13
Dérivation des équations fluides Pour chaque fluide (ions et électrons) pris séparément. 1. Continuité 3 dx 2 dx 1 dx articules quittant le volume à travers la surface S (le terme « quittant » fait référence la normale au cube dans la direction x1 en x1+dx1 est orientée vers l’extérieur, i.e. les x1 positifs) 1 V S 3 2 1 1 1 ) ( dx dx dx x V n 3 2 1 1 ) ( dx dx x V n Nombre de particules pénétrant dans le volume en x1 (en x1 la normale au cube est orientée vers les x négatifs) Si l’on suppose qu’il n’y a pas de gain ou de perte 3 2 1 1 1 3 2 1 1 3 ) ( ) ( dx dx dx x V n dx dx x V n dx t n +contribution des autres faces ) ( i i i V n x t n donc ou S nu t n ) .( Ionisations et recombinaisons n n

Dérivation des équations fluides Pour chaque fluide (ions et électrons) pris séparément. 1. Continuité Nombre de particules quittant le volume à travers

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Dérivation des équations fluides

Pour chaque fluide (ions et électrons) pris séparément.

1. Continuité

3dx

2dx 1dx

Nombre de particules quittant le volume à travers la surface S (le terme « quittant » fait référenceau fait que la normale au cube dans la direction x1 en x1+dx1 est orientée vers l’extérieur, i.e. les x1 positifs)

1V

S

32111 )( dxdxdxxVn

3211 )( dxdxxVn

Nombre de particules pénétrant dans le volume en x1 (en x1 la normale au cube est orientée vers les x négatifs)

Si l’on suppose qu’il n’y a pas de gain ou de perte

3211132113 )()( dxdxdxxVndxdxxVndx

t

n

+contribution des autres faces

)(

i

i i

Vnxt

n

donc

ou Snut

n

).(

Ionisations etrecombinaisons

n

n

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2. Impulsion

Forces macroscopiques )( BuEnqF

Flux dans la direction d’impulsion dirigée dans la direction 1x 2xNombre de particules par unité de surface et par unité de temps passant à travers une surface x=cte fois l’impulsion dans la direction 2x 21 mVnV

En sommant sur les directions:)()()( 32

322

212

1

VVmnx

VVmnx

VVmnx

On définit le tenseur de pression par: ))(( jjiiij uVuVmnP

Le flux dans la direction i d’impulsion dans la direction j est donc: jiij umnuP

En combinant

mSuPBuEnquut

umn

.)()).((

mSuuumnPBuEnqt

mnu

).(.)()(

En utilisant l’équation de conservation de la masse:Note: Si P est isotrope: pP .

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Equation d’état

Forme la plus simple Cnp

γ=1 : cas isotherme quand la compression est lente par rapport à la conduction thermique

γ=5/3 : cas adiabatique quand la compression est rapide mais suffisamment lente pour que l’énergie puisse être échangée par collision entre les trois degrés de liberté.

Si la compression est rapide par rapport à la conduction et aux collisions:Il faut tenir compte de l’anisotropie. On verra qu’alors:

0)(

nB

p

dt

d 0)(3

2// n

Bp

dt

d

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Equations bi-fluides:

Les équations de continuité s’appliquent séparément pour chaque fluidemais il faut tenir compte dans l’équation pour l’impulsion des collisions entreparticules différentes. Le taux auquel l’impulsion par unité de volume est gagnépar l’espèce α du aux collisions avec l’espèce β s’écrit:

)( uunmR où est appelé fréquence de collision

RIl faut donc rajouter dans l’équation pour l’espèce α un terme de la forme

On doit avoir RR

RPBuEqnuu

t

unm .)()).((

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Equations mono-fluide

On définit /)(et eeeiiieeii umnumnumnmn

On obtient alors:

PBjEuut

u

ut

).(

0) .(

oùeeeiiieeii uqnuqnjqnqn et

La pression P désigne ici la somme des pressions des ions et des électrons calculées avec la déviationentre la vitesse des particules et la vitesse barycentrique du fluide global u (et non la vitesse de chaquefluide pris séparément).

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Et

c 1

Approximations supplémentaires conduisantaux équations de la MHD

Quatre étapes:

1. Lentes variations temporelles: négliger le courant de déplacement

2. Neutralité de charge:

1

c

u hypothèse ]][[][ B

c

uE

0 ei enZen

Mais où

Dans le soleil: 32310 cmne cmL 10102 GB 310

3. Loi d’Ohm: dans le référentiel des ions, les électrons, supposés froids, obéissent à

inertiels termes'''

ece

eee umB

c

uEe

dt

dum

0' eeeeii uenuenuZenj iee uuu '11210

4' cms

Len

cBu

ee

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Négliger l’inertie des électrons (pas de contribution des mouvements de gyration aux courants)

Supposer que le champ magnétique n’a pas de gradient à petite échelle.

EuenjumEe eeece '0'ce

e

m

en

2

4. Passage du référentiel des ions au référentiel du laboratoire

Transformation de Galilée: jj

Transformation de Lorentz: BB

Bc

uEE i

Bc

uB

cB

c

ujE ii

4

1

Equation de Faraday: BBut

B

2

22

4 pe

ccc

est la résistivité.

On a: iuu

D’où:

uL

Rm est le nombre de Reynolds magnétique

Terme de diffusion

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Force exercée sur le fluide:

La force de Lorentz moyenne sur la collection d’ions et d’électrons s’écrit

B

c

uEenB

c

uEZenf e

ei

iL

En utilisant la condition de neutralité:

I

BBBBBBB

BB

c

jfL 84

.8

1

4

1

4

22

Tension magnétique Pression magnétique

Paramètre β: champ du magnétique Energie

plasma du interne Energie

BP

P

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Théorème du champ gelé

Dans le cas où le terme diffusif est négligeable:

0

But

B

udt

dl

A

dl

Flux du champ magnétique à travers la surface A:

)(tA

)( dttA

dntxBdntxBdntxBdndttxBtdtttAdttAdttAdttA

ˆ),(ˆ),(ˆ),(ˆ),()()()()()()(

En utilisant l’équation de divergence nulle : 0. B

dntxBttA

ˆ),()()(

0ˆ),(ˆ),(ˆ),()()(

dntxBdntxBdntxBdttAtA

on obtient

)(ˆ),(ˆ)()( 2dtOdntxBdnt

Bdttdtt

A

dtdBudtdlBudludtBdnBACC

)(.)().(ˆ.et

Donc: 0dt

d

C

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Caractère gelé du champ:

P

Q

Soient P et Q deux éléments de plasma initiallementsitués sur une ligne de champ à l’intersection de deuxsurfaces magnétiques S1 et S2. Le flux magnétique sur ces deux surfaces est nul et le reste. Ces deux surfaces restent donc des surfaces magnétiques et leur intersection reste donc sur une ligne de champ.Le champ est gelé dans le plasma

1S

Autre forme de l’équation d’induction: uBuBDt

DB. .

En combinant avec l’équation de continuité: uBB

Dt

D

.

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Autre démonstration:

1M

2M

B

L

Montrer que si initialement 0)0,()0( trBtL

21MML

alors L reste parallèle à B

Bdt

dL

dt

dBLtrBtL

dt

d )),()((

VLMVMVdt

dL).()()( 12

).().().()( VBVBBVBVdt

dB

0).().().()(

VLBVBLVBLdt

BLd

Nul par hypothèse

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Conservation de l’énergie totale (pression isotrope, MHD idéale):

xdBpu

W 3

22

)812

(

2

2

4. j

cEj

En présence de diffusion, l’effet Joule conduit à

une dissipation d’énergie égale à

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Références:

Solar Magneto-hydrodynamics, E.R. Priest, D. Reidel Publishing Company, 1984

Physique des plasmas (1 et 2), J.L. Delcroix, A. Bers, Savoirs Actuels, InterEditions, CNRS Editions, 1994

Introduction to Plasma Theory, D.R. Nicholson, Krieger Publishing Company, 1992.

Basic Space Plasma Physics, W. Baumjohann et R.A. Treumann, Imperial College Press, 2004.

Principles of magnetohydrodynamics, H. Goedbloed et S. Poedts, CambridgeUniversity Press, 2004

The Physics of Plasmas, TJM Boyd et J.J. Sanderson, CambridgeUniversity Press, 2003

Physique des plasmas, J.M. Rax, Cours License, Master, Dunod, 2005

The Physics of Astrophysics, vol II, Gas Dynamics, F.H. Shu, University Science Books, 1992

Nonlinear magneto-hydrodynamics, D. Biskamp, Cambridge University Press, 1993