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Définition #1: Champ vectoriel

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Définition #1: Champ vectoriel. Vector field . Champ vectoriel. Équivalent à une fonction vectorielle. Point. Vecteur. Si f est un champ vectoriel «  smooth  ». f est différentiable un nombre infini de fois. Définition #2: Dérivée de Lie…. …de h par rapport à f (Lie derivative ). - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: Définition #1: Champ vectoriel
Page 2: Définition #1: Champ vectoriel

Définition #1: Champ vectoriel

• Vector field.: n nf

Champ vectoriel Équivalent à une fonction vectorielle

( )x f xPoint Vecteur

Si f est un champ vectoriel « smooth »

f est différentiable un nombre infini de fois

Page 3: Définition #1: Champ vectoriel

Définition #2: Dérivée de Lie…

• …de h par rapport à f (Lie derivative).

: nh

Fonction scalaire

fL h h f Gradient de h

Semblable à la dérivée de h dans la direction de f

: n nf

Champ vectoriel

Produit scalaire

Scalaire

Page 4: Définition #1: Champ vectoriel

Définition #2: Dérivée de Lie…

• … à répétition.

g f fL L h L h g

Page 5: Définition #1: Champ vectoriel

Pertinence de la dérivée de Lie par rapport aux systèmes dynamiques

• Soit le système suivant:

• Alors:

– Et ainsi de suite…

( )( )

nx f x xy h x y

2

f

f f f f f

y h x h f L h

y L h x L h f L L h L h

Page 6: Définition #1: Champ vectoriel

Définition #3: « Lie bracket »…

• …de f et g.: n nf

Champ vectoriel

,f

f g g f f g

ad g

: n ng

Champ vectoriel

Jacobiennes

Page 7: Définition #1: Champ vectoriel

Définition # 3: « Lie bracket »…

• … à répétition.

0

2

1

,

, ,

,n n

f

f

f

f f

ad g g

ad g f g

ad g f f g

ad g f ad g

Page 8: Définition #1: Champ vectoriel

Pertinence des « Lie brackets » par rapport aux systèmes dynamiques

• Soit le système suivant:1 2 1 2( ) ( ) ; ,nx f x u g x u x u u

Directions du mouvement instantané

Aussi directions de la vitesse instantanée

Combinaison linéaire de f et g

( ), ( )x span f x g x

Page 9: Définition #1: Champ vectoriel

La contrôlabilité en question

• Étant donné l’état initial x0 et l’état final désiré xd, tel que:

• Existe-t-il une séquence d’entrées u1 et u2 qui va faire en sorte que l’état du système passe de x0 à xd ?

0 ( ), ( )dx x span f x g x

Oui, mais seulement si [f,g](x0) ≠ 0

Page 10: Définition #1: Champ vectoriel

Lemme 1

• Considérez la séquence de commande suivante:

• Alors:

1 2

(1,0), 0,(0,1), , 2

( ), ( ) 0( 1,0), 2 ,3(0, 1), 3 , 4

t ht h h

u t u t ht h ht h h

Petit

2 30 0(4 ) , ( ) ( )x h x h f g x h O

Termes d’ordre élevés

Page 11: Définition #1: Champ vectoriel

Preuve

• Utilisant les séries de Taylor…2 31

0 10 102

2 310 0 0 02

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

x h x hx h x h

x h f x h f x f x h

OO

2 312(2 ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( )x h x h h g x h h g x h g x h h O

0 0 0 0 0( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( )g x h g x h f x g x h g x f x

0( ( )) ( )g x h g x

Page 12: Définition #1: Champ vectoriel

Preuve

• Suite …

• Puis:

210 0 0 0 02

2 2 310 0 0 02

(2 ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x h x h f x h f x f x h g x

h g x f x h g x g x h

O

30 0

2 10 0 0 0 0 02

(3 ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x h x h g x h

h g x f x f x g x g x g x

O

Page 13: Définition #1: Champ vectoriel

Preuve

• Et enfin:

• Donc x(4h) ≠ x0.

2 30 0(4 ) , ( ) ( )x h x h f g x h O

2 30 0 0 0 0(4 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x h x h g x f x f x g x h O

Page 14: Définition #1: Champ vectoriel

Définition #4: Difféomorphisme

• Diffeomorphism: n n

Fonction vectorielle

Région ouverte

Telle que:

est « smooth »

1 existe1 est aussi « smooth »

Page 15: Définition #1: Champ vectoriel

Lemme 2

• Supposons:– une fonction « smooth »;– non singulière;

• Alors:– Il existe une région Ω (dans laquelle x0 est inclus)

tel que est un difféomorphisme local.

: n n

0( )x

JacobienneA un certain point

: n

Page 16: Définition #1: Champ vectoriel

Pertinence des difféomorphismes par rapport à la linéarisation entrée-état

• Soit le système suivant:

• … et un difféomorphisme donné:

( ) ( ) nx f x g x u x

1

( )

( )

z x

x z

Transformation

algébrique d’état

Page 17: Définition #1: Champ vectoriel

Cela mène à…

• … une équation équivalente dans le nouvel espace d’état:

1 1

( ) ( ) ( )

( ) ( ( )) ( ( ))

( ) ( )

z x f x g x u

x f z g z u

f z g z u

Le travail à faire, c’est de trouver un difféomorphisme φ tel que les nouvelles

équations d’état soient sous la forme compagnon d’un système non-linéaire. (NSCF)

Page 18: Définition #1: Champ vectoriel

Forme compagnon d’un système non linéaire

• Voici ce que l’on désire:

• Pourquoi ???

1 2

2 3

1

( ) ( )n n

n

x xx x

x xx f x b x u

Page 19: Définition #1: Champ vectoriel

Forme compagnon d’un système non linéaire

• Soit la commande linéarisante suivante:

• Alors:1 1

2 2

1 1

0 1 0 0 00 0 1 0 0

0 0 0 1 00 0 0 0 1

n n

n n

x xx x

vx xx x

1 ( )( )

u v f xb x

Nouvelle commande

Page 20: Définition #1: Champ vectoriel

Forme compagnon d’un système non linéaire

• C’est la forme compagnon d’un système linéaire.

• Et on aura: ( ) 1( ) ( ) ( )

( )nx f x b x v f x v

b x

n-ième dérivée

Ce système correspond à une chaine de n intégrateurs avec l’entrée v sur le premier et la

sortie x sur le n-ième…

Page 21: Définition #1: Champ vectoriel

LINÉARISATION ENTRÉE-ÉTATS

Page 22: Définition #1: Champ vectoriel

Procédure

• Point de départ:– Avoir une fonction non-linéaire:

– Exemple:

( ) ( ) ,nx f x g x u x u

221

sin 0( ) ( )

1a x

x f x g x u ux

Page 23: Définition #1: Champ vectoriel

Procédure – étape 1

• Construire:

– Exemple:

2 1, , , , nf f fg ad g ad g ad g

2 2

, ,

0 cos 0 0 cos, ,

1 0 1 1 0

fg ad g g f g

a x a

221

sin 01

a xx u

x

Page 24: Définition #1: Champ vectoriel

Procédure – étape 2

• Vérifier la contrôlabilité et l’involutivité.– Exemple:

– Et, il est maintenu tant que –a cos x2 ≠ 0. Pour assurer l’involutivité, il faut que x2 ne force jamais le cosinus à être à 0.

221

sin 01

a xx u

x

20 cos2

1 0a x

rang n controllable

Page 25: Définition #1: Champ vectoriel

Procédure – étape 3

• Construire une fonction telle que:

– Exemple:2

21

sin 01

a xx u

x

1

1

1

0, 0,1, , 2

0

i

n

f

f

ad g i n

ad g

11

2

11 2

1

0

cos 0f

gx

ad g a xx

1

Page 26: Définition #1: Champ vectoriel

Procédure – étape 3

• Essayons: 1 1x

11

2

11 2 2

1

0

cos cos 0f

gx

ad g a x a xx

Page 27: Définition #1: Champ vectoriel

Procédure – étape 4

• Calculer le diffémorphisme:

– Exemple: 221

sin 01

a xx u

x

11 1 1( ) , , ,

Tnf fz x L L

1 1 1

22 1 1 2 12

1

sin1 0 sinf

z xa x

z L f a x xx

Page 28: Définition #1: Champ vectoriel

Procédure – étape 5

• Définir la commande u comme étant:

– Exemple:

111

1 nfn

g f

u v LL L

1 1 2

2 21 1 2 1 22

1

1 1 2 2

sin

sin0 cos cos

00 cos cos

1

f

f f f

g f f

L f a x

a xL L L f a x a x x

x

L L L g a x a x

Page 29: Définition #1: Champ vectoriel

Procédure – étape 5

• Donc:

21

1

21 2

2

21

2

1

1 coscos

cos

fg f

u v LL L

v a x xa x

vxa x

Page 30: Définition #1: Champ vectoriel

Fin de l’exemple

• Puisque:

• Alors:

1 1

2 2sinz xz a x

1 1 2

22 2 2 2 1cos cos

z x z

z a x x a x x u

21

2cosvu x

a x 2z v

Page 31: Définition #1: Champ vectoriel

Fin de l’exemple

• Le système équivalent est donc:

• On peut alors concevoir une commande par retour d’état…

1 1

2 2

0 1 00 0 1

z zv

z z

1 1 2 2

1 1 2 2sinv k z k zk x k a x

Page 32: Définition #1: Champ vectoriel

LINÉARISATION ENTRÉE-SORTIE

Page 33: Définition #1: Champ vectoriel

Procédure

• Point de départ:– Avoir une fonction non-linéaire:

– Exemple:

( ) ( ) ,( )

nx f x g x u x uy h x y

221

2

sin 0( ) ( )

1( )

a xx f x g x u u

x

y h x x

Page 34: Définition #1: Champ vectoriel

Procédure – étape 1

• Dériver y jusqu’à faire apparaitre u dans la r-ième dérivé:– Traduction:

– Exemple:

1 ( ) 0rg fL L h x

22 1y x x u

222

1

sin 01

a xx u y x

x

Degré relatif

Degré relatif : r = 1

Page 35: Définition #1: Champ vectoriel

Procédure – étape 2

• Construire des fonctions telles que:

– Exemple:

( ) 0, 1, ,g kL x k r n

x

22 2 2 1 2 1

2

( )( ) ( ) 0 ( )g

xL x x g x k k x

x

1( ), , ( )r nx x

222

1

sin 01

a xx u y x

x

Page 36: Définition #1: Champ vectoriel

Procédure – étape 3

• Calculer:

– Exemple:

11, , , , , ,

TT rf f r nz h L h L h

1 2

1 2 1 2 1

z h xk k x

Page 37: Définition #1: Champ vectoriel

Procédure – étape 4

• Dériver les équations du système:

– Or:

21 2 1

1 2 1 2 2sinz x x u

k x k a x

2 1

1 11

2

x zk

xk

2

1 11

2

1 2 1

1

sin

kz u

kk a z

y z

Page 38: Définition #1: Champ vectoriel

Bilan

• La forme obtenue ressemble à:1 2

2 3

( , )( , )

r

z zz z

z a z uz

Page 39: Définition #1: Champ vectoriel

Commande

• Choisir la commande équivalente suivante:

– Exemple:

1 1

( , ), 0r r i

u a z vv k z k z k

2

1 1

2

1

bu v

bv kz

2

1 11 1

2

1 1 2 1

( , )

( , ) sin

ba z

bz b a z

Page 40: Définition #1: Champ vectoriel

Mais, il faut vérifier la dynamique de η

• Dynamique appelée la dynamique du 0 (zero dynamics).

• Il faut vérifier que est asymptotiquement stable. – Si oui, notre design convient.– Si non, on a un grave problème…

– Exemple:

( , )z

1 2 1sink a z On a justement un problème !!!!