Cours Tns Master It

!

Cours!traitement!

numérique!des!signaux

!

1" K.!MINAOUI!Cours!TNS!

!

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Introduc=on!

!

!


1.   Introduc=on!1.1!!!défini=ons!de!base!:!Signal!!  Un signal est la représentation physique de l’information qu’il transporte de sa source à son

destinataire. Il sert de vecteur à une information. !  Il constitue la manifestation physique d’une grandeur mesurable (courant, tension, force,

température, pression, etc.).

!  Les signaux sont des grandeurs électriques variant en fonction du temps x(t) obtenues à l’aide de capteurs.

!  Le traitement du signal s’applique à tous les signaux physiques (onde acoustique, signal optique, signal magnétique, signal radioélectrique, etc.).

!  Le traitement d’images peut être considéré comme une extension du traitement du signal aux

signaux bidimensionnels (images).

!  Exemple load handel sound(y,Fs) plot (y)

!


1.   Introduc=on!1.1!!!défini=ons!de!base!!:!Théorie!du!signal!!  La théorie du signal a pour objectif fondamental la "description mathématique" des

signaux. !  Cette représentation commode du signal permet de mettre en évidence ses principales

caractéristiques (distribution fréquentielle, énergie, etc.) et d’analyser les modifications subies lors de la transmission ou du traitement de ces signaux.

1.1!!!défini=ons!de!base!!:!Traitement!du!signal!!  Le traitement du signal est la discipline technique qui, s’appuyant sur les ressources de

l’électronique, de l’informatique et de la physique appliquée, a pour objet l’élaboration ou l’interprétation des signaux.

!  Son champ d’application se situe donc dans tous les domaines concernés par la perception, la transmission ou l’exploitation des informations véhiculées par ces signaux.

!


1.   Introduc=on!1.1!!!défini=ons!de!base!!:!Traitement!du!signal!!  Les fonctions du traitement du signal peuvent se diviser en deux catégories :

l’élaboration des signaux et l’interprétation des signaux. Les principales fonctions intégrées dans ces deux parties sont les suivantes :

"  Élaboration des signaux –  création de signaux de forme appropriée en procédant par exemple à une combinaison de signaux

élémentaires –  modulation, changement de fréquence : moyen permettant d’adapter un signal aux caractéristiques

fréquentielles d’une voie de transmission –  codage : traduction en code binaire (quantification), etc. "  Interprétation des signaux –  filtrage : élimination de certaines composantes indésirables –  détection : extraction du signal d’un bruit de fond ( corrélation) –  identification : classement d’un signal dans des catégories préalablement définies –  analyse : isolement des composantes essentielles ou utiles d’un signal de forme complexe

(transformée de Fourier) –  mesure : estimation d’une grandeur caractéristique d’un signal avec un certain degré de confiance

(valeur moyenne, etc.) !


1.   Introduc=on!1.2!!!Classifica=on!des!signaux!Pour faciliter l’étude des signaux, différents modes de classification peuvent être envisagés !  représentation temporelle des signaux ; !  caractéristique énergétique ; !  représentation spectrale ; !  caractéristique morphologique (continu ou discret).


1.   Introduc=on!1.2!!!Classifica=on!des!signaux!

1.2.1"Représenta2on"temporelle"des"signaux"La première classification, basée sur l’évolution du signal en fonction du temps, fait apparaître deux types fondamentaux : !  les signaux certains (ou déterministes) dont l’évolution en fonction du temps peut être

parfaitement décrite par un modèle mathématique. Ces signaux proviennent de phénomènes pour lesquels on connaît les lois physiques correspondantes et les conditions initiales, permettant ainsi de prévoir le résultat ;

!!  les signaux aléatoires (ou probabilistes) dont le comportement temporel est imprévisible

et pour la description desquels il faut se contenter d’observations statistiques.



1.2.1"Représenta2on"temporelle"des"signaux""


Signaux!déterministes! Signaux!aléatoires!

Signaux!périodiques! Signaux!non!périodiques! Signaux!sta4onnaires!

Signaux!non!!sta4onnaires!

Signaux!sinusoïdaux!

Signaux!périodiques!complexes!

Signaux!pseudo!périodiques!

Signaux!transitoires!

Signaux!ergodiques!

Signaux!non!ergodiques!

Signaux!physiques!


"1.2.2"Classifica2on"énergé2que" La plupart des signaux peuvent être classés à partir de l’énergie totale et la puissance moyenne totale, suivant les deux ensembles : !  signaux à énergie finie

!  signaux à puissance moyenne finie !



"1.2.3"Classifica2on"spectrale"Un signal peut être classé suivant la distribution de son énergie ou de sa puissance en fonction de la fréquence (spectre du signal). Le domaine des fréquences occupé par son spectre est aussi appelé la largeur de bande du signal

ΔF= ΔFmax – Δfmin

Cette caractéristique, exprimée en hertz (Hz), est absolue. Aussi il est nécessaire de la comparer au domaine de fréquences dans lequel se situe le signal. En considérant la fréquence moyenne Fmoy = (Fmax − Fmin)/2, on peut distinguer deux types de signaux : !  les signaux à bande étroite avec ΔF/Fmoy petit (soit Fmax ≈ Fmin) ; !  les signaux à large bande avec ΔF/Fmoy grand (soit Fmax Fmin).


1.   Introduc=on!1.2!!!Classifica=on!des!signaux!"

1.2.4"Caractéris2que"morphologique"(con2nu"ou"discret)"Le temps est un paramètre important de classification. Comme nous venons de le voir, le traitement numérique des signaux conduit à faire la distinction entre les signaux dits à temps continus (signaux continus) et les signaux dits à temps discrets (signaux discrets ou échantillonnés). Un autre paramètre des signaux traités est à prendre en compte, c’est l’amplitude qui peut aussi être continue ou discrète (quantifiée). Ainsi quatre formes de signaux, qui se retrouvent dans un système numérique de contrôle d’un processus physique, peuvent être distinguées : !  signal à amplitude et temps continus (signal analogique);

!  signal à amplitude discrète et temps continu (signal quantifié);

!  signal à amplitude continue et temps discret (signal échantillonné); !  signal à amplitude discrète et temps discret (signal logique) :



1.2.4"Caractéris2que"morphologique"(con2nu"ou"discret)"""""""""""""

Les quatre types des signaux classés suivant leur morphologie(continu ou discret) ""


1.   Introduc=on!1.2!!!Quelques!signaux!

On fera souvent appel par la suite à des fonctions particulières caractérisant des comportements types. Parmi ces signaux on notera les signaux causaux nuls pour t<0. !  La fonction échelon unité ou fonction de Heaviside est définie par . Sa

valeur à l’origine est arbitraire. Elle est le plus souvent choisie égale à 1/2. Cette fonction peut être utilisé pour rendre compte de la causalité : pour tout signal , le signal a comme support ;

!  La fonction signe se définit à partir de la fonction échelon unité par

!  La fonction porte ou rectangle se définit par . On l’utilisera pour réaliser le fenêtrage rectangulaire sur un signal :


)(1)( [,0[ ttx +∞=

)(tx )()()( tutxty = [,0[ +∞

1)(2)( −= tutsigne

)2/()2/()(1)( TtuTtuttrect TT −−+==)(tx )()()( trecttxtx TT =


!

!  L’impulsion ou la fonction Dirac a les propriétés suivantes :

1.  .

2.  .

3.  .

.


∫ ∫ℜ ℜ

== )0()()(1)( xdttxtetdtt δδ

)()()()( 000 tttxtttx −=− δδ

)()(*)( 00 ttxtttx −=−δ


!

!  Le signal sinusoïdal est définit par . est l’amplitude crête du signal, sa pulsation, sa phase à l’origine et sa fréquence.

!  Le signal exponentielle complexe est défini par

!  la fonction sinus cardinal est définie par


)2sin()sin()( 0000 φπφω +=+= tfxtxtx 0x0ω φ πω 2/00 =f

);2exp()( 00 tfjxtx π=

./)sin()(sin tttc ππ=

!

!

!

Signaux!déterministes!à!temps!con=nu!

!

!


1.   Signaux!déterministes!à!temps!

con=nu!

1.1!!!Représenta=on!fréquen=elle!!!!!!

On a pour habitude de décrire les signaux en fonction de la variable temporelle t car notre perception des phénomènes physiques nous y incite. En électronique, la connaissance des propriétés spectrales d'un signal est primordiale. Ainsi, on utilise souvent une représentation en fonction de la fréquence pour caractériser un signal ou un système. Les outils de traitement des signaux nous aident dans cette tâche. "

1.1.1"Série"de"Fourier""La décomposition en série de Fourier permet de décomposer un signal en somme de sinusoïdes. On utilise principalement les séries de Fourier dans le cas des signaux périodiques. Elles permettent ainsi de passer facilement du domaine temporel au domaine fréquentiel.



con=nu!

1.1.1"Série"de"Fourier"Pour tout signal x(t) qui est périodique, de période notée T , c-à-d. un signal tel que

on définit les coefficients de Fourier (aussi appelés coefficients spectraux) d’un tel signal x(t) par :

où est appelée pulsation fondamentale du signal.

Inversement, le signal x(t) peut s’exprimer de manière suivante

!18" K.!MINAOUI!Cours!TNS!

ℜ∈∀=+ ttxTtx )()(

∫−−=

2/

2/0)(1 T

T

tjnn dtetxT

c ω

Tπ

ω2

0 =

∑+∞

∞−

= tjnnectx 0)( ω


con=nu!

1.1.1"Série"de"Fourier"

!


0ω 02ω ω03ω0ω−02ω−03ω−

.... ...

Composante!!con4nue!

fondamental!

harmoniques!

2−c

1−c 1c0c

nc

2c


con=nu!

1.1.2"Transformée"de"Fourier"Défini2on"C’est une généralisation de la décomposition de série de Fourier à tous les signaux déterministes. Elle permet d’obtenir une représentation en fréquence (représentation spectrale) de ces signaux. Soit x(t) un signal déterministe. Sa transformée de Fourier est

Si cette transformée existe, la transformée de Fourier inverse est donnée par :

où est la transformée inverse de Fourier inverse.

!


∫+∞

∞−

−== dtetxtxTFfX ftj π2)()]([)(

∫+∞

∞−

− == dtefXfXTFtx ftj π21 )()]([)(

1−TF


con=nu!

1.1.2"Transformée"de"Fourier"Propriétés""

!


x(t)% X(f)%

Linéarité!

Transla2on!

Conjugaison!

Dériva2on!

Convolu2on!

)(.)(. tytx βα + )(.)(. fYfX βα +

)( 0ttx − )(02 fXe ftjπ−

)(* tx

)( 0ffX −)(02 txe tfjπ

)(* fX −

n

n

dttxd )( )()2( fXfj nπ

)(*)( tytx

)().( tytx )(*)( fYfX)().( fYfX


con=nu!1.1.2"Transformée"de"Fourier"Exercices"1""1.  Calculer la transformé de Fourier de Dirac ;

2.  Calculer la transformé de Fourier de

3.  Calculer la transformé de Fourier du signal%rectangle

Remarques""•  La transformée de Fourier d’une fonction sinusoïdale de fréquence f0 est représentée par

deux impulsions de Dirac centrée sur les fréquences –f0 et +f0. Bien entendu, l’impulsion centrée sur f0 n’a pas d’existence physique.

•  Le spectre d’une décomposition en série de Fourier sera donc un spectre discontinu de

raies aux fréquences des sinusoïdes présentes dans la décomposition

"

!


x(t)=α.cos(ω0t)


con=nu!

1.1.2"Transformée"de"Fourier"Exercices"2""Calculer!la!TF!de!sin(2πf0t)%grâce!au!!

1.  Théorème du décalage

2.  Théorème de la dérivée

On rappel que : TF(cos(2πf0t))=%

"

!


12(δ( f + f0 )+ ( f − f0 ))


con=nu!

1.2!!!Filtrage!!!!!

Le filtrage est une forme de traitement de signal qui modifie le spectre de fréquence et/ou la phase du signal présent en entrée du filtre et donc par conséquent sa forme temporelle. Il peut s’agir soit :

!  d’éliminer ou d’affaiblir des fréquences parasites indésirables !  d’isoler dans un signal complexe la ou les bandes de fréquences utiles.

"

On classe les filtres en deux grandes familles : !  les filtres numériques réalisés à partir de structure intégrée microprogrammable

(DSP). !  les filtres analogiques réalisés à partir de composants passifs (résistance, inductance,

condensateur) ou actifs (AIL).



con=nu!

1.2!!!Filtrage!

1.2.1"Filtre"!  Un filtre est un instrument , ou un modèle physique, associant (linéairement) une

excitation, ou signal d’entrée, à un signal de sortie """"1.2.2"Système"linéaire""!  Un système est linéaire s’il vérifie le principe de superposition, la réponse à une somme

pondérés d’excitations est égale à la somme pondérée des réponses aux excitations individuelles

!


%T%%

x(t)% y(t)%

)]([)]([ txTtxT ii

iii

i ∑∑ = αα


con=nu!

1.2!!!Filtrage!

1.2.3"Système"temporellement"invariant""!  Un système est dit invariant dans le temps si la réponse ne dépond pas de l’instant

d’application ; si y(t) est la réponse de x(t), la réponse de est . "1.2.4"Réponse"impulsionnelle""!  On appelle réponse impulsionnelle du filtre (RI), souvent notée h(t), la réponse du

système à l’application d’une impulsion de Dirac ;

"

!  Cette réponse impulsionnelle h(t) définit le comportement du système;


)(*)()( thtxty =

)( 0ttx − )( 0tty −

)]([)( tTth δ=


con=nu!

1.2!!!Filtrage!

1.2.5"Convolu2on"!  L’opération de convolution est définie comme suit; soit x(t) et y(t), deux fonctions d’une

variable t. le signal noté est définit par :

!  Le produit de convolution de deux signaux est commutatif :

!  Exercice: démontrer cette propriété.

!

!


)(*)()( thtxty =

∫+∞

∞−−= duutyuxtytx )()()(*)(

)(*)()(*)( txtytytx =


con=nu!

1.2!!!Filtrage!

1.2.6"Causalité"!  Un filtre est dit causal, si la sortie ne dépond que des valeurs de l’entrée précédent la

sortie. En d’autre terme l’effet ne précède pas la cause. Dans ces conditions on ;

1.2.7"Stabilité"!  Un filtre est dit stable si à toute entrée bornée correspond une sortie bornée.

1.2.8"Fonc2on"de"transfert""!  La fonction de transfert d’un filtre est la transformée de Fourier de sa réponse

impultionnelle : "

!

!


0,0)( <= tpourth

∫+∞

∞−

−== dteththTFfH ftj π2)()]([)(


con=nu!1.3!!!Energie,!puissance,!corréla=on!1.3.1"Energie"et"puissance"en"représenta2on"temporelle !  Pour un signal x(t) déterministe, à temps continu, à valeurs complexes, on définit les

quantités suivantes :

1.  La quantité : est appelée « puissance instantanée » du signal x à l’instant t.

2.  L’énergie du signal dans l’intervalle temporel vaut :

3.  La puissance moyenne du signal sur cette intervalle vaut :

!

!


2)(tx

!"

#$%

&−2,2TT

∫−=2/

2/

2, )(

T

TTx dttxE

∫−==2/

2/

2,, )(1 T

T

TxTx dttx

TTE

P


con=nu!1.3!!!Energie,!puissance,!corréla=on!1.3.1"Energie"et"puissance"en"représenta2on"temporelle 4.  L’énergie (ou l’énergie totale) du signal vaut :

5.  La puissance moyenne (totale) du signal vaut :

!

!


∫+∞

∞−∞→== dttxEE TxTx

2, )(lim

∫−∞→∞→==

2/

2/

2, )(1limlim

T

TTTxTx dttxT

PP


con=nu!1.3!!!Energie,!puissance,!corréla=on!1.3.2"Fonc2on"de"corréla2on Insistons sur le fait que les grandeurs définies ci-dessous concernent les signaux déterministes à énergie finie.

!  La fonction d’intercorrélation de deux signaux x(t) et y(t) à valeurs complexes est définie par :

où le symbole * représente la conjugaison des nombres complexes. !  La fonction d’autocorrélation d’un signal x(t) est un cas particulier de la fonction

d’intercorrélation

!

en particulier, pour , l’autocorrélation devient :

!


∫+∞

∞−−= dttytxRxy )()( * τ

∫+∞

∞−−= dttxtxRx )()( * τ

0=τ xx EdttxR == ∫+∞

∞−

2)(


con=nu!1.3!!!Energie,!puissance,!corréla=on!1.3.3"Théorème"de"Parseval Ce théorème s’exprime par

!  Ce théorème montre que l’énergie d’un signal peut être calculé soit dans la

représentation temporelle soit dans la représentation fréquentielle.

!  L’énergie d’un signal est répartie dans le temps suivant la puissance instantanée , qu’on peut appelé densité temporelle d’énergie.

!  La relation de Parseval suggère que cette énergie est répartie sur l’axe fréquentiel avec une densité spectral d’énergie donnée par

!

!


∫∫+∞

∞−

+∞

∞−= dtfXdttx 22 )()(

2)(tx

2)( fX


con=nu!1.3!!!Energie,!puissance,!corréla=on!1.3.4"Densité"spectrale"de"puissance !  On définit la densité spectrale de puissance par la limite

!  La densité spectrale de puissance d’un signal à puissance finie est égale à la transformée

de Fourier de sa fonction d’autocorrélation.

!

!


TfX

fSTx

2)(lim)(

+∞→=

)]([)( τxx RTFfS =


con=nu!

Exercice Quel est la différence entre la convolution et la corrélation dans le cas d'une fonction symétrique ( f(x) = (f(-x) ) ? Et dans le cas général?

!

!


!

!

!

Signaux!numériques!!

!

!

!


1.   défini=ons! !  On appelle signal numérique la suite de nombres ou où dans le cas

général, dans la cas des signaux causaux.

!  Cette suite de nombres provient en général de l’échantillonnage d’un signal analogique.

!  Il y a en réalité une double discrétisations; un échantillonnage du temps et de l’amplitude (quantification).

!  Les signaux numériques forment un espace vectoriel, toutes les opérations relatives à cet espace sont possibles ;

"  Addition : "  Multiplication par un scalaire :

!

!


)}({ nx }{ nxΝ∈n

Ζ∈n

nnn yxz +=nn xky .=

2.   Echan=llonnage!! 2.1!!!Défini=ons!!  L’échantillonnage est la représentation d’un signal analogique par une suite de valeurs

ponctuels.

!  On parle d’échantillonnage régulier ou périodique lorsque les prélèvements sont effectués selon un rythme régulier. L’intervalle entre deux échantillons successive est appelé pas d’échantillonnage et la fréquence d’échantillonnage.

2.2!!!Représenta=on!d’un!signal!échan=llonné!idéal! !  Il est important de noter qu’il n’y a pas d’égalité entre le signal continu et le signal

échantillonné : il s’agit d’une représentation.

!  Le signal échantillonné s’écrit

!

!


eTee Tf /1=

)()()( en

e nTttxtx −=∑ δ

2.   Echan=llonnage!! 2.3!!!Fréquence!de!Nyquist!et!critère!de!Shannon !  Pour que le signal ait un intérêt physique, il faut que le signal échantillonné ait un spectre

très proche de celui du signal analogique de départ ; et qu’à partir des échantillons, on puisse le reconstituer.

!  La reconstitution du signal impose une condition sur la fréquence d’échantillonnage pour éviter le problème de recouvrement des spectres « overlapping » ou repliement de spectre.

!  La condition pour que ce recouvrement soit absent repose sur le fait que le signal doit

posséder un spectre qui s’étend de à avec .

!  La fréquence Fe/2 est appelée fréquence de Nyquist et la condition d’échantillonnage est appelée critère de Shannon.

!

!


mF− me FF 2≥mF

2.   Echan=llonnage!! 2.3!!!Fréquence!de!Nyquist!et!critère!de!Shannon!

!

!


2.   Echan=llonnage!! 2.4!!!Reconstruc=on!du!signal!!  Plaçons nous dans le cas où la condition de Shannon est satisfaite (Fe > 2Fm). On doit

donc pouvoir reconstruire le signal d’origine.

!  La multiplication du spectre par une porte de largeur et d’amplitude permet de retrouver le spectre de départ, soit

Et par TF inverse Ainsi le signal continu initial x(t) peut s’écrire sous la forme

!

!


)( fX eF eF/1

)(1).()( fF

fXfXeF

ee Π=

tFtF

nTtnTxtxe

e

nee π

πδ

)sin(*)().()( ∑ −=

∑ −

−=

n ee

eee nTtF

nTtFnTxtx

)()(sin).()(

ππ

3.   Comparaison!numérique!

analogique! 3.2!!!Intégrale!et!moyenne! Dans le cas de signaux discrets, il faut remplacer le signe par le signe somme , et ainsi, les relations d’intégrale et de moyenne deviennent Où pour tenir compte des deux extrémité du signal

!

!


∫ ∑

ee

mk

nkek

b

amTbnTaoùTxdttx ==∑∫

=

=

,)(

∑∑∫=

=

=

=

=mk

nkk

mk

nkek

e

b

ax

NTx

NTdttx

T11)(1

1+−= nmN


analogique! 3.1!!!Convolu=on!et!corréla=on! Dans le cas idéal d’une infinité d’échantillons, les relations donnant la convolution deviennent et la corrélation

!

!


ee

k

kenn TTknykTxyxduutyuxtytx ))(().(*)()()(*)( ∫ ∑

∞+

∞−

+∞=

−∞=

−=−=

ee

k

keyxxy TTnkykTxRdutuyuxR

nn))(().()()( *∫ ∑

∞+

∞−

+∞=

−∞=

−=−=


analogique! 3.3!!!Transforma=on!de!Fourier!Discrète!(TFD)! Considérons une séquence périodique sur N échantillons, et considérons la suite de Fourier discrète donnée par La transformée de Fourier Discrète inverse (TFDI) est donnée par

!

!


)(nx

∑−

=

−=1

0

/)(2)()(N

n

NknjenxkX π

)(kX

∑−

=

=1

0

/)(2)(1)(N

k

NknjekXN

nx π

!

!

!

Signaux!aléatoires!(stochas=ques)!

!!

!


1.   introduc=on!!  La quasi-totalité des signaux extraits de phénomène réels présentent un aspect aléatoire.

!  Un signal aléatoire est un signal x(n) qui, comme son nom l’indique, varie aléatoirement

en fonction du temps, en particulier sa valeur à un instant n ne peut pas être prédite. !  Le fais qu’on étudie nécessairement des signaux qui ne sont pas parfaitement prévisibles

nous amène à étudier les caractéristiques principales des signaux aléatoires et les bases de probabilités nécessaires à cette étude.

!

!

K.!MINAOUI!45"Cours!TNS!

2.   Rappels!de!sta=s=que!nécessaire!au!TS!

2.1!!!Variables!aléatoires!WMoments!!

!  Considérons un processus aléatoire ω décrit dans l’espace des épreuves . On appelle : variable aléatoire discrète (resp. réelle), l’application de dans Z (resp.

dans R) définie par :

!  Une variable aléatoire est caractérisé par sa densité de probabilité (ou loi de probabilité)

p(x)

!  Soit x une variable aléatoire et soit p(x) sa loi. On appelle, le moment d’ordre m de x:

!

!

K.!MINAOUI!46"Cours!TNS!

Ζ∈

Ζ→Ω

)(ωω x

ΩΩ

!"#$

%&= ∫∑

+∞

∞−dxxpxrespxpxxE m

x

mm )(.)()(


2.1!!!Variables!aléatoires!WMoments!

Moyenne de x ou espérance de x Moment d’ordre 2 :

Variance

!  La racine carrée de est appelée écart-type de x.

!  Nq: ; Estimation à partir de N réalisation de x(n).

!

!


∫∑+∞

∞−== dxxxpxErespxxpxE

x

)()()()(

∫∑+∞

∞−== dxxpxxErespxpxxE

x

)()()()( 2222

∫∑+∞

∞−−=−= dxxpxExxErespxpxExx

x

)())(()()())(()( 222σ

)(2 xσ

∑∑=

=N

nx

xpnxxxp0

)()()(


2.1!!!Variables!aléatoires!WMoments! Variance : on peut vérifié que

Corrélation: pour caractériser la relation entre deux variables aléatoire, on étudie leur corrélation qui s’écrit en fonction de la densité de probabilité conjointe du couple aléatoires :

!  On définit le coefficient de corrélation par

!

!


222 )()()( xExEx −=σ

∑∫ ∫−

=

∞+

∞−

∞+

∞−==

1

0),()()()(),()(

N

n

yxpnynxxyErespdxdyyxxypxyE

11)()(

)(22

≤≤−⇒= ryExE

xyEr


2.1!!!Variables!aléatoires!WMoments! Corrélation:

!  Si r=0 on dit que les variables x(n) et y(n) sont orthogonales.

!  Si r=±1 on dit qu’il dépendance linéaire entre les deux signaux.

!  Si les variables aléatoires sont centrées et indépendantes, alors

!  Les estimations de sont d’autant meilleurs que N est grand.

!

!


0)()()(),( == xyEetypxpyxp

)()(),( 2 xyEetxExE


2.2!!!Lois!de!probabilité!2.2.1"Loi"uniforme"con2nue"La densité de probabilité p(x) est définie par . Propriétés :

2.2.2"Loi"uniforme"con2nue"Une expérience avec deux issues possibles (succès et échec) effectué dans un environnement industriel peut être réalisé avec une probabilité p. Appelons P(x =k) la probabilité pour qu’il y ait k succès au cours des N expériences consécutives. On montre alors que cette probabilité s’écrit : Propriétés :

!

!


bxasiab

xp <<−

=1)(

12)()(

2)(

22 abx

baxE

−=

+=

σ

kNkkN ppCkxP −−== )1()(

)1()()(

2 pNpx

NpxE

−=

=

σ


2.2!!!Lois!de!probabilité!2.2.3"Loi"de"Poisson""Considérons un événement pouvant apparaître avec une probabilité p. La probabilité pour que cet événement apparaisse k fois au cours de N expériences successives est donnée par la loi de Poisson, Propriétés :

!

!


NpekNp

kxP −==!)!()(

Npx

NpxE

=

=

)(

)(

σ


2.2!!!Lois!de!probabilité!2.2.4"Processus"gaussiens"!  Les processus gaussiens possèdent un certain nombre de propriétés remarquables qui en

font des processus permettant d’être facilement intégrés dans une problématique industrielle.

!  Un processus aléatoire x sera dit gaussien si sa loi s’écrit :

On montre que

!

!


2

2

2)(

exp(21

σπσmx

Px−

−=

)()()(

)()(,)(

222

yxxyE

xxE

mxE

σσ

σσ

=

==

=

3.   Moyenne"et"Variance"de"signaux"aléatoires!

3.1!Défini=on! !  Les signaux aléatoires étant considérés comme des variables aléatoires indexées par le

temps, on définit la moyenne m(t) par

!  Les signaux aléatoires étant considérés comme des variables aléatoires indexées par le

temps, on définit la variance par

!

!


.),()(

,)()),(()(

continucasdxtxptx

discretcasxXPxxtXEtm kk

k

∫

∑

Ω

=

===

.),())((

,)())(())]()(([)(

2

222

continucasdxtxptmx

discretcasxXPtmxtmtxEt kk

k

∫

∑

Ω

−=

=−=−=σ


3.2!Sta=onnarité! !  Un signal aléatoire x(t,) est dit stationnaire du 2ème ordre si sa moyenne et sa variance

est indépendante du temps

!

!


22 )(,))((

σσ =

=

t

mtxEMême moyenne et variance


3.3!Ergodicité! !  Un processus est ergodique à l’ordre N si les moyennes temporelles jusqu’à l’ordre N

sont indépendantes du choix de la réalisation

!

!


Remplacer la moyenne statistiques par une moyenne temporelles sur une réalisation


3.4!Fonc=on!de!covariance!temporelle! !  Considérons pour généraliser un signal complexe x(t). La fonction de covariance est

définie par

!  Si x(t) est un signal stationnaire au 2ème ordre, la fonction de covariance ne dépond que de

3.5!Fonc=on!de!corréla=on!ou!d’autocorréla=on!

!  Cette fonction est une fonction fondamentale en traitement du signal : elle permet de caractériser un signal aléatoire de façon plus fine que la moyenne ou la variance.

!  Elle permet de comparer le signal à un instant t en fonction des propriétés qu’il avait à l’instant t − τ. Elle est donc définie par

!

!


)]()([),( 2*

121 txtxEtt =ρ

21 tt −=τ)()(),( 2121 τρρρ =−= tttt

))()((),()( * ττρτ +=+= txtxEttr


3.5!Propriétés!de!la!fonc=on!d’autocorréla=on!

!  La fonction d’autocorrélation passe par son maximum pour et on

!  Si on calcule et qu’on pose #La fonction d’autocorrélation est symétrique.

!

!


τ−= tu

)())()(()( τττ ruxuxEr =+=−

0=τ

)]()([)( ττ −=− txtxEr

2)0( σ=r

4.   Énergie"et"puissance"des"signaux"aléatoires!

4.1!Défini=ons!

!  Si x(t) est stationnaire, on peut calculer l’espérance de la puissance instantanée par

ce qui conduit à un résultat très important : La puissance d’un signal aléatoire stationnaire est constante et est égale à la variance du signal aléatoire. 4.2!Densité!spectrale!de!puissance!(DSP)!ou!spectre!de!puissance!

!  On appelle densité spectrale de puissance d’un signal stationnaire la transformée de

Fourier de sa fonction d’autocorrélation Ce résultat est fondamental : il permet de relier les propriétés spectrales et les propriétés statistiques des signaux

!

!


2* )0(),())()(()( σρρ ===== PtttxtxEPE x

)]([)( τrTFfSxx =

5.3!Exemples!de!signaux!aléatoires!:!Bruit!blanc! !  On l’appelle "bruit blanc" car sa densité spectrale de puissance est constante.

!  la fonction de corrélation est donnée par un delta de Dirac et la densité spectrale est constante.

!  C’est un signal dont les échantillons sont décorrélés et sa puissance est constante dans toute bande de fréquence.

!

!


!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

)( fSxx

f

)()( τδτ =r)(tx

4.   Énergie"et"puissance"des"signaux"aléatoires!

On"suppose"ici"que"les"signaux"sont"sta2onnaires"et"ergodiques."!

5.1!Es=ma=on!de!la!moyenne !  L’estimateur de la moyenne d’un signal numérique aléatoire est

Cet estimateur est non biaisé et consistant (s’améliore quand N croît) 5.2!Es=ma=on!de!l’autocorréla=on !  L’estimateur de la fonction d’autocorrélation d’un signal numérique aléatoire est

Cet estimateur est biaisé mais consistant (s’améliore quand N croît)

!

!


5.   Es2ma2on"de"la"moyenne"et"la"corréla2on!

∑−

=

=1

0)(1ˆ

N

k

kxN

m

)()(1)(1

0ττ

τ

+= ∑−−

=

kxkxN

RN

kxx

5.3!Es=ma=on!de!l’intercorréla=on! !  L’estimateur de la fonction d’’intercorrélation de deux signaux numériques aléatoires est

Qui tient compte de la non symétrie de l’intercorrélation.

!

!


5.   Es2ma2on"de"la"moyenne"et"la"corréla2on!

!!

"

!!

#

$

≤≤−+

≤≤+

=

∑

∑

−

−=

−−

=

0)()(1

0)()(1

)(1

1

0

ττ

ττ

τ

τ

τ

NpourkykxN

NpourkykxN

RN

k

N

k

xy

6.1!Défini=on!

!  On appelle processus aléatoire Stationnaire au sens Large (SSL) une suite de variables

aléatoires , telles que :

1.  Indépendant de t,

2.  ,

3.  ne dépond que de l’écart de temps

!

!


6.   Formule"de"filtrage"des"processus"aléatoires"SSL!

Ζ∈ttx ),(

xmtxE =)]([

∞<])([ 2txE

))()(()( * txtxERxx ττ += Ζ∈τ

6.1!Formule!de!filtrage!

!  Soit un processus à temps discret, SSL, de moyenne et de fonction d’autocorrélation , et soit la sortie d’un filtre, de réponse impultionnelle , excité par . Une condition pour que le somme,

Existe, est que soit de module sommable càd . Ainsi : 1.  est SSL, 3.  Sa moyenne est donnée par ,

4.  Sa fonction d’autocorrélation est donnée par

!

!



)(tx xm

∑∑+∞

−∞=

+∞

−∞=

−=−==ss

stxshsxsththtxty )()()()()(*)()(

)(τxxR )(ty)(tx

)(th

)(th ∞<∑ssh )(

)(ty

∑+∞

−∞==

sxy shmm )(

)()()()( * snRshnhR xxs n

yy −+= ∑∑+∞

−∞=

+∞

−∞=

ττ

6.1!Formule!de!filtrage!

4.  La fonction d’intercorréaltion entre y(t) et x(t) est donnée par

5.  Si le processus x(t) possède une d.s.p, on aura

Où H(f) désigne la transformée de Fourier à temps discret de h(t).

!

!



∑+∞

−∞=

−=s

xxyx shsRR )()()( ττ

)()()(

)()()()( *

fSfHfSet

fSfHfHfS

xxyx

xxyy

=

=

!  Filtre adapté (Télémétrie Radar, Détection des craquements, ) !  Filtre moyenneur (réduction de la variance )

!  Filtre dérivateur (préaccentuation )

!  Processus autorégressifs discrets réels (prédiction linéaire , parole ,)

!

!

65" K.!MINAOUI!

7.   Applica2ons"des"formules"de"filtrage!

Cours!TNS!

7.1!Filtre!adapté!

!  Dans certaines applications, on est amener à décider de la présence ou de l’absence d’un signal . !  Déterminer le traitement linéaire adéquat pour décider de la présence ou de

l’absence du signal .

!  Le signal émis x(t) d’énergie, qui parcourt la distance d

jusqu’à la cible, sur laquelle il est réfléchit en direction d’ un récepteur: !  A réception , on reçoit le signal bruité : et on s’impose la structure suivante:


∑+∞

−∞=

=t

x txE )(2

)()()( tbtxtr +=


7.1!Filtre!adapté!

!  Le signal reçu est passé à travers un filtre linéaire de réponse impulsionnelle h(i), à

déterminer . !  On observe la sortie de ce filtre à l’instant k ; on obtient la valeur scalaire :

!  On décide de la présence ou de l’absence d’un signal à l’instant k, en comparant y(k) à un seuil .


)()()()(

)()()(

tbtKhtxtKh

trtKhKy

tt

t

−+−=

−=

∑∑

∑∞+

−∞=

∞+

−∞=

+∞

−∞=


7.1!Filtre!adapté!

!  Maximisation du critère « rapport signal /bruit », défini par :

!  En utilisant l’inégalité de Schwarz , on obtient : où est l’énergie du signal x(t) . 68" K.!MINAOUI!Cours!TNS!

xE

p =h(K − t)x(t)

t=−∞

+∞

∑2

σ 2 h(t) 2t=−∞

+∞

∑

p ≤h(t) 2

t=−∞

+∞

∑ x(K − t) 2t=−∞

+∞

∑

σ 2 h(t) 2t=−∞

+∞

∑=Ex

σ 2


7.1!Filtre!adapté!

!  L’égalité est atteinte lorsque h(t) et x(K-t) sont colinéaires: !  Le filtre optimal a une réponse impulsionnelle égale à la copie retournée et décalée

dans le temps du signal x(t) .

!  En ce sens, le filtre est adapté au signal d’entrée .

!  La relation de filtrage de r(t) avec une « copie retournée » équivaut en fait à effectuer une inter corrélation (au sens déterministe):

!

!


)()( tKxth −= λ


7.1!Filtre!adapté!

Soit !  Le récepteur optimal consiste donc à calculer l’intercorrélation entre le signal reçu y(t) et

le signal attendu x(t). On parle alors souvent de récepteur à corrélation .

!

!


y(t) = h(u)r(t −u) =u=−∞

+∞

∑ x*(K −u)r(t −u)u=−∞

+∞

∑

= x*(K + n)r(t + n)n=−∞

+∞

∑ = x*(K − t + n)r(n)u=−∞

+∞

∑

y(t) = Rrx (K − t)


7.2!Filtre!moyenneur!

!  La moyenne sur N échantillons consécutifs d’un signal est

!  Cette opération est un filtrage linéaire numérique de réponse impulsionnelle h(n) définie par :

!

!


∑−+

=

=)1(

)(1)(Nn

nk

kxN

ny


h(i) =

1N

pour {i ∈ n,...,n+ N −1}

0 pour si non

#

$

%%%

&

%%%


!  Le gain en fréquence est

!  La d.s.p, par application de la formule de filtrage est

!  Pour une entrée x(n) aléatoire centrée, blanche de d.s.p , la puissance en sortie est :

!

!


)sin()sin(1

)()(

)1(

1

0

2

ffNe

N

enhfH

fNj

N

k

kfj

πππ

π

−−

−

=

−

=

=∑


]2/1,2/1[)()(sin)(sin1)( 2

2

2 −∈= favecfSffN

NfS xy π

π

2xσ

∑=f

xy fHP 22 )(σ


!  La formule de Parseval donne :

!  L’opération de moyenne sur N échantillons réduit la variance d’un rapport N.

!



∑∑ =fk

fXkx 22 )()(

21

0

22 1)( x

N

kxy N

nhP σσ == ∑−

=

7.3!Filtre!dérivateur!!

!  Soit x’(t) le processus aléatoire dérivé de x(t) .

!  Au premier ordre , on a :

!  Transformée de fourrier de la dérivée , est la multiplication par

!  Le dérivateur est un filtre linéaire de gain en fréquence

!  La fonction d’autocorrélation à la sortie est :

!



0))(())('( == txEdtd

txE

2

2

'')()(

dtRd

R xxxx

ττ =

fjπ2

fjfH π2)( =

7.3!Filtre!dérivateur!!

!  La d.s.p . pour expression :

!  La multiplication par a pour effet de « remonter » le spectre dans les fréquences élevées

!

!



)(4)( 22' fSffS xx π=

224 fπ

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