C. R. Acad. Sci. Paris, t. 324, Skie I, p. 1217-I 220, 1997

Thborie des groupes/Group Theory

D~ghkescence de sous-groupes discrets des groupes de Lie semi-simples

FrQdi?ric PAULIN

l’oplogir t-t Dynamicpr, UK4 1169 CNRS. Bit. 425.

UniversitC Paris-Sud, 91405 ORSAY CEDEX, Franw.

E-mail : ~)~4u!iil@topo.math.u-psud.fr

RCsumC.

Abstract.

Now montrons qu’une suite de reprksentations fidisles et discrhtes (pas ntcessairement de covolume fini) d’un groupe r de type fini dans un groupe de Lie semi-simple, qui sort de tout compact, converge vers une action isomktrique de I’ sur un immeuble affine, avec un contr6le sur les stabilisateurs de germe d’appartement.

Degeneration of discrete subgroups of semisimple Lie groups

We prove that n sequence t,f ,fait/~ful and discrete (but not necessarily with ,finite covolume) representations of a jinitelv generated group r in a setnisimple Lie group, that goe.s to i$nity, converges to an isometric action of I’ on an a&e building. with controlled germ of apartment stabilizers.

Le but de cette Note est de dkmontrer le thCor?me suivant :

TH~ORBME. - Soit IF un groupe de type jni, saris sous-groupe d’indice Jini contenant un sous-groupe distinguk abe’lien non trivial. Soit G un groupe de Lie rkel connexe, semi-simple, de centre jini, de groupe de Weyl IV, et d’espace syme’trique X. Soit (P;);~N une suite de repre’sentations fidtYes et disc&es de r dans G. Alors,

- ou bien (/I,)~~N converge simplement vers une repr&entation,fidt?le et disc&e de r da?ls G (quitte 21 extraire et corzjuguer)

- ou bien (quitte 2 extraire) il existe une suite (Fi)iEN, avec t, > 0 tendant vers 0, telle que (c,X; Pi),ch converge pour la topologie de Gromov kquivariante vers une action isome’trique c1e r sur un immeuble afine n de type w, saris point jixe global, et ic stabilisateurs de germe d’appartement virtuellement rholubles.

Notons que. par les r&hats de super-rigiditk de Margulis (voir [6]), ce thCor&me ne peut &re inttkessant que pour les groupes IY qui ne sont pas des r&eaux de rang supkrieur, comme par exemple

Note pdsentCe par lhienne GHYS.

0764-4442/97/03241?17 0 AcadCmie des Sciences/Elaevier, Paris 1217

F. Paulin

ceux de (71. Dans le cas du rang rCe1 1, ce rksultat est contenu dans [8]. La possibilitk d’une telle extension Ctait connue d’un certain nombre de personnes, dont B. Farb et B. Leeb. Ce thCorkme Ctait annon& dans [9]. D’autres applications paraitront dans un papier en collaboration avec B. Farb. Je remercik Ghani Zeghib pour ses corrections.

Donnons tout d’abord quelques dkfinitions. Soit r un groupe. Soit M l’ensemble des (classes d’isometrie Cquivariante d’) espaces mktriques,

de cardinal au plus celui de IR, munis d’une action isomktrique de l?. Pour X dans M, P une partie finie de r, K une partie finie de X et 6 > 0, on note I;,,r;,r(X) l’ensemble des Clements X’ de M tels qu’il existe une partie finie K’ de X’, munie d’une bijection :c H 2:’ avec K, telle que,

On montre (voir [8]) que les l,<,~,p(X) f orment un systkme fondamental de voisinages sur M, pour une topologie appelke topologie de Gromov kqqui\w-iante.

Un immeuble obtenu par d6gtMrescence n’est a priori ni discret, ni un immeuble de Bruhat-Tits associk B un groupe algkbrique semi-simple sur un corps valuC, de valuation non disc&e. Notre dkfinition est lCg$rement plus forte que celle de Tits (voir par exemple [I I], Appendix IV) dans son dernier axiome.

Soit V un espace vectoriel de dimension finie, W’ un groupe de rkflexions fini de V. Les composantes connexes des complkmentaires des hyperplans fixes par les rkflexions de W sont appelkes les chambres vectorielles de V. Soit A l’espace affine associk g V, et w le groupe des isomktries affines de A de parties vectorielles dans W. Les translatks dans A des chambres vectorielles de V sont appelks les chambres de A. Les droites de A de direction non contenue dans un hyperplan fixe par une rkflexion de W sont dites rkguli2res.

Un immeuble ufjke de type (A, w) (par abus, m) est un espace mCtrique A, muni d’un ensemble A d’injections isomktriques de A dans A, appelkes uppartements, verifiant les conditions (AI)- ci- dessous. (Si f,!l sont deux appartements, l’application ,f-‘og : !I-'(,f(A)ng(A)) + f-'(f(A)ng(A)) est appelte changement d’appartement ; on appelle chambre de A la restriction d’un appartement ?I une chambre de A ; on identifie, par abus, un appartement et son image.) (A,) Le systkme d’appartement est invariant par prkomposition par W. (AZ) L’intersection de deux appartements est fermCe et convexe dans chacun d’eux, et les changements

d’appartements sont restrictions d’t5lCments de W. (A?) Par deux points passe un appartement. (Ah) Deux chambres contiennent des sous-chambres contenues dans un m&me appartement. (AS)” Pour tout appartement A et tout point ~1: de A, il existe une rktraction A --+ .4 diminuant les

distances et p&servant la distance j z. DCmontrons maintenant le thkorkme. Soit S une partie g6rkratrice finie de I’. On pose, pour tout

1: dans X.

Supposons tout d’abord (Xi)iE~ bornCe, disons, par K > 0. Soit zi dans X tel que fi (zz) 5 K + 1. Quitte j conjuguer pb, on suppose que zI = :I:o, pour tout %. L’ensemble des ClCments de G bougeant le point :c() de moins de K + 1 &ant compact, (pf)iE~ converge simplement vers une reprksentation

Px : r -+ G, quitte h extraire. Par le lemme 1.1 de [3] et puisque r posskde un sous-groupe d’indice fini saris torsion, la reprksentation pcx est encore fiddle et disc&e.

Ceci implique que la premikre alternative de l’knonck du thCorkme est satisfaite.

1218

DCgCnCrescence de sow-groupes discrets

Supposons maintenant, quitte B extraire, que A, + +a~ quand i -+ m. Nous pouvons remplacer

X par l’espace symktrique de type non compact obtenu en enlevant les facteurs compacts de X. Choisissons alors arbitrairement un point *i dans X tel que f;( *,,) < A,. Posons t, = R. Soit (X;, rli, *i) l’espace X muni du point base *;, et de la distance d; = F;$, avec rl la mkrique symktrique originelle de X. Soit w un ultrafiltre sur N, plus fin que le filtre de FrCchet (voir par exemple [2]). Posons

x., = {:r = (Z;)&N E nX, / limd;(*i,:c;) < m}. J.J

iEh

Par idgalitk triangulaire, nous dt%nissons sur X, un &art

(17ci(:I:: T/) = lirri(l,(./;i; ?J2). u‘

Notons (X, ! cl, j *, ) l’espace m&trique quotient canonique de (X,, &) (obtenu en identifiant deux points d’kart nul), point6 en l’image *w de (*,)it~.

Rappelons qu’aprirs normalisation, les gCn&ateurs de r ne bougent le point base de Xi que d’une distance uniformkment bornCe :

sllp/l~(/+(.s)*~. *j) < 1. st.s

L’action produit de r sur X, induit done une action isomktrique de lY sur Xr,. 11 est facile de vkrifier que X, est dans M, et que (X,)it~ converge vers X, suivant le filtre w pour la topologie de Gromov dquivariante, done qu’une suite extraite de (X;);,N converge vers Xd.

Si l’action de I‘ sur .Y, admettait un point fixe global :I’, alors par dkfinition de la topologie de Gromov kquivariante avec c = $. K = { .c). P = S, il existerait :I:, dans X tel que n,(p,(.s)O:,.:r,) < 1/4p our tout s dans S, done .f>(:r:;) < iA; =$ iufJES f;(:l:). ce qui est impossible.

I1 dkcoule de 151 que X, est un immeuble affine de type W (en un sens lkgkrement diffkrent du notre, mais la d~monstrdtion est analogue avec notre dkfinition). Ses appartements point& sont les limites (au sens Cvident) des suites de plats maximaux point& de X;, dont le point base reste 2 distance (pour d;) uniformkment bornCe du point base *, de X;.

Enfin, supposons par l’absurde que le stabilisateur d’un germe d’appartement de X, ne soit pas virtuellement ksoluble. Par un thkorkme de Tits (wir [12]), il contient alors un sous-groupe libre sur deux gCntZrateurs, disons (Y, 19. Soit [.I., !I] un segment de direction rCgulibe contenu dans un germe d’appartement fix6 par O, /j. Soient r/. F > 0. avec c suffisamment petit par rapport i ‘r~, A D = d(:~, 11j), et g la distance de la direction de [1c, w] aux directions singulikres. Soit P la partie finie de I’, formCe de tous les sous-mots des commutateurs [o, /j] = tu,%-‘[~-’ et [II: [j”] = tu/~‘tr-‘/‘-‘. Pour i assez grand, il existe un segment [:ci, y;] dans IY,, de direction rkgulikre j distance (dans l’espace des directions de l’unique plat maximal F, la contenant) uniformkment minorCe des directions non rkgulikres, tel que

pour tout ~1 dans P. Rappelons que la courbure sectionnelle le long d’une direction rCguli?re est strictement nkgative

transversalement A l’unique plat maximal la contenant. Done, pour Z assez grand, tout point de l-image par chaque ClCment .q de pI (p) du sous-segment de

[z~: :y7], de longueur 2OOtX; centrk au milieu 711; de [cc;. ty;], est B distance au plus rl de F;. Sinon, en

1219

F. Paulin

effet. en raisonnant par l’absurde, en rendant constant par conjugaison le point m,, en passant h une suite extraite, par le thCor&me de la bande plate (vnir par exemple [l]), puisque l’angle en 711; entre :I:, et !JI:; tend vers 0 quand f tend vers 0, il y aurait, le long d’une direction rCguli&e de X, une bande plate (ou un demi-plan plat si la distance de em, & Fi tend vers l’infini), non contenue dans le plat maximal contenant la direction, ce qui est impossible.

Par conskquent, sur un segment dans [.c;. ?,.;I de longueur l(kX, centrC en rrb,, les ClCments de /I,(F) agissent presque comme des translations euclidiennes dans le plat F,. en particulier commutent presque. Done les commutateurs /I;([(>. 81) et 0, ([a, [F]) bougent le point I~J,, d’au plus 1Orl. Par le lemme de Zassenhaus-Kazhdan-Margulis (voir [lo]), un sous-groupe discret de G engendrk par des kliments bougeant un point fix6 de X de moins d’une constante universelle CL = 1~s > 0, est virtuellement nilpotent. Ceci est une contradiction, car [(ti, / j] et [(v, /j2] engendrent un groupe libre. qui conclut la dkmonstration du thCor&me.

COKOLLAIKE. - Soit r UIZ groupr de tyjx jini, ayant lrc propri&l T de Kazhdan, ne contenarzt pas dc sous-groupe d’indice jni contenant un sous-gmupe distingue’ non trivial, et G un groupe de Lit rPe1 conllexe semi-simple, de cmtre jki, de,fixteurs non compacts de rung rkel WI. Alors 1’espac.e de,s reprdsentatims jdgles pt discrktes de I‘ dam G, rnodulo cmjugaison par G, est (skquentieIIement) comnpcuY.

En effet (en omettant les facteurs compacts de G), LV &ant un produit de copies de Z/22, tout immeuble affine de type W est un produit d’arbres rCels, et mute action isomktrique d’un groupe de Kazhdan sur un arbre r&e1 admet un point fixe global (lvir par exemple [4]).

Cette Note est le fruit de recherchea effect&es 5 I’UMPA, UMR 128 CNRS, l%ole Normale SupCrieure de Lyon, que .je remercie de tout man cceur, pour son ambiance chaleureuse et ses conditions de travail exceptionnelles.

Note remise le 25 mars 1997, acceptke le 7 writ 1997.

RCf&-ewes bibliographiques

1 I ] Ballmann W., Gromov W., et Schroeder V., 1985. Ma~z~fi~i,ltl.t of non~~o.titivc ~unwture, Progress in Math., 6 I, BirkhBuser.

121 Bourbaki N., 1971. E@ogie gPn&~rle. chap. I 2 4. Hermann. Paris.

131 Goldman W. et Millson J., 1987. Local rigidity of discrete groups acting on complex hyperbolic space, /w. MU//I.

XX. p. 495-S20.

141 de la Harpe P. et Valette A., 1989. La propriCtC ‘I’ de Kazhdnn pour les groupes localement compacts, A~tPri.\c/lcc’.

175. Sot. Math. France.

[5] Kleiner B. et Leeb R., 1995. Rigidity of quasi-isometrics for symmetric spacea of higher rank, P,c;/~uh/it,clrior2.

(h] Margulis G., 1991. Discrutc, .\uhgrnu~~ o~.wmi.simplu gr-o~,~.s, Ergeb. Math. Grenz. 17. Springer Verlag.

171 Margulis G. et Soifer G., 1981. Maximal subgroups of infinite index in finitely generated groups. .I. Alg.. 69, p. l-23.

18) Paulin F., 1988. Topologie de Gromov Cquivarinnte. structure!, hyperboliques et arbres rCels. Ir~vmt. M&r., 94. p. 53.80.

[Y] Paulin F., 1995. De la gCom&rie et la dpnamique des groupes discrets. Mdrnoiw (/‘hahili,~rtio/l. ENS Lyon.

[ IO] Raghunathan M., 1972. Discwr~ .suhgm~~pv of’ Li? gvw4p.s. Springer Verlag.

( I I ] Ronan iFI. A., 1989. Lwf~w.v ON huilrlitr,qt. Per&p. Math. 7, Academic Press.

II21 Tits .I., 1972. Free subgroups in lmenr goups. ./. A/~c/wcI, 20, p, X0-270.

1220