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Fichier : L7-10-1.doc
ESDEP
GROUPE DE TRAVAIL 7
ELEMENTS STRUCTURAUX
Leon 7.10.1
Barres soumises la flexion compose
1re
partie
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OBJECTIF
Introduire les principes du comportement des lments soumis
flexion compose et de
leur calcul partir des concepts bass sur l'interaction entre
effort normal de
compression et moment flchissant.
PREREQUIS
Thorie de la flexion simple
Leon 7.2 : Classification des sections transversales
Leons 7.5.1 & 7.5.2 : Poteaux
Leons 7.8.1 & 7.8.2 : Poutres maintenues latralement
LEON CONNEXE
Leon 7.11 : Portiques
EXEMPLE ASSOCIE
Exemples 7.10 : lments comprims et flchis en flexion simple ou
dvie
RESUME
Cette leon expose les concepts fondamentaux de l'interaction
entre les effets de la
flexion et de la compression, en restant dans le cadre d'un
comportement plan uniaxial.
Ceci permet d'aborder des thmes tels que l'amplification des
moments, les formules
d'interaction et l'utilisation des rsistances la compression et
la flexion, sans tenir
compte de l'effet de la torsion et d'un dplacement de la
structure hors du plan de
flexion.
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1. INTRODUCTION
Les lments soumis flexion compose sont les barres soumises
simultanment la
flexion et la compression. En principe, toutes les barres des
portiques sont
effectivement soumises la flexion compose ; les cas particuliers
des poutres (F = 0) et
des poteaux uniquement comprims (M = 0) reprsentent les cas
limites de la flexion
compose. Selon la manire dont les charges sont transmises aux
barres, la nature des
liaisons existantes et la forme des sections droites des barres,
le rsultat obtenu peut tre
diffrent.
Le cas le plus simple consiste en un moment flchissant appliqu
selon un seul axe
principal d'inertie, la barre ragissant uniquement par flexion
dans le plan sous ce
moment appliqu. Seul ce cas sera considr dans cette leon ; un
comportement plus
complexe sera examin dans la leon 7.10.2.
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2. COMPORTEMENT D'UNE SECTION DROITE
La figure 1 montre une section droite, situe en un point
quelconque de la longueur d'un
poteau en H. Elle est soumise une compression et une flexion par
rapport l'axe y,
produisant des distributions de contraintes normales
respectivement uniforme et
variable, ainsi que le montrent les figures 1a et 1b.
Dans le domaine lastique on peut utiliser le principe de
superposition et ainsi
additionner simplement les deux distributions de contraintes,
comme le montre la
figure 1c. La limite d'lasticit sera atteinte pour la premire
fois sur la fibre extrme
situe du ct o le moment flchissant cre la contrainte normale de
compression
maximum et s'crit :
fy = c + b
o : fy est la limite d'lasticit du matriau
c = N / A est la contrainte cre par l'effort normal de
compression N
b = I
2hM
est la contrainte maximum de compression cre par le moment
M, h est la hauteur totale de la section droite et I est le
moment
d'inertie (moment quadratique) de l'aire de la section par
rapport
l'axe y.
D'autre part, si la section peut tre totalement plastifie, alors
la condition de ruine sera
telle que montr dans la figure 2 et la combinaison de l'effort
normal et du moment
flchissant produisant cette condition sera :
a. Pour 2
f2t -h ny (axe neutre dans l'me) :
n wy M ytf 2 N
tw2ny
2
2ft2hffthftbyfM yN (2)
b. Pour 2
ft2 -h ny (axe neutre dans la semelle) :
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nffwM y2htb2t2htyfN
tfy2hyn
2hbyfM nN
La figure 3 compare les quations (2) et (3) avec l'approximation
suivante utilise dans
l'Eurocode 3 :
a5,01
n1y.plMNyM
o n = Nsd / Npl.Rd est le rapport de l'effort axial l'effort de
plastification
sous effort normal pur (fyA),
a = (A 2 b tf) / A 0,5
Les simplifications et approximations concernant d'autres formes
de sections droites
sont donnes dans le tableau 1. Dans tous les cas la valeur de MN
ne doit, bien entendu,
jamais dpasser celle de Mpl.
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3. STABILITE D'ENSEMBLE
Le traitement du comportement de la section droite, effectu au
chapitre prcdent, ne
rendait pas compte de la manire exacte dont le moment M tait
produit dans la section
droite considre. La figure 4 montre une barre soumise la flexion
compose subissant
une dviation latrale, rsultat de la combinaison de la
compression et de deux moments
flchissants gaux et opposs appliqus ses extrmits.
Le moment en tout point le long de la barre doit tre considr
comme tant compos de
deux parties :
le moment principal M
un moment secondaire Nv
L'analyse lastique de ce problme donne la flche maximum au
milieu de la barre :
1P
N
2sec
NM
maxvEy
(on rappelle que sec(x) est l'abrviation de scante de x et que
sec(x) = 1/cos(x))
o 2
y2
EyL
IE P est la charge critique d'Euler pour un flambement selon
l'axe principal d'inertie maximale,
et le moment maximum est :
Ey
maxP
N
2secMM (6)
Dans les quations (5) et (6) le terme en scante peut tre
remplac, en remarquant que
la flche au premier ordre (due aux moments d'extrmit agissant
tout au long de la
barre) et que le moment au premier ordre M - calcul selon la
thorie au premier ordre
habituelle - sont approximativement amplifis, par le terme :
)P
N-1/(1
Ey
(7)
comme le montre la figure 5.
Ainsi :
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Ey
ymax P/N11EI8/2MLv (8)
Ey
max
P
N1
1MM (9)
Puisque la contrainte lastique maximum est :
M
Mmaxbcmax (10)
l'quation (10) peut tre crite :
0,1
P
N1f
f
Eyy
b
y
c (11)
L'quation (11) peut tre rsolue pour les valeurs de c et b crant
la limite d'lasticit,
partir de diffrentes valeurs de PEy (qui dpend de l'lancement
L/ry). Ceci donne une
srie de courbes, ainsi que le montre la figure 6, indiquant que
si b 0, c tend vers
la limite d'lasticit du matriau fy. De ce fait, l'quation (11)
ne permet pas de mettre
en vidence la possibilit de flambement sous effort axial pur
pour une contrainte gale
la contrainte critique Ey donne par :
EY = PEy/A (12)
EY 2y
E2
2LA
IE2 y (13)
L'utilisation des deux quations (11) et (12) garantit que les
deux conditions sont
vrifies ainsi que le montre la figure 7.
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4. TRAITEMENT PAR LES REGLES DE CALCUL
Les quations (11) et (12) son crites en termes de contraintes et
sont bases sur le
concept de ruine dfini, soit lorsque la limite d'lasticit est
atteinte pour la premire
fois, soit lorsque le flambement lastique de la barre, considre
comme parfaite, se
produit. Les rgles de calcul aux tats limites utilisent
normalement les efforts ultimes
comme critre de calcul en les comparant la rsistance sous
chargement statique. De
ce fait ces quations doivent tre transformes en termes de forces
et de moments. Pour
cela il devient ncessaire de tenir compte de ces effets,
agissant sur une structure relle
en acier, par exemple la perte de rigidit initiale, les
contraintes rsiduelles, etc., ce qui
n'a pas t explicitement envisag ci-dessus. Pour que les calculs
restent cohrents, il
faut, bien entendu, que les formules d'interaction correspondant
aux chargements
combins tendent vers les formules de calcul des barres
uniquement comprimes et des
poutres uniquement flchies, lorsque le moment flchissant et
l'effort normal tendent
respectivement vers zro.
L'Eurocode 3 propose la formulation suivante (en supposant que
la flexion se produise
par rapport l'axe y) :
1yfy.plW
Sd.yMyk
fAy
SdN
y
o y est le coefficient de rduction pour le flambement de la
barre comprime
ky est un coefficient
La valeur de ky dpend, de manire complexe :
du niveau de l'effort normal, mesur par le rapport Nsd /
yAfy
de l'lancement de la barre y
de la diffrence entre les modules plastique et lastique de la
section (Wpl et
Wel)
de l'allure du diagramme du moment flchissant principal.
Quand tous ces facteurs se combinent de la manire la plus
dfavorable, le coefficient
ky atteint la valeur de scurit 1,5. Le coefficient ky sert
prendre en compte l'effet du
moment secondaire dcrit plus loin, ainsi que les effets dus un
moment non uniforme
et la pntration de la plasticit. Les figures 8, 9 et 10 montrent
comment, en fonction
du cas particulier choisi, la forme de l'interaction peut varier
en prsentant une allure
concave ou une allure convexe. La construction de ces figures a
t obtenue en utilisant
les formules de calcul du 5.5.4 (1) de l'Eurocode 3.
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5. EFFET DE L'ALLURE DU DIAGRAMME DES MOMENTS PRINCIPAUX
La figure 4 montrait, dans le cas particulier de moments gaux et
opposs appliqus aux
extrmits, comment les moments flchissants principaux taient
amplifis sous l'effet
de l'effort normal N agissant sur les dplacements latraux v.
Quand la variation du
moment principal est diffrente, on ne peut plus additionner
directement les deux effets
car les valeurs maximum des moments principal et secondaire ne
sont pas produites au
mme endroit. La figure 11 illustre le cas de moments d'extrmits
gaux
respectivement M et M o peut avoir des valeurs comprises entre
+1 (courbure
uniforme simple) et -1 (double courbure). Le cas particulier
montr correspond une
valeur de sensiblement gale - 0,5.
Dans le cas montr le moment maximum est encore situ sur la
longueur de la barre
mais la situation est nettement moins svre que dans le cas de la
figure 4, en admettant
que toutes les conditions sont identiques, si ce n'est celle de
la valeur de . Il est
habituel de tenir compte de ceci dans les calculs en rduisant la
contribution du terme
d au moment dans le formule d'interaction. Ainsi, dans
l'Eurocode 3, le terme ky de
l'quation (14) dpend du rapport , comme cela a dj t vu dans la
figure 10. La
manire exacte de faire intervenir ceci est expliqu dans le 5.5.4
et dans la figure 5.5.3
de l'Eurocode 3.
Puisque le cas d'un moment produisant une courbure simple
uniforme est le plus svre,
il s'ensuit que le fait d'adopter une procdure simplifie avec =
1 place en scurit.
En revenant la figure 11, il est possible que le point de moment
maximum soit situ
l'extrmit de la barre o le moment principal le plus lev est
appliqu. Ceci pourrait
gnralement se produire lorsque l'effort axial est faible et/ou
la souplesse est petite, de
sorte que les effets du moment secondaire aient relativement peu
d'importance. Dans un
tel cas le calcul sera effectu de faon garantir une rsistance
suffisante pour la section
droite cette extrmit. Les formules du tableau 1, pour diffrentes
formes de sections
droites, devraient donc tre utilises. Dans les cas o seule une
rpartition uniforme de
moment ( = 1) doit tre considre la vrification du flambement
d'ensemble de
l'quation (14) sera toujours plus svre (ou la limite gale) que
la vrification de la
section droite.
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6. CONCLUSION
Les caractristiques principales du comportement et du calcul des
lments soumis la flexion compose ont t dveloppes en restant dans le
cadre des
barres soumises la flexion uniaxiale, dont la rponse est telle
que la dformation
se produise uniquement dans le plan des moments appliqus. Les
points suivants
sont relever :
Pour la section droite, l'interaction entre l'effort normal et
le moment flchissant peut tre traite dans le domaine lastique en
utilisant le principe
de superposition ou dans le domaine plastique en utilisant les
quations
d'quilibre et le concept de blocs de contrainte.
Quand on considre la barre dans son intgralit, il faut tenir
compte des effets de la flexion secondaire.
L'analyse des pices comprimes peut tre utilise comme base pour
tenir compte du rle des paramtres de contrle principaux.
Le calcul est normalement bas sur l'utilisation d'une quation
d'interaction, une caractristique essentielle par laquelle la
rsistance de l'lment est la
fois celle d'une poutre flchie et celle d'un poteau comprim.
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7. LECTURS COMPLEMENTAIRES
1. Chen, W. F. et Atsuta T., "Theory of Beam-Columns" Vol. 1,
McGraw-Hill,
1976.
Traitement dtaill du problme des lments comprims et flchis dans
le cas
plan, en mettant l'accent sur les mthodes d'analyse permettant
de dterminer la
capacit de supporter les charges maximum.
2. Trahair, N. S. et Bradford, M. A., "Behaviour and Design of
Steel Structures",
2nd edition, Chapman and Hall, 1988.
Le chapitre 7 s'applique aux lments comprims et flchis, en
incluant une
comparaison du traitement de ce sujet d'aprs trois rgles de
calcul (mais pas
l'Eurocode 3).
3. Ballio, G. et Mazzolani, F. M., "Theory and Design of Steel
Structures",
Chapman and Hall, 1883.
Donne les bases des fondements de l'approche europenne pour
l'utilisation des
formules d'interaction, en incluant des problmes drivs.
4. Galambos, T. V., "Guide to Stability Design Criteria for
Metal Structures", 4th
edition, Willey Interscience.
Le chapitre 8 passe en revue de manire dtaille les contributions
thoriques,
exprimentales et orientes vers le calcul, sur le sujet du
comportement des
lments comprims et flchis.
5. Dowling, P. J., Owens, G. W. et Knowles, P., "Structural
Steel Design",
Butterworths, 1988.
Le chapitre 24 traite du comportement des lments comprims et
flchis et de
leur calcul, en incluant des explications sur la signification
physique des
concepts d'interaction et de souplesse.
6. Nethercot, D. A., "Limit State Design of Structural
Steelwork", 2nd edition,
Chapman and Hall, 1991.
Le chapitre 6 traite du comportement et du calcul des lments
comprims et
flchis.
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Tableau 1 - Expressions du moment de rsistance plastique rduit
MN
Section droite
Expression de MN
Profil lamin en I ou en H
Profil creux carr
Profil creux rectangulaire
Profil creux rond
n1M11,1M y.ply,N
6,0nn1M56,1M z.plNz
n1M26,1M plN
n1M33,1M y.plNy
A/th5,0
n1MM
z.plNz
7,1n1M04,1M plN
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TRADUCTION DES FIGURES
(a) Compression (b) Flexion (c) Combinaison
Figure 1 - Comportement lastique d'une section droite soumise
compression et flexion
Figure 2 - Plastification totale sous effort normal et moment
flchissant
Axe neutre plastique Axe principal d'inertie Axe neutre dans la
semelle
_____ quations exactes (2) et (3) - - - - - quation simplifie
(4) EC3
Axe neutre dans l'me
Figure 3 - Courbe d'interaction en plasticit totale (flexion par
rapport l'axe principal
d'inertie fort d'une section HEA 450)
Figure 4 - Moments principal et secondaire
Figure 5 - Flche maximum et moment dans une barre soumise
compression et moment
constant
lancement croissant
Figure 6 - Allure de l'quation (11)
lancement croissant
Figure 7 - Combinaison des quations (11) et (12)
Figure 8 - Formule d'interaction - Effet de l'lancement
Figure 9 - Formule d'interaction - Effet de la forme de la
section droite
Figure 10 - Formule d'interaction - Effet du moment
Figure 11 - Cas d'un moment non constant
