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Desgroupestransitifsdeclasse(*>ef(e etfetantpremiersavec5<e<_f)etde degreef+k(ketant<e) . (ParED .MAILLET,aNeuilly) Cesgrouperpeuventcontenirunsous-grouped'ordre,dedegreetde classeef,oun'enpascontenir :nousallonsetudiersuccessivementlesdeuxcas . I . Groupesquicontiennentunsous-grouped'ordre, dedegreetdeclasseaf. Nousetablissonsletheoremesuivantquilourestapplicable . Theoreme.-Soitmunnombreimpairquelconque,kunnombreplus petitquelepluspetitdiviseuradem :ungroupeGtransitif,declassem, dedegrem+k,avec0<k<s,renfermantunsous-groupeMd'ordre,de degreetdeclassem,nepeutexisterquesik ::---2,etm+1=2b . Eneffet,d'abordGestprimitif .Car,s'ilne1'etaitpas,itadmettrait unerepartitiondeseslettresuauensystemesdenon-primitivite,avecu>1 . Soienta,,a2, . . .,al,lesIclettresdeGlaisseesimmobilesparlegroupeM, d'ordre,dedegreetdeclassem ;udiviseram+k<2m,etseraparsuite<m . Alors,Mpermutantexclusivemententreellesleslettresdusystemedont (%)D'apresMM .JORDANetNETTOlaclassed'ungroupeestlenombredelettres minimumquedeplaceunesubstitutiondecegroupedifferentede1'unite ;laclassed'une substitutionestlenombredelettresqu'elleddplace . AnnalidiMatematica,tomoXXV . 29

Des groupes transitifs de classe e f ( e et f étant premiers avec 5 ≤ e ≤ f ) et de degré ef + k ( k étant < e)

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Des groupes transitifs de classe (*> e f (e

et f etant premiers avec 5 < e <_ f) et de

degre e f + k (k etant < e) .

(Par ED. MAILLET, a Neuilly)

Ces grouper peuvent contenir un sous-groupe d'ordre, de degre et declasse e f, ou n'en pas contenir : nous allons etudier successivement les deux cas .

I .

Groupes qui contiennent un sous-groupe d' ordre,de degre et de classe a f.

Nous etablissons le theoreme suivant qui lour est applicable .Theoreme. - Soit m un nombre impair quelconque, k un nombre plus

petit que le plus petit diviseur a de m : un groupe G transitif, de classe m,de degre m + k, avec 0 < k < s, renfermant un sous-groupe M d'ordre, dedegre et de classe m, ne peut exister que si k ::--- 2, et m + 1 = 2b .

En effet, d' abord G est primitif. Car, s'il ne 1'etait pas, it admettraitune repartition de ses lettres u a u en systemes de non-primitivite, avec u > 1 .Soient a,, a2, . . . , al, les Ic lettres de G laissees immobiles par le groupe M,d'ordre, de degre et de classe m ; u divisera m + k < 2 m, et sera par suite < m .Alors, M permutant exclusivement entre elles les lettres du systeme dont

(%) D' apres MM . JORDAN et NETTO la classe d' un groupe est le nombre de lettresminimum que deplace une substitution de ce groupe differente de 1'unite ; la classe d'unesubstitution est le nombre de lettres qu'elle ddplace .

Annali di Matematica, tomo XXV .

29

220

Ma i l l e t : Des groupes transitifs de classe e f

fait partie aj, ce systeme ne pourrait comprondre une des lettres de M sansles comprendre toutes, puisque M est transitif entre m lettres ; dans ce casit faudrait u > m, contrairement a ce qu' on a vu . Les lettres a,, a E , . . ., ak

forment done un certain hombre de systemes, et u divise k ; u divisant k etm + k divise k et m, ce qui est absurde, puisque k < e (*) .

Ceci pose, je dis que, G est k 4- 1 fois transitif.En effet, cette propriete est vraie si k = 1 . Admettons qu' elle le soit

pour les degres m + k' inferieurs a m + k, et montrons qu' elle a lieu pourIe degre m + k (k' ~!t 1, k > 1) .

Soit Ha, le groupe des substitutions de G qui laissent immobile a, parexemple . L'ordre de Ha, est > m, puisque G est primitif, car s'il etait egala m, G admettrait une repartition de ses lettres k a k (**). Des lors, si H,,,,permutait exclusivement entre elles les lettres a 2 , . . ., 17k, ses substitutionsseraient permutables a M, et Ha,, ne renfermerait, comme it est facile de levoir, qu'un seul groupe d'ordre et de degre m, le groupe 1VI lui-meme. Done,en considerant les transformes de Ha, par les substitutions de G, on voit queces transformes sont en nombre m + k, puisque G est primitif, et que chacundes transformes de M par les substitutions do G est commun a k d'entre euxexactement, en sorte que k devrait diviser m + k, par suite m, ce qui estcontraire a l' hypothese k < E.

On en conclut que Ha, contient une substitution permutant aq (i > 1) averune des lettres de M, et M West pas permutable a toutes les substitutionsde Ha , . Soit M' un transforme de M, different de M, par une substitutionde H,,, : M' sera transitif entre m lettres, et d'ordre et de degre m ; parmices m lettres on en aura k , par exemple, comprises parmi les lettres a, 7 . . ., ak,

avee 1 -c k' :!~5 le -- 1 < m, en sorte que M' permutera ces k' lettres aver deslettres de M. Le groupe (M, M') derive de M et de M' sera transitif, dedegre m + k', do elasse m, et renfermera le groupe M d'ordre, de degre, etde classe m. Par hypothese, it sera k' + 1 fois transitif, aver k' + 1 ~ 2,c . a . d . primitif : done, d' apres un theoreme connu (***), G sera k + 1 foistransitif.

( ) Ce raisonnement pout meme servir a montrer qu'un groupe transitif de degrem -;- k, avee k < m, contenant un sous-groupe transitif de degrd m, no peut exister quesi h n'est pas premier a m, ou s'il est primitif.

(*~) Voir par exemple Annales de la Faculte des Sciences de Toulouse, 1895, D . 18 .( k) JORDAN, Journal de Liouville, annee 1871, p. 384 .

e

e ant premiers avec

et do degre e f + k (k etant < e) . 221

theoreme de M. Joa ait quefois transit e pent eet > 3, que si k tE5; 2, et m --i-1--= 2", ce

demontreCe resultat est applicable aux grouper

itifs de c

t e degree f + Tc aver e et f premie - f, renfermant un sous-groupe dedegre, d'ordre et de classe e f : on a forcement k - 2.

Comme example d'un pareil groupe on peut citer un groupe lineaire dedegre 17 et d' ordre 17 . 16. 15, et un groupe lineaire de degre 513, etd'ordre 513. 512. 511 .

Remarque . - Apres avoir etabli que G est primitif, on abregerait lademonstration en s'appuyant sur un theoreme de M . JORDAN (**) .

II.

Groupes qui ne contiennent ucun sous-groupe d' ordre,de degre et de classe a f.

Ces groupes con iendront un sous-groupe M d' ordre r et de degre e f(r etant egal a e on a f) maximum parmi les sous-groupes de degre et declasse e f qu'ils renferment.

Soit G un de ces groupes, d'ordre d degre e f -}- k aver 0 < k < e - fet 5 _._. (***) e f (e f + 1) . . . (e f + k), et, par suite, est divisiblepar r sans 1' titre par r2 , memo si e _-_.= f.

Soient a,, a,, . . ., o7, les k lettres de G non deplacees par M; Hdre Ha,, le groupe des substitutions de G qui laissent a, immobile ; L, d'orle groupe des substitutions de H., permutables a M; K, d'ordre K, le groupedes substitutions de G permutables a M, contenant L .

D'apres un theore

de M. SYLOw (****), on a

L

l . r.

I} . 9-10.(**%*) Math, Ann., t. V, p. 584 .

222

M a i l l e t : Des groupes transitifs de classe o f

De plus, Ha, renferme 1 + n r transforms de M, exactement. Ha, et sestransformes par les substitutions de G en renferment (1 + n r) (e f + k) qui,evidemment, sont identiques k a k, et le nombre des transforms distincts

de M par les substitutions de G est (1 + n r)(ef -}- k) • Donc, d'apres le meme

theoreme de M . SYLOW

G _ (1 } nrk(ef k) K- (e f + k) Ha, r

K=k .L=k .l .r>L.

K deplace «, ; it permute exclusivement entre elles a,, a2,..., ak, puisque sessubstitutions sont permutables a M, et les permute transitivement, puisque le

groupe des substitutions de K laissant a, immobile est d' ordre L = K

Je dis qu'aucune substitution de K ne peut titre echangeable a une de Msans faire partie de M. En effet, une substitution de M deplace r lettres danschacun de ses cycles ; une substitution U qui lui serait echangeable ne pour-rait laisser immobile une des lettres de M sans en laisser r > k, ce qui estimpossible, puisqu'une substitution de G laisse au plus k lettres de M immo-biles. Done, U deplace toutes les lettres de M ; de plus U opere entre ellesune substitution reguliere, sans quoi une de ses puissances, qui serait echan-geable aux substitutions de M, laisserait des lettres de M immobiles, sansd' ailleurs les laisser toutes, puisqu' elle deplace au moins e f lettres avece f > k. Cette substitution reguliere est d'ordre diviseur de e f ; si elle deplacequelques unes des lettres «,, . . ., ak, en l'elevant a la puissance et, on ob-tiendrait une substitution differente de 1' unite, puisque f~ e > k, et qui de-placerait au plus k lettres, tout en faisant partie de G qui est de classe e f,resultat absurde ; si elle ne deplace aucune des lettres a, , . . . , ak, elle engen-drera avee M un groupe contenant un sous-groupe d'ordre e 2 ou e f contrai-rement a ce qu' on a vu ou a l' hypothese, a moins qu'elle ne soit contenuedans M, ce qui montre le resultat annonce .

On en conclut de suite que toute substitution de M a exactement k lItransformees par les substitutions de K (a part ]'unite'), et, en considerantles r - 1 substitutions de M differentes de 1' unite, que

r -1 ~- 0 (mod k l) .

(1)

Nous allons maintenant determiner l .

(e et f e'tant premiers avec 5 :~-5 e :!:-= f) et de degri e f + k (k itant < e) . 223

Prenons dans K un des groupes F les plus generaux parmi ceux dontl'ordre F est premier a r, et qui n'ont avee M aucune substitution commune,et soit

K= F . p.r .

Si un sous-groupe do F etait permutable aux substitutions de K, onsait (*), et l'on volt facilement, F n'ayant avee M aucune substitution com-mune, que les substitutions de ce sous-groupe seraient echangeables a cellesde M, sans faire partie de M, ce que nous avons vu impossible . Des lors,K est holoedriquement isomorphe (**) a un groupe K' de degre p. r, tran-sitif, et oh l' isomorphe F' de F est forme de l' ensemble des substitutionsde K' laissant une meme lettre de K', convenablement choisie, immobile .

Soit o' une substitution d'ordre r de K'

P, _ ((3, 132 . . . Pr) (Y , Y2 . . . Yr ) . . . ,

017 52, . . ., Pr,

Yt, 727 . . . 7 Yr,

etant les lettres de K' qui ne renferme d'autres substitutions d'ordre r que pet ses puissances . Soit aussi I" p, celui des transformes de F' par les substi-tutions de K' qui laisse i3, immobile : une substitution de F'p 1 transforme p'en une de ses puissances, et ne pout laisser /3= (avee i > 1) immobile que sielle est echangeable a p', ce qui est impossible, comme on 1'a vu, a cause de1' isomorphisme de K et de K'. Designant alors par S une substitution de-placant X3, 7 . . ., 13r et transformant la substitution (i3, (32 . . .1r) en une de sespuissances, par T,, T,, . . . des substitutions entre Y, , Y2 , . . ., Y ,les sub-stitutions de Pp. seront de la forme

1, S T, 7 S2 T2j . . ., SF-1 TF_1,

S Rant convenablement choisi, et d'ordre F . Cela resulte en effet facilement,d'une part de ce que Pp, doit permuter exclusivement entre elles (3 2 . . . Pr,et de ce que chacune de ses substitutions deplace ces r -1 lettres et tran-sforme p' en une de ses puissances ; d'autre part do ce que les substitutions

(' ) Voir par exemple Annales de la Faculte des Sciences de Toulouse, 1895, D . 17.(* ) Voir par exemple notre These de Doctorat, p. 12 et 15.

224

Ma i l l e t : Des groupes transitifs de classe e f

entre p 2 , . . ., Ar qui transforment ((3, a2 . . . 13 ) en ses puissances sont les puis-sances d'une meme substitution .

On en conclut que F'p, est holoedriquement isomorphe a un groupe formedes puissances d' une meme substitution, c . a d. est forme des puissancesd' une meme substitution .

Supposons maintenant qu'une substitution de F'p, laisse en meme temps y,par exemple immobile . F'p, et F'Y , auraient une substitution commune dif-ferente de l' unite et echangeable a leurs substitutions, par suite a celles dugroupe (F'p,, F'.,,) derive de ces deux groupes . Ce groupe derive est alorsd'ordre premier a r ; d'apres l'hypothese faite sur F, et en vertu de l'iso-morphisme de F et de F', on a

(F'p,, F'y) = F'p, = F y,

c . a d. que si une substitution de F'p, laisse y, immobile, it en est de memede toutes les substitutions de F'p,, qui deplacent y2 , . . ., y,., d'apres ce quiprecede .

Soit alors p, le nombre des lettres laissees immobiles par une substitutionde F'p, : toutes les substitutions de F'p, laissent ces tt, lettres immobiles etcelles-ci appartiennent a µ, cycles differents de p', en sorte que

Sis > 1, on sait (*) que K' contiendra un groupe 'F' d' ordre µ, F conte-nant F'p, : it en resulte sans peine que K contiendra un groupe 4) d'ordre p, Fcontenant F. D'apres l'hypothese faite sur F, 'F aura des substitutions com-munes aver M, par suite contiendra M : les substitutions de 0' sont permu-tables a F'p,, et celles de 'F a F, en sorte que les substitutions de M sontpermutables a F et celles de F a M. II en resulterait encore (**) que lessubstitutions de F sont echangeables a celles de M, contrairement a ce qu'ona vu. Done u, = 1.

En resume, K' est transitif, de degre p . r, de classe 1s r - 1, et legroupe F'p, des substitutions de K', qui laissent une lettre j3, quelconqueimmobile, est forme des puissances d'une meme substitution .

On sait alors (***) que K' renferme µ r - 1 substitutions deplacant tA rlettres ; parmi ces µ r - 1 substitutions sont comprises les r - 1 substitutions

(*) Voir par exemple Ann. de la Fac. des Se. de Toulouse, D . 18-20 et notre Thesede Doctorat, p. 18.

(**} Voir par exemple Ann. de la Fac. des Se . de Toulouse, D . 17.(***) Voir notre These de Doctoral, p. 49 et suiv.

(e et f slant premiers avec 5 _-!5e-=f) et de degree f + k (k etant < e) . 225

de M', isomorphe de M, qui sont differentes de l'unite, puisqu'elles sont d'or-dre r premier, et regulieres. Je dis qu'on a t~ = I .

En effet, soft p. > 1 : it y a dans K' des substitutions d' ordre premiera r et deplacant p. r lettres ; les substitutions correspondantes de K ne sontcomprises iii dans M, ni dans F, ni dans un de ses transformes par les sub-stitutions de K. On pout done partir d'une d'elles pour former un groupe Edifferent de F et de ses transformes par les substitutions do K, et maximumcomme F parmi les grouper de K dont dordre est premier a r. On voit en-core quo E est forme des puissances d'une meme substitution .

Les transformes de E par K sont differents des transformes de F par K;de plus, si un transforms E, de E avait une substitution autre que 1' unitecommune avec un transforms F, de F, le groupe (E,, F), derive de E, et F,,qui serait > F,, d'apres ce qu'on vient de voir, aurait une substitution com-mune avec M, laquelle serait echangeable a une substitution de F,, ce quin7 a pas lieu . Alors les transformes de F par les substitutions de K renfer-

ment (F-1) u r = K F , 1 substitutions distinetes, et distinctes de 1' unite ;

les transformes de E, d'ordre E, renferment de memo K EE 1 substitutions

distinctes, et distinctes des precedentes et de l'unite : it faudrait done

K FF I+E-E I) <K7

ce qui est absurde, puisque FFI

2' EE 1

1 On en conclut que µ = 1,comme nous l'avions annonce .

Les groupes F et M sont echangeables (*), et le groupe derive (F, M) = Kest d'ordre K= F r ; F ne contient aucune substitution (a part l'unite), lais-sant a la fois a,, a 2 , . . ., ak immobiles, d'apres les hypotheses faites sur G.Les groupes des substitutions operes par K et F entre a,, a2j . . ., ak coinci-dent : soit P ce groupe, d' ordre P = k 1 ; it est transitif et holoedriquementisomorphe a F, par suite forme des puissances d'une meme substitution ; unesubstitution de P laissant a, par exemple immobile est echangeable aux sub-stitutions du groupe transitif P, et par suite laisse a 2 j . . ., a/, immobiles. Done

P=k,

1=1 ;le groupe des substitutions de H a; permutables a M se confond avec M.

(~) D' apres la definition do SERRET, Algdbre superieure, t. II, pag. 283.

226

Maillet : Des groupes transitifs de classe e f

On en conclut immediatement que, si G etait deux fois transitif, Ha, se-rait transitif, et que la quantite designee tout-a-1'heure par l devrait titreegale a Ic - 1, ce qui exige k :fE~ 2 . En tenant compte de ce qui a cite' ditBans le § I, on peut dire

Theoreme I. - Un groupe G transitif, de classe e f (e et f premiers,5 G e =-= f) 7 de degre e f + k (0 < k < e) n'est qu'une fois transitif (*) si k > 2,

Quand k 2, G fait partie des groupes transitifs de degre N et de classeN-1 ou N-2, que nous avons etudies (**). On sait en particulier qu'iln' existe aucun de ces groupes qui soft de classe 4 h + 1, et que, pour lesclasses - 100, G ne peut titre primitif que si m + 1 = 21 .

Supposons k > 2 ; Ha, ne peut se confondre aver M, sans quoi G ad-mettrait (***) une repartition de ses lettres k a k, les lettres a,, a 2 , . . ., akformant un systeme et k diviserait e f + k, par suite e ou f, ce qui est ab-surde. Done Ha,, > M.

Je dis que Ha,, deplace toutes les lettres de G, sauf a, .En effet, supposons que Ha , deplace seulement k,-1 des lettres a,, . . ., ah,

avec k, < k : on salt (****) que G admettra une repartition de ses lettresk - k, + l. a k - k, + 1 . Si le systeme de cette repartition dont fait partie aicontenait quelques-unes des lettres de M, it contiendrait les r lettres d' uncycle d'une substitution de M, car MM fait partie de Jai qui permute exclu-sivement entre elles les lettres de ce systeme . On aurait

k-k,-}-l>r, ou k>r,

contrairement a 1' hypothese. Les lettres a,, . . . . ak forment done un certainnombre de systemes, ainsi que les lettres de M, et k aurait un diviseur com-mun avee e f, ce qui est impossible . Il en resulte k, = k .

Je dis de plus que Ha, permute chacune des k - 1 lettres aakexclusivement avec des lettres deplacees par M .

En effet, on sait (*****) que, si 1' ordre du groupe des substitutions deHa , permutables a M est v r, si v" est le nombre des lettres a2 , . . ., ak que

(*) Une propriete semblable a lieu pour les groupes de classe p, p2 . . . pi et dede-r6 p1 p2 . . . Pi + h ; ou k est > 2 et plus petit que le plus petit des nombres premiersdifferents p1 , P21 . . . , pi.

(' ) These de Doctorat, p . 49-104 et Bull. Soc. Mat., 1897, t. 25, p. 16 .( *'~) Voir par exemple Ann. de la Fac . cries Se. de Toulouse, 1895, D. 18-20 .

(

*) Idem .{

*) Ann. de la Fac. des Se. de Toulouse, 1895, D. 20.

(e et f etant premiers avec 5 - e f) el de degre e f + k (k diant < e) . 227

Hat substitue A a2 , si Hat a 2 est le groupe des substitutions de Ha, qui lais-sent a2 immobile, v' r l' ordre du groupe des substitutions de Ha t a, permuta-bles a M, on a v = v' v" . Or ici v =1, ce qui exige en particulier v" = 1 .

En resume, si k > 2, Ha, est de degre e f + k -1, et permute exclu-sivement avec des lettres de M chacune des k - 1 lettres que M laisse im-mobiles .

Ceci pose, considerons dans Ha, un des groupes minima D parmi ceuxqui contiennent M et sont > M, ce qui est possible, puisque Ha , > M.

D deplace k' des lettres a1, par exemple a2 , . . ., ak,+,, avec k > k' > 0 ;chacune de ces k' lettres est permutee transitivement avec des lettres de Mexclusivement, d'apres ce qui precede ; Tune d'elles aj, par exemple, le seraavec q r lettres de M. Aucune substitution de D ne pout laisser simultane-ment ces q r lettres et aj immobiles sans se reduire A l'unite, en sorte que Dest holoedriquement isomorphe au groupe Da; des substitutions qu' it opereentre elles : de plus, M etant maximum dans D, par hypothese, on sait (*)que D,,, est primitif et d'ordre

Da;=D=r(l +qr),

D etant dordre de D ; q a done la meme valeur pour chacune des let-tres a 2 , . . . , ak,+ , . D.-; appartient aux groupes primitifs de degre N = 1 + q ret de classe N - 1 dont nous avons dejh parle, ce qui impose certaines con-ditions A la valeur de 1 -}- q r . Ainsi it faut 1 + q r = 4 h + 2, et, comme1-}- q r c e f + 1, on en conclut que pour e f < 200, 1 + q r est une puis-sance d' un nombre premier .

Les groupes Da,, D,,,,. Ddk'+i deplacent en tout k' (1 + q r) lettres.Les autres lettres de D sont toutes deplacees par M, s'il y en a : d'64 deuxcas A distinguer

1.er cas . - Il n'y en a pas, c. h d . :

k'(1 +qr)=e f+k',on :

k'qr=e f.

Or k' divise e f et est < k < e : done k' -- 1 . D est primitif et d'ordrer (e f + 1) : it est transitif entre e f + 1 lettres, et d' apres un theoreme deM. JORDAN deja utilise, G serait k fois transitif, ce qui est impossible, d'apresle theoreme I, puisque k > 2. 11 faut done k' q r < e f.

(*) W. DYcx, Math. Ann ., t . XXII, et notre These de Doctorat, p . 18.Annali di Matematica, tomo XXV.

30

228

M a i l l e t : Des groupes transi tifs de classe o f

22rue cas . - Il y en a .Ces lettres sont au nombre de e f- k' q r . Une d' elles sera permutee

transitivement par D avec l r lettres ; aucune substitution do D no pout laissersimultanement immobiles ces A r lettres, puisque k < X r, et les substitutionsoperees entre elles par D forment un groupe D'', de degre A r, transitif, ho-loedriquement isomorphe a D, d' ordre

D'=D=B' .?r, .

B', d'ordre B', etant le groupe des substitutions de D' qui laissent immobileune de ces ),r lettres. Aucune des substitutions de B' ou de ses transformespar D' ne fait partie de M', isomorphe de M dans D', ni des transformesdo M' par D', puisque B' est premier a r .

En considerant successivement toutes les lettres qui font partie dese f - k' q r en question, on obtiendra un certain nombre de groupes D', D',, . . .analogues a D', et

e f-k'qr=r . JA.

(2)Deux circonstances pourront alors se presenter

1 . 0 - 11 pourra se faire qu'une des valeurs B', B',, . . . qui correspon-dent respectivement a D', D'

soit > 1 . Soit par exemple B'> 1 .On a

B'A=1+qr.

D' sera de classe 1 r - t, avec 0 < t -~ k', et de degre A r .Soit ni le nombre des substitutions de B' qui laissent immobiles i des

lettres de D' ; on sait (*) que D' contient

III

na

nclr(1 + 2 + . . . + t

substitutions qui laissent quelques lettres immobiles, avec

n,+n2+ . . .+nt=B'-1 .

D' contient d'ailleurs, d' apres ce qui precede, r -1 D substitutions fai-rsant partie de M' ou de ses transformes par D', et deplagant toutes les let-tres de D' . Done

r r 1D+Xr(1`+~24. . . .+ fit)<D,

(*) JORDAN, J. de Math ., 1872 .

(e et f etant premiers avec 5 --- e _ f) et de degre e f k (k Rant < e). 229

ou, a fortiori

cc qui donne

ou

mais, d' apres (5)

en sorte que

r-1 B'-1<1,

r

t B'

e>k>k'~t>rBB'1 2

Or d'apres la congruence (1), k divine r - 1, ce qui donne k -- r -1 ;d'apres l'hypothese k < e -!5 f, ii faut

r=e,

k=e-1.

(4)

L'un des ordres B', B',, . . . ne pout titre > 1 que si r = e = k + 1 .Supposons done r = e = k + 1 . Si Pon a Ic' = t, D contiendra une sub-

stitution de classe e f deplacant toutes les lettres de D.., D„k,+s et re-guliere, puisque G est de classe e f. Son ordre divise e f et B', et par suiteest egal a f : ses puissances fornient un groupe Q sur lequel on pout rai-sonner comme on 1' a fait sur M. On sera encore conduit a des grouper ana-logues a B', B',, . . . dont les ordres seront tous egaux a 1, d'apres ce quiprecede- on verra tout-a-1' heure que leurs ordres ne peuvent pas non plustitre tous egaux a 1, et par suite que k'> t . L'inegalite (3) deviendra

e-1=k>k'>t>e BB, 1~te

(5)

d'o t

e~t+3> 2-{-3,

(6)et :

e?7.Enfin, d'apres (2)

A f -- k' q ,

B'A=1 +qe_. !!EE (f- k' q) B',

B' 1 + q e- f-k'q'

B'< ea t'

e

1+qee-t >f-k'q'

(3)

(7)

II y aura interet, pour chaque valeur particuliere de e, iA determiner unelimite inferieure de q, d' apres ce que nous avons dit de D et des groupesprimitifs de classe N- 1 et de degre N. Ainsi on Be pourra avoir q = 1que si e + 1 = 2r < f; si e + 1 =;= 2r, it faudra q ~ 2, et :

f5;; 2e+3.

(9)

En resume, 1'un des ordres B', B',, . . . no pout titre > 1 que si 1'on ar=e=k+1,

(4)e

7 ,

(7)

e+1=2r<f, ou f:~:2e+3.

(10)

2.° - Toutes les valeurs B', B', I . . . sontOn a toujours A = 1 + q r, et, d'apr6s (2)

of=k'qr r-(1±gr)r .rp,

p designant le nombre des groupes analogues A D'. On a p > 0, q > 0, et,par suite, r = e, et :

f= k'q±(1 ±qe) y~-1+q(e+k') .

(11)

Mais Ha est de degre m + k - 1 et permute chacune des lettresa 2j . . ., ak avec des lettres de M exclusivement . Chacune des lettres ai nondeplacees par D (i > 1) sera permutee par Ha, avec au moins e (1 + q e)lettres de M; it faut done T = k -1 - k', et

f~tk'q-{-(1±ge)(k-i-k') .

(12)

Les inegalites (11) et (12) montrent, en remarquant que q satisfait auxconditions precedemment indiquees, que 1'on ne pourra avoir f < 2 e + 3que si

q-1,

p =1,

f=k'+e+1,

k-1--k'~1,

par suite :

(13)k=k'-{-2, ou k=k'+1 .

230

Ma i l l e t : Des groupes transitifs de classe e f

ou

ou, d'aprbs (5) et (6) :

ce qui donne

e f>qe(k'-t)-}-ge2-}-e-t,

e f~-ge(e+1)+4,

f>q(e+ 1). (8)

(e et f etant premiers avec 5 t5 e :!5f) et de degre e f + k (k etant < e) . 231

Si k = k' + 2, f= e + k - 1, ce qui est impossible, f etant premier, etk > 1 divisant e -1, d' apres (1) .

Si k = k' + 1, D et

sont tous deux de degre e f + k --1 ; on nepeut avoir D = H,,,, car on en conclurait

G=(e f+k)D=(e f+k)(e+1)e,

et G contenant le sous-groupe designe anterieurement par K, d' ordre k e,k < e devrait diviser e + 1 et e - 1, d' apres (1), ce qui exigerait k --!5 2,contrairement a l'hypothese. Soit done D < Ha, : a,: (i > 1) est permutee parHa, avec au moms e lettres de M, puisqu' elle 1' est deja par D ; mais ellene pourra 1' titre aussi avec les e (e + 1) lettres permutees exclusivement entreelles par D que pour une valeur de i au plus, puisque Htt , permute chacunedes lettres a 2 , . . ., ak avec des lettres de M exclusivement . Done, puisque k>2,it y a au moms une des lettres par exemple a E , que Ha, permuteexclusivement avec e lettres de M. Le groupe forme des substitutionsde Ha , laissant a 2 immobile, est d' ordre

,e+--l >e,puisque

H1>(e+1)e-_ D .

Ha, a2 contient alors un sous-groupe A analogue a D, minimum parmiceux qui contiennent M et sont > M; mais ce groupe A est de degre< e f + k - 1, c . a d. de degre plus petit que celui de H,,,, et le cas excep-tionnel que nous venons d' etudier pour D ne pourra se presenter pour A . Enraisonnant sur L comme nous 1'avons fait sur D, on sera done conduit, soitaux conditions (4), (7) et (10), soft a la condition

f~t 2e+3.

(14)

Nous conclurons, en tenant compte du theoreme I et du § I :Theoreme II. - Un groupe transitif de classe e f (e et f premiers,

5 -- e t!!~ f), de degre e f+ k (avec (0 < k < e), ne peut exister qu'a' Punedes conditions suivantes

1 .° - .k :t-:= 2 ) of=4h+3 ;2.° - . f>e+1=2'' ;3.° - . f=:-2e+3 ;

232

Ma i l l e t : Des groupes transitifs de classe e f

de plus, dans les deux derniers cas, le groupe ne sera qu'une fois transitif etaura son ordre premier a f.

Si en particulier e = f, on a :Corollaire . - Un groupe transitif de classe e2 est de degre eE ou ~!: es + e,

e etant premier impair .

Application aux groupes transitifs des 100 premieres classes .

Si e f

100, it faut e egal a 5 ou 7 .1 .°

.e-5.On a e+1=6 =2r, f~ 13 .De plus, d'apres (7), les quantites B', B',, . . . sont toutes egales a 1. Ap-

pliquant alors (11)

f=k'q+(l-{-5q)p,

p > 0, k -1 - k' p, 3 ~ q ~!t 2, puisque e f--- 100, k = 4 si k > 2, puis-que k divise e - 1= 4.

Pour f=13,, q=2, p=1, k'=1, k-1-k'=2>9=1, ce quiimplique contradiction .

Pour f= 17, q = 2, T = 1, k" = 3 = k -1 : D et Ha, seraient tonsdeux de degre e f + k- 1, et un raisonnement fait precedemment montreque Ham , contiendrait un sous-groupe A, analogue a D, mais de degre

e f -{- k -1, ce qui conduit a une contradiction .Pour f = 19, q = 2 exigerait T=1, k' = 4, ce qui est impossible,

puisque k' k -1 ==3 ; q=3 donne ?=I, k' = l, k-1-V= 2>p=1,ce qui implique contradiction .

2.° - .e= 7 .On a e+1= 8 = 23 . Nous savons qu' alors l' hypothese B'= B', _ . . . = 1

conduit a la condition f :~t 2 e + 3 = 17, e f > 100, a moms qu'on ne puissetrouver dans Ha,, un groupe analogue a D pour lequel les quantites analo-gues a B', B',, . . . ne soient pas toutes gales a i.

Supposant done qu' a priori on ait pris pour D ce groupe et que B'> 1,les conditions (8) et e fG 100 donnent q = 1 . De plus (5) et (6) donnent

(e et f etant premiers avec 5 :--- e :~=- f) et de degre e f + k (k etant < e). 233

k'==5= k-1 7 t = 4 7 . BB, B' = 2 , et d' apres (2) oti 1' on rem-

place r par ef=5+ .1l.

(15)

Ce qui precede montre d' ailleurs que si, par exemple B', > 1, it fautB', = 2, et, d' apres B'i X_ = 8, que les quantites A sont toutes egales a 4ou 8, Tune d'elles etant egale a 4, a cause de B' = 2 . Mais e f- 100 donnef egal a 11 ou 13, et, par suite, it y a dans (15) au plus deux quantites A,dont une egale a 4, 1' autre egale a 4 ou a 8. Ceci exige immediatement

f=13,

1=4,

a,=4,

B'=B',=2.Dans ce cas on ne peut avoir Ha, = D, sans quoi

G = (e f+ k) (e +1)e=97 .8 .7,

et k = 6 devrait diviser G, a cause de 1'existence du groupe K, ce qui n'apas lieu. Soit done Ha, > D.

D est de meme degre que He,, puisque k' = k - 1 = 5 ; it permute cha-cune des lettres aa, avec e = 7 Iettres de M exclusivement, et permuteexclusivement entre elles les 28 lettres de chacun des deux groupes D', D',,correspondant a B', B', . Ha, permutant cbacune des lettres a 2 , . . ., a, avecdes lettres de M exclusivement, it y en aura au moins 3 permutees par H a ,chacune avec 7 lettres de M seulement : soit a, Tune d'elles. Le groupe H,,,a,

des substitutions de Ha, laissant a, immobile est alors d'ordre 8a' > 7, etcontient un sous-groupe 0' analogue a D, mais pour lequel la quantite k'est :!5 4.

Les quantites qui pour A' sont analogues a B', B',, . . . seront ici toutesegales a 1, sans quoi on trouverait, en raisonnant comme sur D, k' = 5.Mais, puisque f < 2 e + 3, (13) doit avoir lieu et f = k' + e + 1 :!!5 12, ce quiest contradictoire .

Nous pouvons done conclure :Theoreme III. - Les groupes transitifs de classe e fG 100 (e et f pre-

miers, 5 -= e ..!!5 f) sont de degre e f + k, avec k ::!5 2, ou k ~t e .Corollaire . - Ceux de ces groupes qui soot primitifs soot de degre

~!t et+e.Car it suffit de tenir compte des resultats que nous avons obtenus pour

les groupes primitifs de degre N et de classe N - 1 on N - 2.

234

Ma i l l e t : Des groupes transitifs de classe e f, etc .

D'autre part, on connalt (*) l'existence d'un groupe primitif au moins declasse e f et de degre e f -1- e pour les 100 premieres classes, a savoir tin

groupe primitif de classe 55, de degre 60, d'ordre 60 2 , derive de 1'isomorpheregulier du groupe alterne de 5 elements, et de son conjoint. Neanmoins,ainsi que nous le montrerons ulterieurement, ces raisonnements sont suscepti-bles d' extensions quand on no considere que des groupes renfermant unesubstitution d'ordre f a e cycles, avec f > e .

Neuilly-sur-Marue, 17 avril 1897.

(1 Voir par ex. notre These de Doctorat, p . 35 .