de mécanique des milieux continus solides et fluidesemmanuelplaut.perso.univ-lorraine.fr/mmc//amphi3.pdfSéance 3 de mécanique des milieux continus solides et fluides Milieux

Solides et fluides ? Retour sur le modèle du milieu continu Cinématique TD - Question ? Annexe : expé. rhéologique

Séance 3 de mécanique des milieux continus solides et fluides

Milieux continus solides et fluides : késako ? Cinématique élémentaire

1 Objet de l’étude : solides et fluides

2 Retour sur le modèle du milieu continu

3 Cinématique élémentaire

4 TD - Question

Rappel : ∃ une page web pour ce module,

http://emmanuelplaut.perso.univ-lorraine.fr/mmc ,

qui présente notamment l’emploi du temps,

avec une singularité vendredi 6 novembre liée au test 0: fin vers 18h !1

http://emmanuelplaut.perso.univ-lorraine.fr/mmc


Avant tout il y a les solides et les fluides

• le solide possède une forme propre

indépendante du support sur lequel il est posé ;

• le fluide (liquide ou gaz, selon sa densité + ou − grande)

épouse la forme du support sur ou dans lequel il est posé.

Sauf que

• l’expérience « garder sa forme propre » est peu contrôlée,

ne permet pas de mesures simples...

• cette distinction a ses limites,

et dépend sans doute de la durée de l’expérience,

cf. la notion de « nombre de Déborah » par exemple...

→֒ nécessité d’une expérience de rhéologie mieux définie.2


L’expérience de Couette (cylindrique) permet de discriminer

entre solides et fluides

On soumet un lopin de matériau solidaire de cylindres à des

petites forces tangentielles via un couple imposé au cylindre intérieur

de façon permanente : vue 3D :

[ Benbelkacem & Skali-Lami 2008 - Lemta ]3




On soumet un lopin de matériau solidaire de cylindres à des

petites forces tangentielles via un couple imposé au cylindre intérieur

de façon permanente : vue de dessus / en coupe :

réponse du solide : fluide :

petits déplacements grands déplacements

vitesses = 0 petites vitesses 6= 0

8




Entreprise VULKAN Lemta

Cf. le Pb. 4.3 Cf. le Pb. 7.2

Système d’accouplement élastique Rhéomètre de Couette cylindrique

But du module : mettre en place toutes les notions et équations

qui permettront de modéliser ces systèmes !

9


Pour décrire les mouvements de solides ou fluides,

il est hors de question de calculer le mouvement de tous les atomes

ou molécules !

En effet cette tâche dépassera encore pendant très longtemps les capacités des

meilleurs ordinateurs, parce que le nombre d’Avogadro est très grand !

Dans un litre d’eau par exemple, comme la masse d’une mole d’eau est

MH2O = 2MH + MO = 2 g + 16 g = 18 g ,

il y a

n =1 kg

18 g= 56 moles d’eau

soit

n NA = 3,3 1025 molécules...

à comparer aux quelques petaoctets de mémoire des plus grands clusters,

10 petaoctets = 1016 octets .

10




ou molécules !

D’où la nécessité d’une approche à plus grande échelle

basée sur une prise de moyenne.

Pour l’illustrer on considère un cristal. À l’échelle des atomes, ℓ ≃ quelques Å,

il est fortement hétérogène :

11




ou molécules !



Si on le considère à une échelle plus grande,

on commence à voir une « texture » quasi-homogène :

12




ou molécules !



Si on le considère à une échelle encore plus grande,

il apparait comme un « milieu continu » :

13




ou molécules !



À des très grandes échelles, de nouvelles inhomogénéités apparaitront,

par exemple sous l’effet d’un gradient thermique :

∇T

14


Modèle du milieu continu (MC) :

Collection « continue » de particules matérielles telles que

échelle des échelle des échelle des

hétérogénéités micro particules matérielles hétérogénéités macro

ℓ ≪ d ≪ L

Échelle du physicien : Échelle du mécanicien :

particule matérielle particule matérielle

= grosse boule = point matériel

= Volume Élémentaire Représentatif

en quasi-équilibre thermodynamique

d

L

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Modèle du milieu continu (MC) :

Collection « continue » de particules matérielles telles que

échelle des échelle des échelle des

hétérogénéités micro particules matérielles hétérogénéités macro

ℓ ≪ d ≪ L

Échelle du physicien : Échelle du mécanicien :

particule matérielle particule matérielle

= grosse boule = point matériel

= Volume Élémentaire Représentatif

en quasi-équilibre thermodynamique

• Dans un solide ou liquide simple,

ℓ ≃ 10 Å ≪ d ≃ 10 µm ≪ L ≃ 1 cm =⇒ hyp. du MC OK.

• Dans un gaz c’est plus compliqué, cf. le poly.

16


Modèle du milieu continu (MC) : solide « compliqué » késako ?

Attention dans certains matériaux de type « composites »

le « Volume Élémentaire Représentatif » peut être très gros,

cf. ce « béton chargé bois »,

nouveau matériau pour l’isolation dans le bâtiment :

10 cm

[ Rémy, B.

CRITT Bois

2008 ]

17



Pire certains « géomatériaux » comme cette « moraine » présentent des

hétérogénéités sur une gamme d’échelles très vaste,

des plaquettes d’argiles de quelques microns

à des blocs rocheux de quelques mètres :

[ Gunzburger, Y.2006 ]

→֒ on ne peut sans doute pas définir de « VÉR », et pourtant ce matériauexiste !...

18



Pire certains « géomatériaux » comme cette « moraine » présentent des

hétérogénéités sur une gamme d’échelles très vaste,

des plaquettes d’argiles de quelques microns

à des blocs rocheux de quelques mètres :

[ Gunzburger, Y. 2006 ]

→֒ on ne peut sans doute pas définir de « VÉR »,

pourtant ce matériau existe !...19


Revenant à des matériaux pour lesquels le modèle du MC s’applique,

on peut définir en tout « point matériel » x

= particule matérielle

= VÉR en quasi-équilibre thermodynamique

• une masse volumique moyenne ρ(x,t) ;

• une vitesse moyenne v(x,t) ;

• une température moyenne T (x,t)...

d’où la possibilité de décrire le mouvement par la « cinématique »

comme expliqué dans le poly...

20


Cinématique des MC : approche lagrangienne

Ce qui prime c’est la matière, il faut donc la suivre dans son mouvement,

par exemple d’« extrusion » :

instant t0 instant t

domaine D0 domaine Dt

X•x•

Φ(.,t)

[ Zienkiewicz, O. C. & Taylor, R. L. 2000 The finite elements method ]

« placement »

21




par exemple d’« extrusion en filière coudée à section constante » :

[ https://www.youtube.com/watch?v=EgbUsF2nAdg ; test 0 de novembre 2016 ;pages des annales ; page ARCHE ]

22

https://www.youtube.com/watch?v=EgbUsF2nAdghttp://emmanuelplaut.perso.univ-lorraine.fr/mmc/annales.htmhttp://arche.univ-lorraine.fr/course/view.php?id=13912




par exemple d’« extrusion en filière coudée à section constante » :

[ https://www.youtube.com/watch?v=EgbUsF2nAdg ; test 0 de novembre 2016 ;pages des annales ; page ARCHE ]

23

https://www.youtube.com/watch?v=EgbUsF2nAdghttp://emmanuelplaut.perso.univ-lorraine.fr/mmc/annales.htmhttp://arche.univ-lorraine.fr/course/view.php?id=13912


Cinématique des MC : approche eulerienne

Ce qui prime c’est l’espace, il faut donc définir en tout point x un vecteur vitesse

v(x,t) =dx(t)

dt

où x(t) désigne le « point matériel » qui passe par x à l’instant t.

Peut se mesurer par imagerie par vélocimétrie de particules (traçeuses) : maximiser par rapport au

décalage δx la corrélation croisée entre 2 sous-images centrées en x prises l’une à t, décalée de δx,

l’autre à t′ = t + δt :

δx

[ www.photonics.com ]24

https://www.photonics.com




v(x,t) =dx(t)

dt


Peut se mesurer par imagerie par vélocimétrie de particules (traçeuses) : maximiser par rapport au

décalage δx la corrélation croisée entre 2 sous-images centrées en x prises l’une à t, décalée de δx,

l’autre à t′ = t + δt :

δx

v ≃δx

δt25




v(x,t) =dx(t)

dt


Peut se mesurer par imagerie par vélocimétrie de particules (traçeuses),

on peut obtenir avec quelques efforts un champ de vitesse :

[ Thielicke, W. Page Wikipedia Particle image velocimetry ]26

https://en.wikipedia.org/wiki/Particle_image_velocimetry


Lagrange

Primauté de la matière

→֒ champ de placement Φ(.,t) : X ∈ D0 7→ x ∈ Dt

vs Euler

Primauté de l’espace

→֒ champ de vitesse v(.,t) : x ∈ Dt 7→ v ∈ R3

Il importe d’être capable de faire le lien entre les deux approches,

et de savoir déterminer diverses lignes caractéristiques :

• trajectoires,

• lignes de courant,

• lignes d’émission...

C’est grosso-modo le sujet du problème de TD 1.1

Écoulement autour d’un mobile cylindrique...27


Dérivées particulaires en approche eulerienne

• On suit la particule matérielle dans son mouvement :

x

x+ dx avec dx = v dt

t t + dt

• Pour ρ champ scalaire,

dρ

dt=

ρ(x+ dx,t + dt)− ρ(x,t)

dt=

∂ρ

∂t+ (∇ρ) · v

où ∇ρ est le tenseur d’ordre 1 tel que, dans le cas de variations spatiales seulement,

dρ = (∇ρ) · dx .

• Pour u champ de vecteurs,

du

dt=

∂u

∂t+

(

∇u)

· v .

où ∇u est le tenseur d’ordre 2 tel que, dans le cas de variations spatiales seulement,

du =(

∇u)

· dx .

• Les termes d’« advection » peuvent jouer un rôle important,

cf. le problème 1.2 Étude de phénomènes d’advection - diffusion...

28


TD

Problème de mécanique 1.1

Écoulement autour d’un mobile cylindrique

cf. http://emmanuelplaut.perso.univ-lorraine.fr/mmc

qui décrit aussi nos méthodes pédagogiques & d’évaluation !

• Les rédactions de TD sur les TD des séances 3 à 5 puis 7 à 9

« démarrent » aujourd’hui !

Question ?

29

http://emmanuelplaut.perso.univ-lorraine.fr/mmc


Complément : expérience rhéologique : fluage de Carbopol à 0,2%

[ Esmael, A. 2008 Thèse de doctorat UHP - Lemta - Dir. de thèse : Nouar, C. ]30

Solides et fluides ?

Retour sur le modèle du milieu continu

Cinématique

TD - Question ?

Annexe : expé. rhéologique

Documents

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