2. Analyse fonctionnelle: Les piliers de l’analyse fonctionnelle 71

2.2.30 COROLLAIRESoit E 6= {0} un espace vectoriel normé sur K (=R ou C). Soit x0 2 E � {0}. alorsil existe une forme linéaire continue f : E ! R telle que

8<

:f (x0) = kx0kk f k = 1

Démonstration: Soit x0 6= 0, on pose F = Vect(x0) = {tx0 | t 2 K}, F est un sous-espace et on définit le forme linéaire, f0 : F ! K, par f0(tx0) = tkx0k. Alors f0 estune forme linéaire continue sur F de norme k f0k = 1 (puisque | f0(x)| = |t| kx0k =kxk pour tout x 2 F). D’après le corollaire précédent, f0 admet une extensionlinéaire continue f : E ! K qui préserve la norme i.e. k f k = k f0k = 1 et f = f0sur F, entraine que f (x0) = kx0k. ⌅

2.2.32 REMARQUESi E 6= {0} un espace vectoriel normé réel ou complexe, alors il existe toujours uneforme linéaire continue et non identiquement nulle sur E i.e. E0 6= {0}.

2.2.33 Exercice Montrer que tout sous-espace de dimension finie F ⇢ E d’un evn admetun supplémentaire fermé.

2.2.34 COROLLAIRE (E0 SÉPARE LES POINTS DE E)Soit E un espace vectoriel normé sur K. Pour tous vecteurs x1 6= x2 dans E, il existef 2 E0 telle que f (x1) 6= f (x2).

Démonstration: Sinon x = x1 � x2 6= 0, d’après le corollaire précédent, il existe f 2E0 telle que f (x) > 0.

———————————————–Montrons maintenant des versions géométriques du théorème de Hahn-Banach.

Soit E un espace vectoriel sur K.

2.2.36 DÉFINITIONUn hyperplan affine de E est un sous-espace affine de codimension 1 de E, ou, demanière équivalente une partie de E de la forme

H = f�1(a) = {x 2 E : f (x) = a},

où f est une forme linéaire non nulle et a 2 K. Nous dirons alors que f = a estune équation de H.

On dit qu’un hyperplan affine H d’équation f = a sépare deux parties A et Bde E si, quitte à échanger A et B, on a A ⇢ f�1(]� •, a]) et B ⇢ f�1([a,+•[). Ondit qu’un hyperplan affine H sépare strictement A et B de E s’il existe e > 0 tel que,quitte à échanger A et B, on a A ⇢ f�1(]� •, a � e]) et B ⇢ f�1([a + e,+•[).

2. Analyse fonctionnelle: Les piliers de l’analyse fonctionnelle 72

Commençons par le cas plus simple lorsque l’un des deux ensembles est un point.

2.2.37 PROPOSITION (SÉPARATION D’UN POINT PAR RAPPORT À UN ENSEMBLE CONVEXE)Soit K un ouvert convexe d’un espace vectoriel normé E et x0 62 K. Alors il existeune fonction f 2 E0, telle que pour tout x 2 K, f (x) < f (x0).

Démonstration: Quitte à translater K, on peut supposer sans perte de généralité que0 2 K. Par conséquent, la fonctionnelle de Minkowski de K, pK, est une fonction-nelle sous-linéaire sur E et K = {x 2 E | pK(x) < 1}.

Comme 0 2 K, il existe r > 0 tel que B(0, r) ✓ K . Pour x 2 E � {0},x

2|x| 2

B(0, r) d’où l’inégalité12rkxk � pK(x), x 2 E.

On définit sur E0 = Vect(x0) une forme linéaire f0 par f0(tx0) = tpK(x0), t 2 R.

FIGURE 2.1 – Séparation d’un point x0 de l’ensemble K par ffonctionnelle ⌅

Alors f0 est dominée par pK sur E0, en effet

si t � 0, f0(tx0) = tpK(x0) = pK(tx0); (2.2.2)si t 0, f0(tx0) = � f0(�tx0) = �pK(�tx0) 0 pK(tx0). (2.2.3)

Par le théorème de Hahn-Banach, f0 admet une extension continue f 2 E0 telleque f (x) pK(x), pour tout x 2 E. Pour terminer la preuve, nous avons besoinde vérifier que f est continue et sépare x0 de K. La continuité de f découle del’inégalité

f (x) pK(x) 12rkxk, x 2 E,

2. Analyse fonctionnelle: Les piliers de l’analyse fonctionnelle 73

Donc f 2 E0. Comme x0 62 K, nous avons

f (x) pK(x) < 1 kx0k = f0(x0) = f (x0).

2.2.39 THÉORÈME (THÉORÈME DE HAHN-BANACH (FORME GÉOMÉTRIQUE))Soient E un evn sur R et A et B deux convexes non vides disjoints dans E.

1) Si A est ouvert, alors il existe un hyperplan affine fermé séparant A et B.

2) Si A est compact et si B est fermé, alors il existe un hyperplan affine ferméséparant strictement A et B.

Démonstration: 1) Pour montrer la première assertion, on considère

C = {x � y : x 2 A, y 2 B},

qui est convexe et non vide car A et B le sont, ouvert car union des ouverts A� ypour y dans B, et ne contient pas 0 car A et B sont disjoints. Par la proposition2.2.37, il existe donc ` 2 E0 tel que `(z) < 0 pour tout z dans C, i.e. tel que`(x) < `(y) pour tous x dans A et y dans B. Posons a = sup

x2A`(x), qui vérifie

donc a infy2B

`(y). Alors l’hyperplan affine d’équation ` = a (qui est fermé car

` est continue) sépare A et B.

2) Comme A est compact et B fermé, et puisque la distance d’un point à un ferméest continue et nulle seulement si le point appartient au fermé, nous avons 3e =d(A, B) > 0. On pose A

#

:= {x 2 X : d(x, A) < #} = A + B(0, #) et B#

:= {x 2X : d(x, B) < #} = B + B(0, #). Alors A

#

et B#

sont des voisinages de A et Brespectivement, convexes, ouverts, non vides et disjoints.Par 1), il existe un hyperplan affine fermé H, séparant A

e

et Be

. Soit ` = a uneéquation de H telle que pour tous x dans A

e

et y dans Be

, on ait `(x) a `(y).Montrons qu’il existe e > 0 tel que pour tous x dans A, on ait `(x) < a � e.Par compacité de A et continuité de `, il existe x0 2 A, tel que supx2A `(x) =`(x0). Si `(x0) = a, alors x0 2 A \ H, ce qui entraînerait que pour tout point xd’une boule centrée en x0, contenue dans A

#

, `(x) `(x0), ce qui est équivalent`(y) 0, sur une boule centrée en 0, mais alors ` = 0, d’où contradictions.Maintenant en prenant # = a�`(x0)

2 , l’hyperplan affine d’équation ` = a � e

sépare strictement A et B. ⌅

Voici une conséquence du théorème de Hahn-Banach (forme géométrique).

2. Analyse fonctionnelle: Les piliers de l’analyse fonctionnelle 74

2.2.41 COROLLAIREChaque sous-ensemble convexe fermé K d’un espace vectoriel normé E est l’inter-section de tous les demi-espaces fermés qui contiennent K.

Rappelons qu’un demi-espace est ce qui se trouve d’un côté d’un hyperplan ;donc un demi-espaces est de la forme

{X 2 E : f (x) a}

pour f 2 E0, a 2 R. Voir la figure illustrant le corollaire.

FIGURE 2.2 – l’ensemble convexe K est l’intersection de demi-espaces

Démonstration: K est trivialement contenu dans l’intersection des demi-espaces quicontiennent K. Pour prouver l’autre inclusion, on choisit un point x0 62 K et onutilise le théorème de séparation 2.2.39 pour A = K et B = {x0}. On obtientainsi une fonction f 2 E0 telle que a := supx2K f (x) < f (x0). Il s’ensuit que ledemi-espace {x 2 E : f (x) a} contient K, mais pas x0. Ceci termine la preuve.⌅

Exercices supplémentaires

2.2.43 Exercice (Ensembles convexes qui ne peuvent pas être séparés) Montrer que l’hy-pothèse d’ouverture dans 2.2.39 1) est essentielle. Pour cela, considérons l’espacevectoriel R[X] des polynômes à une variable et à coefficients réels. Soient A, lesous-ensemble composé des polynômes à coefficient dominant négatif, et B lesous-ensemble des polynômes dont tous les coefficients ne sont pas négatifs. Mon-trer que A et B sont des parties convexes disjointes de R[X] , et qu’il n’existe pasune forme linéaire non nulle f sur R[X] telle que

f (a) f (b) pour tout a 2 A, b 2 B.

(Indication : supposons que pour C 2 R on a f (a) C f (b), a 2 A, b 2 B ; déduirede 0 2 B que C 0 et en considérant les monômes que C � 0.

2. Analyse fonctionnelle: Les piliers de l’analyse fonctionnelle 75

2.2.44 Exercice (Ensembles convexes fermés qui ne peuvent pas être strictement séparés)Montrer que l’hypothèse de compacité dans 2.2.39 2) est essentielle. Construiredeux ensembles convexes fermés du plan R2 qui ne peuvent pas être strictementséparés.

2.2.2 Théorèmes de Carathéodory et de Krein-MilmanEnveloppe convexe

Soit E un espace vectoriel sur R. Soit A une partie de E. L’enveloppe convexede A, Conv(A), est l’ensemble des barycentres à coéfficients positifs des points deA i.e

Conv(A) =

8<

:X

i2Iliai | I fini , li 2 R+,

X

i2Ili = 1 et ai 2 A

9=

;

2.2.45 Exercice Montrer que Conv(A) est égal à l’intersection de tous les convexes conte-nant A.

Le théorème de Carathéodory ci-dessous affirme qu’en dimension n, on peutmajorer par n + 1 le cardinal de chaque ensemble I intervenant dans la définitionde Conv(A).

2.2.46 THÉORÈME (DE CARATHÉODORY)Soit A une partie de Rn. Alors

Conv(A) =

8<

:X

i2Iliai | |I| n + 1, li 2 R+,

X

i2Ili = 1 et ai 2 A

9=

;

Démonstration: On raisonne par l’absurde, on suppose qu’il existe un x 2 Conv(A)qui s‘écrive comme combinaison convexe de q � n + 2 éléments xi de A, x =

qX

i=1lixi, avec li 2 R+,

X

i2Ili = 1 et que x ne puisse pas s’exprimer par une combi-

naison convexe de q � 1 points. On remarquera que tous les li > 0.Comme q > n + 1, les points x1, . . . , xq sont affinement liés (i.e. les vecteurs

x2 � x1, . . . , xq � x1 sont linéairement dépendants), si bien que l‘on peut trouver

µ1, . . . , µq, non tous nuls tels queqX

i=1µixi = 0 et

qX

i=1µi = 0.

Soit k 2 {1, . . . , q} tel quelkµk

= inf1iq

{liµi

| µi > 0}. En remplaçant, dans l’ex-

pression de x, xk par �X

i 6=k

µiµk

xi, on aura x =X

i 6=kdixi, avec di = li � lk

µiµk

.

2. Analyse fonctionnelle: Les piliers de l’analyse fonctionnelle 76

AlorsX

i 6=kdi =

X

i 6=kli �

lkµk

X

i 6=kµi =

X

i 6=kli = 1 et

di = li � lkµk

µi � li � li = 0 si µi > 0 et di � li si µi 0.Donc x =

X

i 6=kdixi est combinaison convexe de q � 1 éléments de A, ce qui est une

contredition.

2.2.48 COROLLAIRESoit K un compact de Rn, alors son enveloppe convexe est compacte.

Démonstration: .

On considère le compact de Rn+1 D = {(t1, . . . , tn+1) 2 Rn+1+ |

n+1X

i=1ti = 1}, et on

définit l’application f : Kn+1 ⇥ D ! Rn+1, par

f((x1, . . . , xn+1), (t1, . . . , tn+1)) 7!n+1X

i=1tixi.

Par le théorème de Caratheodory, Conv(K) = f(Kn+1 ⇥ D). Comme f est continue(car elle est polynomiale) et Kn+1 ⇥ D est compact, Conv(K) est compacte. ⌅

2.2.50 REMARQUEEn dimension infinie, l’enveloppe convexe d’un compact n’est pas toujours com-pacte ni même fermée.Par exemple, dans `2 = {(an) 2 RN |

X

n2N

|an|2 < +•} on considère le compact

K = { ekk

, k 2 N⇤} [ {0}.

où ek = (dk,n)n2N.Alors la suite

xn =nX

i=1

2�i

nX

j=12�j

eii2 Conv(K).

mais sa limite

limn!+•

vn =+•X

i=12�i ei

i

ne peut pas s’écrire comme combinaison convexe ( finie) des éléments de K, doncn’est pas dans Conv(K), ainsi Conv(K) n’est pas fermée.