Créer un filtre de réponse fréquentielle donnée

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Créer un filtre sur mesure (pour compresser)

Jean-Paul Stromboni, Polytech'Nice Sophia, S.I. 3ème année Cours n° 6, novembre 2015, durée : 50 mn, avec vidéoprojecteur

0 fef

0 fef

0 fef

4

4

H1(f)4

0

0 fef

spectre (R échantillons)

R/4

R/8

3*R/16

Le principe de compression par sous-échantillonnage du cours précédent est appliqué au signal dont le spectre est ci-dessous :


Quel est le taux de compression atteignable pour le signal (plus aigü) dont le spectre est donné ci-dessous ?

0 fef

spectre

0 fef

0 fef

0 fef

2

2

2


Si on sait créer le filtre passe-bande H2 ci-dessous, on peut atteindre un taux de compression de 4 au lieu de 2 !

0 fef

spectre

0 fef

0 fef

0 fef

H24

4

4

La condition de Shannon générale est respectée, car la largeur totale du spectre du signal est inférieure à fe/4 !


Pour programmer un filtrage de réponse fréquentielle H2, on implémente l’équation générale suivante :

Le vecteur e=(en, n=0..N-1) contient les N échantillons du signal à filtrer, ou entrée du filtre

Le vecteur h=(hm, m= 0..R-1) contient les R coefficients du filtre (coefficients réels)

Le vecteur s=(sn, n=0..N-1) contient la sortie du filtre ou signal filtré, chaque valeur sn est calculée par une itération de l’équation ci-dessus

R est la taille du filtre L’équation est un produit de convolution (symbole ‘*’):

h contient la réponse impulsionnelle du filtre, c’est-à-dire que s= h pour une entrée impulsion (e0=1, en=0 si n!=0).

Pour en savoir plus : Il s’agit d’un filtre linéaire et stationnaire, en anglais Linear

Time Invariant (LTI). Par exemple : sn=en+ en-1 est linéaire et stationnaire

sn= sin (en-1) est non linéaire

sn=en+n en-1 est non stationnaire

Il s’agit d’un filtre non récursif, ou à réponse impulsionnelle de durée finie (FIR en anglais) : Par contre, sn=sn-1+en-1, est un filtre récursif (ou IIR)

1

011110

R

k knkRnRnnn ehehehehs

1

0*

R

k knkk knk ehehehs


Afin de calculer la réponse fréquentielle d’un filtre non récursif, on utilise les propriétés suivantes de TFD et TFD inverse :

1

0

/2)(]1..0,[R

k

fkfik

TFDk

eehfHRkhh

ZffHfH

ZHH

ehRmfHH

RmHhfftH

e

Rmm

R

k

Rmkikem

m

),()(

,

)/(

]1..0,[)(1

0

/2

1. H = fft(h) est périodique de période R

2. h= ifft(H) est périodique, de période R

ZRTthth

Zhh

eHkThh

RkhHiffth

e

Rkk

R

m

Rmkimek

k

),()(

,

)(

]1..0,[)(1

0

/2

1

0

/2)(]1..0,[1 R

m

Rtmfim

TFDm

eeHthRmHH

3. En effet, les calculs des fonctions fft et ifft sont identiques, ou presque, seul le signe des exponentielles change. On vérifie :

)()(]1..0,[ hiffthfftRkhh k


Afin de calculer la réponse fréquentielle d’un filtre non récursif à partir de l’équation du filtre (suite):

si le vecteur H est réel, soit Hm réel pour m=0..R-1, à quelle condition le vecteur h=ifft(H) est il réel ?Réponse : il suffit que Hm=HR-m, pour m=0..R-1car

Et par conséquent hk est réel, pour k=0..R-1:

noter que ce que l’on vient d’établir pour h et H, est vrai également pour

en particulier ek est périodique de période R,

et pour

On utilisera dans la suite e et E, h et H et s et S ainsi définis, et de tailles R

)./2cos(2

/2/2

/22/2

/)(2/2

RmkH

eHeH

eeHeH

eHeH

m

RmkimR

Rmkim

RmkikimR

Rmkim

RkmRimR

Rmkim

.)/2cos(212/

12/0

R

m mRk RkmHHHh

]1..0,[)(]1..0,[ RmEefftEetRkee mk

]1..0,[)(]1..0,[ RmSsfftSetRkss mk


La TFD du produit de convolution s= h*e est égale au produit des TFD de e et de h : 1..0, RkEHS kkk

Voici la démonstration, qui utilise la périodicité de la TFD inverse.Soit l ’équation du filtre

Soit le signal filtré

et le signal à filtrer

C.Q.F.D.

]1..0,[ Rnss n

ehehsR

mmnmn *

1

0

]1..0,[ Rnee n

kk

R

m

R

v

Rkviv

Rkmim

R

m

R

n

Rmnkimn

Rkmim

R

n

R

m

Rmnkimn

Rkmim

R

n

RnkiR

mmnmk

k

EH

eeeh

eeeh

eeeh

eehS

RkSsfftS

1

0

1

0

/2/2

1

0

1

0

/)(2/2

1

0

1

0

/)(2/2

1

0

/21

0

]1..0,[)(

avec v= n-m quand n-m >0 et v=n-m+R quand n-m<0, puisque en-m=en-m+R.


Conclusion: voici la méthode de conception d’un filtre non récursif dont la réponse fréquentielle H2 est imposée

E contient le spectre du signal à filtrer S contient le spectre du signal filtré H= fft(h) est la réponse fréquentielle du filtre dont les coefficients

réels sont dans le vecteur h La réponse fréquentielle H est la transformée de Fourier de la

réponse impulsionnelle h Inversement, h est la TFD inverse de H, d’où l’idée : Méthode de conception:

on impose H2 de la réponse fréquentielle du filtre, on calcule h= ifft(H2) qui donne les coefficients et donc l’équation du filtre de réponse fréquentielle H2

Ces coefficients seront bien réels si on a pris la précaution de choisir Hm= HR-m, m=0..R-1

Attention ! on impose uniquement R valeurs sur la réponse fréquentielle, aux fréquence kfe/R, k=0..R-1, il faudra vérifier H(f) entre ces fréquences

1..0,

1..0,

*1

0

RkR

kfE

R

kfH

R

kfS

RkEHS

ehehs

eee

kkk

R

mmnmn


Vérification pratique avec Scilab (H est symétrique par rapport à R/2 , et imag(ifft(H))=0, i.e. h=real(ifft(H))

fe=8000; R=64; // H symétrique par rapport à R/2 H=4*[zeros(1,R/8),ones(1,1+R/8),zeros(1,-1+R/2),ones(1,1+R/8),zeros(1,-1+R/8)];

//étude de h=ifft(H) h=ifft(H); t=[0:R-1]/fe; plot2d(t',[real(h'),imag(h')]) e=gce(); e.children(1).thickness=3; xgrid(); xtitle("vérification: imag(ifft(H))=0",... "temps (s)","donc h=real(ifft(H))") h1=legend(['real(h)';'imag(h)'])


Réponse fréquentielle du filtre de coefficients réels h=real(ifft(H)) tracée sur M=1024 valeurs au lieu de 64

Pour tracer la réponse fréquentielle du filtre de coefficients h=real(ifft(H)), il suffit de tracer abs(fft(h))

Pour tracer M=16*R valeurs au lieu de R, il suffit d’aug-menter le vecteur h de 15*R coefficients nuls :

M=16*R; fe=8000; fM=[0:M-1]*fe/M;

h=real(ifft(H));

hM=zeros(1,M); hM(1:R)=h;

plot2d(fM,abs(fft(hM)))

xgrid();

xtitle(["tracé de … h=real(ifft(H))) sur",string(M),"points"] ... ,"fréquence (Hz)","H=abs(fft(h))")


Réponse fréquentielle du filtre de coefficients réels h=fftshift(real(ifft(H))) tracée sur M=1024 valeurs

clf();M=16*R;h=fftshift(ifft(H));fM=[0:M-1]*fe/M;hM=zeros(1,M);hM(1:R)=real(h);plot2d(fM,abs(fft(hM)))xgrid();xtitle(["tracé de abs(fft(fftshift(real(ifft(H))))),", string(M),…" points"],"fréquence (Hz)","H")

h = fftshift(real(ifft(H))) revient à permuter les deux moitiés du vecteur h


Il suffit d’arrondir la forme de la réponse fréquentielle spécifiée dans le vecteur H pour atténuer les oscillations résiduelles.

H=4*[zeros(1,R/8-1),0.1,0.5,0.9,ones(1,R/8-3),0.9,0.5,0.1, ... zeros(1,-3+R/2),0.1,0.5,0.9,ones(1,R/8-3),0.9,0.5,0.1, ... zeros(1,-2+R/8)];


Exemple de calcul et d’utilisation d’un filtre avec Scilab

La réponse fréquentielle du filtre désiré est définie dans le vecteur H, les coefficients du filtre sont calculés dans le vecteur h, on filtre ‘piano.wav’, on compare spectrogrammes et énergies avant et après filtrage

// filtre passe bande 1000Hz-2000Hz// gain 4, R=64, fe=8000HzR=64; fe=8000; n=0:R-1; fr=n*fe/R;

H=4*[zeros(1,R/8),ones(1,1+R/8), ... zeros(1,-1+R/2),ones(1,1+R/8), ... zeros(1,-1+R/8)]; plot2d3(fr,H) xgrid xtitle(['H2,avec R=',string(R)], ... 'fréquence (Hz)’, ‘H’)

//calcul des coefficients du filtre

h=fftshift(real(ifft(H))); plot2d3(n/fe,h) xtitle('coefficients du filtre',... 'temps (s)',... 'h=fftshift(real(ifft(H)))')xgrid();

// filtrage [y,fe]=wavread('piano.wav'); disp(fe) // fe=8000 sound(y,fe)

yf= convol(h,y); wavwrite(yf,fe,'pianofilt.wav') sound(yf,fe)

//Spectrogrammes (Goldwave)// énergie Ey=(y*y')/2 // énergie y = 163.96 Eyf=(yf*yf')/2 // énergie yf =89.62

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