DES ANGLES

Les angles des dessins suivants présentent des particularités. Mesure-les et indique ces particularités

Les deux droites sont sécantes en O................................ ............................................................................................................. ............................................................................................................. Deux droites sont parallèles.............................................. ............................................................................................................ ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ABC est un triangle quelconque ; la somme de ses angles est : ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ABC est un triangle particulier ........................................ ............................................................................................................. B C+ = .......................................................................................... .............................................................................................................

DES ANGLES SAILLANTS (Angles dont la mesure est inférieure ou égale à 180 °)

- Angles adjacents

Deux angles sont adjacents s’ils ont le même sommet et si leur seule partie commune est un de leurs côtés.

O

x

y

z

Les angles xO et sont adjacents car : y yOz

Ils ont le même sommet O [Oy) est leur seule partie commune.

xOy yOz xOz+ =

- Angles complémentaires

A

B

Deux angles sont complémentaires si leur somme est égale à 90° A 30= ° B 60= ° A B 30 60 90+ = + = ° Les angles A et B sont complémentaires.

A 1

2

Remarque : Angles adjacents complémentaires

1 2A A 90+ = °

- Angles supplémentaires

A

B

Deux angles sont supplémentaires si leur somme est égale à 180°. A 120= ° B 60= ° A B 120 60 180+ = + = ° Les angles A et B sont supplémentaires.

A

1

2

Remarque : Angles adjacents supplémentaires

1 2A A 180+ = °

- Angles opposés par le sommet Deux droites sécantes définissent des angles opposés par le sommet

A1

2

3

4

Les angles 1A et 3A sont opposés par le sommet A.

Les angles 2A et 4A sont opposés par le sommet A. Ils sont égaux car ils sont symétriques par rapport à A. Deux angles opposés par le sommet sont égaux.

1A A= 3 2 4A A=

- Angles formés par deux droites parallèles et une droite sécante

a) Angles alternes internes Les angles 1A et sont dits « alternes internes » Les droites qui les définissent étant parallèles, ils sont symétriques par rapport au milieu I de [AB]

Ils sont donc égaux De même

1B

2A et 2B sont égaux Deux angles alternes internes sont égaux.

A

B

12

12

I

A

B

12

34b) Angles correspondants

Les angles et 1B 3A sont dits correspondants. Ils sont égaux car :

1B A= 1 (angles alternes internes)

1A A= 3 (angles opposés par le sommet A) (voir le schéma précédent)

De même, les angles 2B et 4A , correspondants, sont égaux Deux angles correspondants sont égaux

c) Inversement, si deux angles, qui occupent une position d’angles alternes internes, sont formés par deux droites parallèles et une sécante, alors ces deux angles sont égaux.

d) De même, si deux angles, qui occupent une position d’angles correspondants, sont formés par deux droites parallèles et une sécante, alors ces deux angles sont égaux.

- Somme des angles d’un triangleA

B C

12

3

x y Par le sommet A, on construit la droite (xy), parallèle au côté[BC] du triangle ABC.

1A B= (angles alternes internes)

3C A= (angles alternes internes) Par conséquent : 2 2 31B AC A x y 18A AA 0+ + = + + = = ° La somme des angles d’un triangle est égale à 180°

- Angles des triangles particuliers A

B

C

a) Le triangle rectangle A B C 180+ + = ° or : A 90= °

donc : B C 90+ = ° Les angles non droits d’un triangle rectangle sont complémentaires.

AB

C

b) Le triangle isocèle Ses angles « à la base » B et C sont égaux car ils sont symétriques par rapport à l’axe de symétrie du triangle ABC.

B C= Les angles à la base d’un triangle isocèle sont égaux. c) Le triangle équilatéral

A

B

C

Ses trois angles sont égaux puisqu’il a trois axes de symétrie. A B C= = Or : leur somme étant égale à 180°,

A B C 180A B C 60

3 3+ +

= = = = = °

Les angles d’un triangle équilatéral sont égaux à 60°.

d) Le triangle rectangle isocèle A

B

C

Ses angles B et sont égaux puisque le triangle ABC est isocèle de base [BC].

C

Ses angles B et sont complémentaires puisque le triangle est aussi rectangle en A.

C

Donc :

B C 90B C 452 2+

= = = = °

Les angles non droits d’un triangle rectangle isocèle mesurent 45°.

- Le triangle inscrit dans un demi-cercle dont un diamètre est un des côtés du triangle.

Le triangle AOB est isocèle car : ; donc :

A

B CO

1 2

OA OB= 1A B=

De même, le triangle AOC est iso : A C=cèle ; donc 2

La somme des angles du triangle ABC s’écrit :

( )

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

A B A C 180+ + + = °

2 A 2 A 180

2 A A 180

180A A2

A A 90

× + × = °

× + = °

°+ =

+ = °

Le triangle ABC est rectangle en A.

EXERCICES 1 ANGLES ET TRIANGLES

- Sur ce dessin, marque d’une couleur identique les angles aigus opposés par un sommet.

- Les droites ∆ et ∆’ sont parallèles. Marque en couleurs les angles aigus égaux.

- Indique d’une couleur identique les angles aigus égaux.

- Construis le triangle ABC sachant que : AB = 5 cm ; Â = 40°; .C = °108

EXERCICES 2

ANGLES (suite) - Mesure les angles du quadrilatère ABCD. Calcule leur somme. Justifie la réponse. (Conseil : Trace une diagonale du quadrilatère...)

............................................................................................................... ............................................................................................................... ............................................................................................................... ............................................................................................................... ............................................................................................................... ............................................................................................................... ............................................................................................................... ...............................................................................................................

- Ce quadrilatère ABCD a deux angles opposés droits Construis le cercle circonscrit au triangle ABD. Que remarques-tu ? (La remarque portera sur le centre de ce cercle et sur la position du point C par rapport à ce cercle) .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... - Construis les bissectrices des deux angles adjacents supplémentaires et . xOy yOz Prouve que ces deux bissectrices sont perpendiculaires.

................................................................................... ................................................................................... ................................................................................... ................................................................................... ................................................................................... ...................................................................................

Devoir 1 NOM Prénom :………………………………………………………. Date :…………………..…………. Cite puis utilise les propriétés te permettant de répondre à chacune des questions suivantes : Indique sur chaque dessin ses particularités.Tu peux employer des couleurs.

- On sait que : 1A 37= ° . Calcule les angles 2A et 3A .

A1

2

3

…………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………..

A

B

12

1 2

∆

∆'

- On sait que ∆ et ∆’ sont parallèles et que 1A 59= ° . Calcule les angles 2A , et 1B 2B . …………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………..

- On sait que le triangle ABC est rectangle en A, que [AH] est perpendiculaire en H à [BC] et que C 36= ° .

Calcule 1A . …………………………………………………………………………………………………………….. A

C BH

1 …………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………..

- On sait que AB et que AC= A 104= ° . Calcule B et C .

AB

C …………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………..

- On sait que la droite (BD) est la bissectrice de l’angle , que ABC 1B 29= ° et que . Calcule . BD DC= A …………………………………………………………………………………………………………….. A

B C

D

12

…………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………..

Devoir 2

- ABC est un triangle équilatéral. Le point D est l’intersection de la droite (AB) et de la perpendiculaire à la droite (BC) menée par le point C. Calcule, en expliquant, tous les angles de ce dessin.

- Deux droites ∆ et ∆’ sont parallèles. Un point A est sur ∆ et deux points B et C appartiennent à ∆’.

1 2B et Ba) Que peux-tu dire des angles ?

b) Quel autre angle est égal à B ?Pourquoi? 1

c) Quel autre angle est égal à C ? Pourquoi? 1

d) Calcule la valeur exacte de la somme . 3 2A C+

DES ANGLES

Il s’agit ici de mesures. Les conclusions ne sont donc que des conjectures

Les angles des dessins suivants présentent des particularités. Mesure-les et indique ces particularités

Les deux droites sont sécantes en O

1O 36= ° 2O 36= °

1O O=

Deux droites sont parallèles

1 2A A 63= = ° 1 2B B 63= = °

3A 117

= ° 3B 117= °

1 1A B= 3 3A B= ABC est un triangle quelconque ; la somme de ses angles est :

A B C 76 70 34 180+ + = ° + ° + ° = °

A B C 180+ + = ° La somme des angles d’un triangle est égale à 180° ABC est un triangle particulier. ABC est un triangle rectangle car A 90= °

B C 35 55 90+ = °+ ° = °

B C 90+ = °

La somme des angles non droits d’un triangle rectangle est égale à 90°

EXERCICES 1 ANGLES ET TRIANGLES

- Sur ce dessin, marque d’une couleur identique les angles aigus opposés par un sommet.

- Les droites ∆ et ∆’ sont parallèles. Marque en couleurs les angles aigus égaux.

- Indique d’une couleur identique les angles aigus égaux.

- Construis le triangle ABC sachant que : AB = 5 cm ; Â = 40°; .C = °108

( ) ( )180 A C 180 40 108B 3= ° − + = ° − ° + ° = °2

5 cm

32°40°A B

C

EXERCICES 2

ANGLES (suite) - Mesure les angles du quadrilatère ABCD. Calcule leur somme. Justifie la réponse. (Conseil : Trace une diagonale du quadrilatère...)

A B C D 119 94 101 45 359+ + + ≈ ° + ° + ° + ° = ° Sans imprécisions dans les mesures, on devrait trouver 360° La somme des angles d’un triangle est égale à 180° :

12

1

2 1 1

2 2

1 2 1 2

A B D 180

C B D 180

A C B B D D 180 180

A B C D 360

+ + = °

+ + = °

+ + + + + = ° +

+ + + = °

I

°

xOy

- Ce quadrilatère ABCD a deux angles opposés droits Construis le cercle circonscrit au triangle ABD. Que remarques-tu ? (La remarque portera sur le centre de ce cercle et sur la position du point C par rapport à ce cercle) Le centre du cercle circonscrit à un triangle est le point d’intersection des médiatrices des côtés de ce triangle. Ce centre, pour le triangle rectangle ABD est le milieu I de son hypoténuse [BD]. Le point C, sommet de l’angle droit d’un autre triangle rectangle de même hypoténuse [BD], est aussi sur ce cercle. Il suffit donc de construire le milieu I de [BD] pour obtenir le centre du cercle circonscrit au quadrilatère ABCD. - Construis les bissectrices des deux angles adjacents supplémentaires et

. yOz Prouve que ces deux bissectrices sont perpendiculaires.

1O O= 2 et 3 4O O=

43

21

Or, 1 2 3 4 18OO O O 0++ =+ °

Donc : ( )3

3

3

2

2

2

2 2 180

2 18

O

0

180 90

O

O

O2

O

O+

+ = °

+ = °

°= = °

Les bissectrices sont perpendiculaires ...........................