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La rgression multipleEconomtrie applique

Cours de M1 deuxime partie


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Quand utiliser la rgressionmultiple

Pour estimer la relation entre une variabledpendante (Y) et plusieurs variablesindpendantes (X1,X2, )

Exemples Expliquer le prix dun appartement par la

superficie, les prestations, lemplacement,

Expliquer les ventes dun magasin par lemarch total, le prix, linvestissement, la

publicit, Expliquer la consommation des vhicules par le

prix, la cylindre, la puissance et le poids.


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Le modle linaire de rgressionmultiple

Equation de rgression multiple

Cette quation prcise la faon dont la variabledpendante est relie aux variables explicatives :

o b0, b1, b2, . . . , bp sont les paramtres et eest unbruit alatoire reprsentant le terme derreur.

ebbbb ppXXXY ...22110


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Les termes de lquation

ipipiii xxxy ebbbb ...22110

ime observation

de Y

Terme constant

Influence de la

variableX1

Influence de

la variableXp

Rsidu de la ime

observation


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Ecriture matricielle du modle

eb

e

e

b

b

b

Xy

xx

xx

y

y

n

p

pnn

p

n

1

1

0

,,1

,11,11

1

1


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Les hypothses du modle Les hypothses de nature probabiliste

Les variables Xi sont alatoires

E(ei)=0 pour tout iV(ei)=s2pour tout 1ip (homoscdasticit des

erreurs)

Cov(ei , ei)=0 pour tout ij

Le vecteur alatoire e suit une loi normale n

dimensions N(0, s2In) Les hypothses structurelles

Det(XTX)0 (absence de colinarit entre lesvariables explicatives).

n>p+1


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Interprtation gomtriqueLe modle gnral dfinit un hyperplan de dimension

p. Nous illustrons le cas p=2.

X1

X2

Y

b0

(X1i,X2i)

E(Yi

|X1i

, X2i

) =b0

+b1

X1i

+b2

X2

e

i

Yi: observation


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Le processus destimation

Modle de rgression multiple

Y=b0+b1X1+b2X2+. . .+bpXp+eHyperplan de rgression multiple

E(Y|X1,,Xp) =b0+b1X1+b2X2+. . .+bpXp

Paramtres inconnus

b0,b1,b2, . . . ,bp

Donnes:x1 x2 . . . xp y

. . . .

. . . .

Estimateursde

b0,b1,b2, . . . ,bp

pbbbb ,...,,, 210

pbbbb,...,,, 210

ppXXXY bbbb... 22110

Equation estime

Estimateurs


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Interprtation gomtriqueIllustration du cas p=2.

X1

X2

Y

(X1i,X2i)

yi: observation

iii XXy 22110

bbb 0

b

iii yy e


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Estimation des coefficients de rgression La mthode : les moindres carrs ordinaires

Le principe de lestimation des coefficients dergression :

consiste minimiser la somme des carrs desrsidus :

Le calcul numrique lui-mme (calcul matriciel)peut seffectuer laide de logiciels statistiques(SAS, SPSS, S+, R, Gretl,).

n

i

ii

n

i

i yy1

2

1

2

)

(e

pbbbb ,...,,, 210


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Estimation des coefficients du modleLa mthode des moindres carrs donne pourrsultat :

suit une loi

est sans biais :Parmi les estimateurs de b linaires par rapport

X, sans biais, les lments de ont la plus petitevariance.

YXXXTT 1

b

b 12,0N XXTes

b bb )

(E

b


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Interprtation des coefficients dergression estims La pente (k0)

Lestime de Yvarie dun facteur gal lorsque Xkaugmente dune unit, les autres

variables tant maintenues constantes.

Lordonne lorigine

Cest la valeur moyenne de Y lorsque toutes lesXi sont nulles.

kb

kb

0

b


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Estimation de la variance des rsidus

1

1

2

2

pn

n

i

ie

s


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Les intervalles de confianceOn peut calculer pour chaque coefficient dumodle un intervalle de confiance de niveau (1-a)

donn par :

o ta/2 se calcule partir de :

Tsuivant une de Student n-p-1 d.d.l.

abbbbaba

1)(2/2/ii

ststP iii

2/1)( 2/ aa tTP


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Les donnes Taille de lchantillon

Les donnes doivent tre suffisamment

nombreuses : 15 20 par variable au moins. La nature des variables

Dans la pratique, Yest une variablequantitative et les Xi peuvent tre quantitatives

ou binaires.


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Qualit de la rgression

Dcomposition de la somme des carrstotale

SCT : somme des carrs totale

SCR : somme des carrs des rsidusSCE : somme des carrs expliqus par le modle

n

i

ii

n

i

i

n

i

i yyYyYy1

22

1

2

1

)(

SCT = SSE + SCR


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Interprtation gomtrique de ladcomposition en somme de carrs

y y

y222

yyyyyy

Thorme de Pythagore

ny

yy

1

Y

Yy

ny

yy

1


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Les coefficients de dtermination Le coefficient de dtermination R2

Il exprime le pourcentage de la variance de Yexplique par le modle. Il donne une ideglobale de l'ajustement du modle.

Le R2 ajust se calcule en fonction du R2 :

Il traduit la fois la qualit de lajustement(liaison entre Yet les Xi) et la complexit dumodle (nombre de variables explicatives).

R2 = SCE/SCT

)1(1

11 22 R

pn

nRa


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Remarques sur le R2 0R21

Lorsque le R2 est proche de 1, cela se signifie que lavariable dpendante Yest bien explique par les

variablesXi. La racine carre de R2, R, porte le nom de coefficient de

corrlation multiple entre Yet lesXi.

Lorsque lon ajoute de nouvelles variables explicativesau modle, le R2 augmente (mme dans le cas o les

nouvelles variables explicatives sont trs lies lavariable dpendante).

Cest la raison pour laquelle on introduit le R2 ajust.


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Le test global de FisherIl permet de rpondre la question : la liaisonglobale entre Yet les Xi est-elle significative ?

HypothsesH0: b1 = b2 = ... = bp = 0

Yne dpend pas des variables Xi .

H1: Au moins un coefficient est non nulYdpend dau moins une variable Xi .


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Statistique utilise

Rgle de dcision

Au risque a, on rejette H0 si : a p-value

(calcule avec une loi de Fisher p et n-p-1degrs de libert)

1

SCR

SCE

MSR

MSEF

pn

p


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R2 et test de Fisher

F bon, R mauvais F bon, R bon


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Le test de Student sur un coefficient dergressionIl permet de rpondre la question suivante :

lapport marginal dune variable Xj est-ilsignificatif ?

Hypothses

H0 : bj = 0 (j0)

On peut supprimer la variableXjH1 : bj 0

Il faut conserver la variableXj


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Statistique utilise sous lhypothse H0

Rgle de dcision

Au risque a, on rejette H0 si : a p-value(calcule partir dune loi de Student

n-p-1 degrs de libert).

i

i

ii

i

ss

t bb

b

b

deestimtype-cart:,


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Analyse des rsidus

Normalit QQ plot

Tests de normalit

Homoscdasticit La variance des rsidus nest pas stable.

Transformation des donnes

Indpendance des rsidus Test de Durbin-Watson

Dtection des valeurs atypiques


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Les variables indicatrices

Variable muette ou indicatrice (dummyvariable)Variable prenant les valeurs 0 ou 1 pour indiquer

que lobservation prsente une certainecaractristique, par exemple une priodicit(trimestre, mois,).

Exemple : la consommation de fuel trimestrielle

di = 1 pour le ime trimestre

di = 0 sinon

tt dddtX ebbbbb 44231210


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Multicolinarit

DfinitionCest lexistence de corrlations leves (au delde 0.70) entre les variables indpendantes(variables explicatives).

La multicolinarit a notamment pourconsquences :

- de fausser la prcision de lestimation descoefficients de rgression

- de rendre sensible lestimation des coefficients de petites variations des donnes.


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Multicolinarit

X1

Variablesindpendantes

X3

X2

Variablescolinaires

X2


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Multicolinarit

Dtection Examen de la matrice de variance covariance

ou de corrlation.

R2

lev mais peu de variables significatives. Fortes corrlations entre les Xi Fortes corrlations partielles entre les variables

indpendantes.


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Slection des variables

ProblmatiqueComment choisir le modle comportant lameilleure combinaison de variables indpendantesexpliquant la variable dpendante ?

Stratgies Examiner tous les modles possibles

Slection progressive

Rgression pas pas descendante

Rgression pas pas ascendante


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Examiner tous les modles possiblesCette stratgie consiste envisager tous lesmodles et retenir le meilleur.

InconvnientsLenteur (2p modles si p est le nombre de variablesexplicatives) et cot de cette approche

Cest quoi le meilleur modle ?


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Le test de FisherIl permet de tester si le fait dajouter unevariable indpendante un modle comportantdj une variable (ou de supprimer une variable

dun modle comportant deux variables) eststatistiquement significatif.

La p-value correspondante est utilise commecritre de dcision pou ajouter ou supprimer unevariable.

)1/(),(

),()(

21

211

pnXXSCE

XXSCEXSCEF


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Rgression pas pas

Calcul de Fet de lap-value pour chaque Xi

du modle

Dbut

p-value > seuil

?

Arrt

La variableXiayant laplus grandep-value estsupprime du modle

Calcul de Fet de lap-value pour chaqueXine se trouvant pas

Dans le modle

p-value < seuil

?

La variableXiayant laplus petitep-value estentre dans le modle

Non

Non Oui

Oui


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Rgression pas pas descendante

Arrt

Calcul de F et de lap-value pour chaqueXi

p-value > seuil?

La variableXiayantla plus grandep-value estsupprime du modle

Non

Oui

Au dparttoutes les variablesXisont dans le modle


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Exemples

Deux exemples sont traits en cours

laide du logiciel SPSS :

lun dentre eux illustre la mise en uvre

dune rgression multiple et lautre laslection des variables dans un modle laide de la mthode de rgressiondescendante.


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Une tude empirique

Titre de larticle : Reliving the 50s: the BigPush, Poverty Traps, and Take-offs inEconomic Development, William Easterly

(2005)

Donnes utilises : Maddison, Angus. TheWorld Economy : Historical Statistics.OECD 2003.


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Une tude empirique

Lauteur William Easterly Expert reconnu du dveloppement conomique

et de l'Afrique

Professeur lUniversit de New York

Chercheur au Center for Global Development(Washington)

Il a travaill en tant quconomiste pendant 16ans la Banque Mondiale. Il a d quitter

linstitution la suite de la parution de sonouvrage : Les pays pauvres sont-ilscondamns le rester ? (juin 2006).


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Une tude empirique

Termes importants dans le titre de larticle conomie du dveloppement

Big Push

Poverty traps Take-offs


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Economie du dveloppement

Quest ce que lconomie du dveloppement ?

Branche de lconomie qui applique les mthodesmacroconomiques et microconomiques ltudedes problmes conomiques, sociaux,

environnementaux et institutionnels rencontrs parles PVD (Pays en Voie de Dveloppement).

Points focaux

Dterminants de la pauvret et du sous

dveloppement

Politiques mettre en uvre pour sortir les PVDde leur sous-dveloppement.


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Une tude empirique

Le big push Les conomistes du dveloppement des annes50 prconisaient la thorie du "Big Push":

les pays les plus pauvres se trouvent enfermsdans une trappe pauvret. Daprs eux, seul uneffort massif d'investissement financ par l'aideinternationale peut leur permettre de dcoller.


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Une tude empirique

La problmatique de larticleLe rapport des Nations unies sur les objectifs dumillnaire de janvier 2005 et celui de laCommission britannique pour l'Afrique de mars

2005 sont marqus par le retour de lidequunecombinaison dinvestissements peut permettreaux conomies africaines de sortir des trappes pauvret.

William Easterly a voulu tester cette approche du

big push comme rponse aux trappes pauvret en utilisant des rgressions sur le tauxde croissance.


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Une tude empirique

Comment tester lexistence de trappes pauvret ? Revue de la littrature

Les pays pauvres ont-ils une croissance partte significativement infrieure celle desautres pays et cette croissance est-elle nulle ?

Donnes : revenu par tte de 1950 2001pour 137 pays.


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Une tude empirique

Test de stationnarit sur le taux decroissance par tte


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Une tude empirique

Que signifie la stationnarit ?Si lhypothse dune trappe pauvret est vraie,alors le Log du revenu par tte pour les pays lesplus pauvres doit tre stationnaire. Le revenu vafluctuer dune faon alatoire autour de sonniveau moyen.


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Une tude empirique

Formulation dun test de stationnarit

Hypothse H0 : le Log du revenu par tteest stationnaire.

Hypothse H1 : le Log du revenu par ttenest pas stationnaire.


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Une tude empirique

Divergence Big Time (Pritchett,1996) Le creusement considrable de lcart de

revenu entre les pays les plus riches et les pluspauvres du monde.

Le ratio de revenu par habitant entre le pays leplus riche et le plus pauvre du monde a tmultipli par 6 au cours du dernier demi-sicle.

Selon la Banque Mondiale, le revenu moyendans les 20 pays les plus riches est 37 fois pluslev que le revenu moyen dans les 20 paysles plus pauvres, et ce ratio a doubl depuis1960.


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Une tude empirique

Big time divergenceUtilisation dune rgression :

pour expliquer le taux de croissance par tte par

le revenu initial et des indicateurs de dmocratiedes institutions politiques.

U t d i i


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Une tude empirique


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Une tude empirique

Les indicateurs de dmocratie

Lindicateur de Freedom House (ONG) attribue:deux notes, lune relative aux droits politiques etlautre aux droits civils.

une lettre dpendant de la moyenne des deux notesprcdentes.

Lindicateur Polity IVCe coefficient (qui va de 1, niveau de contrainte le plusfaible, 7) rend compte de la qualit initiale desinstitutions politiques, mesure par les contraintespesant sur le pouvoir excutif.


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Une tude empirique

Take-off (dcollage) Une suite continue de rgimes croissance

nulle suivie dune suite continue de rgimes croissance positive.

La croissance sera considre comme nulle dsque le taux de croissance se trouve danslintervalle [-0.5%,0.5%].

La croissance par tte est considre commepositive et stable lorsquelle est au-dessus de1.5% su une priode suffisamment longue.


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Une tude empirique

Situation de dcollage

t

Taux de croissance

0.5%

-0.5%

1.5%


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Take-offs dans les pays riches

Take-offs in rich countries (data from Maddison 2003)

1600-1700 1700-1820- 1820-1870 1870-1913 1913-1960 1960-2001 1820-2001

Australia 3.7% 0.9% 1.1% 1.8% 2.1%

Austria 0.2% 0.2% 0.8% 1.4% 1.3% 2.8% 1.6%

Belgium 0.2% 0.1% 1.4% 1.0% 1.1% 2.7% 1.5%

Canada 0.6% 1.3% 2.2% 1.4% 2.3% 1.6%

Denmark 0.2% 0.2% 0.9% 1.6% 1.7% 2.4% 1.8%

Finland 0.2% 0.2% 0.8% 1.4% 2.3% 2.9% 1.6%

France 0.1% 0.2% 1.0% 1.4% 1.6% 2.5% 1.6%

Germany 0.1% 0.1% 1.1% 1.6% 1.6% 2.2% 1.6%Greece 0.1% 0.2% 0.6% 1.4% 1.4% 3.4% 1.8%

Ireland 0.2% 0.2% 1.4% 1.0% 1.0% 4.1% 1.6%

Italy 0.0% 0.0% 0.6% 1.2% 1.8% 2.9% 1.9%

Japan 0.1% 0.1% 0.2% 1.5% 2.2% 4.0% 1.4%

Netherlands 0.4% -0.1% 0.8% 0.9% 1.5% 2.4% 1.7%

New Zealand 1.2% 1.4% 1.2%

Norway 0.2% 0.2% 0.5% 1.3% 2.3% 3.0% 1.5%Portugal 0.1% 0.1% 0.1% 0.6% 1.8% 3.8% 1.5%

Spain 0.0% 0.1% 0.4% 1.2% 0.9% 4.0% 1.6%

Sweden 0.2% 0.2% 0.7% 1.4% 2.2% 2.1% 1.7%

United Kingdom 0.2% 0.3% 1.3% 1.0% 1.2% 2.1% 1.4%

United States 0.7% 1.3% 1.8% 1.5% 2.3% 1.7%

median growth of rich

countries 0.2% 0.2% 0.8% 1.3% 1.6% 2.7% 1.6%


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Une tude empirique

Take-offs dans les pays riches Parmi les pays riches, seul le Japon rpond la

dfinition donne du dcollage.

Pour tous les autres pays on observe pluttune acclration graduelle de la croissanceplutt quun dcollage.

Cela nest pas compatible avec la notion dun

big push entranant une transitionsoudaine dune stagnation vers une croissancevigoureuse.

T k ff d l i


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Take-offs dans les rgions endveloppement

Rgion 1820-1870 1870-1913 1913-1950 1950-1975 1975-2001

Africa 0.3% 0.6% 0.9% 1.8% 0.2%

Caribbeancountries (24) -0.3% 1.8% 1.4% 3.2% 1.0%

East Asiancountries (16)

-0.1% 0.5% -0.1% 3.5% 3.4%

East EuropeanCountries (7)

0.6% 1.4% 0.6% 3.7% 0.4%

Latin America 0.0% 1.8% 1.4% 2.5% 0.8%

West Asiancountries (15)

0.4% 0.9% 1.3% 4.4% 0.2%


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Une tude empirique

Take-offs dans les rgions en dveloppement Seule la rgion du sud est asiatique satisfait la

dfinition propose du take-off.

LAmrique latine et les Carabes ont connupendant la priode 1870-1913 un pr-dcollagemais il na pas t soutenu.


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Une tude empirique

Take-offs dans les pays Sur les 44 pays tudis, seuls 5 dentre eux

satisfont la dfinition dEasterly dun take-off.


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Une tude empirique

Sur lexistence des trappes pauvretEasterly rejette lhypothse de lexistence destrappes pauvret sur la base des deuxarguments suivants :

- il y a trs peu de pays taux de croissance surlintervalle [-0.5, 0.5] pour la priode 1950 2000

- le logarithme du revenu par tte nest passtationnaire.

Cependant sur le premier point, on peutargumenter que cette conclusion est dpendantedes priodes ou sous priodes considres.


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Une tude empirique

Conclusions de larticle Aucun des pays tests dans ltude nest dans

une trappe pauvret (dfinie par uneabsence totale et durable de croissance).

L'influence de l'aide sur l'investissement et lacroissance nest pas vidente. Il ne semble pasnon plus que l'aide soit un facteurdterminant pour les rares pays avoirdcoll.

Pour Easterly, la qualit des institutions

politiques est un facteur bien plus importantpour le dveloppement que lapport duned'aide massive et soudaine.


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Une tude empirique

Remarque importante

Ce working paper est controvers sur un certainnombre de points par dautres conomistes. Doncprudence dans les conclusions quen tire lauteur.

Dans ce cours, cela a surtout servi introduireune problmatique de recherche et mettre envidence un certain nombre de mthodes etoutils.


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Une tude empirique

Mthodes et outils

Cet article montre la ncessit dutiliser, entreautres, des mthodes de rgression et des testspour valider des hypothses dans les tudesempiriques.

La rgression et les tests dhypothses sont deuxoutils fondamentaux dans les tudes empiriques.

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