DEFORMATION CONTRAINTE ET ENERGIE .pdf

1MK03 : Calcul des structures2008 – 2009

« Utiliser le bon outil pour dimensionner une structure. »

MK03 : Calcul des structuresMK03 : Calcul des structures


1 - Approche énergétique du comportement des structuresÉnergie de déformation dans les modèles poutre.Théorème de Castigliano.Théorème de Ménabréa (Résolution de problèmes hyperstatiques)Théorème de Muller Breslau (charge fictive)

2 - Introduction à la Mécanique des Milieux Continus (MMC)Contrainte (scalaire, vecteur, tenseur).Déformation (scalaire, vecteur, tenseur).Cercle de MohrDensité d’énergie de déformation.Équation d’équilibreCritère de dimensionnement des structures.

Objectifs du coursObjectifs du cours


BibliographieBibliographie

Bac +2 Bac +5


ModalitModalitéé du coursdu cours

Cours : 15,5 h

TD : 4,5 h

Évaluation : Exam écrit 2 h

Critères d’évaluations :

Modélisation des problèmes 35 %Choix de la méthode de résolution 15 %Résolution 15 %Analyse critique des résultats 35 %


Chapitre 1 : Approche Chapitre 1 : Approche éénergnergéétique dans les modtique dans les modèèles poutreles poutre

But : Découvrir l’approche énergétique dans le calcul des poutres

Contexte : Structure pouvant se décomposer en élément poutre afin de réaliser un dimensionnement simple et rapide « papier crayon ».

Avantages :

Calcul de flèche sur des structures complexesSimplification des calculsÉviter les erreurs de signe

Déterminations de inconnues hyperstatiques


1 Rappel des hypothèses de la théorie des poutresQu’est qu’une poutre ?Torseurs : Vitesses / Déplacements / de CohésionÉquation d’équilibre

2 Les sollicitations simplesTraction / compressionCisaillement purTorsionFlexion

3 Énergie de déformationExemple d’une poutre en traction compressionDéfinition de l’énergie de déformationsThéorème de CastiglianoThéorème de Ménabréa (problèmes hyperstatiques)Théorème de Muller-Breslau (de la charge fictive)

Plan du Chapitre 1Plan du Chapitre 1


QuQu’’est ce quest ce qu’’une poutre ?une poutre ?

Langage commun : Poutre : Quelque chose d’allongé.

Langage mathématique : Poutre : Objet dont les dimensions respectent : largeur = o(longueur)

hauteur = o(longueur)

Langage Mécanicien : Toute structure dont la modélisation en modèle

poutre permettra de répondre au cahier des charges.

Arbre de transmission Châssis mécano-soudé Dent d’engrenage


HypothHypothèèses gses gééomoméétriquestriques

Fibre neutre : Courbe comprenant l’ensemble des centres de gravité des sections droites

Section droite Σ(s) : Surface perpendiculaire à la fibre neutre

Centre de gravité G(s) : Associé à chaque section droite

Orientation de la fibre neutreParamétrée par l’abscisse curviligne s


DDééfinitions du repfinitions du repèère localre local

)(sxr

Premier vecteur unitaire :tangent à la fibre neutreperpendiculaire à la section droite

)(syr

)(szr

Second et troisième vecteurs unitaires :inclus à la section droitetrièdre orthonormé directrespectant les éventuelles

géométries particulièresde la section droite

Attention : Le repAttention : Le repèère R(s) =(G,x,y,z) est local.re R(s) =(G,x,y,z) est local.

CC’’estest--àà--dire qudire qu’’il dil déépend de s !!!pend de s !!!

)(sxr

)(syr

)(szr)(sG


HypothHypothèèses complses compléémentairesmentaires

1 Petites déformationsOn effectue les calculs sur la structure non déformée. Il faut donc que les déformations soient petites au regard des dimensions de la poutre. De plus, on considère que les déformations ne modifient pas la position des efforts.

3 Hypothèse de Saint-Venant :Les résultats obtenus ne sont valables qu'à une distance suffisamment grande des points d'application des chargements et des conditions aux limites.

2 Section discontinueLes changements brusque de section ne sont pas pris en compte. Les résultats dans ces zones sont fortement discutables. On introduit alors des facteurs correctifs de concentration de contraintes (entre autres …).


Torseur cinTorseur cinéématiquematique

On suppose que localement chaque section droite S se comporte comme un solide se déplaçant par rapport à un repère de référence O.

On peut alors définir un torseur cinématique analogue à celui utilisé en mécanique des solides.

{ })(0/

0/0/ )(

)(

sGG sVs

V⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=Σ∈

ΣΣ

rrω

0)(0/ sΣωr

)(0/ sVG Σ∈

r

Vecteur rotation de S par rapport à 0

Vecteur vitesse du point G appartenant à S par rapport à 0

)(0/ sΣωr

)(0/ sVG Σ∈

r

)(sxr

)(syr

)(szr

)(sG


Torseur des petits dTorseur des petits dééplacementsplacements

On intègre par rapport au temps le torseur cinématique entre la position initiale et la position déformée.

On peut alors définir le torseur des déplacements.

{ })(0/

0/0/ )(

)(

sGG sUs

U⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=Σ∈

ΣΣ

rrϕ

Vecteur d’orientation de la section Σ

Vecteur de déplacement du point G

)(0/ sΣϕr

)(0/ sUG Σ∈

r

0

)(sxr

)(syr

)(szr

)(sG

)(0/ sΣϕr

)(0/ sUG Σ∈

r


Torseur des petits dTorseur des petits dééplacementsplacements

Attention les dAttention les dééplacements peuvent se mettre sous la forme dplacements peuvent se mettre sous la forme d’’un un torseur uniquement avec ltorseur uniquement avec l’’hypothhypothèèse des petits dse des petits dééplacementsplacements

)(sUr

Position initiale

Position déformée

)(sxr

)(syr

)(szr

xϕ

yϕ

zϕ

zyx zyx

rrrrϕϕϕϕ ++=


Torseur de cohTorseur de cohéésionsion

Soit une poutre P en équilibre sous l'action d’efforts extérieurs {Aext->p}.

On effectue une coupe fictive de cette poutre suivant une section droite S à l’abscisse s0.

On peut isoler 2 demies poutres :«P-» suivant les abscisses inférieures à s0. (à gauche)«P+» suivant les abscisses inférieures à s0. (à droite)

{ }−→PextA

{ }+→PextAP-

P+

On définit alors le torseur de cohésion comme :

{ } { } { }−→+→ −== PextPextc AAT



En exprimant le torseur au point G dans le repère (G,x,y,z) on définit les différents types de sollicitations : { }

)(sGfz

fy

t

z

yc

MMM

TTN

T⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧≡

xNr

xMt

r

zMfz

r

yMfy

r

yTy

r

zTz

r

G

+→PextAr

GPextM +→

r

Effort normal

Effort tranchant

xNr

zMyM fzfy

rr+zTyT zy

rr+

Moment de torsion

Moment de flexion

xMt

r


ÉÉquation dquation d’é’équilibrequilibre

ds

On isole un tronçon de poutre de largeur ds en dynamique.

Bilan des actions mécaniques :

- Torseur de cohésion en sTorseur de cohésion en s+dsGlisseur des actions extérieures réparties (ds trop petite pour exercer un moment)

{ } )(sTc−

{ } )( dssTc +

{ } )(0

)( sdsfsA rr

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= r

r

xr


ÉÉquation dquation d’é’équilibre de la rquilibre de la réésultantesultante

Théorème de la résultante dynamique :

En supposant que le référentiel est Galiléen

On applique le Principe Fondamental de la Dynamique au tronçon :

{ } { } { } { } )()()()( sDsAsTdssT rcc =+−+

dssSdssfsRdssR RgSGr /)()()()( ∈=+−+ γρrrrr

RgSGr SfdsRd

/∈=+ γρrr

r


ÉÉquation dquation d’é’équilibre du momentquilibre du moment

Théorème du moment dynamique exprimé au point G(s)

dsdMsGsMdssRdssGsGdssM RgSMM

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Σ∧=−+∧+++ ∈

Σ∈∫ /)()()()()()( γρ

rrrr

Σ∧=∧+ ∈∈

⎯→⎯

∫ dGMRxdsMd

RgSMSM

/γρrrr

r







Exemple de structures sollicitExemple de structures sollicitéées en traction/compressiones en traction/compression

Les bielles

Les liens souples (courroie, câble)

Pylônes en béton


ModModèèle dle d’’une poutre en traction / compressionune poutre en traction / compression

{ }iG

RA⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=0

11 r

r

{ }fG

RA⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=0

22 r

r

Dans une poutre sollicitée en traction / compression :la fibre neutre est nécessairement rectiligneles sollicitations sont nécessairement colinéaires àla section peut éventuellement varier

Définition :

Une poutre est soumise à une sollicitation de traction / compression si et seulement si le torseur de cohésion s’écrit :

{ })(0 xG

cxN

T⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≡ r

r

{ }G

rr

xfA

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=0r

r

xr

)(xS

xs =


Traction ou compression ?Traction ou compression ?

Si N > 0 on parle de la sollicitation de traction

2Rr

1Rr

xNr

Si N < 0 on parle de la sollicitation de compression

2Rr

1Rr

xNr


Expression des contraintes de traction compressionExpression des contraintes de traction compression

On s’intéresse ici à la répartition des contraintes sur une section droite (actions surfaciques élémentaires agissant sur une petite surface dS)

Hypothèse : les contraintes sont uniformes sur la section droitex

r

),( xMσr

xxNr

)(

)()()(),()()(

sSxdSxdSxMxNsSMsSM

σσσ rrrr=== ∫∫

∈∈

xxSxNx

rr

)()()( =σ Les contraintes sont colinéaires à x

r

)(xG

M


Expression des dExpression des dééformations de traction compressionformations de traction compression

On s’intéresse ici à L’allongement relatif d’un tronçon de poutre de longueur ds.

xr

)(xur

)()()()( xdxud

dxxudxxux

rrrr

=−+

=εL’allongement relatif :

dx

xr

)( dxxu +r

)(xG )( dxxG + )(xG )( dxxG +


Loi de comportementLoi de comportement

On rajoute des hypothèses ici sur le matériau utilisé (ELHI) :ÉlastiqueLinéaireHomogèneIsotrope E est le module d’Young ou module

d’élasticité homogène à une pression

xxSxNx

rr

)()()( =σ

)()( xdxudxr

r=ε )(

)()( x

dxud

xESxN

r

=

Loi de comportement

)()( xEx εσrr

=Loi de Hooke

Déformation

Contrainte


TD dTD d’’applicationapplication

Tour de BabelAscenseur à câble


Exemple de structure sollicitExemple de structure sollicitéée en cisaillement pure en cisaillement pur

Cisaillage de barre

Les rivets

Les clavettes


ModModèèle du cisaillement purle du cisaillement pur

{ }1

11 0 G

RA⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= r

r

{ }2

22 0 G

RA⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= r

r

Cette poutre soumise est nécessairement soumise à2 glisseurs perpendiculaires à la fibre neutre

Le cisaillement pur n’existe pas car il n’y a pas équilibre de la structure.

G1G2

On modélise le cisaillement pur comme la limite G2 → G1

Définition :

Une poutre est soumise à une sollicitation de cisaillement si et seulement si le torseur de cohésion s’écrit :

{ })(0 sG

czTzyTy

T⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +

≡ r

rr


Expression des contraintes de CisaillementExpression des contraintes de Cisaillement


Hypothèse : les contraintes sont uniformes sur la section droite

Gxr

M

)(MσrTr

SdSdSMTSMSM

σσσ rrrr=== ∫∫

∈∈

)(

STr

rr== στ Les contraintes sont colinéaires à et ne dépendent que de S T

r


Exemple de structure sollicitExemple de structure sollicitéée en torsione en torsion

Les arbres de transmission

Les ressorts


ModModèèle dle d’’une poutre en torsionune poutre en torsion

{ }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=1

10

MA r

r{ }

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=2

20

MA r

r

Nous n’étudierons que les poutres rectilignes cylindriques de révolution (éventuellement creuses) soumises à 2 torseurs couples.

Définition :

Une poutre est soumise à une sollicitation de torsion si et seulement si le torseur de cohésion s’écrit :

{ })(

0

xGtc xM

T⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≡ r

r

xr

En appliquant le TMS : xMxMMt

rrrr.. 12 −==

Le moment de torsion est constant sur toute la longueur de la poutre.


Expression des contraintes de torsionExpression des contraintes de torsion


xr

)(Mσr

∫∈

∧=SM

t dSMGMxM )(σrr

xMt

rG

Il manque une hypothèse pour trouver l’expression des contraintes

On intègre les moments des contraintes afin de calculer le moment de torsion


Angle de rotation dAngle de rotation d’’une poutre circulaire en torsionune poutre circulaire en torsion

Si on trace une ligne sur la poutre, après déformation cette ligne s’enroule autour d’elle. L’angle final mesuré est appelé angle de torsion θt.

L

La rotation semble uniforme tout au long de la poutre.On peut donc définir un angle unitaire θu de rotation (deg.m-1 ou rad.m-1) L

tu

θθ =

θt


DDééformation dformation d’’une poutre circulaire en torsionune poutre circulaire en torsion

On considère la déformation d’un petit élément de matière. (dx,dr,r dθ)

dθ dxr uθγ

On exprime alors l’angle de distorsion de l’élément

uu rdx

dxrr θθγ ==)(

dxdx

dr

r


Loi de comportementLoi de comportement

Expression de la contrainte de cisaillement grâce à la loi de Hooke :

θθ μθμγτ ururr u

rrr== )()(

Module de Coulomb :

( )νμ+

==12EG

Coefficient de Poisson : ν

Expression du moment de torsion en fonction de l’angle de torsion

00 IL

IM tut

θμμθ ==∫∈

=SM

dSrI 20

On définit l’inertie de surface Loi de comportement

∫∫∫∈∈∈

=∧=∧=SM

uSM

urSM

t dSrxdSururdSMGMxM 2)(rrrrr

μθμθσ θ


Calcul de la contrainte maxCalcul de la contrainte max

θμθτ urr u

rr=)(

0IM ut μθ=

0IMt

u =μθ

Contrainte de cisaillement

θτ uI

rMr t rr

0

)( =La contrainte de cisaillement varie de manière linéaire par rapport au rayon

Loi de comportement de la poutre

On trouve alors la contrainte max en r = R

0max I

RMt=τrzr

yr


TD EX3 : TorsionTD EX3 : Torsion


Exemple de structure sollicitExemple de structure sollicitéée en flexion simplee en flexion simple

Aile d’avion

plongeoir

Châssis de véhicule


ModModèèle dle d’’une poutre en flexion pureune poutre en flexion pure

On se limitera au poutre rectiligne soumise à 2 torseurs couple perpendiculaires à la fibre neutre

{ }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=1

10

MA r

r

{ }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=2

20

MA r

r

Définition :

Une poutre est soumise à une sollicitation de flexion pure si et seulement si le torseur de cohésion s’écrit :

{ })(

0

xGfzfyc zMyM

T⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+≡ rr

r

En pratique on ne trouve très rarement de la flexion pure

{ }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=ext

ext MA r

r0


ModModèèle dle d’’une poutre en flexion simpleune poutre en flexion simple

On se limitera au poutre rectiligne de section éventuellement variable.

{ }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=1

11 M

TA r

r

{ }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=2

2 MTA r

r

Définition :

Une poutre est soumise à une sollicitation de flexion pure si et seulement si le torseur de cohésion s’écrit :

{ })(xGfzfy

zyc zMyM

zTyTT

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++

≡ rr

rr

En pratique on ne trouve très souvent de la flexion simple

{ }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=ext

extext M

TA r

r


HypothHypothèèse de Bernoullise de Bernoulli

« Les sections droites restent planes et perpendiculaires à la fibre neutre après la déformation. »


ConsConsééquences de lquences de l’’hypothhypothèèse de Bernoullise de Bernoulli

xr

yr

zr

dx

)(xUz)( dxxUz + )(syϕ−

dx

)(xUy)( dxxUy + )(xzϕ

dx

yr

xr

zr

xr

)()tan()( xdxdu

x yzz =≈ ϕϕ

)()tan()( xdxdux z

yy −=≈ ϕϕ


DDééformations des poutres en flexionformations des poutres en flexion

yr

xr

xr

yr

zr

zr

xr

xxdx

dzx

dxdyzyx yz rr

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−= )()(),,(

ϕϕε

dx

moyyy dxx ϕϕ −+ )(

))()(( xdxxz yy ϕϕ −+

dx

moyyy x ϕϕ −)(

dx

Avant déformation

2)()( xdxx zzmoy

zϕϕϕ −+

=

2)()( xdxx yymoy

y

ϕϕϕ

−+=

))()(( xdxxy zz ϕϕ −+−

moyzz x ϕϕ −)(

moyzz dxx ϕϕ −+ )(


Loi de Hooke Loi de Hooke

Application de la loi de Hooke :

xxdx

udEzxdx

udEyzyxEzyx zy rrr

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−== )()(),,(),,( 2

2

2

2

εσ

xxdx

udzxdx

udyzyx zy rr

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−= )()(),,( 2

2

2

2

εRépartition linéaire des déformations dans la section :

)()tan()( xdxdu

x yzz =≈ ϕϕ

)()tan()( xdxdux z

yy −=≈ ϕϕ

Bernoulli : Relation de déformation

xxdx

dzx

dxdyzyx yz rr

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−= )()(),,(

ϕϕε

Répartition linéaire des contraintes dans la section :


Contraintes de flexion et moment flContraintes de flexion et moment flééchissantchissant

xr

yr

zr

G

M

dSxxdx

udEzGMxMxSM

zfy

rr)()(

)(2

2

∫∈

−∧=

ydSzxdx

udEdSxxdx

udEzzzxSM

z

xSM

z rrr

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=−∧= ∫∫

∈∈ )(

22

2

)(2

2

)()(

dSxxdx

udEyGMxM

xSM

yfz

rr)()(

)(2

2

∫∈

−∧=

zdSyxdx

udEdSxx

dxud

EyyyxSM

y

xSM

y rrr

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=−∧= ∫∫

∈∈ )(

22

2

)(2

2

)()(

zdx

udEIy

dxudEIM y

zz

yf

rrr2

2

2

2

+−= dSyxIxSM

z ∫∈

=)(

2)(

dSzxIxSM

y ∫∈

=)(

2)(

Hypothèse de symétrie de la section


Calcul de la contrainte maxCalcul de la contrainte max

z

fzy

EIM

dxud

=2

2

y

fyz

EIM

dxud

−=2

2

Expression de la contrainte normale

xxdx

udzxdx

udyEzyx zy rr

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−= )()(),,( 2

2

2

2

σ

Loi de comportement de la poutre

xxI

Mzx

IMyzyx

y

fy

z

fz rr

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−= )()(),,(σ

xr

yr

zr

xr

yr

zr


TD EX3 : FlexionTD EX3 : Flexion







Analogie Analogie éénergnergéétiquetique

RrU

r

On tire régulièrement l’extrémité d’une poutre avec un effort .Le déplacement u peut être considéré comme quasi-statique.

Rr

2max

00 21maxmax

uL

ESuduL

ESRduWuu

ext === ∫∫

2

21 R

ESLWext =

ESLRu =max

On calcule le travail des efforts extérieurs


Analogie Analogie éénergnergéétiquetique

RrU)(xVx

r

)(xNr

−

∫∫∫ −=−=−=LLL

x dxES

xNdtddx

dtxdN

ESxNdx

dtxdxNP

0

2

00int

)(21)()()()( ε

On calcule la puissance des inters efforts

dtPWt

t∫=1

0

intint ∫−=L

dxES

xNW0

2

int)(

21

On calcule le travail des inters efforts 0)0,( ==txN x∀


ThThééororèème de lme de l’é’énergie cinnergie cinéétiquetique

extc WWE +=Δ int

En statique, la variation de l’énergie cinétique est nulle

extWW =− int

2

0

2

21)(

21 R

ESLdx

ESxNE

L

d == ∫

On définit alors l’énergie potentielle élastique ou énergie de déformation d’une poutre en traction

On applique le théorème de l’énergie cinétique


ÉÉnergie de dnergie de dééformationformation

Soit une poutre dont le torseur de cohésion est { }⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

fz

fy

t

z

yc

MMM

TTN

r

r

r

r

r

r

τ

On définit son énergie de déformation

∫⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++++=

L

z

fz

y

fytd ds

EIM

EIM

GIM

GST

ESNE

0

22

0

222

21


ThThééororèème de Castiglianome de Castigliano

Alberto Castigliano1847-1884

iAr

jAr

kAr

kk AdArr

+

iAr

jAr

kAdrkdδ

r

iAr

jAr

dE dEd 2

kk AdArr

+

dd dEE +

kδr

dd dEE +

kkd AddErr

⋅= δ


ÉÉnoncnoncéé du thdu thééororèème de Castiglianome de Castigliano

iMr

kAr

kδr

iαr

Soit une structure poutre, en matériau ELHI, chargée par :Des efforts répartisDes forces aux pointsDes couples ponctuels aux points

kAr

iMr

Chaque point d’application des forces se déplace de

Chaque repère au point d’application des couples tourne de

kP

iP

kP kδr

kP

iP

),,,( iiii zyxPrrr

Cette structure emmagasine de l’énergie potentielle de déformation qui s’écrit :

iαr

∫⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++++=

L

z

fz

y

fytd ds

EIM

EIM

GIM

GST

ESNE

0

22

0

222

21

k

dkk A

Eu∂∂

=rr

.δk

kk

AAu r

rr

=i

dii M

Eu∂∂

=rr .α

i

ii

MMu r

rr=

Alors, ces déplacements s’expriment en fonction de l’énergie de déformation


Application directe du thApplication directe du thééororèème de Castiglianome de Castigliano

0xr

0yr

0zr

Ar

Ar

−

E = 200 GPa

G = 77 GPa

Nombre de spires : N

Diamètre d’enroulement :

Angle d’enroulement : α

Surface circulaire de rayon : r

Chargé par deux glisseurs :

Calculer sa raideur en utilisant l’énergie de déformation

Un ressort spiral en acier

O


ParamParaméétragetrage

0xr

0yr

0zr

Ar

Ar

−rur

θur

On paramètre le système par l’angle cylindrique

Oθ

G

θαR

L’angle d’enroulement est faible rad1,0=α

αα ≈)tan(

Les coordonnées du point G sont

0zRuROG r

rrθα+=

⎯→⎯

21 αθ += Rs

L’abscisse curviligne s’écrit

θαR

θR

s

θ



0xr

0yr

0zr

Ar

Ar

−rur

θurO

θG

0xr

0yr

θ

θrur

θur

ruszrr

=)(

0zr

α

α)(sx

r

θur

)(syr

0zr

0zRuROG r

rrθα+=

⎯→⎯

{ }G

GA

c sMAs

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=)(

)( r

r

τ

0zAArr

=


Calcul de lCalcul de l’é’énergie de dnergie de dééformationformation

{ }))(),(),(,(

0)sin()cos(

0)cos()sin(

)()(

szsysxGG

GA

c ARAR

AA

sMAs

rrr

r

r

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= αα

αα

τ

∫⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+++=

Lfyt

d dsIEM

GIM

GST

ESNE

0

2

0

222

21

∫=

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++=

N

d dRIE

RAGI

RAGS

AES

AEπ

θ

θααααα2

0

2222

0

2222222

1)(sin)(cos)(cos)(sin21

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

×+

=6,2

)(sin2)(cos2

)(cos26,2)(sin1 2

22222

0

232 αααααπRr

Rr

GIRNAEd

21 αθ += RsChangement de variable :


Calcul de la raideurCalcul de la raideur

GIRNAEd

0

32π=

Théorème de Castigliano

AGd

NDGI

NARAEd

A 4

3

0

3 82==

∂∂

=πδ

Calcul de la raideur du ressort

NDGdAk

A3

4

8==

δ 3max2

rARπ

τ =r

ARMt =

Vérification de la contrainte max


ThThééororèème de me de MMéénabrnabrééaa (structures hyperstatiques)(structures hyperstatiques)

Pour connaître les efforts aux conditions aux limites, on y applique le théorème de Castigliano :

Soit une structure poutre, en matériau ELHI :

Cette structure est chargée par des efforts extérieurs et elle emmagasine de l’énergie potentielle de déformation qui s’écrit :

∫⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++++=

L

z

fz

y

fytd ds

EIM

EIM

GIM

GST

ESNE

0

22

0

222

21

iAr kM

r

0. =∂∂

=k

dkk A

Eurr

δ 0. =∂∂

=i

dii M

Eurr

α


ThThééororèème de me de MullerMuller--BreslauBreslau (de la charge virtuelle)(de la charge virtuelle)

Pour connaître les déplacements en un point P où il n’y a pas d’effort, on place un effort virtuel en ce point ou et on y applique le théorème de Castigliano :

Soit une structure poutre, en matériau ELHI :

Cette structure est chargée par des efforts extérieurs et elle emmagasine de l’énergie potentielle de déformation qui s’écrit :

∫⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++++=

L

z

fz

y

fytd ds

EIM

EIM

GIM

GST

ESNE

0

22

0

222

21

pAr

pMr

)0(. =∂∂

= pp

dPP A

AEu

rrδ )0(. =

∂∂

= pp

dpp M

MEu

rrα

p

pMr

pAr


Chapitre 2 : MChapitre 2 : Méécanique des milieux continus (les bases)canique des milieux continus (les bases)

But :

Savoir interpréter correctement des mesures ou des simulations en terme d’effort ou de déformation.

Appliquer des critères de résistance des matériaux afin de garantir la tenue et la rigidité des structures complexes.



Grandeurs de la mécanique des milieux continus solidesContrainte (scalaire, vecteur, tenseur).Cercle de MohrÉquation d’équilibreDéformation (scalaire, vecteur, tenseur).

Loi de comportementÉlasticitéLoi de Hooke généraliséeDensité d’énergie de déformation.

Critères de dimensionnement des structures.Critère de TrescaCritère de Von Misses


Vecteur contrainteVecteur contrainteOn se place dans une structure quelconque à l’intérieur de la matière au point M.

21→nr

dS

M

1

2

On choisit une surface dS qui partage l’espace en deux parties 1 et 2.

On définit la normale à la surface de 1 vers 2 21→n

r

12→Adr

La contrainte s’écrit alorsdSAdnM 12

21 ),( →→ =

rrrσ


PropriPropriééttéé du vecteur contraintedu vecteur contrainte

21→nr

ds

M

1

2

12→Adr

dSAdnM 12

21 ),( →→ =

rrrσ

La contrainte ne dépend pas du choix de 1 et 2.

La contrainte dépend du point M.

Le vecteur contrainte EST UN VECTEUR.

La contrainte dépend de l’orientation de ds.

Le vecteur contrainte est une fonction vectorielle de l’espace à 6 paramètres.


Contraintes normale et tangentielleContraintes normale et tangentielle

21→nr

dS

M

2121 )).,((),( →→= nnnMnMn

rrrrrr σσ 2121 )).,((),(),( →→−= nnnMnMnMrrrrrrrr σστ

On décompose la contrainte en deux composantes

),(),(),( nMnMnM n

rrrrrr τσσ +=

),( nMn

rrσ

),( nMrrσ

),( nMrrτ

Contrainte normale Contrainte de cisaillement


TTéétratraèèdre de Cauchydre de Cauchy

1xr

nr

2xr

3xr

dS

2Adr

Le vecteur normal se décompose en 3 composantes

332211 xnxnxnnrrrr

++=

Chaque effort s’exprime en fonction des coordonnées

des contraintes :

3131212111111 xdSxdSxdSAdrrrr

σσσ −−−=

3Adr

1Adr

Adr


σσσ −−−=


σσσ −−−=

On cherche à déterminer une expression de :

dSAdnMr

rr=),(σ


Tenseur des contraintesTenseur des contraintes

On isole le tétraèdre : 0321

rrrrr=+++ AdAdAdAd

dSdS

dSdS

dSdSxnM 3

132

121

111).,( σσσσ ++=rrr

dSdS

dSdS

dSdSxnM 3

232

221

212).,( σσσσ ++=rrr

dSdS

dSdS

dSdSxnM 3

332

321

313).,( σσσσ ++=rrr

nnM

M

rrr .),(

33

23

13

32

22

12

31

21

11

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

σσσ

σσσ

σσσ

σ

TRS

L’état de contrainte au point M se caractérise par un tenseur (matrice)


SymSyméétrie du tenseur des contraintestrie du tenseur des contraintes

1xr

2xr

2dx

1dx

21σ

21σ−

12σ

12σ−

03211232121 =− dxdxdxdxdxdx σσ

On isole le tétraèdre

TMS en projection sur 3xr

1221 σσ =

On montre de même

1331 σσ = 2332 σσ =

Le tenseur des contraintes est symétrique

M


Cercle de Cercle de MohrMohr

Pour simplifier, on se place en deux dimensions (contraintes planes).Le vecteur normal est paramétré par l’angle

1xr

2xr

)(θnr

θ

θ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

)sin()cos(

.)sin()cos(

),(2221

1211

θθ

θθ

σσσσ

σM

n nMr

)(sin)2sin()(cos),( 22212

211 θσθσθσσ ++=nMn

r

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

)cos()sin(

.)sin()cos(

),(2221

1211

θθ

θθ

σσσσ

τM

nMr

On calcule la contrainte normale

On calcule la contrainte tangentielle

)2cos()2sin(2

),( 122211 θσθσστ +

−−=nM

r



)(sin)2sin()(cos),( 22212

211 θσθσθσσ ++=nMn

r

)2sin()2cos(22

),( 1222112211 θσθσσσσσ +

−=

+−nMn

r

)2cos()2sin(2

),( 122211 θσθσστ +

−−=nM

r

( ) ( )212

222112

22211

2),(

2),( σσστσσσ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

− nMnMn

rr

On reconnaît que le point décrit un cercle de centre

de rayon

( )τσ ;n ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + 0;

22211 σσ

( )212

22211

2σσσ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=R



)(θτ

11σ)(θσ n 22σ

12σ

12σ−

22211 σσ +

( )212

22211

2σσσ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=R

R

θ2

τ

nσ


Tri cercle de Tri cercle de MohrMohr

Si on se replace en 3 dimensions, le tenseur est symétrique, il existe alors une base orthonormée dans laquelle le tenseur est diagonal.

On peut alors effectuer 3 cercles de Mohr en faisant tourner autour des 3 vecteurs propres.

τ

p11σp

22σp33σ

nr

maxτ

Si on oriente de manière quelconque on se trouve entre les 3 cercles.

nr

nσ

On peut trouver la contrainte de cisaillement maximale


ÉÉquation dquation d’é’équilibrequilibre

1xr

2xr

3xr

M1dx

2dx

3dx

On isole le cube en dynamique :

Efforts volumiques :

vfr

dVfvr

Efforts surfaciques sur les 6 facettes :

[ ]i

iiiiiii dxdVxxxxxxA xdSext 332211 )()()()(

rrrrσσσ ++−=→

[ ]i

iiiiiiiiiii dxdVxdxxxdxxxdxxA dxxdSext 332211 )()()()(

rrrr+++++=+→ σσσ

TRD en projection sur kxr

kRgMkvi i

ikiiiki xdVxfdVdxdVxdxx

rrrr..))()(( /

3

1γρσσ =+−+∑

=

kRgdVMkvi i

ki xxfx

rrrr.. /

3

1∈

=

=+∂∂∑ γρσ

[ ] RgMvfdiv /γρσrr

=+

[ ]3,1∈i

[ ]3,1∈k

Équation d’équilibre


Notion de dNotion de dééformationformation

Au cours du chargement d’une structure les particules subissent deux transformations :

Un mouvement d’ensemble

Des déformations des petits cubes élémentaires

),,( zyxur

),,( zyxεr

M

M

dx

dy

xr

yr

),,( zyxur

),,( zyxεr


DDééformations vues en 2Dformations vues en 2D

Mdx

dy

xr

yr

),(),( yxuydxxurr

−+

),(),( yxudyyxurr

−+

M dx

dy

xr

yr

M dx

dy

xr

yr

xux

xx ∂∂

=ε

yuy

yy ∂∂

=ε

M dx

dy

xr

yr

xu

yu yx

xy ∂∂

+∂∂

== εγ 2


Tenseur des dTenseur des dééformationsformations

[ ] ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡= )()(

21 ugradugrad

T

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxxrr

εεεεεεεεε

ε

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

zu

yu

zu

xu

zu

yu

zu

yu

xu

yu

xu

zu

xu

yu

xu

ugradugrad

zzyzx

zyyyx

zxyxx

T

21

21

21

21

21

21

)()(21 rr

Le tenseur des déformations est symétrique


Vecteur dVecteur dééformationformation

21→nr

dS

M

),( nMn

rrε

),( nMrr

ε

),( nMt

rrε

[ ] nnM M

rrrεε =),(

tnMnnMnM tn

rrrrrrrr ),(),(),( εεε +=

De même qu’avec le tenseur des contraintes on peut calculer les déformations en tout point avec le tenseur des déformations

On peut décomposer la déformation en deux composantes une normale et une tangentielle


Utilisation des rosettesUtilisation des rosettes

On place une rosette à 45° à la surface d’un matériau.On mesure 3 valeurs de déformation :

yr

xr

1ε

2ε

3ε

[ ] nnnM Mn

rrrr .),( εε =

[ ] xxM xx εεε == 1.rr

[ ] yyM yy εεε == 3.rr

[ ] xyyyxx

M yxyx εεε

εε ++

==++2

2/)).(( 2rrrr

On trouve alors les valeurs du tenseur 2D [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

yyxy

xyxx

εεεε

ε







Notion dNotion d’é’élasticitlasticitéé

ε

σ

Élastique non linéaire

ε

σ

Visco Élastique

ε&

ε

σ

inélastique

ε

σ

Inélastique avec endommagement

ε

σ

Relaxation

t

ε

σ

Fluage

t


Loi de Hooke (formalisme tenseur de degrLoi de Hooke (formalisme tenseur de degréés 4)s 4)

On se place dans le cas d’un matériau élastique, linéaire, homogène, isotrope.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

+

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

yz

xz

xy

zz

yy

xx

yz

xz

xy

zz

yy

xx

εεεεεε

μμ

μμλλλ

λμλλλλμλ

σσσσσσ

22

20

02

22

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+

+−−

−−−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

yz

xz

xy

zz

yy

xx

yz

xz

xy

zz

yy

xx

EEEEEEEEE

σσσσσσ

ν

ν

ννν

νννν

εεεεεε

21

21

21

0

01

11


Loi de Hooke (formalisme tenseur de degrLoi de Hooke (formalisme tenseur de degréés 2)s 2)

[ ] [ ] [ ] [ ]εμελσ 2)( += IdTr

La loi de Hooke peut alors s’écrire :

E Module d’Young υ Coefficient de poisson

Le matériau est caractérisé par deux paramètres que l’on obtient par des essais mécaniques.

[ ] [ ] [ ] [ ]συσυεE

IdTrE

++−=

1)(

On peut inverser la relation en faisant apparaître les coefficients de Lamé :

μλμλμ

++

=23E

)1(2 υμ

+=

E

On passe des coefficients de Lamé aux paramètres de Hooke par les relations suivantes :

)21)(1( υυυλ−+

=E

)(2 μλλυ+

=


Exemple une poutre en tractionExemple une poutre en traction

Fr

Fr

− xr

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

00000000xxσ

σ[ ] [ ] [ ] [ ]συσυε

EIdTr

E+

+−=1)( [ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

E

E

E

xx

xx

xx

υσ

υσ

σ

ε

00

00

00

On retrouve les 2 résultats bien connus :

xxxx Eεσ = υεε

εε

−==xx

zz

xx

yy

SF

xx =σ


DensitDensitéé dd’é’énergie de dnergie de dééformation (pour la culture)formation (pour la culture)

Soit une structure en matériau ELHI sous contraintes, on peut calculer l’énergie de déformation élastique accumulée dans un élément infiniment petit de matière de volume dV.

Cette énergie s’exprime en fonction des tenseurs des contraintes et des déformations :

[ ][ ])(21 εσTr

dVdEd =

[ ][ ]∫∫∫=V

d dVTrE )(21 εσ

De même, on exprime l’énergie totale de déformation élastique par :







Essai de tractionEssai de traction

ε

σ

%2,0eR

%2,0

mR

%A

Rupture ductile

Rupture fragile

E



Rm

Rupture des matériaux fragiles selon la plus grand contrainte

normale :

Rupture des matériaux ductiles selon la plus grand

contrainte tangentielle :

nσ

maxτ

2maxmR

=τ

τ

La rupture des métaux en traction est due aux

contraintes de cisaillement


CritCritèère de re de TrescaTresca

τ

p11σp

22σp33σ

maxτ

nσ

2eR

ePjj

Pii R<−= σστ max2 max

Il n’y a pas de plastification tant que la contrainte de cisaillement max ne dépasse pas la demie limite élastique :


CritCritèère de Von Misesre de Von Mises

ePPPPPP

VM R<−+−+−= 23322

23311

22211 )()()(

21 σσσσσσσ

P11σ

P22σ

P33σ

P11σ P

22σ

P33σ

Basé sur une approche énergétique

Il n’y a pas de plastification tant que la contrainte de Von Mises ne dépasse pas la limite élastique :


TD dTD d’’applicationapplication

Dans un premier temps on a identifié sous Catia le point où les contraintes seront les plus

fortes dans une aile d’avion.

On dispose en ce point sur une pièce prototypeun rosette à 60°et on relève les mesures suivantes :

31 10 −=ε

32 102 −= xε

33 105 −= xε

1 : Trouver les tenseurs de contraintes et des déformations ainsi que leurs directions principales :

2 : Conclure quant à la tenue de la pièce :


MatMatéériau : Alliage driau : Alliage d’’aluminium aaluminium aééronautique 7175 T7351ronautique 7175 T7351

5,16,1

Zn

reste0,150,10,180,28

2,12,9

0,11,22,2

0,200,15

AlautreTiCrMgMnCuFeSi

Composition chimique nominale % (selon norme EN 573-1) :

On choisit une nuance classique d’alliage aéronautique : 7175 (AW-AlZn5,5MgCu (B))

État métallurgique pour des tôles de 1 à 30 mm : T7351

T73 Trempe + sur-revenu désensibilisant à la corrosion sous contrainteTxx51 : détentionnement par traction sans aucun dressage complémentaire après la traction.

Propriétés mécaniques

2800728370470

ρ (kg.m-3)E (GPa)A%Re0,2 (MPa)Rm (MPa)

Documents

DEFORMATION CONTRAINTE ET ENERGIE .pdf