CTN-762_Cours05_H2010_v1 [Mode de compatibilité]

1

COURS 5 :

HYDROLOGIE

STATISTIQUE

CTN-762 – Ressources hydriquesÉcole de technologie supérieure (Québec)2 février 2010

Marie Minville

- PARTIE 1 -

Objectifs

E pliq e l’ tilité et les conte tes d’application de l’h d ologie

OBJECTIF DU COURS 5

Expliquer l’utilité et les contextes d’application de l’hydrologie statistique par rapport à l’hydrologie déterministe

Choisir et utiliser différentes lois statistiques pour le calcul des fréquences (probabilités, périodes de retour) des variables hydro-climatiques

2

Références

Notes de cours Chapitre 2: Pages 2.1 à 2.21 (le reste du chapitre au cours 6)

Problèmes Chapitre 2: Numéros 1 à 6 (le numéro 7 pourra être complété après le cours 6).

2

Introduction à l’hydrologie statistique

PLAN DU COURS

Introduction à l hydrologie statistique

Concept de « Période de retour »

Analyse des fréquences

– Graphique

– Analytique

3

Inférence statistique

Ajustement des données

Synthèse

Observations météorologiques et

hydrométriques

Caractéristiques du bassin versant

Caractéristiques du système hydrique

INTRODUCTION À L’HYDROLOGIE STATISTIQUESTATISTIQUE EN RESSOURCES HYDRIQUES

Modèles hydrologiques

éModèles

Probabilistes Déterministes

Règles d Modèles deCaractéristiques de

4

Modèles hydrauliques

Débits

Niveaux

Modèles d’optimisation

de gestion

Modèles de simulation

Opérations des réservoirs:

déversements, production

hydroélectrique,…

Caractéristiques de la rivière

3

é é é é

INTRODUCTION À L’HYDROLOGIE STATISTIQUEPROBABILISTE VS DÉTERMINISTE

Modèles hydrologiques

Données météos et de débits

Caractéristiques du bassin versant

Probabilistes Déterministes

Longues séries d’observations

hydro-climatiques

5

DébitsCombinaison de la statistique et de l’hydrologie déterministe

Répondre à des questions comme :

INTRODUCTION À L’HYDROLOGIE STATISTIQUEÀ QUOI ÇA SERT?

– Quel débit dans la rivière Romaine est susceptible de survenir à chaque 2, 5, 10, 20, 50, 100, 1000 ans, etc ?

– Quel est la probabilité que le débit de la rivière Manicouagan soit supérieur à 1200, 2000, 5000 m3/s, etc ?

– Quelle est la précipitation maximale probable au site de construction du nouveau barrage Eastmain-Rupert?

6

Un exemple d’actualité: Royaume-Uni

– Sur un historique de 30 ans: 1980 à 2009– Moyenne des précipitations neigeuses journalières maximales = 3 cm

(avec un écart-type de 1,4 cm) – 2009 : Une précipitations neigeuses = 25 cm– Quelle est la probabilité, la période de retour de cet événement?

4

Déterministe Probabiliste (Ex.: Débits)

INTRODUCTION À L’HYDROLOGIE STATISTIQUEPROBABILISTE VS DÉTERMINISTE

INFILTRATION ET PERTES

FONTE DE LA NEIGE

++ RUISSELLEMENT

== ++

7

==Probabilité que le débit soit:

supérieur à... inférieur à...

de période de retour de...

Sert à :

INTRODUCTION À L’HYDROLOGIE STATISTIQUEUTILITÉ DE L’HYDROLOGIE STATISTIQUE

– Établir des critères de conception

– Vérifier la performance d’un ouvrage existant

Donc on s’intéresse :

– Aux valeurs de débits et de précipitations

l

8

• Maximales

• Moyennes

• Minimales

5

Ex.: Analyse statistique des débits maxima annuels


y q(résultant d’une pluie)

++ ==Probabilité que le débit

résultant d'une pluie soit:

supérieur à... inférieur à...

9



Ex.: Analyse statistique des débits maxima annuels (résultant de la fonte)

++ ==Probabilité que le débit

de crue printanière soit:

é à fé à

10

++ supérieur à... inférieur à...


6


++ == Probabilité que la pluie soit:

supérieure à inférieure à

Ex.: Analyse statistique des précipitations maximales estivales-automnales

11

++ == supérieure à... inférieure à...


Le « modèle », c’est la « loi statistique », aussi appelée

« distribution »

E C bi i d l’h d l i dét i i t t

C’est ce que vous faites dans votre

projet de session pour déterminer votre

débit de conception!


Ex.: Combinaison de l’hydrologie déterministe et de l’hydrologie statistique

++ ==

12

Traitement statistique d’une variable météorologique

Modélisation hydrologique déterministe

Débit résultant d’une précipitation d’une période

de retour quelconque

7

Vous avez déjà une expérience en h d l i t ti ti !

C’est ce que vous faites dans votre

projet de session pour déterminer votre

débit de conception!


hydrologie statistique! débit de conception!

Moyenne Écart-type

x k

k

13

x k

Données de base en hydrologie statistique

INTRODUCTION À L’HYDROLOGIE STATISTIQUEDONNÉES REQUISES

– Longues séries de données observées

• Homogènes, stationnaires et indépendantes

• Donc, attention aux facteurs suivants:

– Crues printanières vs estivales-automnales

– Relocalisation de stations de mesures

14

– Détournements de rivière

– Urbanisation

– Changements climatiques

– Débits journaliers

8

Facteurs déterminant pour le choix d’une méthode ( t ti ti dét i i t )

INTRODUCTION À L’HYDROLOGIE STATISTIQUECHOIX D’UNE MÉTHODE DE MODÉLISATION

(statistique ou déterministe)

• Objectifs de modélisation?

– Conception, prévision, projection

• Disponibilités des données observées?

– Nombre d’années de données disponibles (échantillon)

15

• Caractéristiques du bassin versant connues?


PLAN DU COURS




– Graphique

– Analytique

16



Synthèse

9

Effet de la taille d’un bassin versant sur les périodes de eto (T) (p 5 2 des notes de co s)

CONCEPT DE PÉRIODE DE RETOURIMPACT DE LA TAILLE DU BASSIN VERSANT

PluieNeige

Pluie

Débit maximum

annuel Neige

Débit maximum

annuel

Grands bassins septentrionaux

retour (T) (p 5.2 des notes de cours)

Petits à moyens bassins septentrionaux

17

T (années)

2 500

T (années)

2 500

Utilité du concept de « période de retour »

CONCEPT DE PÉRIODE DE RETOURC’EST QUOI?

– Sert à caractériser la fréquence d’apparition d’un événement

– Ex. pour une pluie de 24 heures:

• À Rivière-du-Loup, une pluie de 64 mm est une pluie de période de retour de 10 ans. Une pluie supérieure à 64 mm se produit en moyenne à la fréquence d’une fois tous les 10 ans.

Définition de « période de retour » (T)

1Probabilité (Pluie > 64mm)=

10

18

– C’est la période moyenne (généralement en année(s)) qui sépare l’apparition d’événement X dont la magnitude est supérieure à une valeur donnée x

1T=

P(X>x)

On veut connaître la probabilité qu’une pluie de hauteur X soit supérieure à la

hauteur x = 64 mm Mais comment?!

10

Probabilité qu’un événement soit supérieur à un autre é énement

CONCEPT DE PÉRIODE DE RETOURCOMMENT ON LA CALCULE?

événement

On doit faire l’analyse des fréquences

– 2 méthodes pour l’analyse des fréquences théoriques:

1T=

P(X>x)Probabilité

19

• Graphique

• Analytique

– Permet de déterminer les probabilités des événements et la fréquence des événements… donc indirectement leur période de retour


PLAN DU COURS




– Analytique

– Graphique

20



Synthèse

11

2 méthodes pour faire une analyse de fréquence

ANALYSE DE FRÉQUENCEINTRODUCTION

– Graphique

Analytique

21

– Analytique

Loi Normale

Loi Log-Normale

Loi Pearson

Loi Gumbel

Loi Log-Pearson


PLAN DU COURS




– Graphique

– analytique

22



Synthèse

12

Exemple pour la rivière Toupitchoune

ANALYSE DE FRÉQUENCEMÉTHODE GRAPHIQUE

EXERCICEPRATIQUE 1

– L’entrepreneur pour lequel vous travaillez doit construire une digue aux abords de la rivière Toupitchoune pour éviter qu’une réserve des premières nations ne soit inondée.

• Quel est le critère de dimensionnement?

• Quel est le débit correspondant?

Vous disposez de 66 ans de données, de 1940 à 2005.

23

Vous disposez de 66 ans de données, de 1940 à 2005.

Vous supposez que les débits suivent une loi normale

Étapes pour l’analyse de fréquence graphique (p.2.11)


– Étape 0.

• Extraire le débit maximum printanier à chaque année

– Étape 1.

• Classer les débits en ordre décroissant

– Étape 2.

24

• Calculer la fréquence expérimentale (appelée “de Weibull”) de chaque débit

ii

mf= [eq. 2.7]

n+1

13

Étapes pour l’analyse de fréquence graphique (suite)


– Étape 3.

• Positionner les couples « fréquence expérimentale » fonction du « débit » correspondant sur le papier à probabilité

– Étape 4.

• Tracer la meilleure droite dans le nuage de points

– Étape 5

25

Étape 5.

• Interpoler ou extrapoler pour connaître:

– La fréquence d’une valeur de débit quelconque

– Le débit correspondant à une probabilité quelconque

Les informations à extraire du papier à probabilité


– Probabilité au dépassement:

Probabilité qu’un débit X soit supérieur à une valeur de débit x

P(X>x)

26

– Probabilité au non-dépassement:

Probabilité qu’un débit X soit inférieur ou égal à une valeur de débit x

P(X x)

14

Les informations à extraire du papier à probabilité


– Période de retour:

Période moyenne qui sépare l’apparition d’événement X dont la magnitude est supérieure à une valeur donnée x

1T=

P(X>x)

27

1T=

1-P(X x)

Une petite question supplémentaire…


28

15

Avantages


– Facile d’utilisation

– Évaluation visuelle de l’applicabilité d’une loi statistique

Inconvénients

– Manque de précision

– Papiers à probabilité seulement pour certaines lois statistiques

29

p p p q

Papiers à probabilité

Log-Normale

À télécharger sur le site web

du coursANALYSE DE FRÉQUENCEMÉTHODE GRAPHIQUE

Normale

Note: pour les problèmes 1 et 3,

30

Gumbel

vous devez résoudre la méthode graphique selon les lois log normale et normale respectivement, en plus de la méthode analytique pour toutes les lois demandées.

16


PLAN DU COURS




– Graphique

– Analytique

31



Synthèse

k

ANALYSE DE FRÉQUENCEMÉTHODE ANALYTIQUE

Loi Normale

Loi Pearson III

Loi Gumbel

L i L P III

x k

32

Loi Log-Normale

Loi Log-Pearson III

17

Est fondée sur les lois de probabilités


– L’équation de base, valide peu importe la loi statistique utilisée:

x k

Variable d’une fréquence voulue(Ex. le débit de la rivière Toupitchoune

Écart-type de l’échantillon (Ex.: Écart-type des débits maxima

annuels printaniers de la rivière Toupitchoune de 1940 à 2005)

33

( ppour une période de retour 100 ans)

Moyenne de l’échantillon (Ex.: Moyenne des débits maxima annuels printaniers de la rivière Toupitchoune de 1940 à 2005)

Facteur de fréquence (Ex.: Facteur qui dépend de la loi

statistique et de la période de retour)

Pour un échantillon: xx x ks

Comment choisir un facteur de fréquence « k »

x k ANALYSE DE FRÉQUENCEMÉTHODE ANALYTIQUE

– Ça dépend de la variable étudiée (tableau 2.1 p. 2.7)

Fonctions de densité

Variable hydrologique

Normale Log-normale

Précipitation annuelle, débits, stockage en réservoir Débit maximum annuel, précipitation journalière et annuelle, volume de ruissellement mensuel et annuel

CTN-762

34

Log-Pearson III Valeur extrême type 1 (Gumbel) Exponentielle Gamma

ruissellement mensuel et annuelMême que log-normale Débit maximum annuel Précipitation journalière, durée entre deux événements Précipitation journalière, mensuelle, annuelle, ruissellement annuel

18

Que nous permet de connaître le facteur de fréquence « k »?


– Ex.: Table de la loi normale (tableau 2.3 p.2.14)

k

k

La probabilité « P » associée à un facteur de fréquence

« k = 1,32 » est P = 0,4066

35

Exemple pour d’autres lois statistiques


– Loi Gumbel (p.2.16)

Taille de l’échantillon

Intervalle de récurrence (années)

5 10 15 20 25 50 75 100 1000

152025

0,9670,9190,888

1,7031,6251,575

2,1172,0231,963

2,4102,3122,235

2,6322,5172,444

3,3213,1793,088

3,7213,5633,463

4,0053,8363,729

6,2656,0065,842

303540

0,8660,8510,838

1,5411,5161,485

1,9221,8911,866

2,1882,1522,126

2,3932,3542,326

3,0262,9792,943

3,3933,3413,301

3,6533,5983,554

5,7275,576

45 0,829 1,478 1,847 2,104 2,303 2,913 3,268 3,520 5,478

Le facteur « k » associé à une

période de retour « T » fonction

36

5055

,0,8200,813

,1,4661,455

,1,8311,818

,2,0862,071

,2,2832,267

,2,8892,869

,3,2413,219

,3,4913,467

,

606570

0,8070,8010,797

1,4461,4371,430

1,8061,7961,788

2,0592,0482,038

2,2532,2412,230

2,8522,8372,824

3,2003,1833,169

3,4463,4293,413

5,359

758085

0,7920,7880,785

1,4231,4171,413

1,7801,7731,767

2,0292,0202,013

2,2202,2122,205

2,8122,8022,793

3,1553,1453,135

3,4003,3873,376

9095

100

0,7820,7800,779

1,4091,4051,401

1,7621,7571,752

2,0072,0021,998

2,1982,1932,187

2,7852,7772,770

3,1253,1163,109

3,3673,3573,349

5,261

« T », fonction de la taille de

l’échantillon « n »

19



– Atlas des fréquences utilise la loi de Gumbel

• Pour obtenir le k pour d’autres T (équation 2.15)

1lnln5572,07797,0

T

TK

37

Vous devez déterminer un orage de conception pour T=1000 dans votre projet de session



– Loi Pearson type III (tableaux 3.5 p.2.18 et 2.19)

Le facteur « k » associé à une

période de retour « T », fonction d’un coefficient

d’asymétrie « Cs »

38

Cs + Cs -

20

Le débit de conception de la rivière Toupitchoune selon la méthode anal tiq e


EXERCICEPRATIQUE 2

méthode analytique

– La question était donc:

Quel est le débit correspondant à une période de retour 1:100 ans si les débits maxima annuel printaniers obéissent à une distribution normale?

Cette variable peut aussi suivre d’autres lois (p.2.7)

39

– S’ils obéissent à une distribution:

• Gumbel?

• Pearson III?

• log-normale?

• log-Pearson III?

Tableau comparatif


Loi Méthode graphique

Méthode analytique

Normale117 000 pi3/s 116 264 pi3/s

Gumbel Serait à évaluer 139 290 pi3/s

40

é a uePearson III

--- 117 479 pi3/s

Log-Normale Serait à évaluer

144 351 pi3/s (méthode 1)

131 926 pi3/s (méthode 2)

Log-Pearson III --- 147 967 pi3/s

(méthode 1) 134 592 pi3/s(méthode 2)

21

Les méthodes graphique et analytique impliquent que l’on é d’ l i d b bilité

ANALYSE DE FRÉQUENCESI ON RÉCAPITULE

présume d’une loi de probabilité

– La loi est choisie selon la variable à analyser

Il n’existe pas de solution pour choisir LA meilleure loi statistique

Toutefois, après avoir choisi une loi statistique en émettant l’hypothèse qu’elle était représentative des données, il est

41

possible d’accepter ou rejeter la loi initialement choisie

– Il s’agit de faire de l’inférence statistique


PLAN DU COURS




– Analytique

– Graphique

42



Synthèse

22

Il n’existe pas de solution pour choisir LA meilleure loi statistiq e

INFÉRENCE STATISTIQUETEST DU KHI-CARRÉ

statistique

Il y a des tests statistiques pour rejeter ou accepter une loi statistique

– Test du Khi-Carré

Parallèle entre hydrologie déterministe et statistique:

– En hydrologie déterministe – Nash-Sutcliffe

CTN-762

43

En hydrologie déterministe Nash Sutcliffe

• Indication du degré de confiance qu’on peut avoir envers le modèle d’hydrologie déterministe

– En hydrologie statistique – Khi-Carré

• Indication du degré de confiance (rejet ou acceptation d’une loi) envers le modèle (la loi statistique)

C’est quoi?


– Test qui permet d’accepter ou de rejeter une loi statistique.

Ex.: Est-ce que les débits de la rivières Toupitchoune obéissent à une loi normale?

2 composantes à vérifier:

2 2

Trouvée dans une table de statistique

(p.2.21)??

44

2c

21 ,v

Calculée à partir de l’échantillon de débits et la loi

statistique

??

Si oui, on rejette la loi statistique

23

2 21 ,c INFÉRENCE STATISTIQUE

TEST DU KHI-CARRÉ

45

La question est donc:


TEST DU KHI-CARRÉ

– Est-ce que les débits maxima printaniers de la rivière Toupitchoune obéissent à la loi normale?

Le test repose sur la comparaison des fréquences expérimentales (observations) et théoriques (lois de probabilités)

2n O E14

16

18

20

46

2

1

ni i

ci i

O E

E

Fréquences expérimentales

Fréquences théoriques

0

2

4

6

8

10

12

0-30000 30000-45000

45000-60000

60000-75000

75000-90000

90000-105000

105000-et+

24


PLAN DU COURS




– Analytique

– Graphique

47



Synthèse

Les données utilisées pour les méthodes graphiques et l ti t êt i f it

AJUSTEMENT DES DONNÉESPOURQUOI AJUSTER LES DONNÉES?

analytiques peuvent être imparfaites

– Données manquantes – Données singulières

48

25

Que faire s’il y a des données manquantes?

AJUSTEMENT DES DONNÉESDONNÉES MANQUANTES

– 2 situations

• L’acquisition des mesures par l’appareil a cessé en raison d’un événement extrême

– Remplacer les données manquantes

• Pour les précipitations: Méthodes vues au cours 3

49

• Pour les débits: Transposition au site non-jaugé (cours 6)

• Le propriétaire de l’appareil a cessé de prendre des mesures

– Ne rien faire

Que faire s’il y a des données singulières?

AJUSTEMENT DES DONNÉESVALEURS SINGULIÈRES

– C’est délicat…

• S’il est démontré que c’est un équipement qui est dysfonctionnel

– Remplacer les données singulières

• Pour les précipitations: Méthodes vues au cours 3

50

• Pour les débits: Transposition au site non-jaugé (cours 6)

• Sinon

– Conserver les données singulières pour les études statistiques

26


PLAN DU COURS




– Analytique

– Graphique

51



Synthèse

En hydrologie statistique

SYNTHÈSE HYDROLOGIE STATISTIQUE EN BREF

– Plus l’échantillon utilisé est grand, meilleurs sont les résultats de l’analyse

– Une analyse des fréquences permet de déterminer par exemple:

• À quelle fréquence est susceptible de survenir un événement?

– 900 m3/s tous les 10 ans? tous les 20 ans?

Q ll l b bili é ’ é é i ?

52

• Quelle est la probabilité qu’un événement survienne?

– Probabilité d’observer un débit de 900 m3/s

– Utiliser surtout pour :

• Conception

• Vérification d’ouvrages existants

27

Limitations :

SYNTHÈSE LIMITATIONS DE L’HYDROLOGIE STATISTIQUE

– Extrapolation incertaine (surtout avec un historique relativement court)

– Ne permettent pas, entre autres, d’étudier les modifications du bassin ou les changements climatiques

53

54

28

P(X>x) en %P(X>x) en %

55

P(X x) en %

ANNEXE: INFÉRENCE STATISTIQUETEST DU KHI-CARRÉ

56

29

Étapes pour compléter le test du Khi-Carré

2

2

1

ni i

ci i

O E

E

INFÉRENCE STATISTIQUE

TEST DU KHI-CARRÉ

– Étape 1: Déterminer les fréquences expérimentales Oi

nbr de classes = 1 + 3,3 log(n)nbr de classes = 1 + 3,3 log(66) nbr de classes = 7

Intervalles Fréquence expérimentale Oi

<30000 2

[30000 45000[ 716

18

20

57

[30000; 45000[ 7

[45000; 60000[ 15

[60000; 75000[ 18

[75000; 90000[ 15

[90000; 105000[ 6

[105000; [ 3

Total: 66

0

2

4

6

8

10

12

14

0-30000 30000-45000

45000-60000

60000-75000

75000-90000

90000-105000

105000-et +


2

2

1

ni i

ci i

O E

E


TEST DU KHI-CARRÉ

10

12

14

16

18

20

– Étape 2: Déterminer les fréquences théoriques Ei

Fréquence théorique de la 1ère

classe E1.C’est la probabilité que le débit

soit inférieur à 30000 pi3/s, multipliée par le nombre

d’années dans l’échantillon

Fréquence théorique de la 2ième

classe E2.C’est la probabilité que le débit

soit compris entre 30000 et 45000 pi3/s, multipliée par le nombre

d’années dans l’échantillon

58

0

2

4

6

8

10

0-30000 30000-45000

45000-60000

60000-75000

75000-90000

90000-105000

105000-et+

30


2

2

1

ni i

ci i

O E

E


TEST DU KHI-CARRÉ

– Étape 2: Suite

Intervalles Fréquence théorique Ei

<30000 2,42

[30000; 45000[ 6,91

[45000; 60000[ 14,43 10

12

14

16

18

20

Oi

Ei

59

[60000; 75000[ 18,46

[75000; 90000[ 14,44

[90000; 105000[ 6,91

[105000; [ 2,43

Total: 66

0

2

4

6

8

0-30000 30000-45000 45000-60000 60000-75000 75000-90000 90000-105000 105000-et +


2

2

1

ni i

ci i

O E

E


TEST DU KHI-CARRÉ

– Étape 3: Calcul du Khi-Carré calculéc2

Intervalles Fréquence théorique Ei

<30000 2,42

[30000; 45000[ 6,91

[45000; 60000[ 14,43

[60000; 75000[ 18 46

Fréquence expérimentale Oi

2

7

15

18

(Oi-Ei)2/Ei

0,0737

0,0013

0,0223

0 0112

60

[60000; 75000[ 18,46

[75000; 90000[ 14,44

[90000; 105000[ 6,91

[105000; [ 2,43

Total: 66

18

15

6

3

66

0,0112

0,0216

0,1208

0,1351

c2 = 0,3861

C’est une mesure de l’écart entre l’échantillon (expérimental) et la loi (théorique)

31



– Étape 4: Comparaison du Khi-Carré calculé 2c avec

le Khi-Carré théorique 2 1-,

2 21 ,c

Seuil de confiance

Degré de liberté

61

Calculée à partir de l’échantillon de débits et la loi

statistique

Trouvée dans une table de statistique

(p.2.21)



TEST DU KHI-CARRÉ

– Étape 4c: Détermination Khi-Carré théorique 2 1- ,

62

32



TEST DU KHI-CARRÉ

– Étape 4a: Détermination du seuil de confiance

• En hydrologie, la valeur type du seuil de confiance (seuil de signification) est 5 %.

5%

1 95%

63

1 95%



TEST DU KHI-CARRÉ

– Étape 4b: Détermination du degré de liberté

1k c

Nbr de classes (7 dans Nbr de paramètres de la loi

64

(cet exemple)

p(2 pour la loi normale)

7 2 1

4

33



TEST DU KHI-CARRÉ

– Étape 4c: Détermination Khi-Carré théorique 2 1- ,

4 1 95%

65



TEST DU KHI-CARRÉ

– Étape 4d: Rejet ou acceptation de la loi normale comme étant représentative de l’échantillon de débits

é é à

2

21 ,

0,3861

9, 49

c

On ne rejette pas la loi normale 2 2

1 ,c

66

– L’échantillon de débits maxima annuels printaniers à la rivière Toupitchoune obéit à la loi normale

– S’ils n’avaient pas obéis:

• Choisir une autre loi statistique

• Recommencer l’analyse des fréquences

• Refaire le test du Khi-carré

34

Si on récapitule14

16

18

20

2

2

1

ni i

ci i

O E

E


– Le test du Khi-Carré permet de rejeter ou accepter une loi statistique

2 21 ,c

6

8

10

12

14

Oi

Ei

Si rejet

67

– Si la loi est rejetée, c’est que l’échantillon (Q, P) n’obéit pas à cette loi.

0

2

4

0-30000 30000-45000 45000-60000 60000-75000 75000-90000 90000-105000 105000-et +

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