Consignes Analyse tensorielle cartésienne Symétries : p. de Curie Analyse tensorielle cylindrique Conclusion - TD - Questions
Séance 2 de mécanique des milieux continus solides et fluides
Analyse tensorielle avancée
0 Quelques consignes générales
http://emmanuelplaut.perso.univ-lorraine.fr/mmc
1 Retour sur l’analyse tensorielle (cartésienne)
2 Notions sur les symétries des systèmes
Principe de Curie, illustration sur un exemple
3 Analyse tensorielle en coordonnées cylindriques
Illustration sur le même exemple
4 Conclusion provisoire concernant les tenseurs
Infos sur le TD - Questions
1
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Points d’attention :
• absence en TD ⇒ rédaction de TD notée
• 1 rédaction de TD individuelle sur l’un des TD des séances 3 à 5, 7 à 9
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Analyse tensorielle : gradient
Champ tensoriel T0 d’ordre 0 :
application de Ω ouvert de l’espace physique T1 dans T0 = R,
x ∈ Ω 7−→ T0(x) ∈ T0 .
Champ tensoriel Tn d’ordre n ≥ 1 :
application de Ω ouvert de l’espace physique T1 dans Tn,
x ∈ Ω 7−→ Tn(x) application linéaire
T1 −→ Tn−1
h 7−→ Tn(x) · h
.
Gradient : ∇Tn champ tensoriel d’ordre n+ 1 tq
x ∈ Ω 7−→ ∇Tn(x) application linéaire
T1 −→ Tn
dx 7−→ ∇Tn(x) · dx = dTn(x)
,
dTn(x) étant Tn(x + dx)− Tn(x) linéarisé pour dx infinitésimal.
NB : souvent on note, au lieu de ∇Tn(x), ∇xT
n voire ∇Tn.
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Gradient d’un champ vectoriel
Autour d’un point x,
∇u application linéaire dx 7−→ ∇u · dx = du = u(x+ dx)− u(x) linéarisé.
δu = u(x+ dx)− u(x) ≃ du
≃ dx1
dx2
∇u =
∂ui
∂xj
ei ⊗ ej
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Décomposition du gradient en parties symétrique + antisymétrique
du = ∇u · dx = ǫ · dx
︸ ︷︷ ︸
déformation
+ Ω · dx
︸ ︷︷ ︸
rotation
= +
ǫ =
1
2
(
∇u + ∇uT
)
diagonalisable sur une base orthonormée
Ω =
1
2
(
∇u − ∇uT
)
, Ω · dx = Ω ∧ dx
avec Ω = vd
(
Ω
)
=
1
2
ǫ : Ω =
1
2
ǫ :
(
∇u − ǫ
)
=
1
2
ǫ : ∇u =
1
2
rot(u)
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Divergence d’un champ vectoriel- Formules intégrales
divu = ∇u : 1 = tr∇u =
∂ui
∂xi
∫∫∫
Ω
divu d3x =
∫∫
∂Ω
u · n d2S (en 3D)
avec Ω ouvert de R3, ∂Ω son bord, n la normale unitaire sortante à ∂Ω :
Ω
∂Ω
n
n
n
n n
n
n
n
n
n
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Divergence d’un champ vectoriel - Formules intégrales
divu = ∇u : 1 = tr∇u =
∂ui
∂xi∫∫∫
Ω
divu d3x =
∫∫
∂Ω
u · n d2S (en 3D)
∫∫
S
divu d2S =
∫
∂S
u · n dl (en 2D)
avec S ouvert de R2, ∂S son bord, n la normale unitaire sortante à ∂S :
O
x1
x2
S∂S
n
n
n
nn
n
n
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Divergence d’un champ vectoriel - Formules intégrales
divu = ∇u : 1 = tr∇u =
∂ui
∂xi
∫∫∫
Ω
divu d3x =
∫∫
∂Ω
u · n d2S (en 3D)
∫∫
S
divu d2S =
∫
∂S
u · n dl (en 2D)
→֒ interprétation Φ, cas d’un champ u = λ1x1e1 + λ2x2e2 :
(λ1,λ2) = (1,1), (1,−
1
2
), ( 1
2
,− 1), (−1,− 1)
x1
x2
divu > 0 divu < 0
u divergent u convergent !
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Divergence d’un champ tensoriel d’ordre 2
div T = ∇ T : 1 =
∂Tij
∂xj
ei
Formule intégrale de la divergence
∫∫∫
Ω
div T d3x =
∫∫
∂Ω
T · n d2S
Interprétation Φ : cas T symétrique, cf. l’ex. 2.7 :
ei · div T = div
(
T · ei
)
donc mesure si T · ei diverge ou converge...
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Laplacien d’un champ scalaire
∆ρ = div∇ρ =
∂2ρ
∂xi∂xi
mesure si ∇ρ diverge ou converge...
Laplacien d’un champ tensoriel d’ordre 1
∆u = div ∇u =
∂2ui
∂xj∂xj
ei = ∆ui ei
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Systèmes symétriques : principe de Curie (1894)
...
...ces éléments de symétrie se retrouvant déjà
dans la forme du domaine occupé par le milieu...
En mécanique des milieux continus
Milieu Causes Effet
Solide Champs de forces volumiques d3f Champ de déplacement u(X,t)
Fluide ou surfaciques d2f Champ de vitesse v(x,t)
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Ex. en mécanique des fluides : rhéomètre de Couette cylindrique
Vue 3D :
[ Benbelkacem & Skali-Lami 2008 - Lemta ]
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Ex. en mécanique des fluides : rhéomètre de Couette cylindrique
Vue de dessus :
Cause :
Effet :
v(x,t) =
dx
dt
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Consignes Analyse tensorielle cartésienne Symétries : p. de Curie Analyse tensorielle cylindrique Conclusion - TD - Questions
Ex. en mécanique des fluides : rhéomètre de Couette cylindrique
Vue de dessus :
Cause : densité de forces surfaciques T =
d2f
d2S
= τeθ avec τ constante > 0
Effet :
v(x,t) =
dx
dt
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Ex. en mécanique des fluides : rhéomètre de Couette cylindrique
Vue de dessus :
Cause : densité de forces surfaciques T =
d2f
d2S
= τeθ avec τ constante > 0
Effet : champ de vitesse simplifié avec le principe de Curie en coord. cylindriques
v(x,t) =
dx
dt
= v(x) = v(r ,θ) = U(r ,θ)er + V (r ,θ)eθ = U(r)er + V (r)eθ
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Ex. en mécanique des fluides : rhéomètre de Couette cylindrique
→֒ analyse tensorielle en coordonnées cylindriques, cf. le pb. 2.2
=⇒ v(x,t) = U(r) er + V (r)eθ
L’étude mécanique nécessite le calcul de
• ∇v
• divv
• ∆v
����
��
O
M
x
y
z
er
eθ
ez
r
θ
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Ex. en mécanique des fluides : rhéomètre de Couette cylindrique
→֒ analyse tensorielle en coordonnées cylindriques, cf. le pb. 2.2
Calcul partiel sur un seul terme (le seul en fait à cause de l’incompressibilité)
v(x,t) = V (r)eθ
��
��
��
��
��
��
��
��
��
PSfrag
O
O
M
x
x
y
yz
z
er er
eθ
eθ
ez
r
θ
θ
θ
∇v =
dV
dr
eθ ⊗ er −
V
r
er
