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de m´ecanique des milieux continus solides et fluides ... En m´ecanique des milieux continus Milieu Causes Effet Solide Champs de forces volumiques d3f Champ de d´eplacement u(X,t)

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  • Consignes Analyse tensorielle cartésienne Symétries : p. de Curie Analyse tensorielle cylindrique Conclusion - TD - Questions

    Séance 2 de mécanique des milieux continus solides et fluides

    Analyse tensorielle avancée

    0 Quelques consignes générales

    http://emmanuelplaut.perso.univ-lorraine.fr/mmc

    1 Retour sur l’analyse tensorielle (cartésienne)

    2 Notions sur les symétries des systèmes

    Principe de Curie, illustration sur un exemple

    3 Analyse tensorielle en coordonnées cylindriques

    Illustration sur le même exemple

    4 Conclusion provisoire concernant les tenseurs

    Infos sur le TD - Questions 1

    http://emmanuelplaut.perso.univ-lorraine.fr/mmc

  • Consignes Analyse tensorielle cartésienne Symétries : p. de Curie Analyse tensorielle cylindrique Conclusion - TD - Questions

    Le programme et les consignes sont sur la page web de MMCSF

    Algorithme pour la trouver :

    1 googliser le responsable de cet enseignement

    2 aller sur ma page d’accueil

    3 cliquer sur MMCSF.

    Points d’attention :

    • absence en TD ⇒ rédaction de TD notée

    • 1 rédaction de TD individuelle sur l’un des TD des séances 3 à 5, 7 à 9

    2

  • Consignes Analyse tensorielle cartésienne Symétries : p. de Curie Analyse tensorielle cylindrique Conclusion - TD - Questions

    Analyse tensorielle : gradient

    Champ tensoriel T0 d’ordre 0 :

    application de Ω ouvert de l’espace physique T1 dans T0 = R,

    x ∈ Ω 7−→ T0(x) ∈ T0 .

    Champ tensoriel Tn d’ordre n ≥ 1 :

    application de Ω ouvert de l’espace physique T1 dans Tn,

    x ∈ Ω 7−→ Tn(x) application linéaire T1 −→ Tn−1 h 7−→ Tn(x) · h

    .

    Gradient : ∇Tn champ tensoriel d’ordre n+ 1 tq

    x ∈ Ω 7−→ ∇Tn(x) application linéaire T1 −→ Tn dx 7−→ ∇Tn(x) · dx = dTn(x)

    ,

    dTn(x) étant Tn(x + dx)− Tn(x) linéarisé pour dx infinitésimal.

    NB : souvent on note, au lieu de ∇Tn(x), ∇xT n voire ∇Tn.

    3

  • Consignes Analyse tensorielle cartésienne Symétries : p. de Curie Analyse tensorielle cylindrique Conclusion - TD - Questions

    Gradient d’un champ vectoriel

    Autour d’un point x,

    ∇u application linéaire dx 7−→ ∇u · dx = du = u(x+ dx)− u(x) linéarisé.

    δu = u(x+ dx)− u(x) ≃ du

    ≃ dx1

    dx2

    ∇u = ∂ui ∂xj

    ei ⊗ ej 4

  • Consignes Analyse tensorielle cartésienne Symétries : p. de Curie Analyse tensorielle cylindrique Conclusion - TD - Questions

    Décomposition du gradient en parties symétrique + antisymétrique

    du = ∇u · dx = ǫ · dx ︸ ︷︷ ︸

    déformation

    + Ω · dx ︸ ︷︷ ︸

    rotation

    = +

    ǫ = 1

    2

    (

    ∇u + ∇uT )

    diagonalisable sur une base orthonormée

    Ω = 1

    2

    (

    ∇u − ∇uT )

    , Ω · dx = Ω ∧ dx

    avec Ω = vd (

    Ω )

    = 1

    2 ǫ : Ω =

    1

    2 ǫ :

    (

    ∇u − ǫ )

    = 1

    2 ǫ : ∇u =

    1

    2 rot(u)

    5

  • Consignes Analyse tensorielle cartésienne Symétries : p. de Curie Analyse tensorielle cylindrique Conclusion - TD - Questions

    Divergence d’un champ vectoriel- Formules intégrales

    divu = ∇u : 1 = tr∇u = ∂ui ∂xi

    ∫∫∫

    divu d3x =

    ∫∫

    ∂Ω

    u · n d2S (en 3D)

    avec Ω ouvert de R3, ∂Ω son bord, n la normale unitaire sortante à ∂Ω :

    Ω ∂Ω

    n

    n

    n

    n n

    n

    n n

    n

    n

    6

  • Consignes Analyse tensorielle cartésienne Symétries : p. de Curie Analyse tensorielle cylindrique Conclusion - TD - Questions

    Divergence d’un champ vectoriel - Formules intégrales

    divu = ∇u : 1 = tr∇u = ∂ui ∂xi∫∫∫

    divu d3x =

    ∫∫

    ∂Ω

    u · n d2S (en 3D)

    ∫∫

    S

    divu d2S =

    ∂S

    u · n dl (en 2D)

    avec S ouvert de R2, ∂S son bord, n la normale unitaire sortante à ∂S :

    O

    x1

    x2

    S∂S

    n

    n

    n

    nn

    n

    n

    7

  • Consignes Analyse tensorielle cartésienne Symétries : p. de Curie Analyse tensorielle cylindrique Conclusion - TD - Questions

    Divergence d’un champ vectoriel - Formules intégrales

    divu = ∇u : 1 = tr∇u = ∂ui ∂xi

    ∫∫∫

    divu d3x =

    ∫∫

    ∂Ω

    u · n d2S (en 3D)

    ∫∫

    S

    divu d2S =

    ∂S

    u · n dl (en 2D)

    →֒ interprétation Φ, cas d’un champ u = λ1x1e1 + λ2x2e2 :

    (λ1,λ2) = (1,1), (1,− 1 2 ), ( 1

    2 ,− 1), (−1,− 1)

    x1

    x2

    divu > 0 divu < 0

    u divergent u convergent ! 8

  • Consignes Analyse tensorielle cartésienne Symétries : p. de Curie Analyse tensorielle cylindrique Conclusion - TD - Questions

    Divergence d’un champ tensoriel d’ordre 2

    div T = ∇ T : 1 = ∂Tij ∂xj

    ei

    Formule intégrale de la divergence

    ∫∫∫

    div T d3x =

    ∫∫

    ∂Ω

    T · n d2S

    Interprétation Φ : cas T symétrique, cf. l’ex. 2.7 :

    ei · div T = div (

    T · ei

    )

    donc mesure si T · ei diverge ou converge...

    9

  • Consignes Analyse tensorielle cartésienne Symétries : p. de Curie Analyse tensorielle cylindrique Conclusion - TD - Questions

    Laplacien d’un champ scalaire

    ∆ρ = div∇ρ = ∂2ρ

    ∂xi∂xi

    mesure si ∇ρ diverge ou converge...

    Laplacien d’un champ tensoriel d’ordre 1

    ∆u = div ∇u = ∂2ui ∂xj∂xj

    ei = ∆ui ei

    10

  • Consignes Analyse tensorielle cartésienne Symétries : p. de Curie Analyse tensorielle cylindrique Conclusion - TD - Questions

    Systèmes symétriques : principe de Curie (1894)

    ...

    ...ces éléments de symétrie se retrouvant déjà

    dans la forme du domaine occupé par le milieu...

    En mécanique des milieux continus

    Milieu Causes Effet

    Solide Champs de forces volumiques d3f Champ de déplacement u(X,t)

    Fluide ou surfaciques d2f Champ de vitesse v(x,t) 11

  • Consignes Analyse tensorielle cartésienne Symétries : p. de Curie Analyse tensorielle cylindrique Conclusion - TD - Questions

    Ex. en mécanique des fluides : rhéomètre de Couette cylindrique

    Vue 3D :

    [ Benbelkacem & Skali-Lami 2008 - Lemta ]

    12

  • Consignes Analyse tensorielle cartésienne Symétries : p. de Curie Analyse tensorielle cylindrique Conclusion - TD - Questions

    Ex. en mécanique des fluides : rhéomètre de Couette cylindrique

    Vue de dessus :

    Cause :

    Effet :

    v(x,t) = dx

    dt 13

  • Consignes Analyse tensorielle cartésienne Symétries : p. de Curie Analyse tensorielle cylindrique Conclusion - TD - Questions

    Ex. en mécanique des fluides : rhéomètre de Couette cylindrique

    Vue de dessus :

    Cause : densité de forces surfaciques T = d2f

    d2S = τeθ avec τ constante > 0

    Effet :

    v(x,t) = dx

    dt 14

  • Consignes Analyse tensorielle cartésienne Symétries : p. de Curie Analyse tensorielle cylindrique Conclusion - TD - Questions

    Ex. en mécanique des fluides : rhéomètre de Couette cylindrique

    Vue de dessus :

    Cause : densité de forces surfaciques T = d2f

    d2S = τeθ avec τ constante > 0

    Effet : champ de vitesse simplifié avec le principe de Curie en coord. cylindriques

    v(x,t) = dx

    dt = v(x) = v(r ,θ) = U(r ,θ)er + V (r ,θ)eθ = U(r)er + V (r)eθ

    15

  • Consignes Analyse tensorielle cartésienne Symétries : p. de Curie Analyse tensorielle cylindrique Conclusion - TD - Questions

    Ex. en mécanique des fluides : rhéomètre de Couette cylindrique

    →֒ analyse tensorielle en coordonnées cylindriques, cf. le pb. 2.2

    =⇒ v(x,t) = U(r) er + V (r)eθ

    L’étude mécanique nécessite le calcul de

    • ∇v

    • divv

    • ∆v ����

    ��

    O

    M

    x

    y

    z

    er

    ez

    r

    θ

    16

  • Consignes Analyse tensorielle cartésienne Symétries : p. de Curie Analyse tensorielle cylindrique Conclusion - TD - Questions

    Ex. en mécanique des fluides : rhéomètre de Couette cylindrique

    →֒ analyse tensorielle en coordonnées cylindriques, cf. le pb. 2.2

    Calcul partiel sur un seul terme (le seul en fait à cause de l’incompressibilité)

    v(x,t) = V (r)eθ

    �� �� �� ��

    ��

    �� �� �� ��

    PSfrag

    O

    O

    M

    x

    x

    y

    yz

    z

    er er

    ez

    r

    θ

    θ

    θ

    ∇v = dV

    dr eθ ⊗ er −

    V

    r er