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DEA – Systèmes de Communications Hautes Fréquences -
Traitement d'Antenne 1
DEA Systèmes de Communications Hautes Fréquences
Traitement d'Antenne
Version 1.1
M. Terré
Novembre 2003
DEA – Systèmes de Communications Hautes Fréquences -
Traitement d'Antenne 2
Traitement Spatial en RadioCommunications
1. Hypothèses préalables
Le traitement d'antenne présenté dans ce polycopié se basera sur les hypothèses suivantes :
• On considérera que la source est loin du réseau de capteurs. On pourra donc faire l'hypothèse
d'un front d'one plan arrivant sur le réseau de capteurs.
• On supposera que le récepteur est constitué de N chaînes de transposition de fréquence et de
numérisation du signal. On supposera que ces chaînes sont parfaitement calibrées, c'est à dire
qu'elles n'entraînent entre elles aucune distorsions différentielles d'amplitude ou de phase.
• On supposera enfin que les signaux traités sont "bande étroite", c'est à dire que la fréquence de
la porteuse de la modulation est très supérieure à la bande utilisée pour la transmission. En
absence de bruit (irréaliste), le signal reçu sur le capteur n°1 s'écrit tf2j 0ets
π)( . Le signal reçu
sur le capteur n°n s'écrit alors ( )n0 tf2j
n etsτ−πτ− )( . L'hypothèse bande étroite permet d'écrire
réseau)()( ∈τ∀τ−≈ nntsts . Les signaux capteurs sont alors identiques à un déphasage près.
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Traitement d'Antenne 3
2. Caractéristiques d'un réseau de capteurs
2.1 Antenne active
On considère ici une antenne active réseau constituée de N capteurs (ou éléments) disposés dans un
plan selon une répartition en losange présentée sur la figure 1.
Les capteurs élémentaires ne sont pas omnidirectionnels mais possèdent un cône
d'émission / réception d'angle mψ .
capteur
d
d
ψ m
d 3 2/
Antenne
réseau
cône
d'émission
réception d'un
capteur
Figure 1 - répartition dans un plan des éléments de l'antenne réseau -
2.2 Conditions sur l'espacement des capteurs
Pour pouvoir localiser sans ambiguïté une source d'azimut θs et d'élévation ϕ s ou pour pouvoir
pointer une diagramme d'émission / réception vers cette source sans créer des lobes secondaires de
réseau, il faut que le déphasage maximal, induit par la direction d'arrivée du front d'onde de cette
source sur le réseau de capteurs, entraîne, entre deux capteurs voisins, un déphasage inférieur à π.
Par rapport à un capteur de référence placé aux coordonnées ( )0 0 0, , le déphasage dφ de l'onde
reçue sur un capteur placé aux coordonnées ( )x y z, , s'écrit :
( )sssss zyxc
f2d ϕ+ϕθ+ϕθ
π=φ sincossincoscos (1.)
x
z
y
ϕs
θs
S
Figure 2 - azimut et élévation d'une source S -
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Traitement d'Antenne 4
Pour les signaux provenant de la source S, le déphasage entre le capteur placé à l'origine ( )0 0 0, , et
son voisin sur l'axe Oy, placé au point de coordonnées ( )0 0, ,d , le déphasage s'écrit :
df
cd s sφ
πθ ϕ=
2sin cos (2.)
La condition de déphasage inférieur à π s'écrit alors :
d s ssin cosθ ϕλ
≤2 (3.)
Pour que cette condition soit respectée pour des capteurs omnidirectionnels et pour toutes les
positions possibles de la source S, on choisit en général la distance d telle que :
d ≤λ
2 (4.)
Si on considère les capteurs présentés dans le paragraphe précédent, alors la source doit se trouver
dans une direction d'élévation supérieure à π
ψ2
− m pour pouvoir être reçue ou illuminée par
l'antenne réseau. On a ainsi la relation suivante :
ϕπ
ψs m≥ −2
(5.)
d'où :
cos sinϕ ψs m≤
En considérant donc que la source appartient au cône d'émission / réception des capteurs, la
condition de déphasage inférieur à π devient :
dm
≤λ
ψ2 sin (6.)
Remarque : le raisonnement qui vient d'être conduit concernait le capteur placé au point de
coordonnées ( )0 0, ,d . La condition obtenue sur d assure aussi un déphasage inférieur à π entre le
capteur placé à l'origine et celui placé au point de coordonnées 3
2 20d
d, ,
.
En effet la condition s'écrit :
2 3
2 2
π
λθ ϕ θ ϕ π
d dcos cos sin cos+
≤ (7.)
Or cos sinϕ ψs m≤ donc :
2 3
2 2
2π
λθ ϕ θ ϕ
π
λψ
d dd mcos cos sin cos sin+
≤ (8.)
et donc si dm
≤λ
ψ2 sin, la condition est respectée.
2.3 Position des lobes de réseau
Le fait d'espacer les capteurs d'une distance d supérieure à λ
2, en l'occurrence
λ
ψ2 sin m
, crée des
lobes de réseau. Si θk et ϕk sont respectivement azimut et l'élévation d'un lobe de réseau alors les
déphasages induits par cette direction sont équivalents à 2π près au déphasage induit par la direction d'arrivée de la source utile. Ces équivalences conduisent aux deux équations suivantes :
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Traitement d'Antenne 5
sin cos sin cos sinθ ϕ θ ϕ ψk k s s mk= ± 2 1 (9.)
3
2
1
2
3
2
1
22 2cos cos sin cos cos cos sin cos sinθ ϕ θ ϕ θ ϕ θ ϕ ψk k k k s s s s mk+ = + ± (10.)
Ou encore :
sin cos sin cos sinθ ϕ θ ϕ ψk k s s mk= ± 2 1 (11.)
3
2
3
23cos cos cos cos sinθ ϕ θ ϕ ψk k s s mk= ± (12.)
Dans le plan 0yz θ θπ
k s= = ±
2, les lobes de réseau se retrouvent dans les directions d'élévations
ϕk telles que :
cos cos sinϕ ϕ ψk s mk= ± 2 1 (13.)
Exemple : Cas d'une antenne dont le diagramme d'émission / réception des capteurs est un cône
d'angle ψm = ± °10 . Les capteurs peuvent donc être espacés de : d = 2.88 λ.
Pour un jeu de pondérations faisant pointer l'antenne dans la direction normale au
réseau :ϕ s = °90 , les directions des lobes de réseau dans le plan 0yz sont les
suivantes : 44 64 3 110 3 134° ° ° °, . , . , . Ces lobes sont bien à l'extérieur du cône de ± °10 .
La figure ci-dessous présente le diagramme de rayonnement d'une telle antenne.
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80
-20
0
20
40
60
80
100
Gain en dB
Gain en dB
lobes de réseauDirection
source utile
cône
de
+/-10°
Figure 3 - diagramme de rayonnement d'une antenne dont les capteurs sont espacés d'une distance supérieur à
λλλλ/2 ce qui conduit à l'apparition de lobes de réseau -
Les lobes de réseau sont dus à l'espacement des capteurs et au vecteur de pondérations qui leurs
sont appliquées. Ils sont en dehors du cône d'émission / réception des capteurs et n'ont donc pas
d'impact. Par contre, si la réponse des capteurs est plus large que le cône de ±ψm à partir duquel
l'espacement a été défini, alors les lobes de réseau peuvent s'avérer gênants.
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Traitement d'Antenne 6
2.4 Surface et gain de l'antenne
Supposons que l'on souhaite que l'antenne réseau ait une surface équivalente à celle d'une antenne
circulaire de diamètre D.
Soit donc :
SurfD
eq = π2
4 (14.)
La surface d'une maille élémentaire est égale à :
Surf dmaille = 2 3
2 (15.)
En considérant un espacement des capteurs dm
=λ
ψ2 sin, le nombre de capteurs nécessaires est
alors égal à :
ND
m=2
3
2
2
2π
λψsin (16.)
Utiliser des capteurs directifs permet donc, via le terme sin2 ψm , de réduire le nombre de capteurs.
La figure 4 représente, pour une fréquence porteuse de 7.8 GHz, le nombre de capteurs nécessaires
pour réaliser une antenne réseau carrée dont la surface serait équivalente à celle d'une antenne
circulaire de diamètre D = 2 mètres. Le nombre de capteurs est fonction de leur ouverture.
(Une telle antenne réseau aura une forme carrée d'environ 1,80m x 1,80m)
0 10 20 30 40 50 60 70 800
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
ouverture des capteurs (degrés)
nombre de capteurs
Figure 4 - Nombre de capteurs en fonction de leur ouverture (300 capteurs pour une ouverture de ± °10 , 9515
capteurs pour une ouverture de ± °80
2.5 Résolution de l'antenne
La résolution d'une antenne réseau peut être caractérisée par son ouverture à 3 dB dans une
direction θ. Cette ouverture s'écrit en radians de la manière suivante :
∆θ31= −sin
( )
λ
θD (17.)
Dans cette expression D(θ) représente l'ouverture du réseau dans la direction θ.
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Traitement d'Antenne 7
Exemple : Si on considère une antenne réseau, constituée par un ensemble de 289 capteurs espacés
de d = 2.88 λ et disposés en losange pour former un carré de 17 x 17 capteurs ( 1,77m x 1,77m),
alors on arrive à une antenne dont la surface est approximativement équivalente à celle d'une
antenne circulaire traditionnelle de 2 mètres de diamètre (f = 7.8 GHz , λ = 38.4 mm). L'ouverture à 3 dB d'une telle antenne est alors égale à :
∆θ3 113= °. (18.)
-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
Gain Antenne Multicapteurs
∆θ3
Figure 5 - Ouverture à 3 dB dans une direction normale au réseau d'une antenne réseau de 289 capteurs
directifs espacés de 2.88 λλλλ -
3. Formalisation en traitement du signal
Au moyen des hypothèses énoncées lors du premier paragraphe de ce document, on peut écrire de
manière vectorielle le signal reçu sur le réseau des N capteurs :
=
)(
)(
)(
)(
tx
tx
tx
tX
N
2
1
NM
(19.)
On introduit alors un vecteur d'échantillons de bruits blancs gaussiens indépendants pour modéliser
les bruits additifs observés en sortie de N chaînes de transposition. Ces bruits proviennent
essentiellement des premiers étages d'amplification de ces chaînes et ils peuvent légitimement être
considérés comme indépendants.
On a alors :
)()()( tBDtstX NSN += (20.)
On voit donc apparaître dans cette expression le vecteur :
=
φ−
φ−
φ−
N
3
2
jd
jd
jd
s
e
e
e
1
D
M
(21.)
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Traitement d'Antenne 8
constitué par les déphasages différentiels des signaux sur les différents capteurs, par rapport à un
capteur de référence (ici le 1er).
Ce vecteur est essentiellement fonction de la direction de la source par rapport au réseau de
capteurs et il s'appelle le vecteur directionnel de la source par rapport au réseau de capteurs.
Le vecteur )(tBN représente les échantillons de bruit blanc :
=
)(
)(
)(
)(
tb
tb
tb
tB
N
2
1
NM
(22.)
On supposera que tous les échantillons de bruit blanc ont une même variance égale à 2σ .
Dans le cas où plusieurs sources : p21 SSS ,,, K avec des signaux sources respectifs
)(,),(),( tststs p21 K seraient reçues sur le réseau de capteur, le signal reçu s'écrirait :
)()()( tBDtstX N
p
1iSiN i
+= ∑=
(23.)
4. Filtre spatial
4.1 Généralités
Le filtrage spatial des signaux capteurs revient à rechercher un jeu de coefficients complexes, qui
appliqués à l'ensemble des capteurs permet, par sommation des signaux ainsi pondérés, de
synthétiser une nouvelle antenne.
Figure 6 - Filtre spatial -
On introduit le vecteur des coefficients
=
)(
)(
)(
)(
ta
ta
ta
tA
N
2
1
NM
, le signal en sortie de combinaison s'écrit
alors :
ant. n°1
x1
a1*
ant. n°2
x2
a2*
ant. n°N
xN
aN*
r(t)
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Traitement d'Antenne 9
)()()( tXtAtr NTN= (24.)
L'exposant T signifie transconjugué. C'est donc des coefficients conjugués du type )(* tai , que l'on
applique aux signaux capteurs. On rappelle que les signaux capteurs considérés se situent après
transposition en bande de base et passage en voie I et Q (cf cours de modulations numériques). Il
s'agit donc de signaux complexes.
4.2 Critères optimisables
Le vecteur des coefficients )(tAN peut alors correspondre à l'optimisation de différents critères.
Deux d'entre eux vont être présentés.
4.2.1 FVC (Formation de Voies par le calcul)
La première solution peut simplement consister à rechercher un jeu de coefficients qui "pointe"
l'antenne dans la direction de la source utile.
On recherche alors à remettre en phase les contributions de la source sur les différents capteurs. La
solution est alors :
SN DN
1tA
FVC=)( (25.)
On parle alors de formation de voies par le calcul (FVC). Le coefficient N
1 est un simple
coefficient de normalisation. Dans l'hypothèse d'une source unique, le signal en sortie de
combinaison s'écrit :
( ) )()()()()( tBDN
1tstBDtsD
N
1tr N
TSNS
TS +=+= (26.)
On retrouve donc le signal source )(ts plus une variable de bruit additive constitué par la
sommation de N variables de bruit indépendantes. Après la normalisation par N on peut donc écrire
le signal en sortie de combinaison sous la forme :
)(')()( tbtstr += (27.)
expression dans laquelle )(' tb représente un bruit blanc gaussien d variance égale à N
2σ.
4.2.2 FAS (Filtre Adapté Spatial)
Le filtre adapté spatial va consister à rechercher un jeu de pondérations pour que la sortie de
l'antenne prédise au mieux, au sens des moindres carrés, le signal utile. Considérons le cas de
plusieurs sources et identifions la source n° k comme étant la source utile. On cherche donc à
prédire le signal )(tsk .
Le critère s'écrit alors :
( )
−
2
NTNkN tXtAtsMinEtA )()()(/)( (28.)
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Traitement d'Antenne 10
La solution est alors donnée par (Wiener) :
)()()( tttAkXs
1XXN ΓΓ= − (29.)
)(tXXΓ représente la matrice d'autocorrélation du vecteur )(tX N
)(tkXsΓ représente le vecteur d'intercorrélation du vecteur )(tX N avec le signal )(tsk
En utilisant l'équation (23) sur la forme du signal utile et en faisant l'hypothèse que le signaux
sources sont indépendants les uns des autres et centrés, il vient :
kkiiiFAS Ss
1P
1i
2TSSsN DpIDDptA
−
=
σ+= ∑)( (30.)
Dans cette expression le terme is
p représentent la puissance reçue sur les capteurs de la source n°i.
Dans le cas d'une seule source et en considérant que la puissance de bruit est négliugeable debvant
la puissance reçue de la source on a :
)()( tAtAFASFVC NN = (31.)
5. Références
[1] R.T. Compton Jr,, "Adaptive Antennas: Concepts and Performance", Prentice-Hall, Englewood
Cliffs, New Jersey 1998.
[2] J.E. Hudson, "Adaptive Array principles", IEE Electromagnetic Waves Series 11, London,
1981.
[3] Pascal Chevalier, "Antenne Adaptative : D'une structure linéaire à une structure non linéaire de
Volterra", Thèse de doctorat, Université Paris-Sud, Juin 1991.
[4] L. Féty, "Méthodes de Traitement d'Antenne adaptées aux radiocommunications", Thèse de
doctorat, ENST, Juin 1988.
