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Automatique (AU3)De la boucle ouverte (BO) à la boucle fermée (BF)
−180 −135 −90 −45 0
−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
6 dB
3 dB
1 dB
0.5 dB
0.25 dB
0 dB
−1 dB
−3 dB
−6 dB
−12 dB
−20 dB
−40 dB
Nichols Chart
Open−Loop Phase (deg)
Ope
n−Lo
op G
ain
(dB
)
45 janvier 2010
Charlotte [email protected]
Généralités sur la BF Fonctions de transfert en BO et BF L'abaque de Black-Nichols
Objectifs de ce cours
Connaître la structure de base d'une boucle fermée (BF) ;
relier le comportement en BF à celui de la boucle ouverte(BO) ;
utiliser l'abaque de Black-Nichols (en BO) pour déterminer lescaractéristiques temporelles et fréquentielles d'un système (enBF).
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Généralités sur la BF Fonctions de transfert en BO et BF L'abaque de Black-Nichols
Plan du cours
1 Généralités sur la BFLimites de la boucle ouverteRetour sur les notions d'asservissement et de régulationExemple : régulation de niveau d'un bac
2 Fonctions de transfert en boucle ferméeDénitionsExpression de la FTBO et de la FTBFExemple (1) : application aux systèmes élémentaires
3 Utilisation de l'abaque de Black-NicholsDescription et intérêtsUtilisation pratique de l'abaqueExemple : Étude d'un asservissement de position à retourunitaire
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Généralités sur la BF Fonctions de transfert en BO et BF L'abaque de Black-Nichols
Système en boucle ouverte
Boucle ouverte (BO) : actionneur + système dynamiqueInconvénients majeurs de la boucle ouverte :
sensibilité aux perturbations, aux incertitudes sur lesparamètres internes ;
impossible de modier les performances dynamiques ;
impossible de stabiliser un système naturellement instable ;
→ nécessité de contrôler la sortie et d'adapter la commande.
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Généralités sur la BF Fonctions de transfert en BO et BF L'abaque de Black-Nichols
Structure générale d'un système en boucle fermée (BF)
Structure de contre-réaction [1927, H.S. Black (18981983)] Éléments :
Régulateur : comparateur et correcteur ; Processus instrumenté : actionneur, système, capteur.
Chaînes : directe (d'action) → puissance ; de retour (de réaction) → précision.
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Généralités sur la BF Fonctions de transfert en BO et BF L'abaque de Black-Nichols
Retour sur les notions d'asservissement et de régulation
Systèmes asservis
But : suivre la consigne, quelles que soient ses variations (l'eet desperturbations est supposé nul).Exemples : table traçante, machine-outil usinant une pièce selon unprol donné, missile poursuivant une cible. . .
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Généralités sur la BF Fonctions de transfert en BO et BF L'abaque de Black-Nichols
Retour sur les notions d'asservissement et de régulation
Systèmes régulés
But : la consigne étant xe, la sortie doit compenser l'eet desperturbations.Exemples : régulateur de vitesse, thermostat, pilote automatiqued'avion. . .
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Généralités sur la BF Fonctions de transfert en BO et BF L'abaque de Black-Nichols
Performances (et quantications) d'un système asservi
Rapidité : quelle est la durée nécessaire pour que la sortieatteigne la valeur visée ? (→ temps de réponse à 2% ou 5%)
Stabilité : la sortie réussit-elle à se stabiliser ? Est-elle obtenueaprès de nombreuses oscillations ? (→ marges de stabilité)
Précision : pour un type d'entrée donné, quel est l'écart entrela consigne et la sortie ? (→ erreurs statique et de traînage)
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Généralités sur la BF Fonctions de transfert en BO et BF L'abaque de Black-Nichols
Étude d'une régulation de niveau dans un bac
Description du système (cf. énoncé)
Un bac à parois verticales, de section plane S , est alimenté par unepompe de débit volumique qE . Une deuxième pompe extrait de ce bac undébit qS . Les débits ne dépendent que des vitesses de rotation despompes : qE = γω.La pompe d'alimentation est entraînée par un MCC à aimantpermanent :
R : résistance du circuit de l'induit ; L = 0 ;
λ : constante de couple du moteur ;
J : inertie totale ramenée sur l'arbre moteur ; f = 0 ;
Cr = βω : couple résistant dû à la pompe.
Le niveau n du liquide est mesuré par un capteur fournissant une tensionv proportionnelle à n : v(t) = αn(t).
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Généralités sur la BF Fonctions de transfert en BO et BF L'abaque de Black-Nichols
Étude d'une régulation de niveau dans un bac
Diagramme fonctionnel
Étude en boucle ouverte (1/2)
Calculer, en fonction des diérents paramètres, les expressionslittérales de G1(p) et G2(p).
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Généralités sur la BF Fonctions de transfert en BO et BF L'abaque de Black-Nichols
Détermination de l'expression de G1(p)
Équations du MCC :
u(t) = Ri(t) + λω(t)
Jdω(t)
dt= λi(t)− βω(t)
Transformation dans le domaine de Laplace :
U(p) = RI (p) + λΩ(p)
JpΩ(p) = λI (p)− βΩ(p)
Expression de G1(p) :
G1(p) =Ω
U(p) =
λ
RJp + Rβ + λ2
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Généralités sur la BF Fonctions de transfert en BO et BF L'abaque de Black-Nichols
Détermination de l'expression de G2(p)
Conservation du volume dans le bac :
V(t) = Sn(t)
dV(t)
dt= qE (t)− qS(t)
Transformation dans le domaine de Laplace :
SpN(p) = QE − QS
Expression de G2(p) :
G2(p) =N
QE − QS
(p) =1Sp
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Étude d'une régulation de niveau dans un bac
Étude en boucle ouverte (2/2)
On donne S = 0, 5m2 et α = 10V /m. Pour qs = 0, en régimepermanent :
u∞ = 50V ;
ω∞ = 1500 tr/min ;
qE∞ = 3, 6m3/h ;
v∞(t) = 0, 02(t − 2).
En déduire les expressions numériques de γ, G1(p) et G2(p).
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Généralités sur la BF Fonctions de transfert en BO et BF L'abaque de Black-Nichols
Étude d'une régulation de niveau dans un bac
On trouve :
γ =qE∞ω∞
=3,63600
1500×2π60
=2.10−5
πm3/rad
G1(p) =k
1 + τp
G2(p) =2p
où k est tel que k = ω∞u∞
soit k = π rad/s/V et τ est tel que
v∞(t) = u∞kγαS
(t − τ) soit τ = 2.
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Généralités sur la BF Fonctions de transfert en BO et BF L'abaque de Black-Nichols
Structure de base d'une commande en BF
Fonctions de transfert principales :
A(p) : fonction de transfert de la chaîne directe (processus + correcteur) ;
R(p) : fonction de transfert de la chaîne de retour (capteur, éventuellementcorrecteur).
Cas particulierLorsque R(p) = 1, le système asservi est dit à retour unitaire.
But de l'asservissement : faire tendre ε(t) vers 0.
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Généralités sur la BF Fonctions de transfert en BO et BF L'abaque de Black-Nichols
Dénition des FTBO et FTBF
Fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO) : mesure/écart
FTBO =Y (p)
ε(p)
Fonction de transfert en boucle fermée (FTBF) : sortie/consigne
FTBF =X (p)
C(p)
RemarqueLa FTBF représente le comportement du système bouclé ; on verra dans la suite qu'ilpeut être estimé par l'étude de la FTBO.
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Généralités sur la BF Fonctions de transfert en BO et BF L'abaque de Black-Nichols
Expression des FTBO et FTBF : cas général
Fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO) :
FTBO =Y (p)
ε(p)= A(p)R(p)
Fonction de transfert en boucle fermée (FTBF) :
FTBF =X (p)
C (p)=
A(p)
1 + A(p)R(p)=
FTchaine directe
1 + FTBO
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Généralités sur la BF Fonctions de transfert en BO et BF L'abaque de Black-Nichols
Expression des FTBO et FTBF : retour unitaire
Fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO) :
FTBO =Y (p)
ε(p)= A(p)
Fonction de transfert en boucle fermée (FTBF) :
FTBF =X (p)
C (p)=
A(p)
1 + A(p)=
FTBO
1 + FTBO
Attention, la relation FTBO1+FTBO
n'est plus valable si le retour n'estpas unitaire !
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Généralités sur la BF Fonctions de transfert en BO et BF L'abaque de Black-Nichols
Exemple : système intégrateur avec correcteur proportionnel
On a : A(p) = Kp. Le retour est unitaire donc :
FTBF =A(p)
1 + A(p)=
Kp
1 + Kp
=1
1Kp + 1
Soit H(p) = kF1+τFp
avec kF = 1 et τF = 1K
Conclusions :
Intégrateur → 1er ordre ;
écart statique nul (cf. cours sur la précision) ;
K règle la constante de temps de la FTBF → rapidité.
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Généralités sur la BF Fonctions de transfert en BO et BF L'abaque de Black-Nichols
Exemple : 1er ordre avec correcteur proportionnel
On a : A(p) = K1+τp . Le retour est unitaire donc :
FTBF =A(p)
1 + A(p)= · · · =
kF1 + τFp
avec kF = K1+K
et τF = τ1+K
Conclusions :
1er ordre → 1er ordre ;
écart statique non nul ( quand K ) ;
t2% = 4τ en BO → 41+K
τ en B.F. : la rapidité augmente avecK .
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Généralités sur la BF Fonctions de transfert en BO et BF L'abaque de Black-Nichols
Exemple : 2nd ordre avec correcteur proportionnel
On a : A(p) = Kωn2
p2+2ζωnp+ωn2. Le retour est unitaire donc :
FTBF =A(p)
1 + A(p)= · · · =
kFωnF2
p2 + 2ζFωnFp + ωnF 2
avec kF = K1+K
, ωnF = ωn√K + 1 et ζF = ζ√
K+1
Conclusions :
2nd ordre → 2nd ordre ;
écart statique non nul ( quand K ) ;
amortissement quand K : risque de devenir [plus]oscillant ;
temps de réponse identique (ζωn = ζFωnF )
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Généralités sur la BF Fonctions de transfert en BO et BF L'abaque de Black-Nichols
Étude d'un asservissement à retour non unitaireUn asservissement, dont la consigne est c(t) et la sortie x(t),comporte dans sa chaîne directe un élément de fonction detransfert G (p) = 25
p2+2p+25et dans sa boucle de retour une fonction
de transfert de la forme K (1 + Tp).
1 Faire le schéma de l'asservissemement2 Déterminer la fonction de transfert H(p) = X (p)
C(p)
3 Quelles sont les valeurs de K et T pour lesquelles la réponseindicielle de cet asservissement présente les caractéristiquessuivantes : écart permanent de 1% et premier dépassement de25%?
4 Donner l'allure de la réponse indicielle correspondante enprécisant comment elle a été tracée.
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Généralités sur la BF Fonctions de transfert en BO et BF L'abaque de Black-Nichols
Rappels : représentation dans le plan de Black
Plan de Black (Nichols plot) : → abscisse : phase (≤ 0o par convention) ; ↑ ordonnée : gain (en dB) ; courbe graduée par les pulsations ω.
Avantages de la représentation : multiplication des fonctionsde transfert ⇔ addition des gains et phases
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Généralités sur la BF Fonctions de transfert en BO et BF L'abaque de Black-Nichols
Comment passer de la FTBF à la FTBO?
Énoncé du problème
Étant donné un système bouclé à retour unitaire, on supposedisposer de sa FTBO (analytique ou relevé). Comment peut-on endéduire sa FTBF, représentant le comportement du systèmecomplet ?
Éléments de réponse
Retour unitaire → FTBF = FTBO1+FTBO
On pourrait calculer point par point... trop fastidieux !
On utilise plutôt une transformation complexe z 7→ z1+z
oùz = FTBO(jω)
En pratique : utilisation de l'abaque de Black-Nichols
DUTA GEII (IUT Nantes) 45/01/2010 27 / 43
Généralités sur la BF Fonctions de transfert en BO et BF L'abaque de Black-Nichols
Description de l'abaque
Ensemble de courbes : iso-modules telles que
∣∣∣ z
1+z
∣∣∣ = C ste M (en dB) ;
iso-phases telles que arg(
z
1+z
)= C ste ψ (en o).
Si le point (ϕO , gO), représentant la FTBO à la pulsation ω,appartient aussi à l'iso-module de valeur M et à l'iso-phase devaleur ψ, alors FTBF (ω) = (ψ,M).
Propriétés graphiques :
abaque symétrique par rapport à la verticale passant par−180o ;
iso-modules : réseau centré par rapport à(−180o , 0dB) = −1 ;
iso-phases : réseau rayonnant depuis (−180o , 0dB) = −1.
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Abaque de Black-Nichols
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Généralités sur la BF Fonctions de transfert en BO et BF L'abaque de Black-Nichols
Exemple (1 graduation pour 10o et 1 dB)
Pour ω3 :gainFTBO ≈ 4.5dBgainFTBF = 0dBϕFTBO ≈ −110oϕFTBF ≈ −35o
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Généralités sur la BF Fonctions de transfert en BO et BF L'abaque de Black-Nichols
Utilisation pratique de l'abaque
1 Tracé de la FTBO dans le plan de Black ;2 superposition de l'abaque (attention à garder les mêmes
échelles !) ;3 lecture des valeurs remarquables de la FTBF :
gain statique ; existence et caractéristiques de résonances ; pulsation de coupure
DUTA GEII (IUT Nantes) 45/01/2010 31 / 43
Généralités sur la BF Fonctions de transfert en BO et BF L'abaque de Black-Nichols
Lecture des résultats
gain statique : valeur de l'iso-module de l'abaque passant parle point ω = 0 rad/s (en dB) ;
existence et caractéristiques de résonances :
résonance ⇔ la FTBF passe par un maximum ; chercher l'iso-module de plus forte valeur à laquelle le lieu de
la FTBO est tangent ; sa valeur est le gain maximum en BF ; pulsation en ce point : ωR de la BF ; coecient de surtension : déni par
(MP)dB = (gain maximum)dB − (gain statique)dB
pulsation de coupure (à -3dB) : pulsation lue au pointd'intersection de la FTBO avec l'iso-module valant(gain statique)dB − 3dB .
DUTA GEII (IUT Nantes) 45/01/2010 32 / 43
Généralités sur la BF Fonctions de transfert en BO et BF L'abaque de Black-Nichols
Exemple
DUTA GEII (IUT Nantes) 45/01/2010 33 / 43
Généralités sur la BF Fonctions de transfert en BO et BF L'abaque de Black-Nichols
Exemple
Dans l'exemple, on a :
gain statique : -2dB ; existence d'une résonance :
gain à la résonance : 3dB ; pulsation de résonance : ω4 ; coecient de surtension :(MP)dB = 3dB − (−2dB) = 5dB ;
pulsation de coupure (à -3dB) : ω7, pulsation à l'intersectionavec l'iso-module -5dB.
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Généralités sur la BF Fonctions de transfert en BO et BF L'abaque de Black-Nichols
Questions subsidiaires...
Et si la FTBO comporte un gain réglable K ?
Et si le retour de la boucle n'est pas unitaire ?
... Et pourquoi ne pas utiliser des outils tout faits (Black,Matlab, Scilab) ?
DUTA GEII (IUT Nantes) 45/01/2010 35 / 43
Généralités sur la BF Fonctions de transfert en BO et BF L'abaque de Black-Nichols
Et si la FTBO comporte un gain réglable K ?
On suppose que la FTBO s'écrit KA(p) avec A(0) = 1 :
Multiplication de la FTBO par K ⇔ multiplication du gain (en dB) par20 log(K) ⇔ translation verticale de la courbe de 20 log(K) ;
On trace A(p) dans le plan de Black ;
On translate la courbe de la valeur désirée du gain.
Avantages :
en un minimum de calculs, on peut analyser des FTBF pour diérentes valeursdu gain ;
on peut facilement régler le gain de la boucle ouverte en vue d'obtenir uneperformance donnée (valeur de la surtension, par exemple) pour le systèmeasservi : il sut de translater la courbe sur l'abaque de Black (cf. exercicesuivant).
DUTA GEII (IUT Nantes) 45/01/2010 36 / 43
Généralités sur la BF Fonctions de transfert en BO et BF L'abaque de Black-Nichols
Et si le retour de la boucle n'est pas unitaire ?On se ramène, grâce à l'algèbre des diagrammes, à un système comprenant une bouclefermée à retour unitaire :
m
On étudie la FTBF partielle Y
Cà partir de la FTBO partielle A(p)R(p) puis, en
divisant par R(p), on en déduit la FTBF complète X
C.
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Généralités sur la BF Fonctions de transfert en BO et BF L'abaque de Black-Nichols
Étude d'un asservissement de position à retour unitaire
ÉnoncéOn s'intéresse à l'asservissement en position d'un moteur à aimantpermanent commandé par l'induit, dont la fonction de transfert Ω
U
est donnée par A(p) = 1p(1+0,2p) et dont la commande est
proportionnelle à l'écart : u(t) = K (c(t)− θ(t)).
Tracer dans le plan de Black la réponse fréquentielle de A(p)(utiliser les échelles de l'abaque fourni sur transparent) ;
En déduire la réponse fréquentielle dans le plan de Black dusystème de fonction de transfert KA(p) où K = 15 ;
En déduire les principales caractéristiques de la réponsefréquentielle du système en boucle fermée (surtension,pulsation de résonance, pulsation de coupure)
DUTA GEII (IUT Nantes) 45/01/2010 38 / 43
Généralités sur la BF Fonctions de transfert en BO et BF L'abaque de Black-Nichols
Calcul de la réponse fréquentielle de A(p)
On décompose A(p) en A1(p) (intégrateur) et A2(p) (1er ordre). On trace dans leplan de Bode les réponses asymptotiques de ces deux systèmes ; on calcule quelquespoints particuliers de A(p) :
ω 0.5 1 2 3 5 7 8 10 12.5 20
ω/ω0 0.1 0.2 0.4 0.6 1 1.4 1.6 2 2.5 4
A1(dB) 6.02 0 -6.02 -9.54 -14 -17 -18 -20 -22 -26
A2(dB) -0.04 -0.17 -0.64 -1.33 -3 -4.71 -5.51 -7 -8.6 -14.15
A(dB) 6 -0.17 -6.66 -10.86 -17 -21.71 -23.5 -27 -30.60 -40.15
ϕ(A1) -90
ϕ(A2) -5.7 -11.3 -21.8 -31 -45 -54.4 -58 -63.4 -68.2 -76
ϕ(A) -95.7 -101.3 -111.8 -121 -135 -144.4 -148 -153.4 -158.2 -166
DUTA GEII (IUT Nantes) 45/01/2010 39 / 43
Généralités sur la BF Fonctions de transfert en BO et BF L'abaque de Black-Nichols
Réponse de A(p)
DUTA GEII (IUT Nantes) 45/01/2010 40 / 43
Généralités sur la BF Fonctions de transfert en BO et BF L'abaque de Black-Nichols
Réponse de 15A(p)On translate la courbe de 20 log(15) = 23.5 vers le haut :
On en déduit :
gain statique : 0dB ;
surtension : 5.1dB-0dB =5.1dB ;
pulsation de résonance : 8rad/s ;
pulsation de coupure : ≈ 12rad/s
DUTA GEII (IUT Nantes) 45/01/2010 41 / 43
Généralités sur la BF Fonctions de transfert en BO et BF L'abaque de Black-Nichols
Détermination du gain K pour obtenir une surtension de 1.3Remarque : ∀K , le gain statique de la FTBF vaut 0 dB. On translate la courbe deA(jω) de manière à tangenter l'iso-module de valeur 20 log(1.3) = 2.3dB.
On en déduit :
(K)dB = 16.5 et K = 6.7
surtension : 2.3dB ;
pulsation de résonance : 4.5rad/s ;
pulsation de coupure : 7.5rad/s
DUTA GEII (IUT Nantes) 45/01/2010 42 / 43
Généralités sur la BF Fonctions de transfert en BO et BF L'abaque de Black-Nichols
Comparaison et conclusions
Pour K = 15, la résolution analytique donne :
gain statique : 0dB ; pulsation propre : ωn = 5
√(3) = 8.66 rad/s ;
amortissement : ζ = 0.29 ; pulsation de résonance : 7.92 rad/s ; surtension : 1.80 (5.11dB) ; pulsation de coupure : 12.64 rad/s
Pour obtenir une surtension de 1.3, la résolution analytique donne :
ζ = 0.43 = 5/(2ωn) ; pulsation propre : ωn = 5K , d'où K = 6.76 ; pulsation de résonance : ωR = 0.8ωn = 4.5 rad/s ; pulsation de coupure : ωc = 1.34ωn = 7.8 rad/s
Par les deux approches, les résultats obtenus sont très voisins. En pratique, ledegré de précision est tout à fait acceptable.
Dans le cas où l'on ne dispose pas d'une solution analytique simple (retard pur,ordre plus élevé, . . .), seule la méthode de l'abaque reste utilisable.
DUTA GEII (IUT Nantes) 45/01/2010 43 / 43