DENSITIES SPECTRALES ]~NERGI~,TIQUE ET D'INTERACTION DES SOURCES DE FLUCTUATIONS RAMEN]~ES A L'ENTR~E D'UN QUADRIPOLE

ACTIF LINI~AIRE ET STATIONNAIRE

p a r

Pier re D A V I D

Docteur d 'E ta t : sciences appliqu~es *

1R~SUM~. - - Cet article entre dans le cadre d 'une dtude g~ndrale entreprise sur le bruit et les rdseaux actifs. L 'dtude est basde sur les expressions des sources ramendes en fonction des sources de bruit intgrieures au quadrip6le ; ces derni~res appar t i ennen t aux dldments pass i f s du rdseau et sont supposdes inddpendantes les unes des autres.

PLAN. - - Nota t ion . I : In troduct ion. I I : Rappe l s concernant les sources ramendes. I I I : Densitds spectrales dnergdtique et d ' intdract ion relatives a u x sources ramendes & l'entrde d ' u n quadrip6le act i f quelconque.

IV : Conclusion. Bibl iographie (3 r6f.).

N O T A T I O N

A(t) ~ a(v) : i n d i q u e que A(t) e t a(v) s o n t t r a n s f o r m 6 e s

de F o u r i e r l ' u n e de l ' a u t r e .

E {f(t)} : e s p d r a n c e m a t h 6 m a t i q u e de la f o n c t i o n alda- t o i r e f(t).

yet(v) : dens i t~ s p e c t r a l e ~ n e r g d t i q u e de la source de

t e n s i o n r a m e n ~ e ~rjlg(~).

y Jr(v) : d ens i t 6 s p e c t r a l e 6 n e r g d t i q u e de la source de

e o u r a n t r a m e n d e : ~'rj[g(v).

yem(v), yJm(v) : dens i t~s spec t r a l e s d n e r g ~ t i q u e s res-

p e e t i v e s des sources de t e n s i o n e t de c o u r a n t de

b r u i t r e l a t i v e s au m e dip61e pass i f r6el du r~seau.

yemjn(~) = y jnem*(~) : dens i t~ s p e c t r a l e d ' i n t e r a c t i o n

e n t r e la s o u r c e de t e n s i o n de b r u i t r e l a t i v e au

m e dip61e pass i f r6el du rdseau e t la source de c o u r a n t de b r u i t r e l a t i v e au n e dip61e pass i f rdel

du rdseau .

I . I N T B O D U G T I O N

Cet a r t i c l e fa i r su i t e h une d t u d e gdndra le conce r -

n a n t les r d s e a u x ac t i f s [1] e t les sources de b r u i t r a m e n ~ e s h l ' e n t r d e d ' u n quad r ip61e ac t i f quel - c o n q u e [2].

D a n s l ' e s p a c e des f r d q u e n c e s , ces sou rces dqui- v a l e n t e s r a m e n d e s a p p a r a i s s e n t c o m m e des c o m b i -

na i sons l indai~es h coef f ic ien ts v a r i a b l e s des sources

de b r u i t d o n t les d ldmen t s pass i fs rdels i n td r i eu r s au

quad r ip61e s o n t le si~ge ; ces r d s u l t a t s d o n n d s p a r les r e l a t i o n s (9) e t (10) de la rd fdrence [2] s o n t dcri tes ici sous les f o r m e s s impl i f ides (1) e t (2).

Les dens i td s s p e c t r a l e s d n e r g d t i q u e e t d ' i n t e r a c t i o n

r e l a t i v e s h ces sources r a m e n d e s p e u v e n t a lors ~tre

c o m m o d ~ m e n t d d d u i t e s de cel les des sources de b r u i t

i n t e rne . Sous l ' h y p o t h ~ s e off les l o n g u e u r s de cor re - l a t i o n des p h d n o m ~ n e s m i c r o s c o p i q u e s r e s t e n t p e t i t e s

d e v a n t les d i m e n s i o n s des d ldments pass i fs , n o u s

a d m e t t r o n s l ' inddpendance entre sources de f luctuat ion

qui resteront non corrdldes.

E n gdu~ral , les ~ ldmen t s di ts passifs p e u v e n t ~tre

consid~rds c o m m e des f i l t res l indai res et h o m o g ~ n e s [3].

D a n s le l a n g a g e de l ' d l e c t r o n i c i e n ou m ~ m e de l ' o p t i -

cien, c h a c u n poss~de u n e c e r t a i n e f o n c t i o n de t r a n s -

f e r t ; p a r dd f in i t i on , u n e ra te m o n o c h r o m a t i q u e p u r e v o i t sa f r d q u e n c e i n c h a n g d e ; il n ' y a d o n c pas de

phdnom~nes de t r a n s i t i o n h l ' i n t ~ r i e u r d ' u n te l sys-

t~me p h y s i q u e .

I I . B A P P E L S C O N C E R N A N T L E S S O U B C E S B A M E N ~ E S

D'ap r~s le t h d o r ~ m e de N y q u i s t gdndral isd, t o u t

dip61e pass i f rdel e s t d i s s i pa t i f e t si~ge de f l u c t u a - t ions . De ce fa i t , il es t r e p r e s e n t a b l e p a r un dip61e

pass i f idea l ddnu~ de b r u i t a u q u e l on associe :

- - soit u n e s o u r c e p u r e de t en s ion de f l u c t u a t i o n

raise en sdrie,

- - so i t u n e s o u r c e p u r e de c o u r a n t de f l u c t u a t i o n mise en para l l~ le .

La r e p r e s e n t a t i o n s i m p l e e t gdn~rale d ' u n dip61e

pass i f rdel e n g l o b a n t ces d e u x ~ v e n t u a l i t d s se t r a d u i t

donc p a r le s c h e m a m i x t e ' s d r i e para l l~ le de la f igure 1.

Ains i ~p(v), ~'p(v) e t zp(~) s o n t r e s p e c t i v e m e n t les sources de t e n s i o n e t de c o u r a n t de b r u i t e t l ' i m p d - dance i n t e r n e r e l a t i v e au pe dip61e pass i f rdel d u

r~seau ; ce dip61e a p p a r t i e n t a lors au pe dip61e a c t i f

g~ndral du rdseau , p p o u v a n t v a r i e r de 1 h N.

* A l ' Ins t i tu t Von Laue, Paul Langevin-Grenoble.

A. T~LEC.~ 30~ n ~ 1-2, 1975 1/3

P. D A V I D . -- D E N S I T I E S S l a E C T R A L E S I ~ N E R G t ~ T I Q U E E T D ' I N T E B A C T I O N D E S S O U R C E S D E F L U C T U A T I O N S 3

.~ El6ment passif id6al

, Zp (~,)

~'p (v)

Fz~. 1. - - Schdma descriptif d u p e dip6le passif r6el.

D a n s n o t r e ana lyse , les dip61es pass i fs de r ang l e t k j o u e n t r e s p e c t i v e m e n t les r61es de dip61e d ' a t t a q u e

e t de dip61e de c h a r g e p a r r a p p o r t h u n c e r t a i n q u a d r i -

p61e (vo i r F ig . 2). Ce d e r n i e r d t a n t supposd id6al e t

_'_,,%,

*~/t (u) lk,~ ) I I �9 Element I

dipSle d'attaque

o o

OuadripSle

ideal fictif

o o

ik(u)

k e EI6ment I I ~k (o)

dipble de charge

FIG. 2. - - Le quadrip61e id6al fictif contient les 6ldments de rang 1, 2 - - - N, :/: k et l ces derniers sont d6nu6s de sources de

bruit.

d~nu6 de source de b r u i t , les sources f ic t ives de f l u c t u a t i o n de t e n s i o n :

e t de c o u r a n t :

c r~en t a lors le m ~ m e c o u r a n t de b r u i t dans le k e dip61e

pass i f rdel q u e l ' e n s e m b l e des sources r6elles de b r u i t issues des 61dments d ' o r d r e 1, 2 . . . . . N e t ve k ; le

k e dip61e pass i f d e m e u r e ici r6el, c ' e s t p o u r q u o i on ne r a m ~ n e p a s s e s sources de b ru i t .

er,llk(V ) e t jr,tlk(~ ) s o n t d o n e r e s p e e t i v e m e n t l a source de t e n s i o n e t l a sou rce de c o u r a n t de b r u i t r a m e n 6 e s sur le I e dip61e pass i f v i s -h -v i s du k e.

. R a p p e l o n s iei les f o r m e s les p lus gdn6rales des

sources r a m e n 6 e s donn6es p a r les r e l a t i o n s (22) et (23)

de la r6 f6 rence [2] : m=/~k et l

(1) er,tl/C(v) = ~ Pro(v) Uejm(V), l ~ m ~ N

e t m-~k et I

(2) J~,~]~('~) = Z Qm('~)u ~(,~). l~rn<~N

Iei , n o u s a v o n s pos6 :

(3) Uejp(v) = ev(v) - - zvJv(v ).

Sous la rd f6rence [2], nous a v o n s v u q u e les coeffi-

c ien t s Pm(~) e t Qm(~) s ' e x p l i c i t e n t de l a fa~on s u i v a n t e :

%;II >lk,lb,>l 1} p,Ib,

(4)

et

(5) q~ "Ila ]k,lat

ei, > Ik,l > Iq est le d terminant obte u h p a r t i r d ' u n e c e r t a i n e m a t r i c e [JIL] o b t e n u e l o r s q u ' o n

r e m p l a c e r e s p e c t i v e m e n t dans c e t t e de rn i~ re : les

co lonnes de r a n g k e t I p a r 1/)1 ) e t [vl ~ , les a u t r e s

co lonnes de IDOL] 6 t a n t laiss6es inchang6es .

Matrice [~L].

E l l e es t d~f inie a u x p a r a g r a p h e s 2.2 e t I I I de la

r6 f6rcnce [2] p a r l a r e l a t i o n :

Ida] = [AN] Z@ [BN],

[AN] e t [Blv] s o n t des m a t r i c e s car r6es N • N (N 6 t a n t le n o m b r e d ' d l 6 m e n t s du rdseau) d6f in ies h

p a r t i r des d e u x p r e m i 6 r e s r e l a t i o n s (11) de la rdf6-

r ence [2].

j a i l = [ [ m Ik v]] [_[A] [ h j v ] ] '

[[-I [h.}l. LIA] [kjdl

[A] e t [B] s o n t a lors ddfinies p a r les lois de K i r e b h o f f

a u x c o u r a n t s ia~ e t a u x t ens ions Va~ (vo i r (8) e t (9)

de la r 6 f@ence [2]. Les m a t r i c e s [key], [hjv], [hel], [kj~] s o n t d6f in ies

h p a r t i r des r e l a t i o n s (6) et (7) de la r6 f6rence [2]

de fa~on s o u s - m a t r i c i e l l e ; ces m a t r i c e s s o n t fo rm6es

des coef f ic ien t s d6 f in i s san t les sources a c t i v e s h p a r t i r des t e n s i o n s e t des c o u r a n t s p r o p r e s a u x 5 l d m e n t s

pass i fs r6els. E n ce q u i c o n c e r n e les n o t a t i o n s e t r e l a t i o n s de

d d p a r t a t t a c h d e s h la dd f in i t ion du c o n s t i t u a n t

d i p o l a i r e g6n6ra l de rdseau, le l e c t e u r p o u r r a se

r e p o r t e r h la r6 f6 rence [2, w (2.1)].

III . D E N S I T I ~ . S S P E C T B A L E S J~NEBGI~- T I O U E S E T D ' I N T E B A f i T I O N B E L A T I V E S A U X S O U R C E S B A M E N I ~ , E S A L ' E N T R I ~ E D ' U N Q U A D B I P O L E A C T I F Q U E L C O N Q U E

Rappels.

L a dens i t~ s p e c t r a l e ~ne rg~ t ique yx(v ) r e l a t i v e h u n s igna l X( t ) es t la t r a n s f o r m ~ e de F o u r i e r de l a fonc -

t i o n d ' a u t o c o r r 6 1 a t i o n de X(/ ) , ce qu i s '6c r i t :

(6) yx (v ) ,~_ E {X(/) X *(t - - ~)}

t o u v es t la v a r i a b l e t e m p s :

t , v ~ ] - - ~ , + c ~ [

2 /3 A. TI~LEC., 30, n ~ 1-2, 1975

4 p . D A V I D . -- D E N S I T E S S P E C T R A L E S ]~NERGI~.TIQUE ET D ' I N T E R A C T I O N D E S S O U R C E S D E F L U C T U A T I O N S

v est la v a r i a b l e f rdquence :

v e ] - - ~ , + ~ [ .

L a dens i td spec t ra le d ' i n t e r a c t i o n yXY(v) en t r e deux s i g n a u x X(t) et Y(t) est la t r a n s f o r m d e de F o u r i e r de l eu r f o n c t i o n d ' i n t e r c o r r d l a t i o n et l ' o n n o t e :

(7) yXY(v) ~ E {X(/) Y* (t - - v)},

Le s y m b o l e E {f(t)} dds igne iei l ' o p d r a t i o n : espd- r a n e e m a t h d m a t i q u e de la f o n c t i o n aMato i re f(t), x(v) e t y(v) d t a n t les t r a n s f o r m 6 e s de F o u r i e r respee t ives des s i g n a u x X(t) et Y(t), il v i e n t alors :

(8) E {x(v) x*(v')} = yX(v) ~ (v - - v').

C 'es t la seconde f o r m u l e des in t e r fd renees de A. B l a n c - L a p i e r r e .

P a r a l l ~ l e m e n t h ce t te r e l a t i o n e t en ee qu i concerne le eas de d e u x s i g n a u x d i s t i nc t s , on eer i t :

(9) E {x(v) y* (v')} = y x r ( v ) ~ (v - - v'),

(9) est en fa i t u n e g d n d r a l i s a t i o n de (8) t rbs c o n n u e d a n s le d o m a i n e du t r a i t e m e n t du s ignal .

N o t o n s que l ' o n a t o u j o u r s :

(10) yxr(v) = yxY(v) *,

A p p l i q u o n s la r e l a t i on de t y p e (8) a u s ignal er,tlg(V ) ; e o m p t e t e n u de (1) e t (2), il v i e n t :

( 1 1 ) y e r ( v ) " ~ ( V - - V ' ) ,

ms=ketl n ~ k e t l

= ~] Y] Pro(v) Pn*(V') E {Uejm(V) Uejn*(V')}. l~m<~N l ~ n E N

C o m p t e t e n u des r e l a t i o n s (3) e t (6), on p e u t 6crire :

E ~ (12) {U~jn(V) u~j.(v )} = [yemen(u) - - z m yjmen(v) - - z~ yemln(v) +

ZmZ n yjmjn(v)] ~ (v - - v').

Les gdn~ra t eu r s de b r u i t d u r6sean n ' d t a n t pas corrdl6s en t r e eux, il v i e n t :

(13) yjmen(v) = yen~re(v)= O,

et p a r a i l l eurs :

(14) yemen(u) ~ yem(v) ~mn i ~mn 6 t a n t le s y m b o l e

( 1 5 ) yJmJn(v)--- = y j m ( v ) ~mn I de K r o n e c k e r

Les r e l a t i ons (11) et (12), c o m p t e t e n u des condi - t i ons (13), (14) et (15) e n f r a i n e n t apr~s u n e i n t 6 g r a t i o n su r (v') :

m~k et l (16) yer(v) = ~, ]Pm(v)[2 [yem(v) + ]Zm] 2 yJm(v)].

l ~ m ~ N

On d 6 m o n t r e r a i t de m S m e la r e l a t i o n : m--~k et l

(17) y J r ( v ) ~ ~a IQn(v)12 [yem(v) + [Zml2 yJm(v)], l ~ m ~ N

et en ce qu i c o n c e r n e les dens i t6s spec t ra les d ' i n t e r - a c t i on :

m:/::k et l

(18) yerjr(v) = ~ Pro(v) Qm*(V) [ze ro(v)+ l ~ m ~ N

[Zm[ 2 yJm(v)], et yJrer(v) = yerjr(v)*.

C O N C L U S I O N

Cet te a n a l y s e est l a c o n s d q u e n c e d ' u n e d tude gdnd- rale su r les rdseaux act i fs l in6a i res et les p h 6 n o m 6 n e s de b ru i t .

Les gdndra t eu r s de t e n s i o n et de c o u r a n t de b r u i t r a m e n d s h l ' e n t r d e du quadr ip61e s o n t alors expr im6s d i r e c t e m e n t ici h p a r t i r de coeff icients ma t r i c i e l s .

Les m a t r i c e s de ces coefficients son t form6es elles- m ~m es de s o n s - m a t r i c e s e x p r i m a b l e s e x p l i c i t e m e n t si on 6cri t les lois f o n d a m e n t a l e s du r6seau : lois de Ki rchhof f , lois dd f in i s s an t les sources ac t ives .

L ' in td r f i t p r a t i q u e de ce t t e a n a l y s e se s i tue dans le d o m a i n e du t r a i t e m e n t du s ignal .

Les propr id tds des sources r a m e n d e s en s t a t i s t i q u e du second ordre se d 6 d u i s e n t alors u n i q u e m e n t des dens i tds spec t ra les 6ne rgd t iques des sources de b r u i t i n t e r n e s au quadr ip61e , ees dern i6res n ' d t a n t pas corrdldes. Les coeff icients Pm(v) e t Qm(v) des re la- t ions (3) e t (4) r e l i e n t doric d i r e e t e m e n t les p ropr id tds des sources r a m e n d e s a u x coeff icients des lois f o n d a - m e n t a l e s c o n c e r n a n t les r6seaux actifs .

Manuscr i t requ le 24 seplembre 1973.

B I B L I O G R A P H I E

[ l ] DAVID (P . ) . Analyse spectrale d ' u n syst6me physique reprdsentable par un rdseau 61ectronique aetif lindaire et s ta t ionnaire . Ann. Tdldcommunic., Fr. (jan.-fdv. 1973), 28, n ~ 1-2, pp. 55-70.

[ 2 ] DAVID (P . ) . Thdorie des sources de bru i t ramendes et expression du thdor6me de Thdvenin eoncernant un rdseau dlectronique aetif lin6aire et s ta t ionnaire . Ann. Tdl~communic., Fr. (mars-avril :1973), 28, n ~ 3-/t, pp. 105-110.

[3] BONNET (G). Considdrations sur la repr6sentat ion et l ' analyse harmonique des s ignaux ddterministes ou aldatoires. Ann. Tdldcommunie., Fr. (1968), 23 , n ~ 3-~, p. 62-86.

A. T~LEC., 30. n ~ 1-2, 1975 3/3