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Cristaux, tenseurs, lasticit
& pizolectricit
par Vincent Laude
Institut FEMTO-ST, dpartement MN2Squipe MINANO
Micro-Instrumentation, NANosciences et Ondes 32 avenue de
lObservatoire F-25044 Besanon
Email: [email protected]
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1 Description des cristaux
1.1 Proprits
Lattnuation des ondes lastiques est dautant plus petite que le
milieu de pro-pagation est ordonn :
Dans lair (les gaz), on est limit en pratique qq 100 kHz ;
Dans leau (les liquides), on est limit 50 MhZ environ ;
Dans les cristaux on peut travailler jusqu qq GHz, voire plus.
On utiliseleffet pizolectrique pour gnrer les ondes lastiques ces
frquences.
La structure des cristaux dfinit directement les proprits
danisotropie de pro-pagation des ondes lastiques. On classe les
cristaux suivant leur symtriedorientation. Cette symtrie
microscopique se rpercute sur les proprits physi-ques
macrocopiques.
Un cristal est homogne : le comportement dchantillons de mme
orientationtaills dans un mme cristal est identique.
La notion de tenseur est le langage mathmatique privilgi pour
dcrire les pro-prits physiques et leurs relations avec les
symtries.
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1.2 Rseau cristallin
Il existe une infinit de noeuds, pointshomologues dans une
translationlmentaire :
OM=ma+nb+pc avec m,n, p entiersTous les noeuds ont le
mmeenvironnement atomique. b
a
M
O
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1.3 Mailles
Le rseau priodique peut tre vu comme un empilement de mailles,
des parall-pipdes dont les sommets sont des noeuds.
Une maille btie avec 3 vecteurs de base est simple (contient un
seul noeud).
Rseau cubique faces centres :
un noeud additionnel au centre dechaque face du cube.La maille
cubique est quadruple.La maille simple est un rhombodre(polyhdre
dont toutes les faces sontdes losanges).
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1.4 Motif
Un motif est une grappe datomes dispose aux noeuds du rseau
priodique.
Le motif peut tre compos dun seul atome
cubique faces centres : Cu, Ag, Al, Ni, Pt...
cubique centr : Li, Na, K, Cr...
Le motif peut tre compos datomes de mme nature
structure diamant : rseau cfc + 1 atome en 1/4, 1/4, 1/4 (Si,
Ge...)
Le motif peut tre compos datomes diffrents (ZnS, AsGa)
1/4, 1/4, 1/4
0,0,0
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2 Symtrie dorientation
2.1 Les 14 rseaux de Bravais
Les 14 rseaux de Bravais sont les diffrentes manires de
distribuer danslespace une infinit de noeuds ayant le mme
environnement.
Il nexiste que 7 mailles simples, dfinissant 7 rseaux
primitifs.
Il est possible suivant le cas de dfinir en plus un rseau :
centr (I)
avec un noeud sur deux faces opposes (C)
faces centres (F)
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2.2 Les 32 classes de symtrie ponctuelle des cristaux
Ladjonction du motif chaque noeud du rseau diminue la symtrie
ducristal.
Un cristal ne prsente pas ncessairement de centre de symtrie
(cristauxpizolectriques par exemple).
Les 32 classes de symtrie ponctuelle des cristaux conditionnent
laniso-tropie des constantes des matriaux (et donc lanisotropie de
la vitesse depropagation)
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3 Exemples de structures
3.1 Structure hexagonale compacte
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3.2 Structure cubique compacte (cfc)
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3.3 ZnO, AlN, CdS : systme hexagonal de symtrie 6mm
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3.4 LiNbO3 et LiTaO3 : systme trigonal de symtrie 3m
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4 Introduction aux tenseurs
4.1 Relations linaires dans un milieu anisotrope
Dans un cristal, une cause applique suivant une direction donne
en gnral nais-sance un effet orient dans une autre direction. Par
exemple, la relation entreinduction et champ lectrique est
D= E ou
D1D2D3
=
11 12 1321 22 2331 32 33
E1E2E3
ou Di=ijEj (1)
Les deux premires notations utilisent les vecteurs et matrices.
La dernireexpression est typiquement tensorielle et utilise la
convention de la sommationsur les indices rpts (ou convention
dEinstein).
Di et Ej sont des tenseurs de rang 1 ; ij est un tenseur de rang
2.
La donne des composantes du tenseur ne suffit pas le dterminer,
il faut deplus imposer sa transformation dans un changement daxes
de rfrence : on nechange pas la signification physique en faisant
tourner les axes, seulement lareprsentation du tenseur.
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4.2 Matrice de changement daxes de rfrence
Soient e1, e2, e3 et e1 , e2
, e3 deux systmes daxes de rfrence. Les composantes
du nouveau systme daxes dans lancien sont contenues dans une
matrice telleque (une matrice, pas un tenseur !)
ei=i
kek avec =
11 1
2 13
21 2
2 23
31 3
2 33
(2)
Inversement ek =kjej avec i
k kj =ij avec ij le symbole de Kronecker. Si les
repres sont orthonorms alors =T (T : transposition).
Les coordonnes dun vecteur obissent la loi de transformation
:
xi=k
i xk avec x=xkek=xiei (3)
Dans le cas o les repres sont orthonorms, les coordonnes dun
vecteur obis-sent la mme quation de transformation que les vecteurs
de base : xi
=ikxk.
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4.3 Dfinition dun tenseur
Une grandeur physique scalaire (temprature, nergie, etc.) est
invariante
du rpre choisi : f(x1, x2, x3)=f(x1 , x2
, x3 ) ; cest un tenseur dordre 0.
Un tenseur de rang 1 (ou vecteur) se transforme dans un
changementdaxes comme les vecteurs de base, soit
Ai=i
kAk (4)
Un tenseur de rang 2, ensemble de 9 grandeurs Aij se transforme
suivantla loi
Aij =i
kjl Akl (5)
La dfinition stend sans problme un rang quelconque, par exemple
3 :
Aijk =i
l jpk
qAlpq (6)
Le gradient dun vecteur, Ai/xk, est un tenseur dordre 2.
La trace Aii dun tenseur dordre 2 Aij est un tenseur dordre
0.
La relation linaire entre deux tenseurs est un tenseur. Par
exempleDi=ijEj implique que ij est un tenseur de rang 2.
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5 Elasticit
5.1 Dformations
Soit un point x de coordonnes x1, x2, x3. Les dplacements u sont
fonction de
x, donc ui(xj + dxj) =ui(xj) +ui
xjdxj au premier ordre.
ui
xj, le gradient des
dplacements, est un tenseur dordre 2.
On spare ce gradient en partie symtrique (tenseur des
dformations Sij) etantisymtrique selon
uixj
=Sij+ij avec Sij=1
2
(
uixj
+ujxi
)
et ij=1
2
(
uixj
ujxi
)
(7)
Seule la partie symtrique du gradient des dplacement mesure une
dformationlocale du rseau. La partie antisymtrique mesure les
rotations locales.
La dilatation (variation locale du volume) est Sii =S11 +S22
+S33 =.u, soit latrace du tenseur des dformations.
Les termes diagonaux S11, S22, S33 correspondent des mouvements
longitudi-naux, les termes Sij , i=/ j des mouvements de
cisaillement.
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5.2 Contraintes
A la diffrence dun fluide, les efforts de cisaillement se
transmettent traversune surface. Trois forces indpendantes peuvent
dexercer sur une surface : unecontrainte de traction-compression et
deux contraintes de cisaillement.
Sur la face orthogonale x1 dun cube lmentaire, la force par unit
de surfaceou tension mcanique est T11+T21+T31 (et des formules
similaires pour les facesorthogonales x2 et x3).
Tij est un tenseur de rang 2 symtrique, le tenseur des
contraintes. Pour unesurface lmentaire de vecteur normal l, la
tension mcanique est Tik lk.
x
x
x
T
T212
3
1
11
T31
Lquation de la dynamique scrit (avec fi les forces internes)
Tikxk
+fi=2uit2
(8)
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5.3 Loi de Hooke
Lexprience montre que le comportement lastique de la plupart des
solidesdans le cas de petites dformations obit la loi de Hooke
:
Tij=cijklSkl (9)
cest--dire que les contraintes sont une fonction linaire des
dformations.
cijkl est le tenseur des rigidits, de rang 4. Il a donc a priori
34 =81 compo-santes. Mais la symtrie de Tij et Skl impose que
cjikl=cijkl et cijlk=cijkl (10)
Il ny a donc que 36 composantes indpendantes au plus.
En dfinitive, le nombre de composantes indpendantes est fonction
du systmede symtrie du rseau du cristal considr.
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5.4 Notation contracte (ou matricielle)
Du fait des relations de symtries (10) on note
(11)1 ; (22)2 ; (33)3
(23)= (32)4 ; (31)= (13)5 ; (12)= (21)6 (11)
Tij=TI ; cijkl=cIJ ; TI =cIJSJ
S1=S11 ;S2=S22 ;S3=S33 ;S4=2S23 ;S5=2S31 ;S6=2S12 (12)
Matriaux Classe Rigidits (1010 N/m2) (103 kg/m3)
cub. ou isotrope c11 c12 c44AsGa 4 3m 11.88 5.38 2.83 5.307
SiO2 isotrope 7.85 1.61 3.12 2.203
Si m3m 16.56 6.39 7.95 2.329
hexagonal c11 c12 c13 c33 c44PZT-4 trans. iso. 13.9 7.8 7.4 11.5
2.6 7.5
ZnO 6mm 21.0 12.1 10.5 21.1 4.2 5.676
trigonal c11 c12 c13 c33 c44 c14Al2O3 3m 49.7 16.3 11.1 49.8
14.7 -2.3 3.986
LiNbO3 3m 20.3 5.3 7.5 24.5 6.0 0.9 4.7
quartz (SiO2) 32 8.7 0.7 1.2 10.7 5.8 -1.8 2.648
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6 Pizolectricit
6.1 Origine physique de la pizolectricitEffet pizolectrique
direct : sous laction dune contrainte ou dune dforma-tion, une
polarisation lectrique apparat (cest--dire une dformation non
sym-trique de la maille cristalline et/ou du nuage
lectronique).Effet pizolectrique inverse (ou effet Lippman) : un
champ lectriqueappliqu provoque une dformation de la maille
cristalline ou une contrainte.Leffet pizolectrique napparat que
pour les structures cristallines non centro-symtriques.
6.2 Relations constitutivesOn considrant uniquement le rgime
linaire, on peut poser
Tij = cijklSklekijEk (13)
Di = eiklSkl+ijEj (14)
ou en notation contracte pour la partie mcanique
TI = cIJSJ ekIEk (15)
Di = eiJSJ +ijEj (16)
Le tenseur ik l=iJ est symtrique par rapport ses deux derniers
indices.
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6.3 Approximation quasi-statique
Du fait du couplage pizolectrique, une onde lectromagntique
accompagnelonde lastique. Les quations de Maxwell dans un milieu
dilectrique (isolant)sont :
E=B
t; H=
D
t; .D=0 ; .H=0 ; B=0H (17)
Les frquences mises en jeu sont trs petites devant celles des
ondes optiques, desorte que les drives temporelles sont trs petites
:
E= iB 0 et H=iD0
Cette hypothse dcouple les champ lectriques et magntiques.
Enfin, le champlectrique tant irrotationnel il drive dun potentiel
scalaire selon E=.Les quations constitutives deviennent
TI = cIJSJ +ekI,k (18)
Di = eiJSJ ij,j (19)
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6.4 Reprsentation matricielle des relations constitutives
On regroupe les tenseurs des quations (15-16) en un tableau de
constantes :
c11 c12 . . . .
c12 c22 . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
c16 . . . . c66
e11 e21 e31e12 . .
. . .
. . .
. . .
e16 . e36
e11 e12 . . . e16e21 . . . . .
e31 . . . . e36
11 12 1312 . .
13 . 33
Cette reprsentation est commode pour reprer les couplages
possibles suivant lasymmtrie cristalline, mais galement pour
reprsenter les donnes constantesdes matriaux dans un programme de
simulation numrique.
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6.5 Conditions aux limites
Conditions aux limites mcaniques
Pour deux solides rigidement lis, le dplacement est continu en
tout pointde la frontire entre deux milieux M et M : ui =ui
. De mme, la ten-sion mcanique est continue : Tij lj=T ij
lj avec lj la normale .
Sur une surface libre, les dplacements sont non spcifis et T ij
lj=0.
Sur une surface bloque, les contraintes sont non spcifies et
ui=0.
Conditions aux limites lectriques
Dans lapproximation quasi-statique, elles relvent de
llectrostatique.
A une interface , = et Et =Et (le potentiel et la partie
tangentielle
de E sont continus).
Si la surface est charge (interface dilectrique-mtal par
exemple) alors(Di
Di) li = ( : densit superficielle de charge). Entre deux
dilectri-
ques, la composante normale de D est continue.
Si la surface est en court-circuit (par lintermdiaire dun film
mtalliquemis la masse par exemple) alors =0.
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6.6 Thorme de Poynting et bilan nergtique
En exprimant le travail des forces mcaniques et des forces
lectriques on obtientle thorme de Poynting pour les milieux
pizolectriques sous la forme :
dW
dt=
d
dt(Ec+Ep)+
Pj lj ds (20)
avec
lnergie cintique Ec=
ec dV et ec=1
2vi
2
lnergie potentielle Ep=
ep dV et ep=1
2(SijTij+EkDk)
le vecteur de Poynting Pj=Tij vi+(E H)j
Comme dans le cas des fluides, le thorme de Poynting exprime que
le travailfourni par les sources internes au volume V est
partiellement emmagasin sousforme dnergie cintique et potentielle
et partiellement rayonne travers lafrontire . Le flux du vecteur de
Poynting reprsente cette puissance rayonne.
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