MAGNETOMETRIE page 1 - Cours de M2 CFP - Propriétés Electroniques des Solides (Julien Bobroff)

Démonstration des relations deKramers Kronig

'')'('1)(''

'')'(''1)('

dvp

dvp

MAGNETOMETRIE page 2 - Cours de M2 CFP - Propriétés Electroniques des Solides (Julien Bobroff)

0

),(),( dtetqq ti

Causalité : 0),( tq qd t<0

d’où :

on généralise dans le plan complexe : iz

0

),(),( dteetqzq tti

on choisit >0 pour assurer la convergence de l’intégrale.

Grâce à qui converge vite, analytique dans le demi-plan complexe supérieur (Im(z)>0) et on peut appliquer le théorème de Cauchy.

),(),( lim0

zqq

te ),( zq

MAGNETOMETRIE page 3 - Cours de M2 CFP - Propriétés Electroniques des Solides (Julien Bobroff)

Théorème de Cauchy : Ccontour

dzz

zq 0),(

contour C

aa

cercledemigrandCcontour

dzz

zqdzz

zq

),(),(0

( , ') ( , ') ( , ')' '' ' 'petit

demi cercle

q q qd d d a

a

Qd z tend vers infini, tend vers 0 car plus de réponse infiniment longtemps après l’excitation, et 1/(z-) tend vers zéro aussi. Donc intégrale tend vers zéro.

( , ') ''qvp d

d’où ( , ) 0i q

aa

aa

a

idiidee

q

ede

eqdzzz

ii

ii

i

cercledemipetit

)()(1),(

)(),()(

00

MAGNETOMETRIE page 4 - Cours de M2 CFP - Propriétés Electroniques des Solides (Julien Bobroff)

0)(''

)',(

idqvp

'')'('1)(''

'')'(''1)('

dvp

dvp

on identifie les parties réelle et imaginaire de l’égalité, avec =’+i’’ d’où :

A l’origine de ces relations : la causalité pour qui permet que soit analytique)(z)(t