Da Elastoplasticidade Ao Cálculo à Ruptura

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

Avant-propos

de llasto-plasticit au Calcul la rupture...

Ce titre peut surprendre par sa contradiction avec la chronologie historique. Eneet, lexistence dun niveau maximal de sollicitation au-dessus duquel les matriauxde structure subissent des dommages mcaniques graves allant mme jusqu la rup-ture est une vidence qui a toujours t prise en compte par les btisseurs, dabord travers la tradition et les rgles de lart, puis par la mise en uvre de mthodes decalcul dont la formulation a prcd ltablissement des thories de llasticit et dela plasticit. Du point de vue pdagogique, il ny a non plus aucune ncessit de faireprcder la prsentation de la thorie du calcul la rupture dun expos de llasto-plasticit. Une bonne matrise de la statique des milieux continus ou des structuresest le seul prrequis pour la comprhension et la mise en uvre du concept de calcul la rupture tandis que le principe des puissances virtuelles est le seul instrumentncessaire la dualisation qui aboutit au point de vue cinmatique de la thorie.Cest dailleurs la raison pour laquelle le calcul la rupture fournit des exemples gra-tiants pour la mise en uvre de ces notions de base dans les ouvrages classiques demcanique des milieux continus.

Lapproche adopte ici sadresse un lecteur dj familier de la mcanique des mi-lieux continus et de lanalyse des systmes en thermolasticit. Naturellement conduit sortir de ce cadre en pntrant dans le domaine du comportement lasto-plastiquedes matriaux, on se propose, dans une premire approche limite la thorie classiqueen petites perturbations, dtablir de faon phnomnologique partir des constata-tions exprimentales la formulation de ce comportement. On en tudie le transfertau niveau global du comportement dun systme avec la rigueur permise par lesthormes tablis pour la solution du problme dvolution lasto-plastique quasi-statique en petites perturbations (existence, unicit, ...). Ce passage du local au globalconcerne de faon immdiate lanalyse du comportement des structures, ouvrages etautres systmes mcaniques macroscopiques soumis des histoires de chargement.Il trouve aussi une application dans la dmarche courante dite micro-macro pour laformulation du comportement des matriaux microstructure.

Cette premire partie traite tout la fois le cas gnral du matriau crouissable etle cas particulier du matriau parfaitement plastique dans lhypothse de la plasticitassocie. On y tablit que le comportement du systme est lui-mme lasto-plastique

3

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

4

associ et quil manifeste un phnomne dcrouissage global qui est d lventuelcrouissage propre du matriau et lincompatibilit gomtrique des dformationsplastiques des lments constitutifs. Le cas du matriau parfaitement plastique pr-sente quelques proprits particulires. Outre la possibilit de solutions non uniquesau niveau local mais en rgle gnrale sans consquence observable au niveau du com-portement global du systme, on met en vidence lexistence des chargements limites,bornes suprieures des chargements supportables par le systme, au-del desquelsaucune solution nexiste pour le problme dvolution et qui correspondent, dunemanire ou dune autre, dans le cadre dhypothses adopt, la ruine plastique dusystme.

Les chargements limites fournissent larticulation naturelle de lexpos vers ladeuxime partie consacre au calcul la rupture.

On constate en eet que leur existence nest due qu la limitation impose auxeorts intrieurs dans le systme par le critre de parfaite plasticit du matriauconstitutif. Ainsi, quelle quen soit lorigine physique, voire rglementaire, toute li-mitation assigne aux eorts intrieurs implique lexistence de chargements au-deldesquels lquilibre du systme nest pas compatible avec la rsistance du matriau.La dnition et la dtermination de ces chargements extrmes ne font appel qulcriture de cette compatibilit mathmatique entre les quations de lquilibre etles inquations de rsistance. Cest le fondement de la thorie du calcul la rupture,dont les mthodes exploitent la condition de compatibilit mathmatique par voie pri-male (mthode statique) ou par voie duale (mthode cinmatique) en sappuyant surquelques proprits simples de convexit. La prsentation ainsi donne de cette thorieaboutit une formulation unitaire qui permet de regrouper les divers raisonnementshistoriques utiliss par les btisseurs et qui apporte aux ingnieurs les fondementsde nouvelles mthodes de mise en uvre mettant prot les possibilits actuellesdu calcul. La question de la pertinence, du point de vue des applications pratiques,des chargements ainsi dtermins demeure dpendante de la connaissance compltedu comportement du matriau constitutif et de celle de lhistoire de chargement dusystme. Lexprience acquise dans le cas de la plasticit parfaite et associe apportetoute lassurance dune rponse mathmatique. En fait, le recours aux mthodes ducalcul la rupture dborde largement ce cadre dhypothses trs prcis en sappuyantsur des conditions de pertinence caractre plus physique, valides par lexprience.Il en va ainsi dans lapproche rglementaire de la scurit aux tats limites ultimesdont la thorie du calcul la rupture constitue le socle fondamental.

Le caractre didactique de cet ouvrage dintroduction carte tout objectif dex-haustivit. Ainsi, pour llasto-plasticit, on ny trouvera aucun dveloppement relatifaux thormes dadaptation ni aucune prcision sur les mthodes employes dans leslogiciels de rsolution. Pour le calcul la rupture, les dtails des diverses mthodesmises en uvre dans la pratique pour les milieux continus tridimensionnels, bidi-mensionnels, pour les systmes de poutres, pour les plaques,..., sont exposs dans denombreux traits classiques : la thorie gnrale en montre lunit, souvent occultepar des prsentations disjointes.

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

Sommaire

I Le comportement lasto-plastique innitsimal 71 Prsentation du modle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Domaines dlasticit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Rgle dcoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434 Le principe du travail plastique maximal . . . . . . . . . . . . . . . . 555 Matriaux standards gnraliss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676 Comportement lasto-plastique en variables gnralises . . . . . . . . 73Rcapitulatif des formules essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

II volutions quasi-statiques en lasto-plasticit innitsimale 851 Problmatique. Thormes fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . 932 Chargement dune structure lasto-plastique . . . . . . . . . . . . . . 983 Dchargement de la structure. Champs rsiduels . . . . . . . . . . . . 1114 volution quasi-statique dun systme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195 Systme en matriau lastique et parfaitement plastique standard . . 1226 Systme en matriau lasto-plastique crouissable standard gnralis 1407 Prise en compte des changements de gomtrie . . . . . . . . . . . . . 143Rcapitulatif des formules essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

III Calcul la rupture et Analyse limite 1491 De lanalyse limite au calcul la rupture . . . . . . . . . . . . . . . . 1552 Approche statique par lintrieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1603 Approches par lextrieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1724 Combinaison des approches statique et cinmatique . . . . . . . . . . 1925 Du calcul la rupture lanalyse limite . . . . . . . . . . . . . . . . . 1976 Repres historiques et actualit du calcul la rupture . . . . . . . . . 201Rcapitulatif des formules essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

Mmento de Mcanique des milieux continus. Formulaire 211

Glossaire 241

Bibliographie 247

Index alphabtique 257

5

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

Chapitre I

Le comportementlasto-plastique innitsimal

MOTS CLS

Petite transformation.Limites dlasticit. Domaines dlasticit.crouissage. Trajet de charge.Eet Bauschinger.Plasticit parfaite.Fonction de charge. Critres de plasticit.Convexit. Isotropie.Rgle dcrouissage.Rgle dcoulement plastique.Principe du travail plastique maximal.Plasticit associe. Normalit.Matriaux standards.Matriaux standards gnraliss.Variables gnralises.

7

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

Chapitre I Le comportement lasto-plastique innitsimal 9

En bref

La formulation classique du comportement lasto-plastique dun milieucontinu se place dans lhypothse de la transformation innitsimale. Cemodle de comportement carte tout eet de vieillissement du matriauet de viscosit (section 1).

Le comportement du matriau est entirement dtermin par lvolu-tion de son tat de contrainte local, dnie par un trajet de charge pourle tenseur des contraintes de Cauchy dans lespace R6.

Le premier concept fondamental est celui de domaines dlasticit.

Le domaine initial dlasticit est engendr par lensemble de tous lestrajets de charge issus de ltat initial naturel le long desquels le compor-tement de llment de matire est continuellement lastique. Ce domaineest habituellement convexe. Lorsque le trajet de charge sort pour la pre-mire fois de ce domaine, un phnomne physique nouveau se superpose celui de la dformation lastique. Ce phnomne, qui correspond ladformation plastique, est irrversible : il nest activ que si la charge dellment de matire se poursuit ; en cas de dcharge, seule la dformationlastique volue.

Ltat de charge de llment de matire est dtermin par la valeuractuelle du tenseur des contraintes et par le trajet de charge suivi pourlatteindre partir de ltat initial naturel. On dnit, dans un tat decharge donn, le domaine actuel dlasticit du matriau : il est engendrpar lensemble de tous les trajets de charge issus de cet tat le long desquelsle comportement de llment de matire est nouveau continuellementlastique. Ce domaine est, lui aussi, habituellement convexe. Il sert derfrence pour la dnition des concepts de charge de llement de matire(trajet sortant ) qui correspond un arc de charge croissant , etde dcharge (trajet intrieur).

Lvolution du domaine dlasticit le long des arcs de trajet de chargecroissants traduit le phnomne physique dcrouissage.

Il est commode, pour dcrire mathmatiquement les domaines dlasti-cit, dintroduire la fonction de charge qui est une fonction scalaire du ten-seur des contraintes de Cauchy, paramtre par ltat dcrouissage. Elle

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

10 Chapitre I Le comportement lasto-plastique innitsimal

dnit, dans un tat dcrouissage donn, le critre de plasticit, quationde la frontire du domaine actuel dlasticit, tandis que charge et d-charge sont distingues par le signe du taux de variation de cette fonction(section 2).

Le deuxime concept fondamental est celui de rgle dcoulement plas-tique. Il sagit de lexpression du taux de dformation plastique, partieirrversible du taux de dformation de llment de matire, en fonctiondu taux de contrainte dans ltat de charge considr : la loi de compor-tement lasto-plastique est incrmentale. (section 3).

Le principe du travail plastique maximal est une proprit dextrmalitcaractristique de la dissipation plastique. Il implique, outre la convexitdu domaine actuel dlasticit, la normalit du taux de dformation plas-tique vis--vis de ce domaine (section 4).

Il permet aussi dexpliciter la rgle dcoulement plastique du matriauqui met en vidence une proprit essentielle, valide par lexprience : letaux de dformation plastique na quune dpendance scalaire vis--vis dutaux de contrainte. Celui-ci nintervient qu travers le taux de variationde la fonction de charge (section 3).

Lvolution de ltat dcrouissage du matriau est concomitante cellede la dformation plastique. Elle fait lobjet de la rgle dcrouissage co-hrente avec lcriture de la fonction de charge (section 2).

Pour certains matriaux le phnomne dcrouissage est absent ou peuttre nglig. Le modle de comportement correspondant est lastique etparfaitement plastique. Le domaine dlasticit est unique. En revanche largle dcoulement laisse le taux de dformation plastique indtermin parun facteur scalaire arbitraire non ngatif (sections 2 et 3).

Le modle de comportement lasto-plastique, avec ou sans crouissage,sexprime de la mme manire en variables gnralises. Il sapplique ainsinotammment aux milieux curvilignes sous sollicitation uni- ou multidi-mensionnelle. Il sapplique galement au comportement des systmes(section 6).

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE


Principales notations

Notation Signication 1re formule

0 limite initiale dlasticit en traction simple gure 1

p dformation plastique 2.1

C domaine dlasticit initial 2.2f fonction de charge (2.1)

E tat dcrouissage (2.3)

C(E) domaine dlasticit actuel (2.3)fE taux de variation de f crouissage x (2.5)

paramtre de lcrouissage isotrope (2.10)

clrit de la surface de charge (2.12)

paramtre de lcrouissage cinmatique (2.13)

I1, I2, I3 invariants de (2.18)

1, 2, 3 contraintes principales (2.19)

0 limite dlasticit en traction simple (2.19)

(critre de Tresca)

s dviateur de (2.24)

J2, J3 invariants de s (2.26)

k limit dlasticit en cission simple (2.27)(critre de von Mises)

max cission maximale (2.33)

oct cission octadrale (2.34)

I , II , III contraintes principales ordonnes (2.36)

C, cohsion, angle de frottement (2.38)interne (critre de Coulomb)

R rayon du cercle de Mohr (2.41)

p abscisse du centre du cercle de Mohr (2.41), contraintes normale et tangentielle (2.43)

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE




E module dlasticit en sollicitation uniaxiale (3.4)

Et module tangent en sollicitation uniaxiale (3.5)

M module dcrouissage en sollicitation (3.6)uniaxiale

Ef sous-direntiel de f crouissage x (3.11)

tenseur des complaisances lastiques (3.13)

de taux de dformation lastique (3.13)

dp taux de dformation plastique (3.14)

facteur de proportionnalit dans (3.19)(3.20)

la rgle de normalitM(,E) module dcrouissage dans la (3.27)(3.29)

rgle dcoulement

C(E) fonction indicatrice de C(E) (4.11)D dissipation plastique (4.13) fonction dappui de C (4.17)[[ ]] symbole de la discontinuit (4.34) mesure de Dirac sur (4.35)

paramtres de ux associs aux (5.15)

paramtres dcrouissage

Q eorts gnraliss (6.1)

Q chargement dun systme (6.28)

F fonction de charge (6.1)

q taux de dformation (6.9)(6.28)

qel taux de dformation lastique (6.9)

qan taux de dformation anlastique (6.9)

tenseur des complaisances lastiques (6.10)(6.29)

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE




M moment de exion (6.19)

taux de courbure (6.19)

Me moment limite initiale dlasticit Figure 42

Mp moment limite plastique Figure 42

N eort normal (6.21)

taux dextension (6.22)

qr taux de dformation rsiduelle (6.29)

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE


1 Prsentation du modle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Domaines dlasticit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1 Lexprience de traction simple ; limites dlasticit . . . 162.2 Sollicitation multiaxiale : domaines dlasticit . . . . . 192.3 Quelques rsultats exprimentaux concernant les mtaux 222.4 Fonction de charge et critre de plasticit . . . . . . . . 242.5 Fonctions de charge et critres de plasticit usuels . . . 302.6 Matriaux anisotropes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3 Rgle dcoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.1 La notion de rgle dcoulement . . . . . . . . . . . . . . 433.2 Sollicitation uniaxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.3 Sollicitation multiaxiale pour le matriau crouissable . 463.4 Rgle de normalit. Plasticit associe . . . . . . . 493.5 Rgle dcoulement pour le matriau crouissable en

plasticit associe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.6 Rgle dcoulement pour le matriau parfaitement

plastique en plasticit associe . . . . . . . . . . . . . . 523.7 Tableaux rcapitulatifs (plasticit associe) . . . . . . . 55

4 Le principe du travail plastique maximal . . . . . . . . . 554.1 nonc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.2 Consquences pour le critre et pour la rgle dcoulement 564.3 Matriaux standards . Plasticit associe. Potentiel

plastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.4 Dissipation plastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.5 Exemples de matriaux standards . . . . . . . . . . . . 604.6 Discontinuit de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.7 Postulat de Drucker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.8 Validation du principe du travail plastique maximal . . 65

5 Matriaux standards gnraliss . . . . . . . . . . . . . . 675.1 Problmatique de la rgle dcrouissage . . . . . . . . . 675.2 crouissage cinmatique en plasticit associe . . . . . . 685.3 Matriaux standards gnraliss . . . . . . . . . . . . . 705.4 Utilit du concept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6 Comportement lasto-plastique en variables gnralises 736.1 Problmatique de la formulation en variables gnralises 736.2 Domaines dlasticit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.3 Dformation anlastique. Principe du travail maximal.

Rgle dcoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.4 Milieux continus gnraliss . . . . . . . . . . . . . . . . 766.5 Comportement global dun systme . . . . . . . . . . . . 796.6 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Rcapitulatif des formules essentielles . . . . . . . . . . . . . 82

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

1 Prsentation du modle 15

Le comportementlasto-plastique innitsimal

1 Prsentation du modle

Le schma lasto-plastique pour le comportement des matriaux, dont la pr-sentation fait lobjet de ce premier chapitre, a t initialement labor partir deconstatations exprimentales relatives au comportement tridimensionnel des mtaux.Les domaines dapplication de cette modlisation dbordent maintenant ce cadre. Onrsout actuellement, par voies analytiques ou numriques, des problmes dlasto-plasticit en calcul des structures (structures rticules, structures barres chies),des plaques et coques mtalliques, et lon utilise aussi ce modle pour lanalyse destructures en bton ou douvrages de gotechnique.

On se propose, dans la suite, dexposer le modle de comportement lasto-plastiqueclassique, construit en se plaant dans lhypothse de la petite transformation. Cemodle, dont la prsentation est maintenant bien acquise, demeure le schma plastiquele plus frquemment utilis dans les applications ; il convient toutefois de signaler quedes travaux de recherche eectus au cours des trente dernires annes ont abouti lamise sur pied, de la thorie de llasto-plasticit en transformation nie (entre autres :Lee, 1969 ; Teodosiu, 1970 ; Mandel(1), 1971, 1973 ; Zarka, 1973 ; Brun, 1992).

Le modle de comportement lasto-plastique classique laisse de ct, en ce quiconcerne la plasticit, tout eet de vieillissement et de viscosit du matriau. Dupoint de vue des formules mathmatiques par lesquelles on reprsente le comportementplastique, cela implique :

1o en consquence de labsence de vieillissement, linvariance par translationsur la variable temps ;

2o en consquence de labsence de viscosit, la rponse (dformation) du matriau la variation lmentaire de sollicitation (contrainte) eectue un instant donn,se produit en totalit simultanment cette variation et est indpendante de lavitesse avec laquelle celle-ci est eectue : il y a donc invariance des formulesexprimant le comportement par homothtie positive eectue chaque instantsur la variable temps.

Il rsulte de cela que les formules exprimant le comportement lasto-plastique,sans vieillissement ni viscosit, ne sauraient dpendre explicitement ou implicitementde lchelle du temps physique en ce sens que la rponse du matriau une certainehistoire de sollicitation ne dpend que de la squence des vnements de cette

(1)J. Mandel (1907-1982)

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE


histoire. Aussi fera-t-on usage, pour crire commodment les relations de comporte-ment en plasticit classique, dun temps, paramtre purement cinmatique monotonecroissant en fonction du temps physique. Il en ira videmment de mme pour ltudedes problmes dlasto-plasticit quasi-statiques.

Ce chapitre est organis de faon prsenter en deux tapes les concepts fonda-mentaux sur lesquels sappuie le modle de comportement lasto-plastique classique :

les domaines dlasticit, qui gnralisent la notion de limites dlasticit miseen vidence dans les expriences en sollicitiations uniaxiales (traction simple parexemple) avec le phnomne essentiel dcrouissage ;

la rgle dcoulement plastique qui dnit, dans le cas des sollicitations mul-tiaxiales, la faon dont volue la dformation plastique.

Manifestations macroscopiques des mmes phnomnes physiques au niveau de lamicro-mcanique, ces concepts ne sont videmment pas indpendants.

2 Domaines dlasticit

2.1 Lexprience de traction simple ; limites dlasticit

La gure 1a) reprsente le diagramme eort-allongement relev dans une exp-rience de traction simple eectue sur une prouvette en acier inoxydable (communi-qu par H.D. Bui).

Figure 1 Exprience de traction simple pour un matriau crouissable

Lexprience est eectue vitesse de dformation xe. On constate lexistencedun seuil pour la contrainte, soit 0, partir duquel le comportement du matriaudevient irrversible. Lprouvette ayant t charge au-del de A jusquen B, oneectue une dcharge : celle-ci suit sur le diagramme le chemin BC et non le trajetBAO. En particulier, on note quaprs dcharge totale, il reste une dformation de

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

2 Domaines dlasticit 17

lprouvette reprsente par OC sur la gure : cette dformation permanente est ladformation plastique. On procde alors une nouvelle charge : tant que la contraintereste infrieure

Bcelle-ci seectue en suivant le trajet CB identique, au sens de

parcours prs, celui dcrit lors de la dcharge ; le comportement demeure rversibletout au long de CB. Quand dpasse

B, le point guratif suit la courbe de premire

charge au-del de B, cest--dire la courbe reprsentant la traction sans dcharge. Ainsilors de la nouvelle charge eectue partir de C, B apparat comme le nouveau seuilen traction.

En supposant lhomognit de ltat de contrainte et de la dformation dansla partie utile de lprouvette, la gure 1b) donne la reprsentation du modle decomportement correspondant pour le matriau sous la forme dun diagramme reliantla contrainte la dformation selon laxe de lprouvette. Sur ce diagramme, 0est la limite initiale dlasticit ou seuil initial de plasticit . Aprs chargejusquau niveau

B, la limite actuelle dlasticit ou seuil actuel de plasticit

est gale B : ce rsultat est parfois appel Principe de Coulomb (Bouasse,1920). La dformation permanente aprs dcharge est la dformaion plastique p.

Pour certains matriaux le diagramme contrainte-dformation, homologue de celuide la gure 1b), dpend, dans sa partie irrversible, cest--dire inlastique, de lavitesse de dformation adopte ; cest le cas en particulier, pour laluminium commele montre la gure 2 extraite de (Bui et Zarka, 1972).

Figure 2 Exprience en traction simple sur une prouvette daluminium : inuence dela vitesse de dformation

Il pourrait aussi dpendre, dans sa partie irrversible, de lge du matriau, cest--dire de linstant t0 repr par rapport lhistoire du matriau, auquel est eectuelexprience.

Comme on la dit plus haut ( 1), le modle de comportement lasto-plastique clas-sique laisse de ct tout eet de viscoplasticit et de vieillissement : le comportementdu matriau en traction simple est alors schmatis par la courbe unique de la gure1b), indpendante de t0 et de , (ou, ce qui revient au mme, de ) .

Le phnomne observ la gure 1, o la limite actuelle dlasticit B est eec-tivement une fonction de p, correspond au cas du matriau dit crouissable ; on

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE


prcise mme dans certains cas matriau crouissage positif pour traduire le faitque le seuil de plasticit est une fonction croissante de p. Ce phnomne, quoiquele plus rpandu, nest pas gnral pour le comportement plastique. Ainsi la gure 3a)reprsente le diagramme relev dans le cas de lexprience de traction simple eectuesur une prouvette dacier doux : on constate que celui-ci prsente un palier pour desdformations allant de 103 102 (ordres de grandeur). Un tel comportement estmodlis selon le diagramme de la gure 3b) avec un palier plastique illimit et lon ditque le matriau correspondant est lastique et parfaitement plastique. Ainsi, pourle modle lastique-parfaitement plastique, la contrainte ne peut dpasser la valeur0 et, lorsquelle atteint cette valeur il y a possibilit dallongement illimit.

Figure 3 Exprience de traction simple pour un matriau lastique parfaitementplastique

On revient maintenant lexprience de traction simple dans le cas du matriaucrouissable, aprs la dcharge suivant BC on sollicite la mme prouvette en com-pression (gure 4).

Figure 4 Exprience de traction-compression : eet Bauschinger

On constate alors que la limite dlasticit en compression, initialement gale 0 , se trouve ramene la valeur B , suprieure (algbriquement) 0 . Au-trement dit, lcrouissage en traction qui correspond un relvement de la limitedlasticit en traction, saccompagne dune diminution (en valeur absolue) de la li-mite dlasticit en compression. Ce phnomne est connu sous le nom deet Bau-

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE


schinger. Le segment [0, 0] dnit le domaine initial dlasticit du matriau entraction-compression simple tandis que le segment [B , B] dnit le domaine actueldlasticit aprs crouissage en traction simple jusqu la valeur B. On y reviendradans la suite ( 2.2 et 2.2).

Pour lacier doux, si lon eectue une premire charge en traction jusqu obtenirune dformation plastique sous contrainte constante gale 0 on constate ensuite,aprs dcharge de la traction et charge en compression, que la limite dlasticit encompression est galement ramene une valeur

B , lgrement suprieure 0(algbriquement) et que, si lon poursuit la charge avec dformation plastique encompression, la contrainte rejoint rapidement un palier la valeur 0 , (gure 5a).Ce phnomne nest pas pris en compte dans la modlisation du matriau lastiqueparfaitement plastique qui pose que les valeurs limites dlasticit en traction et encompression sont des constantes (gure 5b).

Domaine dlasticit

Figure 5 Exprience de traction compression

2.2 Sollicitation multiaxiale : domaines dlasticit

2.2.1 Gnralits

Lexprience monoaxiale voque ci-dessus ne reprsente quun cas particulier dessollicitations que peut subir un lment de milieu continu tridimensionnel.

Dune faon gnrale, une sollicitation quelconque de llment de matire est ca-ractrise par le tenseur des contraintes (tenseur de Cauchy), lment de lespaceR9 (ou R6 en tenant compte des symtries ij = ji , i, j = 1, 2, 3) . Par les rsultatsexprimentaux on met en vidence lexistence dun domaine dlasticit initialcontenant lorigine, et tel que pour tout trajet de charge de llment de matire,partant de ltat naturel et situ entirement lintrieur de ce domaine, les dfor-mations sont lastiques (cest--dire rversibles). Ce domaine not C est ainsi dnidans lespace R6 des tenseurs .

Par rapport la sollicitation uniaxiale, il apparat comme lhomologue du seg-ment [0, 0] trac sur laxe des la gure 4. On peut dire aussi que le segment[0, 0] est lintersection du domaine dlasticit initial avec la droite sollicitation

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE


en traction-compression . De mme, dans le cas dune sollicitation plus complexe telleque celle ralise dans lexprience de traction-compression et torsion de tubes minces(Bui, 1970), o les seules composantes non nulles du tenseur des contraintes sont lacontrainte normale zz et la contrainte de cisaillement z variant indpendammentlune de lautre (gure 6), on obtient un domaine dlasticit qui est lintersection dudomaine dni dans lespace R6 avec le sous-espace correspondant la sollicitationapplique cest--dire le plan dquations zr = rr = r = = 0. Cest dailleursen eectuant de telles expriences analogues que lon peut parvenir dterminer ledomaine dlasticit dans lespace R6.

Figure 6 prouvette pour lexprience de traction-compression et torsion dun tubemince ; exemple de domaine initial dlasticit dtermin exprimentalement(H. D. Bui, 1970)

2.2.2 Matriau crouissable

Dans le cas du matriau crouissable la charge peut tre poursuivie au-del dudomaine dlasticit initial ; le point de charge ayant atteint la frontire initialedlasticit (frontire de C) peut franchir celle-ci : il y a alors apparition de dfor-mations permanentes. On dnit, en chaque point du trajet de charge, le domainedlasticit actuel : le domaine dlasticit actuel correspondant un point B et un trajet de charge donn aboutissant en B est, par dnition, le domaine de R6 en-gendr par lensemble des trajets de charge issus de B le long desquels la dformationvarie de faon purement lastique.

Lorsque le point de charge franchit la frontire initiale dlasticit, il entraneavec lui la frontire du domaine dlasticit actuel, comme cela est reprsent sch-matiquement, dans lespace deux dimensions, la gure 7. La forme de la frontiredlasticit est en gnral modie au cours de cette volution. Ce phnomne estlhomologue de ce qui a t prsent la gure 4 o le domaine dlasticit actueltait reprsent par le segment [

B , B ] sur laxe .

Dans le cas de la sollicitation tridimensionnelle, cest tout la fois len-tranement et la dformation du domaine dlasticit que lon donne le nom

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE


Figure 7 Domaines dlasticit initial et actuel dans R6 pour le matriau crouissable

dcrouissage. On remarque quavec cette terminologie, leet Bauschinger nest plusquun aspect particulier du phnomne dcrouissage.

noter videmment que :

le domaine dlasticit actuel dpend non seulement de la position actuelle du pointde charge, mais du trajet suivi pour latteindre partir de ltat initial naturel dellment : on dira quil dpend de ltat dcrouissage du matriau ;

en particulier, le point de charge nest pas ncessairement sur la frontire dudomaine dlasticit actuel (ex : le point M de la gure 7, atteint par le trajetde charge OABM).

Un arc de trajet de charge est dit croissant du point de vue du comportementplastique du matriau si le point de charge est chaque instant la frontiredu domaine dlasticit actuel, et sil est orient vers lextrieur (au sens strict) dece domaine. Sur un tel arc de trajet de charge il y a la fois volution de ladformation plastique et de ltat dcrouissage du matriau.

Un arc de trajet de charge situ sur la frontire du domaine dlasticit actuel estdit neutre : il nengendre aucune volution de ltat dcrouissage ni de la dformationplastique.

2.2.3 Matriau parfaitement plastique

Pour le matriau parfaitement plastique, le domaine dlasticit nest pas modipar lapparition des dformations plastiques. On a aaire un domaine xe : le pointde charge ne peut sortir de ce domaine ; les dformations plastiques ne se produisentque si est sur la frontire dlasticit et y demeure (gure 8).

Le domaine dlasticit tant suppos xe, il ny a en particulier pas deet Bau-schinger pour le matriau parfaitement plastique, ce qui rejoint bien la modlisationprsente la gure 5b).

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE


Figure 8 Domaine dlasticit dans R6 pour le matriau parfaitement plastique

2.2.4 Remarques

On voit ainsi que les notions de limites dlasticit initiale et actuelles rencon-tre dans le cas de la sollicitation uniaxiale sont un cas particulier de la notion defrontires dlasticit initiale et actuelles correspondant au cas gnral de lasollicitation tridimensionnelle.

Dautre part, les concepts introduits ici sont videmment dpendants de lhypo-thse initiale sur la non-intervention de lchelle du temps physique.

2.3 Quelques rsultats exprimentaux concernant les mtaux

Figure 9 Machine de traction-torsion et cellule de compression-torsion, (daprs H.D.Bui, 1970)

Il est utile de donner ici quelques indications sur la faon dont on peut dter-miner exprimentalement le domaine dlasticit dun matriau et son volution. Denombreux travaux ont t consacrs cette question en ce qui concerne les mtaux.

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE


Par dnition, la frontire initiale dlasticit correspond lapparition des d-formations irrversibles. De mme, pour dterminer la frontire actuelle on doit enprincipe, partir de la position B du point de charge (gure 7), faire une dcharge,puis une charge dans une direction dirente et y dceler lapparition de nouvelles d-formations irrversibles. On conoit donc que la nesse avec laquelle on est en mesuredapprcier les accroissements de dformations irrversibles est dune importance ca-pitale pour la prcision et lauthenticit de la frontire dlasticit ainsi dtermine. titre indicatif lappareillage conu par H.D. Bui pour ses expriences sur prouvettesmtalliques, dont les rsultats seront comments dans la suite, avait une rsolution de2105 (gure 9). On peut signaler que, pour la dtermination de la frontire initialedlasticit, il est courant et commode dexplorer le domaine en parcourant des trajetsde chargement radiaux (cest--dire proportionnels) partir de ltat naturel et desattacher dtecter la perte de linarit sur la rponse en dformation en fonctionde la contrainte.

Figure 10 Frontires dlasticit successives aprs crouissage en compression pourAl 99,5, daprs (Bui, 1970)

La gure 10, extraite de (Bui, 1970), prsente dans le cas de laluminium 99,5, lesfrontires dlasticit bidimensionnelles pour des sollicitations de traction-compressionet cission, obtenues aprs crouissage en compression pure. On y remarque, aprs lepremier pas dcrouissage, leet dexpansion mis en vidence par Bui, qui setraduit en particulier par le fait que lcrouissage en compression relve le seuil deplasticit en traction ; le seuil en cission pure est galement relev. Par la suite lef-fet Bauschinger, tel que dcrit au paragraphe prcdent, se manifeste, contrebalanceleet dexpansion et devient prpondrant : le seuil en traction est rduit aprs uncrouissage susant en compression ; il en va de mme pour le seuil en cission pure.

Cet eet dexpansion, qui est faible, napparat selon Bui que dans le cas de certainsmtaux bien recuits.

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE


Les gures 11, galement extraites de (Bui, 1970), montrent lvolution du domainedlasticit dans le cas du fer ARMCO pour deux types de trajets de charge. Onremarque lapparition dune bosse au voisinage du point de charge, mais dont lesommet ne concide pas ncessairement avec celui-ci.

Figure 11 crouissage du Fer ARMCO (daprs Bui, 1970)

2.4 Fonction de charge et critre de plasticit

2.4.1 Fonction de charge dans ltat initial

Il est dusage, pour dnir mathmatiquement le domaine dlasticit initial C,dintroduire une fonction scalaire f de , telle que, dans lespace R6 des contraintes :

f() < 0 corresponde lintrieur du domaine,

f() = 0 sa frontire,

f() > 0 lextrieur.

(2.1)

La fonction f est appele fonction de charge du matriau dans ltat initial. Ondsigne aussi couramment par critre de limite dlasticit, ou critre de plasticitla condition f = 0.

Toutefois, dans la pratique, la fonction f elle-mme est souvent appele critrede plasticit sans risque de confusion.

2.4.2 Principe disotropie de lespace

Lcriture classique f() peut apparatre comme incorrecte du point de vue math-matique, ou risquant de prter confusion, dans le cas gnral du milieu anisotrope.Elle laisse entendre en eet que la valeur de la fonction de charge, scalaire, ne dpend

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE


que du seul tenseur symtrique , dont aucun autre argument explicite dans f nepermet dapprcier lorientation, et qui, en consquence, ninterviendrait que par sesvaleurs principales.

En fait la valeur scalaire de la fonction de charge est calcule partir des compo-santes de dans une base, orthonorme pour xer les ides. Il est opportun de choisir,pour exprimer cette fonction qui est une caractristique physique du matriau, un tri-dre de base R, physiquement signicatif pour llment de matire, qui permette dednir lorientation de celui-ci dans lespace ambiant. La fonction de charge sera alorsexplicite dans R en fonction de la matrice de sous la forme fR()

En application du principe disotropie de lespace la fonction fR est intrinsqueau matriau, indpendante de lorientation de llment de matire dans lespace am-biant. Elle permet dexpliciter la fonction de charge dans un repre R orthonormquelconque en fonction de la matrice dans ce repre, partir de la relation :

fR() = fR() = fR(t . . )(2.2)

o dsigne la matrice de changement de coordonnes orthonormes entre R et R.

Ces prcisions tant donnes, on conservera pour la fonction de charge lcritureclassique f(), tant quelle ne sera pas susceptible dengendrer des erreurs dinterpr-tation.

2.4.3 Choix dune expression symtrique pour f()

On peut remarquer que f() nest physiquement dnie que sur lespace R6 desmatrices symtriques. Il est commode, pour les applications venir (notamment auxparagraphes 3.1 et 4.2) de considrer f() comme exprime en fonction des 9 com-posantes de o ij et ij(i = j) sont articiellement distingues, en choisissantpour cela lexpression symtrique en ij et ji(2). La convention ainsi expliciteest ncessaire pour la validit de lcriture (3.19) de la rgle de normalit ( 3.4).

2.4.4 quation aux dimensions de f

Le tenseur des contraintes tant une grandeur physique dimensionne, les propri-ts de dnition (2.1) ne prcisent en rien les dimensions de f(). Il se rvle souventcommode de choisir pour f() une expression sans dimensions ou bien une expressionayant les dimensions dune contrainte. Il ny a toutefois pas dusage gnral en cettematire.

(2)Ceci revient dnir le prolongement de la fonction f hors de son domaine dnition physique(tenseurs symtriques = R6) sur les tenseurs du second ordre (R9) par :

t R9, f(t) = f((t + tt)/2

).

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE


2.4.5 Fonction de charge et crouissage

Pour le matriau crouissable, le domaine dlasticit actuel dpend de ltatdcrouissage de llment de matire, qui sera dsormais reprsent symboliquementpar E.

En toute gnralit ltat dcrouissage E est dtermin par lhistoire de chargedu matriau. En labsence deets de viscosit et de vieillissement, le trajet de chargesut cette dtermination, indpendamment de lhoraire de parcours. De plus, ladescription donne au paragraphe 2.2.2 montre que seule la squence des arcs detrajet de charge croissants est retenir. Cest ainsi que E reprsente dune maniregnrale la squence des arcs de trajet de charge croissants (gure 12).

Pour dnir le domaine dlasticit actuel not C(E) on introduit une fonctionscalaire f de et de E, fonction de charge dans ltat actuel, telle que danslespace R6 des contraintes :

f(,E) < 0 corresponde lintrieur de C(E) ,

f(,E) = 0 la frontire de C(E) ,

f(,E) > 0 lextrieur de C(E) ,

(2.3)

Lorsque le point de charge dcrit un arc de trajet de charge croissant, commeexpliqu au paragraphe 2.2.2, il entrane avec lui le domaine C(E) en mme temps quecelui-ci se dforme (gure 12). Dans le mme temps il y a volution de la dformationplastique.

Figure 12 crouissage : entranement de C(E) par dans R6

La description de lvolution de ltat dcrouissage E en suivant le point de charge sur les arcs de trajet de charge croissants est lobjet de la rgle dcrouissage.Celle-ci sexprime sous la forme dune relation entre E et , E , lorsque est dirig

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE


vers lextrieur de C(E) au point , cest--dire lorsque

f(,E) = 0(2.4)

et

fE(,E, ) =f(,E)

: > 0 (3) .(2.5)

Lexpression de la fonction de charge (2.3) et celle de la rgle dcrouissage sous(2.4) et (2.5) doivent tre mathmatiquement compatibles : sur larc de trajet decharge croissant, le point de charge demeure, chaque instant, la frontire dudomaine dlasticit actuel (gure 12). En posant

d = dt , dE = E dt , dt > 0 ,(2.6)

est sur la frontire de C(E) et + d est sur la frontire de C(E + dE). On a ainsi la fois :

f(,E) = 0(2.7)

f(,E, , E) =f(,E)

: +

f(,E)E

E = 0(2.8)

avec

fE(,E, ) > 0 .(2.9)

Il convient de remarquer que, dans lquation (2.8), le termef(,E)

EE a un

caractre symbolique et que linversion algbrique de cette quation de cohrence(4)

pour expliciter la rgle dcrouissage partir de la donne de f(,E) nest, sous cetteforme, pas possible.

Les modles dcrouissage ont pour but, partir de thories simplicatrices oupar des approches plutt pragmatiques, daboutir une explicitation de E dans lafonction de charge (2.3) au moyen dun nombre raisonnable de paramtres scalairesou tensoriels de faon permettre des calculs pratiques.

Linversion de (2.8) peut alors tre explicite comme on le verra sur les deuxexemples du paragraphe suivant. Il en rsulte que les taux de variation des para-mtres dcrouissage sont proportionnels fE(,E, ) sous la condition (2.9) ; lescoecients de proportionnalit correspondants sont des fonctions de et de E. Deplus on montrera au paragraphe (3.5), en plasticit associe , que la rgle dcou-lement plastique dmontre la proportionnalit de dp(,E, ), taux de dformation

(3)On suppose ici la fonction de charge rgulire ; lcriture de fE sera gnralise au paragraphe3.3 dans le cas o f(,E) prsente des singularits (formule (3.11)).(4)En anglais consistency .

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE


plastique, vis--vis de fE(,E, ), sous la condition (2.9), les coecients de propor-tionnalit tant fonctions de et E (cf.(3.27), (3.29)). Il sensuit que les taux devariation des paramtres dcrouissage sont proportionnels dp(,E, ) (avec descoecients fonctions de et E).

2.4.6 Modles dcrouissage

crouissage isotrope (Taylor et Quinney)

Figure 13 crouissage isotrope

Dans le modle dcrouissage dit isotrope de Taylor et Quinney (1931), ltatdcrouissage E est dcrit par un seul paramtre scalaire . Le domaine dlasticitactuel C(E) suit le point de charge sur les arcs de trajet de charge croissants en setransformant par homothtie de centre 0 (gure 13). La fonction de charge (2.3) peutse mettre par exemple sous la forme (2.10) o = 1 dans ltat initial :

f(,E) = f(

) , > 0 .(2.10)

Linversion de lquation de cohrence (2.8) est explicite et donne la rgle dcrouis-sage :

=

f(1)

:

f(1)

: si f =

f(1)

: > 0 .(2.11)

crouissage cinmatique (Prager)

On revient au cas gnral du paragraphe 2.4.5 o la fonction de charge a la forme(2.3) et lentranement de C(E) par le point de charge sur un arc de trajet decharge croissant, reprsent sur la gure 12. Localement, au point , on peut dnirla clrit de la frontire de C(E) : il sagit du tenseur symtrique w , normal en la frontire de C(E) , qui mesure le taux de dplacement de cette frontire considre

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE


comme une surface gomtrique dans R6, quand elle est entrane par le point decharge. Le calcul de w , schmatis sur la gure 14, est immdiat(5) :

w(,E, ) =f(,E)

fE(,E, )

tr(f(,E)

)2.(2.12)

Figure 14 Clrit de la frontire de C(E) au point

Le modle dcrouissage cinmatique d Prager (1955 b, 1958) supposeque, sur un arc de trajet de charge croissant, le domaine C(E) est entran sansdformation par le point de charge : il y a purement et simplement translationde C(E) dans R6 (gure 15).

Figure 15 crouissage cinmatique

Ltat dcrouissage est donc dcrit par un paramtre tensoriel , initialement nulet la fonction de charge (2.3) scrit :

f(,E) = f( ) .(2.13)

De plus le modle postule que la vitesse de translation de la frontire de C(E) est, chaque instant, normale la frontire de C(E) au point de charge lorsque celui-ci(5)On suppose que est un point rgulier de la frontire de C(E). Le raisonnement peut tre tenduau cas dun point singulier.

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE


dcrit un arc de trajet de charge croissant : est donc colinaire f(,E)

. La rgle

dcrouissage correspondante sobtient en explicitant linversion de (2.8) compte tenudes deux hypothses du modle. On trouve videmment que (, , ) nest autre,dans ce cas, que la clrit au point introduite plus haut :

(, , ) =f( )

f(, , )

tr(f()

)2

= w(,E, )(2.14)

si

f(, , ) =f( )

: > 0 .

Autres modles dcrouissage

Les deux modles ne rendent videmment pas compte de tous les aspects des r-sultats exprimentaux tels que ceux prsents au paragraphe (2.3) Ils sont toutefoisutiliss dans certains logiciels, souvent sous la forme dun modle mixte isotrope-cinmatique , et conduisent des rsultats pertinents pour des applications pra-tiques. Dautres modles ont t proposs (cf. par exemple Drucker(6), 1962) ; on aaussi dvelopp la thorie gnrale dune classe de matriaux dits standards gn-raliss qui recouvre beaucoup des modles dcrouissage utiliss actuellement (cf.section 5).

2.5 Fonctions de charge et critres de plasticit usuels

2.5.1 Convexit

Lexprience a montr que pour la quasi-totalit des matriaux les domaines dlas-ticit initial et actuels sont convexes. Pour les mtaux cette proprit de convexitpeut dailleurs se dmontrer partir de la connaissance des mcanismes microsco-piques qui, lchelle de la maille cristalline, correspondent la dformation plastique(Hill, 1956 ; Mandel, 1966).

Cette proprit sera admise dans toute le suite de cette prsentation du compor-tement lasto-plastique.

La convexit de C(E) implique que la fonction de charge f(,E) qui intervient dans(2.3) est ncessairement convexe de sur la frontire de C(E). La rgle habituelle estde choisir pour cette fonction une expression convexe de pour toute valeur de :

, , [0, 1]f( + (1 ) , E) f(,E) + (1 )f(,E)(2.15)

(6)D. Drucker (1918-2001)

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE


2.5.2 Symtries matrielles

Les domaines dlasticit, et donc aussi les critres de limite dlasticit qui lesdcrivent, satisfont au principe de respect des symtries de la matire. Ainsi, dansle repre R, deux sollicitations et et , lies lune lautre par une isomtrie dugroupe G des symtries de la matire dans son tat actuel, sont quivalentes pour lafonction de charge fR :

, G , fR() = fR(t. . ) .(2.16)

2.5.3 Cas du matriau isotrope

En particulier pour le matriau isotrope dans son tat initial et dont on supposelisotropie conserve par la dformation lastique, le critre de limite dlasticit ini-tiale doit satisfaire la condition (2.16) sous la forme :

, tel que t. = 1l ,fR() = fR(t. . )

(2.17)

qui traduit bien la perception physique du concept disotropie : le matriau tantisotrope, la valeur de la fonction de charge ne dpend pas de lorientation dutenseur dans R.

La fonction f est alors, proprement parler, une fonction (isotrope) du (seul)tenseur symtrique . Le thorme de reprsentation (Wineman et Pipkin, 1964)nonce que f sexprime de facon quivalente comme :

soit une fonction symtrique des contraintes principales,

soit une fonction des invariants I1, I2, I3 de

I1 = tr = ii ,

I2 =12tr (2) =

12ijji ,

I3 =13tr (3) =

13ijjkki ,

(2.18)

soit une fonction de linvariant I1, de et des invariants J2 et J3 de son dviateurs rappels dans la suite ( 2.5.5).

Il faut noter que lexpression de f en fonction des invariants de ou de s nestpas ncessairement polynomiale, et ceci mme pour des critres trs simples (critrede Tresca, ( 2.5.4), par exemple).

Si lisotropie est conserve au cours de lcrouissage, le critre actuel est lui aussiune fonction symtrique des contraintes principales.

Il rsulte de la proprit nonce ci-dessus pour f (expression symtrique en fonc-tion des seules contraintes principales) que le domaine dlasticit pour le matriau

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE


isotrope peut tre reprsent dans lespace R3 des contraintes principales et quil ad-met, dans cet espace, laxe (1, 1, 1) comme axe de symtrie ternaire et les trois plansbissecteurs des axes comme plans de symtrie. On peut alors montrer que ltude dela convexit du domaine dlasticit dans lespace R6 des tenseurs , est quivalentepour les matriaux isotropes celle de la convexit du domaine reprsentatif danslespace R3 des contraintes principales(7).

On prsente dans la suite quelques critres couramment utiliss pour les matriauxisotropes.

2.5.4 Critre de Tresca

Ce critre fut introduit par H. Tresca (1864, 1867, 1868) la suite dexpriencessur le plomb. La fonction de charge correspondante scrit :

f() = sup {i j 0 | i, j = 1, 2, 3}(2.19)

(i , i = 1, 2, 3 : contraintes principales).

0 apparat comme la limite dlasticit en traction simple ; elle est gale lopposde la limite en compression simple ; la rsistance en cission simple vaut 0/2 .

Ce critre est aussi appel critre de cission maximale , terminologie dontlorigine est vidente si lon se reporte par exemple la reprsentation des contraintesdans le diagramme de Mohr (gure 23) ; sur toute facette lintensit de la contraintede cisaillement est borne par :

| | 0/2 .(2.20)

Dans lespace R3 des contraintes principales, le domaine dlasticit du matriauest un prisme hexagonal rgulier daxe (1, 1, 1) (gure 16).

Figure 16 Critre de Tresca : domaine dlasticit dans lespace des contraintesprincipales

(7)La proposition directe est vidente car il sut de considrer des tenseurs contraintes qui ontles mmes directions principales. La rciproque a t tablie par Yang (1980).

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE


Lexpression (2.19) o 0 est une constante correspond au cas du matriau parfai-tement plastique. Pour le matriau crouissable, on peut notamment examiner le casdu modle dcrouissage isotrope (2.10) pour lequel la fonction de charge sexplicitealors sous la forme :

f(,E) = sup {i j

0 | i, j = 1, 2, 3} .(2.21)

Lcrouissage cinmatique (2.13) sexprime ici par :

f(,E) = sup {( )i ( )j 0 | i, j = 1, 2, 3} ,(2.22)dans laquelle le tenseur symtrique est de trace nulle. Cet crouissage ne conservepas lisotropie initiale du matriau.

On peut enn adopter un modle mixte isotrope-cinmatique dpendant desparamtres dcrouissage scalaire et tensoriel symtrique de trace nulle , sous laforme :

f(,E) = sup { ( )i ( )j

0 | i, j = 1, 2, 3} .(2.23)

Remarques

1o - Le critre de Tresca est indpendant de la partie sphrique du tenseur descontraintes et ne dpend donc que du dviateur des contraintes, tenseur s de tracenulle dni partir de par :

s = 13(tr )1l .(2.24)

En eet, il est clair sur (2.19) que laddition dun tenseur sphrique quelconque ne modie pas la valeur de la fonction de charge (do la forme de dans (2.22)).

Cette proprit a t observe exprimentalement pour de nombreux matriaux.

2o - Il nexiste pas, pour le critre de Tresca, de fonction de charge sexprimantde faon polynomiale en fonction des invariants de (ou de s ) : il sut, pour senconvaincre de remarquer que la frontire de C est un prisme hexagonal, cest--direune surface de R3 possdant six artes de points singuliers. De ce point de vue,lexpression :

4J32 2J23 920J22 + 640J2 60 ,(2.25)propose par certains auteurs est incorrecte (J2 et J3 y reprsentent les invariants des dnis ci-dessous la formule (2.26)).

2.5.5 Critre de von Mises

Comme le critre de Tresca, il sagit dun critre valable pour les matriaux iso-tropes. Il est galement indpendant de la composante sphrique du tenseur descontraintes. La fonction de charge ne dpend donc que de s.

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE


De faon gnrale pour un matriau isotrope, f qui est fonction des invariants de sexprime de manire quivalente comme une fonction de I1 = tr , premier invariantde , et des invariants non nuls de s dnis par :

J2=12tr (s2) =

12sijsji

(2.26)

J3=13tr (s3) =

13sijsjkski

Si fest indpendante de la partie sphrique de et ne dpend donc que de s , ellesexprime en fonction des seuls invariants J2 et J3.

Le critre de von Mises correspond pour un critre de ce type la forme la plussimple. La fonction de charge scrit :

f() =

J2 k .(2.27)

k apparat comme la limite dlasticit en cission simple. La limite en tractionsimple est alors gale k

3 ; la limite en compression simple est k3. On dnit

partir de cette fonction de charge le concept de contrainte quivalente (de von Mises) un tat de contrainte donn : note eq, cest la contrainte de traction qui donne lamme valeur la fonction de charge que ltat de contrainte considr :

eq =

3 J2 .(2.28)

Le critre de von Mises est parfois appel critre de la cission octadrale (8)

(cf. 2.5.6). Il a t propos indpendamment par Beltrami (1903), Huber (1904), vonMises (1913) et Hencky (1924). On en donne aussi une interprtation nergtique :limitation de lnergie de distorsion lastique du matriau isotrope.

Dans lespace R3 des contraintes principales {1, 2, 3}, le domaine dlasti-cit du matriau est un cylindre circulaire droit, daxe (1, 1, 1), et de rayon k

2

(gure 17).

Figure 17 Critre de von Mises : domaine dlasticit dans lespace des contraintesprincipales

(8)Contrainte tangentielle sur la facette de normale n =

33

(e1 + e2 + e3).

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE


Pour un matriau parfaitement plastique k est une constante.

Lcrouissage isotrope correspond lexpression :

f(,E) =J2

k ,(2.29)

et lcrouissage cinmatique :

f(,E) =

12tr(s )2 k ,(2.30)

o est un tenseur symtrique de trace nulle. Lisotropie initiale du matriau nestvidemment pas conserve par (2.30).

Le modle mixte isotrope-cinmatique , dpendant des paramtres et comme (2.23), sexprime par

f(,E) =

12tr(s )2

k(2.31)

II est utile, pour les applications pratiques, de donner lexpression de la fonctionde charge (2.27) de von Mises, en fonction des contraintes principales :

f() =

16[(1 2)2 + (2 3)2 + (3 1)2] k .(2.32)

qui permet, souvent, dviter des calculs fastidieux.

2.5.6 Autres formes de critres proposes pour les mtaux

Les rsultats dexpriences eectues sur les mtaux, tels que ceux rapports par Bui (1970)en traction-compression et cission semblent indiquer que le critre de plasticit initial pour cesmatriaux serait plus proche du critre de von Mises que du critre de Tresca (en particulierle rapport des limites en traction pure et en cission pure est plus proche de

3 que de 2).

Ces deux critres, indpendants de la partie sphrique du tenseur des contraintes, et qui nefont intervenir quune grandeur scalaire caractristique du matriau (0 et k respectivement)sont aussi appels critres de cission eective .Pour le critre de Tresca, sans crouissage la cission eective est la cission maximale

max = sup{(i j)/2 | i, j = 1, 2, 3};(2.33)pour le critre de von Mises sans crouissage, la cission eective est la cission octadrale

oct =

2J2/3 .(2.34)

Drucker (1949), pour rendre compte des expriences eectues par Osgood (1947) sur destubes minces en aluminium sollicits en traction longitudinale avec pression interne, a proposun critre dans lequel la cission eective est proportionnelle :

(J32 2, 25J23 )1/6 .(2.35)La gure 18, extraite de (Drucker, 1962) reprsente les frontires dcoulement correspondantaux trois critres ci-dessus dans le cas de sollicitations en contrainte plane (3 = 0) enidentiant les limites en traction simple.

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE


Figure 18 Frontires dcoulement en contrainte plane pour trois critres de cissioneective

2.5.7 Critre de Coulomb

Prsentation

Pour les sols et les matriaux granulaires on adopte souvent, dans lhypothsedisotropie le critre de rsistance de Coulomb(9). Ce critre possde, vrai dire,pour ces matriaux, plutt le caractre de critre de rsistance, tel que ce conceptsera introduit au chapitre III, que celui de critre de plasticit. Il est nanmoinsparfois utilis comme tel dans certaines analyses et on en fera la prsentation ici parcontinuit avec les critres prcdemment voqus.

Il est commode, pour cette prsentation, de se rfrer au critre de Tresca enremarquant que celui-ci possde deux proprits importantes :

il ne porte que sur les contraintes principales extrmes ; seule la dirence entre ces contraintes principales extrmes intervient dans lex-pression de la fonction de charge, ce qui revient borner cette dirence.

Ainsi, en ordonnant les contraintes principales, notes alors I , II , III , selon :

I II III (tractions positives) ,(2.36)la fonction de charge (2.19) scrit :

f() = I III 0 .(2.37)Le critre de Coulomb conserve la premire des proprits ci-dessus. En revanche

les deux contraintes principales extrmes y interviennent explicitement : la constante0 de (2.37) y est remplace par une expression linaire en (I + III) sous la forme :

f() = I III + (I + III) sin 2C cos(2.38)et fait donc intervenir deux constantes caractristiques du matriau : C la cohsionet langle de frottement interne. Cette expression est bien celle dun critre dematriau isotrope.(9)C. A. Coulomb (1736-1806).

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE


Le matriau est dit pulvrulent ou purement frottant si = 0 et C = 0. Il estpurement cohrent si = 0 et C = 0, et le critre se rduit alors celui de Trescaavec 0 = 2C.

La gure 19 reprsente, dans lespace des contraintes principales, le domaine d-limit par le critre de Coulomb (2.38). Cest une pyramide hexagonale qui admetles trois plans bissecteurs des axes comme plans de symtrie et laxe (1, 1, 1) commeaxe de symtrie ternaire ( 2.5.3), et dont les faces sont respectivement parallles auxaxes 1, 2 et 3.

Figure 19 Critre de Coulomb : domaine dlasticit dans lespace des contraintesprincipales (H = C cot )

La gure 20 reprsente la section de ce domaine par un plan dviateur , per-pendiculaire laxe de symtrie ternaire, dquation : 1 + 2 + 3 = 3P .

Figure 20 Critre de Coulomb : section du domaine dlasticit par le plan dquation1 + 2 + 3 = 3P

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE


Reprsentation de Mohr (10)

Lexpression relativement complique (2.38) de la fonction de charge de Coulombne fait pas apparatre la signication mcanique originale de ce critre, homologuede celle de critre de cission maximale , donne au paragraphe (2.5.6) pour lecritre de Tresca. Il convient, pour mettre en vidence cette interprtation, de rappelerquelques rsultats concernant la reprsentation du tenseur des contraintes dans le plande Mohr.

On dsigne par T (n) le vecteur-contrainte induit au point M par le tenseur descontraintes sur une facette de normale n quelconque. Les composantes normaleselon n et tangentielle dans le plan de cette facette de T (n) sont respectivement (n)et (n) .

T (n) = . n(n) = n . . n(n) = T (n) (n)n| (n) |2 = 2(n) = [(n) . n ]2 (n . . n)2

(2.39)

On tablit alors les ingalits suivantes, o I , II et III sont ordonnes selon(2.36).

n ,2(n) + ((n) II)((n) III) 02(n) + ((n) I)((n) II) 02(n) + ((n) I)((n) III) 0 .

(2.40)

Figure 21 Les cercles de Mohr

Dans le plan de Mohr, o les coordonnes orthogonales sont et , les ingalits(2.40) signient que lextrmit T (n) du vecteur OT (n) dont les coordonnes sont(n) et (n) (11) est situe, quel que soit n ,

(10)O. Mohr (1835-1918).(11)Lindtermination sur le signe de (n) est sans importance.

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE


lextrieur du cercle centr sur O au point dabscisse (II + III)/2 et de rayon(II III)/2 ,

lextrieur du cercle centr sur O au point dabscisse (I + II)/2 et de rayon(I II)/2 ,

lintrieur du cercle centr sur O au point dabscisse (I + III)/2 et de rayon(I III)/2 .Ces trois cercles sont appels cercles principaux ou cercles de Mohr. Le troisime,

qui est le plus grand, est le (grand) cercle de Mohr (gure 21).

Formulation du critre de Coulomb dans le plan de Mohr

Il est commode de poser :

p = (I + III)/2 , R = (I III)/2 .(2.41)La fonction de charge (2.38) scrit alors :

f() = 2[R (p + C cot) sin ] .(2.42)Il en rsulte linterprtation suivante du critre de Coulomb : la condition f() 0

limite le rayon R du (grand) cercle de Mohr centr labscisse p sur O. Ainsiles tats de contrainte qui satisfont le critre de Coulomb avec (2.38) sont tousles tenseurs dont le (grand) cercle de Mohr est intrieur ou tangent au domainedlimit dans le plan de Mohr par les inquations (gure 22) :

| | C tan (12) .(2.43)

Figure 22 Cercles de Mohr permis par le critre de Coulomb

En rapprochant ce rsultat de la signication donne plus haut pour les cercles deMohr partir des ingalits (2.40) on en dduit que le critre de Coulomb sexprimede faon quivalente f() 0 avec (2.38) par :

n , | (n) | C (n) tan .(2.44)(12)On remarque que ces inquations impliquent : C cot = H.

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE


La contrainte tangentielle (n) agissant sur une facette dorientation quelconque

demeure, en module, infrieure ou gale une fonction linaire (ane) de la contraintenormale (n), elle-mme astreinte la limitation : (n) H = C cot. Critres de type courbe intrinsque

Les deux demi-droites | | = C tan C cot(2.45)

sont les enveloppes des cercles de Mohr maximaux ou limites permis par le critrede Coulomb. Elles constituent la courbe intrinsque du matriau rgi par ce critre.

On remarque que pour le critre de Tresca, cas particulier du critre de Coulomb,la courbe intrinsque est constitue des deux droites dquations (gure 23) :

| | = C = 0/2 .(2.46)

Figure 23 Courbe intrinsque pour le critre de Tresca

Le concept de courbe intrinsque correspond la gnralisation, propose par Mohr et Ca-quot(13) , des critres de Tresca et de Coulomb dans laquelle les tats de contraintes permispar le critre sont dnis dans le plan de Mohr par un domaine convexe, homologue de ceuxdes gures 22 et 23, qui limite les (grands) cercles de Mohr et dont la frontire est lenveloppedes cercles de Mohr maximaux dtermine exprimentalement (cf. infra). Cette frontireest la courbe intrinsque du matriau considr (gure 24).La fonction de charge correspondante se met sous la forme

f() = I III g(I + III )(2.47)

o la fonction (g) est convexe de son argument et de drive infrieure 1 en module(condition rsultant de lexistence dune enveloppe relle des cercles de Mohr).Une tude dtaille de ce type de critre pour matriaux isotropes est donne notammentdans (Halphen et Salenon, 1987).

(13)A. Caquot (1881-1976).

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE


Figure 24 Courbe intrinsque

La dtermination exprimentale du domaine dlasticit des matriaux pour lesquels on uti-lise un critre de type courbe intrinsque, seectue le plus souvent au moyen dexpriencesdites au triaxial , dans lesquelles ltat de contrainte, suppos uniforme dans un chan-tillon cylindrique, dpend de deux paramtres seulement ; les contraintes principales danslchantillon sont :

III < II = I .(2.48)

Il est clair que ce type dexprience nest pas discriminant. Il ne permet pas de dcider si lecritre du matriau isotrope tudi est ou nest pas du type courbe intrinsque, cest--dire desavoir si la contrainte principale intermdiaire intervient ou non dans la fonction de charge.Les cercles de Mohr limites y dpendent dun seul paramtre, et leur enveloppe nest quela courbe intrinsque pour lexprience au triaxial de type tudi. Pour cette raison, on advelopp divers types dexpriences dites au vrai triaxial dans le but de faire varierindpendamment les trois contraintes principales.

2.5.8 Autre forme de critre propose pour les matriaux gra-nulaires isotropes

Au lieu du critre de Coulomb, Drucker et Prager (1952) ont propos dutiliser un critremathmatiquement plus rgulier qui lui est apparent et sexprime en fonction simple desinvariants I1 et J2 de . Le domaine correspondant est reprsent dans lespace des contraintesprincipales par un cne de rvolution daxe (1,1,1) au lieu de la pyramide hexagonale ducritre de Coulomb : gure 25 comparer la gure 19 comme la gure 17 la gure 16.La fonction de charge pour ce critre est de la forme

f() = (I1

3H)+

J2(2.49)

o H reprsente la limite thorique dlasticit en traction triple (H 0) et est uneconstante positive : 0 < 0 .(3.3)

Le module dlasticit E est dni dans chaque tat (, ) par :

E = d/de .(3.4)

Dans les expriences eectues sur les mtaux il apparat comme indpendant de et de pour un mtal donn (deuxime proposition du principe de Coulomb cit par Bouasse).

Dans le cas o le point de charge est la limite dlasticit actuelle on dnit le module tangent par la relation :

Et = d/d d > 0 ,(3.5)

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

3 Rgle dcoulement 45

le module dcrouissage du matriau tant :

M = d/dp d > 0 .(3.6)On a alors la relation vidente :

1Et

=1E

+1M .

Et, E etM sont des grandeurs ayant la dimension dune contrainte.Le module dcrouissageM est positif pour le matriau crouissable classique,

correspondant au diagramme de la gure 26 ; le matriau crouissage ngatif cor-respond au cas o la courbe de charge, aprs avoir cr jusqu un maximum, dcrot :Et etM sont alors ngatifs. Matriau parfaitement plastique

Pour le matriau parfaitement plastique, les rsultats de lexprience en sollicita-tion uniaxiale se prsentent comme indiqu sur la gure 27.

Figure 27 Exprience en sollicitation uniaxiale pour le matriau parfaitementplastique : irrversibilit du comportement

Si est infrieure la limite dlasticit 0 : la variation de dformation estpurement lastique

d = de d . Si est gale la limite dlasticit 0 et si d < 0, correspondant une dcharge :la variation de dformation est purement lastique

d = de si d < 0 .

Si est gale la limit dlasticit 0 et si d = 0 : la variation de dformationest alors entirement irrversible

d = dp 0 .(3.7)La dnition du module dlasticit est videmment inchange. En revanche, le

module tangent comme le module dcrouissage sont gaux zro, et les notionscorrespondantes ne prsentent plus dintrt.

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE


3.3 Sollicitation multiaxiale pour le matriau crouissable

Dans le cas gnral de la sollicitation multiaxiale, le problme se pose de la mmefaon quau paragraphe prcdent, mais on doit dsormais raisonner sur le point decharge reprsentant le tenseur dans lespace R6, et on doit se rfrer au domainedlasticit actuel C(E) et sa frontire (gure 28).

Figure 28 Comportement incrmental lastique

Connaissant et ltat dcrouissage actuel symbolis par E on a lune ou lautredes situations suivantes.

Si est intrieur au domaine dlasticit actuel cest--dire, avec les notationsdu paragraphe (2.4), si f(,E) < 0, alors la variation de dformation est purementlastique (gure 28) :

d = de , d

ou encore en passant aux taux de dformation, puisque dt est positif,

d = de , .(3.8)

Si est la frontire du domaine dlasticit actuel on est conduit, pour pouvoirdcrire le comportement, dnir les notions de charge et de dcharge.

En supposant que la frontire du domaine dlasticit est rgulire, et en dnissantcelui-ci par une fonction de charge selon (2.3), on pourra donc noncer avec la notation(2.5) :

il y a charge si

f(,E) = 0

fE(,E, ) =f(,E)

: > 0 ;

(3.9)

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE


il y a dcharge si

f(,E) = 0

fE(,E, ) =f(,E)

: < 0 .

(3.10)

Ainsi, lorsque est la frontire de de C(E) , cest le signe du scalaire fE(,E, )qui permet de distinguer la charge et la dcharge et de dnir les arcs de trajet decharge croissants. Larc de trajet de charge neutre correspond fE(,E, )) = 0.

Dune faon plus gnrale, pour inclure dans la formulation prcdente, le cas ola frontire du domaine dlasticit prsente des singularits par exemple : critrede Tresca on crira :

fE(,E, ) = sup {y : | y Ef(,E)}(3.11)

o Ef(,E) reprsente, le sous-direntiel(15) par rapport de f au point (,E).

On a alors :

charge dcharge

f(,E) = 0

fE(,E, ) > 0

f(,E) = 0

fE(,E, ) < 0

(3.12)

et lon poursuit la description du comportement lasto-plastique, comme dans le casde la sollicitation uniaxiale

Figure 29 Comportement incrmental lasto-plastique crouissable

Si est la frontire du domaine dlasticit actuel, et sil y a dcharge : le tauxde dformation est purement lastique (gure 28).

(15)Le sous-direntiel Ef(,E) de f convexe par rapport au point (,E) est, par dnition,lensemble des lments y de lespace dual de {} tels que : , y : ( ) f(,E) f(,E).En raison de la convexit de f par rapport , Ef(,E) nest pas vide. En un point rgulier de lafrontire, cet ensemble se rduit au gradient de f par rapport .

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE


En dsignant par le tenseur des complaisances lastiques, (3.8) sexplicite sous

la forme(16) :

d = de = : .(3.13)

Si est la frontire du domaine dlasticit actuel et sil y a charge (gure 29) :le taux de dformation est dcompos comme la somme dune partie rver-sible et dune partie irrversible. La partie rversible est la partie lastique,rcuprable par dcharge de (), soit de = : . La partie irrversible est lecomplment ncessaire pour obtenir le taux de dformation total, soit :

d = de + dp = : + dp .(3.14)

Dune faon gnrale on peut dire que la dformation plastique linstant t est unefonctionnelle de lhistoire de . Les hypothses de non-vieillissement et dabsence deviscosit et les caractristiques propres du comportement plastique impliquent pourcelle-ci la proprit suivante qui reprend les considrations dveloppes au paragraphe(2.4.5).

La fonctionnelle p ne retient, de lhistoire de , que la squence des arcs detrajet de charge croissants, qui dnit aussi ltat dcrouissage actuel, reprsentpar E.

Le taux de dformation plastique dp engendr linstant t par le taux de contrainte, dans ltat de charge et ltat dcrouissage E, correspond la drivation de p

par rapport linstant actuel t. La dformation plastique p tant une fonctionnellede lhistoire de , cette drivation seectue travers celle de lhistoire de entre lesinstants t de t + dt, cest--dire selon la direction linstant t, avec les propritssuivantes pour dp, fonction de ,E, :

dp(,E, )= 0 si fE(,E, ) < 0(3.15)

dp(,E, )= 0 si fE(,E, ) > 0 .(3.16)

De plus, comme le rappellent les termes squence et trajet de charge ,si lon modie lchelle du temps (facteur dchelle positif quelconque) dune histoirede donne, lhistoire de p sur la mme priode subit le mme facteur dchellesans autre modication. Il en rsulte que dp(,E, ) est positivement homognede degr un en , cest--dire que :

> 0 , dp(,E, ) = dp(,E, ) .(3.17)Enn, la relation entre dp(,E, ) et , si fE(,E, ) > 0, est linaire lorsque la

fonctionnelle p est direntiable ; elle se met sous la forme :

dp(,E, ) = P (,E) : .(3.18)

Lexplicitation de dp(,E, ) est le problme de la rgle dcoulement plastique.

(16)On rappelle que : dsigne le tenseur dordre 2 de composantes ijhkkh .

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE


3.4 Rgle de normalit. Plasticit associe

La prsentation du principe du travail plastique maximal (PTPM) et ltude deses consquences feront lobjet de la section 4. Parmi ces consquences, la rgle denormalit concerne la rgle dcoulement et doit tre introduite ds prsent.

Le principe du travail plastique maximal implique la convexit du domaineC(E), dj admise comme une vidence exprimentale ( 2.5.1). Il nonce alors que :le taux de dformation plastique dp(,E, ) est dirig suivant la (ou une)normale extrieure C(E) au point de charge .Ainsi, dans le cas o est un point rgulier de la frontire de C(E), on a (-

gure 30) :

dp(,E, ) = f(,E)

, 0(3.19)

o est un scalaire(17) non-ngatif, fonction de ,E et . Dans cette expression ontient compte de lcriture symtrique(18) de f en ij et ji (cf. 2.4.3) : le tenseurf(,E)

est donc symtrique.

Figure 30 Principe du travail plastique maximal : rgle de normalit

Si est un point singulier de la frontire de C(E), la convexit de C(E) impliquelexistence dun cne convexe des normales extrieures C(E) en . Le taux de d-formation dp(,E, ) est dirig suivant lune de ces normales et lon crit (gure 30) :

dp(,E, ) Ef(,E) , 0 .(3.20)Les noncs prcdents sont galement valables pour le matriau parfaitement

plastique en supprimant la rfrence ltat dcrouissage E dans les diverses formules.

La terminologie dePlasticit associe est utilise pour dsigner le comportementplastique dans lequel la rgle dcoulement plastique satisfait la rgle de normalit.

(17)Si f a les dimensions dune contrainte (2.4), a la dimension de linverse dun temps.(18)Loubli de cette condition est source de frquentes erreurs dans lapplication de (3.19).

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE


On dit aussi, pour des raisons videntes, que la rgle dcoulement est alors associeau critre.

Dans toute la suite on se placera exclusivement dans ce cadre.

3.5 Rgle dcoulement pour le matriau crouissableen plasticit associe

3.5.1 Cas o est un point rgulier de la frontire dlasticit

On se place dabord dans le cas o est un point rgulier de la frontire de C(E).On suppose en outre la direntiabilit de la fonctionnelle p.

Le rapprochement des formules (3.18) et (3.19) sous la condition fE(,E, ) > 0,montre que le tenseur P (,E) est ncessairement dcompos et scrit sous la forme

du produit tensoriel :

P (,E) =f(,E)

Q(,E) ,(3.21)

pour assurer la coaxialit de dp(,E, ) avecf(,E)

.

Il en rsulte que lexpression du scalaire (,E, ) est la forme linaire en :

(,E, ) = Q(,E) : 0 si fE(,E, ) > 0 ,(3.22)et lon a

dp(,E, ) =f(,E)

(Q(,E) : ) .(3.23)

Pour assurer la continuit de la loi de comportement lasto-plastique entre lescas de charge et de dcharge, cest--dire pour larc de trajet de charge neutre (cf. 2.2.2 et 3.3), on doit imposer que :

fE(,E, ) > 0

fE(,E, ) 0

dp(,E, ) 0 .(3.24)

Il en rsulte, en rappelant que fE(,E, ) est la forme linaire en

fE(,E, ) =f(,E)

: ,(3.25)

que les deux formes linaires (3.22) et (3.25) sont dpendantes, cest--dire que lonpeut crire :

(,E, ) =1

M(,E)fE(,E, ) 0 .(3.26)

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE


On en dduit lexpression de la rgle dcoulement plastique associe pour le ma-triau crouissable en un point rgulier de la frontire de C(E) :

dp(,E, ) =fE(,E, )M(,E)

f(,E)

si fE(,E, ) =f(,E)

: 0

(3.27)

La formule (3.27) met en vidence un rsultat thorique important : le taux decontrainte nintervient dans lexpression de dp(,E, ) que par lintermdiaire duscalaire fE(,E, ) qui mesure lintensit du taux de charge subi par le mat-riau(19). Il en rsulte en particulier que les directions principales de dp(,E, ) sontindpendantes de celles de . Ainsi, pour le matriau isotrope dans ltat dcrouis-sage nul (domaine dlasticit initial), les directions principales de dp(, ) sont celles

def()

cest--dire celles de : ce rsultat nonc par Saint Venant, a fait lobjet

de maintes conrmations exprimentales.

3.5.2 Cas o est un point singulier de la frontire dlasticit

Lorsque est un point singulier de la frontire de C(E), le raisonnement du para-graphe (3.5.1) doit tre modi.

La formule (3.20) ne dtermine plus la direction de dp(,E, ) de manire unique :pour un mme toutes les directions normales extrieures la frontire de C(E) en sont possibles. On ne peut donc exprimer (,E, ) comme une forme linaire en pour fE(,E, ) > 0, mais (,E, ) demeure positivement homogne de degr unen .

La continuit du comportement lasto-plastique entre les cas de charge et de d-charge impose encore (3.24), mais fE(,E, ) , dont lexpression est donne par (3.11),est positivement homogne de degr un mais nest plus une forme linaire en . Poursatisfaire cette condition (3.24) on peut par exemple, en continuit avec le rsultatdmontr pour les points rguliers, poser :

(,E, ) =1

M(,E)fE(,E, ) .(3.28)

(19)On remarquera que lorsque f a les dimensions dune contrainte, M a aussi la dimension dunecontrainte. Dautre part, dans le cas dune exprience en contrainte uniaxiale 11 = , M est reliau module dcrouissageM introduit dans (3.6), par :

M = M/( f11

)2 .

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE


Alors la rgle dcoulement en un point singulier de la frontire de C(E) scrit :

dp(,E, ) fE(,E, )M(,E)

Ef(,E)

si fE(,E, ) = sup {y : | y Ef(,E)} 0(3.29)

On remarque que, dans ce cas, dp(,E, ) ne dpend plus linairement de pourfE(,E, ) 0 : la fonctionnelle p nest plus direntiable.On insistera aussi sur le fait que lcriture (3.29) de la rgle dcoulement en un

point singulier de la frontire dlasticit suppose lexistence dun module dcrouis-sage M(,E) , quelle dnit, dans ltat dcrouissage E et ltat de contrainte .Cette hypothse, commode du point de vue mathmatique, doit videmment trevalide par lexprience. Parmi les thories qui traitent de la rgle dcoulement dumatriau crouissable en un point singulier de la frontire dlasticit on signaleraparticulirement la thorie du potentiel multiple (cf. Koiter, 1960 ; Mandel, 1964,1971).

3.6 Rgle dcoulement pour le matriau parfaitementplastique en plasticit associe

Lorsque le matriau considr est parfaitement plastique on ne peut reprendre lesraisonnements prcdents qui sappuient sur la stricte concomitance de lvolution delcrouissage et de lvolution de la dformation plastique.

On se rfre au domaine dlasticit unique C du matriau et lon a les circonstancessuivantes.

Si est intrieur au domaine dlasticit, cest--dire si f() < 0, alors le tauxde dformation est purement lastique (gure 31).

Figure 31 Comportement incrmental lastique

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE


d = de = : .(3.30)

Si est sur la frontire du domaine dlasticit en un point rgulier, et sil y adcharge, cest--dire si

f() = 0

f(, ) =f()

: < 0 ,(3.31)

alors le taux de dformation est purement lastique (gure 31) et sexprime nouveauselon (3.30).

Si est sur la frontire du domaine dlasticit en un point rgulier et y de-meure, cest--dire si (gure 32)

f() = 0

f(, ) =f()

: = 0(3.32)

alors le taux de dformation est dcompos en la somme dune partie rversible etdune partie irrversible :

d = de + dp .(3.33)

Figure 32 Comportement incrmental lastique et parfaitement plastique

La partie rversible de, taux de dformation lastique, est identie en eectuantla dcharge () : cest la partie du taux de dformation total d qui est rcupredans cette dcharge ; elle sexprime par (3.30).

La partie irrversible dp est le complment de de dans le taux de dformation totald . Ainsi

d = : + dp si (3.32) .(3.34)

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE


En un point singulier de la frontire de C il sut de modier lexpression de f(, )selon (3.11), en labsence dcrouissage, dans lcriture des conditions (3.31) et (3.32).

La rgle de normalit, sous la forme (3.19) ou (3.20), prcise la direction de dp.

Ainsi, en un point rgulier de la frontire de C, on obtient la rgle dcoulementsous la forme

dp(, ) = f()

, 0

si f(, ) =f()

: = 0

(3.35)

et en un point singulier de la frontire de C

dp(, ) f() , 0

si f(, ) = sup {y : | y f()} = 0 .(3.36)

Il est essentiel de remarquer que dans ces deux expressions, la dirence de (3.27)et (3.29), pour le matriau crouissable, le scalaire non-ngatif demeure arbitraire.Cela signie que lamplitude du taux de dformation plastique dp(, ) nest pasdtermine par la rgle dcoulement. Ce rsultat est cohrent avec la description,rappele au paragraphe 3.2, du comportement parfaitement plastique en sollicitationuniaxiale.

La comparaison directe de (3.35) avec lexpression homologue (3.27) montre aussique, formellement, on passe du modle crouissable au modle parfaitement plastiqueen faisant tendre fE(,E, ), le module dcrouissage M(,E) et toute grandeur ho-mologue, simultanment vers zro. La mme remarque vaut pour la comparaison de(3.36) avec (3.29), criture possible de la rgle dcoulement du matriau crouissableen un point rgulier.

Lindtermination sur dp(, ) laisse par la rgle dcoulement plastique appa-rait en quelque sorte comme la contrepartie de labsence dcrouissage au niveau ducritre de plasticit. Cette interprtation sera illustre par lanalyse des problmesdvolution quasi-statique en lasto-plasticit au chapitre II. Le thorme dexistenceet dunicit nonc (chapitre II, 1.4) dans le cas du matriau lastique et parfai-tement plastique standard ( 4.3) montre que lindtermination laisse par la rgledcoulement (3.35) ou (3.36) rend possible la rsolution du problme dvolutionquasi-statique tant que les chargements imposs au systme demeurent lintrieurdu domaine dexistence. En outre le champ (x, t) est alors soit entirement dtermin chaque instant, soit laiss partiellement indtermin tout en prservant lunicit auniveau du comportement global du systme (chapitre II, 5.5.5).

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

COLE P

OLYTEC

HNIQUE

4 Le principe du travail plastique maximal 55

3.7 Tableaux rcapitulatifs (plasticit associe)

Matriau crouissable

fE(,E, ) d

p(,E, )sur la frontire de C(E)

point rgulierf(,E)

:

fE(,E, )

M(,E)

f(,E)

fE(,E, )M(,E)

Ef(,E)

point singulier sup {y : | y Ef(,E)}ou potentiel multiple

Matriau parfaitement plastique

f(, ) dp(, )sur la frontire de C

point rgulierf()

:

f

() , 0

point singulier sup {y : | y f()} f() , 0

4 Le principe du travail plastique maximal

4.1 nonc

La dnition de la Plasticit associe introduite au paragraphe 3.4 se rfre la rgle de normalit : consquence annonce du Principe du travail plastiquemaximal (P.T.P.M) dont on va maintenant faire la prsentation et lanalyse.

Ce principe a t nonc par Hill (1950)

Documents

Da Elastoplasticidade Ao Cálculo à Ruptura