ous l'action de *, la poutre flc$it selon 10, la sollicitation de

flambae remplace la compression simple.

9iure =.;0OL)&E0 +^0 1)*-E0 :

0i $ devient trs petite, on n'obtient plus de dformation

sinificative. +out se passe comme si on maintenait la pice latralement

par des parois solides. La sollicitation de compression est remplace par

du matae.

9iure =.G



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C%apitre 7

LE CISAILLEMENT SIMPLE

Objectifs

Dter&iner la rpartition des contraintes dans la section d,une poutre sollicite

au cisaille&ent.

Dter&iner la condition de rsistance d,une poutre sollicite au cisaille&ent.

Di&ensionner une poutre sollicite au cisaille&ent.

Pr requis


orseur de cohsion.

(ecteur contrainte.

Elments de contenu

1- D!inition.

2- ssai de cisaille&ent.


4- tudes des contraintes.

$- Relation %ontrainte / D!or&ation.'- %ondition de rsistance au cisaille&ent.

Rsistance des matriau 24 ,isai$$ement sim)$e


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LE -)0)LLE1E*+ 0)1PLE

1- D#inition

"ne poutre est sollicite au cisaillement simple lorsquFelle est soumise !deu# forces directement opposes, perpendiculaire ! la line moyenne, et qui

tendent la cisailler7 ou lorsque le torseur de co$sion peut se rduire en >,

barycentre de la section droite 0, ! une rsultante contenue dans le plan de

cette section. %9iure G.

i/ure !.(

{ }

G

y

G

Gcoh T

T

=

=0

0

0

0

0

0

2- "ssai de cisaillement5

=6 Principe

LFessai de cisaillement consiste ! soumettre une prouvette de section

rectanulaire ! deu# c$ares et F et F distantes de _#. LFprouvette se

dforme comme lFindique la fiureG.=, les encastrements en %, ? et %=, ?=

emp8c$ent la rotation des sections droites.

On aumente 9 et on relve la valeur du dplacement _v correspondant.

i/ure !.2



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=6= &iaramme effort6dformation

La dformation sFeffectue en deu#

p$ases %9iure G.;

6 one O : Ione de dformations

lastiques : le lissement est

proportionnel ! la c$are.

6 one ?-& Ione de dformations

permanentes %plastiques.

9iure G.;

3- "tude des d#ormations

La section 0 cisaille se dplace dans son plan. -e dplacement est un

lissement. )l est dfini par un anle de lissement #. -et anle de _y et_# tel

que t # _yD_#.

&ans le domaine lastique, #reste faible, on peut confondre #et t #dFoH

# _yD_#

!- "tudes des contraintes

LFeffort tranc$ant T sFcrit T+yy F et le vecteur contrainte

( ) yMC y=, &Fautre part ( ) ydsdsMCTS

yS

== ,

)l en rsulte dsT S yy = Pour lF$ypot$se dFune rpartition uniforme de contraintes #y, on aura #y moy

sdsT moyS

moyy == d$& SF

moy=

9 en@*A 7 0 en @mm=A7 moy en @1PaA

Pour une poutre, de section 0, sollicit au cisaillement simple la valeur de la

contrainte tanentielle est ale au rapport de lFeffort 9 par la section 0.



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'- Relation contrainte D#ormation

&ans la premire portion de la courbe %one O, il y a proportionnalit

entre la c$are et la dformation. La loi traduisant cette linarit est : Gmoy=

> est le module dFlasticit transversale ou module de -oulomb e#prim en en

@1PaA.

-ette relation peut sFcrire encore :

yG

S

F

=

)-(ondition de rsistance au cisaillement

Pour une pice sollicite au cisaillement, la valeur de la contrainte

tanentielle moy ne doit pas dpasser la valeur de la contrainte ma#imale

admissible appele encore rsistance pratique au lissement p%peD0. 0 est

le coefficient de scurit.

&FoH la condition de rsistance dFune pice au cisaillement : Z p



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"8"R(9(" 1 =ccouplement

Pour proter la c$a4ne

cinmatique dFune mac$ine on

utilise au niveau de la liaison des

arbres % et %= un dispositif de

scurit qui comprend un manc$on

%; et deu# oupilles %G et %J. Le

diamtre des arbres % et %= est

de =W mm. On fi#e la valeur

ma#imale du moment du couple ! transmettre ! 16= KW *.m. Les oupilles %G et

%J ont le m8me diamtre d. Elles sont en acier ;; pour lequel eJW 1Pa.

]uestions

S &terminer lFeffort tranc$ant dans les sections des oupilles sollicites au

cisaillement.

=S &terminer le diamtre d des oupilles. Le coefficient de scurit est s;.

"8"R(9(" 2 =rticulation en chape

La fiure ci contre reprsente lFa#e

dFarticulation dFun piston quipant un

compresseur. Le diamtre du piston est

&JK mm et la pression ma#imale qui

sFe#erce sur le piston est PVbars. Lediamtre de lFa#e est dV.Jmm

%dtermin dFaprs la condition de non

matae. )l est construit en un matriau

de rsistance e ==W1pa. Le coefficient

de scurit est sJ.

]uestions



30/65


S &terminer lFaction e#erce par le piston sur lFa#e et en dduire la nature de

la sollicitation.

=S rifier la rsistance de lFa#e.

;S ue la faible contrainte moyenne sur la section on se propose dFvider lFa#e.

&terminer le diamtre intrieur de lFa#e.

"8"R(9(" 3 (alcul d4une cla>ette

"n arbre transmet un

mouvement de rotation ! un

moyeu par lFintermdiaire dFune

clavette. Le diamtre d de

lFarbre est connu et les normes

donnent les dimensions & et E de

la section transversale de la

clavette. )l ne reste quF!

c$erc$er la lonueur L de la clavette. Le couple ma#imal transmis par cette

liaison est -W.

]uestions

S Prouver, avec un simple sc$ma, que la clavette est sollicite au cisaillement.

=S &terminer la lonueur L de la clavette si elle est construite dFun matriau de

rsistance pratique au lissement p.

"8"R(9(" ! $Rsistance d4un point de soudure&&eu# plaques, lies par * points de

soudure, sont soumises ! deu# efforts.

Elles sont de matriau de rsistance

p. Le diamtre dFun point de soudure

est d. &terminer le nombre de points ncessaires *.



31/65


C%apitre 8

LA TORSION SIMPLE

Objectifs :


sollicite la torsion.

Dter&iner la condition de rsistance d9une poutre sollicite la torsion.

Di&ensionner une poutre sou&ise sollicite la torsion.

Prrequis :


orseur de cohsion.

(ecteur contrainte.


1- D!inition.

2- ssai de torsion.

3- Relation %ontrainte 0 D!or&ation.

4- +uation de d!or&ation.

$- Relation %ontrainte -&o&ent de torsion.

'- %ondition de rsistance la torsion.

)- %ondition de rigidit.

-%oncentration de contrainte.

Rsistance des matriau 0 T"rsi"n sim)$e


32/65


L +O0)O* 0)1PLE

1-D#inition :

"ne poutre est sollicite ! la torsion simple si elle est soumise ! deu# couplede moments opposs qui tendent ! la tordre ou lorsque le torseur associ au#

efforts de co$sion peut se rduire en >, barycentre de la section droite 0, ! un

moment port par la normale ! cette section. %9iure J.

i/ure %.(

{ }

G

t

Gt

Gcoh

M

M

=

=

0

0

0

0

00

u cours de ce cours on va traiter uniquement la torsion des poutres de

section circulaire.

2- "ssai de torsion :

L'essai de torsion est ralis sur une prouvette cylindrique de rvolution

soumise ! deu# moments opposs. %9iure J.=.

-onstatations

6 La distance entre deu# sections droites reste constante.

6 Les sections droites restent planes et normales ! la line moyenne mais

tournent autour de cette line.

6 Le dplacement relatif de deu# sections voisines est une rotation d'anle

dautour de la line moyenne.

Rsistance des matriau ( T"rsi"n sim)$e


33/65


i/ure %.2

La visualisation de la .courbe 1> f % permet de distinuer deu# Iones :

6 "ne Ione lastique oH la dformation est proportionnelle au moment:

l1>lT

6 "ne Ione de dformations plastiques. %9iure J.;

Remarque

L'anle de rotation .est proportionnel ! la distance des sections: cte%

== 0.1

1

On pose

=

" est l'anle de torsion unitaire e#prim en @radDmmA.

i/ure %.



34/65


3- Relation contraintes d#ormation :

0oient deu# sections droites trs voisines spares par une distance d#.

Elles tournent l'une par rapport ! l'autre de l'anle d%9iure J.G

==

==

rd

dr

d!''(

rd''(

i/ure %.!

u cours de la dformation c$aque nratrice tourne dans le plan tanent

d'un anle appel anle de lissement. L'anle de lissement est proportionnel

! la contrainte tanentielle > oH > est le module de -oulomb.

)l en rsulte : La contrainte est ma#imale sur le contour e#trieur de la

section cFest ! dire pour r 7 ma# >

!- "uation de d#ormation :

i/ure %.%

Rsistance des matriau T"rsi"n sim)$e


35/65


En un point 1 de la section, la contrainte de torsion est %1 >r

Le vecteur contrainte ( ) ( ) trGtMC M ==,

Le moment de torsion est suivant l'a#e %W, , s'crit MM tt= . &'autre

part ( ) ==== S StSSt dSrGMdSrGdStrGrdSMCMGM22

1 ^,^

&finition :

S dSr2 est par dfinition le moment quadratique polaire de la surface 0 par

rapport ! son centre de ravit >. )l est not )>.

"n simple calcul peut dterminer )>pour les surfaces circulaires.

Pour une surface circulaire pleine de diamtre & : )> )) &GD;=

Pour une surface circulaire creuse %annulaire : )> )) %&G6dGD;=

La relation entre le moment et la dformation %quation de dformation

est: Gt &GM =

1t: @* mmA7 @radDmmA7 >@1paA et )>: @mmGA

'- Relation contrainte -moment de torsion :

La contrainte en un point 1 vaut %1 >r

Le moment de torsion est Gt &GM =

)l en dcoule ( ) r&

M

G

tM = &

( )

r

&

M

G

tM =

La contrainte ma#imale de torsion est obtenue pour r : R&

M

G

t=m!

)- (ondition de rsistance :

Pour des raisons de scurit la contrainte ma#doit rester infrieure ! la

valeur de la contrainte pratique au lissement p, en adoptant un coefficient de

scurit s tel que p eDs, oH s dpend de l'application.

&'oH la condition de rsistance d'une pice en torsion : R$gm!

En d'autre terme : R$gR&M

G

t

Rsistance des matriau ! T"rsi"n sim)$e


36/65


+- (ondition de riidit :

Pour des arbres de rande lonueur %arbre de forae des puits de ptrole,

arbres de navires... on vite de trop randes dformations pour diminuer les

vibrations. Elle doit rester infrieure ! une valeur lim. &'oH la condition de

riidit d'une pice en en torsion : limG

t

G&

M

6- (oncentration de contrainte :

+out c$anement brusque de section %rainure de clavette, ore,

paulement` entra4ne une concentration de contrainte au niveau de la section etla condition de rsistance vue ci dessus est modifie.

"n e#emple est illustr sur la fiure J.K

pour le cas d'une rainure de clavette

La condition de rsistance s'crit :

R$geff m! avec m!m! thteff " =

m!eff :-ontrainte effective ma#imale.

m!th : -ontrainte sans concentration.

"xemple de calcule :

&terminer Tt pour une rainure de

clavette ayant un con dans lFanle

intrieur r W.; et pour arbre dediamtre d=W mm.

Rsistance des matriau % T"rsi"n sim)$e


37/65




38/65


/L"+)O* :



39/65


Rsistance des matriau & T"rsi"n sim)$e


40/65


41/65


C%apitre 2

LA FLEXION SIMPLE

Objectifs : Dter&iner la rpartition des contraintes dans la section d9une poutre

sollicite la !leion.

Dter&iner la condition de rsistance d9une poutre sollicite !leion.

Di&ensionner une poutre sollicite la !leion.

Prrequis :


orseur de cohsion.

(ecteur contrainte.


1- D!inition.


3- Relation %ontrainte - &o&ent de !leion.

4- %ondition de rsistance la !leion.

$- %oncentration de contrainte.

'- D!or&ation en !leion.

)- %ondition de rigidit en !leion.

- hor&e de superposition des d!or&ations.

Rsistance des matriau 48 1$amement


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L 9LE2)O* 0)1PLE1-D#inition :

"ne poutre est sollicite ! la fle#ion

simple si le torseur associ au# efforts deco$sion peut se rduire en >, barycentre de

la section droite 0, ! une rsultante

contenue dans le plan de la section et ! un

moment perpendiculaire ! cette dernire. "n

e#emple de poutre sollicite ! la fle#ion

simple est illustr sur la fiure K.9iu

re6.(

{ }

Gfz

y

Gfz

Gcoh

M

TM

T

=

= 00

0

0

2-"tude des contraintes :

Lorsque la poutre flc$it, %9iure K.= la section

droite pivote d'un anle et on constate que:

6Les fibres moyennes ne c$anent pas de

lonueur %La contrainte est donc nulle

9iure K.=

6Les autres fibres s'allonent ou se compriment.%9iure K.;. Les contraintes normales enendres sont

proportionnelles ! la distance qui les sparent du plan des

fibres moyennes, dFoH : yEM =

M :-ontrainte normale de fle#ion en 1 @1PaAE : 1odule, dFRoun @1PaAR : Ordonne de 1 U ! la fibre neutre @mmA.

9iure K.;



43/65


: nle unitaire de fle#ion @radDmmA."

=

3-Relation entre contrainte et moment de #lexion :

Le vecteur contrainte dans la section droite s'crit( ) yEMC

==,

Le moment rsultant du torseur de co$sion ( )== Sfzfz MCMGzMM ,^

zzyyMG += " )l en rsulte. dSyEdSyEMSS

fz == 22

Ory

EyE

== &onc dSyy

MS

fz =

2

D#inition: moment quadratique d'une section.

Le moment quadratique d'une section parrapport ! un a#e contenu dans son plan est:

= S'( dSy&2

)oI: 1oment quadratique polaire de 0 par

rapport ! l'a#e %W, I @mmGA

y : distance du point 1 ! l'a#e %W, I @mmA

9iure K.G

= S'( dSy&2

et = S') dSz&2

Le moment quadratique polaire de 0 par rapport ! l'a#e %W, # est

= S' dS&2

-omme

222 zy

+=

alors:( ) '(')

S' &&dSzy& +=+=

22

Moments uadratiues des sections usuelles



44/65


9inalement y&

M&

yM

G(

fz

G(

fz ==

Les contraintes normales se dveloppent dans les fibres les plus loines

de la fibre neutre. : m!m! y&M

G(

fz

=

Pour une section droite donne, la quantitm!

y

&* G((= s'appelle module de

rsistance de la section par rapport ! l'a#e %W, I @mm;A. -e module est donn

sur les cataloues des fournisseurs.

La relation la plus utilise est, donc:(

fz

*

M=m!

!- (ondition de rsistance ? la #lexion :

La contrainte doit rester infrieure ! la contrainte pratique !

l'e#tension pe telle que peeD0

La condition de rsistance s'crit, donc : R$ey&

MR$e

G(

fz

m!m!

'- (oncentration de contrainte :

+out c$anement brusque de section %rainure de clavette, ore,

paulement... entra4ne une concentration de contrainte au niveau de la section et

la condition de rsistance vue ci dessus est modifie.

"n e#emple est illustr sur la fiure K.J pour le cas d'un arbre avec ore.

La condition de rsistance s'crit dans ce cas : R$eeffe m!



45/65


9iure K.J

)- D#ormation en #lexion :

K6 &forme :

On appelle dforme, la courbe de la line moyenne de la

poutre aprs dformation. %9iure K.K

L'quation de la dforme est: )fy=

y est la flc$e au point d'abscisse #.

Les drives premire et seconde sont notes y' et y.

9iure K.K

K6= elation entre flc$e et moment flc$issant

On peut calculer la flc$e ! partir de l'quation de la dforme dterminer

par double intration de l'quation du moment flc$issant. ( ) fzG( MyE& =*

+- (ondition de riidit en #lexion

On calcule la flc$e ma#imale et on vrifie ensuite que cette flc$e resteinfrieure ! une valeur limite flim: limm! fy

6- %horme de superposition des d#ormations

+$orme

Pour une poutre sollicite dans son domaine lastique, la dformation due !

un systme de c$ares est ale ! la somme des dformations dues !

l'application successive des c$ares constituant le systme de c$arementappliqu initialement.

emarque :

-e principe permet de dcomposer un systme comple#e de n forces, en n

systmes simples, avec une force applique. On trouve ensuite c$aque valeur de

flc$e et on fait la somme albrique pour retrouver la flc$e du systme initial.



46/65


"8"R(9(" 1Poutre en )P*"ne poutre , encastre dans =, y est

constitue par un )P* de lonueur .J m.Elle supporte une c$are uniformment

rpartie de coefficient PXWW *Dm. 0arsistance pratique X est pe WW 1pa etson module d'lasticit lonitudinale est E =WW WWW 1Pa

]uestionsS &terminer l'action de = sur .=S &terminer le torseur de co$sion le lon de ?.;S +racer les diarammes des efforts tranc$ants et des moments

flc$issant.

GS &terminer la $auteur minimale de lF)P*.JS La flc$e ma#imale est fi#e ! LDJWW, vrifier l')P* c$oisi."8"R(9(" 2La fiure ci contre reprsente le dessin

d'une mac$ine ! usiner les portescylindriques de vilebrequins par arasae.

Pour une premire approc$e du problme,on assimile les liaisons vilebrequin6mac$ine,situes au# points de rfrence, ! des appuissimples. On ne considre que l'influence del'effort de pntration.

On se limite ! une tude qualitative, pourcela on remplace le vilebrequin par une barrecylindrique de moment quadratique en fle#ion )>I.

On note:L: distance entre les appuis.E: module de RO"*> du matriau.

9p: l'action de pntration de l'outil sur levilebrequin.]uestions :S &terminer les actions au# appuis.=S &terminer le torseur de co$sion le lon de la poutre.;S &terminer dans ces conditions la flc$e au droit du point d'application

de l'effort 9p.GS PrciseI l'cart ma#i e#istant entre la cote fabrique et te diamtre

sou$ait pour le cylindre.

pplication numrique: 9p= W;

* 7 E=W WWW 1Pa 7 LJWW mm 7 GW mm.



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C%apitre 4

SOLLICITATIONS COMPOSES

Objectifs :


sou&ise une sollicitation co&pose.

Dter&iner la condition de rsistance d9une poutre sou&ise une

sollicitation co&pose.

Di&ensionner une poutre sou&ise une sollicitation co&pose.

Prrequis :

*ollicitations si&ples.


1- leion5torsion

2- raction5torsion.



48/65


0OLL)-)++)O*0 -O1PO0/E0

1-0lexiontorsion :

1!1 D"#$%$&$'% :

"n arbre est soumis ! une sollicitation

de fle#iontorsion si le torseur associ au#

efforts de co$sion peut se rduire en >,

barycentre de la section droite 0, ! un

moment de torsion et ! un moment de

fle#ion %fiureV.. i/ure7.(

{ }

Gfz

t

Gtfz

Gcoh

M

M

MM

=

+= 0

0

0

00

1!!M'()%& $*"+, *) #,)-$'% :

Les contraintes normales et tanentielles aissent simultanment et il y amajoration de c$acune dFelle. On calcule la contrainte normale ! partir du

moment idal de fle#ion dfini par la formule suivante :

22

2

1

2

11 MtMfMfMfi ++

=

1fi: 1oment idal de fle#ion @*.mmA

pDpe 7 Pour les aciers W.J, moment idal de fle#ion 22 MtMfMfi +=



49/65


1!. C'%*$&$'% *) /"0$0&+%) :

La condition de rsistance dFun arbre sollicit ! la fle#iontorsion sFcrit :

R$eM oH M est dtermine ! partir du moment idal de fle#ion

1!2!D"#'/(+&$'% :

Pour le calcul des flc$es verticales, partir

de la sollicitation de fle#ion suppose seule.

rifier ensuite que cette flc$e est acceptable.( )limm! fy

Pour le calcul des anles de torsion, partir de

la sollicitation de torsion suppose seule. rifier

ensuite que cet anle est acceptable. ( )limm!

i/ure 7.2

2- %ractiontorsion!1 D"#$%$&$'%

"n solide est soumis ! une

sollicitation de tractiontorsion si le

torseur associ au# efforts de co$sion



50/65


peut se rduire en >, barycentre de la section droite 0, ! un moment de torsion

et ! un effort normal %fiureV.=.

i/ure 7.

{ }

G

t

Gt

Gcoh

MN

M

N

=

=0

0

0

0

! C+,3, *)0 '%&/+$%&)0 :

+oute fibre supporte deu# contraintes de nature diffrente, une contrainte

normale et une contrainte tanentielle. On dfini la contrainte idale telle que :

22 4 +i , vec SN

= et R&

Mt

0

=

!. C'%*$&$'% *) /"0$0&+%) :

1a condition de rsistance pour ce type de rsistance sFcrit

R$e+22

4

,emarque : -e calcul est aussi valable pour une sollicitation de traction

cisaillement. &ans ce casS

T=

"8"R(9(" D4=PP@9(=%9A :



51/65


C%apitre 9

LE FLAMBEMENT

Objectifs :

Di&ensionner une poutre sollicite au !la&6e&ent.

Prrequis :

8a !leion si&ple.


1- tude du !la&6e&ent.

2- lance&ent.

3- %harge criti+ue.

4- %ontrainte criti+ue.

$- %ondition de rsistance.



52/65


LE 9L1?E1E*+

1- "tude du #lamement thorie d


53/65


: ayon de iration de l! section @mmA dfinit par:S

&G(=

)>: moment quadratique minimal de la section suivant lFa#e principale

perpendiculaire ! la dformation @mmGA

3-(hare critiue :

En cas de flambae, la c$are critique dFEuler 9cest : 22

L

E&F G(C

=

E : 1odule d'Roun du matriau @1PaA.

)> : 1oment quadratique de la section

@mmGA.

L: Lonueur libre de flambae de la

poutre @mmA.

E1]"E:

l est la lonueur de la poutre, la lonueur

libre de flambae L, est fonction du typed'appui. Elle est donne par le tableau

suivant.

'- (ontrainte critiue :

En crivant que G(G( &

SL

S

&

LL 22

2

22 ===

En reportant cette valeur dans

lFe#pression de 9c: 22

ESFC=

La valeur de la contrainte critique C @1PaA est : 22

E

S

FC

CC ==



54/65


'- (ondition de rsistance

En Posant eC R= ou eRE

=2

2

on dfinite

CR

E22 =

C : /lancement critique %randeur sans dimension ne dpend que de la

nature du matriau.

6E: 1odule d'lasticit lonitudinal @1PaA.

e: sistance lastique du matriau @1PaA.

'-1 coe##icient de scurit

Le coefficient de scurit Q, spcifique au flambae, est le double du

coefficient de scurit $abituel s.

Q=s et s ecDpc

ec: rsistance lastique ! la compression @1PaA.

pc : rsistance pratique ! la compression @1PaA.

'-2 (ondition de rsistance

La c$are critique d'Euler 9cne doit jamais 8tre atteinte.

9adm: c$are admissible sur la poutre.

C

e

$c

adm

adm

C FR

RF

F

F"

2==

En rempla3ant 9cpar sa valeur ainsi que2

C on trouve:2

2

=

C

$c

adm

SRF



55/65


9adm: force admissible d'aprs Euler @*A.

pc: rsistance pratique ! la compression @1PaA.

0 : aire de la section droite @mm=A.

: /lancement de la poutre %sans dimension.

C : /lancement critique de la poutre %sans dimension.

0elon la valeur , la c$are limite 9 est donne par l'une des trois relations

%poutres, acier.



56/65


BIBIOGRAPHIE

R",9,%=(" D", M=%%R9=C8uteurs : 1. TE>")>*0, >. -)>*E+Edition : ?O&0 YVV

.C9D" DC (=@(C@ " M(=9EC"

uteurs : &. 0PE*LE, . >O"


57/65


ANNEXE 1 :

ransparents pourrtropro7ecteur.



58/65


9iure .

9iure .;

9iure .J



59/65


9iure =.K

i/ure !.2

i/ure %.2



60/65


i/ure %.%

i/ure &.(



61/65


ANNEXE :

Docu&ents !ournirau tudiant



62/65


9iure .

fiure.J

* : Effort normal sur %>, # 1t: 1oment %couple de torsion sur %>, #+y: Effort tranc$ant sur %>, y 1fy: 1oment de fle#ion sur %>, y

+I: Effort tranc$ant sur %>, I 1fI: 1oment de fle#ion sur %>, I

+ableau .

,ollicitation +orseur de co$sion ,ollicitation +orseur de co$sion

%raction(ompression

G

N

00

00

0 %orsion

G

tM

00

00

0

(isaillement $selon $./y&&

G

yT

00

0

00 0lexion pur $selon

$./&&

G

fyM

00

0

00

Rsistance des matriau 38 1$ei"n sim)$e


63/65


+ableau=.

+ableau=.=



64/65


9iure =.V



65/65


Documents

Cours-RDM.pdf