Rsistance des matriaux

2012/2013Mouna SOUISSIFlore Brue

Rsistance des matriaux

Ecole des hautes tudes dingnieur13 Rue de Toul 59046 LILLE CEDEX

SommaireI.Rappel de statique61.Objet de la statique:62.Dfinition:63.Enonc du principe fondamental de la statique:64.Exemple:65.Principe fondamental de la statiqueappliqu un problme de 3D:76.Principe fondamental de la statiqueappliqu un problme de 2D:87.Isostaticit et hyperstaticit:10II.Hypothse de la RDM111.Dfinition:112.Le solide tudi:113.Hypothse sur le matriau:124.Hypothses fondamentales de la RdM:12a)Principe de Saint Venant:12b)Hypothse de Navier-Bernoulli:13c)Conditions aux limites:13III.Torseurs des efforts intrieurs et notions contraintes:151.Torseur des efforts intrieurs:152.Les composantes du torseur des efforts intrieurs:173.Les sollicitations lmentaires:174.Notion de contrainte- Vecteur contrainte:185.Contrainte normale et tangentielle:18IV.Caractristiques gomtriques de la surface plane:191.Centre dune surface:19a)Barycentre:19b)Centre dune surface plane:192.Moment quadratique:20a)Dfinition:20b)Changement d'axe de rotation: Thorme dHuyghens203.Moment produit:204.Rotation daxe:20V.Comportement mcanique des matriaux221.Essai de traction:222.Principe dessai:22VI.Traction simple/Compression simple :241.Introduction:242.Hypothses:243.Dfinition:254.Contraintes dans une section droite:255.Etudes des dformations:26a.Dformation longitudinale:26b.Dformation transversale:266.Dimensionnement:277.Concentration de contraintes:288.Application aux treillis:28VII.Cisaillement simple291.Hypothses:292.Dfinition293.Contraintes dans une section droite:294.Etude des dformations305.Condition de rsistance:316.Exemple31VIII.Torsion pure321.Hypothse:322.Dfinition323.Etudes des dformations:324.Etudes des contraintes:345.Dimensionnement:35IX.Flexion pure361.Hypothses362.Dfinition363.Etude des contraintes:364.Etude des deformations:385.Dimensionnement:396.Condition de dformation:39X.Flexion simple401.Dfinition:402.Etude des dformations403.Etude des contraintes:404.Condition de rsistance:415.Condition de dformation:42XI.Sollicitation composes: (Flexion-Torsion)421.Dfinition422.Exemple dapplication42XII.Flambement441.Charge critique:44XIII.Travaux pratiques:48XIV.Bibliographie:49

Liste des figures:

Figure 1: Exemple dapplication6Figure 2: Deux poutres sous charge identique11Figure 3: Poutre12Figure 4: a) avec hypothse de Navier Bernouilli, b) sans hypothse de Navier Bernouilli13Figure 5: Les trois liaisons usuelles14Figure 6: Poutre tudie15Figure 7: Machine essai de traction22Figure 8: Courbe de Traction23Figure 9: Diffrentes tapes de lessai de traction24Figure 10: Poutre soumise une sollicitation25Figure 11: Poutre soumise une traction25Figure 12: Poutre soumise une compression25Figure 13: Comportement mcanique de la poutre26Figure 14: Dformation transversale de la poutre27Figure 15: Treillis28Figure 16: Exemple de treillis29

Rappel de statique1. Objet de la statique: C'est l'tude de l'quilibre des ensembles de corps solides dans leur gomtrie initiale. Cest--dire dans la structure non dforme par rapport un repre Galilen. Le solide sera considr comme infiniment rigide.

Un solide indformable possde une masse constante et un volume dont les limites sont invariantes quelles que soient les actions extrieures auxquelles il est soumis.

2. Dfinition: Un ensemble matriel {E} est en quilibre par rapport un repre R si, au cours du temps, chaque point de {E} conserve une position fixe par rapport au repre R.3. Enonc du principe fondamental de la statique: Si un ensemble matriel {E} est en quilibre par rapport un repre R, la somme des actions mcaniques extrieures {E} qui agissent sur {E} est nulle.4. (S2)Exemple:

(S1)

CB

A

(S0)

D

P2

Figure 1: Exemple dapplication

P1Isolons le solide S2. Les actions mcaniques extrieures S2 qui agissent sur S2 sont: Poids de S2, Action, en C de S0 sur S2, Action, en D de S0 sur S2, Action, en B, de S1 sur S2. et sont concernes par le PFS.Si nous isolons les solides S1+S2. Les actions mcaniques extrieures S1+S2 qui agissent sur S1+S2 snumrent de la faon suivante : Poids de S1, Poids de S2, Action, en A de S0 sur S1, Action, en C de S0 sur S2, Action, en D de S0 sur S2.5. Principe fondamental de la statiqueappliqu un problme de 3D:

On peut traduire ce PFS par les relations suivantes: La somme vectorielle de toutes les forces extrieures S, agissant sur S est nulle do le thorme de la rsultante :

= =

Soit = + Et soit dans un repre R (O,,,): , ...

On se ramne 3 quations pour les forces:

La somme vectorielle des moments en A de toutes les actions mcaniques extrieures S, agissant sur S, est nulle en un point A quelconque. Do le thorme du moment rsultant en A:

= =

Dans le repre R (O,,,)on a alors:

( , ... On se ramne 3 quations pour les moments.

6. Principe fondamental de la statiqueappliqu un problme de 2D:Une rsolution analytique grce loutil Torseur est bien entendu envisageable. Mme si cette mthode demande de nombreuses critures, et est parfois fastidieuse appliquer, elle a le mrite dtre systmatique. Les torseurs sont allgs car, seules les composantes de rsultantes appartenant au plan, et de moment perpendiculaire au plan apparaissent.Une Solution plus efficace, consiste utiliser la notion de moment par rapport un axe perpendiculaire au plan dtude.Le tableau suivant donne toutes les liaisons mcaniques et le torseur correspondant:

7. Isostaticit et hyperstaticit:

Un systme est hyperstatique lorsque les quations issues de lapplication du principe fondamental de la statique ne permettent pas de calculer toutes les inconnues defforts des liaisons.Le degr dhyperstatisme (hs) est le nombre dinconnues deffort de liaison dont il faut imposer la valeur pour pouvoir calculer les autres : cest la diffrence entre le nombre dinconnues et le rang du systme dquations obtenues par lanalyse du mcanisme.Quand hs = 0, le mcanisme est isostatique : il est possible de calculer toutes les inconnues de liaison.hs = Ns 6 (p 1) + m hs est le degr dhyperstatisme. Ns est le nombre dinconnues statique p est le nombre de pices du mcanisme (bti compris). m est la mobilit du mcanisme, avec m = mu + mi La mobilit utile mi est le nombre de relations indpendantes qui existe entre les paramtres cinmatiques dentre et de sortie du mcanisme. La mobilit interne mu est le nombre de relations indpendantes qui existe entre les paramtres cinmatiques des pices internes du mcanisme.

Tant que possible, il est prfrable davoir un mcanisme isostatique :

Car imposer des conditions gomtriques implique des cots de fabrication plus levs en raison du soin apporter la ralisation.Car sengager dans des calculs de RdM augmente les cots de dveloppement. Les rsultats trouvs avec cette mthode impliquent gnralement des solutions techniques plus onreuses que pour un mcanisme isostatique.

Hypothse de la RDM

1. Dfinition: La rsistance des matriaux est la mcanique des solides dformables. Elle permet de : Caractriser les matriaux ; Dimensionner une pice partir des efforts quelle supporte ; Dterminer la dformation dune pice partir des efforts quelle supporte ; Dterminer les efforts maximums que peut supporter une pice.

PPOn considre les deux poutres simples reprsentes la figure 2.

Y

Z

P

Y

Z

Figure 2: Deux poutres sous charge identiqueSous une charge identique les deux poutres noffrent pas la mme rsistance. Il y a alors dautres caractristiques autres que laire de la section connaitre. 2. Le solide tudi: Un certain nombre de restrictions sont ncessaire pour pouvoir utiliser la RdM. Ces restrictions portent sur la gomtrie du solide tudi, le matriau dont il est constitu, et dans une moindre mesure les liaisons et les efforts extrieurs.En RdM, les solides tudis portent le nom de poutres.Une poutre est un solide engendr par une surface plane (S) dont le centre dinertie gomtrique G dcrit une courbe G0G1, le plan de (S) restant normal la courbe G0G1. Le centre dinertie peut dans de nombreux cas tre confondu avec le centre de gravit. Nous avons suppos laire (S) constante ; la poutre est alors dite de section constante. Mais trs souvent, en vue de proportionner les dimensions de la poutre aux efforts quelle doit supporter, laire (S) varie lorsque son centre de gravit dcrit la fibre moyenne ; la poutre est alors dite de section variable, et lon supposera que la section varie continment le long de la fibre neutre.

(S)GG1

P

G0

Figure 3: PoutreLaire (S) est appele section droite de la poutre. La courbe G0G1 est appele fibre moyenne de la poutre. Le volume engendr le long de G0G1 par un petit lment dS de la surface (S) porte le nom de fibre.

Certaine proprits de la gomtrie doivent tre vrifie : Le rayon de courbure de la ligne moyenne est grand par rapport la plus grande dimension transversale de la section droite (rapport suprieur 5) La longueur de la ligne moyenne est grande par rapport la plus grande dimension transversale de la section droite (rapport suprieur 5)La poutre tant amene se dformer, on va de plus supposer que les dformations subies par la poutre ainsi que les dplacements qui peuvent tre mesurs, restent petits. En effet, les dformations doivent rester petites pour que le reste dans le domaine lastique, et les dplacements doivent rester petits pour que les points dapplication des efforts extrieurs ne soient pas modifis.

3. Hypothse sur le matriau:

Pour toutes les tudes que nous mnerons en RdM, nous allons considrer que le matriau dont est constitue la poutre est un matriau : Homogne: lhomognit se dit dun milieu matriel qui prsente des proprits constantes dans toute son tendue. Isotrope: le matriau prsente les mmes proprits dans toutes les directions de lespace. Elastique linaire: le matriau retrouve entirement sa forme ou son volume aprs avoir subi un cycle de charge/dcharge quelconque. Cette notion est implicitement lie la rversibilit totale et au fait quau cours du chargement et du dchargement le matriau ne dissipe aucune nergie.

4. Hypothses fondamentales de la RdM:a) Principe de Saint Venant: Enonc:Les rsultats obtenus par un calcul de RdM sur une poutre ne sont valables qu une distance suffisamment loigne de la rgion dapplication des actions mcaniques extrieures concentres et des liaisons (distance gale 2 fois la plus grande dimension transversale).

b) Hypothse de Navier-Bernoulli:

Les sections normales la ligne moyenne restent planes et normales la ligne moyenne pendant la dformation de la poutre.On peut aussi dire que toute section droite (plane et perpendiculaire la ligne moyenne) avant dformation reste droite aprs dformation.

b)a)

Figure 4: a) avec hypothse de Navier Bernouilli, b) sans hypothse de Navier BernouilliCette hypothse est bien vrifie dans de nombreux cas de sollicitations simples.Le fait que la section reste plane permet de caractriser le dplacement de toute section droite par un torseur appel torseur des petits dplacements.

c) Conditions aux limites:Les conditions aux limites qui sappliquent sur une poutre sont de deux natures.Celles constitues par les liaisons avec lextrieur, et celles lies la prsence du chargement.

Efforts extrieurs:

Les efforts extrieurs qui sappliquent au modle poutre sont principalement de deux types. concentres, rparties de faon continue.

Comme on travaille sur des poutres plan moyen on supposera que la forme gnrale du torseur des actions mcaniques extrieurs se rduit :Les forces concentres sont donc classiquement modlises par des torseurs dactions mcaniques exprims au centre de gravit G dune section (S). Un exemple de force rpartie est laction de leau sur un barrage qui conduit une rpartition linique de pression sur la hauteur du barrage.

Liaisons:

Les liaisons que lon rencontre sont les liaisons classiques dj connues. Nanmoins, le fait que lon se borne aux poutres plan moyen charges dans leur plan, amne usuellement distinguer les diffrents types de liaisons imposes aux poutres: Lappui simple, constitu, par exemple, par un rouleau cylindrique, donne lieu une raction de direction impose passant par le point dappui ; cette raction est dfinie par une seule composante en rsultante perpendiculaire au contact.

Larticulation, constitue, pour les poutres mtalliques, par une rotule comprise entre deux balanciers en acier moul et, pour les poutres en bton, par une section fortement rtrcie, donne lieu une raction dont on ne connat pas la direction, mais qui passe par le centre de la rotule ou par le centre de la section rtrcie ; cette raction est dfinie par ses deux composantes suivant deux directions non parallles du plan moyen. Lencastrement a pour objet dassurer linvariabilit de la section dextrmit dune poutre ; la raction dappui comprend une force passant par le centre de gravit G de la section dencastrement et contenue dans le plan moyen, et un moment normal au plan moyen ; la raction dappui est donc dfinie par trois composantes : les deux projections sur deux axes situs dans le plan moyen et la projection du moment sur laxe normal au plan moyen.

Figure 5: Les trois liaisons usuellesLes torseurs dactions transmissibles et le dplacement interdit sont prsents dans le tableau suivant:Liaison Appui simpleArticulationEncastrement

Equation=

=

=

CritresLe dplacement est bloqu:

Deux dplacements sont bloqus:

Pas de dplacement ni de rotation:

Torseurs des efforts intrieurs et notions contraintes:

Dans ce chapitre on aborde deux notions fondamentales pour la RdM: le torseur des efforts intrieurs; la notion de contrainte.

1. Torseur des efforts intrieurs:On considre une poutre () compose de deux parties et on alors: E =La sparation est une coupure au point G par un plan perpendiculaire de section (S) comme le montre la figure suivante:

Figure 6: Poutre tudieOn isole la poutre (E) et on applique le PFS:= 0On peu crire aussi: 0On isole un des parties de la poutre et on applique et dtermine lensemble des actions mcaniques appliques sur la partie.Bilan des actions mcaniques appliques Une partie des actions extrieures Les actions de la partie sur la partie travers la section (S). La liaison entre et peut transmettre toutes les composantes des actions mcaniques de sur, elle peut donc tre modlise par une liaison encastrement.

Par dfinition, le torseur daction mcanique de sur est appel torseur des efforts intrieurs ou torseur de cohsion. On crit alors:

On applique maintenant le principe fondamental de la dynamique la partie :

On peut alors calculer le torseur de cohsion partir des actions extrieures exerces

On isole maintenant la partie. Le bilan des actions mcaniques est le suivant. Les actions mcaniques de lextrieur sur Les actions mcanique de sur travers la section (S) que lon peut relier au torseur des efforts intrieurs par le principe daction rciproque, soit :

Le principe fondamental de la statique donne:

Ceci est un autre moyen pour calculer le torseur de cohsion partir des actions extrieures exerces sur la partie :

Conclusion: Le torseur des efforts intrieurs reprsente les actions mcaniques exerces travers une coupure par la partie situe droite de la coupure sur la partie situe gauche de la coupure.

On peut donc crire:

2. Les composantes du torseur des efforts intrieurs:On considre une poutre droite. Soit (G,,,) le repre associ la section droite. La forme gnrale du torseur des efforts intrieurs est:

Les abrviations des noms des composantes sont: Effort Normal : N, perpendiculaire la section droite Efforts Tranchants : et , ont tendance trancher la poutre perpendiculairement la ligne moyenne Moment de Torsion :, a tendance tordre la poutre autour de la ligne moyenne Moments de Flexions : et , ont tendance faire flchir la poutre autour dun axe perpendiculaire la ligne moyenne

3. Les sollicitations lmentaires: En fonction de la nullit ou non des composantes, on peut identifier un certain nombre de sollicitations dites lmentaires.Le tableau suivant prsente les sollicitations dites lmentaires et leur torseur de cohsion:

SollicitationComposante non nulleTorseur de Cohsion

Traction/Compression

N

Cisaillement pur

Torsion

Flexion pur

Flexion simple

Tableau 1: Sollicitation lmentaires

4. Notion de contrainte- Vecteur contrainte:Le torseur de cohsion ne reprsente quune vision globale sur la section droite de toutes les actions mcaniques qui sappliquent localement en chaque point de la surface.Ces actions mcaniques locales sont rparties sur toute la surface suivant une loi a priori inconnue. Pour les reprsenter, considrons un point M de la surface S.Autour de ce point M on considre un petit lment de surface dS de normale En RdM les efforts intrieurs exercs sur dS sont une densit surfacique defforts ou densit de force par unit de surface. Cette densit surfacique deffort est caractrise par le vecteur contrainte.Les actions mcaniques qui sexercent sur la surface dS sont donc :(5. Contrainte normale et tangentielle:Le vecteur contrainte est compos de deux composantes et . On crit alors: Ces deux composantes du vecteur contrainte ont des sens physiques diffrents : la contrainte normale traduit des actions surfaciques locales de tension au sein de la matire la contrainte tangentielle traduit des actions surfaciques locales de cisaillement au sein de la matire

Il existe une relation entre le torseur de cohsion global et les vecteurs contraintes locaux en tout point de la section (S). Pour exprimer cette relation, exprimons le torseur des actions mcaniques sexerant sur dS au point G.

On a donc:

Pour obtenir le torseur de cohsion, il faut intgrer sur toute la surface le torseur crit prcdemment. On peut alors crire le torseur des efforts intrieurs :

En fonction des actions extrieures et des caractristiques gomtriques de la section, on peut dterminer les contraintes au sein du matriau. On peut alors dfinir pour chaque matriau une contrainte limite admissible au-del de laquelle la pice subit des dtriorations de ses caractristiques mcaniques, dimensionnelles, voire une rupture.Ainsi, connaissant les actions mcaniques extrieures, on peut dimensionner la poutre pour que les contraintes restent infrieures une contrainte limite admissible.

Caractristiques gomtriques de la surface plane: 1. Centre dune surface: a) Barycentre:On appelle Barycentre G dun ensemble de n point auxquels sont affects des coefficients i le point G dfini par: = On peut aussi crire:

=On appelant le barycentre des p premiers point et le barycentre des autres points.b) Centre dune surface plane: Cest par dfinition le barycentre de tous ses points affects de laire infiniment petite . On a alors: = Avec coordonnes de G. On a=Et =;Enfin si lorigine O est au centre G il vient:

2. Moment quadratique: a) Dfinition: On appelle moment quadratique par rapport laxe Ox la quantit: = et de mme = On a moment quadratique par rapport O. = = +

b) Changement d'axe de rotation: Thorme dHuyghensLe moment dinertie dun solide par rapport un axe est gal au moment dinertie de ce corps par rapport un axe parallle passant par le centre de gravit augment du produit .=Exemple moment dinertie dun cylindre: 3. Moment produit: Par dfinition le moment produit est la quantit:

Si lun des axes est axe de symtrie alors : == ++++S4. yRotation daxe:

Y

X

x

Soit:

De mme pour:

Sachant que:

Avec:

On appelle axes principauxX et Y tel que:

Leur orientation est dfinie par:

La tangente tant dfinie prs, cette solution a deux solutions et .Exemples dapplication: Section quelconque Demi-cercle Demi-carr Grand rectangle Rectangle Disque Tube Section en T Cornire ailes ingalesComportement mcanique des matriaux

Les proprits mcaniques dpendent de la temprature dutilisation, de ltat de surface, des conditions dapplication des efforts et de la vitesse de dformation.Elles sont dtermines, avec un certain intervalle de prcision, au moyen dessais normaliss.1. Essai de traction: Lessai de traction permet, lui seul, de dfinir les caractristiques mcaniques courantes des matriaux. Les rsultats issus de cet essai, permettent de prvoir le comportement dune pice sollicite en Cisaillement, Traction/Compression et Flexion. 2. Principe dessai: Lessai est ralis sur une machine de traction. On applique progressivement et lentement (sans choc) une prouvette cylindrique de formes et de dimensions normalises, un effort de traction croissant jusqu la rupture.

Figure 7: Machine essai de tractionLa courbe type obtenue pour un matriau ductile est la suivante:

Figure 8: Courbe de TractionLa droite OA correspond la dformation lastique rversible.La courbe AC est le domaine de dformation plastique homogne: si on supprime la force de traction, il y a un retour lastique suivant une parallle OA et il reste une dformation permanente.Pour CD, la force ncessaire pour dformer le matriau diminue alors que lallongement continue daugmenter : cette instabilit est appele instabilit plastique. La striction apparait.En D il y a rupture de lprouvette.Avec Re (MPa) est la limite lastique. Elle est bien marque pour les matriaux ductiles. Rm est la rsistance limite la traction. Cette valeur est utilise pour estimer la limite dendurance la fatigue.

Les caractristiques mcaniques sur pices dpendent de facteurs tels que :- La zone de prlvement sur pice de lprouvette- Ltat de lprouvette (brute ou usine)- Ltat de sant de lprouvette (dfauts internes ou de surface)- La finesse de la microstructure (DAS - loi de Hall Petch)- De la composition chimique (teneur en fer, constituants intermtallique, )- De ltat de finition (brute, grenaill) et de la prsence du plan de jointLes diffrentes tapes de lessai de traction sont prsentes la figure suivante:

Figure 9: Diffrentes tapes de lessai de traction Etape1: Eprouvette avant la traction Etape2: Pendant la traction, comportement lastique Etape3: Dformation de la pice, dformation plastique Etape4: Eprouvette aprs la ruptureTraction simple/Compression simple :1. Introduction:La traction simple et la compression simple sont distinctes et un certain nombre de matriaux ont un comportement diffrent en traction et en compression (fonte, bton). Cependant, dans les deux cas, nous arriverons aux mmes relations de contraintes et de dformations.Dans le repre (Gxyz) li la section, traction et compression se diffrencient par le signe de leffort normal: Si N>0: Traction Si N0Une poutre est sollicite la compression simple lorsquelle est soumise deux forces directement opposes qui tendent le raccourcir et appliques au c.d.g des sections extrmes.

Figure 12: Poutre soumise une compressionDans ce cas, les forces de cohsion se rduisent une composante normale N 0 => > 0;En compression N < 0 => < 0.Pour les deux sollicitations on a: 5. Etudes des dformations:Dans cette partie on tudie deux types de dformation. La dformation longitudinale et la dformation transversale.a. Dformation longitudinale:On se place dans le domaine lastique (petites dformations, rversibles), la loi de Hooke est valable: E.Avec lallongement unitaire (voir figure 13)

Figure 13: Comportement mcanique de la poutre: Longueur initiale de lprouvette mesure sous charge F.L: Longueur de lprouvette mesure sous charge F.F: Force exerce par la machine dessai sur lprouvette.La dformation longitudinale est note et vaut: On a donc: = E.On obtient alors:

En traction la poutre sallonge => En compression la poutre raccourcit => b. Dformation transversale:Lorsquune poutre sallonge dans la direction longitudinale sous leffet de N, on observe une contraction dans la direction transversale.On a:

Figure 14: Dformation transversale de la poutreOn constate une proportionnalit entre les dformations transversales et les dformations longitudinales: Avec le coefficient de Poisson (entre 0.1 et 0.5, 0.3 pour les aciers)6. Dimensionnement: Afin de tenir compte dincertitude concernant les charges appliques au solide, les conditions dutilisation ou les caractristiques mcaniques du matriau, on introduit un coefficient de scurits.Le dimensionnement des pices mcaniques se fera en limitant la valeur de la contrainte normale valeur note (rsistance pratique lextension) dfinie par:

Limite lastique lextension

Coefficient de scurit

On doit ainsi vrifier linquation (dquarrissage) suivante:

En compression, on doit vrifier:

Avec, la rsistance pratique la compression:

Pour des raisons fonctionnelles , il est parfois important de limiter lallongement valeur . On obtient donc linquation:

7. Concentration de contraintes:Lorsquune poutre possde une variation brusque de sa section, la rpartition de la contrainte normale nest plus uniforme proximit de la discontinuit de section. Il ya concentration de contrainte. La contrainte maximale vaut: =Avec

8. Application aux treillis:Un treillis est un ensemble dlments assembls les uns aux autres leurs extrmits par des articulations (voir figure 15).

Figure 15: TreillisCes lments sont appels barres. Le point de rencontre des barres sun treillis sappelle un nud. Il n'y a pas de charges rparties sur les barres (elles sont de ce fait supposes non pesantes).Hypothses: Les assemblages sont gomtriquement invariables. Les forces sont ponctuelles et contenues dans le plan de la structure. Le poids des barres est nglig. Les forces agissent aux nuds qui sont des articulations.Compte tenu des hypothses, les barres sont soumises soit la traction, soit la compression.Stabilit dun treillis:Considrons les deux cas suivants:

Figure 16: Exemple de treillisUn treillis rectangulaire nest pas stable. Un treillis en triangle est la cellule base dun treillis car cette structure ne peut pas saplatir.Cisaillement simple1. Hypothses: Le solide est compos dun matriau homogne et isotrope, Sa ligne moyenne est rectiligne, La section droite est constante sur toute la longueur, Le solide a un plan de symtrie verticale, Les actions extrieures sont modlisables en A et B situs dans le plan de symtrie, par deux rsultantes verticales, directement opposes, situes dans le plan de cisaillement(P) perpendiculaire la ligne moyenne.

2. DfinitionUne poutre subit une sollicitation de cisaillement simple lorsque les actions mcaniques de liaison de rduisent dans une section droite (S) deux rsultantes directement opposes et perpendiculaires l'axe de la poutre. Les forces de cohsion nont quune composante tangentielle (effort tranchant)N=0, = ==0 et =0

3. Contraintes dans une section droite: Chaque lment de surface S supporte un effort de cisaillement f contenu dans le plan (S).On considre quil y a rpartition uniforme des contraintes dans la section droite. Do:

: Contrainte de cisaillement en MPa ou en N/mmT: Effort tranchant en NS: Aire de la section droite cisaille en mmAvec Remarque: S reprsente laire totale soumise au cisaillement. Cela signifie que sil y a plusieurs plans de cisaillement, il faut considrer laire de la section droite, multiplie par le nombre de plan de cisaillement.4. Etude des dformations Le diagramme de lessai de cisaillement a la mme allure que celui de lessai de traction. Pour lessai de cisaillement, labscisse reprsente langle de glissement (en radians) de la section S par rapport la section et lordonne la contrainte de cisaillement.

tg = or est petit donc tg = , on obtient alors: =

Loi de Hooke: Comme pour lessai de traction, lexprience montre que, dans le domaine lastique, il y a proportionnalit entre la contrainte et les dformations. La loi de Hooke en cisaillement scrira: =G. G reprsente le module dlasticit transversale (ou module de cisaillement ou de Coulomb) est exprim en MPa. Comme E,G est une caractristique de matriau, dtermine exprimentalement. Il existe une relation entre G, E et : G=5. Condition de rsistance:Le dimensionnement des solides soumis au cisaillement se fera en limitant la valeur de la contrainte tangentielle une valeur note rsistance pratique de glissement = contrainte tangentielle admissible ) dfinie par:

au cisaillement

On obtient ainsi linquation suivante:

6. Exemple

La roulette propose ci contre, se compose dun support [2] et dune roue [1]. La liaison pivot est assure par un axe [3] de 9 mm de diamtre.Calculer les contraintes de cisaillement dans laxe 3.Le module de F gal 400 daN.1) Dterminez le nombre de surfaces cisailles : 22) Dterminez la contrainte de cisaillement dans laxe [3]. = 3) Si laxe est en acier E335, vrifiez si la condition de rsistance est respecte, avec un coefficient de scurit de 5.

On verifie que:

Torsion pure1. Hypothse: Le solide est compos dun matriau homogne et isotrope, Sa ligne moyenne est rectiligne Les actions extrieures dans les sections extrmes sont modlisables par deux moments opposs ports par la ligne moyenne.

La section droite est constante sur toute la longueur et circulaire.En effet, pour rester dans le domaine de la RDM, il faut que notre solide vrifie lhypothse de Bernoulli.

2. DfinitionUne poutre est sollicite la torsion pure si le seul lment de rduction au centre de gravit de chaque section des forces de cohsion est un moment autour de la ligne moyenne appel moment de torsion. N===0, ==0 et 3. Etudes des dformations: Soit une poutre circulaire pleine, parfaitement encastre en , soumise lextrmit un moment de torsion

: angle de torsion unitaire (rad/mm) angle total de torsion de (S)/((rad) : distance entre (S) et ((mm)Lexprience montre que, pour une section et un moment de torsion donns, on a: ===csteOn pose = Si , on est dans le domaine lastique, langle est proportionnel au moment appliquSi , on est dans le domaine plastique, langle nest plus proportionnel au moment appliqu.On appelle , langle MM. Cet angle reprsente langle de glissement de (S)/ (

On a: = =

En torsion, les sections du solide sont soumises une contrainte tangentielle. Nous avons vu la relation liant les contraintes et les dformations.

On obtient donc:

Avec: La contrainte de cisaillementG: Le module de coulomb: Angle unitaire de torsion: Distance du point considr laxe Gx4. Etudes des contraintes: On coupe le cylindre en une section (S) et on exprime que la partie isole est en quilibre sous laction du moment de torsion Mt et des forces de cohsion dans la section (S).est llment de surface situ une distance de laxe Gx , soumis une contrainte de cisaillement Leffort lmentaire de cisaillement dF vaut donc:

Lquilibre de llment isol scrit donc:

Or:

Do:

Comme est identique pour chaque dS, on obtient:

On sait aussi que

On a alors:

La contrainte de cisaillement est donc proportionnelle la distance au centre de gravit de la section et est maximale pour

: Module de torsion en 5. Dimensionnement: Condition de rsistance: Le dimensionnement des solides soumis la torsion pure se fera en limitant la valeur de la contrainte tangentielle une valeur note

On obtient ainsi linquation suivante:

Condition de dformation:On utilise souvent langle limite de torsion pour dimensionner une pice soumise la torsion.On obtient linquation:

On pourra exprimer la puissance:

Avec:P: puissance en watts: Moment de torsion en N.mvitesse angulaire en rad/sSi la vitesse de rotation est donne en tours/min, il faut convertir:

Flexion pure1. Hypothses Le solide est compos dun matriau homogne et isotrope, Sa ligne moyenne est rectiligne La section droite est constante et possde un plan de symtrie, Les actions extrieures dans les sections extrmes sont modlisables par deux moments opposs contenus dans le plan de symtrie.

2. DfinitionUne poutre est sollicite la flexion pure si le seul lment de rduction au centre de gravit de chaque section des forces de cohsion est un moment perpendiculaire au plan de symtrie appel moment de flexion. N===0, et/ou et 3. Etude des contraintes:Les sections droites de la poutre ne se dforment pas, elles se dplacent en restant perpendiculaires la ligne moyenne qui sincurve mais ne sallonge pas. Par consquent, deux sections droites voisines tournent lune par rapport lautre dun angle lmentaire autour de laxe z, normal au plan de symtrie. La dformation densemble observe rsulte de la composition de toutes les sections.

On considre un lment de longueur x, dlimit par les sections est une fibre de cet lment situe une distance y de la ligne moyenne.Si on soumet la section S la flexion, elle tourne dun angle autour de Gz. On apelle S la section dforme et M reprsente la position de M aprs dformation.

Daprs la loi de HOOKE, on a:

Or on a: = x et Avec y la position de la fibre tudie/ligne myenne.Do:

Finalement, la loi de Hooke scrit:

Si on prolonge toutes les sections dformes, elles concourent toutes en un point O, appel centre de courbure. La distance OG est appele , rayon de courbure. On a: = tg

Dtermination de laxe neutre La force normale lmentaire agissant sur chaque ds vaut:

On sait que leffort normalN est nul, on peut donc crire: = = 0On a donc le moment statique nul => laxe neutre passe par le centre de gravit G de S. Relation entre contrainte et moment de flexion: On coupe la poutre en une section S et on exprime que la partie isole est en quilibre sous laction des efforts extrieurs et des forces de cohsion dans la section S.On sait que la force normale lmentaire vaut: dN=Le moment lmentaire scrit: dM=y.Lquilibre de la partie isole scrit: Ce qui donne: or on a => Finalement, on obtient:

La contrainte normale est maximale pour la fibre la plus loigne de c.d.gOn alors:

4. Etude des deformations: Nous avons montr que Or

=

Lexpression analytique du rayon de courbure dune courbe dquation v =f(x) est:

Comme v et petit, v ngligeable/1, il vient alors:

On obtient donc lquation diffrentielle de la dforme: =

Remarque:

On a une quation diffrentielle donnant lexpression de v, pour retrouver la flche v, il faut donc intgrer deux fois. On obtient donc des constantes dintgration. Pour connaitre leurs valeurs, il faut appliquer les conditions aux limites de la poutre tudie. 5. Dimensionnement: Condition de rsistance: On limitera la valeur de la contrainte normale une valeur note (rsistance pratique lextension = contrainte normale admissible en traction) ou une valeur (pour la compression) dfinie par:

On obtientainsi les inquations suivantes: Dans la zone des fibres tendues:

Dans la zone de fibres comprimes:

6. Condition de dformation:On peut limiter la flche maximale ( une valeur limite ( impose par le type de construction ou les contraintes technologiques.On obtient ainsi linquation suivante:

Flexion simple1. Dfinition:Une poutre est sollicite la flexion simple si les lments de rduction au centre de gravit de chaque section des forces de cohsion sont un effort tranchant et un moment de flexion.N=0, et 2. Etude des dformations La prsence dun effort tranchant engendre des contraintes de cisaillement. Toutefois, lexprience montre que celles-ci sont faibles par rapport aux contraintes normales. Ceci nous permet de ngliger les effets de leffort tranchant dans la dformation. On ne considre donc que le moment flchissant pour le calcul de la flche des poutres en flexion simple. Lquation diffrentielle de la dforme reste donc:=3. Etude des contraintes: Contraintes normales: On trouve lexpression de la contrainte normale dfinie pour la flexion pure:

Contraintes tangentielle: On considre deux poutres de sections globales identiques, faites dun mme matriau, soumises au mme chargement. Une des deux poutres est constitue dun empilement de barres.

Glissement des lments constituant la poutre compose Poutre monobloc moins dforme car pas de glissement=> forces internes longitudinales=> contraintes tangentielles longitudinale.On observe la prsence de deux types de contraintes tangentielles: Une contrainte transversale note appartenant aux sections droites de la poutre. Une contrainte longitudinale note suivant la direction Gx.

On peut montrer que la contrainte tangentielle en M dordonne y vaut:

Avec: T: leffort tranchant dans la section (S) considre. : le moment statique par rapport laxe Gz de la section situe au dessus de lordonne y. : moment dinertie de la section (S) b: la largeur de la section (S) lordonne y. La rpartition de la contrainte tangentielle est parabolique. Elle est nulle sur les faces infrieures et suprieures de la poutre; elle est maximale en G.

4. Condition de rsistance:On limitera la valeur de la contrainte normale la valeur dans la zone en traction et la valeur dans la zone en compression. On obtient ainsi les inquations suivantes: Pour une section:

Pour la poutre:

5. Condition de dformation: On peut limiter la flche maximale ( impose par le type de construction ou les contraintes technologiques.On obtient ainsi linquation suivante:

Sollicitation composes: (Flexion-Torsion)1. DfinitionLes poutres sont parfois charges de faon complexe et les sollicitations engendres, appeles sollicitations composes, ne peuvent pas tre tudies et schmatises l'aide de sollicitations lmentaires ci-dessus.Cependant, dans un grand nombre de cas, les tudes peuvent tre ramenes la superposition de plusieurs sollicitations simples. On applique alors le Thorme de SUPERPOSITION, savoir l'addition d'tudes de systmes simples. Ceci concerne : les actions extrieures. Les contraintes. Les sollicitations (efforts normaux, tranchants, moments de torsion et flchissant) les dformations.2. Exemple dapplication On considre 2 roues dentes de rayon R1 et R2, montes sur un arbre de transmission reposant sur deux paliers A et B. Larbre tourne vitesse constante avec la puissance transmise la roue O1 par une autre roue. La roue O2 transmet une partie de cette puissance une autre roue.Seul leffort moteur tangentiel, la force appliqu au point, est connu.Les forces inconnues sont:: Effort rsistant tangentiel, appliqu au point : Raction du palier A, de direction, : Raction du palier B, de direction, 1 Dterminer leffort tranchant et le moment de flexion.2 Dterminer la flche

Le critre de Rankine:Conditions de rsistance selon Rankine, scrit:=En crivant et en fonction de et de Et avec pour une section circulaire, on a:

Ce qui scrit (critre de Rankine): Le critre de Tresca:Les limites lastiques des matriaux sont telles que La condition de rsistance scrit Avec En crivant et en fonction de et de Et avec pour une section circulaire, on a:

Ce qui scrit: (critre de Tresca)Le critre de Von mises:Les limites lastiques du matriau sont telles que: La condition de rsistance scrit Avec: En crivant et en fonction de et de Et avec pour une section circulaire, on a:

Ce qui scrit (critre de Von Mises): Le critre des rgles CM:Les limites lastiques du matriau sont telles que: La condition de rsistance scrit: Flambement

Lorsquune pice longue rectiligne subit une charge F croissant lentement, On observe les faits suivants. Pour des valeurs petites de F, la pice subit dabord une simple compression et reste rectiligne. A une valeur critique Fc de la charge, la pice flchit brusquement. Ce phnomne est appel flambement ou flambage. En fait, ce phnomne existe toujours dans les pices longues mme lorsque F est petit.

1. Charge critique: Prenons pour exemple le cas dune poutre droite articule ses deux extrmits A et B et sollicite en compression. Lorsque F atteint une certaine valeur, la poutre passe dun tat de compression un tat de flexion.Le flambage est un phnomne dinstabilit lastique li au module de Young et indpendant de la limite lastique.

Faisons lhypothse quil existe une petite flche y de la poutre, on se trouve en sollicitation compose (compression+flexion).On peut crire en flexion: Mais le moment de flexion dpond de la charge F et de la flche y, savoir:

On aboutit lquation diffrentielle suivante: Mathmatiquement on peut donc trouver des solutions de la forme:

Avec constante (flche de la section mdiane)Cette existence de solution confirme notre hypothse de dpart, savoir, quil peut y avoir dformation (flambage) sous certaine charges dites critiques.Celles-ci dpendent de n et y. On obtient en remplaant:

: est la longueur de flambement de la poutre:

La poutre a de trs grandes chances de flamber. On est en quilibre instable.Cest lincertitude, la poutre peut rester droite ou flamber jusqu la valeur. On est en quilibre neutre.La poutre reste droite, elle travaille en compression. On est en quilibre stable.

Nous venons dtudier le cas dune poutre articule deux extrmits, on pourrait en faire de mme avec dautres types de liaisons aux extrmits (libre, encastrement)Seule la longueur prendre en compte demeure alors change.Contrainte critique: Nous sommes aussi en compression, on peut donc crire:

On introduit alors le rayon de giration et llancement, savoir:Rayon de giration: et llancement: ou Remarque: Llancement caractrise la flexibilit dune poutre et permet une comparaison de celles-ci.Mthode de calcul: (Poutre en Acier)Mthode Euler-Rankine:Cest une mthode de calcul simplifie valable si lon natteint jamais la premire charge critique. On dfinit les grandeurs suivantes:

Elancement critique: La relation de base est la suivante: Mthode de calcul- Critres de rsistance:On travaille ensuite laide du tableau ci-dessous, suivant llancement de la poutre.Poutre courte

Poutre moyenne

Poutres longues

Calcul en compression

Calcul de Rankine

Calcul dEuler

Mthode de Duteil: Cette mthode prend en compte les contraintes de compression dues au moment flchissant engendr par la flche f.

Travaux pratiques:

TP1: Etude des treillis plansTP2: Moment de flexion et effort tranchant(Poutre sur deux supports: courbe des efforts tranchants et courbes des moments de flexion)TP3: Mesures des jauges de dformations et calcul des contraintes (Flexion, Traction, Torsion: systme didactique pour jauge de contrainte)TP4: Influence des caract.phy.et gom.en Flexion(Dformation de barres soumises une flexion)TP5: Courbes de flexion et dflexion en un point de la dforme dune poutre(Dformation des poutres droites)TP6: Etudes de concentration des contraintesTP7: Dmonstration et tude du flambement dEulerTP8: Essais photolastiques par transmission

Bibliographie:

Rsistance des matriaux, Ivan CorminBoeuf ing.ETS/EPF Cours de Dimensionnement des Structures Rsistance des Matriaux Pierre-Alain Boucard Comportement Mcanique des Matriaux Roland FORTUNIER Ecole Nationale Suprieure des Mines 158 cours Fauriel 42023 Saint-Etienne cedex 2 Cour de Mr Abderrahman.Talha (dept.ccm) Cours RESISTANCE DES MATERIAUX par Sad KOUTANI 1998Rsistance des matriaux Page 45