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Densité des N-uplets pythagoriciens
Yohan Thibault
Avec la collaboration de :Yukiko Kenmochi, Akihiro Sugimoto et Bertrand Nouvel
Le théorème de Pythagore
Théorème : Dans un triangle rectangle, le carré de l‘hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Il y a une infinité de solutions réelles.
Tout triplet de nombre réels {a,b,c} forme un triangle rectangle si
Les triplets pythagoriciens
Définition : Trois entiers tels que
Le nombre de triplets pythagoriciens est infini
On peut représenter les triplets sous deux formes différentes :
Les angles pythagoriciens
Définition : Un angle est pythagoricien si son sinus et son cosinus sont rationnels.
Pour chaque triplet pythagoricien il existe un unique angle pythagoricien associé.
Densité
Définition : Un ensemble S est dense sur , si pour toute paire d’éléments de , avec , il existe un élément de S tel que .
Théorème : L’ensemble des angles pythagoriciens est dense.
Preuve de la densité (600 av JC)
Lemme 1: Soit deux angles pythagoriciens. est un angle pythagoricien.
Lemme 2: Pour tout pythagoricien, il existe ……… pythagoricien tel que .
Théorème : Pour toute paire d’angles pythagoriciens ………...., il existe un angle pythagoricien tel que .
Preuve de la densité (suite)
Du fait que sont rationnels, on déduit que est rationnel.
Lemme 1: Soit deux angles pythagoriciens. est un angle pythagoricien.
Preuve de la densité (suite)
Il existe une infinité de triplets pythagoriciens de la forme
Quand , . Donc .
On peut donc trouver .
Lemme 2: Pour tout pythagoricien, il existe ……… pythagoricien tel que .
Preuve de la densité (suite)
Grace au lemme 1 : est pythagoricien.
Grace au lemme 2 : il existe . Grace au lemme 1, on pose : .
Théorème : Pour toute paire d’angles pythagoriciens ………...., il existe un angle pythagoricien tel que .
Les vecteurs pythagoriciens
Définition : Un 2D vecteur est pythagoricien si ses coordonnées et sa norme Euclidienne sont entières.
Pour chaque triplet pythagoricien il existe un unique vecteur pythagoricien associé
Pour chaque vecteur pythagoricien il existe un angle pythagoricien associé. (la réciproque est presque vraie).
Densité des vecteurs
Définition : Un sous-ensemble S d’un espace vectoriel E est dense dans E si pour toute paire d’éléments de E il existe un élément de S tels que :
où sont une paire de scalaires positifs.
Théorème : L’ensemble des vecteurs pythagoriciens est dense.
Ce résultat est la base des résultat en dimension supérieure.
Objectifs
Prouver la densité de l’ensembles des vecteurs pythagoriciens en 3D, puis dans l’espace à
N-dimensions.
Les quadruplets pythagoriciens
Définition : Quatre entiers tels que .
Le nombre des quadruplets pythagoriciens est infini
On peut représenter les quadruplets sous deux formes :
Les angles « pythagoriciens » en 3D
Un quadruplet pythagoricien correspond à une paire d’angles.
Les sinus et cosinus de ces angles ne sont pas rationnels (ou rarement).
Conséquence : Ils ne sont donc pas désignés pour travailler dans le domaine discret.
Les vecteurs pythagoriciens dans l’espace
Pour chaque quadruplet pythagoricien il existe un unique vecteur associé.
Théorème (Thibault 08) : L’ensemble des vecteurs pythagoriciens est dense dans l’espace.
Définition : Un vecteur est pythagoricien si ses coordonnées et sa norme Euclidienne sont entières.
Densité en dimension n
Définition : Un sous-ensemble S d’n espace vectoriel E est dense dans E si pour tout sous ensemble d’éléments de E il existe au moins un élément de S tels que :
Où sont des scalaires positifs.
Preuve de la densité des vecteurs 3DDéfinition : Un sous ensemble C
d’un espace vectoriel est un cône convexe si ax+by appartient à C pour tout scalaire positif a,b et tout éléments x,y de C.
On définit un cône convexe par trois vecteurs pythagoriciens quelconques (mais linéairement indépendants).
1. On projette les trois vecteurs dans le plan OXY.
2. Par construction au moins une paires de vecteurs projetés est linéairement indépendante.
3. Cette paire forme un cône convexe en 2D.
Preuve de la densité des vecteurs 3D
Preuve de la densité des vecteurs 3D4. Les vecteurs
pythagoriciens 2D sont denses donc il existe donc un vecteur dans le cône convexe
5. On définit un plan P passant par l’origine et ayant pour vecteurs directeur OZ et le vecteur crée
Preuve de la densité des vecteurs 3D
6. On cherche l’intersection entre P et le cône convexe 3D
7. Cette intersection est un cône convexe 2D.
8. Dans ce cône on cherche un autre vecteur pythagoricien.
9. On construit le vecteur pythagoricien 3D final.
Preuve de la densité des vecteurs 3D
Construction du vecteur final
Deux vecteurs : et .On cherche k et l tel que : .Les quatre entiers forment un quadruplet pythagoricien dont le vecteur est dans le cône.
Remarque : Si est un triplet pythagoricien, ………………....est aussi un triplet pythagoricien avec k dans N
Les n-uplets pythagoriciens
Le nombre de n-uplets pythagoriciens est infini
La représentation consistante dans l’espace discret est la forme vectorielle.
Définition : n entiers tels que
Les vecteurs pythagoriciens dans l’espace à n-1 dimension
Définition : Un vecteur est pythagoricien si ses coordonnées et sa norme Euclidienne sont entières.
Pour chaque n-uplet pythagoricien il existe un unique vecteur pythagoricien associé
Théorème (Thibault 08): L’ensemble des vecteurs pythagoriciens est dense dans l’espace.
Preuve de la densité des vecteurs pythagoricien (n-1)D
• Prérequis : en dimension n-2 l’ensemble des vecteurs pythagoriciens est dense.
1. On définit un cône convexe par n-1 vecteurs pythagoriciens quelconque (mais linéairement indépendant).
2. On les projettes dans un hyperplan HP.
Preuve de la densité des vecteurs pythagoricien (n-1)D
3. Comme les n-1 vecteurs sont linéairement indépendants, il existe au moins un sous ensemble de n-2 vecteurs dont leur projection est linéairement indépendante dans HP
4. Ce sous-ensemble forme un cône convexe n-2D dans HP.
Preuve de la densité des vecteurs pythagoricien (n-1)D
5. Les vecteurs en n-2D sont denses donc il existe un vecteur dans le cône convexe 2D.
6. On définit un plan P passant par l’origine et ayant pour vecteurs directeur l’axe de projection et le vecteur créé.
Preuve de la densité des vecteurs pythagoricien (n-1)D
7. On cherche l’intersection entre P et le cône d’origine.
8. Cette intersection est un cône convexe 2D.
9. Dans ce cône on cherche un vecteur pythagoricien 2D.
10. On construit le vecteur pythagoricien (n-1)D final.
Preuve densité des vecteurs n-1D
Construction du vecteur final
Deux vecteurs : et .On cherche k et l tel que : .Les quatre entiers forment un quadruplet pythagoricien dont le vecteur est dans le cône.
Remarque : Si est un n-uplet pythagoricien, ……………….... est aussi un n-uplet pythagoricien avec k dans N
Les n-uplets pythagoiciens forts
• La projection d’un vecteur pythagoricien dans une dimension inférieur ne donne pas un vecteur pythagoricien.
• Il existe des vecteurs pythagoriciens qui « résistent » à la projection.
• Un vecteur pythagoricien à n-1 dimensions est fort s’il existe j dans tel que :
Utilité des vecteurs pythagoriciens
• Leur densité permet d’approximer avec des entiers tous les vecteurs de l’espace.
• Ils permettent de faire toutes les rotations possibles dans l’espace de la même manière que les angles charnières.
Perspective : Approximer en nD un vecteur quelconque par un vecteur pythagoricien.
Merci de votre attention.
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