D3644 Commande Numerique MS

Commande numrique des machines synchrones

par Jean-Paul LOUISIngnieur ENSEM (cole nationale suprieure dlectricit et de mcanique de Nancy )Docteur s SciencesProfesseur des Universits Laboratoire dlectricit, signaux et robotiquecole normale suprieure de Cachan

et Claude BERGMANNAgrg de gnie lectriqueDocteur de lUniversit Paris XIProfesseur des Universits LR2EP-IRESTEIUT de Nantes

1. Modlisation fonctionnelle de la machine synchrone .................. D 3 644 - 21.1 Modlisation au sens de Park..................................................................... 21.2 Modle de commande ................................................................................ 4

1.3 Diagrammes vectoriels de la machine synchrone.................................... 51.4 Commande dans le repre (a-b-c) des machines ples lisses.............. 7

2. Autopilotage et commande dans le repre rotorique ................... 102.1 Autopilotage et reconstruction de ltat .................................................... 102.2 Algorithme de compensation totale .......................................................... 112.3 Compensation avec effet intgral .............................................................. 122.4 Rgulation de type P et PI ou IP dans le rfrentiel d-q

(algorithmes sans compensation des f.c..m.) ......................................... 13

3. Autopilotage et boucles de courants dans le repre statorique 173.1 Commande proportionnelle matricielle..................................................... 173.2 Commande proportionnelle-intgrale matricielle .................................... 18Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie lectrique D 3 644 - 1

i lon admet que la commande de londuleur est ralise de faon efficace(voir dans ce trait les articles Commande numrique. Systmes triphass :

rgime permanent [D 3 642] et Commande numrique. Rgimes intermdiaireset transitoires [D 3 643]), la commande des machines lectriques courant alter-natif se dduit largement de leurs proprits telles quon les observe sur leursquations. Ltape de la modlisation en vue de la commande de ces machi-nes est donc cruciale, puisque en fait les commandes sont des modlesinverses dduits des modles directs . Nous nous appuyons ici sur les outilsmathmatiques prsents au dbut des articles que nous venons de citer (matri-ces de Clarke, Concordia, Park, transformations de Concordia ). Nous ne repren-drons pas ici les questions tudies dans les premiers articles (effet de ladiscrtisation, commande des onduleurs ) qui interviennent videmment. Nous

4. Contrle en courant dans le repre statorique avec reconstructeur dtat.................................................................... 21

5. Conclusion ................................................................................................. 22

Pour en savoir plus........................................................................................... Doc. D 3 644

S

COMMANDE NUMRIQUE DES MACHINES SYNCHRONES ______________________________________________________________________________________

Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dD 3 644 - 2 Techniques de lIngnieu

insisterons surtout sur ce qui est propre aux machines courants alternatifs tri-phass. Dans le cas de la machine synchrone, nous dtaillerons les deux typesprincipaux de stratgies de commande :

dans le repre statorique (stratgie dite aussi : dans le rfrentiel a-b-c ), que lon peut dduire des quations initiales de la machine( non transformes ) ;

dans le repre rotorique (stratgie dite aussi : dans le rfrentiel d-q ),qui se dduisent naturellement des quations transformes au sens de Park.

Nous dgagerons pour chacune, les intrts, et les limites, de ces stratgies.Nous montrerons aussi la possibilit dune stratgie mixte .

Nous verrons aussi quune bonne modlisation permet damliorer lescommandes en compltant les rgulations classiques (type proportionnel-intgral ) par des termes de compensation qui permettent de dcoupler lesaxes d et q , laxe d tant ddi au rglage du flux et laxe q tant ddi aurglage du couple.

Cette approche favorise principalement les machines dont le champ possdeune distribution sinusodale, alimentes par des onduleurs de tension. Nousconsidrerons, cependant, le cas des machines distribution trapzodale .

Au total, on dfinit diffrents types dalgorithmes. Certains sont assez courts,dautres plutt longs et le choix de lalgorithme se fait au terme dun compromisque le concepteur doit effectuer entre les performances dsires et le cot delimplantation.

1. Modlisation fonctionnelle de la machine synchrone

1.1 Modlisation au sens de Park

Nous considrons ici le cas de la machine synchrone 2p1ples saillants sans amortisseurs (figures 1 et 2). Les tensions,flux, courants statoriques (triphass) sont crits avec une nota-tion vectorielle : (v3), (i3), ( Y 3). Quand on voudra crire un quel-conque de ces trois vecteurs, on le notera (x3). Les mmesgrandeurs rotoriques (excitation monophase) sont notes :vf , Y f , if . Les relations qui existent entre ces grandeurs sontbrivement rappeles ci-aprs.

Figure 1 Machine synchrone : reprsentation idalise

Axe de rfrence (phase a)

Axe rotorp1

b' c

a a'

c' b

f

f'

Axe de rfrence

Axe rotor

p1 ia

ib

ic

if

va

vb

vc

vfexploitation du droit de copie est strictement interdite.r, trait Gnie lectrique

1.1.1 quations des flux et des tensions

Les flux statoriques et rotoriques ont pour expression :

( Y 3) = Ls(i3) + Msfif (1)

Y f = Mfs(i3) + Lfif (2)

avec Lf inductance propre de lenroulement dexcitation.

Les quations des tensions scrivent :

(v3) = Rs(i3) + d( Y 3)/dt (3)

vf = Rfif + d( Y f)/dt (4)

Dans les machines ples saillants (sans amortisseurs), lamatrice des inductances propres statoriques est une fonction de laposition. La matrice des inductances Ls , au sens de la thorie dupremier harmonique, contient deux termes : Ls0 , qui est constant, et

Figure 2 Machine synchrone : reprsentation symbolique

_____________________________________________________________________________________ COMMANDE NUMRIQUE DES MACHINES SYNCHRONES

Ls2( q ) qui est fonction de langle 2p1 q (avec q position du rotor,cf. figure 1) :

Ls = Ls0 + Ls2( q ) (5)

Le terme Ls0 a pour expression :

(6)

Le terme variable scrit, dans le cadre de la thorie du premierharmonique :

Ls2 ( q )

(7)

Les inductances propres et mutuelles Ls0 , Ms0 et Ls2 sont desconstantes.

La matrice de couplage entre stator et rotor a pour expression :

(8)

On posera aussi : M = M0 . La matrice de couplage rotor-stator vrifie :

Mfs = tMsf (9)

1.1.2 Transformations de Concordia et Park

Nous avons dfini dans larticle Commande numrique, systmestriphass : rgime permanent [5] les notations et les outils ncessai-res pour crire les transformations triphases/diphases classiques.Pour les composantes de Concordia, les variables sont notes x0 ,

pour lhomopolaire, et (x2) = pour le diphas. Pour les compo-

santes de Park, on conserve le mme homopolaire x0 et le diphasCela signifie, gomtriquement, que lon remplace dabord

Ls0

Ls0 Ms0 Ms0Ms0 Ls0 Ms0Ms0 Ms0 Ls0

=

= L s2 2

p

1

q

cos 2

p

1

q

2

p

3

( )

cos 2

p

1

q

2

p

3

+

( )

cos

2 p 1 q 2 p 3 ( ) cos 2 p 1 q 2 p 3 + ( ) cos 2 p 1 q cos2

p

1

q

2

p

3

+

( )

cos 2

p

1

q

cos 2

p

1

q

2

p

3

( )

cos

Msf M0

p1 qcos

p1 q 2 p 3( )cosp1 q 2 p 3+( )cos

=

3 2

xa

xb

xd

Figure 3 Machine quivalente au sens de Concordia

Figure 4 Machine quivalente au sens de Park

Axe de rfrence

p1 i

Axe de rfrence

p1 i

ii

Axe de rfrence

Axe d

Axe q

p1

id

if

iqToute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie lectrique D 3 644 - 3

est not (xdq) = . Les matrices utilises pour les transformations

sont :

T31 = , T32 =

P ( x ) =

Nous posons les transformations de Concordia, puis de Park, desvariables triphases (tensions, courants, flux) comme dfinies auparagraphe 1.3 de D 3 642 [5] :

(x3)s = T31x0 + T32(x2)s = T31x0 + T32P ( x ) (xdq) (10)

Les variables du type xdq , de composantes xd et xq , sont les composantes relatives de Park ou grandeurs des deux axes ,ou variables daxe direct et daxe en quadrature. Pour allger ledveloppement, nous supposons que les composantes homopolai-res sont nulles, ce qui est le cas pratique le plus frquent. Lexamendes quations aux flux montrent que les relations se simplifient for-tement si lon choisit la valeur particulire :

x = p1 q (11)

lenroulement triphas (a, b, c) de la figure 2 par lenroulementdiphas quivalent au sens de Concordia ( a, b) de la figure 3, puispar lenroulement diphas au sens de Park (d, q) de la figure 4. Lesenroulements (d, q) sont fictifs et ils tournent en phase avec le rotor.Les quations aux flux deviennent :

( Y dq) = (idq) + M if avec = (12)

Y f = Mid + Lfif (13)

o Ld = Lcs + (3/2) Ls2 reprsente linductance daxe d, Lq = Lcs (3/2) Ls2 reprsente linductance daxe q, et Lcs = (Ls0 Ms0)

Ces quations aux flux sont linaires coefficients constants etla position napparat plus. De mme, les quations relatives auxtensions deviennent :

(vdq) = Rs(idq) + p1 W P( p /2)( Y dq) + d( Y dq)/dt (14)

avec P ( p /2) = ,

Rs rsistance de la phase statorique, W = d q /dt vitesse du rotor.

xq

13

-------

1

1

1

23---

1 0

1 2 3 2

1 2 3 2

xcos

xsin

xsin

xcos

+ 10

+Ld 0

0 Lq

0 11 0


Toute reproduction sans autorisation du Centre franais d

D 3 644

-

4

Techniques de lIngnieu

Dtaillons les

quations aux tensions

relatives aux compo-santes des deux axes :

v

d

=

R

s

i

d

p

1

WY

q

+ d

Y

d

/d

t

(15)

v

q

=

R

s

i

q

+

p

1

WY

d

+ d

Y

q

/d

t

(16)

On remarque que leffet de la rotation a disparu dans les qua-tions aux flux, mais quil rapparat dans les quations aux tensions(dans les termes de couplage que lon peut considrer comme lesplus importants). Les relations (2) et (4) relatives aux flux rotoriquesne sont pas modifies.

En outre, l

quation relative lexcitation

est :

v

f

=

R

f

i

f

+ d

Y

f

/d

t

(17)

o

R

f

est la rsistance de lenroulement dexcitation.

1.2 Modle de commande

1.2.1 Puissance et couple

Lexpression du couple

C est obtenue partir de celle de la puis-sance instantane p (t ) :

p (t ) = vaia + vbib + vcic + vfif (18)

En reportant les transformations de Park des tensions et des cou-rants, on obtient :

p (t ) = vdid + vqiq + vfif = Rs( + ) + id + iq

+ Rf + if + (p1 W Y diq p1 W Y qid) (19)

Dans ce bilan se trouvent : les pertes Joule, la puissance lec-tromagntique emmagasine dans les bobinages et la puissancemcanique convertie qui a pour expression :

Pm = p1 W Y diq p1 W Y qid (20)

Lquation du couple C = est donc :

C = p1( Y diq Y qid) (21)

ou encore :C = p1 [(Ld Lq)id + Mif] iq (22)

Lquation mcanique dpend de la charge. Son expression laplus simple est :

C = J d W /dt + B W + C0 (23)

o J est linertie des parties tournantes et B et C0 les coefficientsdcrivant le couple de charge, y compris les frottements, secs ouvisqueux.

1.2.2 Schma fonctionnel

Nous mettons part les composantes homopolaires, dcouples,et le plus souvent nulles. Lensemble des quations dcrivant laconversion dnergie est du 5e ordre (3 variables lectriques : id , iq ,if et 2 variables mcaniques : q et W ). Si la machine est alimente entension, on peut la reprsenter par le schma fonctionnel de lafigure 5 o les quations de Park reprsentent lensemble desquations (12), (13), (14), (17), (21) (ou (22)) et (23). On observe queces quations sont suffisantes pour dterminer toutes les variablesen rgime transitoire. Ces quations sont quasi linaires puisquela seule non-linarit est la multiplication par la vitesse W danslquation (14). La dynamique de la vitesse tant considre commelente par rapport la dynamique (rapide) des courants, ce terme estsouvent suppos constant pendant les transitoires lectriques ;alors, le modle est linaire coefficients constants. Si les dynami-

ques ne peuvent pas tre spares, il faut considrer ce systmecomme non linaire et le traiter comme tel.

On observe galement que la position q nintervient pas dans lesquations de la machine de Park mais seulement dans le chan-gement de repre. Cette variable dtat joue donc un rle particulier.

1.2.3 Machine excitation constante

Dans le cas des machines aimant ou des machines excitationbobine o le courant dexcitation est rgul, les proprits enrgime dynamique de la machine sont meilleures. Dans le modle,les quations relatives aux flux dexcitation (13) et la tensiondexcitation vf (4) sont inutiles et il suffit de poser :

if = If = Cte (24)

ou bien :Mif = F f = Cte (25)

dans les quations (12) et (22).

1.2.4 Modle dtat de la machine synchrone excitation constante

Il est intressant de poser :

id2 iq

2 d Y ddt

-----------

d Y qdt

-----------

if2 d Y f

dt----------

PmW

--------

Figure 5 Schma fonctionnel dun moteur synchrone

p variable de Laplace

p1

tT32

T32

P p1( )

P p1( )

quationsde

Park

i3)( i2)(

v3)( v2)(

idq)(

vdq)(vf

b a machine de Parkchangementde repreexploitation du droit de copie est strictement interdite.r, trait Gnie lectrique

(edq) = p1 W P ( p /2) F f (26)

En introduisant la force contre-lectromotrice (edq), proportion-nelle la vitesse, lquation diffrentielle (14) scrit ( dsigne lamatrice unit dordre 2) :

(vdq) = [Rs + p1 W P( p /2) ](idq) + d(idq)/dt + (edq) (27)

En dfinissant les matrices :

( W ) = Rs + p1 W P( p /2) = (28)

et :

(29)

le modle dynamique de la machine scrit, dabord sous formedquation diffrentielle :

(vdq) = ( W ) (idq) + d(idq)/dt + (edq) (30)

puis, sous forme dquation dtat :

d(idq)/dt = (idq) + [(vdq) (edq)] (31)

10

U2

U2 + +

5 U2 +Rs p1Lq W

p1Ld W Rs

!s +1

5 W( )=

5 +

!s + 1


La figure 6 donne un schma fonctionnel de la machine compati-ble avec les reprsentations classiques de lautomatique. Dans cettefigure, le bloc C reprsente lensemble des quations donnant lecouple et le comportement mcanique [quations (22) et (23)]. Lebloc F reprsente lopration calculant les f.c..m. [formule (26)].

Ce schma fonctionnel permet de prciser que le modle dynami-que scrit avec les variables de Park (d-q) mais que les variablesdentres (v3) et sorties (i3) sont les grandeurs triphases. Lavitesse W et la position q sont mesurables. La vitesse W intervient defaon non linaire dans le modle dynamique (dans la matrice etdans les f.c..m. (edq)) et la position q intervient dans le changementde repre.

1.3 Diagrammes vectoriels de la machine synchrone

Les raisonnements classiques sur les machines courants alter-natifs utilisent largement les diagrammes vectoriels. Ceux-ci sontbien connus en rgime permanent sinusodal et nous allons revoirleurs proprits que nous appliquerons la machine synchrone.

n Deuxime tape

Application de la transforme de Park (voir article D 3 642 de cetrait, paragraphe 1.3 [5]) aux grandeurs triphases :

(v2) = P ( x ) (vdq) et (i2) = P ( x ) (idq) (35)

On obtient les composantes de Park en prmultipliant par P ( x )lquation (33) :

(vdq) = et (idq) = (36)

Dans le cas de la machine synchrone, nous avons vu quon seplace dans le repre du rotor (cest donc aussi le repre du champtournant ), dfini par :

x = w t + p1 q 0 (37)

Figure 6 Modle dynamique de la machine synchrone excitation constante

p1tT32 C

F

T32

P p1( )

P p1( )

i3)( i2)(

v3)( v2)(

idq)(

idq)(

edq)(

vdq)(

b a

+

+

+1+

s ( )!

!s

Grandeurs un axe associes aux variables de ConcordiaOn peut dfinir des grandeurs complexes dduites des gran-

deurs de la transforme de Concordia par :

= va

+ jvb

= V ej w t et = ia

+ jib

= I ej( w t j ) (34)v 3 i 3

3V w t x( )cosw t x( )sin

3I w t x j( )cosw t x j( )sinToute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie lectrique D 3 644 - 5

1.3.1 Grandeurs triphases sinusodales

Il sagit ici du cas important du rgime permanent sinusodal quiest un cas simple et classique et quil faut dterminer correctementavant de traiter le cas plus gnral du rgime transitoire. Ces gran-deurs sont dfinies par les expressions :

(v3) = et (i3) = (32)

n Premire tape

Si on applique la transformation de Concordia ces grandeurssinusodales, on observe que les composantes homopolaires sontnulles (v0 = 0 et i0 = 0) ; les expressions des grandeurs diphasessont :

(v2) = et (i2) = (33)

On obtient alors :

(vdq) = et (idq) = (38)

On observe que, dans ce repre, les composantes de Park sontconstantes.

2Vw tcos

w t 2 p 3( )cosw t 2 p 3+( )cos

2Iw t j( )cos

w t 2 p 3 j( )cosw t 2 p 3 j+( )cos

va

vb

3V w tcosw tsin

=

ia

ib

3V w t j( )cosw t j( )sin

=

Grandeurs un axe associes aux grandeurs de ParkOn peut galement dfinir des grandeurs complexes partir

des grandeurs de Park :

= vd + jvq = V (39)

= id + jiq = I ej j = (40)

o lon retrouve les grandeurs complexes classiques = V et = Iej j , un coefficient prs car ces grandeurs contiennent

la totalit de linformation relative la machine triphase (et neconcernent pas seulement une phase comme cest le cas pourles grandeurs associes aux schmas quivalents monophasstraditionnels).

3Vp1 q 0cos

p1 q 0sin3I

j p1 q 0+( )cos j p1 q 0+( )sin

V1 3

I1 3 3 I

VI 3



n Diagrammes vectoriels

De ces rsultats, on dduit la construction gomtrique de lafigure 7 o lon identifie :

en abscisse (axe rel), la composante daxe direct ; en ordonne (axe imaginaire), la composante daxe en qua-

drature.

1.3.2 Grandeurs instantanes

Les techniques prcdentes peuvent tre appliques dans le casgnral (transitoire quelconque) pour analyser les proprits desmachines synchrones.

n Expression instantane du champ cr par une armaturetriphase

En un point M de lentrefer repr par langle x , la force magnto-motrice f.m.m. cre par les courants du stator (courants suppossquelconques) a pour expression :

ia cos[p1 x ] + ib cos[p1 x 2 p /3]+ ic cos[p1 x + 2 p /3] (41)

On rappelle lexpression, donne par la thorie du premier harmo-nique de : (2/ p )ns , o ns reprsente le nombre de spires par

ple et par phase, et le coefficient de bobinage. On applique latransformation de Park aux courants et on obtient :

= [id cos(p1 q + p1 x ) + iq sin(p1 q + p1 x )] (42)

n Diagrammes vectoriels champs/courants

Pour interprter gomtriquement ce rsultat, il est bon de consi-drer que id et iq sont les composantes dun vecteur de module is (t )et dangle polaire b (t ), dans le repre daxes d et q, soit :

id(t ) = is(t ) cos[ b (t )] et iq(t ) = is(t ) sin[ b (t )] (43)

On a alors :

= is(t ) cos[ b (t ) + p1 q p1 x ] (44)

On observe donc qu un instant t quelconque la distribution estsinusodale, daxe :

p1 x = b (t ) + p1 q (45)et damplitude :

is(t ) (46)

Ainsi la direction de laxe du champ (la f.m.m., cf. figure 8) seconfond avec celle du vecteur associ au courant statorique dans lesaxes d et q (cest--dire dans le repre du rotor). La figure 8 met enparallle la reprsentation du champ dans lespace et la reprsenta-tion du courant dans les axes d et q. On voit donc que lon peut dfi-nir un phaseur spatio-temporel associ , que lon peut dcrire

dans le repre statorique par = ou, dans le reprerotorique, par : = ej b . En fait, il suffit de connatre le phaseurassoci is :

= id + jiq = isej b = is(t )e

j b (t ) (47)

n Diagramme vectoriel des tensions et reprsentation complexe

Pour donner une reprsentation gomtrique au sens des dia-grammes habituels, posons galement :

= vd + jvq et = id + jiq (48)

On en dduit une quation diffrentielle dcrivant le fonctionne-ment laide de grandeurs complexes temporelles :

= [Rs + Lqd /dt + jLqp1 W ] + (Ld Lq)did/dt + (49)

avec = j(Ld Lq)p1 W id + jp1 W F f .

Dans le cas des machines ples lisses, Ld = Lq et les expressionsprcdentes se simplifient notablement. En particulier, la forcecontre-lectromotrice se rduit = jp1 W F f .

%s %a %b %c+ + !s= = !s!s

!s k1s

k1s

%s 3 2 !s

%s 3 2 !s

3 2 !s

%s

%s %m ej p1 q b )+(

%s %m

is

vs i s

vs i s i s i s e

e

Figure 7 Diagramme vectoriel

Figure 8 Reprsentation du champ dans lespace et du courant dans le rfrentiel d-q (valeurs instantanes)

Axe q

Axe d (axe du rotor)

x axe de rfrence (phase a) du stator

t

p p t1 1 0= +

ii

v

v

q

q

idvd

p1t( )

% = 0

% = 0% = %m

% = %m% = %m

Axe derfrence (a)

Axe duchamp

Axe du rotor (d)

s s%m ! i32

=

si t( )

t( )p1 t( )

Axe q

Axe d

Axe de la phase a

eexploitation du droit de copie est strictement interdite.r, trait Gnie lectrique

n Conversion dnergie

Lexpression du couple devient (on pose = je) :

c = p1 [(Ld Lq)id + F f]iq = (50)

1.3.3 Cas de la machine synchrone en rgime permanent

En rgime permanent, on crit que les courants dans le repre dqsont constants [cette proprit est justifie par les formules (39) et(40)] et on crit les rsultats en rgime permanent avec des majus-cules. Lquation du fonctionnement devient en notation complexe :

= (Rs + jLqp1 W ) + (51)

avec la force contre-lectromotrice :

= j(Ld Lq) p1 W Id + jp1 W F f = jE (52)

On note que est port par laxe en quadrature.

e

eiqW

--------

V I E

E

E


n Couple

Lexpression du couple scrit :

C = p1 [(Ld Lq)Id + F f]Iq = Iq (53)

n Diagrammes des tensions

La figure 9 donne des reprsentations gomtriques associes lquation pour diffrents courants : pour Id > 0, Id = 0, Id < 0 ; dansce dernier cas, le courant peut tre en avance sur la tension. Lesfigures 10 et 11 donnent des exemples de signaux (en ordonne,les courbes sont donnes en grandeurs normalises ; en abcisse, ona port w t/p ).

1.4 Commande dans le repre (a-b-c) des machines ples lisses

On considre le cas des machines excitation constante et ples lisses. Dans ce cas, les inductances daxes direct et inversesont gales linductance cyclique statorique Lcs :

Ld = Lq = Lcs = Ls0 Ms0 (54)

EW

----

Axe q

Axe d

jp Lq1 I

sR I

V

I

E

0>Id

Axe qjp Lq1 I

sR I

E

E1

Figure 10 Signaux (tensions et courants) quand le courant est en retard sur la tension

1,5 1 0,5 0 0,5 11

0,5

0

0,5

1

tp

eaa

iava

iava aea

p2

E

V

I

Axe du rotor

0,5

1caa

iava

ia va aea

Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie lectrique D 3 644 - 7

Figure 9 Diagramme vectoriel des tensions du moteur synchrone pour id > 0, id = 0 et id < 0

I

Axe d

V

0=Id

p2

=

E1

Axe q

Axe d

I

0



1.4.1 Schmas quivalents monophass

Daprs lquation (1), le flux dans la premire phase scrit :

Y a = Ls0ia + Ms0ib + Ms0ic + Mf If cos(p1 q ) (55)

Comme ia + ib + ic = 0, on a, en introduisant linductance cycliquestatorique Lcs = Ls0 Ms0 :

Y a = Lcsia + Mf If cos(p1 q ) (56)

Lquation lectrique de la premire phase est :

va = Rsia + Lcs(dia/dt ) + ea (57)

avec :

ea = Mfifp1 W cos(p1 q + p /2), W = d q /dt (58)

Cette quation peut tre rpte pour les phases b et c, avec :

eb = Mfifp1 W cos(p1 q + p /2 2 p /3) (59)

ec = Mfifp1 W cos(p1 q + p /2 + 2 p /3) (60)

Le couple c, donn par :

c = (61)

devient alors :

c = p1 Mf If [ia cos(p1 q + p /2) + ib cos(p1 q + p /2 2 p /3)+ ic cos(p1 q + p /2 + 2 p /3)] (62)

La figure 12 donne le schma fonctionnel associ cette modli-sation. On note lextrme simplicit des fonctions de transfert descourants (premier ordre). Mais on note galement que les opra-teurs qui dfinissent les f.c..m. (ea , eb , ec) et le couple c sont forte-ment non linaires.

1.4.2 Stratgie de commande

Pour une commande en couple, les trois rfrences doivent tredonnes par un autopilotage. On admet que les courants doivent

tre synchroniss sur les f.c..m. Par exemple, le courant de la pre-mire phase est de la forme :

ia = I cos(p1 q + + Y ) (63)

avec Y = d j

o d est langle interne (dphasage de va par rapport ea) et j est ledphasage de ia par rapport va (voir figures 9, 10, 11 et 13).

Figure 12 Schma fonctionnel de la machine synchrone ples lisses et excitation constante dans le rfrentiel a-b-c

+

p1

p M1 f fI

R L ps cs

1+

R L ps cs

1+

R L ps cs

1+

Jp B1+

ea

eb

ec

va

vb

vc

i a

ib

i c

p1 223

cos + + p p

p1 223

cos + p p

p1 2cos 1 2+ p

1 f fp M I

X

X

X+

+

++

++

c

C0

avec J indice des parties tournantesB coefficient de frottements visqueuxC0 couple de charge suppos constant

1 21 2

PmW

--------

eaia ebib ecic+ +W

---------------------------------------------=

p

2---

0 30 90 150 210 270 330 360

60 120 180 270 300 3600ea

p1 2+

p1

piexploitation du droit de copie est strictement interdite.r, trait Gnie lectrique

Figure 13 Principe de lalimentation optimale pour une machine synchrone ples lisses et excitation constante et f.c..m. sinusodale

eb

ec

ia

ib

ic

va


Les courants des aut res phases sont donns par

ib = I cos(p1 q + + Y 2 p /3) et ic = I cos(p1 q + + Y + 2 p /3). Alors,

le couple scrit :

c = p1Mf If I cos Y (64)

Le couple est maximal quand le courant est en phase avec lesf.c..m., soit Y = 0. Il vaut alors :

c = p1Mf If I (65)

On peut gnraliser cette stratgie au cas des machines f.c..m.trapzodales que lon alimente avec des courants en crneaux enphase avec les f.c..m. (figure 14).

Pour les machines structure sinusodale, la stratgie decommande consiste rguler les courants triphass de faon sui-vre les rfrences de courant donnes par la formule (63). Celadfinit un autopilotage sur les rfrences, et la structure de lacommande est donne par la figure 15. Cette stratgie decommande a t dfinie dans larticle D 3 640 de ce trait, para-graphe 4.2 [7].

n Commande dcouple proportionnelle scalaire

La rgulation la plus simple dduite de cette reprsentation estune commande dcouple avec des correcteurs proportionnels (quenous qualifions de scalaires pour les distinguer des commandes matricielles que nous prsenterons ultrieurement). La figure 16donne la structure de cette commande.

Le modle en boucle ferme est dfini par les quations (1), (2),(3), (4), (5), (6), (7), (8), (9) de la machine, lquation de londuleur(que lon dcrit souvent avec son seul gain statique G0), lquation(63) de lautopilotage et lquation de la commande qui ici est :

(u3) = kP1ki [(i3)ref (i3)] (66)

o le gain kP1 est un scalaire. Le gain du capteur est not ki .

n Commande dcouple intgrale-proportionnelle scalaire

De mme, la figure 17 dfinit une commande intgrale-propor-tionnelle scalaire conue de faon dcouple. Le modle est analo-gue celui que nous venons de voir dans le cas de la commande

proportionnelle, sauf pour la commande proprement dite quidevient :

(u3) = kP1 [kI1(y3) ki(i3)] (67)

p

2---

p

2---

32---

32---

Figure 14 Cas dune machine f.c..m. trapzodale

0 30 90 150 210 270 330 360

60 120 180 240 300 3600ea

eb

ec

ia

ib

ic

p1 2+

p1

pi

eaToute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie lectrique D 3 644 - 9

Figure 15 Autopilotage des rfrences de courant pour une commande conue dans le rfrentiel a-b-c

avec G0 gain statique de londuleurua , ub et uc signaux de commande

va

vb

vc

eb

ec

i a

ib

i cp1 2

23

cos + + pi pi

p1 223

cos + pi pi

p1 2cos + pi

Correcteurde

courants

OnduleurG0

Position

Rfrencesde courants

ua

ub

uc

refI

a refI

brefI

c refI

Capteursde

courants

+

+

+

1 21 21 2Autopilotage



o les gains kP1 et kI1 sont des scalaires, et :d(y3)/dt = ki [(i3)ref (i3)] (68)

2. Autopilotage et commande dans le repre rotorique

2.1 Autopilotage et reconstruction de ltat

partir de la reprsentation fonctionnelle (figure 18), le principede lautopilotage est trs facile dfinir. Il sagit dune commandetelle que lon matrise les grandeurs internes , cest--dire id et iq ,en agissant directement sur les tensions internes , vd et vq . On

Limites du formalisme dans le rfrentiel a-b-cRemarquons quil est trs facile dcrire les fonctions de trans-

fert relatives aux courants et que lon peut appliquer toutes lesmthodes de modlisation et de synthse que nous avons vuesdans larticle D 3 641 de ce trait [9].

Par ailleurs, il est trs difficile dcrire les fonctions de trans-fert relatives au couple, donc vis--vis de la vitesse ou de la posi-tion. Cest cette limitation qui justifie le recours au formalismede Park (outre le fait que celui-ci permet galement de traiter lecas de la machine ples saillants) qui va nous servir de guidedans les paragraphes suivants. Figure 16 Commande proportionnelle scalaire

k 1P

k i3i ref( )

k i3i( )

AutopilotagerefI

u3( )

Figure 17 Commande intgrale-proportionnelle scalaire dcouple

k 1P

k i3i ref( )

k i3i( )

AutopilotagerefI

u3( )y3( )

k 1I

Nous prsentons ici le principe de la commande au niveau leplus essentiel, cest--dire la commande par les tensions descourants du stator, qui permet dimposer le couple. Pour cela, onse place dans le repre rotorique. Alors, le niveau suprieur(commande en vitesse ou en position) a les mmes structuresde commande que pour le moteur courant continu.

Nous donnons dabord le principe de lautopilotage qui nestpas une rgulation mais une liaison rigide qui compense lesnon-linarits essentielles de la machine synchrone. laidedune mesure de la position du rotor, on peut imposer les ten-sions vd et vq de la machine (au sens des valeurs moyennes). Onpeut galement estimer par le calcul les courants id et iq nots et (reconstructeur dtat). Ces fonctions permettent decommander directement la machine dans le repre rotorique,dit aussi repre d-q .

Nous dtaillons ensuite les commandes en couple qui sontralises pratiquement avec des rgulateurs de courant. Ellessont quivalentes la boucle interne de courant du moteur courant continu, mais elles doivent intgrer des fonctions trsimportantes comme lautopilotage. Ces commandes intgrentdes boucles externes (rgulation de vitesse ou rgulation deposition) identiques celles relatives au moteur courantcontinu ; donc nous ne traiterons pas ici cette question [9].

idiqexploitation du droit de copie est strictement interdite.r, trait Gnie lectrique

matrise alors le couple (voir la formule (22)). La commande la plusfrquemment utilise consiste imposer id = 0 et iq = Iref , cettedernire grandeur tant une image du couple, puisqualorsc = p1 (Mf If) Iref , comme pour la machine courant continu. Il existecependant dautres stratgies, par exemple en utilisant leffet desaillance pour optimiser le couple (exploitation de lquation (22)).

Lexamen de la figure 5 suggre une stratgie immdiate expli-que par la figure 18. Si on veut imposer les tensions (vdq) par unonduleur triphas (modlis ici au sens des valeurs moyennes), onvoit que ces tensions seront des images des signaux de commandeud et uq si et seulement si on compense les oprateurs reprsentspar les matrices tT32 et P ( p1 q ). Il faut donc disposer dun capteurqui donne une position mesure (note pour tenir compte des caso la mesure nest pas parfaite) et raliser la commande triphase,reprsente par le vecteur (u3), qui exige une rotation dangle p1 etune transformation diphas-triphas, comme cela est prcis dansla partie d de la figure. La partie e reprsente la structure dunreconstructeur dtat donnant une mesure des courants, ki ( dq), oki est le gain des capteurs de courants ; cela exige une rotationdangle p1 q et une transformation triphas-diphas.

Lautopilotage peut tre aussi considr comme une compensa-tion non linaire qui linarise les quations de la machine syn-chrone (cette linarisation nest pas totale puisque la vitesse

q

q

i


intervient de faon multiplicative dans les quations des courants etque le couple est une forme quadratique). Mathmatiquement, celasignifie que les tensions triphases vrifient :

(v3) = G0(u3) avec (u3) = T32P(p1 ) (udq) (69)

Si la mesure est parfaite ( = q ), on a :

(vdq) = G0(udq) (70)

Lestimation ( dq) des courants internes (idq) est donne par unestimateur dtat qui vrifie lquation :

( dq) = P(p1 ) tT32(i3) (71)

Toujours avec lhypothse de mesures parfaites [( dq) = (idq) etq = ], les matrices de Concordia et les oprations reprsentes parles matrices de rotation se compensent. Cette compensation peuttre reprsente par le schma fonctionnel de la figure 19 qui estobtenu par la fusion des blocs de la figure 18. Si la commande (udq)est dtermine partir des courants (idq) reconstruits, on parle decommande dans le repre d-q .

Figure 18 Schma fonctionnel de la structure dautopilotage et destimation pour une commande dans le repre rotorique d-q

P p1( )

P(( )p1 tT32

T32 G0

( )k ii dq ( )k i3iki P p1( )T32

P(( )p1tT32Machine

dePark p

1

(udq) (u2) (u3) (v3)

(i3) (i2) (idq)

(v2) (vdq)

Mesure

Mesure

Onduleur Tensions

Courants

Vitesse

Position

autopilotaged

a machine de Parkb oprateurs dentre-sortie de la machine triphase(transforme de Park)

c interfacesdepuissanceet mesures

e reconstruction dtat

q

q

i

i q

iq

G0

ki

Machinede

Park p1

Mesure

Mesure

OnduleurCommande

Vitesse

Position

a machine de Parkc interfaces depuissance et

( )idq (idq)

(udq) (vdq)

MesuresToute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie lectrique D 3 644 - 11

2.2 Algorithme de compensation totale

La modlisation prcdente montre quil est possible dimposerune dynamique dsire et un rgime permanent (Idq)ref correspon-dant un modle global dfini par :

d(idq)/dt + (idq) = (Idq)ref (72)

o la matrice dfinit la dynamique voulue. En pratique, lesconcepteurs choisissent des matrices diagonales dans le but dedcoupler les deux phases, par exemple :

(73)

avec t d et t q constantes de temps.

Aussi la forme gnrale de la commande est :

(udq) = (1/ki G0) [ki(Idq)ref ki( dq)]

+ (1/G0) (dq) + ( /G0ki) (ki dq) (74)

Les premiers termes dfinissent un correcteur matriciel propor-tionnel avec :

KP2 = (1/kiG0) (75)

et les deux derniers sont des compensations des f.c..m. et deschutes ohmiques. La figure 20 donne le schma fonctionnel de cettecommande.

Cette mthode conduit des algorithmes complexes. Consid-rons le dtail de lquation (74) :

ud = [(Ld/ t d) (Id ref d) + (Rsid Lq p1 W iq)]/G0 (76)

uq = [(Lq/ t q) (Iq ref q) + (Ld p1 W id + Rsiq + p1 W F f)]/G0 (77)

Cet algorithme exige un long temps de calculs susceptible dedgrader compltement ses performances. Ce temps introduit un

!m !m

!m

!m1 t d 0

0 1 t q=

+ !m i

5 i

Figure 19 Schma fonctionnel dune machine synchrone avec autopilotage et reconstructeur dtat supposs parfaits

mesure

+ !m

i

i



retard qui limite en fait les gains proportionnels (donc les constan-tes de temps t d et t q ne peuvent pas tre trs petites). En outre, ilexige de trs bonnes mesures des variables (la vitesse) et dexcel-lentes dterminations des paramtres. Cest pourquoi il y a un pro-blme de robustesse. Une solution ce problme est donne par uneffet intgral lentre du correcteur.

2.3 Compensation avec effet intgral

On peut liminer les erreurs rsiduelles en rgime permanent encompltant la compensation prcdente par un effet intgral. Leschma fonctionnel de cette commande est donn par la figure 21.

Si nous admettons que les termes estims compensent exacte-ment les termes adquats, le modle dynamique total est lesuivant :

d2(idq)/dt2 + d(idq)/dt)

+ KI2(idq) = KI2 (Idq)ref (78)

avec = G0kiKP2.

Pour choisir la matrice de correction KI2 , on peut identifier cettequation diffrentielle une quation arbitraire, par exemple dutype suivant :

d2(idq)/dt2 + d(idq)/dt ) + (idq) = (Idq)ref (79)

o : = G0kiKP2KI2 (80)

Dans ce systme, il ny a pas derreur statique et on peut choisirles matrices et de faon imposer la dynamique dsire.La forme gnrale de cet algorithme est alors :

d(ydq)/dt = ki [(Idq)ref (idq)] (81)

(udq) = KP2 [KI2(ydq) ki( dq)] + (1/G0) (dq)

+ ( W )/G0ki) ki( dq) (82)

Si on impose un comportement dcoupl sur les deux axes, dfinipar un polynme caractristique de la forme :

+ 2 x d w d p + p2 = 0, pour laxe d, (83)

+ 2 x q w q p + p2 = 0, pour laxe q. (84)

+ + !m

+ !m + !m

+ !m

!m @m @m

+@m

!m @m

i

5 i

w d2

w q2

Figure 20 Algorithme de compensation

K 2P

( )k ii dq

( )ki dq refI

f

G0

ki

(udq)

(idq)

(vdq)

(edq)

Machinede

Park5

G k0 i

G0

1

[ ]p1f 0

+ ++

++

K 2PK 2I( )ki dq refI (ydq)

(edq)

G0

1

+ ++

+

+exploitation du droit de copie est strictement interdite.r, trait Gnie lectrique

totale

Figure 21 Algorithme de compensation totale avec effet intgral

( )k ii dq

f

(udq)

5G k0 i

[ ]p1 f0

+


Il vient :

= G0ki Kp2 = (85)

et :

m = G0ki Kp2KI2 = (86)

Les algorithmes dtaills sont :

dyd/dt = ki [Id ref id] (87)

dyq/dt = ki [Iq ref iq] (88)

ud = {Ld yd Ld2 kiid+ki(Rsid Lqp1 W iq)} (89)

uq = {Lq yqLq2 x q w qkiiq+ki(Ldp1 W id+Rsiq)+ p1 W F f} (90)

Les proprits intressantes de cet algorithme apparatront plusparticulirement par comparaison avec des algorithmes PI classi-ques. La figure 22 donne la structure gnrale dune rgulation devitesse (ici, de type intgral-proportionnel IP) de paramtres kv et t vincluant une commande en couple avec autopilotage. Cette figuredfinit le couple de rfrence cref , le couple lectromagntiquefourni par la machine cem et le couple de charge cch . Les mthodesde conception du rgulateur de vitesse sont les mmes que celles

Figure 22 Structure dune rgulation de vitesse (ici de type IP) incluant une commande en couple avec autopilotage

refv

1 p v

k refc

chc

emc 1Jp B+ p

1

Rgulateur de vitesse (IP)

Commandeen couple+

+

+

Mesure de la position pour lautopilotage

Mesure de vitesse

!m +1 2 x d w d 0

0 2 x q w q

@ +1 w d

2 0

0 w q2

1G0k1-------------

w d2

x d w d

1G0k1-------------

w q2 1

G0-------

0 0,05 0,1 0,15 0,2100

50

0

50

150

100

0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5

(N m)c

refc

chc

emc

t (s)

20

40

100

400

300

200

ref

chc

/( )rad s

couplesa

ch(N m)c Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie lectrique D 3 644 - 13

qui sont exposes dans larticle Commande de machines courantcontinu vitesse variable [8].

Les figures 23 et 24 montrent deux exemples de comporte-ment dynamique dun moteur synchrone avec algorithme de com-pensation totale des f.c..m. et un rgulateur de vitesse IPsynthtis au moyen de la technique de loptimum symtrique,pour deux dynamiques diffrentes. La figure 23 correspond unedynamique rapide (coefficient du rgulateur de vitesse : a = 4).La rponse est rapide avec une oscillation rapidement amortie. Lafigure 24 correspond une dynamique moyenne (coefficienta = 9). Les rsultats obtenus peuvent tre considrs comme trsbons.

Les figures 25 et 26 donnent des rsultats exprimentaux [1].Elles montrent le comportement des courants qui, pilots dans lerfrentiel d-q et avec compensation des f.c..m., peuvent suivre deprs les rfrences. Le moteur fournit ainsi trs bien (du moins enrgime permanent) le couple demand. Ses performances ne sontlimites qu haute vitesse, car les frquences des courants gn-rer deviennent trop leves pour les possibilits de la commande etde londuleur et la caractristique de couple, qui est trs plate surune large gamme de vitesse, seffondre pour des vitesses tropleves.

2.4 Rgulation de type P et PI ou IP dans le rfrentiel d-q (algorithmes sans compensation des f.c..m.)

La compensation totale exige de gros algorithmes et une bonneconnaissance des variables et des paramtres. Aussi, il peut tre

Figure 23 Dynamique dun moteur synchrone avec un algorithme de compensation totale des f.c..m. et un rgulateur de vitesse de type IP imposant une dynamique rapide (a = 4)

0 0,1 0,2 0,5 200

100

0 0

-- 20

0,3 0,4t (s)

vitesse et couple de chargeb



intressant de simplifier ces algorithmes en ignorant les termes decompensation et en ne conservant que les termes de contrle.

2.4.1 Cas dun rgulateur P

Considrons dabord la figure 27 qui donne la structure dun cor-recteur proportionnel dans le repre d-q (rotorique), cest--direavec les variables id et iq .

Considrons un correcteur proportionnel pur. Le modle estdonn par lquation (30) complt par la loi de commande :

(vdq) = G0(udq) = G0kiKP2[(Idq)ref (i dq)] (91)

Le modle dynamique global est donn par :

d(idq)/dt + [ + G0kiKP2](idq) = kiG0KP2(Idq)ref (edq) (92)

La matrice KP2 est libre et on peut choisir toute dynamique arbi-traire. Par exemple, on peut imposer au premier membre de lqua-tion (92) davoir la forme suivante :

d(idq)/dt + (idq) (93)

Figure 24 Dynamique dun moteur synchrone avec un algorithme de compensation totale des f.c..m. et un rgulateur de vitesse de type IP imposant une dynamique moyenne (a = 9)

0 0,05 0,1 0,15 0,2 60

40

0

20

60

20

40

0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5

(N m)c

refc

chc

emc

t (s)

0 0,1 0,2 0,5 200

100

0

100

400

300

200

20

0

20

40

0,3 0,4

ref

chc

t (s)

/( )rad s


couplesa

ch(N m)c

+ 5

a 1 a 2

a 3 a 4

Figure 25 Commande dans le rfrentiel d-q [1]. Rponse du courant de phase lors dun chelon de couple

0,1

1

0

2

1

t (s)

ia(A) ia ref

ia

ia

0,1

1

0

2

1

t (s)

ia(A)ia ref

a chelon simul

b chelon exprimentalexploitation du droit de copie est strictement interdite.r, trait Gnie lectrique

Figure 26 Commande dans le rfrentiel d-q [1]. Caractristique couple-vitesse

0 500 1 000 1 5000

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

Co

up

le c

(N.m

)

Vitesse (tr/mn)

Valeurs exprimentales

+ + + + +

Valeurs simules


Le correcteur KP2 = peut alors tre dtermin :

k1 = ( a 1Ld Rs)/G0ki (94)

k2 = ( a 2Ld + p1 W Lq)/G0ki (95)

k3 = ( a 3Lq p1 W Ld)/G0ki (96)

k4 = ( a 4Lq Rs)/G0ki (97)

2.4.2 Cas dun rgulateur PI

Pour liminer lerreur statique, on peut utiliser un correcteur pro-portionnel-intgral comme indiqu sur la figure 28.

Le modle dynamique est donn par lquation (30) et par :

(vdq) = G0(udq) = G0KP2ki [(Idq)ref (idq)] + KI2(ydq) (98)

d(ydq)/dt = ki [(Idq)ref (i )dq] (99)

que lon peut rcrire sous la forme globale :

d2(idq)/dt2 + { + G0kiKP2} d(idq)/dt + G0kiKI2(idq)

= G0kiKI2(Idq)ref d(edq)/dt + G0kiKP2d(Idq)ref/dt (100)

Cette quation montre quelques proprits : grce au terme intgral, le systme na pas derreur statique si

d(edq)/dt et (d(Idq)ref/dt ) sont nuls (cest--dire, en particulier, si ladynamique de la vitesse est ngligeable) ;

la dynamique peut tre arbitrairement choisie si KP2 peut, dansla ralisation pratique, varier avec qui varie avec la vitesse (cor-recteur autoadaptatif).

Par ailleurs, le terme d(edq)/dt montre que, dans le cas dunedynamique de vitesse rapide (f.c..m. proportionnelle la vitesse),le systme prsente une erreur sur iq qui cre une diminution ducouple.

Cela montre lintrt de la compensation globale : lalgorithme estplus complexe mais la dynamique est meilleure.

2.4.3 Cas dun rgulateur IP

Lquation (100) contient aussi un terme d(Idq)ref/dt : ainsi le sys-tme a des zros qui introduisent des dpassements. Une variantepossible, qui limine les zros, est donne par la structure IP(figure 29).

Son modle dynamique est donn par lquation (30) et par :

(vdq) = G0(udq) = G0KP2 {KI2(ydq) ki(idq)} (101)

d(ydq)/dt = ki[(Idq)ref (i)dq] (102)

que lon peut rcrire sous la forme dune quation diffrentiellematricielle globale :

Figure 27 Commande dans le rfrentiel d-q dun moteur synchrone avec boucle proportionnelle de courant

Figure 28 Commande en couple dans le rfrentiel d-q dun moteur synchrone avec un rgulateur de courant de type PI

KP

( )k ii dq

( )ki dq refI

G0

ki

(udq)

(idq)

(vdq)

Machinede

Park

+

( )k ii dq

( )ki dq refI

G0

ki

(udq)

(idq)

(vdq)

Machinede

Park

K 2P ++

+

K 2I(ydq)

k1 k2k3 k4

+ 5

5Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie lectrique D 3 644 - 15

On constate quun tel correcteur exige idalement des coefficients(k2 et k3) autoadaptatifs qui dpendent de la vitesse : une tellecorrection incorpore donc une fonction de compensation des forcescontre-lectromotrices dues aux couplages entre les axes d et q. Onconstate en outre quil y a une erreur statique quon ne peut pas li-miner. Lerreur statique est due plusieurs effets : leffet habituelpour une rgulation proportionnelle et leffet des f.c..m. dues larotation et qui jouent le rle de perturbations.

d2(idq)/dt2 + { + G0kiKP2} d(idq)/dt + G0kiKP2KI2(idq)

= G0kiKP2KI2(Idq)ref d(edq)/dt (103)

Cet algorithme a les mmes proprits que les prcdents (si lescorrecteurs ont les mmes paramtres, le systme a les mmesples), mais sans lintroduction des zros.

+ 5

Figure 29 Commande en couple dans le rfrentiel d-q dun moteur synchrone avec boucle de courant de type IP

( )k ii dq

( )ki dq refI

G0

ki

(udq)

(idq)

(vdq)

Machinede

Park

K 2P+ +

K 2I(ydq)



2.4.4 Illustration des proprits des commandes dans les rfrentiels d-q

Les figures 30 et 31 correspondent aux mmes rglages queceux des figures 22, 23 et 24 mais sans lintroduction de termes decompensation. Pour des dynamiques rapides (a = 4), le dispositif esttrs oscillant (les termes de couplages, ntant plus compenss,introduisent des ples correspondant des dynamiques trsoscillantes). On nobtient de comportement acceptable quavec desdynamiques plus lentes (a = 9).

Les termes de compensation peuvent tre coteux en termedimplantation. Nous venons de voir quils ne sont pas ncessairessi on se contente dune dynamique moyenne . Ces termes decompensation apparaissent cependant utiles dans le cas de dynami-ques de vitesse trs leves. Les figures 32 et 33 [2] comparent descaractristiques couple-acclration (ou iq-acclration, ce quirevient au mme) dans le cas dalgorithmes PI seul (sans compensa-tion) et dans le cas dalgorithmes avec compensation totale desf.c..m. On observe que, sans compensation, la perte en couple estimportante par rapport aux rsultats obtenus avec compensation(figure 32). Un cas dapplication important est celui o une chargede type lastique impose des oscillations sur la vitesse. Alors lesvariations de vitesse crent des trous de couple qui dgradentles performances dynamiques (figure 33).

Figure 30 Performances dynamiques dun moteur synchrone avec commande en couple sans termes de compensation et rgulateur de vitesse imposant une dynamique rapide (a = 4)

0 0,05 0,1 0,15 0,2150

50

0

50

150

100

100

0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5

(N m)c refc

chc

emc

t (s)

0 0,1 0,2 0,5 200

100

0

100

400

300

200

40

20

0

20

40

60

0,3 0,4

chc

t (s)

/

()

rad

s ref


couplesa

ch(N

m)

c

Figure 31 Performances dynamiques dun moteur synchrone avec commande en couple sans termes de compensation et rgulateur de vitesse imposant une dynamique moyenne (a = 9)

0 0,05 0,1 0,15 0,2 60

40

0

20

60

20

40

0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5

(N m)c refc

chc

emc

t (s)

0 0,1 0,2 0,5 200

100

0

100

400

300

200

0,3 0,4

ref

chc

t (s)

/

()

rad

s


couplesa

40

20

0

20

40

60

ch(N

m)

cexploitation du droit de copie est strictement interdite.r, trait Gnie lectrique

Figure 32 Comportement dynamique dans le cas dune forte acclration. Comparaison de la caractristique couple-acclration (ou iq-acclration) dans le cas dun algorithme de compensation totale et dans le cas dun algorithme PI sans compensation

0 7 0000

1

2

i

Acclration (rad/s2)

c

iq (compensation totale)

c (compensation totale)

Iq ref

cref

id

iq(PI)

c (PI)


3.1 Commande proportionnelle matricielle

3.1.1 Stratgie

Commenons par le cas le plus simple, o lon considre troisboucles de courants proportionnelles. La commande est (figure 34) :

(u3) = Kp3ki [(i3)ref (i3)] (104)

Dans les rgulations classiques, comme celle que nous avons pr-sent dans le paragraphe 1, le rgulateur triphas est en fait consti-tu de trois rgulateurs monophass ; cela signifie que la matriceKP3 est diagonale :

KP3 = (105)

et le contrle est tri-monophas . Mais nous voyons que nouspouvons avoir un point de vue rellement multivariable et que lergulateur peut avoir un effet de compensation entre les phases. Lecalcul de (vdq) donne :

(vdq) = P (p1 q ) tT32G0kiKP3 [(i3)ref T32P (p1 q )(idq)] (106)

Nous observons que la dynamique est stationnaire (cest--direindpendante de q ) si et seulement si KP3 commute avec la matricede Park T32P(p1 q ). En consquence, KP3 doit avoir la formesuivante :

KP3 = T32KP2 tT32 avec KP2 = (107)

En outre, la rfrence doit vrifier :

(i3)ref = T32P (p1 q )(idq)ref (108)

Lautopilotage est donc appliqu aux rfrences de courant. Celajustifie la structure de commande de la figure 34.

3.1.2 Interprtation des proprits

Figure 33 Comportement dynamique dans le cas dune forte acclration. Effet dune variation importante de vitesse sur le courant iq dans le cas dun algorithme avec compensation totale et dans le cas dun algorithme PI sans compensation [2]

0 2 4 6 8 10 120

5

10

15

20

25

30

35

t (ms)

0 2 4 6 8 10

50

50

t (ms)

i (A)

/( )rad s

Err

eur

stat

iqu

e d

ue

la

ccl

rat

ion

(cas

du

co

rrec

teu

r av

ec c

om

pen

sati

on

)

i q (

com

pen

sati

on

to

tale

)

i q(P

I)Iq ref

Err

eur

stat

iqu

e d

ue

la

ccl

rat

ion

(ca

s d

u P

I)

k1 0 0

0 k1 0

0 0 k1

k1 k2k2 k1Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie lectrique D 3 644 - 17

3. Autopilotage et boucles de courants dans le repre statorique

par une modlisation en d-q

Maintenant, nous crivons le modle en boucle ferme du moteursynchrone autopilot laide des composantes d-q, cest--dire aveclquation (30) et :

(vdq) = G0(udq) = G0kiKP2 [(Idq)ref (idq)] (109)

Lquation diffrentielle qui dcrit le systme est alors :

+ (idq)

= G0ki (Idq)ref (110)

On observe alors que le systme prsente une importante erreurstatique : en rgime permanent (idq ) ne peut tre gal (Idq)ref cause de Rs et de la force contre-lectromotrice proportionnelle lavitesse W . Cela est particulirement sensible en commande numri-que o la discrtisation interdit lusage de grands gains. Enfin, on nedispose que de deux paramtres k1 et k2 pour ajuster la commande :

La commande (globale ou non) dans le repre d-q a des avan-tages importants : on peut imposer toutes les proprits du sys-tme, statiques ou dynamiques, mais elle a des inconvnients :les algorithmes sont lourds et doivent tre implants avec lesdispositifs numriques sophistiqus ; en outre, elle nutilise pasune source de courant. Cest la raison pour laquelle beaucoupde praticiens prfrent utiliser une structure o les courants tri-phass du stator (ia , ib , ic) sont directement commands. Onpeut donc introduire des limitations sur les rfrences des cou-rants de phase et cela introduit une scurit active. Enfin lauto-pilotage est plus conomique implanter. La premire approche(cf. paragraphe 1) prsentait des limitations que nous allonsfranchir grce la modlisation de Park (dans le repre rotori-que, ou d-q). On ne confondra donc pas la commande (en a-b-c)et la modlisation (en d-q).

d idq( )dt

----------------

Rs G0kik1+( ) Ld p1 W Lq G0kik2+( ) Ldp1 W Ld G0kik2+( ) Lq Rs G0kik1+( ) Lq

Ld 0

0 Ld

1k1 k2k2 k1

Ld 0

0 Lq

1

p1 WF f

0



on ne peut donc pas imposer une dynamique arbitraire. Il est sim-plement possible davoir une quation diffrentielle dont le premiermembre est de la forme :

+ (idq) (111)

et alors k1 est donn par k1 = ( a Ld Rs)/G0ki,

k2 par : k2 = p1Ld W /G0ki,

et a est impos par le moteur : a = (Ld Lq)p1 W .

Figure 34 Commande proportionnelle scalaire

Figure 35 Commande proportionnelle-intgrale matricielle

Figure 36 Commande intgrale-proportionnelle matricielle

K 3P

k i3i ref( )

u3( )

T32P p1( )drefik I

drefik I

( )k i3i

K 3P

k i3i ref( )k i2i ref( )

K 3I

u3( )

T32P p1( )

dq refik ( )I

( )k i3i

y3( )

k i3i ref( )

u3( )

T32P p1( )

dq refik ( )Iy3( )

P3K 3K I

d idq( )dt

----------------

a a

0 aexploitation du droit de copie est strictement interdite.r, trait Gnie lectrique

3.2 Commande proportionnelle-intgrale matricielle

3.2.1 Stratgie

Pour liminer lerreur statique, on peut ajouter un effet intgral.La figure 35 donne la structure dun correcteur proportionnel-intgral et la figure 36 un correcteur intgral-proportionnel (quinintroduit pas de zro).

( )k i3i


Les lois de commande sont : pour le PI :

(u3 = KP3ki [(i3)ref ( ) ] + KI3(y3) (112)

d(y3)/dt = ki(i3)ref ki( ) ; (113)

pour le IP :

(u3) = [ (Y3) ki( )] (114)

d(y3)/dt = ki(i3)ref ki( ) (115)

3.2.2 Interprtation par la modlisation de Park

Pour interprter les proprits du systme avec les composantesde Park, nous posons la transformation de Park de (u3) et de la varia-ble dtat (y3) :

(u3) = T32P (p1 q )(udq) (116)

(y3) = T32P (p1 q )(ydq) (117)

On peut vrifier que sa drive est :

d(y3)/dt = T32P (p1 q) d(ydq)/dt + p1 W T 32P (p1 q + p/2)( ydq) (118)

o P (p1 q + p/ 2) = P (p1 q )P ( p/ 2) et P ( p /2) = .

3.2.2.1 Cas IP

Pour allger certaines formules, nous introduisons provisoi-rement la notation : Q( q ) = T32P (p1 q ). La dynamique en boucleferme est :

(u3) = Q( q )(udq) = { Q( q )(ydq) kiQ( q )(idq)} (119)

Q( q ) {d(ydq)/dt + P ( p/ 2) p1 W (ydq)} = ki(i3)ref kiQ( q )(idq)] (120)

Pour avoir une dynamique indpendante de la position du rotor, ilest ncessaire dobserver des simplifications. Pour cela, il faut desproprits particulires sur and , qui doivent scrire :

= T32 tT32 et = T32

tT32 (121)

et et doivent commuter avec la matrice de rotation :

= et = (122)

et la rfrence de courant doit vrifier :

(i3)ref = T32P (p1 q )(Idq)ref (123)

Avec les hypothses sur les matrices et , la dynamique enboucle ferme peut tre simplifie. Elle est donne par lquationdiffrentielle vectorielle :

(vdq) = d(idq)/dt + (idq) + (edq) = G0(udq)

= G0 (ydq) G0ki (idq) (124)

d(ydq)/dt + p1 W (ydq) = ki [(Idq)ref (idq)] (125)

Cela peut tre illustr par la figure 37 o nous observons unterme soustractif, proportionnel la vitesse, lentre.

Pour voir directement les proprits du systme, nous rcrivonsson modle sous la forme dune seule quation diffrentiellevectorielle :

d2(idq)/dt2 + [ + G0ki + p1 W ] d(idq)/dt

+ kiG0 + p1 W [ + G0ki ] (idq)

= kiG0 (Idq)ref p1 W (edq) d(edq)/dt (126)

3.2.2.2 Cas PI

Des calculs similaires conduisent :

(udq) = kiKP2 {(Idq)ref (idq)} + KI2(ydq) (127)

d(ydq)/dt = ki [(Idq)ref (idq)] p1 W P( p/ 2)(ydq) (128)

Un modle dynamique est donn par la figure 38 o lon observegalement un terme soustractif lentre.

i3

i3

KP3 KI3 i3

i3

0 11 0

KP3 KI3

KP3 KI3

KI3 KI2 KP3 KP2

KP2 KI2

KI2kI1 kI2kI2 kI1

KP2kP1 kP2kP2 kP1

KP2 KI2

+ 5

KP2 KI2 KP2

0 11 0

+ 5 KP20 11 0

+

KP2 KI20 11 0

5 KP2

KP2 KI20 11 0Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie lectrique D 3 644 - 19

Figure 37 Schma quivalent dun moteur synchrone autopilot avec une boucle interne de courant de type IP (rgulation dans le rfrentiel a-b-c)

0 11 01

p

( )ki dq refI

G0

ki

(udq)

(idq)

(vdq)

Machinede

Park

+

+

+

+

(ydq)

2K I P2K



Son modle diffrentiel global est donn par lquation :

d2(idq)/dt2 + { + G0kiKP2 + p1 W } d(idq)/dt

+ {kiG0KI2 + p1 W [ + G0kiKP2]} (idq)

= kiG0KI2(Idq)ref + p1 W {G0kiKP2(Idq)ref (edq)}

d(edq)/dt + G0kiKP2d(Idq)ref/dt (129)

3.2.2.3 Examen des proprits de ces rgulations

Examinons le terme de gauche de lquation (126) dans le cas IP.Pour cela, nous dfinissons les notations suivantes :

kiG0 = et kiG0 = (130)

et nous obtenons avec lquation (126) :

d2(idq)/dt2 + d(idq/dt

+ (idq)

= (Idq)ref (d/dt ) (131)

Cette modlisation montre les limites de la commande :

Les matrices coefficients de d(idq)/dt et (idq) contiennent cha-cune deux paramtres indpendants ( et pour lune, et pour lautre).

Il est possible de calculer le rgime permanent :

(idq) =

(Idq)ref (d/dt ) (132)

Nous observons que si W 0 alors est diffrent de (Idq)ref etle systme prsente une erreur statique qui dpend de la vitesse.En pratique, le couple dcrot avec la vitesse. Cela sexpliquesimplement : dans le rfrentiel a-b-c, la rgulation suit des rf-rences sinusodales, aussi une erreur statique (de type erreur detranage) est invitable. Cette stratgie a des performances limites,

Figure 38 Schma quivalent dun moteur synchrone autopilot dans le rfrentiel a-b-c avec un correcteur de courant de type PI matriciel

( )ki dq refI

G0

ki

(udq)

(idq)

(vdq)

Machinede

Park

+

+

+

+

+

+

P2K

+

+

(ydq)

2K I

0 11 01

p

+ 5 0 11 0

+

0 11 0

5

0 11 0

KP2k1 k2

k2 k1KP2 KI2

k1 k 2

k 2 k1

Ld 0

0 Lq

Rs k1+ k2 2p1Lq W+( )k2 2p1Ld W+ Rs k1+

k1 p1 W Ldp1 W k2+( ) k 2 p1 W Rs k1+( )+[ ]k 2 p1 W Rs k1+( )+ k 1 p1 W Lqp1 W k2+( )

k1 k2

k2 k1 p1

2W

2F f

0

0p1 W F f

k1 k2 k1 k 2

k1 p1 W Ldp1 W k2+( ) k2 W Rs k1+( )+[ ]k2 p1 W Rs k1+( )+ k1 p1 W Lqp1 W k2+( )

1

k1 k2

k2 k1

p12W

2F f

0

0p1 W F f

idq( )exploitation du droit de copie est strictement interdite.r, trait Gnie lectrique

mais son implantation est simple et conomique.

3.2.2.4 Illustration des proprits des commandes dans le repre a-b-c

On peut illustrer les proprits prcdemment nonces laidedes deux figures 39 et 40. La figure 39 montre trois courants [2]rguls dans le rfrentiel a-b-c pour trois vitesses diffrentes. basse vitesse, le courant suit peu prs bien la rfrence. Mais,quand la vitesse augmente, le courant suit plus difficilement : sonamplitude diminue et il se dphase (et grande vitesse peuventsajouter des dfauts dus au fait que londuleur introduit ses pro-pres limitations). Donc, quand la vitesse augmente, le couplediminue de faon importante par rapport la valeur souhaite (larfrence). Cela se voit bien sur la caractristique couple-vitesseen rgime permanent donn par la figure 40 [1] : la courbe 1donne les rsultats obtenus avec les rgulations prsentes ici.Les auteurs ont propos des algorithmes avec des compensa-tions pour amliorer les performances. Les courbes 2 et 3 don-nent des rsultats thoriques esprs par ces compensations. Lescompensations sont cependant trs complexes introduire dansle rfrentiel a-b-c, alors quelles sont plus naturelles dans le rf-rentiel d-q.


4. Contrle en courant dans le repre statorique avec reconstructeur dtat

Une variante amliore de la stratgie prcdente [4] est donnepar la figure 41 : londuleur est pilot par un rgulateur (triphas)proportionnel et on ajoute un effet intgral sur lestimation des cou-

10

0

10

i (A)

t (ms)20 ms

ia ref ia

10

0

10

i (A)

t (ms)10 ms

ia ref ia

a V = 2020 rad/s

b 40 rad/sV =

Figure 40 Commande dans le rfrentiel a-b-c : exprimentations [1]. Caractristiques couple-vitesse

On peut chercher cumuler deux avantages : avoir une rgu-lation des trois courants (repre a-b-c) pour des raisons de scu-rit, et avoir quand mme une erreur statique nulle.

1 : sans compensation de la f..m.2 : avec compensation non optimale3 : avec compensation optimale+ : valeurs exprimentalesCourbe : valeurs simules

0 500 1 0000

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

Vitesse (tr/mn)

1 2 3

+

++

+

+ ++

++

+Couple (N.m)Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie lectrique D 3 644 - 21

rants id et iq .

Le modle est donn par (en supposant q = , mesure parfaite) :

(vdq) = G0(udq) = d(idq)dt + (idq) + (edq) (133)

d(ydq)/dt = ki [(Idq)ref (idq)] (134)

(u3) = T32P (p1 q )(udq) (135)

(u3) = KP3 [T32P (p1 )KI2(ydq) kiT32P (p1 q )(idq)] (136)

Ainsi, nous voyons que si KP3 commute avec T32P (p1 q ), donc sison expression vrifie une quation analogue lquation (121) :

KP3 = T32KP2tT32

On pourra simplifier :

(udq) = KP2 [KI2(ydq) ki(idq)] (137)

Alors, on peut crire le modle dynamique complet en boucleferme, dabord avec des notations matricielles :

d2(idq)dt2 + [ + G0KP2ki] d(idq)/dt + G0kiKP2KI2(idq)

= G0kiKP2KI2(Idq)ref d(edq)/dt (138)Figure 39 Performances dune commande dans le rfrentiel a-b-c : courants de phase obtenus exprimentalement [2]

5 ms

10

0

10

i (A)

t (ms)

ia ref ia

c 76 rad/sV =

q

+ 5

q

+ 5



Ensuite avec des notations dtailles :

d2(idq)/dt2 + d(idq)/dt

+ G0ki (idq)

= G0ki (Idq)ref (139)

Nous observons quil ny a pas derreur statique sur les courants(donc sur le couple) si la vitesse est constante (terme d W /dt nul). Onpeut choisir la dynamique des courants, mais pas de faon arbitrairepuisque la matrice coefficient de d(idq)/dt na que deux coefficientsindpendants (k1 , k2) et, pour des machines ples saillants, lesdynamiques de id et iq ne peuvent tre dcouples.

Par ailleurs, pour des machines ples lisses (Ld = Lq = Lc), onpeut annuler le terme de couplage si on peut implanter un correc-

teur adaptatif, variant avec la vitesse, et vrifiant : k2 = .

5. ConclusionDans ce chapitre, nous avons prsent plusieurs types dalgo-

rithmes destins la commande de moteurs synchrones. Lesalgorithmes prsents cherchent obtenir les performances dyna-miques les meilleures possibles, comme on le souhaite dans lesapplications les plus exigeantes (par exemple : la robotique). Cepen-dant, la complexit de limplantation en temps rel pouvant treexcessive pour certaines applications, nous avons galement pr-sent des algorithmes, moins performants, certes, mais plus sim-ples mettre en uvre. On couvre ainsi un large champdapplications.

Figure 41 Schma dune commande, avec boucle interne de courant, proportionnelle, autopilotage, reconstructeur dtat et effet intgral

K 3P

ki

u3( )

i3( )

T32

T32

P p1( )q refik I

( )k i3i

( )k idqi

K 2I

P(( )p1

(ydq)

Effet intgral

Reconstructeur d'tat

AutopilotageBoucle interne

de courant

q refik I+

+

Ld 0

0 Lq

Rs G0kik1+ L q p 1 W G 0 k i k 2 + ( ) L

d

p

1

W

G

0

k

i

k

2

+

R

s

G

0

k

i

k

1

+

k1 k 2k2 k1

kI1 kI2kI3 kI4

k1 k 2k2 k1

kI1 kI2kI3 kI4

0F fp1d W dt

Lqp1 WG0ki

---------------------exploitation du droit de copie est strictement interdite.r, trait Gnie lectrique

Commande numrique des machines synchrones1. Modlisation fonctionnelle de la machine synchrone1.1 Modlisation au sens de Park1.1.1 quations des flux et des tensions1.1.2 Transformations de Concordia et Park

1.2 Modle de commande1.2.1 Puissance et couple1.2.2 Schma fonctionnel1.2.3 Machine excitation constante1.2.4 Modle dtat de la machine synchrone excitation constante

1.3 Diagrammes vectoriels de la machine synchrone1.3.1 Grandeurs triphases sinusodalesPremire tapeDeuxime tapen Diagrammes vectoriels

1.3.2 Grandeurs instantanesn Expression instantane du champ cr par une armature triphasen Diagrammes vectoriels champs/courantsn Diagramme vectoriel des tensions et reprsentation complexeConversion dnergie

1.3.3 Cas de la machine synchrone en rgime permanentn Couplen Diagrammes des tensions

1.4 Commande dans le repre (a-b-c) des machines ples lisses1.4.1 Schmas quivalents monophass1.4.2 Stratgie de commanden Commande dcouple proportionnelle scalairen Commande dcouple intgrale-proportionnelle scalaire

2. Autopilotage et commande dans le repre rotorique2.1 Autopilotage et reconstruction de ltat2.2 Algorithme de compensation totale2.3 Compensation avec effet intgral2.4 Rgulation de type P et PI ou IP dans le rfrentiel d-q (algorithmes sans compensation des f...2.4.1 Cas dun rgulateur P2.4.2 Cas dun rgulateur PI2.4.3 Cas dun rgulateur IP2.4.4 Illustration des proprits des commandes dans les rfrentiels d-q

3. Autopilotage et boucles de courants dans le repre statorique3.1 Commande proportionnelle matricielle3.1.1 Stratgie3.1.2 Interprtation des proprits par une modlisation en d-q

3.2 Commande proportionnelle-intgrale matricielle3.2.1 Stratgie3.2.2 Interprtation par la modlisation de Park3.2.2.1 Cas IP3.2.2.2 Cas PI3.2.2.3 Examen des proprits de ces rgulations3.2.2.4 Illustration des proprits des commandes dans le repre a-b-c

4. Contrle en courant dans le repre statorique avec reconstructeur dtat5. Conclusion

Documents

D3644 Commande Numerique MS