Cours Vibrations

8/2/2019 Cours Vibrations

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TS+ VIBRATIONS page n 1 / 17

Industrie & Process cours

La mcanique vibratoire comprend l'tude des mouvements connus sous les noms de

"vibrations" (ressort que l'on allonge, bti sous l'effet d'une machine dsquilibre, balourd...) ou

"d'oscillations" (pendule que l'on carte de la verticale, bille dans une gouttire,...).Ces mouvements priodiques sont gnralement amortis. D'autre part, nous tudierons plus

spcialement les mouvements trajectoire rectiligne (mvt de translation) ou circulaire (rotation).

A. VIBRATIONS LIBRES NON AMORTIES D'UN SYSTEME A UN DEGRE DE LIBERTE

1. Equation du mouvement.

Considrons un ensemble socle et machine de masse M, reposant

sur un ressort lastique linaire de raideur k, la surface du sol tant

suppose infiniment rigide.

Appelons y le dplacement absolu du solide M.

En appliquant le principe fondamental de la dynamique au systme, on

obtient alors :

soit :

remarque : Cette relation peut galement tre tablie partir du principe de conservation de

l'nergie, tant donn que pour ce systme il n'y a pas de dissipation d'nergie :

et

ce qui nous donne :

en drivant par rapport au temps, on obtient :

M

k

G

Mg

My"ky

Mg ky My =

My ky Mg + =

Ec My=1

2

2

Ep Mgy ky

cste= + +2

2

1

2 22

2

My Mgy ky

cste + =

Myy Mgy kyy + = 0


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par consquent, pour y'0 on retrouve :

2. Rsolution de l'quation du mouvement.

Posons :

Y tant le dplacement mesur partir de la position d'quilibre statique.

On obtient alors :

Notre quation de dpart devient alors :

soit encore :

o pulsation propre du systme non amorti.Posons :

On obtient finalement :

La solution gnrale de cette quation est donne par :

ou

avec : et

Ainsi nous obtenons :

o est appel la pulsation propre du systme (rad/s)

To=2/o " " la priode propre du systme (s)

fo=o/2 " " la frquence propre du systme (Hz)

Y=y-Mg/k " " le dplacement relatif de M (m)

C " " l'amplitude du dplacement relatif (m)

Lorsqu'on tudie les vibrations libres d'un systme, il est surtout important de connatre la

pulsation o du phnomne. Cette valeur ne faisant pas intervenir le dplacement statique, il est

donc toujours intressant de travailler en dplacement relatif Y.

My ky Mg + =

y YMg

k= +

y Y=

MY kY Mg Mg + + =

MY kY + = 0 o

k

M

2 =

Y Yo+ =2

0

Y A t B t o o= +cos( ) sin( ) Y C to= +cos( )

tan =B

AC A B= +2 2

yMg

kC to= + +cos( )


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3. Ressorts en parallle et en srie.

Souvent, pour viter les problmes de rsonance on dplace les frquences propres d'un

systme et on est appel associer des ressorts de raideurs diffrentes. Examinons le cas particulier

des ressorts en parallle et en srie.

a - ressort en parallle.

Systme rel Systme quivalent

F=K1.(x-xo)+K2.(x-xo) F=K.(x-xo)

b - ressort en srie.

Systme rel

Systme quivalent

F=K1.(x1-xo1)=K2.(x2-xo2) F=K.(x-xo)

F=K.(x1+x2-(xo1+xo2))

K=K1+K2

1 11

12k k k= +

K1 K2

K2

K

K

F

K1

F

F

F

x-xo

x1-xo1

x2-xo2


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4. Calcul de la raideur K.

a - mthode statique.

Utilisation de la loi de Hooke , K est la pente de la droite.

b - mthode dynamique.

Utilisation du principe des surcharges.

o=K/M 1=K/(M+M)

par consquent,M

K=

1 1

1

2

0

2

ce qui permet de dterminer K.

M

k

M

M

k

F

x


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B. ETUDE DE L'AMORTISSEMENT - ISOLATION VIBRATOIRE

1. Amortissement.

a - introduction.

Dans le paragraphe A, on a tudi les vibrations libres non amorties d'un systme.

En ralit, ces vibrations n'existent pas car il y a toujours amortissement et l'amplitude des

oscillations diminue avec le temps. Ces forces d'amortissement s'opposent au mouvement et

sont donc de signe oppos aux vitesses.

b - diffrents types d'amortissement.

amortissement "visqueux" d la rsistance du fluide.dans ce cas, la force d'amortissement a pour expression F b Yf = .

, b de dimension MT-1

est

appel coefficient d'amortissement visqueux. Ce type d'amortissement se produit avec des

vitesses faibles pour des surfaces glissantes lubrifies, amortisseurs hydrauliques,...

amortissement "non-visqueux" d la rsistance du fluide.pour des vitesses de dplacement dans un fluide comprises entre 2 et 200 m/s , la force

d'amortissement au lieu d'tre proportionnelle la vitesse comme dans le cas prcdent

devient proportionnelle au carr de la vitesse, c'est dire F Yf = . 2 .

ceci correspond au rgime appel hydraulique.

amortissement par frottement sec ou frottement de Coulomb.ce type d'amortissement se produit lors du glissement de surfaces brutes non lubrifies.

Durant le mouvement, la force d'amortissement est constante et est donne selon la loi de

Coulomb par F f Nf = . o N est la composante normale de la raction de contact et f le

coefficient de frottement sec.

amortissement interne.dans la thorie de l'lasticit, on utilise gnralement la loi de Hooke admettant l'hypothse

de proportionnalit entre les contraintes et les dformations c'est dire =E.avec Emodule de Young du matriau.

En pratique, cette hypothse n'est pas toujours vrifie et les expriences montrent qu'au

cours de phnomnes dynamiques, il y a dissipation d'nergie accompagne parfois de

rchauffement du matriau par exemple.

Deux hypothses principales ont t proposes pour expliquer ces phnomnes, savoir, la

thorie de l'amortissement interne visqueux ( Coulomb, Voigt, Routh ) et la thorie

hrditaire ( Boltzmann ).

Par la suite, nous n'tudierons exclusivement les systmes avec amortissement visqueux.


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2. Etude du systme amorti.

a - vibrations libres.

Considrons le systme prcdent de la fondation machine,

en utilisant Y le dplacement par rapport l'quilibre

statique, nous avons l'quation suivante :

MY kY bY = soit encore :

MY bY kY + + = 0

Nous allons poser : 02 =

k

Met 2 0 =

b

M

On obtient alors :

Y Y Y+ + =2 00 02

Nous allons chercher pour Y une solution particulire de la forme :Y=A.exp(.t) avec R soit . .exp( . )Y A t=

et . .exp( . )Y A t= 2

par consquent, l'quation devant tre vrifie quelque soit la valeur de t , on en dduit :

2 0 022 0+ + = quation caractristique.

On a alors : = = 2 02

0

2

0

2 2 1.( )

M

k b


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> 0 c'est dire > 1 ( amortissement lev ) = 0 0

2 1.

ce qui nous donne comme solution :

{ }Y e A e A et t t= + . . . . . ..0 0 2 0 21 1 2 1Le mouvement est dit alors " apriodique ".

= 0 c'est dire = 1 ( amortissement critique ) = 0

ce qui nous donne comme solution :

{ }Y e B t Bt= + . . . .0 1 2

Y

t


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< 0 c'est dire < 1 ( amortissement faible ) = = 0 0

20 01i i. . .

o est appel la pseudo-priode propre du systme amorti.

La solution peut alors se mettre sous la forme :

{ }Y e C t C t t= + . . . .cos( ) .sin( )0 1 0 2 0

On obtient alors un mouvement "sinusodal amorti".

application: dtermination de quand est faible.

t

Y

amortissementvariant de 0,2 0,9


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d'o

=

0

0

1

22. ..ln

Y

Y

mais si est faible , on a alors o o soit =

1

2

1

2..ln

Y

Y

b - vibrations forcs dans le cas d'une machine dsquilibre par un balourd.

Ce systme excitateur

balourd est principalement

constitu par un rotor muni d'une

surcharge et tournant vitesse

constante. Nous supposerons le

moteur mont sur un socle

pouvant seulement avoir un

mouvement de translation

verticale.

TT+2/o

Y1

Y2 t

Y

Y

Y

T

T

1

2

0

00

0

02

2

=

+

=

exp( . . )

exp . .exp . .

.

a tm

M

k b

Y

y


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Le principe fondamental de la dynamique en projection suivant y nous permet d'crire :

MY mY ma t kY bY sin( . ) + = 2

soit encore :

( )M m Y bY kY ma t+ + + = sin( . ) 2

posons alors :

02 =

+

k

M m

et 2 0 = +

b

M m

ce qui nous donne finalement :

( ) . . . . sin( . )Y Y Y

m

m Ma t+ + =

+2 0 0

2 2

2.1) Calcul du dplacement forc par la mthode de Fresnel.

Cherchons Y sous la forme : Y C t= .sin( . )

nous avons alors : ( )

. .cos( . ) . .sin .Y C t C t = = +

2

et encore : ( ) . .sin( . ) . .sin .Y C t C t = = + 2 2

t

kY bY'

Y

MY"

ma

mY"


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Nous avons donc le graphique de Fresnel suivant :

Par consquent, nous obtenons : ( )[ ] ( )C am

m M. . . . . . 0

2 22

0

2 2

2

2 + =+

soit :

ou encore en posant : r= 0

On appelle facteur d'amplification A le rapport entre l'intensit finale et l'intensit initiale, soit :

ou encore

d'autre part, on a aussi :

( )tan

. . . .

.

=

2 0

0

2 2

C

Cou encore

( )

tan. .

=

2

12

r

r

Co

2Co.

C2

a.2.m/(m+M)

( )C

am

m M=

+

+

. .

. . .

2

0

2 2 2 2 2

0

24

( )C

a rm

m M

r r

=+

+

. .

. .

2

2 2 2 21 4

AC

am

m M

=

+

.

( )A

r

r r

= +

2

2 2 2 21 4. .


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2.2) Etude des variations du facteur d'amplification A.

Par drivation de l'expression ci-dessus, on obtient :

( )[ ] ( )( )[ ] ( )[ ]( )

A

r

r r r r r r r r r

r r=

+ + +

+

2 1 4 2 2 1 8 1 4

1 4

2 2 2 2 12

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

12

12

. . . . . . . . . . . . .

. .

Bien qu'abominable, cette expression a un signe...correspondant au signe du numrateur.

Cette expression s'annule pour : r= 0 ( )1 2 02 2 2 + =r r. . qui se produit seulement

pour 2 12

. < soit < 12

dans ce cas

A

rs'annule pour la valeur

suivante ( rsonance d'amplitude ) : r=

1

1 22

.

r 0 1 r=

1

1 2 2.

+

A

r 0 + 0 - -

A 01

2.

1

2 12

. . 1

Si l'amortissement est suprieur

12 , A est toujours croissante. Ceci se vrifie sur les

courbes de variation de A en fonction de r et .

2.3) Force transmise au sol.

Le critre d'efficacit d'une isolation vibratoire est dfini par le rapport entre la force

maximale transmise et la force excitatrice maximale. Ce rapport est appel coefficient A1 de

transmissibilit.

La force transmise au sol a pour expression F k Y b Y S

= +. .


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En ne considrant que l'amplitude des vibrations forces, nous avons :

( ) ( ) ( )k Y k C t m M C t . . .sin . . . .sin .= = + 02

( ) ( ) ( ) ( )b Y m M C t m M C t . . . . . . .cos . . . . . . .sin .= + = + +2 20 0 2

Recherchons alors Fs sous la forme : ( )F F tS = max.sin .

il est possible d'tablir le diagramme de Fresnel correspondant, soit :

Nous en dduisons donc : tan.( ). . . .

( ). .

. .. .

=

++

= =2 2

20

0

2

0

m M C

m M Cr

et ( )[ ] ( )[ ]F m M C m M C max . . . . . . .2

0

2 2

0

2

2= + + +

soit ( )F m M C r max . . . . .= + + 02 2 2

1 4

or

on a donc :

Co.(m+M)

2.(m+M).C..o.Fmax

( )C

a rm

m M

r r

=+

+

. .

. .

2

2 2 2 21 4

( )F m a

r

r rmax . . .

. .

. .=

+

+

2

2 2

2 2 2 2

1 4

1 4


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Ou en utilisant le rapport de transmissibilit A1 , on peut

crire :

A

r

1s'annule pour : r= 0

+ =2 1 02 4 2. . r r qui se produit seulement pour la valeur

suivante ( rsonance d'amplitude ) : r0

21 1 8

2=

+ + ..

Le graphe de A1 (voir annexe) nous montre que l'amortissement rduit le coefficient de

transmissibilit pour 0 2<


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C. DETERMINATION DES FREQUENCES PROPRES DES SYSTEMES A 2 DEGRES

DE LIBERTE

Etudions les vibrations verticales d'un systme constitu

par un rotor dont l'arbre flexible est mont sur un cadre reposant

sur un lourd massif de fondation suppos immobile.

En tenant compte des flexibilits de l'arbre et du cadre, on

peut se ramener au systme idal 2 degrs de libert reprsent

sur la figure ci-contre.

On appelle M1 , M2 les masses des solides

et k1 , k2 les raideurs des ressorts.

D'autre part, Y1 et Y2 reprsentent les dplacements

par rapport la position d'quilibre statique.

Le P.F.D. appliqu la masse M1 permet dcrire :

( )M Y k Y Y1 1 1 1 2 0. .+ =

Le P.F.D. appliqu la masse M2 permet dcrire :

( )M Y k Y Y k Y2 2 1 1 2 2 2 0.

. . + =

d'o le systme d'quation du mouvement :

M1

k1

M2

k2

Y1

Y2

M1

M1 Y1"

Y1

k1.(Y1-Y2)

M2

M2 Y2"

Y2

k2.Y2

k1.(Y1-Y2)


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M Y k Y k Y

M Y k Y k k Y

1 1 1 1 1 2

2 2 1 1 1 2 2

0

0

. . .

.

. ( ).

+ =

+ + =

Cherchons pour solution particulire de ces quations, une expression de la forme :

Y A t1 1= +.cos( . ) et Y A t2 2= +.cos( . ) soit en drivant deux fois :

. .cos( . )Y A t1 12= + et . .cos( . )Y A t2 2

2= +

Le systme d'quation tant vrifi quelque soit t , on peut donc crire :

+ =

+ + =

M A k A k A

M A k A k k A

1 1

2

1 1 1 2

2 2

2

1 1 1 2 2

0

0

. . . .

. . . ( ).

ou encore :

( . ). .

. ( . ).

+ =

+ + + =

M k A k A

k A M k k A

1

2

1 1 1 2

1 1 2

2

1 2 2

0

0

Ce systme de 2 quations 2 inconnues admet des solutions autres que la solution nulle si :

+

+ +=

M k k

k M k k

1

2

1 1

1 2

2

1 2

0.

.

soit encore :

( )[ ]M M M k k M k k k1 2 4 1 1 2 2 1 2 1 2 0. . . . . . + + + =

si on pose : = + + + M k k M k M M k k k12

1 2

2

2

2

1

2

1 2 1 1 22 0.( ) . . . . .( )

nous obtenons les solutions :

12 1 1 2 2 1

1 22=

+ + M k k M k

M M

.( ) .

. .

ou 2

2 1 1 2 2 1

1 22=

+ + +M k k M k

M M

.( ) .

. .

1 et2 sont appeles les pulsations propres du systme.

remarque : si M2 ( cadre trs massif ) on obtient :

M k22

1

2. soit M k2 1.


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12 2 1 2 1

1 22 0=

=

M k M k

M M

. .

. .

22 2 1 2 1

1 2

1

12=

+=

M k M k

M M

k

M

. .

. .

On retrouve dans ce cas les rsultats concernant les systmes 1 degr de libert.

D. DETERMINATION DES FREQUENCES PROPRES DES SYSTEMES A N DEGRES

DE LIBERTE

La dtermination des frquences propres des systmes non amortis et plusieurs degrs de

libert peut galement tre entreprise en utilisant le principe de conservation de l'nergie. En effet,

ce principe peut s'appliquer quand il n'existe pas de dissipation d'nergie.

Pour l'exemple prcdent, on peut ainsi vrifier :

[ ]E M Y M Yc = +1

21 1

2

2 2

2. .

[ ] [ ] [ ]E Y M Yct

=1

2

. . avec [ ]MM

M=

1

2

0

0 et[ ]

Y

Y

Y

=

1

2

et pour l'nergie potentielle, on a :

[ ] [ ]E k Y Y k Y k Y k Y Y k k Yp = + = + +1

2

1

221 1 2

2

2 2

2

1 1

2

1 1 2 1 2 2

2.( ) . . . . . ( ).

[ ] [ ] [ ]E Y K Yp =1

2. . avec [ ]K

k k

k k k=

+

1 1

1 1 2

et [ ]YY

Y=

1

2

[M] et [K] sont appeles respectivement matrice "masse" et matrice "raideur".

Le principe de conservation de l'nergie nous permet alors d'crire : E E cstep c+ =

On peut alors dmontrer que les pulsations propres du systme s'obtiennent en crivant :

[ ] [ ]d t K M . . =2 0

L'intrt du calcul matriciel est la surtout le formalisme qui permet d'tendre ce raisonnement n

degr de libert et qui autorise par ailleurs un traitement informatique.


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E. CALCUL DES PULSATIONS PROPRES DES SYSTEMES CONTINUS

VIBRATIONS TRANSVERSALES DES POUTRES.

Soit une poutre droite de

longueur L soumise une charge

rpartie p(x,t). Appelons :

Y (x,t) la flche prise par la poutre l'abscisse x et au temps t.

(x,t) la rotation de cette poutre. M le moment de flexion. T l'effort tranchant. E le module de Young du matriau

constituant la poutre.

I le moment quadratique de la section par rapport son axe neutre.1. Relation entre M, T et Y (x,t).

Ecrivons l'quilibre d'un tronon de poutre de

longueur dx, soit :

rsultante en projection sur y :T T dT P x t dx + =( ) ( , ). 0ou encore

dT P x t dx= ( , ) .

moment en projection sur z :M M dM T

dxT dT

dx + + + + =( ) . ( ).

2 20 en approximation au 1er ordre.

ou encore

dM T dx dT dx T dx= + . . . .1

2 en approximation au 1er

ordre.

Par consquent, on a donc :

d M

dx

dT

dxP x t

2

2 = = ( , )

D'autre part, en rsistance des matriaux on a tabli la relation : M E I Y E Id Y

dx= =. . . .

2

2

P (x,t)

x

Y (x,t)x

L

P (x,t).dx

dx

TT+dT

M M+dM


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Si E et I sont constants ( matriau homogne et section constante ) , on peut crire :

d Y

dx E I

d M

dx E I P x t

4

4

2

2

1 1= =

. .( , )

2. Equation diffrentielle du mouvement.

Considrons le cas de la poutre prcdente soumise uniquement son propre poids. Dans ce

cas, on a alors : P x t m Y ( , ) . = o m est la masse par unit de longueur de la poutre.On en dduit l'quation diffrentielle du mouvement :

E Id Y

dxm

d Y

dx =

4

4

2

2 0

La rsolution de cette quation permet d'obtenir la dforme exacte de la poutre ainsi que les

valeurs des pulsations propres. En particulier, les pulsations fondamentales sont donnes par la

relation :

12

1

2

4= ..

.

E I

m LL reprsentant la longueur de la poutre.

Voici pour quelques conditions aux limites la valeur de 1 :

Extrmit 1 Extrmit 2 1encastrement libre 1,8751encastrement encastrement 4,7300

encastrement appui simple 3,9266

appui simple appui simple 3,1416

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