D ~ m o n s t r a t i o n de ce r t a ines in~gali t~s de M. Tch~bychef .

Par

A. MaR~OFF h St. Petersbourg.

Dans une note ,,Sur les valeurs limites des intggrales" (Journal de M. Liouville. 1874) M. T c h d b y c h e f a 6nonc6 le th6or~me suivant.

Thdor~me :

,,Soit f(z) une fonction queleonque de z et cp (x) ~ ) - une des fractions

convergentes (rdduites) de l'int@grale

b

a

la fonction f(z) eonservan~ constamment le signe -~- entre les limites de l'intggrale, c'est ?~ dire de z ~ a jusqu'?~ z ~ b. Soit encore

( z ) = ( x - x , ) ( x - x ~ ) . . . ( x - x k ) . . . ( x - - x , ) . . . ( x - x . )

?~ condition que

a < x l < x 2 < . . . < x k < . . . < x z < . . . < x , , < b.

Cela posg, on obtiendra l'in6galitg

xl-{-1 x t

~k--1 xk

Dix ans se sont passds depuis l'gnoncg de ce th6or~me et cepen- dane nous n'en rencontrons point de dgmonstration.

Ayanr fair plusieurs efforts rains, je suis parvenu ?~ trouver une ddmonstration tr~s simple du thgor~me de M. T c h d b y e h e f , ~out en y ajoutant les in6galit6s suivantes:

Xk- -1

f f(~)

Sur certaines in6g~iitgs de M. Tch~bycheL ]73

d~s < v ' ( x , 5 + -~-~x~- -t- ' " -l- v.(z~_~) < f(.) dz,

e~

b b

f(z) dz < v'(xi+i)- + -~(x~+~) + " " + ~-(~- ~- < f(z) d~. "Xb~-I x l

Cette dgmonstration fair l'objet de la note pr6sente.

Formulas fondamentales. Remarquons ~ que

b b

a

b

v'(x,) (z - ~,) v" (~',) f(~) dz. a

Si O(z) d6signe une fonction enti~re de z d'un degr6 moindre que 2n, nous aurons

r = r (~) + ~ (z). o(~) , en loosant

V (z) , ( z ) + r (x2) + �9 �9 �9 ~)0 (z) ~ O ( x l ) (~ _ x,) V'(x,) (z - ~) V'(x,)

+ r (~.) v (~) (~-~.) v'(x.)

e~ e(~) dgsignant une certaine fonction enti6re de z d'un degr6 moindre que n - 1.

En m6me temps: b

f ~ (x,) r (x~) r (~). f ( z ) �9 d~ - - - - r (xl) �9 ~ + r ~ - ~ ) + " ~z (~)

+ r ~ �9

on eas particulier ( r 1):

b

f f(~) dz ~ (x,) ,~ (x,) + . . . + '~ (x,,_~) ~ (x,,) + -~.(x;)- ~'(~._~) + v' (~.) a

Reduotion des in~galit~s pr~o~dentes ~ deux in~galit~s g~n~rales.

I1 est ~aci|e de voir~ que routes les in,guilt's pr~c~dentes se d~duisen~ es deux suivantes:

Mathematische Annalem XXIV. 12

174 h. MAn,OVa.

Xk- -1

f(z) d, < -V'-(~.-,i + ~ + "'" + %'-(-~-~-0 '

b

x;+t

En effet en gcrivant, darts ees dernigres formules l au lieu de k - - 1 eg k au lieu de 1 + 1, on obtiendra:

m~

f f(z)dz < ~(~'~ + ~('~) + . . . + 'P(~) V'(~O ~" (x~) v' (x,) ' a

b

f(z) c~z < -{-~--~ + r + . . . + v'(~..) ~k

11 rgsulte de 1~, qu'ayant 6gard ~ l'~quation b

,, ~,(,~) + - - . + , , (~,,_,) -t- r

nous d6duisons consgcutivement:

et enfin

,V l+l

f f(z) dz Xk--1

b

f f(z) dz = x l

b b xk--I

a xVJcl a

> v ' (~) - - v'(,~+,) + "'" + ~'(~,) ' b x l

~) d~ -- ~ dz

(~,+,) ~ (~+~) ~ (~) > r + ~ + " " + r

b b

f -

x k

f f(z) d~ " a

~t 5 b x k

~k a x l. a

< r + r + . . . + -~-C~,) �9

Sat ccrtaines in6gali~ds de M. Tchdbychef .

LOS cas particuliors lss plus simplos.

L'dquation b

/ f(z) dz = _ ~_ (x,) _{_ ~(x,) V'(x~) V'(x~) r

nous fournit imm4diatement les inggalitgs

et

~(~)

- - - + + ~ix\-)~-

f(~) d~ < ,.(x,) + -~ ' - i~ + " " " + ~'(~.) ' a

b ~ (x,) ~ (x,) ~o (x.)

f ( z ) d z < -~p'(x,~ + V'{x,) -~- "" " -~- v ' ( % ) "

Nous exelurons ees cas dans tous les caleuls suivants.

175

D6monstration do l'in6galit~: ~ k - - 1

f f(z) dz < r r cP(x~--t) v" (~,) + + "'" + t~

Soit

~(~) + + . . - + 00(~) ----- (z - ~,) ~' (x,) (z - x,) v' (~- (~-~k-,)~'(~k-i)

et r = % (z) + ~ ( ~ ) . o ( ~ ) ,

O(z) grant une cer~aine fonction enti~re de z d'un degrg n - - 2. Nous aurons alors

b

/ r �9 (~,) ~ (~) ~ (~_~) f(z) dz v'(~,) + + " " + " i

a~

Choisissons maintenant 0 (z) de mani~re que la ddrivde

�9 '(~) - - - - %'(~) + r e(z) + , ( ~ ) . o'(z)

soit zgro pour les valeurs

~ X | } X 2 2 . . . ~ Xk--9.~ Xk~ Xk.~l 1 Xk...~-2~...~, Xno

Cette condition se rdduit ~ n - 1 6quations, dont la forme sera

e ( x , ) = r176 (~') ~" (~,) ,

en posant i 6gal consgcutivement

1, 21 3, . . . , k -- 3, k - - 2 , k, k. .~ 1, k-[- 2, . . .I n. 1 2 *

176 A. MA,:Ko~-.

I1 es~ facile de voir, que ces derni~res 6quations dgtermil~ent compl~tement la fonction enti~re O(z) d 'un degrd n - - - 2; savoir

x~_,)r ( i = 1 2, 3, . . . , n).

Ayant choisi de eette mani~re la fonction O(z)~ nous pouvons dire que la fonction

r (z) devient zgro

n ~ 1 fois pour les valeurs

~ Xl,* Z2,~ �9 �9 .~ X k - - ~ X k , X k 3 v 1 , . . ~ .,~n

et encore n - - 2 fois

pour de certaines valeurs de ~, qui se t rouvent duns les in~ervalles

de x~ ~ x~ , de x 2 ~ x a ~ . . . ~ de x,_~ h xk_~,

de xk ~ xk+~, de x~.t_~ x~+~, . . . , de x,~_~ ~ x,, ,

par une lois dans chacun de ces in terval les ; par ce que nous avons

r = r = r . . . . . r = r ----

et r = r = r . . . . . r = r --- o.

Le degrd de cette fonction enti~re (~'(z) est 2n - - 3. Done routes s e s valeurs-zgro sont gnumerdes; il n ' y en a point , qui soit duns l ' intervalle

de x~_~ h x~.

Outre cela nous avons

= r (x~_,) > r (x~) = o. Parsuite

'V'(x~_l) <: O, (~)' (Xk ~ ~) < O, r (~k.Jf-1 - - ~:) • 0• . . . ; (ID' (X n - - ~) < 0 ,

r § r 2 4 7 . . . , r

r ~) > 0, r + ~) > O, . . . , r + 1) > 0,

r r (x~_3 - - e) < 0 , �9 . . , r l - h ) < 0 ,

E dgsignant une quantitg positive inf in iment petite et h une quant i t6 positive arbitraire.

On en conclut, que la fonction

r (z)

n'est pus moindre que zgro pour routes les valeurs de z et non moind re que l'unitd pour

Sur cergaines in~galit6s de M. Tch6bychef. 177

En posant y = O(z),

nous pouvons expliquer les changements de la fonction O(z) par une telle figure :

I

0 ~ - - -I-~"" ~"~ ..... X 1 X, 2 Xk-2 Xk-1 Xk Xk-I-1 Xn Z

l%evenons ~ notre int6grale

b

%'(~,)- + -,'(x~) + " ' + )=(~L;) ;

il est 6vident, que nous pouvons 6crire consdeutivement des indgalitds suiva.tes :

b xk--1 xk--I

a a

et Xk--1

i qO (Og,) ~ (X2) qO (XIc _ 1) /(z) d~ < -~-(~b- + ,'~,)- + " " + ,'(~_~)

b

f f ( ) z d~ z~+~

Soit:

Ddmonstration de l'in6galit6:

(~,+,) ~ (~,+~.) �9 (~.) < *'(~,+0 +r + ' " + , '(~)

(z) V (z) ~ (z) Oo (z) = -(z _ xi+i ) ~'-(~,71)- + (z -- "~,+~) ~" (x,+~) + " " + (~ - x . ) ,r (x~) et

r @) = oo(z) + ~(z) �9 o ( z ) ,

0(~) ~tant une fonction enti~re de z d'un degrd n - 2. Pour d~terminer O(z) posons ~ - 1 6quations de la forme

co' (xi) e (x,) = - -~, (~,T

178 A. Ma~KOFF.

pour les valeurs de i 1, 2, 3, . . . , l, l + 2 , l + 3 , . . . , n;

de sorte que

O(z) ~ -- ~ , (xl--x'+') r '(x,)~(z) (1, 2, 3, . n). { ," C~) } ' ( . - ~,) {. - ~ , ) �9 .,

En ee eas nous trouvons faeilement que la fonetion

n'es~ pas moindre que zdro pour ~outes les valeurs de z eg non moindre que l'unifl6 pour

~> Xz_t_ 1 .

En i)osan/a v = r

nous pouvons expliquer ]es variations de la fonction Op(z) par telle figure:

0

J

Xl X2 X~ XpI- 1 ggN-~ Xn--1 X Z

Cela posg, on a

(~+,) ~ (5.) ~ ' ( - , + , ) + " " ' q : 7 ( ~ . )

b b b

~ t4 - t ~ t ,+ l

Romarquo. Dans la dgmonstration des in6galitds de premibre et seconde 6sp~ce

nous 6tions obliggs de r@gter les m~mes raisonnements; de sorte que nous avons comp]4temen~ prou~6 les in4galitgs de M. T c h 6 b y c h e f .

Je prends r agrdable d6voir de prdsenter ma profonde re- connaissance ~ M. P o s s g , qui m'a indiqu6 le moyen de rdsoudre cette question duns quelques cas particuliers.

Question de b'~ton. 179

Ques t ion de b~ton*) .

Prelmns un b'hton A I I C :

t t

Soien~ donnds les longueurs

A C ~ I , A ] 3 ~ - - x

le poids p de A C , son centre de gravit6 D ( A D ~ d) et son moment d'inertie par rapport "~ D.

T r o u v e r le m a x i m u m e t m i n i m u m du p o i d s de A B .

R ~ s o l u t i o n .

I1 suffit de ddterminer le maximum, car le minimum du poids de A B correspond au maximum du poids de /~C.

k Cas premier: x ~ d -~- pd

Le poiOs entier p peut ~tre concentrd en deux points A et M, k

off A M - ~ d -~ p d :

pk P~d ~ en A _ _ le poids pd 2 .+k et en M ~ le poids pd.~+ k

Done le maximum cherch6 est. ggal h /0.

k Cas second d - ~ :> x > d ~ !o ( t - d)

Concentrons le poids p e n trois points A, B , C:

p x l + pd ~ -~ l: - - p ( x + l) d ell A le poids a--~ x l '

en B le poids b - ~ p d l - - p d 2 - - k x(l -- x) '

2d ~ + k -- p d x . le poids c ~ t(l -- x) en C

Alors: a + b + c = p , bx + cl = p d , b x 2 + cl 2 -----pd ~ + k,

a # + b (x ~ d) ~ + e ( 1 - - d) ~ = k

et le poids A ~ est 6gal

to(z - - d) (Z + d - - x) - - k a + b ~ p - - c -~ z(z - - x)

*) Tehdbyche f , Journal de Liouville 1874: Sur les valeurs limites des intdgraies.

180 A. MARKOt~r. Question de b'~ton.

et

Outre cel~ X Z 1 ~- z(z--z)

X g

1 + ~(l--:~)

Par consdquenf,

f(z)

Z, 2 Z(z--x) ~ 1 si O < z < x ,

z* - - l ( l - - x ) ~ O si x < z < 1.

f [ d~ < f(z), 1 + ~z l(~-- x) + z ( l - - x) dz 0

< (z). l + ~ x ) lr dz 0

p(~ -- d) (~ 4- d -- x) - - k l (l - - x )

f(z) grant le poids de l'unit6 de longueur au point Z ( A Z ~ ~).

le maximum cherchd est 6gal '~:

(z - d) (~ + d ~ x) -- l - - x

Done

Cas troisi~me x < d - lc . . . . . . ~

v (~ - d) Le poids entier s peat 8tre coneentr6 en deux points B e t N~ off

k

kp en B _ _ le poids l c + p ( d _ m ~ 2 ,

r

en N le poids P 2 ( d - x)2 Or

~ ( / f ( ( z - ~)' dz z) dz < z). ~ i> ~ 0

f P ~ - - 2Pd~ + p d~'4-k

t ~ Donc le maximum cherch6 est dgal 's

k p k + p ( d -- x) ~

S~t. P e t e r s b u r g 1884.

kp k+p(d__x)'~-"