Course Dp

cole Centrale Paris

Mathmatiques 2D. Verwaerde et P. Laurent-Gengoux

Analyse des quations aux drivespartielles

P. Laurent-Gengoux

Anne 2006-2007

2 Analyse des quations aux drives partielles

ECP 2006-2007 2

Table des matires

1 Rappels et prrequis 111.1 Quelques formules utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.2 Formule dintgration par parties en dimension N . . . . . . . . . . . . . . 111.1.3 Formule de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Systmes dquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.1 Systmes linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.2 Systmes dquations non linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.3 Rsolution dun systme non linaire par dformation . . . . . . . . . . . . 17

1.3 Systmes diffrentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.1 Le problme de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.2 Systmes diffrentiels linaires homognes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4 Principes de construction dquations aux drives partielles . . . . . . . . . . . . . 221.4.1 Les lois de conservation ou dquilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4.2 Les principes dextrmalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Exemples dquations aux drives partielles 252.1 Les problmes linaires canoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.1 Un problme aux limites elliptique linaire : lquation de Poisson . . . . . 252.1.2 Un problme dvolution, parabolique linaire : lquation de la diffusion . . 292.1.3 Une quation linaire du premier ordre : lquation dadvection . . . . . . . 312.1.4 Un problme dvolution, hyperbolique linaire : lquation des ondes . . . . 33

2.2 Les problmes classiques de la physique mathmatique . . . . . . . . . . . . . . . . 382.2.1 Les quations de transport ou de convection avec raction et diffusion . . . . 382.2.2 La diffusion avec rayonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2.3 Llasticit linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.2.4 Lcoulement des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.2.5 Les phnomnes vibratoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.2.6 Les quations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.2.7 Exemples de problmes plus complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3


3 Quelques outils danalyse des E.D.P. 493.1 Proprits des oprateurs linaires aux drives partielles . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.1.1 Oprateurs linaires aux drives partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.1.2 Oprateurs du premier et second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.1.3 Symtrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.1.4 Fonctions propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.1.5 Noyau des oprateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.1.6 Transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.1.7 Transformation de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.2 Application de la linarit de loprateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.2.1 Dcouplage des donnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.2.2 Dcomposition laide de fonctions spciales . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.3 Formulation faible des quations aux drives partielles . . . . . . . . . . . . . . . . 653.3.1 quivalence des formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.3.2 Formulation au sens des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.3.3 Utilisation des formulations faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.3.4 Interprtation des formulations faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.4 Calcul des variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.4.1 Position du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.4.2 Le thorme dEuler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.4.3 Gnralisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.5 Systme du premier ordre quivalent un systme donn . . . . . . . . . . . . . . . 753.5.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.5.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.6 Le thorme de Cauchy-Kovalevska . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.6.1 Position du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.6.2 Le thorme de Cauchy-Kovalevska : forme canonique . . . . . . . . . . . . 803.6.3 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.6.4 Surface caractristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.6.5 Systme quasi-linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4 Les problmes aux limites 914.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.1.1 Quelques dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.1.2 Dfinition des problmes aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.1.3 Systmes dquations elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.2 Problme associ un potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.2.1 Position du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.2.2 Equation drivant dun potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.2.3 Potentiel coercif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.2.4 Potentiel convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.2.5 Analyse des conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.3 Exemples danalyse de problmes aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.3.1 quation elliptique linaire du second ordre gnrale . . . . . . . . . . . . . 100

ECP 2006-2007 4

TABLE DES MATIRES 5

4.3.2 Diffusion et membrane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.3.3 Diffusion non homogne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.3.4 Importance des signes : Vibration force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.3.5 Une quation faiblement non-linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.3.6 Une quation fortement non linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.3.7 Une quation conditionnellement elliptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.3.8 Quelles lois linaires de diffusion impliquent lellipticit ? . . . . . . . . . . 1054.3.9 Quelles lois non linaires de diffusion impliquent lexistence et lunicit ? . . 1064.3.10 Cas non convexe 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.3.11 Cas non convexe 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.3.12 Cas non convexe 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.3.13 Cas non convexe 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.3.14 Un exemple sans potentiel : la convection diffusion . . . . . . . . . . . . . . 108

4.4 Exemples en mcanique du solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.4.1 lasticit linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.4.2 lasticit non linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5 Les quations dvolution 1135.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.1.1 Quelques dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.1.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.1.3 Position du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.1.4 Classification de problmes lmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.1.5 Equation parabolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.1.6 quation hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.2 Equation du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.2.1 Equation linaire du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.2.2 Equation homogne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.2.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225.2.4 Equation quasi-linaire du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5.3 Systme linaire strictement hyperbolique deux variables (x, t) . . . . . . . . . . . 1255.3.1 Systme linaire strictement hyperbolique homogne coefficients constants

deux variables (x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.3.2 Systme gnral dquations linaires aux drives partielles deux variables

(x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.4 Systme linaire et quasi-linaire gnral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365.5 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.5.1 Burgers, sans viscosit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365.5.2 Dynamique des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365.5.3 Equation de convection diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5 Mathmatiques 2


6 Le cadre fonctionnel 1396.1 Formulations faibles et distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

6.1.1 Notion de distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396.1.2 Distributions sur R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

6.2 Le problme de lexistence des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1446.2.1 Rappel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1446.2.2 Le thorme de Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1446.2.3 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1456.2.4 Le cadre fonctionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1466.2.5 Exemple dutilisation du cadre fonctionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

7 Lapproximation des problmes aux limites 1497.1 Le problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

7.1.1 Prsentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1497.1.2 Le problme gnral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1497.1.3 Un problme modle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

7.2 Principes gnraux dapproximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1507.2.1 Mthode des diffrences finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1507.2.2 Mthode de Ritz-Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1537.2.3 Approximation par des fonction affines par morceaux . . . . . . . . . . . . . 1587.2.4 LespaceWh des fonctions continues affines par morceaux . . . . . . . . . . 1597.2.5 Algorithmes de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

7.3 Quelques extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1737.3.1 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1737.3.2 Gnralisation de lquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1757.3.3 lments finis de degr suprieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1767.3.4 Dimension 1 et 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

7.4 tude de lerreur dans la mthode des lments finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1777.5 Maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

7.5.1 Proprits ncessaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1797.5.2 Mthodes de maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1797.5.3 Triangulation de Delaunay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

8 Lapproximation des problmes dvolution 1858.1 Approximation de problmes modles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

8.1.1 Problmes modles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1858.1.2 Approximation par la mthode des diffrences finies . . . . . . . . . . . . . 1868.1.3 Analyse des approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1928.1.4 Analyse de lerreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1978.1.5 Critres de stabilit des schmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2028.1.6 Analyse et extensions de la mthode des diffrences finies . . . . . . . . . . 206

8.2 Approximation par la mthode des lments finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2078.2.1 quation de la diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2078.2.2 quation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

ECP 2006-2007 6

TABLE DES MATIRES 7

8.2.3 Analyse et extensions de la mthode des lments finis . . . . . . . . . . . . 2148.3 Approximation des quations hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

8.3.1 Un problme modle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2158.3.2 Approximation par la mthode des diffrences finies . . . . . . . . . . . . . 2178.3.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

7 Mathmatiques 2


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Prsentation

Objectifs de ce document

Ce document est un document de rfrence pour le cours danalyse et dapproximation des qua-tions aux drives partielles. Il est complmentaire des documents dcrivant chaque sance qui ont tdistribus part. Il contient quelques rappels et de nombreux passages qui ne sont pas au programme,(le programme est dfini par les documents dcrivant chaque sance). En complment du programme,ax sur lanalyse qualitative et numrique des quations aux drives partielles, nous prsentons dansce document :

des rsums des mthodes classiques de calcul de solutions dquations aux drives partielles. quelques complments pour aller plus loin dans ltude des quations aux drives partielles. de nombreux exemples non traits en cours.

Nous nous sommes efforcs de maintenir un quilibre entre la gnralit et la complication des non-cs : les thormes ne sont pas noncs sous la forme la plus gnrale chaque fois que cela compliquetrop les notations ou que cela les rend trop abstraites ; cest a fortiori vrai pour les dmonstrations.Nous avons vit au maximum de recourir des notions non lmentaires de calcul diffrentiel etsurtout dintgration et danalyse fonctionnelle. Notamment nous nutilisons pas le cadre des espacesde Sobolev ni la thorie des distributions, nous leur consacrons cependant un court chapitre pouren expliquer lintrt. Cette simplification est possible parce que nous ne traitons pas la question delexistence des solutions dune quation aux drives partielles, nous nous limitons ltude qualita-tive des solutions.

Position du problme

Nous prsentons dans ce document quelques ides pour comprendre les problmes, en gnraldorigine physique, dans lesquels on cherche une ou plusieurs fonctions vrifiant des quations auxdrives partielles et des conditions supplmentaires, par exemple les valeurs en certains points de lafonction inconnue ou de ses drives. Le sujet est videmment trs vaste, puisque les quations auxdrives partielles modlisent lensemble des phnomnes physiques, certains domaines sont encoremal connus et beaucoup de problmes sont lobjet de conjectures. Nous navons donc pas lambitiondans ce court document de faire une synthse des connaissances actuelles mais nous essayons din-troduire quelques ides simples pour comprendre les problmes lmentaires.

Prenons lexemple des quations linaires ; les solutions dune quation aux drives partielleslinaire forment un espace de dimension infinie, elles dpendent linairement, par exemple, des co-

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efficients dune srie, ou encore de la donne dune ou de plusieurs fonctions arbitraires. Rsoudreces quations, cest, au mieux, obtenir des reprsentations de la solution sous forme de sries etdintgrales dpendant de fonctions arbitraires. Mais les reprsentations ainsi obtenues de la solutiongnrale de lquation sont peu manipulables, sauf dans quelques cas particuliers, et ne permettentpas de comprendre quelles conditions supplmentaires dterminent la solution. Le plus souvent on nepourra calculer que des approximations des solutions.

Dans le cas gnral, on peut essayer de dterminer des solutions dune quation aux drives par-tielles en posant des problmes de Cauchy, cest dire la dtermination locale de la solution partirde certaines de ses valeurs sur une courbe (si on est en dimension 2). Mais dune part ce problme,quand il a une solution (thorme de Cauchy-Kovalevska), nest pas toujours bien pos : la solutionne dpend pas toujours de faon stable de ses valeurs sur une courbe et elle dpend dune infinitde paramtres (les valeurs sur la courbe). Dautre part les conditions supplmentaires sont aussi ennombre infini, la dtermination des paramtres est donc un problme non trivial.

Cest pourquoi nous ne prsenterons pas, comme cela a t fait pour les quations diffrentielles,une thorie gnrale reposant sur les proprits des solutions dune quation. Nous tudierons deprfrence des problmes compltement poss ayant en gnral une solution bien dtermine, pourlesquels on peut sappuyer sur linterprtation physique, pour comprendre les proprits du problme.Et nous tudierons des principes gnraux qui permettent de comprendre pourquoi un problme estbien pos, quelles sont les proprits de ses solutions et comment on peut construire des approxima-tions des solutions.

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Chapitre 1

Rappels et prrequis

1.1 Quelques formules utiles

1.1.1 Notations

On note x, y = i xiyi le produit scalaire canonique de RN . Soit u(x) et v(x) des fonctionsdfinies sur un domaine RN ; (x) est un champ de vecteur sur , ~n = (n1, , nN ) est levecteur normal unitaire extrieur en un point du bord de .

1.1.2 Formule dintgration par parties en dimension N

u(x)xi

v(x) d = uv(x)xi

d+u v ni d (1.1)

On en dduit diverses formules trs utiles.

1.1.3 Formule de Stokes

,v d =

. v d+

n v d (1.2)

o n = , ~n. Avec v = 1 on obtient la formule de Green . d =

n d (1.3)

En prenant = u on obtientu,v d =

u v d+

u

nv d (1.4)

o un = u, ~n est la drive de u dans la direction ~n.

11


1.2 Systmes dquations

1.2.1 Systmes linaires

Introduction

Dans lapproximation des quations aux drives partielles nous aurons considrer des systmeslinaires de trs grande dimension qui auront le plus souvent la proprit davoir une matrice creuse(i.e. la plupart des lments sont nuls) et symtrique. Soit A une matrice (n, n) et b Rn.Dfinition 1 Une matrice symtriqueA est dfinie positive si x 6= 0 Ax, x > 0Le rsultat suivant est la base de ltude des systmes linaires :

Proposition 1 Le systme linaireAx = b (1.5)

admet une solution et une seule si le systme homogne associ admet pour seule solution x = 0, cequi est quivalent detA 6= 0La deuxime partie de la proposition nest pas dun grand intrt pratique pour les systmes de grandedimension : le dterminant dune matrice de grande dimension est le plus souvent un nombre sanssignification ( numriquement infini ou nul). La premire partie de la proposition peut tre compltepar une condition suffisante qui nous sera trs utile :

Thorme 1 Si la matrice A a sa partie symtrique qui est dfinie positive alors le systme linaireadmet une solution et une seule

En effet Ax = 0 implique Ax, x = A+At2 x, x = 0 ce qui implique x = 0 si A+At est dfiniepositive.

Notion de conditionnement

Dans ce paragraphe nous nutilisons que la norme euclidienne, qui conduit des calculs simples,mais il peut tre ncessaire de faire la mme tude pour dautres norme, notamment la norme x.Un systme linaire peut avoir une solution et une seule sans que cette solution soit stable vis vis des donnes. Considrons une perturbation b du second membre b de (1.5), elle implique uneperturbation x = A1b de la solution et donc une erreur relative

x2x2

A12b2x2

Or b = Ax implique b2 A2x2 et donc

x2 b2A2Il vient

x2x2

A2A12b2b2

Le coefficient damplification de lerreur relative est donc major par C(A) = A2A12. Dola dfinition :

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CHAPITRE 1. RAPPELS ET PRREQUIS 13

Dfinition 2 Le conditionnement dune matriceA est le nombre

C(A) = A2A12

Si la matrice A est symtrique dfinie positive on a A2 = n, o 1 ... n sont les valeurspropres deA et A12 = 11 , donc

Proposition 2 Si la matriceA est symtrique dfinie positive le conditionnement de la matrice

C(A) =n1

est un majorant du coefficient damplification de lerreur relative sur la solution du systme (1.5).

Noter que ce majorant est atteint si b et b sont les vecteurs propres associs n et 1.

Rsolution numrique

Pour rsoudre numriquement un systme linaire on utilise deux grandes classes de mthode : Les mthodes dites directes qui sont des variantes de la mthode dlimination de Gauss (ditesaussi mthode du pivot) diffrent essentiellement par lordre des liminations ce qui revient dfinirune renumrotation des inconnues et des quations. Les mthodes itratives, appliques surtout aux matrices de grande dimension et creuses, sont,pour les plus efficaces, drives de la mthode du gradient conjugu qui est tudie dans le coursdoptimisation. Ces mthodes sont des mthodes doptimisation qui utilisent lquivalence suivante :

Proposition 3 Soit A une matrice symtrique dfinie positive. Soit F (x) = 12Ax, x b, x. Lafonction F (x) est strictement convexe, tend vers linfini quand x tend vers linfini, et F (x) =Ax b.Un vecteur x est solution du systme linaireAx = b si et seulement si x ralise le minimum (unique)de la fonction F (x) sur Rn.

1.2.2 Systmes dquations non linaires

On note

A(x) = 0 (1.6)

un systme de n quations non linaires n inconnues, o A(x) est une application C1 de Rn danslui-mme. Un tel systme peut tre trs difficile analyser et rsoudre numriquement. La thoriela plus gnrale qui couvre lexistence des solutions de (1.6) est la thorie du degr topologique quidpasse le cadre de cette introduction. Nous allons voir quelques conditions suffisantes qui facilitentltude de ce systme.

13 Mathmatiques 2


Existence dun potentiel

Dans ce paragraphe nous supposons quil existe une fonction potentielle F (x) telle que

A(x) = F (x)

Les solutions du systme sont alors les points stationnaires de F (x). Or ltude de la fonction F (x)permet sous certaines conditions daffirmer lexistence dau moins un extrmum, son ventuelle uni-cit ou la prsence dun nombre minimal dextrmums. Pour lexistence on utilisera la proposition

Proposition 4 Si F (x) tend vers + quand x tend vers linfini alors F (x) admet au moins unminimum et le systme A(x) = 0 admet donc au moins une solution.

et

Proposition 5 Si F (x) est strictement convexe alors F (x) admet au plus un minimum et le systmeA(x) = 0 admet donc au plus une solution.

Noter que lexistence locale dune fonction potentielle quivaut la symtrie de la matrice jacobienneet quil existe des situations plus gnrales o lon peut tudier le nombre dextrmums de la fonctionF (x) et leur nature, voir le cours doptimisation, chapitre 1.

Mthode du point fixe

On rcrit le systme A(x) = 0 sous la forme

x = x A(x)

et on pose f(x) = x A(x). Trouver une solution du systme non linaire quivaut trouver unpoint fixe de lapplication f(x).Rappelons le thorme du point fixe pour les applications contractantes, sous une forme adapte :

Thorme 2 (Point fixe) Si une fonction f(x) laisse invariante une partie ferme C de Rn et si elleest lipschitzienne de constante k < 1 pour une norme quelconque, i.e.

f(x) f(y) < kx y

alors elle admet un point fixe x et un seul sur C. De plus si x0 est un point quelconque de C la suitedfinie par la rcurrence

x0 C quelconqueet

xn = f(xn1)

converge vers x

Ce thorme fournit un rsultat dexistence et un algorithme pour dterminer la solution.Un thorme beaucoup plus gnral, le thorme de Brouwer, est moins prcis

ECP 2006-2007 14


Thorme 3 (Brouwer) Si une fonction continue f(x) laisse invariant un convexe compact C de Rnelle admet (au moins) un point fixe x sur C.

Le plus souvent le convexe C est une boule de Rn. Si le champ de vecteur A(x) est dirig vers lex-trieur de la boule quand x est sur la sphre frontire, on vrifie que lapplication f(x) = x A(x)applique la sphre sur lintrieur de la boule pour assez petit. Au prix dune petite complicationtechnique1 on peut appliquer le thorme de Brouwer et on en dduit la proposition :

Proposition 6 (Poincar) Si il existe r Rn tel quex2 = r A(x), x > 0

le systme (1.6) admet au moins une solution.

Applications monotones

Nous allons voir des conditions pratiques dapplication du thorme (2)

Dfinition 3 Une application A(x) dun convexe C Rn dans Rn est monotone siA(x)A(y), x y 0

Une application A(x) est uniformment monotone si il existe une constante > 0 telle que

A(x)A(y), x y x y, x ySi A(x) = F (x) la monotonie de A(x) quivaut la convexit de F (x), voir le cours doptimisa-tion, chapitre 2. Dans le cas gnral on a le thorme :

Thorme 4 Si une application A(x) de Rn dans Rn est uniformment monotone et lipschitzienne,le systme

A(x) = 0

admet une solution et une seule.

On peut tendre ce thorme une boule de Rn.Ce thorme est une consquence immdiate du lemme :

Lemme 1 Si une application A(x) de Rn dans Rn est uniformment monotone, de constante etlipschitzienne de constanteM , lapplication

f(x) = x (1 2

M2)A(x)

est lipchitzienne de constante k =(1 2

M2) < 1 ; elle vrifie donc les condition du thorme de

point fixe (2).1Considrer lapplication f(x) = (xA(x)) o(x) est la projection sur la boule, cette application envoie la boule

C dans elle-mme par construction, elle admet donc un point fixe. Or un point fixe x de f(x) est dans la boule ; si x eststrictement lintrieur il nest pas limage par dun point extrieur, donc x = xA(x), si x est sur la sphre, xA(x)est lintrieur de la boule par dfinition de et donc(xA(x)) = xA(x) ; do x = (xA(x)) = xA(x).

15 Mathmatiques 2


Les points fixes de f(x) sont les solutions de A(x) = 0, ce qui dmontre le thorme.Dmonstration du lemme : Rappelons que A(x) est lipschitzienne en norme euclidienne si

k > 0 / A(x)A(y)2 kx y2(ce qui sera vrai sur tout born si A(x) est une application C1).Dfinissons f(x) = x A(x) et montrons que f(x) est une application contractante

f(x) f(y), f(x) f(y) = (x y) (A(x)A(y)), (x y) (A(x)A(y))

et en dveloppant

f(x)f(y), f(x)f(y) = xy, xy2A(x)A(y), xy+2A(x)A(y), A(x)A(y))

et puisque A(x) est une application monotone et lipschitzienne

f(x) f(y), f(x) f(y) (1 2+ 2k2)x y, x y

Choisissons =

M2

il vient

f(x) f(y), f(x) f(y) (1 2

M2)x y, x y

Mthodes de calcul numrique

Si le thorme de point fixe (2) sapplique on peut utiliser la mthode ditration pour calculerla solution du systme.

Si le systme est associ un potentiel on peut calculer les solutions qui sont des extrmumspar des mthodes doptimisation, voir le chapitre 3 du cours doptimisation.

Dans le cas gnral on peut utiliser la mthode de Newton (voir le chapitre 3 du cours dop-timisation). La mthode de Newton est une mthode itrative gnrale de rsolution dun systmenon-linaire A(x) = 0 : connaissant une approximation xk de la solution, on dtermine xk+1 enlinarisant, localement autour de xk ; lquation A(x) = 0. On a, en dveloppant A(x) lordre 1autour de xk

A(x) = A(xk) +DA(xk).(x xk) + (x xk)x xkSi on veut que A(xk+1) = 0, en ngligeant les termes du dordre 2, il vient

xk+1 = xk DA(xk)1.A(xk)

Lapplication linaire DA(x) a pour matrice dans la base canonique de Rn la jacobienne JA(x) .Lalgorithme peut donc scrire, en mettant en vidence la rsolution du systme linaire de matriceJA(xk),

ECP 2006-2007 16


Faire :Mk = JA(xk)gk = A(xk)Mkk = gkxk+1 = xk + k

Tant que gk epsg0On montre que, si A(x) est deux fois diffrentiable et si x0 est assez proche dune solution, lesitrations convergent vers cette solution. On montre de plus que la convergence est quadratique

xk+1 x Cxk x2

ce qui fait que, ds que la convergence est amorce, elle devient trs rapide.En pratique la mthode est souvent instable et le choix dun point de dpart x0 assurant la convergencepeut savrer trs dlicat. La mise oeuvre exige la rsolution dun systme linaire, dont la matriceJA(xk) change chaque itration, ce qui peut tre trs coteux si la matrice est pleine et de grandedimension.

La mthode de Newton peut tre complte par une stratgie de dformation par homotopie :on introduit un paramtre et un systmeA(x, ) tel queA(x) = A(x, 1) et que le systmeA(x, 0) =0 soit simple rsoudre (par exemple linaire). On choisit une suite de valeur 1 = 0 k p = 1.De proche en proche on dtermine la solution de A(x, k) = 0 en initialisant la mthode de Newtonpar la solution de A(x, k1) = 0 jusqu atteindre p = 1. Nous dveloppons cette mthode dans leparagraphe suivant.

1.2.3 Rsolution dun systme non linaire par dformation

Nous tudions dans ce paragraphe des mthodes de calcul pour des systmes non linaires, ditesmthodes incrmentales ou de dformation par homotopie. Ces mthodes de calcul, sont utilisesnotamment en mcanique du solide pour les modles lastoplastiques, de grandes dformations oude contact. Avec des notations un peu diffrentes du paragraphe prcdent et qui sont usuelles enmcanique, on crit le systme non linaire sous la forme

K(U) = F (1.7)

o linconnue U et la donne F sont des vecteurs de Rn et K(U) une application de Rn dans Rn.Pour dterminer une solution, on construit un chemin de solutions en faisant varier continment levecteur F, qui devient F(t), partir dune valeur pour laquelle la solution est connue (0 par exemple)et on suit pas pas la solutionU(t). En mcanique on dit que lon a dfini un chemin de chargement.Drivons (1.7), il vient :

K(U(t))U(t) = F(t) (1.8)

o K(U(t)) est une matrice (n, n). On obtient un systme diffrentiel non linaire sous forme im-plicite pourU(t).On peut intgrer numriquement cette quation diffrentielle par une mthode simple, la mthodedEuler implicite ou explicite avec un pas de temps :

17 Mathmatiques 2


Euler explicite :

K(Uk)(Uk+1 Uk)

= F(tk)

Euler implicite :

K(Uk+1)(Uk+1 Uk)

= F(tk+1)

que lon peut rcrire sous la forme : Euler explicite :

K(Uk)Uk+1 = K(Uk)Uk + F(tk)

Euler implicite :K(Uk+1)(Uk+1 Uk) = F(tk)

Pour le schma explicite il suffit de rsoudre chaque pas un systme linaire dont la matriceK(Uk)peut tre explicitement calcule. Dans un problme obtenu par une approximation par lments finisdun problme continu cette matrice est celle dun problme linaris, elle sera calcule par lesmthodes tudies pour les quations linaires. Pour le schma implicite (qui est plus stable et permetdes pas plus grands) la matrice fait partie des inconnues, on dtermine Uk+1 par une mthode depoint fixe :

V0 = Uk (1.9)K(Vi)Vi+1 = K(Vi)Uk + F(tk) (1.10)

la suite Vi converge, si le pas nest pas trop grand, vers Uk+1. On prfre sassurer chaque pasqueUk+1 est solution de :

K(U) = F(tk+1) (1.11)

en appliquant localement la mthode de Newton cette quation :

V0 = Uk (1.12)K(Vi)Vi+1 = K(Vi)Vi (K(Vi) F(tk+1)) (1.13)

la suiteVi converge, si le pas nest pas trop grand, versUk+1.Remarque : La matriceK(Uk) peut ne pas tre inversible, ce sera le cas siUk est point de bifurcation(i.e. plusieurs branches de solution passent par ce point). En mcanique, par exemple, cette situationcorrespond certaines proprits du systme : passage par une valeur limite du chargement (en casdaugmentation de celui-ci il ny a plus dquilibre possible) ou encore au phnomne de flambement(voir le chapitre 1 du cours dOptimisation).

1.3 Systmes diffrentiels

Voir le cours danalyse 1 pour plus de dtails. Rappelons que tout systme diffrentiel comprenantdes drives dordre p est quivalent un systme du premier ordre en introduisant des variablessupplmentaires pour les drives jusqu lordre p 1. Par exemple, en dynamique du point, lesquations de Newton, qui sont du second ordre quand linconnue est la position, scrivent sous laforme dun systme du premier ordre dans lespace des phases, cest dire en prenant la positionet la vitesse comme inconnues.

ECP 2006-2007 18


1.3.1 Le problme de Cauchy

Soit f(t, x) une application continue de [0, T ] Rn dans Rn et x(t) C1([0, T ] Rn).Dfinition 4 On appelle problme de Cauchy ou valeurs initiales le problme diffrentiel{

x(t) = f(t, x(t))x(0) = x0

(1.14)

Les hypothses peuvent tre adapte des fonctions dfinies sur un ouvert de Rn. nonons le tho-rme fondamental dexistence locale dune solution de (1.14) sous une forme simplifie

Thorme 5 (Cauchy-Lipschitz) Si f(t, x) est une fonction continue par rapport (t, x) et C1 parrapport x, alors le problme (1.14) admet au plus une solution et il existe T tel quil existe unesolution sur [0, [.

On peut complter cet nonc par la proposition :

Proposition 7 () Si la solution x(t) de (1.14) est borne sur [0, ], cette solution peut tre prolongesur [0, [ avec > .

(intuitivement, ou bien la solution explose en ou bien elle peut tre prolonge) on en dduit lethorme :

Thorme 6 () Si f(t, x) est continue par rapport (t, x), C1 par rapport x, et croissance auplus linaire en x (i.e. M, c / f(t, x) Mx+ c), alors le problme (1.14) admet une solutionet une seule sur [0, T ].

On montre galement que la solution de (1.14) dpend continment de x0 ainsi que de tout paramtrepar rapport auquel f(t, x) est continu. Autrement dit la solution de(1.14) est stable vis vis desdonnes du problme.La solution gnrale dun systme diffrentiel dans Rn existe donc localement sous des hypothsestrs faibles et elle dpend de n paramtres que lon peut choisir comme les valeurs initiales dunproblme de Cauchy. Le thorme (6) est un outil puissant pour montrer lexistence globale de lasolution. Nous naurons pas de rsultat aussi gnral pour les quations aux drives partielles.

1.3.2 Systmes diffrentiels linaires homognes

Solution gnrale

Soit x(t) C1([0, T ] Rn). Considrons un systme diffrentiel linaire homogne coeffi-cients constants {

x(t) = Ax(t)x(0) = x0

(1.15)

o A est une matrice (n, n).La solution de ce systme peut scrire formellement

x(t) = exp (tA)x0

19 Mathmatiques 2


o nous avons pos

exp (tA) =k

tkAk

k!

Si la matrice A est diagonalisable sous la forme A = P1DP o D est une matrice diagonale dontles coefficients sont les valeurs propres i de A ; on en dduit lcriture plus explicite de exp (tA)

exp (tA) = P1 exp (tD)P

o exp (tD) est la matrice diagonale dont les coefficients sont exp (tD)i,i = exp (ti). Le thormesuivant est une consquence immdiate de cette expression, et il stend des matrices non diagona-lisables :

Thorme 7 Toutes les solutions du systme diffrentiel (1.15) tendent vers 0 quand t + si etseulement si la partie relle des valeurs propres de la matrice A est ngative.

Analyse qualitative

Dfinition 5 Soit un produit scalaire ., . sur Rn. Un systme diffrentiel est conservatif si les solu-tions du systme homogne conservent le carr scalaire x(t), x(t).Un systme diffrentiel est dissipatif si le carr scalaire x(t), x(t) tend vers 0.

Le carr scalaire abstrait que nous introduisons reprsente souvent une grandeur physique concrte,une nergie ou une entropie. Nous utiliserons la proposition

Proposition 8 Soit un produit scalaire ., . sur Rn. Le systme (1.15) est dissipatif si et seulement sila matrice A est dfinie ngative. Le systme (1.15) est conservatif si et seulement si la matrice A estantisymtrique.

PreuveDe (1.15) on dduit

x, x(t) = Ax, xet donc

d

dt

12x, x = Ax, x

Le rsultat en dcoule car A est dfinie ngative si x 6= 0 Ax, x < 0 et A est antisymtrique2 siet seulement si x Ax, x = 0.

2Lantisymtrie de la matrice A, Ax, y = Ay, x, quivaut

x R2N Ax, x = 0

En effet si x, Ax, x = 0 alors x, y A(x + y), (x + y) = 0 = Ax, x + Ay, y + Ax, y + Ay, x =Ax, y+ Ay, x, donc Ax, y = Ay, x

ECP 2006-2007 20


Autres problmes

Si on cherche une solution dun systme diffrentiel vrifiant dautres types de conditions que(1.14) (conditions aux deux extrmits dun intervalle, condition de priodicit...) , il nexiste pasde rsultat aussi simple dexistence dune solution. Mais on peut ramener, grace au thorme (6), leproblme ltude dun systme dquations sur Rn par la mthode de tir : par exemple si on veutfixer p < n composantes de x(0) et np composantes de x(T ), on considre la solution du problme(1.14) avec un point de dpart x(0) = x0 o p composantes de x0 prennent les valeurs fixes et lesn p autres composantes prennent des valeurs 1, ..., p libres ; la valeur de la solution x(t) en Tdoit vrifier n p conditions, ce qui fait n p quations pour les n p paramtres i.Prsentons un exemple dapplication de cette mthode : on considre un problme aux limites pourune quation du second ordre{ x(t) + c(t) x(t) = f(t) pour t [0, 1]

x(0) = x(1) = 0(1.16)

o t [0, 1], c(t) > 0 C([0, 1]), f(t) C([0, 1]). On introduit le problme auxiliaire de Cauchyx(t) + c(t) x(t) = f(t) pour t [0, 1]x(0) = 0x0) =

(1.17)

Ce problme de Cauchy admet une solution unique sur [0, 1] daprs le thorme (6). Pour que (1.16)ait une solution, nous devons montrer quil existe tel que (1.17) a une solution x(t) telle que x(1) =0. En notant x1(t) la solution de (1.17) pour = 1 et f(t) = 0, et x2(t) la solution de (1.17) pour = 0, on vrifie immdiatement que la solution gnrale x(t) de (1.17) scrit

x(1) = x1(1)+ x2(1)

Pour montrer quil existe tel que x(1) = 0, il suffit de montrer que x1(1) 6= 0.Raisonnons par labsurde : si x1(1) = 0 le problme

x(t) + c(t)x(t) = 0 pour t [0, 1]x(0) = 0x(1) = 0

(1.18)

admet comme solution x1(t) par dfinition de cette fonction, et cette solution est non nulle puisquex1(0) = 1. Or 1

0x1(t)x1(t) dt+

10c(t)x21(t) dt = 0

et, aprs intgration par parties du premier terme on obtient 10x1(t)

2 dt+ 10c(t)x21(t) dt = 0

ce qui implique x1(t) = 0 puisque c(t) > 0 par hypothse. Ce qui contredit le fait que x1(0) = 1.

21 Mathmatiques 2


Calcul numrique de la solution

Voir le cours danalyse 1.

1.4 Principes de construction dquations aux drives partielles

1.4.1 Les lois de conservation ou dquilibre

Principe

Les grands principes de la physique sont souvent des lois de conservation ou des lois dquilibrequi se traduisent par des quations aux drives partielles. Soit Rn un domaine. Soit (x) Rnun champ de vecteur dfini sur . La nullit du flux de travers un contour quelconque scrit

n ds = 0

Si on prend pour le bord dun domaine quelconque , on en dduit en utilisant la formule deGreen (1.3)

. (x) d = 0

et donc, le domaine tant quelconque

. (x) = 0Dans un problme dvolution, si la variation dune grandeur dfinie par une densit (x, t) se traduitpar un flux (x, t), le flux de ce champ travers le bord de vrifie

n ds+

td = 0

et donc

t+ . x d = 0

do

t+ . x = 0

Noter que cette quation scrit aussi . x,t = 0

Exemples

Soit un fluide de concentration c(x) qui diffuse dans un corps poreux. La diffusion est repr-sente par un flux de matire (x). La loi empirique de la diffusion (Loi de Fick) suppose que leflux est proportionnel au gradient de concentration = kc. La conservation de la matire enrgime permanent implique la nullit du flux total travers un contour quelconque et scrit donc

. = . (kc) = 0

ECP 2006-2007 22


Soit un fluide de masse volumique (x, t) dont le mouvement est dcrit par le champ de vitesseu(x, t) R3. Le flux de matire est = u. La conservation de la masse dans le mouvement setraduit par

t+ . u = 0

1.4.2 Les principes dextrmalit

Problme de statique

Limitons nous ltude dun systme mcanique, mais il existe de tels principes dans tous lesdomaines de la physique. Les problmes de statique peuvent scrire sous la forme dun principe deminimum, en labsence de frottement et si le champ de force drive dun potentiel :

Thorme 8 (Principe du minimum de lnergie) La position u dun systme est un minimum delintgrale

J(u) = E(u)W (u)est lnergie potentielle totale, E(u) est lnergie interne,W (u) le potentiel des forces appliques. .

Si le systme est un solide lastique occupant un domaine les grandeurs comme lnergie internesont des intgrales de fonctions des drives de la position u. Nous verrons au chapitre 3, en tudiantle calcul des variations que le minimum de

J(u)

est alors solution dune quation aux drives partielles du second ordre : lquation dEuler.

Problme de dynamique

De mme limitons nous ltude de lvolution dun systme mcanique. Les problmes de dy-namique peuvent scrire sous forme lagrangienne, en labsence de frottement et si le champ deforce drive dun potentiel :

Thorme 9 (Lagrange) La trajectoire q(t) dun systme est une extrmale de lintgrale

A(q) = T0

L(q, q) dt

o A(q) est laction lagrangienne,et

L(q, v) = T (q, v)W (q, v)le lagrangien du problme, T (q, v) est lnergie cintique,W (q, v) le potentiel dont drive le champde force.

Notons quici lextrmum nest pas toujours un minimum. Si le systme est un milieu continu occu-pant un domaine lnergie cintique est une intgrale du carr de la vitesse et donc de fonctions desdrives de ltat u. Nous verrons (chapitre 3) que cela implique que la trajectoire est une solutiondune quation aux drives partielles du second ordre, lquation dEuler-Lagrange.

23 Mathmatiques 2


ECP 2006-2007 24

Chapitre 2

Exemples dquations aux drivespartielles

Objectifs

Nous prsentons dans ce chapitre les problmes modles pour ltude des quations aux dri-ves partielles ainsi que les grands problmes de la physique mathmatique.

2.1 Les problmes linaires canoniques

2.1.1 Un problme aux limites elliptique linaire : lquation de Poisson

Lquation de Poisson

On considre : un domaine born R2 de bord rgulier1. une fonction f(x) C1() et une fonction g C() ;On cherche une fonction u C2() solution du problme aux limites{ ku(x) = f(x) si x

u(x) = g si x (2.1)

Cest unproblme aux limites car la solution est dtermine par des conditions en tous les pointsdu bord du domaine. Cest un problme linaire car loprateur aux drives partielles est linaire. Nous verrons au chapitre 4 la dfinition dun oprateur elliptique, elle est lie la proposition (13)ci-dessous.Ce problme se retrouve dans tous les domaines de la physique, citons en particulier : Si g = 0, (2.1) est lquation qui dtermine la flche u(x) des membranes tendues, charges par

1Nous ne prciserons pas cette notion, les domaines forms par lintrieur dune courbe C1 et sans point doubleconviennent...

25


une densit f et fixes au bord (cf. sance 2). Si f(x) = (x)0 , (2.1) est lquation qui dtermine le potentiel lectrostatique u(x) cr par unedensit de charge (x) dans un domaine o le potentiel est connu sur le bord. Lquation (2.1) est lquation de la diffusion de la chaleur dans une plaque mince en rgime per-manent, u(x) est la temprature au point x, f est la densit de chaleur fournie en chaque point et gtant une temprature connue sur le bord (cf. sance 4). Si f = 0, (2.1) est lquation des coulements irrotationnels et incompressibles, u(x) est alors lepotentiel des vitesses. Le Laplacien est le seul oprateur du second ordre invariant par rotation des axes, cest ce quiexplique sa prsence dans les quations de milieux isotropes.Nous verrons au chapitre 4 que la proprit fondamentale du problme (2.1) est le principe du mini-mum de Dirichlet :soit

U0 = {v C2() / v| = g}dfinissons la fonction nergie potentielle :

J (v) =

k

2v22 fv d (2.2)

La solution u de (2.1) est aussi solution du problme doptimisation

v U0 J (u) J (v) (2.3)On en dduit (cf. chapitre 4 et 6) la proposition :

Proposition 9 Le problme (2.1) admet une solution u et une seule.

Les conditions mises sur f et g sont beaucoup trop restrictives, mais pour les tendre il nous faudraaussi tendre le sens donn une solution du problme : si f est simplement continue il nexiste pastoujours de solution drivable en tout point.

Cas particulier : lquation de Laplace

Si f = 0, on obtient une quation de Laplace :{ ku(x) = 0 si x u(x) = g si x (2.4)

La fonction u vrifie u = 0, cest une fonction harmonique, le problme est donc de dterminerune fonction harmonique en connaissant ces valeurs aux bords. La thorie des fonctions harmoniquesest trs dveloppe, rappelons la proprit essentielle (cf Cours Analyse 1) :

Proposition 10 Une fonction harmonique est localement la partie relle dune fonction analytique.Une fonction u(x) est harmonique si et seulement si elle vrifie la proprit de la moyenne

u(x) =12pi

2pi0

u(x+ r exp i) d

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CHAPITRE 2. EXEMPLES DQUATIONS AUX DRIVES PARTIELLES 27

Noter que lquation u(x) = 0 qui est du second ordre est formellement quivalente, aprslimination de v, au systme du premier ordre

u

x=v

y

u

y= v

x

(2.5)

Ces quations forment les conditions de Cauchy reliant les parties relles et imaginaires dune fonc-tion analytique. En utilisant les proprits des fonctions analytiques on construit des solutions particulires de (2.4)dans des domaines simples. Par exemple si est le disque {x / x 1} on a

u(r, ) =12pi

2pi0

g()(1 r2)(r2 2r cos( ) + 1) d

On retrouve, en appliquant la formule prcdente au centre dun petit disque quelconque, quunefonction harmonique vrifie la proprit de la moyenne (proposition 10). Une fonction harmonique sur est C dans lintrieur de et mme localement dveloppable ensries entires puisquelle est la partie relle dune fonction analytique. On en dduit quune solutionde (2.4) est rgulire. Parce quelle est localement dveloppable en sries entires, une solution de (2.4) ne peut trelocalement nulle sans tre partout nulle ; on en dduit quune perturbation locale de la donne au bordg entrane une perturbation de la solution sur tout le domaine : il ny a pas deffet distance finie. Une fonction harmonique vrifie le principe du maximum :Proposition 11 Les extrmums dune fonction harmonique sur sont atteints sur le bord de .

Cest une consquence de la formule de la moyenne. Cela implique

u get donc la continuit, pour la norme infinie, de la solution u du problme de Laplace par rapport la donne g sur le bord. Une fonction harmonique nulle sur le bord de est donc nulle partout. Onen dduit lunicit de la solution de (2.4) car si on a deux solutions leur diffrence est une fonctionharmonique nulle sur le bord et donc nulle partout.Remarque : pour un domaine de forme quelconque, il ny a pas de solution explicite de (2.4), ex-prime laide dintgrales ou de sries de fonctions usuelles. La dpendance de la solution dunproblme aux drives partielles par rapport la forme du domaine est non linaire et elle trop com-plexe pour sexprimer par une formule : cest une des difficults majeure de la thorie des quationsaux drives partielles.Rsumons les proprits de lquation de Laplace

Proposition 12 Proprits de lquation de Laplace : la solution vrifie le principe du maximum (Proposition 11), la solution est rgulire, une perturbation locale est distance dinfluence infinie, la solution vrifie le principe du minimum de Dirichlet (2.3).

27 Mathmatiques 2


Cas particulier : le problme aux limites homognes

Si g = 0 le problme (2.1) est dit aux limites homognes{ ku(x) = f si x u(x) = 0 si x (2.6)

Nous verrons en dtail au chapitre 4 la proposition

Proposition 13 Soit

V0 = {u C2() / u| = 0}

Loprateur , considr comme un oprateur de L2() dans lui mme de domaine V0, est sym-trique dfini positif.

Les proprits des oprateurs symtrique dfinis positifs seront essentielles pour analyser ce pro-blme.

On montre que la solution de (2.6) est C dans tout disque o f est C (on dit que loprateur est hypo-elliptique).

On montre que, si f 0 on a u 0 sur , et de mme, si f 0 on a u sur . Ce quiimplique que si f1 f2 on a u1 u2, ou, en dautre termes, loprateur qui une fonction fassocie la solution u de (2.6) est croissant au sens de lordre naturel sur les fonctions.

Si est R2 tout entier, si f est support compact et si on astreint u tre nulle linfini alorson a pour la solution une expression explicite bien connue en lectrostatique

u =12pi

R2

ln x yf(y) d

Si = [0, pi] [0, pi] est un carr on obtient une solution explicite sous la forme dun dvelop-pement en srie de Fourier2

u =n,p

fn,pn2 + p2

sinnx sin py (2.7)

o

fn,p =4pi2

pi0

pi0

f(x, y) sinnx sin py dxdy

2La convergence de cette srie dpend de la vitesse de convergence vers 0 des coefficients de Fourier fn,p de la fonctionf , qui est dautant plus rapide que la fonction f est plus rgulire. Si la fonction f est trs rgulire la srie convergeponctuellement et peut tre drive deux fois termes termes, ce qui permet de justifier son expression et de justifierlexistence dune solution C2 au problme (2.6). Si la fonction f est seulement continue, la srie ne converge pas toujoursponctuellement : en fait le problme nadmet pas toujours de solution au sens ordinaire, il faut utiliser les formulationsfaibles ou les distributions pour donner un sens (2.7), voir le chapitre 6

ECP 2006-2007 28


2.1.2 Un problme dvolution, parabolique linaire : lquation de la diffusion

Lquation de la diffusion

On cherche une fonction u(x, t) du point dabscisse x, au temps t, u C2([0, 1] [0, T ]) solutiondu problme

u

t= c

2u

x2x ]0, 1[

u(x, 0) = u0(x)u(0, t) = u(1, t) = 0

(2.8)

Ce problme modlise les phnomnes de diffusion unidimensionnel : la diffusion de la chaleur(u(x, t) est la temprature du point x au temps t) ou la diffusion dun fluide dans un milieu poreux(u(x, t) est alors la concentration du fluide au point x et au temps t). Il est proche dun problmeclassique de mathmatiques financires, lquation de Black et Scholes ( cf. sance 5 et 6).Cest un problme de Cauchy, ou valeur initiale : au temps t = 0, ltat initial est donn, le problmeest de dterminer lvolution ultrieure. La dtermination de la solution est complte par la donnede conditions aux limites sur x. Nous verrons la dfinition des quations paraboliques au chapitre 5,elle est lie au caractre dissipatif de lvolution que nous montrerons ci-dessous.

Expression de la solution

Dveloppement en sries de FourierOn peut obtenir une expression de la solution de (2.8) sous la forme dun dveloppement en srie deFourier

u(x, t) =k

ak(t) sin (kpix) (2.9)

Les conditions aux limites sont automatiquement vrifies. En reportant dans lquation (2.8), il vient

ak(t) = k2pi2cak(t)do lon dduit, en introduisant un coefficient ak,

ak(t) = ak exp (k2pi2ct)et donc

u(x, t) =k

ak exp (k2pi2ct) sin (kpix) (2.10)

o la constante ak est dfinie par la condition initiale comme un coefficient de Fourier de u0(x)

ak = 2 10u0(x) sin (kpix) dx

Noter que la srie converge trs vite, elle est drivable terme terme autant de fois que lon veut, celaimplique que la solution est C quelle que soit la rgularit de la donne initiale.

29 Mathmatiques 2


Forme intgraleSi on remplace dans (2.8) lintervalle ]0, 1[ par R on peut trouver une expression intgrale de lasolution de (2.8)

u(x, t) = +

u0(x y) 1(4pict)

exp( y2

4ct))dy

Au paragraphe (3.1.6) du chapitre 3 nous verrons comment on peut utiliser la transformation deFourier pour trouver cette expression. Nous allons en donner une justification intuitive. Posons

G(x, t) =1

(4pict)exp( x

2

4ct)

Il est immdiat de vrifier queG(x, t) est une solution de (2.8). Cette solution est dintgrale constante3RG(x, t) dx = 1

Et quand t 0 la fonction G(x, t) se concentre autour du point 0, elle sinterprte donc physique-ment comme la diffusion dune densit concentre au point 0, elle correspond une condition initialede type Dirac en 0 (cf. chapitre 6).On en dduit intuitivement que la solution gnrale de (2.8), toujours dans le cas o on a remplaclintervalle [0, 1] par R, est obtenue par superposition des solutions associes des densits concen-tres u0(y) places en un point y quelconque

u(x, t) = +

u0(y)G(x y, t)dy (2.11)

On vrifie directement par drivation sous lintgrale que u(x, t) est bien solution de (2.8). De plusquand t 0, lintgrale dfinie par (2.11) tend4 vers u0.

Proprits de la solution

Lexpression (2.11) montre quune perturbation localise au temps t = 0 est non nulle pourtout t > 0, autrement dit la vitesse de propagation dune perturbation est infinie (mais on peut noterque leffet est ngligeable si x

2

4ct est grand).

Les expressions (2.10) et (2.11), montrent que la solution est C pour tout temps t > 0 quelleque soit la rgularit de la valeur initiale : lquation est rgularisante. On notera que la solution a un

3Rappelons la formule :R + exp( t

2

2) dt =

2pi.

4Intuitivement, pour tudier la limite quand t 0 de R + G(x, t)(x)dx o D(R) est = (0) ; on dcoupelintgrale en trois partie :Z +

G(x, t)(x)dx =

Z

G(x, t)(x)dx+

Z +

G(x, t)(x)dx+

Z +

G(x, t)(x)dx

La premire et la troisime intgrales tendent vers 0 tandis que la deuxime vaut peu prs (0)R +

G(x, t) dx = (0)pour t petit, par continuit de (x) en 0 et parce que G(x, t) est concentr autour de 0 pour t petit.

ECP 2006-2007 30


sens mme pour des donnes initiales u0(x) trs irrgulires.

La prsence dune exponentielle dcroissante montre que la solution, ainsi que toute perturba-tion de la solution, tend rapidement vers 0.

Ces mmes expressions montrent que la solution na pas de sens si on inverse le temps : pourt < 0 les expressions explosent, ce qui traduit linstabilit fondamentale du problme inverse dela diffusion : trouver ltat initial connaissant ltat un temps t > 0.

On ad

dt

10u2 dx =

10

2uu

tdx = c

10

2u2u

t2dx (2.12)

do en intgrant par parties la dernire intgrale et en notant que le crochet est nul

d

dt

10u2 dx = c

10

2u

t

2

dx < 0

On en dduit la dcroissance de u22 : nous dirons que lquation est dissipative.

La solution de (2.8) vrifie le principe du maximum : le maximum de u, t fix, est dcroissantpar rapport t, le minimum est croissant.Intuitivement en un point o u est maximum,

2ux2

est ngatif, donc u dcroissant (cet argument estformellement insuffisant, car

2ux2

peut tre nul). Noter que cette proprit napparat pas du tout surla forme (2.10) de la solution par dveloppement en srie de Fourier : ce qui montre quavoir uneexpression analytique de la solution nest pas une panace !Ces deux dernires proprits montrent la grande stabilit du problme de la diffusion. Rsumons lesproprits de la solution :

Proposition 14 Lquation de la diffusion est : dissipative, irrversible, vitesse de propagation infinie, rgularisante.

2.1.3 Une quation linaire du premier ordre : lquation dadvection

Lquation dadvection

Cest le plus simple de tous les problmes aux drives partielles et un des rares problmes dontla solution est explicite. On cherche une fonction u(x, t) du point dabscisse x, au temps t, u C1([0, 1] [0, T ]) solution du problme

u

t+ a

u

x= 0

u(x, 0) = u0(x)

u(0, t) = g(t)

(2.13)

31 Mathmatiques 2


a est un rel positif, u0 et g sont des fonction C1 quelconques, mais compatible lorigine : u0(0) =g(0), u0(0) = g(0).Ce problme modlise, comme nous le mettrons en vidence par lexpression de la solution, desphnomnes de transport. Cest un problme de Cauchy, ou valeur initiale : au temps t = 0 ltatinitial u0 est donn, le problme est de dterminer lvolution ultrieure. Notons que la dterminationde la solution est complte par la donne dune seule condition aux limites sur x. Nous verrons queles conditions aux limites ncessaires la dtermination de la solution dpendent ici des valeurs descoefficients de lquation.

Solution du problme

Dfinissons les droites caractristiques :

Dfinition 6 Les droites caractristiques dans le plan (x, t) de lquation (2.13) sont les droites xat = Cte

Les droites caractristiques forment donc une famille de droites parallles.

Proposition 15 Une fonction u(x, t) C1 est solution de (2.13) si et seulement si u est une fonctionconstante sur les droites caractristiques.

En effet , sur une droite caractristique on a x(t) = Cte+ at, donc si u est solution de (2.13)

du(x(t), t)dt

=u

xx(t) +

u

t= a

u

x+u

t= 0

On en dduit que la solution est dtermine en un point (x, t) ds quelle est connue en un point de ladroite caractristique passant par ce point. Si on considre toutes les droites caractristiques passantpar les points (x, 0) avec x [0, 1] ou par les points (0, t) la solution est dtermine en tous pointsde ces droites. Remarquons que si a est ngatif, une droite caractristique passant par un point (x, 0)recouperait laxe (0, t), on ne pourrait pas dfinir indpendamment des conditions sur laxe (x, 0) etsur laxe (0, t) : la possibilit de fixer des conditions aux limites dpend ici du signe de a.On en dduit lexpression de la solution

Proposition 16 La solution u(x, t) de (2.13) est dfinie par :

u(x, t) = u0(x at) si x at (2.14)u(x, t) = g(t x

a) si x at (2.15)

Interprtation physique : Lquation dadvection modlise un simple phnomne de transport :u(x, t) reprsente une grandeur transporte par un fluide de vitesse a dans un tube de longueur 1,u0(x) est ltat initial du tube, tandis que g(t) est ltat en entre du tube, entre devant tre pris ausens de lcoulement, si a > 0 lentre est le point 0, si a < 0 lentre est le point 1. Selon la vitesseil faut donc fixer une condition gauche ou droite.Remarque 1 : Si x = at il y a deux dfinitions pour u(x, t) rendue compatible par les conditions

ECP 2006-2007 32


u0(0) = g(0), u0(0) = g(0) prcises dans les donnes et qui rendent u(x, t) continment d-rivable. Notons que dun point de vue physique la solution correspondant un transport a un sensmme si ces conditions ne sont pas vrifies : dans certains problmes lhypothse que les solutionssont C1 nest quune exigence mathmatique, la solution physique nest pas ncessairement conti-nue ; mais alors comment donner un sens lquation ? Nous verrons quil faut linterprter au sensdes distributions.Remarque 2 : On voit que dans ce problme, quoique trs simple, la possibilit de fixer des valeurs aubord est un problme dlicat : cest gnral dans les problmes hyperboliques.

2.1.4 Un problme dvolution, hyperbolique linaire : lquation des ondes

Lquation des ondes

On cherche une fonction u(x, t) du point dabscisse x, au temps t, u C2([0, 1][0, T ]), solutiondu problme

2u

t2= c2

2u

x2

u(x, 0) = u0(x)u

t(x, 0) = 0

u(0, t) = u(1, t) = 0

(2.16)

o u0(x) C2([0, L]) est la position initiale. Ce problme se retrouve dans tous les domaines de laphysique, pour modliser des phnomnes vibratoires unidimensionnels : les cordes vibrantes (u(x, t)est la position du point x au temps t), les ondes sonores dans un tuyau.... Cest un problme de Cauchy,ou valeur initiale : au temps t = 0 ltat initial est donn (position u0 et vitesse nulle pour les cordesvibrantes), le problme est de dterminer lvolution ultrieure. Notons que la dtermination de lasolution est complte par la donne de conditions aux limites sur x. Nous verrons la dfinition delhyperbolicit au chapitre 5.

Formes quivalentes de lquation

Systme du premier ordreLquation

2ut2

= c2 2ux2

qui est du second ordre est formellement quivalente au systme du premierordre

u

t= c

v

xv

t= c

u

x

(2.17)

Le problme apparat naturellement sous cette forme dans ltude des ondes sonores dans un tuyau(cf. 2.39).

33 Mathmatiques 2


Rduction par changement de variablesEffectuons le changement de variables

X = x+ ct, Y = x ct

Il vient

u(x, y) = u(X + Y

2,X Y2c

) = u(X,Y )

On en dduit2u

XY= 0

Lquation 2ut2

= c2 2ux2

est donc formellement quivalente lquation

2u

XY= 0 (2.18)

dont la solution, obtenue par deux intgrations successives, a la forme

u(X,Y ) = g(X) + h(Y )

(cf. au paragraphe suivant (2.21)).

Dcomposition de loprateurEn conservant les variables initiales, (2.18) quivaut crire loprateur aux drives partielles dansquation (2.16) sous la forme :

(

t+ c

x)(

t c

x)u = 0 (2.19)

Posons

v(x, t) = (u

t cu

x)

Lquation (2.19) implique

(v

t+ c

v

x)

v est donc solution dune quation dadvection, et daprs (15) cela implique que v est constante surles droites dquation x ct = Cte.De mme en posant

w(x, t) = (u

t+ c

u

x)

et en permutant les deux oprateurs aux drives partielles dans (2.19) on montre que que w(x, t)est constante sur les droites dquation x + ct = Cte. Les droites dquation x ct = Cte etx + ct = Cte sont appeles les caractristiques, tandis que les fonctions v et w, qui sont constantessur les caractristiques, sont les invariants de Riemann. La dtermination des deux invariants permetde calculer la solution comme nous le dtaillerons plus bas.

ECP 2006-2007 34


Solutions particulires

Dfinition 7 On appelle harmoniques les solutions de lquation des ondes qui reprsentent des mou-vements dont tous les points oscillent en phase

u(x, t) = u(x)v(t)

Les harmoniques sont de la forme

uk(x, t) = ak sin kpix cos (kpict+ k)

Noter que les fonctions vk(x) = ak sin kpix qui dfinissent la forme des harmoniques sont parconstruction les fonctions propres du problme de statique associ au problme de vibration

d2vkdx2

= k2pi2vk

u(0, t) = u(1, t) = 0

(2.20)

Dveloppement en sries de FourierOn a une expression de la solution sous la forme dune superposition dharmoniques, i.e. dun dve-loppement en srie de Fourier

u(x, t) =k

ak cos (kpict) sin (kpix)

o

ak = 2 10u0(x) sin (kpix) dx

Noter que la convergence de la srie peut tre lente (comparer avec (2.10)), elle est de lordre de lasrie de terme gnral ak, qui est le coefficient de Fourier de u0 : or si u0(x) est une fonction irrgu-lire, sa srie de Fourier converge lentement.

Ondes planesSi le domaine est R on peut trouver des solutions particulires sous la forme dondes planes, i.e. defonctions de la forme u(x, t) = f(x at), il vient

2u

t2 c2

2u

x2= (a2 c2)f (x+ at)

Le second membre est nul si a = c. Ce qui montre que, si f(x), g(x) sont deux fonctions C2quelconques, les fonctions

u(x, t) = f(x ct)et

u(x, t) = g(x+ ct)

35 Mathmatiques 2


sont des solutions particulires de (2.16).On retrouve ce rsultat en intgrant lquation (2.18), il vient

u(X,Y )Y

=u(0, Y )Y

puis

u(X,Y ) = Y0

u(0, z)Y

dz + u(X, 0)

do en posant h(Y ) = Y0

u(0,z)Y dz et g(X) = u(X, 0)

u(X,Y ) = g(X) + h(Y )

ou, en revenant aux variables initiales,

u(x, t) = g(x+ ct) + h(x ct) (2.21)

o g et h sont deux fonctions C2 quelconques.

Expression de la solution

En utilisant (2.21) on peut obtenir une expression de la solution de (2.16). Il suffit de dterminerg et h de faon que u(x, 0) = u0(x) et ut (x, 0) = 0, il vient

g(x) = h(x) =12u0(x)

et donc

u(x, t) =(u0(x+ ct) + u0(x ct))

2(2.22)

Si nous considrons que dans (2.22) u0(x) est prolong par antisymtrie sur [1, 1] puis rendue prio-dique de priode 2 sur tout R, lexpression (2.22) est valable pour tout couple (x, t) et les conditionsaux limites sont vrifies

u(0, t) = u0(ct) + u0(ct) = 0et

u(1, t) = u0(1 + ct) + u0(1 ct) = u0(1 + ct) + u0(1 ct) = 0Donc (2.22) dfinit bien une solution du problme (2.16). Nous avons donc montr la proposition :

Proposition 17 Le problme (2.16) admet une solution et une seule

u(x, t) =u0(x+ ct) + u0(x ct)

2

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Proprits de la solution

Les conditions de rgularit que nous avons poses sur u0 sont beaucoup trop restrictives, maispour les tendre il nous faudra aussi tendre le sens donn une solution du problme : si u0 estsimplement continue mais non drivable la solution (2.22) de (2.16) a bien un sens mathmatique etphysique mais elle nest pas drivable ! Comme pour lquation dadvection les solutions physiquesont un sens qui dpasse le cadre mathmatique des fonctionsC1. Nous verrons quil faut poser lqua-tion aux drives partielles au sens des distributions.

La forme (2.22) de la solution fait apparatre celle-ci comme la superposition de deux ondesplanes se propageant dans chaque sens la vitesse c ; en utilisant la linarit de lquation on en dduitque toute perturbation de la solution a encore cette proprit : le problme est vitesse de propagationfinie. Plus prcisment, la solution linstant t ne dpend que des valeurs antrieures sur les droitescaractristiques x+ ct = Cte et x ct = Cte.

A la diffrence de lquation de la diffusion qui est dissipative, lquation des ondes est conser-vative : on montre par la mme mthode que (2.12) la proposition :

Proposition 18 conservation de lnergie totaleUne solution de lquation des ondes conserve lnergie totale

L0

(u

t)2 + c2(

u

x)2dx = Cte (2.23)

On en dduit directement lunicit de la solution. Cette proprit est essentielle car la conservation delnergie garantit que la solution est stable vis vis dune perturbation des donnes.

La forme 2.22 de la solution fait apparatre que les singularits de la solution (i.e. les pointso elle nest pas C) se propagent : contrairement lquation de la diffusion, lquation des ondesnest pas rgularisante.

Nous avons cherch une solution de (2.16) pour t > 0 mais la solution calcule a un sens pourt < 0 : le problme inverse, retrouver ltat initial partir de ltat un temps t > 0, a un sens pourlquation des ondes, contrairement lquation de la diffusion.Rsumons les proprits de la solution que nous avons obtenues :

Proposition 19 Lquation des ondes est : conservative : les invariants de Riemann sont conservs sur les caractristiques, lnergie totaleest constante. vitesse de propagation finie, rversible, non rgularisante.

37 Mathmatiques 2


2.2 Les problmes classiques de la physique mathmatique

2.2.1 Les quations de transport ou de convection avec raction et diffusion

On se propose dtudier un problme de convection ou transport avec raction diffusion, cest dire un modle simplifi de raction chimique dans un fluide en mouvement avec prise en compte dela diffusion de la chaleur. Un gaz est envoy dans une enceinte remplie dun mtal en poudre et ilcre avec celui-ci une raction chimique fortement exothermique. La temprature dentre du gaz estchoisie pour activer la raction. On se propose de dterminer lvolution de la temprature du gaz.

V(x)+

0

2

1

2

2

FIG. 2.1 Un problme de convection raction diffusion

Donnes et hypothses

Nous tudions un modle trs simplifi en ngligeant de nombreux phnomnes. Le domaine dans lequel a lieu lcoulement est R2 (pour simplifier) de bord form detrois parties 0, 1, 2 (voir schma (2.1)).

On note u(x, t) la temprature du gaz (translate par une temprature de rfrence), au point xet au temps t.

On note c (resp. k) la chaleur spcifique (resp. la conductivit) du gaz. La vitesse du gaz est dfinie par un champ de vitesse ~V . On suppose que les dbits totaux surlentre 0 et la sortie 1 sont gaux et que la masse volumique est constante. On a Vn = 0 surles parois (2). On suppose que les parois sont thermiquement isoles.

La raction produit un dgagement de chaleur par unit de volume de gaz f(u(x)) avecf(u) = exp( u1+u) o est un paramtre et est une constante qui peut tre assez petite.

La temprature initiale u0(x) est connue.Le problme est essentiellement un transport dnergie dans un fluide en mouvement avec diffusionet production de chaleur. On note le vecteur flux de chaleur provenant de la convection et de ladiffusion. On a

= c (V u) ku

ECP 2006-2007 38


le premier terme reprsentant le flux de chaleur transport, le deuxime le flux de chaleur diffus. Laloi de conservation de lnergie scrit

cut + . = f(u)u = u0 sur 0u = u1 sur 1n = 0 sur 2

(2.24)

On en dduit que u est solution du problme non linairecut + c . (V u) ku f(u) = 0u = u0 sur 0u = u1 sur 1k un = 0 sur 2u(x, 0) = u0(x) sur

(2.25)

Cest un problme de Cauchy, cest dire un problme dvolution dont la solution se calcule deproche en proche partir dun tat initial donn.

Analyse de lquation

Si k 6= 0, V = 0 et = 0, on retrouve une quation de diffusion de la chaleur, avec les mmesproprits que dans lquation (2.8).

Si k = 0 lquation est une quation de transport, nous verrons au chapitre 5 quelle est hyper-bolique. La solution a des proprits semblables celle de lquation dadvection tudie ci-dessus,notamment il est ncessaire de retirer la condition aux limites en sortie, i.e. sur le bord 1, pour quele problme soit cohrent.

Noter que le terme source f(u) influence ltude asymptotique de la solution pour t + :par exemple si k = 0, V = 0 et = 0 ,on a f(u) = expu et on obtient une quation diffrentielleque lon peut intgrer

u(x, t) = ln(exp (u0(x)) ct)

Il y a une explosion de la temprature en un temps fini tc = c expu0(x). Si V 6= 0 le phnomne nese produit que si la vitesse nest pas trop grande, sinon le fluide est sorti de lenceinte avant lexplo-sion. Si 6= 0 est petit, il ny a pas dexplosion mais une forte lvation de temprature.

Si k 6= 0 et si les tempratures en entre u0 et en sortie u1 sont fixes, la solution atteint un tatlimite solution de (2.25) avec ut = 0. Pour = 0 cet tat limite nexiste pas pour grand : il peut yavoir explosion.

2.2.2 La diffusion avec rayonnement

On considre un solide occupant un domaine R3. On tudie la rpartition de la chaleur enrgime permanent en prenant en compte les changes de chaleur sur le bord par convection sur le

39 Mathmatiques 2


bord 0 et par rayonnement sur le bord 1. Ce qui se modlise de la faon suivante : = k T Loi de Fourier . = 0 Conservation de lnergie.n = c0(T T0) sur le bord 0 change convectif.n = c1(T 4 T 4e ) sur le bord 1 change par rayonnement

(2.26)

On remplace la fonction T (x) par u(x) et on pose q(x) = c0T0 sur 0 et q(x) = c1T 4e , il faut donctrouver la solution u(x) du problme :

ku = 0k un = c0u q sur le bord 0k un = c1u4 q sur le bord 1

(2.27)

avec q(x) 0, c1, c2, T0 > 0. Lquation aux drives partielles est linaire, cest une quationde Laplace (cf. 2.4), mais il y a une condition non linaire sur un bord, ce qui rend le problmeglobalement non linaire. Nous tudierons ce type de problme au chapitre 4. Nous verrons quelquivalence de ce problme avec un problme doptimisation permet de montrer lunicit de lasolution car la fonction potentielle est strictement convexe.

2.2.3 Llasticit linaire

Mise en quation

La principale difficult est dans les notations : nous manipulons des scalaires, vecteurs, matrices,tenseurs... Suivant un usage courant en mcanique du solide, nous notons entre crochets [], [] lesmatrices de contraintes et de dformations. Nous notons en gras les vecteurs contraintes i ou n etdplacements v.On considre un solide dformable occupant un domaine R3, fix sur une partie 0 de sonbord, laiss libre sur le bord 1 et soumis une densit de force f . Sous lhypothse des petitesdformations on peut crire les conditions dquilibre sur la position non dforme, cest dire ledomaine , les quations dquilibre scrivent alors

. [] = f sur u = 0 sur 0n = []~n = 0 sur 1

(2.28)

o u(x) est le dplacement dun point x, et [] la matrice des contraintes (noter que loprateurdivergence ici applique une matrice, consiste en la divergence de chaque ligne).Il faut complter ces quations par la loi de comportement qui relie les contraintes et les dformations ;un solide est lastique linaire si cette loi scrit

[] = D[(u)] (2.29)

o i,j(u) = 12(uixj

+ ujxi ) dfinit la matrice des dformations, D dfinissant la loi de comportementlinaire, soit en dveloppant :

i,j = Di,j,k,l k,l (2.30)

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en sommant sur les indices rpts. En substituant (2.29) dans (2.28) on obtient un systme de 3quations aux drives partielles du second ordre. Pour un matriau isotrope on obtient les quationde Navier

(+ )Grad(Divu) 2u = ~f (2.31)

On complte ces quations par les conditions de fixation ou les chargement au bord du solide. Cesconditions peuvent tre varies, les plus simples sont : la fixation des dplacements dun point du bord 0 (bord encastr) se traduit par u = 0, labsence de toute force sur un bord, ce qui implique la nullit des contraintes normales sur le bord1 : n = 0.En conclusion les quations dquilibre scrivent sous la forme dun systme linaire de trois qua-tions aux drives partielles du second ordre avec trois fonctions inconnues (u1, u2, u3) et trois condi-tions aux limites en chaque point du bord portant sur les fonctions inconnues et leurs drives. Nousmontrerons que cest un systme elliptique. La complexit du problme nest quapparente : nousmontrerons, laide du principe de minimum de lnergie, que le problme est quivalent la mini-misation dun potentiel quadratique strictement convexe, ce qui implique lunicit de la solution etrend le problme formellement semblable au problme de Poisson (2.1).

Extension du modle

Pour des solides dont une dimension est trs petite on construit des modles limites : modlesde coques et modles de poutres. Dans ces modles on ajoute des variables (les rotations)et donc des quations, mais on rduit la dimension du problme (de volumique surfaciquesi on considre un solide mince comme une coque). Dans certains cas on peut liminer lesvariables supplmentaires, on obtient alors des quations aux drives partielles dordre 4 surles dplacements. Pour tous ces modles le problme est quivalent la minimisation dunpotentiel quadratique strictement convexe.

Pour des dformations importantes les quations dquilibre doivent scrire sur le solide d-form ce qui rend les quations non linaires : cest notamment ncessaire pour mettre envidence un phnomne comme le flambement ou la perte de stabilit dune position dqui-libre.

Lventuelle non linarit de la loi lastique ne modifie pas essentiellement le problme : ilsuffit dintroduire un potentiel non quadratique dans les principes de minimum, la difficultvient de ce que les lois naturelles ne conduisent pas des potentiels convexes. En revanche lanon rversibilit, notamment la plasticit, qui est un phnomne essentiel dans les problmes delingnieur, oblige poser diffremment le problme et considrer lhistoire du chargement :on obtient un problme dvolution. La plasticit se traduit par lexistence de seuil sur lescontraintes qui a pour consquence la possibilit dapparition de lignes de discontinuit desdformations.

41 Mathmatiques 2


2.2.4 Lcoulement des fluides

Donnes et notations

Nous tudions un problme modle dont les hypothses seront discutes et modifies ultrieure-ment.

Le domaine dans lequel a lieu lcoulement est R2 de bord . On note u(x, t) (resp. p(x, t)) la vitesse du fluide (resp. la pression), au point x et au temps t. On note le coefficient de viscosit du fluide, sa masse volumique. La vitesse du fluide est suppose nulle sur les parois, notes 2, gale u0 (resp. u1) sur lentre0 (resp. la sortie 1). On suppose que les dbits totaux sur 0 et 1 sont gaux.

On note (resp. ) la matrice des contraintes (resp. des vitesses de dformation i,j = 12(uixj

+ujxi

)).La loi de viscosit traduit le fait que les contraintes de cisaillement sont proportionnelles aux vitessesde distorsions, i.e. le dviateur des contraintes est proportionnel aux dviateurs des vitesses :

= pId+ 2 (2.32)(Id est la matrice identit de dimension 2)

Fluides incompressibles

Les quations de la dynamique, jointes aux autres hypothses, permettent de poser le problmesous la forme

ut + u,u2 . = f . u = 0u = u0 sur 0u = u1 sur 1u = 0 sur 2

(2.33)

o f et un champ de forces et ( . est le vecteur obtenu en calculant la divergence de chaque lignede la matrice . On en dduit les quations de Navier-Stokes :

ut + u,u2 u+p = f . u = 0u = u0 sur 0u = u1 sur 1u = 0 sur 2

(2.34)

o u est le vecteur obtenu en calculant le laplacien de chaque composante de u. Notons que lesconditions aux limites que nous imposons sont assez arbitraires : il peut tre plus naturel de fixer enentre et en sortie des valeurs de la pression ou de fixer une condition de non glissement un = 0 surles parois. Lincompressibilit implique une vitesse de propagation infinie des perturbations localises(intuitivement un fluide incompressible est la limite dun fluide faiblement compressible ; or dans unfluide compressible la vitesse relative de propagation, cest dire la vitesse du son, est dautant plusgrande que le fluide est peu compressible).

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Cest un systme dquations non linaires que lon peut crire sous diffrentes formes quivalentesnotamment en introduisant le vecteur tourbillon = rotu.Ce systme est parabolique si 6= 0 et, si le coefficient de viscosit est grand relativement la vitesse et aux longueurs caractristiques du modle, sa solution a de bonnes proprits de rgula-rit. Mais la viscosit est trs faible pour des fluides comme leau ou lair et les proprits de cettequation sont alors trs complexes du fait de lapparition de couches limites, de tourbillons et surtoutde la turbulence. Lexistence globale, lunicit et la rgularit de la solution sont encore lobjet deconjectures.

Modles simplifis

Si on nglige la viscosit, on obtient un modle limite, les quations dEuler incompressiblesut + u,u2 +p = f . u = 0un = u0 sur 0un = u1 sur 1un = 0 sur 2

(2.35)

Notons que nous avons d relcher les conditions sur le vitesse : on montre que lon ne peut pas fixertoutes les composantes de la vitesse en un point du bord.Le problme est toujours non linaire mais les quations sont du premier ordre. Ce modle a lavan-tage de permettre de trouver certaines solutions explicites et de simplifier certains phnomnes, lescouches limites devenant des discontinuits de la solution ; en contrepartie lapparition de discontinui-ts oblige poser le problme en un sens tendu. Lhypothse que le fluide est de plus irrotationnel,i.e. rotu = 0, que lon peut justifier aux petites vitesses, entrane lexistence dun potentiel tel queu = qui vrifie donc

= 0

du fait de la condition dincompressibilit. Compte tenu des conditions aux limites, est solutiondun problme de Laplace, que lon peut (curieusement) rsoudre directement sans utiliser les qua-tions de la dynamique qui permettent de calculer a posteriori la pression.Aux petites vitesses, si on nglige le terme en u2 dans les quations de Navier-Stokes, ce qui revient identifier lacclration totale avec ut , on obtient un systme dquation linaire du second ordre,dont nous verrons quil est parabolique

ut u+p = f . u = 0u = u0 sur 0u = u1 sur 1u = 0 sur 2

(2.36)

Dans lhypothse dun rgime permanent on obtient le systme dquations de Stokesu+p = f . u = 0u = u0 sur 0u = u1 sur 1u = 0 sur 2

(2.37)

43 Mathmatiques 2


Ce problme est un problme auxiliaire dans la rsolution numrique des quations de Navier-Stokes.La principale difficult vient de lapproximation numrique de la condition dincompressibilit. Iciencore le problme peut tre analys laide dun principe du minimum comme pour lquation dePoisson (2.1), mais on a un problme doptimisation sous contraintes, voir le chapitre 4.

Fluides compressibles

Nous ngligeons la viscosit, nous notons e lnergie totale et lnergie interne. Nous crivonscomme ci-dessus les quations de la dynamique, qui sont aussi des quations de la conservation dela quantit de mouvement, de la masse et de lnergie (do le qualificatif de systme de lois deconservation). On obtient les quations dEuler pour un fluide compressible appeles aussi quationsde la dynamique des gaz

t + . u = 0ut + u,u2 +p = f(e)t +(e+ p)u) = 0u = u0 sur 0u = u1 sur 1u = 0 sur 2avec p = p(, ) et e = + u

2

2

(2.38)

Cest un systme dquations non linaires. Nous verrons que cest un systme hyperbolique non li-naire pour des gaz parfaits. Comme pour tout systme hyperbolique une perturbation se propage diffrentes vitesses toujours finies (aux vitesses du fluide presque nulles cest la vitesse du son), maisnous verrons que la non linarit implique lapparition de discontinuits appeles ondes de chocs. Lessolutions de ce systme, comme celui des fluides incompressibles, ont des proprits trs complexes(tourbillon, turbulence, chocs...) qui font toujours lobjet de conjectures.

Modles simplifis

Ce systme admet de nombreuses simplifications. On construit des linarisations des quations, notamment, en ngligeant aux petites vitesseslnergie cintique et en supposant que les grandeurs varient peu, on obtient lquation desondes sonores

t+ 0

u

x= 0

u

t+c2

0

x= 0

(2.39)

Les valeurs initiales et au bord sont connues. Cest un systme dquations linaires du premierordre, hyperbolique. En liminant on retrouve lquation des ondes. Voir dans le chapitre 5lutilisation des caractristiques pour intgrer lquation.

En considrant un coulement unidimensionnel et en ngligeant leffet de la pression on obtientlquation de Riemann ou Burgers, sans viscosit Voir la sance 7.

u

t+

12u2

x= 0 (2.40)

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Ce nest pas un modle trs raliste mais il permet de mettre en vidence sur une quationtrs simple quelques proprits des coulements rels. Nous verrons (chapitre 5) que cest unequation hyperbolique non linaire. Voir dans la sance 7 lutilisation des caractristiques pourintgrer cette quation, on en dduit les proprits remarquables suivantes :

1. Il y a conservation de la valeur de la solution u le long des droites caractristiques.

2. Le croisement des droites caractristiques implique lapparition de lignes de discontinui-ts (qui reprsentent physiquement des ondes de choc) mme pour des conditions initialestrs rgulires.

2.2.5 Les phnomnes vibratoires

Principe

On tudie par exemple lvolution de la dformation dune membrane tendue, comme la peau duntambour, dont la forme dfinit au repos un domaine R2 ; on suppose que la membrane est fixesur le bord. Si on considre que la membrane est lche sans vitesse initiale partir dune positionconnue u0(x) le problme se modlise sous la forme dune quation du second ordre, lquation desondes

2u

t2= u(x) si x

u(x, 0) = 0 si x u(x, 0) = u0(x) si x u

t(x, 0) = 0 si x

(2.41)

La mme quation en dimension deux ou trois modlise la plupart des phnomnes vibratoires.On obtient un modle simplifi en dimension 1, lquation des cordes vibrantes qui a t tudieci-dessus (2.16)

Analyse

Lanalyse de lquation des cordes vibrantes ainsi que les mthodes que nous avons prsentesci-dessus pour cette quation stendent lquation gnrale des ondes.

2.2.6 Les quations de Maxwell

non rdig

2.2.7 Exemples de problmes plus complexes

Nous avons vu dans les paragraphes prcdents les quations qui modlisent les principales tho-ries de la physique dans un cadre idalis. Dans les problmes rels, il est souvent difficile de resterdans ce cadre cause de difficults gomtriques, de problmes dchelle et du couplage de diffrentsmodle.Dans un calcul numrique, ces difficults sont souvent dcouples par des algorithmes adquats et on

45 Mathmatiques 2


se ramne la rsolution itre de problmes standards, do la ncessit de disposer de mthodessres et performantes pour calculer des solutions numriques de ces problmes standards.

Problmes gomtriques

Nous avons considr plus haut que les quations taient poses dans un domaine fix a priori.Dans de nombreux problmes ce domaine est variable, on dit que ce sont des problmes surfacelibre, comme dans les exemples suivant : tude des mouvements dun liquide, notamment les vagues ou le mouvement de leau dans unrservoir. Quand la variation de la forme du domaine nest pas trop grande on peut dfinir le domaineinconnu comme limage dun domaine fixe par une certaine fonction (x). Cette fonction devientalors une inconnue du problme qui se ramne une quation plus complexe que lquation initialemais sur un domaine fixe. Mais le domaine peut mme se fragmenter comme dans le cas de la forma-tion de gouttes... Grande dformation dun solide : voir le paragraphe sur llasticit. Fusion de la glace dans leau : la frontire entre la glace et leau est alors une inconnue du pro-blme.

Problmes dchelle

Dans lcoulement dun fluide la turbulence est un phnomne qui fait apparatre des mou-vements trs petite chelle, la complexit de ces mouvements rend ncessaire, dans un calcul nu-mrique, le remplacement des valeurs exactes des champs inconnus par leur moyenne, en un sens prciser. Cela conduit des m

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