Dessin+géométrique

I.E.S. Río Verde Sección bilingüe en francés

DESSIN GÉOMÉTRIQUE1.- TRAÇAGES GÉOMÉTRIQUES DE BASE.Les traçages géométriques de base, réalisés à la règle et au compas, sont très importants pour la

réalisation de dessins plus complexes.

Traçages de droites parallèles et perpendiculaires.

Deux droites sont parallèles quand elles n'arrivent jamais à se croiser et elles sont

perpendiculaires quand elles se coupent en formant des angles droits.

La parallèle à la droite (AB) passant par un point C se construit à l'aide de la propriété de la droite

des milieux. On construit le point C1 symétrique du point C par rapport à A puis le point C2

symétrique du point C1 par rapport à B. la droite recherchée est la droite (CC2).

La perpendiculaire à la droite (AB) passant par un point C non situé sur (AB) est la droite (CC')

reliant le point C à son symétrique par rapport à la droite (AB). Si le point C est situé sur (AB), il

suffit de prendre le symétrique A' (ou B') du point A (ou du point B) par rapport à C, la

perpendiculaire est alors la médiatrice de [AA'] (ou de [BB'])

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Traçages avec des angles.

2.- CONSTRUCTION DE POLYGONES RÉGULIERS DEPUIS UN CÔTÉ

CONNU.Un polygone régulier est celui qui a tous ses côtés et ses angles égaux. On le nomme d'après son

nombre de côtés: triangle (3), carré (4), pentagone (5), etc.

Méthode générale pour la construction d'un polygone régulier depuis un rayon.

1.- On dessine un cercle de rayon r et on trace un diamètre AT. Depuis A et T on trace, avec la

mesure de AT, deux arcs qui se coupent en S. En appliquant le théorème de Thalès, on divise le

diamètre en autant de parties que le nombre de côtés du polygone à construire.

2.- On relie le point S à la deuxième division et on prolonge la droite jusqu'à couper le cercle en un

point B. Le segment AB est la mesure du côté du polygone recherché; en traçant des arcs

consécutifs depuis A, on obtient les sommets de la figure.

La construction d'un pentagone régulier à la règle et au compas est une des premières

constructions (après le triangle équilatéral et le carré) non triviale réalisable grâce aux axiomes

d'Euclide. La construction exacte d'un pentagone régulier fait intervenir le nombre d'or et surtout

son pendant géométrique : le triangle d'or. Euclide propose une construction d'un pentagone régulier

inscrit dans un cercle donné. Mais d'autres méthodes de construction plus rapides existent, certaines

sont exposées ci-dessous.

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Construction selon Euclide

Euclide construit un pentagone régulier (équilatéral et équiangle) inscrit dans un cercle. Son

élément de base est le triangle d'or : un triangle isocèle dont les angles avec la base sont le double

de l'angle du sommet (ainsi, l'angle du sommet est le 5e de l'angle plat). 180/5=36

Construction du triangle d'or

Dans la figure ci-contre, I est le milieu de [AC], AC = AB, IB = ID, AD = AE = BF. Euclide

démontre que le triangle ABF est un triangle d'or en utilisant des propriétés assez longues

• AE² = BA × BE

• Puissance d'un point par rapport au cercle circonscrit à AEF

• Théorème de l'angle inscrit dans ce même cercle.

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Construction du pentagone

Euclide prouve qu'il peut construire un triangle d'or dans un cercle.

1. À partir du triangle d'or OA'C, on construit le triangle d'or CDA grâce à l'arc de cercle de

centre A' et de rayon A'C

2. En prenant les bissectrices des angles C et D et en les prolongeant jusqu'au cercle, on obtient

les deux sommets B et E manquants.

Pentagone inscrit dans un cercle

On peut grandement simplifier la construction d'Euclide en conservant le même principe :

construire des triangles d'or ou d'argent.

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1. Tracer un cercle Γ de centre O et de rayon R (unité quelconque)

2. Tracer 2 diamètres perpendiculaires

• les jonctions à Γ formant les points A, B, C, D

• A étant diamétralement opposé à C

• B étant diamétralement opposé à D

3. Tracer un cercle Γ ' de diamètre [OA] (rayon R' = R/2) et de centre I

• Γ ' passe donc par O et A

4. Tracer une droite (d) passant par B et I

• (d) intercepte Γ ' en E et F (E est le plus proche de B)

5. Tracer 2 (arc de) cercles Γ1 et Γ2 de centre B et de rayons (respectivement) BE et BF

• Γ1 et Γ2 interceptent Γ en 4 pts (D1, D2, D3, D4)

D, D1, D2, D3, D4 forment un pentagone régulier

En effet, on vérifie que BOD2 est un triangle d'or, BOD1 un triangle d'argent (leurs bases valent

respectivement et alors que leurs côtés valent R).

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Pentagone dans un cercle dont le rayon n'est pas l'unité

1. On utilise un repère orthonormé (OIJ) (Constructible puisque l'on sait construire un angle

droit et reporter une longueur!)

2. On place le point A(-1/2,0) et on trace le cercle bleu de centre A passant par J. Ce cercle

coupe l'axe des abscisses en deux points, soit B le point d'abscisse positive

3. On trace le cercle vert de centre O passant par J

4. Soit C le milieu de [OB]. La parallèle à l'axe des ordonnées passant par C coupe le cercle

vert en un point D.

5. Avec le compas on reporte successivement la longueur ID sur le cercle vert

6. On obtient ainsi le pentagone rouge

Démonstration :

Montrons que OC = cos(2π / 5)= .

Le Théorème de Pythagore dans le triangle AOJ donne AJ2 = (1/2)2 + 12.

Or AB = AJ (rayons du cercle bleu) et OB = AB - AO. D'où OB = AJ -(1/2), soit OB =

, d'où le résultat puisque OC = 1/2 OB.

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Pentagone inscrit dans un cercle inscrit dans un carré.

1. Tracer un carré ABCD. Placer E milieu de [CD].

2. Tracer le cercle Γ de centre O et de rayon OE inscrit dans ce carré.

3. Placer T le point de la demi-droite [DC) tel que: ET=EB.

4. Placer I le milieu de [DT].

5. Tracer le triangle OHE isocèle en H tel que: OH=DI. La droite (OH) coupe le cercle Γ en M.

6. La distance EM est la longueur des côtés du pentagone inscrit dans Γ .

Démonstration : Si on appelle r le rayon du cercle inscrit, on peut démontrer grâce au théorème de

Pythagore que . D'où il vient que où

est le nombre d'or. Le triangle OEH est alors un triangle d'or et l'angle EOM vaut donc 72° (angle

au centre dans un pentagone régulier).

4.- POLYGONES ÉTOILÉS ET SPIRALES.

Polygones étoilés.

En géométrie, la stellation est un procédé de construction de nouveaux polygones (en deux

dimensions), de nouveaux polyèdres (en trois dimensions), ou, en général, de nouveaux polytopes

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en n dimensions. Le procédé consiste à étendre des éléments tels que les arêtes ou les faces planes,

généralement de manière symétrique, jusqu'à ce que chacun d'entre eux se rejoignent de nouveau.

La nouvelle figure est une stellation de l'original.

Une stellation d'un polygone régulier est un polygone étoilé ou un polygone composé.

Il peut être représenté par le symbole {n/m}, où n est le nombre de sommets, et m, le pas utilisé dans

la séquence des arêtes autour de lui. Si m est égal à un, c'est une stellation zéro, et un polygone

régulier {n}. Et donc, la (m-1)ère stellation est {n/m}.

Un polygone composé apparaît si n et m ont un diviseur commun, et la stellation entière requiert de

multiples chemins cycliques pour le compléter. Par exemple, un hexagramme {6/2} est fait par 2

triangles {3}, et {10/4} est fait par 2 pentagrammes {5/2}.

Un n-gone régulier possède (n-4)/2 stellations si n est pair, et (n-3)/2 stellations si n est impair.

Le pentagramme, {5/2}, est la seule

stellation d'un pentagoneL'hexagramme, {6/2}, la stellation d'un hexagone et

un composé de deux triangles.

Spirales

En mathématiques, une spirale est une courbe qui commence en un point central puis s'en éloigne

de plus en plus, en même temps qu'elle tourne autour.

Le terme spirale se réfère en général à une courbe plane. Lorsqu'une spirale se développe en trois

dimensions, on parle plutôt d'hélice .

Construction.

Un procédé simple permet de tracer d'un mouvement continu une spirale relativement régulière, par

exemple pour la décoration des jardins : Il suffit d'enrouler une corde attaché à un piquet planté au 8


centre désigné de la spirale. En déroulant ensuite le cordeau autour du piquet en le gardant tendu,

une pointe maintenue verticale et attachée au bout de ce cordeau permet de tracer au sol une spirale

au fur à mesure que le cordeau se déroule. Dans ce procédé, les spires de la ligne tracée sont

évidemment d'autant plus écartées que le piquet central est gros. On obtient l’agrandissement du

cercle qui forme peu à peu une spirale en s’en éloignant.

Construction d'une fausse spirale (ou spirale approximative) sur une feuille de

papier

Avec un compas et une règle :

1. Tracer une droite qui partage la feuille en deux parties égales.

2. Placer deux points A1 et A2 sur la droite aux environs du centre de la feuille. La distance

entre le point A1 et le point A2 définit la taille de la courbe. Plus cette distance est courte,

plus la spirale sera resserrée.

3. Piquer le compas sur le point A1. L'écarter de la distance A1A2.

4. Tracer le demi-cercle d'origine A2. Noter A3 le point issu de l'intersection entre le demi-

cercle et notre droite.







9. etc.

Le résultat est une spirale construite à partir de demi-cercles dont le rayon s’éloigne de la distance

A1A2 à chaque fois.

Plusieurs variantes sont possibles et combinables :

• le rayon de chaque demi-cercle n'est pas augmenté par une valeur constante, mais double ;

• tracer des quarts de cercles au lieu de demi-cercles (ce qui nécessite deux droites

perpendiculaires). Ou des tiers de cercles, avec un triangle équilatéral qui détermine trois

demi-droites. 9


5.- OVALES ET OVOÏDES

Dans le sens étymologique, un ovale est une forme d'œuf. En mathématiques, et plus

particulièrement en géométrie, le terme « ovale » désigne une courbe plane fermée possédant deux

axes de symétrie perpendiculaires.

La forme oblongue d'un stade (un rectangle avec deux demi-cercles), l'ellipse, mais aussi le carré

sont des ovales.

L'adjectif est « ovale ». Dans le terme « ballon ovale » qui désigne le ballon de certains sports

comme le rugby ou le football américain, ovale est à prendre dans son sens populaire et non

mathématique puisque le ballon est un volume et non une figure plane (la section étant néanmoins

une ellipse et donc un ovale).

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En mathématiques, un ovoïde est une surface de classe C1, délimitant un domaine convexe et

relativement compact de R3. Son nom vient du fait que cette surface évoque l'œuf.

L'ovoïde ne possède qu'un seul axe de symétrie. Il peut être défini par l'équation cartésienne

suivante :

La valeur de k influence l'arrondi observé à l'extrémité. L'ovoïde de Kepler est une surface de

révolution autour de l'axe z, dont l'équation est :

6.- Les tangences.

On dit que deux éléments géométriques sont tangents quand ils ont un point commun. Les

tangences sont des traçages qui relient des lignes, des courbes ou des droites de façon à ce qu'elles

semblent être une ligne continue.

Pour commencer à étudier les tangences il faut tenir compte de ces propriétés:

–Le point de tangence de deux circonférences est situé sur la droite qui unit leurs centres.

–La droite tangente à une circonférence est perpendiculaire au rayon qui touche le point de

tangence.

Exemple : tangente au cercle

La tangente est perpendiculaire au rayon

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Construction à la règle et au compas de la tangente [DC] au cercle de centre O et de rayon [OA].

En chacun de ses points le cercle admet une tangente. La tangente en M est la droite passant par M

et qui est perpendiculaire au rayon issu de M.

Les tangentes au cercle de centre O et de rayon R sont les droites situées à la distance R du point O.

Ce sont aussi les droites qui coupent le cercle en exactement un point, mais il s'agit d'une propriété

particulière au cercle.

7.- LES COURBES CONIQUES.

La surface conique de révolution est générée quand une droite g appelée génératrice tourne

autour d'une autre droite e qu'elle coupe. La droite e est l'axe de la surface.

On appelle courbes coniques les figures qui résultent de l'intersection d'un plan avec une surface

conique de révolution. La position du plan de coupure par rapport à l'axe de symétrie de la surface

conique détermine le type de courbe: circonférence, ellipse, parabole et hyperbole.

Dans la vie courante, l’ellipse est la forme qu'on perçoit en regardant un cercle en perspective, ou la

figure formée par l’ombre d'un disque sur une surface plane.

On retrouve aussi, en première approximation , des ellipses dans les trajectoires des corps célestes

(planètes, comètes ou satellites artificiels) en orbite autour d'une étoile ou d’une autre planète.

Ainsi, la Terre parcourt-elle, en première approximation, une ellipse dont le Soleil est un foyer.

En mathématiques, une ellipse est une courbe plane fermée obtenue par la projection d’un cercle sur 12


un plan - à condition que la direction de la projection ne soit pas parallèle au plan du cercle - , ou

par l'intersection d’un cône droit avec un plan. Il faut alors que le plan ne soit pas trop penché c'est-

à-dire que l'angle entre la normale au plan et l'axe du cône soit inférieur au complémentaire de

l'angle du cône (angle entre l'axe de cône et une directrice). Le cercle est considéré comme un cas

particulier d’ellipse.

La parabole est l'intersection d'un plan avec un cône lorsque le plan est parallèle à l'une des

génératrices du cône. Elle est un type de courbe dont les nombreuses propriétés géométriques ont

intéressé les mathématiciens dès l'Antiquité et ont reçu des applications techniques variées.

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En mathématiques, une hyperbole est une figure géométrique de la famille des coniques

caractérisée par une excentricité supérieure à 1.

On obtient une hyperbole en prenant l'intersection d'un cône de révolution et d'un plan, le plan

interceptant les deux branches du cône. Une hyperbole est constituée de deux branches disjointes.

Bien que l'illustration ci-contre montre un plan vertical, tout angle plus faible que celui des

génératrices du cône est acceptable.

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