Université de Poitiers - Université d’AGADIR - Université de Lomé

Danielle FORTUNÉ Université de Poitiers

Colloque Franco-Roumain de Mathématiques Appliquées 26 août - 31 août 2010- Poitiers

MODÉLISATION DE LOIS NON ASSOCIÉES APPLICATION AUX LOIS LINÉAIRES COAXIALES

Camélia LERINTIUUniversité de Poitiers P prime

Jamal CHAOUFIUniversité d’Agadir

Claude VALLÉEUniversité de Poitiers P prime

Kossi ATCHNOUGLOUniversité de Lomé

2

Plan de l’exposé

2-Suite de Fitzpatrick pour une loi linéaire monotone non associée Y=Ax

3-Lois linéaires coaxiales: « loi de Hooke généralisée »

7-Expressions finales des fonctions de la suite de Fitzpatrick

4-Lois linéaires coaxiales et suite de Fitzpatrick

5-Construction des fonctions : étude de matrices 2x2

9-Conclusion et perspectives

6-Polynômes de Tchebychev de 2ème espèce

)y,x(F n,A

)y,x(F n,A

8-Quel bipotentiel pour la loi coaxiale?

1-Introduction : Lois de comportement

3

Introduction

y tenseur symétrique des contraintes de Cauchy dans l’espace de Banach réel Y

x le tenseur symétrique des petites déformations dans l’espace de Banach réel X dual de Y

Produit scalaire

Norme associée

La loi de comportement est la donnée du graphe d’une multifonction T. Le couple (x,y) satisfait la loi de comportement

s’il est dans le graphe.

)x(trx 2

)xy(try,x

4

Introduction

• Les matériaux standards (MS): potentiels différentiables

• Matériaux standards généralisés (MSG) : potentiels convexes sous-différentiables

• Matériaux standards implicites (MSI) : bipotentiels

• Matériaux standards implicites monotones (MSIM): lois de comportement maximales monotones

5

Introduction : Matériaux standards

• Le graphe dans lequel évolue (x,y) est une sous variété symplectique maximale de l’ espace XxY. Pour les (M.S) , il existe une fonction différentiable appelée potentiel telle que la loi de comportement s’écrive

• Si ce potentiel est convexe l’inverse de la loi de comportement s’écrit

• où est la transformée de Legendre du potentiel

)x(Dy

*)y(*Dx

6

• Pour certains matériaux la relation entre x et y est une multifonction

• Non différentiabilité du potentiel tout en gardant la convexité et la semi-continuité inférieure (J.J.Moreau, R. T. Rockafellar ): classe des matériaux standards généralisés

• La loi de comportement se décline par une des trois formes équivalentes suivantes

)x(y )y(*x y,x)y(*)x(

Introduction : Matériaux standards généralisés

7

Introduction : Généralisation

• La dernière égalité peut être regardée comme le cas extrémal de l’inégalité de Fenchel pour le couple (x,y) satisfaisant la loi de comportement

• A l’appui de cette idée, Géry de Saxcé a modélisé le comportement des matériaux en renonçant à la somme des deux potentiels mais en travaillant avec une fonction du couple (x,y) appelée bipotentiel .

y,x)y(*)x(

y,x)y,x(b

L’égalité pour le couple (x,y) est réalisée lorsque x et y sont liés par la loi de comportement du matériau.

8

Introduction : Matériaux standards implicites

• Les bipotentiels b(x,y) respectent les règles suivantes

• Convexe et semi-continue inférieure en x• Convexe et semi-continue inférieure en y• et y,x)y,x(b

)y,x(by x )y,x(bx y y,x)y,x(b

Un matériau est appelé matériau standard implicite (MSI) si sa loi de comportement s’exprime par l’une des 3 propriétés équivalentes suivantes

9

Introduction: Matériaux standards implicites

monotones

Lois de comportement maximales monotones

Elle est maximale si elle ne peut pas s’étendre en une loi qui serait encore monotone

Une loi de comportement est monotone si pour deux couples )y,x(et)y,x( 2211

]0yy,xx[]TxyetTxy[ 12122211

10

n

1iii1i

iTxiyn,T y,xxsupy,x)y,x(F

nà1i,2n,XxY)y,x(

iiii Txyavec)y,x(

Pour une multifonction maximale monotone T

)y,x()y,x( nn )y,x()y,x( 111n1n

Suite de Fitzpatrick

La suite de fonctions de Fitzpatrick associée à T est

11

Suite de Fitzpatrick : loi linéaire monotone non associée Y=Ax

n

1iii1i

iAxiyn,A y,xxsupy,x)y,x(F

ii Axy

Loi linéaire y=Ax A non symétrique, S définie positive .

Double suite bouclée )y,x( ii

Suite de Fitzpatrick associée à A

)y,x()y,x( nn )y,x()y,x( 111n1n

Couple (x,y) avec y non nécessairement égal à Ax

12

Suite de Fitzpatrick : loi linéaire monotone non associées Y=Ax

2n

1ii1i

1n

1iii1

n

1iii1i Az,zSz,zAxy,zy,xx

0zn 11n zz

Changement d’origine xxz ii

Le maximum est atteint lorsque

2n1n

1iT

1ii

2T

1

Az2

1Sz

2nà2i)zAAz(2

1Sz

)zAAxy(2

1Sz

13

Suite de Fitzpatrick : loi linéaire monotone non associées Y=Ax

Axy,z2

1)y,xxsup( 1

n

1iii1i

2n1n

1iT

1ii

2T

1

Az2

1Sz

)zAAz(2

1Sz

)zAAxy(2

1Sz

Trouver la valeur de z1?

)zAAxy(2

1Sz

)zAAz(2

1Sz

....

)zAAz(2

1Sz

Az2

1Sz

2T

1

3T

12

1nT

3n2n

2n1n

14

Suite de Fitzpatrick : loi linéaire monotone non associée Y=Ax

)Axy(H,Axy

4

1)y,xxsup( 1

2n

n

1iii1i

SH0 2n1n Az2

1Sz

)zAAz(2

1Sz 3

T12

)zAAxy(2

1Sz 2

T1

2n1

01n AzH2

1z

)zAAz(2

1Sz 1i

T1ii

)Axy(H2

1z 1

2n1

AHA4

1SH 1

4nT

3n

AHA4

1SH 1

2inT

1in

1i1

1ini AzH2

1z

11

3n2 AzH2

1z

AHA4

1SH 1

3nT

2n

Ainsi:

15

Suite de Fitzpatrick : résultat

)Axy(H,Axy

4

1y,x)y,x(F 1

2nn,A

Suite de Fitzpatrick associée à la loi linéaire y=Ax A non symétrique

Matrices Hn SH0

AHA4

1SH 1

3nT

2n

AHA4

1SH 1

0T

1

Remarque : La notation Hn est cohérente: FA,n-1 est associée à Hn-3, et ainsi de suite

16

Lois Linéaires coaxiales

x2e)kx(try

Lois linéaires coaxiales

k tenseur symétrique , μ scalaire, e identité

hek e)hx(trx2e)trx(y

h déviateur de k

si h est nul, k sphérique : Loi de Hooke

Ces lois respectent bien la propriétéde conservation des directions principales de x et y

17

Lois Linéaires coaxiales : Loi de Hooke généralisée

D’où l’appellation de loi de Hooke généralisée

Interprétation moderne du principe énoncé par R. Hooke

« tant on tire, tant ça s’allonge ».

e)hx(trx23

e)trx)(23(y dd

Conditions de monotonie

0 023

Lois linéaires coaxiales

2)23(3

4)h(tr 2

Conditions traditionnelles

Condition supplémentaire

18

Lois Linéaires coaxiales : Application A

h

h

3

eh3Dev2

3

ee)23(A

3

eeIDev

,

,

appliqué à x ne retient que xd déviateur de x

Choisir la base orthonormée ?

où

19

Lois Linéaires coaxiales : Application A

3

e

h

h

3

eh3Dev2

3

ee)23(A

,

,

h

h

4321 d,d,d,d

sphérique unitaire

partie déviatorique de k

4 déviateurs

Tous unitaires et orthogonaux

20

Lois Linéaires coaxiales : Application A

23h)2/3(

h)2/3(2s

)3

e,

h

h,d,d,d,d( 4321

0)h(tr4

3)23(2déts 2

h

h

3

eh3Dev2

3

ee)23(A

,

,

23h3

020

0I2A

4

23h3

02a

Base orthonormée

01

10JoùJh)2/3(saJh)2/3(sa T

21

Lois linéaires coaxiales : Suite de Fitzpatricknotations

0

00 s0

0hSH

1

110

T1 s0

0hAHA

4

1SH

n

n11n

Tn s0

0hAHA

4

1SH

,

,…,

Décomposition des matrices Hn

matrices 4x4 sphériques hn et matrices 2x2 sn

)Axy(H,Axy

4

1y,x)y,x(F 1

2nn,A

22

Construction des fonctions FA,n(x,y) : matrices sphériques hn

41

0 I2

1h

Expressions des hn et ses inverses

441n In

1nI

11n

21nh

41

1n I)1n(

nh

440 I10

20I2h

41

n I)2n(

1nh

On suppose

Par récurrence

4n I1n

2nh

23

Construction des fonctions FA,n(x,y) : caractérisation des matrices 2x2 sn

asa4

1ssasa

4

1ssss 1

1nT

n1T

10

s2

s

s2

s

s2

s

nn

11

00

Rappel

En décomposant a et aT en parties symétriques et parties antisymétriques proportionnelles à J, puis en introduisant la propriété suivante sur les matrices 2x2

On démontre, par récurrence, que les sn sont proportionnels à sdéts

sJJs 1

)déts

1h

4

31(

12

)déts

1h

4

31(

12

2

2

1nn

2

01

0

24

Construction des fonctions FA,n(x,y) : caractérisation des scalaires αn

Expression du déterminant de s

)déts

1h

4

31(

12

2

1nn

2h

4

3)23(2déts

déts

1h

4

31

déts

)23(2

X

1 2

2

X

1X2X

1nn

X)X( nn

On pose

L’expression de αn

se transforme en

Etudions maintenant les propriétés de la suite

satisfaisant)X(

1X2)X(

1nn

avec 1X

25

Construction des fonctions FA,n(x,y) : caractérisation des fonctions βn(X)

1)X(P0 )X(P

)X(P)X(

0

10

)X(P

)X(P

)X(P

)X(P)X(XP2

)X(P

)X(PX2)X(

1

2

1

01

1

01

)X(P)X(XP2)X(P 012

)X(P

)X(P)X(

1n

n1n

)X(P)X(XP2)X(P 2n1nn

Regardons ces fonctions comme le rapport entre deux fonctions notées Pi(X)

X2)X(P1

Par récurrence, il vient

26

Polynômes de Tchebychev

1)X(P0

Les polynômes Pi(x) introduits satisfaisont :

On reconnait les polynômes de Tchebychev de 2ème espèce

)X(P)X(XP2)X(P 012

X2)X(P1

)X(P)X(XP2)X(P 2n1nn

27

Polynômes de Tchebychev

cosX

La variable X est comprise entre 0 et 1

Θ est compris entre 0 et π/2.

sin

sin22cos(X)P1

sin

3sin1cos4)X(P 2

2

sin

)1nsin()X(Pn

.

Les polynômes prennent les formes suivantes

1(X)P0

28

Polynômes de Tchebychev : expressions de αn et sn

sin

sin2(X)0

2sin

3sin)X(1

)1nsin(

)2nsin()X(n

20

cos2sin

3sin1

cos)1nsin(

)2nsin(n

scos)1nsin(2

)2nsin(sn

Expressions des matrices sn

Expressions des scalaires αn

29

Polynômes de Tchebychev : expressions des matrices Hn

s)1nsin(cos2

)2nsin(0

0I1n

2n

s0

0hH

4

n

nn

)23(8

h31cos

2

232

h32

h32

s

En regroupant les résultats sur les matrices hn et sn,

les matrices Hn s ‘écrivent :

30

Expressions finales des fonctions de la suite de Fitzpatrick

01

10J

)23(8

h31cos

2

)Axy(H,Axy

4

1y,x)y,x(F 1

2nn,A

JsJ)23(

1

cosnsin

)1nsin(0

0I1

n

1n

H4

12n

Fonctions de Fitzpatrick

avec

Chaque fonction de Fitzpatrick génère un bipotentiel pour la loi coaxiale non symétrique y=Ax

23h2

3

h2

32

s

31

Quel bipotentiel pour la loi coaxiale monotone?

N1N

On ne doit pas aller jusqu’à l’infini pour choisir le bipotentielassocié à la loi coaxiale monotone y=Ax avec A non symétrique et S définie positive

Le choix d’un indice N est à faire

afin de conserver le plus loin possible la définie positivité

32

Conclusion et Perspectives

Proposition de bipotentiel pour la loi de Hooke non tronquée de 7 paramètres

)y,x(F)y,x(b N,A

Repenser la RDM par l’identification des 7 paramètres: λ, μ et le déviateur h

)x(tr)trx(2

1)x( 22 22* )try(

)23(4)y(tr

4

1)y(

dv)]y()x([ *

Dans le principe mixte, remplacer la fonctionnelle

dv)]y,x(F[ N,Apar

Remplacer la somme des deux potentiels de la loi de Hooke à deux paramètres λ et μ

par la fonction de Fitzpatrick FA,N

33

Extention: non linéaire, non monotone

yx)y,x(b

)n

(cosyx)y,x(F nn

vecteurs x et y de même orientation

suite de Fitzpatrick généralisée

)yx

y,x(arccos

bipotentiel de Cauchy- Schwarz- Buniakovsky

34

MODÉLISATION DE LOIS NON ASSOCIÉES APPLICATION AUX LOIS LINÉAIRES COAXIALES

Merci de votre attention

Colloque Franco-Roumain de Mathématiques Appliquées 26 août - 31 août 2010- Poitiers

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Quelques lectures

G. de Saxcé and L. Bousshine (2002), Implicit Standard Materials, D. Weichert and G. Maier (eds), Inelastic Behaviour of Structures Under Variable Repeated Loads, CISM Courses and Lectures, 432, Springer

S. Bartz, H.H. Bauschke, J.M. Borwein, S. Reich and X. Wang (2007), Fitzpatrick function, cyclic monotonicity and Rockafellar antiderivative, Nonlinear Analysis, 66, 1198-1223

S. Fitzpatrick (1988), Representing monotone operators by convex functions, Work-shop/ Mini conference on Functional Analysis and Optimisation, Proceedings of the Centre for Mathematical Analysis, Australian National University,20, Australia, 59-65

J.J.Moreau (2003), Fonctionnelles convexes, Istituto poligrafico e Zecca dello stato S P A , Roma

M.Buliga, G.de Saxcé, C.Vallée (2008), Existence and construction of bipotentials for graphsof multivalued laws, J.of Convex Analysis, 15/1, 87-104

C. Vallée, C. Lerintiu, D. Fortuné, K. Atchonouglo, M. Ban, (2009) Representing a non associated constitutive law by a potential issued from a Fitzpatrick sequence, Archives of Mechanics,61, issue3-4,325-342, Warszawa

G. de Saxcé, Z. Q. Feng , (1991), New Inequation and Functional for Contact with Friction: the Implicit Standard Material Approach, International Journal Mechanics of Structures and Machines,19/3,301-325