CFD

DESS Modelisation et Simulation en MecaniqueUniversite Claude Bernard Lyon 1

Rapport de fin d’etude :

Simulations numeriques du mecanisme de fusion detourbillons de sillage dans le champ proche etendu.

Maıtre de stage : MOET Henri

Stagiaire : NYBELEN laurent

Octobre 2004

Reference CERFACS : WN/CFD/04/101

Remerciements

Je souhaiterais tout d’abord remercier Henri Moet qui m’a encadre tout au long de ce stage,pour ses conseils et sa confiance ainsi que pour tout ce qu’il m’a appris.

Je remercie Thierry Poinsot et Guilhem Chevalier de m’avoir accueilli au sein de l’equipeCFD du CERFACS.

Je tiens egalement a remercier Marc Saudreau et Roberto Paoli, pour leur disponilite et leursconseils.

Merci a tous les stagiaires, doctorants, post-doctorants et permanents pour leur disponibiliteet leur aide.

Table des matieres

Introduction 7

1 Equations du mouvement,

outil de calcul et modelisation 9

1.1 Les equations de Navier-Stokes sous forme conservative . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Modelisation des ecoulements a nombre de Reynolds eleve . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Le modele de Fonction de Structure Filtree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4 Le code NTMIX3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4.1 Adimensionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4.2 Discretisation spatiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4.3 Integration temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Mecanisme de fusion bidimensionnel d’un dipole de tourbillons symetriques

et co-rotatifs 21

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Hypotheses de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.1 Configuration, modele de tourbillon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.2 Initialisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3 Vers un dipole adapte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.1 L’excentricite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.2 Une adaptation non-visqueuse rapide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4 Le processus de fusion des tourbillons co-rotatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4.1 Dynamique globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4.2 Evolution des parametres principaux du processus de fusion . . . . . . . . 36

5

2.5 Conclusion de l’etude bidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3 Fusion tridimensionnelle, instabilites de courtes longueurs d’ondes 45

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2 Hypotheses de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3 Dynamique de l’ecoulement tridimensionnel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.4 Analyse spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.5 Resultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Conclusion 57

Bibliographie 60

6

Introduction

Ce projet de fin d’etude a ete realise au CERFACS (Centre Europeen de Recherche et deFormation Avancee en Calcul Scientifique) dans le domaine de la dynamique des fluides. LeCERFACS est une societe civile fondee en 1987 par l’Aerospatiale, le CNES, EDF et MeteoFrance. Ce centre est reconnu internationalement dans le domaine du calcul scientifique a hautesperformances. Il est constitue de cinq equipes de recherche dans les secteurs suivants :

– Climatologie et Changement Global,– Traitement du Signal,– Electromagnetisme,– Algorithmique et Calcul Parallele,– Mecanique des Fluides Numerique (CFD).

Cette derniere equipe est elle-meme divisee en deux poles de recherche : la combustion etl’aerodynamique. Ce stage a ete effectue au sein de l’equipe CFD (Computational Fluid Dyna-mics) aerodynamique.

Le sillage d’un avion de transport est compose de tourbillons intenses inherents a la generationde portance par l’avion, dont la duree de vie peut etre de plusieurs minutes si les conditions at-mospheriques sont defavorables (peu de turbulence). En fonction des caracteristiques de l’aviongenerant le sillage, ces tourbillons peuvent representer un reel danger pour un avion suiveur.Il peut se traduire par un fort moment de roulis entraınant la perte eventuelle du controle del’avion. Ceci est vrai, aussi bien en vol de croisiere que pendant les phases de decollage et d’at-terrissage. Afin d’eviter les accidents, les autorites aeroportuaires imposent des temps d’attenteaux avions entre les decollages ou les atterrissages successifs. Ces temps limitent la capacite desaeroports alors que le trafic aerien augmente. Le probleme des tourbillons de sillage est avant toutd’ordre economique et securitaire. Les industriels sont donc interesses par tout developpementqui permettrait de maıtriser ou meme de controler, les sillages emis par les avions de transport.Il s’avere necessaire de connaıtre la dynamique des ecoulements de sillage avant de considerertoute solution au probleme.

Cette etude se restreint a une partie du sillage, appelee champ proche etendu. Il s’etendsur une distance avale de l’ordre de l’envergure de l’aile. Dans ce champ, la nappe tourbillon-naire emise aux bords de fuite des surfaces portantes s’enroule autour des vortex principauxqui sont generes en bout d’aile et de volet (discontinuites des surfaces portantes). Deux pairesde vortex co-rotatifs (meme sens de rotation) tres concentres constituent alors le sillage. Cesdeux systemes tourbillonnaires gouvernent la dynamique de l’ecoulement dans le champ procheetendu. Les tourbillons co-rotatifs de chaque paire fusionnent.

7

De nombreuses etudes experimentales ([1, 11, 13, 15, 18, 22]) et numeriques ([7, 10, 15]) ontete menees sur ce phenomene de fusion de deux vortex co-rotatifs. Cette fusion contribue a lastructure du sillage qui est par la suite potentiellement dangereux, d’ou l’importance de l’etudedans cette region du sillage. Apres la fusion des tourbillons de chaque paire, le sillage est com-pose generalement d’une unique paire de tourbillons contra-rotatifs qui peut persister plusieursminutes dans l’atmosphere avant sa degenerescence. Ce sont ces tourbillons qui representent undanger pour les autres avions.

L’objectif de ce stage est d’etudier la dynamique de l’ecoulement dans le champ proche etenduen utilisant un modele de tourbillon elabore par Fabre et Jacquin ([8]), adapte a l’etude destourbillons de sillage ([4, 11]). Les interactions bidimensionnelles et tridimensionnelles de deuxvortex co-rotatifs symetriques (meme circulation et meme taille) representent une simplificationde l’ecoulement dans le champ proche etendu. La prise en compte de ce type de dipole detourbillons permet toutefois de bien caracteriser le processus de fusion qui a lieu dans cettepartie du sillage.

Ce rapport se decompose en trois chapitres. Dans un premier temps les equations de lamecanique des fluides sont presentees, ainsi que les elements necessaires a la simulation desecoulements a grand nombre de Reynolds. Une breve description du code utilise NTMIX3D(interne au CERFACS) est faite a la fin de ce premier chapitre. Le second chapitre concerne lephenomene de fusion dans le cadre bidimensionnel et la definition des configurations simulees(modeles de tourbillons, parametres caracteristiques de l’ecoulement). Enfin, le dernier chapitretraite du developpement des instabilites de courtes longueurs d’ondes dans les deux vortex co-rotatifs, qui peut etre a l’origine de leur fusion.

8

Chapitre 1

Equations du mouvement,

outil de calcul et modelisation

1.1 Les equations de Navier-Stokes sous forme conservative

Les ecoulements des fluides sont regis par les equations de Navier-Stokes compressibles ins-tationnaires qui expriment la conservation de la masse, de la quantite de mouvement et del’energie. Dans un repere cartesien de coordonnees (x, y, z) en considerant qu’il n’y a pas deforce volumique exterieure ou de source de chaleur externe, elles s’ecrivent de maniere generale :

∂U

∂t+∂(fc − fv)

∂x+∂(gc − gv)

∂y+∂(hc − hv)

∂z= 0 (1.1)

Les variables sont la masse volumique du fluide ρ, le champ de vitesse (u, v, w), et l’energietotale et. La pression est notee p. Dans l’equation (Eq. 1.1), U, fc, fv, gc, gv, hc et hv sont desvecteurs colonnes ou U represente le vecteur d’etat :

U =

ρρuρvρwρet

(1.2)

Les termes de flux convectif (fc, gc, hc) sont tels que :

fc =

ρuρu2 + pρuvρuw

u(ρet + p)

, gc =

ρvρvu

ρv2 + pρvw

v(ρet + p)

, hc =

ρwρwuρwv

ρw2 + pw(ρet + p)

(1.3)

9

et les termes de flux visqueux (fv, gv, hv) tels que :

fv =

0τxxτxyτxz

ujτxj − qx

, gv =

0τyxτyyτyz

ujτyj − qy

, hv =

0τzxτzyτzz

ujτzj − qz

(1.4)

ou τij est le tenseur des contraintes visqueuses et qi les composantes du vecteur flux de chaleur((i, j = 1, 2, 3) correspondant respectivement aux trois directions de l’espace (x, y, z)).Le fluide est suppose avoir un comportement newtonien, la partie visqueuse du tenseur des

contraintes ne depend que du tenseur des vitesses de deformation S telle que :

S =1

2(grad(~u) + (grad(~u))t) (1.5)

τ = 2µS + λdiv(~u)I (1.6)

ou µ et λ sont les deux coefficients de viscosite du fluide, analogues a ceux de Lame en elasticite

lineaire, appeles respectivement la viscosite dynamique et le second coefficient de viscosite, et Iest le tenseur unite d’ordre deux.L’hypothese de Stokes (egalite entre la pression mecanique et thermodynamique) implique :

2µ+ 3λ = 0 (1.7)

Pour un fluide en equilibre thermodynamique local, le tenseur des containtes visqueuses s’ecritalors :

τ = 2µS − 2

3µdiv(~u)I (1.8)

Le transfert thermique considere est principalement de type conductif, l’expression du vecteurflux de chaleur ~q est donnee par la loi de Fourier :

~q = −k ~grad(T ) (1.9)

ou T est la temperature, et k le coefficient de conductivite thermique.La relation qui lie la viscosite du fluide µ a la temperature est la loi de Sutherland :

µ

µ0=

(T

T0

) 32 T0 + C

T + C(1.10)

ou µ0 est la viscosite a la temperature de reference T0, et C une constante egale a 110.3K pourl’air.Le nombre de Prandtl Pr etant suppose constant (pour l’air Pr = 0.72), la valeur de k en estdeduite :

k =µcpPr

(1.11)

ou cp est le coefficient de chaleur specifique a pression constante, defini pour un gaz parfait par :

cp = γcv =γR

γ − 1, cv =

R

γ − 1(1.12)

10

avec cv le coefficient de chaleur specifique a volume constant, R = 287J/kgK la constante desgaz parfaits et γ le rapport des coefficients de chaleur specifique.L’equation d’etat qui relie la pression aux autres variables thermodynamiques est :

p = ρRT (1.13)

L’energie interne e s’ecrit :

e = cvT =1

γ − 1

p

ρ(1.14)

L’energie totale et est reliee a l’energie interne par :

et = e+1

2(u2 + v2 + w2) (1.15)

Cette equation permet de fermer le systeme de Navier-Stokes.

D’un point de vue numerique, differentes approches existent afin de simuler les ecoulementsen resolvant ce systeme, seules celles utilisees sont presentees dans ce rapport.L’approche DNS (Direct Numerical Simulation) permet de resoudre numeriquement les equa-tions de Navier-Stokes discretisees, en calculant la totalite des echelles typiques de l’ecoulementetudie. La difficulte de la methode provient du calcul du champ turbulent, qui est tridimensionel,instationnaire, d’apparence aleatoire et qui fait apparaıtre de multiples echelles en temps et enespace. Il faut donc un nombre de points suffisant pour toutes les capturer, or il varie avec lenombre de Reynolds (base sur l’echelle des grands tourbillons qui portent l’essentiel de l’energiecinetique) (section 1.2). En raison de la puissance de calcul et de la capacite memoire descalculateurs actuels, le choix des ecoulements a simuler avec cette approche est limite a desnombres de Reynolds faibles. Toutefois, la methode de simulations des grandes echelles LES(Large Eddy Simulation) est une alternative a cette approche pour le calcul a haut Reynolds.Elle resoud les grandes echelles spatiales du champ turbulent et modelise les petites echelles.Cette modelisation est l’enjeu de tres nombreuses recherches en CFD (Computationnal FluidsDynamics) de nos jours.

1.2 Modelisation des ecoulements a nombre de Reynolds eleve

Pour un ecoulement turbulent, les echelles caracteristiques du mouvement s’etendent des plusgrandes de taille l, par exemple les grands tourbillons energetiques du sillage, jusqu’aux pluspetites carcaterisees par l’echelle de dissipation de Kolmogorov η = (ν3/ε)1/3 (ou ε est le tauxde dissipation de l’energie cinetique turbulente). La longueur l peut etre reliee a son echelle devitesse caracteristique u par u ∼ (εl)1/3, d’ou le rapport caracteristique entre les echelles l et η :

l

η∼(ul

ν

)3/4= Rel

3/4 (1.16)

ou Rel est le nombre de Reynolds base sur les plus grandes structures de l’ecoulement.Le nombre de points necessaire a la resolution de la totalite des echelles spatiales varie avec Rel

11

comme :

(l

η

)3∼ Rel

9/4 (1.17)

C’est pourquoi l’approche DNS ne peut etre utilisee que pour de faibles nombres de Reynolds.L’utilisation de l’approche de simulation des grandes echelles ou LES (Large Eddy Simulation)s’avere donc necessaire pour des simulations d’ecoulements instationnaires realistes pour lesquelsle nombre de Reynolds est de l’ordre de Rel = O(107) dans les sillages.

Toute discretisation spatiale d’un domaine de calcul impose un filtrage implicite des modessimules dans l’espace spectral. En effet, la taille finie du domaine L lui-meme implique que lesmodes de longueur d’onde superieure a L ne sont pas simules. De plus, le pas d’espace d’unmaillage uniforme ∆ induit une longueur d’onde de coupure λc = 2∆ (d’apres le theoreme deNyquist), correspondant au nombre d’onde kc = 2π/λc = π/∆, les modes de longueurs d’ondeinferieures a λc ne sont egalement pas simules.

La simulation des grandes echelles ou LES (Large Eddy Simulation), consiste a ne simuler queles structures les plus energetiques de l’ecoulement, correspondant aux plus grandes echelles. Elleutilise les equations de Navier-Stokes filtrees, les variables conservatives sont decomposees endeux parties, une filtree et une autre non-filtree. Cette decomposition introduit deux nouveauxtermes, un tenseur de correlation des vitesses de sous-maille et un flux de chaleur de sous-maille,qui doivent etre modelises (section 1.3).Cette approche LES permet d’augmenter la taille de maille ∆ afin de pouvoir effectuer des si-mulations d’ecoulement a plus haut nombre de Reynolds. Les paragraphes suivants presententl’obtention des equations de Navier-Stokes filtrees pour l’approche LES.

Le filtrage spatial

Toute variable φ(x) peut etre decomposee en une partie resolue φ(x) et une partie non resolueφ′′(x), tel que :

φ = φ+ φ′′ (1.18)

Le filtrage spatial est defini dans l’espace physique par une integrale de convolution sur undomaine Ω :

φ(x) =

∫

ΩG(x− ξ,∆)φ(ξ)d3ξ (1.19)

ou le noyau de convolution G (aussi appele fonction filtre) est caracteristique du filtre utilise etdepend en particulier de la longueur de coupure ∆c.Afin de filtrer les equations de Navier-Stokes, le filtre doit satisfaire les trois proprietes suivantes :

– 1. Conservation des constantes :

a = a (1.20)

qui implique que le filtre doit satisfaire la condition suivante :∫

ΩG(ξ,∆)φ(ξ)d3ξ = 1 (1.21)

12

– 2. Linearite :

φ+ ξ = φ+ ξ (1.22)

– 3. Commutativite des operateurs de derivation :

∂φ

∂η=

∂φ

∂η, η = x, y, z, t (1.23)

Comme deja mentionne au debut de cette section, a toute discretisation spatiale correspondun filtre implicite (filtre de type porte) de longueur d’onde de coupure dans les hautes frequencesλc = 2∆ ou ∆ est le pas d’espace du maillage. Pour des maillages reguliers (i.e. un maillage avecdes points equidistants), le filtre satisfait les proprietes (Eq. 1.23) ([7],[10]).Pour les simulations effectues au cours de ce stage, on a utilise soit un maillage regulier (chapitre2, section 2.3) dans tout le domaine ou un maillage regulier localement (i.e. regulier dans la zoned’interet de l’ecoulement) (chapitre 2, section 2.4 et chapitre 3).

Les equations de Navier-Stokes filtrees

L’application d’un filtre possedant les proprietes (Eq. 1.20, 1.22, 1.23) aux equations de Navier-Stokes (Eq. 1.1), ne permet pas d’exprimer directement les termes non-lineaires dans les variablesconservatives filtrees (ρ, ρui, ρE) ([10]). Ces termes sont generalement decomposes en une partieavec des variables conservatives filtrees et une partie avec des termes de « sous-maille ». Parconsequent, dans le but d’eviter des termes de sous-mailles dans l’equation de continuite, onutilise les variables de Favre definies par :

φ =ρφ

ρ(1.24)

L’operateur . correspond simplement a un changement de variable.En utilisant les variables de Favre et la notation indicielle, les equations filtrees de la continuiteet du moment s’ecrivent :

∂ρ

∂t+∂ρui∂xi

= 0 (1.25)

∂ρui∂xi

+∂ρuiuj∂xj

+∂p

∂xi=

∂σij∂xj

+∂τij∂xj

(1.26)

ou le tenseur des tensions (correlations de vitesses) de sous maille a modeliser est defini par :

τij = −(ρuiuj − ρuiuj) (1.27)

Le terme visqueux peut etre calcule par :

σij = ν(∂ui∂xj

+∂uj∂xi

)− 2

3νδij

∂uk∂xk

(1.28)

en supposant que les fluctuations de temperature sont faibles et que les non-linearites dues a laviscosite peuvent etre negligees pour les ecoulements a haut nombre de Reynolds. Dans le casde sillage qui nous interesse, les ecoulements sont tres faiblement compressibles ([7],[10]), ces

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hypotheses peuvent alors etre utilisees.Le filtrage de l’equation de l’energie donne :

∂ρet∂t

+∂(ρet + p)uj

∂xj=

∂σijui∂xj

− ∂qjxj

(1.29)

avec ρet = ρcvT + 1/2ρuiui.Les termes visqueux de l’equation (Eq. 1.29) peuvent etre simplifies, car leur contribution desous-maille est supposee petite, on a alors :

σijui = σij ui (1.30)

Les non-linearites dans les flux de chaleur sont egalement negligees a haut nombre de Reynolds([6]), d’ou :

qj ≈ qj = −k ∂T∂xj

(1.31)

L’energie interne peut etre combinee avec le terme de pression-vitesse et en utilisant l’equationd’etat filtree pour un gaz parfait :

p = ρRT (1.32)

on obtient alors la relation :

ρcvTuj + puj = ρcvT uj + puj + ρcvTuj + ρRTuj − (ρcvT uj + ρRT uj)

= ρcvT uj + puj +Qj (1.33)

Le flux de chaleur de sous-maille etant defini ([6]) par :

Qj = ρcpTuj − ρcpT uj (1.34)

Le dernier terme dans l’equation de l’energie a modeliser est ρKuj , avec K = 12uiui l’energie

cinetique. Ce terme est approxime en negligeant certaines tensions :

ρKuj ≈ ρKuj − τij uj (1.35)

ou on a suppose que τij = −ρu′′i u′′j avec u′′i representant une estimation d’une partie de la vitessede sous -maille.Cette approximation n’est basee que sur l’analogie avec la modelisation statistique de la turbu-lence, et les termes negliges ne le sont pas avec certitude ([7]). A l’aide des equations (Eq. 1.33,1.35), on obtient :

(ρet + p)uj = (ρet + p)uj − τij ui +Qj (1.36)

ou l’energie totale resolue est donnee par la relation :

et = cvT +1

2uiui (1.37)

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A noter que l’energie cinetique ρuiui peut etre exprimee a l’aide du tenseur des tensions desous-maille par ρuiui = ρuiui − τii.Les equations de Navier-Stokes filtrees s’ecrivent alors :

∂ρ

∂t+ρui∂xi

= 0 (1.38)

∂ρui∂t

+∂ρuiuj∂xj

+∂p

∂xi=

∂σij∂xj

+∂τij∂xj

(1.39)

∂ρet∂t

+∂(ρet + p)uj

∂xj=

∂(σij + τij)ui∂xj

− ∂qj∂xj

− ∂Qj

∂xj(1.40)

Le tenseur des correlations de vitesses de sous-maille τij et le flux de chaleur Qi doivent etremodelises.

Le concept de viscosite de sous-maille

Afin de modeliser la cascade directe de l’energie vers les echelles de sous-maille, une analogieavec la cinetique des gaz est effectuee. On suppose que le mecanisme de transfert d’energie desechelles resolues vers les echelles de sous-maille (non resolues), peut etre represente par un termede diffusion grace a l’utilisation d’une viscosite de sous-maille µsm.Une formulation de type Boussinesq est utilisee dans laquelle la partie deviatrice du tenseur descontraintes de sous-maille τij (Eq. 1.27), est reliee au tenseur de deformation du champ resolupar la relation suivante :

τij −1

3τkkδij = −2µsm

(Sij −

1

3δijSkk

)(1.41)

La viscosite de sous-maille µsm requiert une modelisation.Le terme 1

3τkk qui correspond a l’energie cinetique de sous-maille, est introduite pour valider larelation en cas de contraction des indices (le membre de gauche de l’equation (Eq. 1.41) etantde trace nulle). Ce terme n’est pas modelise, il est introduit dans les equations en considerantune pression modifiee P telle que :

P = p− 1

3τkk (1.42)

En reecrivant la relation de l’energie totale sous la forme :

ρet = ρcv(T − 1

2ρcvτkk)+

1

2ρukuk (1.43)

et en definissant une temperature modifiee par :

Θ = T − 1

2ρcvτkk (1.44)

l’equation d’etat devient :

P = ρRΘ−(13− R

2cv

)τkk = ρRΘ− 5− 3γ

6τkk (1.45)

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Selon Ducros etal. ([5]), la contribution de l’energie cinetique est negligeable pour l’air (γ = 1.4),comme pour les gaz mono-atomique comme l’argon ou l’helium (γ = 5/3). L’equation d’etat estalors simplifiee et s’ecrit :

P ≈ ρRΘ (1.46)

Cette approximation revient a integrer la partie isotrope du tenseur τ dans la partie thermo-dynamique, puis a la negliger par la suite. Les variables P et Θ sont directement calculable apartir du champ resolu. La viscosite est alors donnee en fonction de la temperature modifiee parla loi de Sutherland (Eq. 1.10).

La modelisation d’une viscosite de sous-maille µsm peut etre obtenue en considerant uneechelle de longueur l0 et une echelle de temps t0, caracteristiques des quantites de sous-maille.En suivant un raisonnement dimensionnel analogue a celui de Prandtl, la viscosite de sous-mailleest proportionnel a :

µsm ∝ l02t0

−1 (1.47)

Ce type de modele est local en espace et en temps par construction de l’equation (Eq. 1.41). Lesmodeles de sous-maille determinent ces echelles caracteristiques des quantites de sous-maille loet t0.

Le flux de chaleur Q est modelise en utilisant l’hypothese que le nombre de Prandtl turbulentest constant, soit Prt = 0.9, ce qui donne :

Qi = −µsmcpPrt

∂Θ

∂xi= −ksm

∂Θ

∂xi(1.48)

Le coefficient de conductivite thermique ksm de sous-maille est alors definit.

Avec ces hypotheses et en definissant la partie deviatorique du tenseur de deformation :

Dij = Sij −1

3δijSkk (1.49)

Les equations de Navier-Stokes filtrees se reduisent finalement a :

∂ρ

∂t+ρui∂xi

= 0 (1.50)

∂ρui∂t

+∂(ρuiuj)

∂xj= − ∂P

∂xi+

∂

∂xj

((µ+ µsm)Dij

)(1.51)

∂ρet∂t

+∂

∂xi

(ui(ρet + P )

)=

∂

∂xi

((µ+ µsm)ujDij

)+ (k + ksm)

∂Θ

∂xi(1.52)

ou l’expression de la viscosite de sous-maille µsm = ρνsm reste a determiner.Ces equations filtrees ne different des equations de Navier-stokes que par l’ajout des termes µsmet ksm.Dans notre cas, on a fait le choix d’utiliser le modele de Fonction de Structure Filtree (FSF)(section 1.3) pour modeliser la viscosite de sous-maille, avec lequel Laporte ([7]) et Moet ([10])ont obtenu de tres bon resultats pour la simulation d’ecoulements de sillage .

16

1.3 Le modele de Fonction de Structure Filtree

Afin de fermer le systeme d’equations de Navier-Stokes filtrees, il est necessaire de relier lesquantites de sous-maille aux variables resolues par l’intermediaire de modeles de sous-maille.Pour cela, il existe deux strategies possibles, la modelisation structurelle et la modelisation fonc-tionnelle.La premiere approche repose sur la connaissance de la structure des petites echelles, grace al’une des deux hypotheses suivantes : soit les petites echelles de l’ecoulement ont une forme etun caractere relativement universel pour qu’elles soient decorrelees des structures resolues, soitil existe une tres forte correlation entre les structures a differentes echelles spatiales afin qu’onpuisse considerer que le comportement des structures de sous-maille soit deduit des echellesresolues.Tandis que l’approche fonctionnelle se base sur la connaissance de la nature des interactionsentre les structures a differents niveaux d’echelle, elle se base sur l’hypothese que les echangesentre echelles de sous-maille et echelles resolues ont un caractere relativement universel.

Nous avons choisi pour les simulations LES, le modele de Fonction de Structure Filtree(FSF, [5]) qui est construit avec l’approche structurelle. Il se base sur le modele de Fonctionde Structure (FS, [20]) qui utilise un filtre passe-bas eliminant les termes de sous-maille (i.e. sion se place dans l’espace de Fourier, ils ont un nombre d’onde k inferieur au nombre d’onde decoupure kc), les autres termes restent inchanges.Ce modele apporte une amelioration de l’evaluation de l’energie a la coupure par rapport aumodele Fonction de Structure. Il consiste a appliquer un filtre passe-haut au champ de vitesseresolu avant de calculer la fonction de structure (qui represente la structure des petites echelles).Ce filtre est un filtre Laplacien discret H, applique n fois au champ de vitesse resolu, le champ

de vitesse filtre ~u(n)i,j,k s’ecrit alors :

~u(n)i,j,k = H(~u

(n−1)i,j,k ) = ~u

(n−1)i+1,j,k − 2~u

(n−1)i,j,k + ~u

(n−1)i−1,j,k+ (1.53)

~u(n−1)i,j+1,k − 2~u

(n−1)i,j,k + ~u

(n−1)i,j−1,k+ (1.54)

~u(n−1)i,j,k+1 − 2~u

(n−1)i,j,k + ~u

(n−1)i,j,k−1 (1.55)

ou les indices i, j, k sont les indices des points du maillage structure.La fonction de structure F2 qui evalue l’energie a la coupure en fonction du spectre d’energiefiltre, permet de determiner la viscosite de sous-maille (modele FSF) par la relation :

νsm(~x,∆c, t) = α(n)∆c

√F2(n)(~x,∆c, t) (1.56)

La constante α(n) varie en fonction du nombre d’application n du filtre, la valeur optimale estn = 3 ([7]), on a α(3) = 0.00084.La fonction de structure F2 est calculee sur les six points de maillage voisins de ~x par :

F2(n)(~x,∆c, t) =

16

[‖~u(n)i+1,j,k − ~u

(n)i,j,k‖ 2 + ‖~u

(n)i−1,j,k − ~u

(n)i,j,k‖ 2

+ ‖~u(n)i,j+1,k − ~u(n)i,j,k‖ 2 + ‖~u

(n)i,j−1,k − ~u

(n)i,j,k‖ 2

+ ‖~u(n)i,j,k+1 − ~u(n)i,j,k+1‖ 2 + ‖~u

(n)i,j,k−1 − ~u

(n)i,j,k‖ 2

](1.57)

17

L’echelle de longueur de coupure ∆c est fixee par la discretisation spatiale, correspondant a lalargeur du filtre. Pour un maillage regulier, elle est simplement egale a la longueur de la maille :∆c = ∆x = ∆y = ∆z. Dans le cas de maillage irregulier, elle peut etre calculee dans un contextevolume fini, par : ∆c = (∆x∆y∆z)

1/3 = V 1/3, ou V est le volume de la maille, et ∆i corresponda la taille de la maille dans la direction i.

Ce modele a ete choisi pour toutes les simulations effectuees a haut nombre de Reynolds, caril est moins dissipatif que les modeles de Smagorinski ou de Fonction de Structure ([7]), il ne dis-sipe pas (νsm = 0) lorsque que l’ecoulement est laminaire et completement resolu (i.e. quand iln’y a pas d’energie a la frequence de coupure). Par consequent il permet de simuler la transitiona la turbulence qui est obtenue en superposant a l’ecoulement de base laminaire un bruit blancd’amplitude tres faible et aleatoire (methode employee ici) ou une perturbation deterministeen longueur d’onde spatiale. Ce modele permet de simuler avec une tres bonne precision si lemaillage est suffisament raffine, la phase lineaire du developpement des instabilites de grandeslongueurs d’ondes ou de courtes longueurs d’ondes (objet de cette etude, chapitre 3). Dans cecas, l’ecoulement de base est completement resolu et le modele reste inactif tant que les petitesstructures generees par le couplage des modes dans le regime non-lineaire ont une echelle delongueur superieure a la longueur de coupure. Lorsque le mode le plus instable sature, le regimenon-lineaire alimente les petites longueurs d’ondes jusqu’a la coupure, ce qui declenche le modelependant la transition vers la turbulence.Toutes les simulations du phenomene de fusion dans les sillages d’avions ont ete effectues avecle code NTMIX3D du CERFACS.

1.4 Le code NTMIX3D

Le code numerique NTMIX3D resoud les equations de Navier-Stokes tridimensionnelles ins-tationnaires pour les ecoulements compressibles, et peut traiter des maillages reguliers ou ir-reguliers. Il est capable de resoudre des ecoulements diphasique et a ete initialement developpepour l’etude de la combustion notamment turbulente, il est un tres bon outil pour les calculs desillage ([7],[10]).Le code fonctionne en parallele utilisant la librairie MPI (Message Passing Interface) sur lescalculateurs scalaires ou vectoriels, pour lesquels existent des versions optimisees.

18

1.4.1 Adimensionnement

Le code NTMIX3D utilise les equations de Navier-Stokes sous forme adimensionnelle. Lesvariables adimensionnees sont notees avec le symbole ∗, obtenues de la maniere suivante :

u∗ = u/areft∗ = t/(Lref/aref )ρ∗ = ρ/ρrefT ∗ = T/Trefp∗ = p/prefet

∗ = et/(ρrefaref2)

ν∗ = ν/νrefcp

∗ = cp/cpref

(1.58)

ou les variables de reference sont indicees par ref telles que : aref pour la vitesse (en pratiqueegale a la vitesse du son), Lref pour la longueur, ρref pour la densite, Tref pour la temperature,pref pour la pression, νref pour la viscosite, cpref pour le coefficient de chaleur specifique apression constante, et le temps de reference est donne par tref = Lref/aref .Ces variables de reference sont definies par rapport a un etat infini qui peut etre arbitraire,mais de telle sorte qu’il verifie l’equation d’etat et la relation des gaz parfaits. Les grandeurs dereference definies a partir de cet etat infini sont :

aref = a∞ ρref = ρ∞ Tref = (γ − 1)T∞pref = ρ∞.a

2∞ = γ.p∞ νref = ν∞ cpref = cp∞

(1.59)

1.4.2 Discretisation spatiale

La methode numerique employee dans ce code pour discretiser les equations de Navier-Stokes(Eq. 1.1) est la methode des differences finies. Les derivees spatiales d’ordre 1 (termes convec-tifs) et d’ordre 2 (termes diffusifs) sont calculees a l’aide d’un schema compact ([25]) (de typePade) d’ordre 6. Si on considere un maillage uniforme de pas ∆ ou les points sont indicespar i, la valeur d’une fonction f au point xi est note fi = f(xi). Ainsi f ′i est l’approximationau premier ordre de la derivee (df(xi)/dx). Un schema de type Pade s’ecrit de maniere generale :

βf ′i−2 + αf ′i−1 + f ′i + αf ′i+1 + βf ′i+2 = cfi+3 − fi−3

6∆+ b

fi+2 − fi−24∆

+ afi+1 − fi−1

2∆(1.60)

Les relations entre les coefficients a, b, c et α, β sont obtenues par identification aux coefficientsdes series de Taylor a plusieurs ordres. Le premier coefficient de la serie qui ne peut etre identifiedetermine l’ordre de troncature du schema. A l’ordre 6, la relation de contrainte ([7],[10]) surles coefficients est :

a+ 24b+ 34c = 25!

4!(α+ 24β) (1.61)

Dans le cas general β 6= 0, le calcul des derivees premieres f ′i en tout point i du maillage par larelation (Eq. 1.60) se ramene a la resolution d’un systeme lineaire pentadiagonal de la forme :

Af ′ = Bf (1.62)

19

Cela implique que la classe des schemas (Eq. 1.60) est implicite en espace. Pour le cas particulierβ = 0, ce systeme se reduit a un systeme tridiagonal, le schema spatial retenu dans NTMIX3D estparmi cette classe de schema ou β = 0. Les autres constantes sont α = 1/3, a = 14/9, b = 1/9 etc = 0. La resolution du systeme tridiagonal, inverse a l’aide d’un algorithme de Thomas, fournitl’approximation f ′i en tout point.Ce schema permet d’obtenir un ordre de precision eleve (6) avec un stencil reduit (5 points),Lele ([25]) a montre de plus, que ce schema possede des erreurs dispersives tres faibles. Letraitement des conditions aux limites a pour influence de reduire l’ordre de precision (ordre3) aux bords du domaine. Dans le cas de conditions aux limites periodiques, l’utilisation deschemas compacts decentres permet de garder l’ordre de precision eleve (6) aux bords du domaine([7],[10]). Pour l’approximation des termes d’ordre deux de la derivee (termes de diffusion), unschema tridiagonal d’ordre 6 est egalement utilise, obtenu en suivant la meme procedure.

1.4.3 Integration temporelle

L’integration temporelle est calculee par la methode explicite de Runge-Kutta a trois etapesd’ordre 3. Si y est une solution du probleme de Cauchy y′ = f(t, y), alors une iteration entredeux pas de temps t et t+∆t du schema de Runge-Kutta correspond aux trois etapes suivantes :

y(t+∆t) = y(t) + ∆t.f(t, y)

f(t, y) = 1/4K1 + 3/4K3

K1 = f(t, y)K2 = f(t+∆t/3, y +∆t/3K1)K3 = f(t+ 2∆t/3, y + 2∆t/3K2)

(1.63)

Si on utilise ce schema pour resoudre une equation lineaire purement advective de la forme∂f/∂t+ (u+ c)∂f/∂x = 0 (u+ c est la vitesse d’advection egale a la vitesse de propagation desondes acoustiques pour les equations de Navier-Stokes), il est stable numeriquement si le nombrede Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) satisfait la condition suivante sous forme adimensionnelle :

CFL = max

[(|u∗|+

√c∗p(γ − 1)T ∗

)∆t∗

∆x∗

]≤√3

Cc(1.64)

ou Cc est une constante dependant de la discretisation spatiale.De plus, pour une equation purement diffusive du type ∂f/∂t = ν∂2f/∂2x = 0, le schema (Eq.1.63) est stable si le nombre de Fourier (Fo) verifie la relation adimensionnelle :

Fo = max

[ν∗

∆t∗

(∆x∗)21

Re

]≤ 2.5

Cd(1.65)

ou le nombre de Reynolds de reference est Re = arefL/ν.La constante Cd depend egalement du schema de discretisation spatiale. Lele ([25]) a montrepour le schema compact tridiagonal d’ordre 6, que les constantes sont Cc = 1.989, Cd = 6.857,afin que soit assuree la stabilite numerique. Nous avons alors les criteres suivants : CFL ≤ 0.8708et Fo ≤ 0.365. Le pas de temps est choisi en prenant le critere le plus restrictif entre le critereCFL (Eq. 1.64) et le critere Fo (Eq. 1.65).En pratique, dans les calculs effectues, on fixe pour s’assurer de la stabilite numerique les criteressuivants :

CFL = 1/2Fo = 1/10

(1.66)

20

Chapitre 2

Mecanisme de fusion bidimensionnel

d’un dipole de tourbillons

symetriques et co-rotatifs

2.1 Introduction

Dans toute cette etude, on fait l’hypothese que le champ proche etendu d’un sillage d’avionen aval d’une aile est modelise par un systeme de deux tourbillons co-rotatifs (meme sens derotation). Ces tourbillons correspondent aux deux vortex emis par le bout d’aile et le boutexterne de volet, qui gouvernent la dynamique dans cette partie du sillage. Ce systeme evoluevers la formation d’un tourbillon unique par un processus de fusion, l’objectif de cette etude estdonc son analyse.Dans un premier temps, on presente les elements theoriques necessaires a l’etude du problemeconsidere et l’initialisation en vue des simulations numeriques. La seconde partie de ce chapitretraite des interactions entre les deux vortex ayant lieux bien avant la fusion. Enfin, la dernieresection concerne la description du mecanisme de fusion et l’analyse des resultats numeriquesobtenus.

2.2 Hypotheses de travail

2.2.1 Configuration, modele de tourbillon

Dans le plan (x, y), on considere un dipole de tourbillons co-rotatifs, concentres et symetriques(meme circulation Γ et de meme taille a). L’ecoulement est considere incompressible dans toutecette etude, le fluide est l’air de viscosite ν = 1.43 10−5m2/s.Pour les simulations numeriques deux types de modeles de tourbillons ont ete utilises, celui deLamb-Oseen ([9]) et celui de Jacquin VM2 (Vortex Model 2, [8]). Ce modele a ete peu ou pasutilise pour les simulations de sillage d’avions actuellement, pourtant la structure des vortex leconstituant est mieux decrite avec ce modele ([4, 7, 11]).

21

Le nombre de Reynolds ReΓ est base sur la circulation Γ d’un tourbillon :

ReΓ =Γ

ν(2.1)

La circulation Γ est calculee par integration de la vorticite sur un domaine geometrique Ωentourant le vortex. La ligne mediane separatrice des vortex permet de le delimiter. Il correspondau demi-plan dans lequel se situe le tourbillon et qui contient le support de vorticite ~ω associee.

Γ =

∫∫

Ω

~rot~v . ~n dΩ =

∫∫

Ω

ωzdΩ (2.2)

Cette integration est notee 〈.〉 par la suite.Le champ de vorticite ~ω est definie par le rotationnel de la vitesse : ~ω = ~rot~v. Ceci dans unbut d’eviter les confusions avec les resultats des articles ayant servis de reference a cette etude.Selon la tradition francaise, non-respectee ici, cette definition represente le vecteur rotationnel,le champ de vorticite etant alors defini par : ~ω = 1

2~rot~v.

Le rapport a/b entre la taille du cœur a et la distance de separation b caracterise la configurationgeometrique du dipole. La taille a du cœur d’un tourbillon est definie par le moment de vorticiteau second ordre (moment polaire) autour du centre de vorticite (xc, yc), telle que :

a2 =1

Γ〈 [(x− xc)

2 + (y − yc)2]ω(x, y) 〉 (2.3)

ou a est appelee rayon de dispersion du tourbillon. Les coordonnes du centre de vorticite sontdefinies par :

xc =1

Γ〈 xω(x, y) 〉 (2.4)

yc =1

Γ〈 yω(x, y) 〉 (2.5)

Modele gaussien de Lamb-Oseen

C’est un modele a une echelle de longueur ([9]), c’est a dire que la structure du cœur dutourbillon est decrit avec une echelle de longueur caracteristique notee rc. Elle est definie commele rayon ou la vitesse azimutale vθ est maximale. Le mouvement du fluide dans la zone interne(0 < r < rc) est rotatif sans deformation vθ(r) ∼ r, il est de type potentiel vθ(r) ∼ 1/r dans lazone externe (r > rc).Le profil de vitesse d’un tourbillon axisymetrique de Lamb-Oseen s’ecrit dans le repere cylin-drique (~er, ~eθ, ~ez) :

vr(r, θ, z, t) = 0

vθ(r, θ, z, t) = Γ2πr (1− e−r

2/a2)

vz(r, θ, z, t) = 0

(2.6)

ou Γ represente la circulation totale du tourbillon et a son rayon de dispersion.Cette circulation est obtenue a l’aide de la vitesse V0 = vθ(r = rc) = vθmax :

Γ = 2πεrcV0 , ε =1

(1− e−rc2/a2)(2.7)

22

Le champ de vorticite correspondant a ce champ de vitesse est :

ωz(r, t) =Γ

πa2e−r

2/a2(2.8)

Ce champ de vitesse est solution des equations de Navier-Stokes instationnaires, le rayon a evolueen fonction du temps sous l’effet de la viscosite du fluide ν selon la loi :

a(t) =√

4νt+ a02 (2.9)

Avec ce modele gaussien (la distribution de vorticite peut etre representee par une fonctiongaussienne), le rayon a correspond exactement au rayon de dispersion defini par l’equation (Eq.2.3). Les parametres rc et a sont lies par la relation lineaire : rc = 1.12a ([7, 10]). Ce modele aservi de reference pour la comparaison des resultats avec le modele de Jacquin.

Modele de Jacquin

Ce modele ([8]) correspond a un modele a deux echelles de longueurs caracteristiques pourdecrire la structure du vortex : un rayon a1 ou la vitesse azimutale vθ est maximale et un rayonexterne a2 delimitant la zone contenant la plupart de la vorticite.La region interne (0 < r < a1) correspond a un mouvement de rotation « en bloc » (sansdeformation) du domaine fluide vθ(r) ∼ r, dans la region intermediaire (a1 < r < a2) la vitessesuit une loi en puissance du type vθ(r) ∼ r−α et dans la region externe (r > a2) le mouvementest du type potentiel vθ(r) ∼ 1/r. Les deux echelles a1 et a2 different au moins d’un facteur 10([8]) pour des tourbillons de sillage d’avions.Le profil de vitesse d’un tourbillon de Jacquin VM2 (Vortex Model 2, [8]) s’ecrit pour un tour-billon axisymetrique dans le repere cylindrique (~er, ~eθ, ~ez) :

vr(r, θ, z, t) = 0

vθ(r, θ, z, t) = Ω0r

[1+(r/a1)4](1+α)/4[1+(r/a2)4]

(1−α)/4

vz(r, θ, z, t) = 0

(2.10)

ou Ω0 est le taux de rotation dans la zone interne du vortex.Ce modele est caracterise par deux echelles de vitesse, une echelle de vitesse interne V1 et uneexterne V2 definies respectivement par :

V1 = Ω0a1 , V2 =Γ

2πa2(2.11)

La circulation totale Γ du vortex est calculee en utilisant la continuite du champ de vitesse enr = a2, son expression est :

Γ = 2πΩ0a12

(a2a1

)(1−α)(2.12)

La figure 2.1 represente un profil de vitesse azimutale de chaque modele, correspondant a unrayon de dispersion a = 1.5, un graphe « log-log » est egalement trace afin de bien visualiser lesdifferentes zones caracteristiques des profils de vitesse tangentielle :

23

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10r

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1v θ/v

θmax

JacquinLamb-Oseen

0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000log(r)

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

log(

v θ/vθm

ax)

JacquinLamb-Oseen α = -0.5

α = -1

Fig. 2.1 – Profil de vitesse tangentielle vθ(r).

La relation entre le rayon du cœur (rc ou a1) et le rayon de dispersion est inversee pour lemodele de Jacquin, pour un vortex de Lamb-Oseen rc/a > 1 alors que pour un vortex deJacquin rc/a < 1.Pour le modele de Jacquin, les valeurs choisies pour le parametre α et le rapport a2/a1 sont :α = 0.5 et a2/a1 = 10, elles correspondent aux valeurs que l’on retrouve typiquement dans dessillages realistes d’avion ([11]). Des instabilites tridimensionnelles peuvent se developper dansles dipoles co-rotatifs et il s’avere qu’elles dependent des valeurs de α et de a2/a1, ainsi que durapport a/b ([8, 14]). L’etude de ces instabilites est presentee au chapitre 3.

2.2.2 Initialisation

Afin de simuler le mecanisme de fusion d’un dipole de tourbillon co-rotatif bidimensionnel,chaque variable (u∗, v∗, w∗ = 0, p∗ et e∗t ) est initialisee a partir du type de modele de tourbillonchoisi.Si on considere un ecoulement plan stationnaire et axisymetrique d’un fluide incompressible,alors le champ de pression peut etre deduit de la vitesse tangentielle a l’aide des equations deNavier-Stokes dans un repere cylindrique. Avec ces hypotheses l’equation suivant ~er s’ecrit :

dp

dr= ρ

vθ2(r)

r(2.13)

La pression est alors calculee par integration curviligne suivant ~er sur tout le domaine :

p(r) =

∫ρvθ2

rdr (2.14)

L’energie totale est donnee par la relation enoncee au chapitre 1 (Eq. 1.15), en utilisant leschamps de vitesse et de pression calcules sur le maillage cartesien.

Le domaine d’etude D dans le plan (x, y) est une boıte carree de dimension Lx = Ly avecLx = xmax − xmin, Ly = ymax − ymin (avec xmax = ymax et xmin = ymin). Le repere associe ace domaine est note R = (C, ~ex, ~ey) dont l’origine est placee au centre de D. La position initiale

24

des tourbillons dans le repere R est : (x0 = ±5, y0 = 0).Le maillage utilise est irregulier (i.e. de pas d’espace variable entre les points), cependant dansla zone d’interet de l’ecoulement Dp, le pas d’espace est regulier. Cette zone est un carre dedimension Lxp = Lyp avec Lxp = xfin − xdeb (avec Lyp = yfin − ydeb et tels que xdeb = ydebet xfin = yfin). Elle est discretisee par np points par direction. Le nombre de points danschaque direction du domaine D est note ntot. Les caracteristiques du domaine et du maillagesont repertories dans le tableau 2.1.

Domaine D Lx xmin xmax ntot200 −100 100 401

Zone Dp Lxp xdeb xfin np24 −12 12 342

Tab. 2.1 – Caracteristiques du domaine de calcul et du maillage.

Toutes les simulations du mecanisme de fusion ont ete effectuees avec ce maillage. Une illus-tration du maillage et de la position initiale des tourbillons est donnee par la figure 2.2.

X

Y

-100 -50 0 50 100-100

-50

0

50

100

Fig. 2.2 – Maillage du domaine et position initiale des tourbillons (points blancs).

Les deux tourbillons initiaux ont le meme rayon caracteristique a et la meme circulation Γ.Leur forme initiale est axisymetrique. Pour toutes les simulations les parametres b0 et vθmax

sont constants, ceux qui varient sont donc le nombre de Reynolds ReΓ et le rayon de dispersiona, caracterisant ainsi l’ecoulement simule.

Les conditions aux limites utilisees pour toutes les simulations bidimensionnelles sont desconditions aux limites de symetrie dans le plan transverse (plan (x, y)). L’utilisation de cesconditions implique la presence d’un nombre infini de tourbillons imaginaires. Leur influencesur la dynamique de l’ecoulement est minimisee par le fait que les bords du domaine sont tres

25

eloignes de la zone de l’ecoulement simule. Dans notre cas on a Lx = Ly = 20 b0, ces conditionsaux limites n’ont donc pas ou tres peu de consequences sur la dynamique de l’ecoulement quinous interesse.

Chaque tourbillon est caracterise par son champ de vorticite ~ω, pour la representation destourbillons on trace les isocontours de la norme de vorticite ω, qui est calculee par :

||~ω|| =√ω2x + ω2y + ω2z =

√ω2z (2.15)

ou ωx = 0 et ωy = 0, car la vitesse axiale w et les gradients de vitesse dans la direction axialesont nulles pour un ecoulement bidimensionnel.

Toutes les simulations ont ete initialisee de la meme maniere, utilisant le meme maillage, saufpour la simulation de la section suivante qui reprend le calcul effectue par Le Dizes et Verga([13]) dans le but de caracteriser les interactions visqueuses avant la fusion.

2.3 Vers un dipole adapte

Cette section presente la mise en evidence du phenomene qui conduit a un dipole solutiondes equations d’Euler quasi-stationnaires dans le repere tournant a la vitesse Γ/(πb2) lie auxvortex, la superposition lineaire de deux vortex circulaires n’etant pas solution des equations deNavier-Stokes.Le Dizes et Verga ([13]) ont identifie deux phases dans le processus d’adaptation dans leurtravaux sur l’evolution de deux vortex co-rotatifs. Le premier est un processus non-visqueuxqui correspond a une adaptation rapide de chaque vortex au champ « exterieur » de contraintegenere par l’autre, le second est un phenomene lent de diffusion. Il conduit a une solution quasi-stationnaire des equations d’Euler dans le repere tournant, independante du type de profil devitesse initial ([13], [24]).Afin de verifier l’existence du premier processus pour un vortex de type Jacquin (Eq. 2.10) etde connaıtre l’intervalle de temps sur lequel il se produit, une simulation similaire a celle deLe Dizes et Verga a ete effectuee. Ils ont utilise un code base sur une methode spectrale. Cecalcul permet egalement de verifier que ce processus d’adaptation peut etre simule avec le codeNTMIX3D qui est base sur la methode des differences finies (section 1.4.2).

2.3.1 L’excentricite

Les tourbillons initiaux sont circulaires (Fig. 2.3), or chacun cree un champ de vitesse non-homogene qui a pour consequence de deformer les lignes de courant et les isocontours de vorticiteproches du cœur des vortex, ils prennent alors une forme elliptique. Afin de determiner cettedeformation, on considere l’excentricite E des lignes de courant proche du cœur du tourbillon.Les tourbillons sont localisees dans le repere tournant en (±xc, 0) ou xc et yc sont definies parles equations (Eq. 2.4, 2.5).

26

L’excentricite E est definie a partir d’un petit rayon am et d’un grand rayon aM tels que :

a2m =1

Γ〈 (y − yc)

2ω 〉 (2.16)

a2M =1

Γ〈 (x− xc)

2ω 〉 (2.17)

L’expression de l’excentricite est :

E =aM − amaM + am

(2.18)

Cette definition de l’excentricite mesure une deformation moyenne du tourbillon dans la regioncontenant toute sa vorticite. Elle correspond a celle employee par Le Dizes et Verga ([13]).

2.3.2 Une adaptation non-visqueuse rapide

La configuration choisie pour l’analyse de « l’adaptation » est un dipole de vortex co-rotatifs,symetriques, de rapport caracteristique a/b)0 = 0.1 et un nombre de Reynolds ReΓ = 2000.Les deux vortex ont une forme initiale circulaire.Le domaine de calcul D est une boıte carree de dimension Lx = Ly, avec Lx = xmax − xmin etLy = ymax−ymin (tels que xmax = ymax, xmin = ymin). La grille du maillage est de pas d’espaceregulier de ntot points par longueur du domaine.

Domaine D Lx xmin xmax ntot2π −π π 1024

Tab. 2.2 – Caracteristiques du domaine de calcul et du maillage.

La position initiale des tourbillons est : (x0 = ±π/8, y0 = 0). Les conditions aux limites sontegalement de symetries pour cette simulation, le rapport entre la longueur du domaine et ladistance de separation initiale des tourbillons est pour cette simulation : Lx/b0 = 8.

La figure (2.3) represente les isocontours de la magnitude de vorticite ω d’un vortex initialde chaque modele avec un rayon de dispersion a identique. La distribution de vorticite du dipolede tourbillons de Jacquin est plus concentree a proximite du cœur que celle du dipole de Lamb-Oseen.Les resultats concernant le modele de Lamb-Oseen sont bien identiques a ceux obtenus parLe Dizes et Verga ([13]) pour ce type de modele, ce qui prouve que ce phenomene d’adaptationpeut etre simule avec le code NTMIX3D.

Les echelles de temps caracteristiques de l’ecoulement considere dans toute cette etude sontl’echelle de temps advective ta = 2πa2/Γ et l’echelle de temps visqueuse tv = 2πa2/ν. Le rapportde ces echelles de temps est donc : tv/ta = ReΓ >> 1.Le premier processus d’adaptation est rapide par rapport a l’echelle de temps visqueuse, leseffets visqueux ont donc tres peu d’influence sur la dynamique de l’ecoulement. L’excentricitedes tourbillons converge rapidement vers une valeur moyenne comme le montre la figure (2.4),

27

X

Y

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

X

Y

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

a) Modele de Lamb-Oseen. b) Modele de Jacquin.

Fig. 2.3 – Isocontours de la magnitude vorticite des tourbillons initiaux de chaque modele. Lesisocontours sont separes par un pas : a) ∆ω = 0.5s−1, b) ∆ω = 0.2s−1.

0 1 2 3 4t*

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

E

modèle de Lamb-Oseenmodèle de Jacquin

Fig. 2.4 – Evolution de l’excentricite d’un tourbillon en fonction de temps d’advection t∗ = t/ta.

la forme du tourbillon devient bien definie et elliptique (E 6= 0) (Fig. 2.5). Contrairement al’excentricite du vortex de Lamb-Oseen qui oscille dans un premier temps, celle du vortex deJacquin croıt rapidement et se stabilise.Ce phenomene d’adaptation d’un tourbillon vis a vis du champ de contrainte cree par l’autre,est donc different selon les modeles de tourbillons initiaux, comme l’ont egalement montre LeDizes et Verga ([13]).

Le second processus d’adaptation identifie par Le Dizes et Verga est un phenomene plus lentde diffusion, ils ont montre que l’evolution due aux effets visqueux d’un dipole est similaire acelle d’un simple tourbillon axisymetrique. D’apres leur travaux, quelque soit le profil de vitesseinitial utilise pour la description du tourbillon, le dipole tend vers un etat similaire a celui d’unsysteme de vortex gaussien. Sipp et Jacquin ([24]) ont retrouve ce meme comportement pour

28

X

Y

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

X

Y

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

a) Modele de Lamb-Oseen. b) Modele de Jacquin.

Fig. 2.5 – Isocontours de la magnitude de vorticite des tourbillons apres le premier processusd’adaptation. Les isocontours sont separes par un pas : a) ∆ω = 0.2s−1, b) ∆ω = 0.1s−1.

des vortex contra-rotatifs. Cette deuxieme phase de relaxation n’a pas ete etudiee ici, n’etantpas l’objet principal de ce stage.Ce processus d’adaptation en deux phases a pour consequence d’obtenir un dipole dit adapte,caracterise par un rapport a/b et une excentricite E. Ce dipole est solution quasi-stationnairedes equations d’Euler dans le repere tournant lie aux tourbillons ([7, 13, 24]).

2.4 Le processus de fusion des tourbillons co-rotatifs

La dynamique d’un dipole co-rotatif est relativement simple avant la fusion, les tourbillonstournent l’un autour de l’autre tant que le rapport a/b entre le rayon de dispersion et la distancede separation des vortex, ne depasse pas une valeur seuil. Une fois cette valeur atteinte lestourbillons commencent a se rapprocher mutuellement et finissent par fusionner pour ne formerplus qu’un seul vortex. Cette etude du mecanisme de fusion s’inscrit donc dans le cadre de larecherche de cette valeur critique du rapport a/b.Dans toute la suite, on presente les resultats obtenus avec le modele de Jacquin (Eq. 2.10) d’undipole de rapport initial a/b)0 = 0.1. Les tourbillons tournent dans le sens negatif si on considerela definition du sens trigonometrique.Pour l’adimensionnement temporel, on utilise la periode de retournement tc d’un systeme dedeux vortex distant de b definie par :

tc =2π2b2

Γ(2.19)

Les configurations utilisees pour les simulations numeriques directes sont repertoriees dans letableau 2.3.

Une simulation du dipole a/b = 0.1 a haut Reynolds ReΓ = 240000 a egalement ete effectueepour les deux types de modeles, en utilisant le modele de Fonction Structure Filtree (section

29

ReΓ 750 1500 5000 10000

a/b)0 = 0.1 × × ×a/b)0 = 0.15 ×

Tab. 2.3 – Recapitulatif des simulations.

1.3). Cependant, elle n’a pas ete menee jusqu’a la fusion des vortex, car la simulation serait troplongue et trop couteuse. La simulation du dipole a/b = 0.15 a ReΓ = 10000 est utilisee pour lacomparaison avec la simulation du mecanisme de fusion tridimensionnelle.D’apres le theoreme de Kelvin, la circulation d’un vortex est un invariant de l’ecoulement, cequi permet de controler la validite des simulations sur ce point. Ainsi on doit avoir pour toutesles simulations :

dΓ

dt= 0 (2.20)

Cette verification a ete effectuee pour chaque configuration simulee dont la simulation de l’adap-tation (section 2.3).Dans le cas d’un dipole de Jacquin de rapport a/b = 0.1 et un nombre de Reynolds ReΓ = 1500,la figure (2.6) represente l’evolution de la circulation calculee dans tout le domaine d’etude(notee Γglob), ainsi que celle d’un des deux tourbillons notee Γ (calculee sur le domaine Ω conte-nant le support de vorticite associe). La circulation est adimensionnee par la circulation totaletheorique Γtot = Γ1+Γ2 (Eq. 2.12), ou les indices 1 et 2 designent respectivement un tourbillon.La circulation d’un tourbillon est bien un invariant de l’ecoulement puisqu’elle reste constanteau cours du temps.

0 0.5 1 1.5 2t*= t/t

c

0

0.5

1

Γi/ Γ

tot

Γi=1,2

Γglob

Fig. 2.6 – Conservation de la circulation au cours du temps.

2.4.1 Dynamique globale

Avant la description du processus de fusion de deux tourbillons co-rotatifs et symetriques,un point essentiel pour l’analyse du phenomene, est la consideration des lignes de courant dansle repere tournant lie aux vortex. Il est defini tel que les tourbillons sont situes sur l’axe desabscisses (soit yc = 0 (Eq. 2.5)) et symetrique par rapport a l’origine.On presente ici les differences entre les lignes de courant dans le repere fixe (absolue) R et dans

30

le repere tournant.Dans le repere fixe, les lignes de courant sont caracterisees par un region interne encadrant les

X

Y

-20 -10 0 10 20-20

-10

0

10

20

X

Y

-20 -10 0 10 20-20

-10

0

10

20

X

Y

-20 -10 0 10 20-20

-10

0

10

20

X

Y

-20 -10 0 10 20-20

-10

0

10

20

a) Repere fixe b) Repere tournant

Fig. 2.7 – Les lignes de courant et les separatrices (en gras) dans les deux reperes.

cœur des vortex et une region externe ou le fluide tourne autour de la paire dans le meme sensque celui des tourbillons, comme le montre la figure (2.7 a)). On distingue alors une ligne decourant separatrice entre les deux regions possedant un point hyperbolique (Fig. 2.7 a)).Tandis que dans le repere tournant, on distingue deux regions externes de recirculation (Fig. 2.7b)) et trois lignes de courant separatrices (Fig. 2.7 b)) possedant trois points hyperboliques. Lefluide qui se situe au-dela des separatrices externes tourne autour de la pair dans le sens inversede celui des tourbillons.

Zone externede recirculation

Zone internede recirculation

Zone internede coeur

Fig. 2.8 – Diagramme des differentes regions de l’ecoulement grace aux lignes de courantseparatrices dans le repere tournant.

31

Les trois regions principales de l’ecoulement dans le repere tournant sont representees sur lediagramme (Fig. 2.8). On distingue une region interne englobant les cœur des vortex et similairea celle dans le repere fixe, une region interne de recirculation et une region externe ayant deuxzones de recirculation (symetrique par rapport a l’axe reliant les deux tourbillons).Cette distinction des regions est necessaire pour l’analyse du mecanisme de fusion d’un dipolede vortex co-rotatifs et symetriques.

Une fusion en quatre etapes

La dynamique principale des tourbillons durant le processus de fusion est illustree par lasequence de l’evolution des isocontours de la magnitude de vorticite (Fig. 2.9, 2.10). Le dipolesimule est de type Jacquin (Eq. 2.10) de rapport a/b = 0.1 avec un nombre de Reynolds deReΓ = 1500.

Le processus de fusion se decompose en quatres etapes ([1]). Dans un premier temps, lestourbillons se deforment de plus en plus, leur forme devient elliptique etiree (Fig. 2.9 a)), cetetirement est induit par un tourbillon sur son voisin. Ils tournent l’un autour de l’autre a lafrequence Γ/2π2b2 sans se rapprocher. Durant cette phase, la taille du cœur a des tourbillonsaugmente a cause des effets visqueux, elle est appelee « premiere phase de diffusion ». Lorsquela taille du cœur des vortex est suffisante, une partie de la vorticite sort de la region du cœurpour entrer dans la zone de recirculation interne (Fig. 2.8), les tourbillons echangent alors de lavorticite, la seconde phase est declenchee.Cette seconde etape est quasi-independante de la viscosite (section 2.4.2), c’est la « phase convec-tive » du processus. Les tourbillons sont tres deformes, de la vorticite est ejectee aux extremitesde la paire tourbillonnaire (Fig. 2.9 b)) au-dela de la region interne de recirculation, les zones derecirculation externes transportent cette vorticite conduisant a la creation de filaments de vor-ticite. De plus, les tourbillons echangent de la vorticite a travers la ligne de courant separatrice(Fig. 2.8) englobant la zone interne de cœur des vortex. Les tourbillons se rapprochent alorsrapidement.Une seconde phase de diffusion est observee durant laquelle le champ de vitesse induit qui pousseles tourbillons l’un vers l’autre, est trop faible pour que la fusion soit totale (Fig. 2.10 c)), lesinteractions visqueuses ne sont alors plus negligeables vis a vis des effets d’inerties. A partir decette etape la consideration des lignes de courants dans le repere tournant n’est plus valable,en raison de la methode employee ici pour calculer la vitesse de rotation du dipole. En effet,son evaluation est basee sur la circulation d’un vortex alors que la distinction de la vorticiterespective de chaque vortex est difficile en raison de leur proximite. Toutefois la fusion n’estpas terminee, les isocontours de la magnitude de vorticite permettent la distinction de deuxmaximums de vorticite (Fig. 2.10 a)).La derniere etape du mecanisme de fusion (Fig. 2.10 b)) est initie avec un tourbillon de formeelliptique possedant des filaments de faibles vorticite en bordures de son cœur. Cette etape cor-respond a une phase ou le tourbillon devient de plus en plus axisymetrique, sa taille continued’augmenter par le processus de diffusion.

Cerretelli et Williamson ([1]) ont montre que le rapprochement des vortex pendant la phaseconvective, est du aux filaments de vorticite. En effet, si on considere le filament de gauche dela figure (2.9 b)), il contient de la vorticite de sens negatif par rapport au sens trigonometrique.Il induit une vitesse sur le vortex de gauche dirigee vers l’autre vortex.

32

X

Y

-20 -10 0 10 20-20

-10

0

10

20

X

Y

-20 -10 0 10 20-20

-10

0

10

20

a) Premiere phase de diffussion t∗ = t/tc = 0.19

X

Y

-20 -10 0 10 20-20

-10

0

10

20

X

Y

-20 -10 0 10 20-20

-10

0

10

20

X

Y

-20 -10 0 10 20-20

-10

0

10

20

b) Phase convective t∗ = t/tc = 1.1

Fig. 2.9 – Les deux premieres etapes du mecanisme. Les isocontours de la magnitude de vorticitesont representees sur la partie gauche, et sur la partie droite les lignes de courant separatrices(en gras) et la vorticite.

Melander et al. ([16]) et Cerretelli et Williamson ([1]), reconnaissent que les filaments repre-sentent une vorticite antisymetrique. La vorticite ω se decompose en une partie symetrique ωset en une partie antisymetrique ωa.De plus, cette approche est aussi motivee par le fait que les lignes de courants et les isocontoursde la magintude de vorticite sont symetriques par rapport a l’origine du repere tournant (Fig.2.9), la vorticite ω = ωz satisfait alors la relation :

ω(x, y) = ω(−x,−y) (2.21)

33

X

Y

-20 -10 0 10 20-20

-10

0

10

20

X

Y

-20 -10 0 10 20-20

-10

0

10

20

a) Deuxieme phase de diffusion t∗ = 1.52 b) Tourbillon final fusionne t∗ = 2.02

Fig. 2.10 – Les deux dernieres etapes du processus de fusion (t∗ = t/tc).

La decomposition de la vorticite totale ω s’ecrit de la maniere suivante :

ω(x, y) = ωs(x, y) + ωa(x, y)

=1

2[ω(x, y) + ω(x,−y)] + 1

2[ω(x, y)− ω(x,−y)] (2.22)

(2.23)

Les conditions de symetrie et d’antisymetrie sont :

ωs(x, y) = ωs(−x, y) = ωs(x,−y) (2.24)

ωa(x, y) = −ωa(−x, y) = −ωa(x,−y) (2.25)

Le raisonnement de Cerretelli etWilliamson ([1]) a ete repris ici pour expliquer le rapprochementdes tourbillons . Les resultats utilises pour l’illustrer sont ceux de la simulation d’un dipole deJacquin de rapport initial a/b)0 = 0.1 et avec un nombre de Reynolds de ReΓ = 1500. Les champsde vorticite symetrique et antisymetrique ont ete calcules a un instant de la phase convectivecorrespondant a un temps de retournement t∗ = t/tc = 0.97.A cet instant des filaments de vorticite existent et sont entraınes hors du systeme des deuxvortex (Fig. 2.11) en suivant les lignes de courant separatrices externes (Fig. 2.8).

Les champs de vorticite symetrique et antisymetrique definis par l’equation (2.22), sontillustres par la figure 2.12. D’apres les isocontours de la norme de vorticite symetrique (Fig.2.12 a)) et l’equation de symetrie (Eq. 2.24), on deduit que ce champ ne cree pas de vitessedans la direction horizontale sur l’axe reliant les deux tourbillons (i.e. l’axe y = 0 du reperetournant). L’influence sur le dipole de ce champ symetrique de vorticite n’est donc pas celle quiprovoque leur rapprochement.On s’interesse alors au champ de vorticite antisymetrique. La visualisation de ses isocontoursmontre l’existence de quatre zones de vorticite antisymetrique situees « au dessus et en dessous »

du systeme des deux vortex (Fig. 2.12 b)). Les zones dans le demi-plan superieur (i.e. y > 0 du

34

X

Y

-10 -5 0 5 10

-10

-5

0

5

10

Fig. 2.11 – Isocontours de la magnitude de vorticite a l’instant t∗ = t/tc = 0.97.

X

Y

-10 -5 0 5 10

-10

-5

0

5

10

X

Y

-10 -5 0 5 10

-10

-5

0

5

10

X

Y

-10 -5 0 5 10

-10

-5

0

5

10

a) Vorticite symetrique. b) Vorticite antisymetrique.

Fig. 2.12 – Decomposition du champ de vorticite a l’instant t∗ = 0.97. L’intervalle des isocon-tours de la norme de vorticite est : a)∆ωs = 0.0022, b)∆ωa = 0.001. Les isocontours positifssont en traits pleins et les negatifs en traits pointilles sur la figure b).

repere tournant) ont des circulations opposees, contrairement aux zones symetriques par rapporta l’origine du repere.

Le schema 2.13 permet de comprendre l’influence de ces zones de vorticite antisymetrique surles tourbillons, les circulations de ces regions sont notees Γa sur ce schema. En effet en raisonde leur sens de rotation, elles induisent une vitesse dirigee respectivement d’un tourbillon versl’autre.La consideration du champ antisymetrique de vorticite permet donc de donner une explication

35

−Γa Γa

−ΓaΓa

Fig. 2.13 – Schema de l’influence de la vorticite antisymetrique. Les vortex principaux sontrepresentes par les points noirs.

au rapprochement des tourbillons pendant la phase convective (Fig. 2.9 b)).

2.4.2 Evolution des parametres principaux du processus de fusion

Dans le but de trouver le rapport critique a/b)c a partir duquel le processus est declencheet d’etablir les temps caracteristiques de la fusion, on a calcule l’evolution de la distance deseparation des vortex b et celle du rayon de dispersion a au cours du mecanisme.La valeur maximale de la norme de vorticite ||~ω|| = ω permet de trouver la position des centresdes vortex, ainsi on peut calculer la distance de separation b en fonction du temps. Le mecanismede fusion se decompose en quatre etapes (Fig. 2.14), elles sont differenciees grace a l’evolutiondu parametre b au cours du temps.

La distance b reste constante durant la premiere phase, tandis que le rayon de dispersiona appele aussi taille du cœur pour nous, augmente en suivant l’evolution predictee par la loitheorique (Eq. 2.9) pour les deux types de modeles (Fig. 2.15). Le processus de diffusion pendantcette etape domine donc la dynamique de l’ecoulement. Les valeurs numeriques obtenues necorrespondent plus a la prediction theorique a partir de l’instant ou il y a echange de vorticiteentre les deux tourbillons.La seconde etape se traduit par une diminution progressive puis rapide de la distance entre lestourbillons mais la fusion totale n’est pas atteinte directement. Une seconde phase de diffusionse deroule pendant laquelle deux extrema de vorticite persistent et diffusent jusqu’a la fusioncomplete.

Nous avons choisi de caracteriser la taille des vortex par le rayon de dispersion a et non parle rayon rc ou a1, ou la vitesse tangentielle est maximale (rc pour le modele de Lamb-Oseen,a1 pour le modele de Jacquin). Le mecanisme de fusion commence lorsque le dipole atteint unevaleur critique du rapport caracteristique a/b. D’apres Meunier et al. ([18]), et Leweke et al.([15]), cette valeur est telle que : 0.23 < a/b)c < 0.26.

Pour determiner ce rapport critique de nos simulations, on considere l’instant ou la distance

36

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0t*=t/tc

0.0

0.5

1.0

b/b0

JacquinLamb-Oseen

Etape 1

Etape 2

Etape 3

Etape 4

Fig. 2.14 – Evolution de la distance de separation b adimensionnee par la distance initiale b0au cours des differentes etapes pour des vortex de Jacquin et de Lamb-Oseen. Cas a/b)0 = 0.1,ReΓ = 1500.

0 0.5 1 1.5 2 2.5t*=t/t

c

0

0.1

0.2

0.3

0.4

(a/b0)2

valeurs numériquesloi théorique

0 0.5 1 1.5 2 2.5t*=t/t

c

0

0.1

0.2

0.3

0.4

(a/b0)2

valeurs numériquesloi théorique

a) Vortex de Jacquin b) Vortex de Lamb-Oseen

Fig. 2.15 – Evolution du rayon de dispersion a en fonction du temps t∗ = t/tc pour un dipolea/b = 0.1 a ReΓ = 1500.

de separation commence a decroıtre, on deduit alors de l’evolution du rapport a/b la valeur seuil(Fig. 2.15). Nous obtenons pour les deux types de vortex utilises (Lamb-Oseen ou Jacquin) lerapport critique :

a/b)c = 0.24± 0.01 (2.26)

Une autre procedure pour trouver ce rapport critique, proposee par Meunier et al. ([18]), consistea considerer differents temps au cours du processus de fusion correspondant a une fraction dela decroissance de la distance de separation. Pour nos calculs cette methode sous-estime trop lerapport critique, on obtient un rapport de a/b)c = 0.205 avec cette approche, alors que Meunieret al. ([18]) ont un rapport critique identique au notre (Eq. 2.26).

37

Cerretelli etWilliamson ([1]) ont etablie deux temps caracteristiques du mecanisme de fusion,un temps diffusif tdiff et un temps convectif tconv, correspondant respectivement aux deuxpremieres etapes du processus. Ils ont ainsi obtenu un temps de fusion tf tel que tf = tdiff +tconv. Dans notre etude, on definie deux temps similaires. Le premier temps correspond a lapremiere phase de diffusion et le second a une partie de l’etape convective, traduisant le processuspurement convectif du mecanisme de fusion.Ils utilisent le rayon rc ou la vitesse tangentielle est maximale comme echelle de taille du cœur.Dans le but d’une comparaison avec leurs resultats, on a calcule ce rayon au cours du processus(Fig. 2.16). Il est note pour le modele de Jacquin a1 (Eq. 2.10), par la suite il n’y a plus dedifference de notation entre les modeles, soit a1 = rc.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

τ = νt / b0

2

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

(rc/b

0)2

Avant la fusionAprès la fusion

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

τ = νt / b0

2

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

(rc /

b 0)2

Avant la fusionAprès la fusion

a) Vortex de Jacquin (rc = a1) b) Vortex de Lamb-Oseen

Fig. 2.16 – Evolution du rayon du cœur rc en fonction du temps τ pour un dipole a/b = 0.1 aReΓ = 1500.

L’equation des differentes droites de la figure (2.16) s’ecrit de la meme maniere. Pour celaon a utilise la loi theorique (Eq. 2.9) donnant l’evolution de la taille du cœur mais reecrite avecle rayon rc. L’adimensionnement spatial est effectue avec la distance de separation initiale desvortex b0, on obtient la relation :

rcb0

)2=

k2νt

b20+rc0b0

)2(2.27)

ou k est une contante positive. Sa valeur extraite de nos resultats pour le dipole a/b = 0.1 avec lesdeux modeles est donnee dans le tableau (2.4). La valeur theorique qui correspond a l’evolutiondiffusive d’un vortex isole et celle obtenue par Cerretelli et Williamson sont egalement donnees.

Theorie Lamb-Oseen Jacquin Cerretelli etWilliamson

k 2.24 2.13± 0.02 2.28± 0.02 1.9± 0.05

Tab. 2.4 – Comparaison des valeurs de k.

La valeur de la constante k est differente apres la fusion pour le modele de Lamb-Oseen, elle

38

est egale a : k = 2.25±0.02. En revanche elle est presque identique a celle obtenue avec les tour-billons de Jacquin. La difference entre avant et apres la fusion de la valeur de k pour le dipolede Lamb-Oseen peut s’expliquer par le fait que le profil de vitesse tangentielle du vortex finaln’est pas le meme apres la fusion (Fig. 2.18), il est du type multiple echelle comme le modele detourbillon de Jacquin. La persistance de filaments autour du tourbillon final peut etre egalementune explication a cette difference. La taille du tourbillon final evolue toutefois sous l’effet de laviscosite en suivant une loi du meme type que celle theorique (Eq. 2.9).A l’aide de l’equation (2.27) et de la valeur du rayon rc = rcc a la fin de la premiere phase de dif-fusion, on deduit le temps diffusif tdiff analogue a celui obtenu par Cerretelli etWilliamson ([1]) :

tdiff =1

k2ν(r2cc − r2c0) (2.28)

La caracterisation de la taille du cœur des tourbillons se base sur le rayon de dispersion devorticite dans toute cette etude. L’expression du temps diffusif adimensionne par le temps deretournement en utilisant ce rayon, s’ecrit :

t∗diff =ReΓ8π2b20

Kd (a2c − a20) (2.29)

ou Kd est une constante. Nous avons evalue sa valeur a Kd = 0.83± 0.03 pour toutes les confi-gurations a/b = 0.1 simulees avec le modele de Lamb-Oseen ou de Jacquin. Cette valeur estextraite directement des resultats. Toutefois, si on utilise la relation : rc = 1.12a et si le tempsdiffusif exprime avec le rayon rc (Eq. 2.28) est adimensionne par le temps de retournement, onobtient la relation suivante :

Kd =4 ∗ (1.12)2

k2(2.30)

La valeur theorique de cette constante est dans ce cas Kd = 1. La relation entre le rayon rcet a n’est valable que pour des vortex gaussiens axisymetriques. La difference entre la valeurtheorique et la valeur numerique (meme pour la simulation des vortex de Lamb-Oseen) peuts’expliquer par le fait que les tourbillons ont une forme elliptique qui s’etire de plus en plus aucours de la premiere phase de diffusion (section 2.4.1).

La seconde etape dite convective se decompose en deux parties. Dans un premier tempsl’ecoulement est gouverne par un processus d’advection-diffusion, la distance entre les tourbillonsdiminue progressivement. D’apres la comparaison entre les differentes simulations (Fig. 2.17),il y a clairement une dependance vis a vis du nombre de Reynolds. Par contre par la suite, ladynamique de l’ecoulement est purement convective, les tourbillons se rapprochent rapidementpar rapport au temps de retournement. La pente de la courbe de l’evolution de b est identiquepour toutes les simulations (Fig. 2.17). On deduit alors un temps convectif tconv correspondantau processus purement convectif du mecanisme de fusion :

tconv = 1102πa20Γ

(2.31)

En considerant le temps de retournement pour l’adimensionnement temporel, le temps de laphase purement convective est de l’ordre t∗conv = tconv/tc ∼ O(0.15). Dans le cas de la simulation

39

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0t*=t/tc

0.0

0.5

1.0

1.5

b/b0

ReΓ = 750

ReΓ = 1500

ReΓ = 5000

ReΓ = 240000

Fig. 2.17 – Evolution de la distance de separation b entre les deux vortex de Jacquin a differentsnombres de Reynolds.

a haut Reynolds ReΓ = 240000, les vortex restent separes par une distance b constante, ilstournent l’un autour de l’autre sans se rapprocher. Les cœurs des tourbillons diffusent treslentement, la premiere etape du mecanisme est tres longue, dans ce cas elle durerais t∗diff =tdiff/tc ∼ 115 (Eq. 2.29). En effet plus le nombre de Reynolds est eleve plus cette etape dediffusion est longue (Eq. 2.28, 2.29).Le temps de fusion totale tf est estime par la somme des temps caracteristiques de diffusionet convectif. Dans le cas du dipole a/b = 0.1, son expression adimensionnee par le temps deretournement est :

t∗f = t∗diff + t∗conv

=ReΓ8π2

Kd

(a2cb20− a20b20

)+

110

π

a20b20

(2.32)

Ce temps est une sous-estimation de la fusion complete en raison de deux periodes du processusqui dependent du nombre de Reynolds et qui ne sont pas prises en compte ici. Durant cesperiodes lecoulement est de type convection-diffusion, il s’agit de la premiere partie de l’etapede convection et de la deuxieme phase de diffusion du mecanisme.

Le profil de vitesse tangentielle du vortex final montrent qu’il a une structure multiple echelle(Fig. 2.18). Ce resultat est valable pour les deux types de modele initial de tourbillon choisisdans cette etude. De plus, ce vortex issue de la fusion est identique quelque soit le modele, il a lememe rayon de dispersion et est caracterise par le meme profil de vitesse tangentielle (Fig. 2.18).Ce profil se decompose en trois zones similaires a celle d’un profil de vortex de Jacquin. En effet,on distingue une premiere zone interne ou le la vitesse azimutale suit une loi du type vΘ ∼ r,une zone intermediaire telle que vθ ∼ rα avec α ∼ −0.6 et enfin une zone externe vθ ∼ rα avecα ∼ −1 (Fig. 2.18). La pente de la zone intermediaire ne correspond cependant pas a celle dumodele de Jacquin (α = −0.5)(Eq. 2.10). Les caracteristiques du profil de vitesse du tourbillonfinal est du au phenomene de fusion lui-meme.

40

0 5 10 15 20r/r

c

0

0.5

1v θ /

v θmax

JacquinLamb-Oseen

0.1 1 10 100log(r/r

c)

0.1

1

log(

v θ / v θm

ax)

JacquinLamb-Oseen

α = -0.6

α = -1

Fig. 2.18 – Profil de vitesse azimutale du tourbillon final a t = t/tc ∼ 1.7, dans le cas de lasimulation d’un dipole de Jacquin de a/b = 0.1 et ReΓ = 1500.

Simulation du dipole a/b = 0.15 a ReΓ = 10000La configuration de la simulation est de rapport caracteristique a/b = 0.15 du dipole et un

nombre de Reynolds de ReΓ = 10000. Les principaux resultats obtenus sont presentes dansce paragraphe. Une simulation tridimensionnelle de meme configuration a ete effectuee en vued’une comparaison entre les deux processus de fusion.

La dynamique du mecanisme de fusion est identique a celle du dipole de rapport a/b = 0.1,les tourbillons restent separes d’une distance constante et tournent l’un autour de l’autre, tantque le rapport a/b entre le rayon de dispersion a et la distance de separation b ne depasse pasune valeur seuil a/b)c. Le rapport a/b augmente en raison de la croissance du rayon de dispersiona sous l’effet de la viscosite. Lorsque la valeur a/b)c est atteinte une partie de leur vorticite estechangee, une autre se detache creant des filaments de vorticite. Les tourbillons se rapprochentalors mutuellement jusqu’a la fusion complete.

0 1 2 3 4 5 6t*= t/tc

0

0.5

1

b/b0

JacquinLamb-Oseen

0 1 2 3 4 5t*= t/tc

0

0.1

0.2

0.3

0.4

a/b0

JacquinLamb-Oseen

a) Distance intercentre b. b) Rapport caracteristique a/b.

Fig. 2.19 – Evolution des parametres principaux en fonction du temps adimensionne par letemps de retournement tc. Configuration a/b = 0.15, ReΓ = 10000.

41

L’evolution de la distance de separation b traduit les quatres etapes du mecanisme de fusion.La premiere etape se deroule sur un temps t∗diff = tdiff/tc ∼ 3.1, qui correspond a celui calculeavec la relation (2.29) avec comme valeur de la constante Kd = 0.8 et un rapport critiquea/b)c = 0.23. La difficulte pour etablir ces valeurs reside dans le fait que les effets convectifs etdiffusifs dominent chacun a leur tour la dynamique de l’ecoulement et que le passage entre leurpredominance s’effectue de maniere continue. Neanmoins, nos resultats permettent de considererque le rapport critique est bien a/b)c = 0.24 ± 0.01 et que la valeur de la constante Kd de larelation (2.29) donnant le temps caracteristique de diffusion est Kd = 0.83 ± 0.03. Pour cettesimulation, le temps de la phase purement convective est aussi telle que t∗conv = tconv/tc ∼O(0.15).Enfin, apres la fusion le vortex final a aussi un profil de vitesse tangentielle de type multipleechelle. La figure (2.20) represente les profils de vitesse azimutale du tourbillon fusionne pourles deux types de modeles de vortex initiaux (Lamb-Oseen et Jacquin).

0 5 10 15 20r/r

c

0

0.5

1

v θ/vθm

ax

JacquinLamb-Oseen

0.1 1 10 100log(r/r

c)

0.1

1

log(

v θ/vθm

ax)

JacquinLamb-Oseen

α = -0.6

α = -1

Fig. 2.20 – Profil de vitesse azimutale du tourbillon final a t = t/tc ∼ 5.3, dans le cas de lasimulation du dipole a/b = 0.15 et ReΓ = 10000.

2.5 Conclusion de l’etude bidimensionnelle

L’etude bidimensionnelle du mecanisme de fusion menee avec le modele de Jacquin ne presentepas de difference avec celle effectuee avec le modele gaussien de Lamb-Oseen, pour les nombresde Reynolds consideres ici. Nous avons obtenu une valeur seuil du rapport caracteristiquea/b)c = 0.24± 0.01, a partir de laquelle le rapprochement des deux vortex commence.La dynamique du mecanisme est dans un premier temps gouvernee par les interactions vis-queuses ayant pour consequence l’augmentation de la taille des tourbillons. Par la suite, unepartie de la vorticite des vortex est transportee hors de la structure tourbillonnaire par les zonesexternes de recirculation (Fig. 2.8) creant ainsi des filaments de vorticite. En effet, une partiede la vorticite de chaque tourbillon est advectee en suivant les lignes de courant separatrices ex-ternes (Fig. 2.7) considerees dans le repere tournant. De plus, les vortex echangent egalemementune partie de leur vorticite qui est transportee en suivant la ligne de courant separatrice interne(Fig. 2.7). Cette filamentation induit une vitesse sur chaque tourbillon qui les pousse l’un versl’autre. Ceci se traduit par l’existence d’un champ de vorticite antisymetrique qui peut expliquerle rapprochement des tourbillons principaux durant la phase convective du processus.

42

Le tourbillon obtenu par la fusion a un profil de type multiple echelle, quelque soit le modele devortex initial choisi. Ce resultat justifie l’utilisation de ce type de modele pour les simulationsnumeriques d’ecoulement dans le champ proche ou le champ proche etendu de sillage d’avion,la dynamique etant dominee dans ces regions par de multiples fusions entre des vortex co-rotatifs.

43

Chapitre 3

Fusion tridimensionnelle, instabilites

de courtes longueurs d’ondes

3.1 Introduction

Le processus de fusion des deux tourbillons emis en aval d’une aile d’avion peut etre provoquepar le developpement d’instabilites de courtes longueurs d’ondes dans les cœurs des vortex. Dansle champ proche etendu, les longueurs d’ondes de ces instabilites sont de l’ordre de la taille a desvortex ([7, 10]). L’objectif de cette etude est d’analyser la fusion dite instable de deux vortexco-rotatifs en utilisant les deux types de modeles de tourbillon, definis au chapitre (2), pour lessimulations numeriques.Les hypotheses de travail ainsi que la configuration de l’ecoulement et l’initialisation numeriquesont presentees en premiere partie de ce chapitre. La seconde section concerne les resultats de ladynamique globale du mecanisme de fusion par le developpement de l’instabilite de courtes lon-gueurs d’ondes. L’analyse spectrale utilisee pour la caracterisation des instabilites est presenteeen troisieme partie. Les resultats de l’evolution des parametres caracteristiques de l’ecoulementsont traites dans la derniere section.

3.2 Hypotheses de travail

Le champ proche etendu d’un sillage tourbillonnaire en aval d’une aile peut etre modelise avecune bonne approximation par deux tubes vorticaux paralleles et co-rotatifs. Cette hypotheseest en general verifiee en aval des avions de transport, mais il existe des avions (exemple :Boeing B-747) pour lesquels le sillage est constitue de plusieurs paires tourbillonnaires contraet co-rotatives. On suppose aussi que la vitesse axiale w est nulle a l’instant initial dans toutl’ecoulement, en particulier dans les cœurs des vortex. La derniere hypothese est que le systemede vortex co-rotatifs est symetrique, c’est a dire de taille et de circulation identiques. Dans lecas de sillage reel, ce n’est en general pas verifie, le systeme de vortex depend de la configurationde l’avion considere. Le cas symetrique est un cas generique, sur lequel de nombreux resultatsexperimentaux, numeriques et theoriques ([15]) peuvent servir de validation.

45

Domaine D Lx nx Lz nz200 401 14.805 36

Tab. 3.1 – Caracteristiques du domaine de calcul et du maillage.

Configuration et initialisation

Le systeme de vortex etudie est compose de deux tubes vorticaux paralleles co-rotatifs etsymetriques (meme rayon caracteristique a et meme circulation Γ) dans un domaine D. SoitR = (C, ~ex, ~ey, ~ez) le repere associe. Le plan transverse a pour equation z = cste (cste ∈ <+).La direction suivant ~ez correspond a la direction axiale des tubes vorticaux.Le dipole de tourbillons constituant les tubes est caracterise par le rapport entre le rayon ca-racteristique a et la distance de separation b. Le rayon a est le rayon de dispersion du vortex,calcule par le moment polaire de la vorticite au second ordre (Eq. 2.3). La configuration simuleeest de rapport caracteristique a/b = 0.15, avec une approche DNS (Direct Numerical Simu-lation) pour un nombre de Reynolds (Eq. 2.1) de ReΓ = 10000 et une approche LES (LargeEddy Simulation) pour ReΓ = 240000 avec l’utilisation du modele FSF (Fonction StructureFiltrees)(chapitre 1, section 1.3).

Le domaine de calcul D correspond a un octaedre non regulier de longueur (Lx, Ly, Lz) dansles directions (x, y, z) respectivement, et telles que Lx = Ly 6= Lz. La longueur Lz est choisie demaniere a pouvoir simuler les regimes lineaire et non-lineaire des instabilites de courtes longueursd’ondes, mais aussi la transition vers un ecoulement turbulent (section 3.4). Le domaine estdiscretise par (nx, ny, nz) points dans les directions (x, y, z). Le maillage dans le plan transverse(x, y) est identique a celui employe pour la simulation bidimensionnelle (Tab. 2.1), d’ou nx = ny.Le pas d’espace entre les points est irregulier sauf dans la zone d’interet de l’ecoulement quiencadre le systeme tourbillonnaire. Le maillage est regulier dans la troisieme direction (z). Lenombre total de points total est : n = O(6× 106).

Le nombre de points par longueur d’onde (12) correspond au nombre de points preconise parLe Dizes et Laporte ([14]) dans leur etude de prediction des instabilites elliptiques. Le cœurdes vortex est discretise par 21 points en considerant le rayon de dispersion (Eq. 2.3) commereference. Avec ce maillage il y a 24 points pour le rayon du cœur (rc) dans le cas de vortex deLamb-Oseen, et 36 points pour discretiser la zone interne et la zone intermediaire du profil devitesse d’un vortex de Jacquin (Eq. 2.10). Moet ([10]) et Laporte ([7]) preconisent egalement aumoins 12 points de discretisation du rayon du cœur pour le type de simulation de developpementd’instabilites effectuee dans cette etude. Le maillage est donc suffisament raffine.

Les conditions aux limites utilisees sont de type periodiques dans la direction axiale z, et detype symetriques dans les deux autres directions (x, y). La simulation de l’ecoulement de sillageconsidere correspond a une simulation temporelle et non spatiale.

Dans le plan transverse z = 0, un champ est initialise par superposition lineaire de deuxvortex. Ce champ bidimensionnel est projete sur chaque plan z = cste (cste ∈ <+). Les deuxtypes de modeles de tourbillons sont celui de Lamb-Oseen et de Jacquin presentes au chapitre(2). On obtient alors les deux tubes vorticaux paralleles (Fig 3.1,3.2) representant la modelisationd’une partie du sillage dans le champ proche etendu. Afin que les instabilites de courtes longueursd’ondes puissent se developper, le champ de vitesse initial (u, v, w) est perturbe par l’introductiond’un bruit blanc. La procedure d’obtention du champ de vitesse perturbe (u0, v0, w0) est la

46

suivante :

u0 = u× (1 + rA)v0 = v × (1 + rA)w0 = 0

(3.1)

ou r = r(x, y, z) est un nombre aleatoire pris dans l’intervalle [−1/2, 1/2]. L’amplitude A dubruit blanc est constante A = 10−3. Le bruit blanc contribue a amplifier les modes instablesdans les vortex en leur injectant de l’energie. Ces modes peuvent alors correspondre a des modesd’instabilites de courtes longueurs d’ondes elliptiques.

3.3 Dynamique de l’ecoulement tridimensionnel.

La dynamique tridimensionnelle de fusion d’un dipole de deux vortex d’une partie du champproche etendu peut etre modifiee par rapport au phenomene de fusion bidimensionnel, ditestable. En effet des instabilites de courtes longueurs d’ondes elliptiques (les lignes de courantproches du cœur des vortex deviennent elliptiques, cet ecoulement est instable par rapport ades perturbations tridimensionnelles) peuvent se developper et mener a la fusion des deux tour-billons co-rotatifs.La dynamique globale du developpement d’instabilites de courtes longueurs d’ondes est repre-sentee par la sequence d’images (Fig. 3.1) pour la simulation des tourbillons de Lamb-Oseen etla sequence (Fig. 3.2) pour celle effectuee avec les vortex de Jacquin. Ces images correspondenta l’evolution de deux isosurfaces et des isocontours (en fond d’image) de la norme de vorticitedans le cas de la simulation du dipole de rapport caracteristique a/b)0 = 0.15 avec un nombrede Reynolds de ReΓ = 10000.A l’instant initial les deux tubes vorticaux sont paralleles et cylindriques, ce qui correspondbien a l’initialisation effectuee. Un mode instable tridimensionnel dont la longueur d’onde estde l’ordre de la taille des cœurs (a definie par le rayon de dispersion) est developpe a l’instantt∗ = t/tc ∼ 1.95. Il se traduit sous la forme d’une oscillation sinusoıdale des cœurs des centresdes vortex, correspondant a la phase lineaire du developpement de l’instabilite ([7],[10]). Pour ledipole de Lamb-Oseen, quatres longueurs d’ondes de l’instabilite sont observees alors que pourcelui de Jacquin seulement trois. Dans le cas de la simulation des tourbillons de Jacquin, la findu regime lineaire est atteinte a t∗ = t/tc ∼ 2.25, la saturation du mode est observee. Les tour-billons commencent alors a echanger de la vorticite. Par la suite t∗ = t/tc ∼ 2.45, l’ecoulementdevient localement turbulent comme le montre la figure (Fig. 3.2). La meme evolution de ladynamique est constatee pour le cas des vortex de Lamb-Oseen mais un peu plus tardivement.Cette saturation aboutit a la fusion entre les tourbillons et a la formation d’un vortex uniqueencore fortement perturbe t∗ = t/tc ∼ 3.25 (Fig. 3.1,3.2).

Les champs de vitesse tridimensionnels ont ete moyennes dans la direction axiale z. Lasequence de figures (3.3) presente l’evolution des isocontours de vorticite pour la simulationdu dipole a/b = 0.15 a ReΓ = 10000 dans un plan (appele plan transverse moyen).

Comme dans l’etude bidimensionnelle, la forme des isocontours de vorticite est elliptique apresquelques temps de retrounement t∗ = t/tc ∼ 1.95, traduisant l’influence de chaque tourbillon surl’autre. D’apres l’evolution de la dynamique globale, la difference entre le processus de fusionstable (bidimensionnel) et instable est que les filaments de vorticite ne sont pas les memes. Eneffet dans le cas bidimensionnel, les filaments en bordure du systeme sont etires suivant les lignes

47

Fig. 3.1 – Isocontours et isosurfaces de la norme de vorticite dans le cas d’un dipole de Lamb-Oseen a/b)0 = 0.15 et ReGamma = 10000. Temps adimensionne par le temps de retournement(tc) : de gauche a droite et de haut en bas : t∗ = t/tc ∼ 0, 1.95, 2.25, 2.45.3.25.

48

Fig. 3.2 – Isocontours et isosurfaces de la norme de vorticite dans le cas d’un dipole de Jacquina/b)0 = 0.15 et ReGamma = 10000. Temps adimensionne par le temps de retournement (tc) : degauche a droite et de haut en bas : t∗ = t/tc ∼ 0, 1.95, 2.25, 2.45.3.25.

49

X

Y

-15 -10 -5 0 5 10 15-15

-10

-5

0

5

10

15

X

Y

-15 -10 -5 0 5 10 15-15

-10

-5

0

5

10

15

X

Y

-15 -10 -5 0 5 10 15-15

-10

-5

0

5

10

15

X

Y

-15 -10 -5 0 5 10 15-15

-10

-5

0

5

10

15

X

Y

-15 -10 -5 0 5 10 15-15

-10

-5

0

5

10

15

X

Y

-15 -10 -5 0 5 10 15-15

-10

-5

0

5

10

15

X

Y

-15 -10 -5 0 5 10 15-15

-10

-5

0

5

10

15

X

Y

-15 -10 -5 0 5 10 15-15

-10

-5

0

5

10

15

Fig. 3.3 – Isocontours de vorticite ||~ω|| moyennee dans la direction axiale pour un dipole a/b =0.15 et ReΓ = 10000 au cours du temps. De haut en bas : t∗ = t/tc ∼ 1.95, t∗ ∼ 2.25, t∗ ∼ 2.45,t∗ ∼ 3.25. Tourbillons de Lamb-Oseen a gauche et de Jacquin sur la partie droite.

50

de courant externes considerees dans le repere tournant (Fig. 2.8), ce qui n’est pas le cas lors dela fusion tridimensionnelle.

3.4 Analyse spectrale

Dans le but de determiner si un processus instable est present dans l’ecoulement, on etudiel’evolution de l’energie cinetique contenue dans chaque mode de Fourier dans le domaine D al’aide d’une analyse spectrale. L’expression de l’energie cinetique discrete, est en chaque pointde la grille :

Ec(xi, yj , zm) =1

2(u2 + v2 + w2)(xi, yj , zm) (3.2)

avec (i, j,m) les indices des points du maillage (i ∈ 1, nx, j ∈ 1, ny,m ∈ 1, nz).L’energie spectrale est obtenue en calculant la transformation de Fourier discrete moyennee dansla direction axiale pour chaque point de la grille (xi, yj) du plan transverse (x, y). Les coefficientsde Fourier sont definis par :

Eck(xi, yj) =1

nz

nz∑

m=1

Ec(xi, yj , zm)e−2Iπk/nz

pour k = 1, .., nz/2 et avec I =√−1. L’energie spectrale moyennee dans la direction axiale est

par consequent :

E∗

ck=

1

LxLy

nx∑

i=1

ny∑

j=1

Eck(xi, yj)∆xi∆yj (3.3)

ou ∆xi = xi+1 − xi et ∆yj = yj+1 − yj . Cette energie E∗ck

represente la quantite d’energiecinetique totale contenue dans le mode de Fourier k dans le domaine de simulation. La longueurd’onde correspondante a ce mode est λk = Lz

k . Le nombre d’onde kz adimensionne par lerayon de dispersion a est alors kza = 2πa/λk. Comme l’ecoulement de base est bidimensionnel,la decomposition de Fourier dans la direction axiale fournit en fait la perturbation d’energiecinetique spectrale. La distribution initiale uniforme d’energie correspond a l’energie perturbeepar le bruit blanc.Cette analyse spectrale permet de connaıtre l’evolution de l’energie cinetique dans l’ecoulementau cours du temps. Ainsi, la longueur d’onde et le taux de croissance de l’instabilite qui peut sedevelopper au sein des vortex sont connus (section 3.5).

Cette etude concerne les instabilites elliptiques de courtes longueurs d’ondes qui sont del’ordre de la taille du cœur du tourbillon considere. Ces instabilites resultent de la resonanceentre deux modes de Kelvin (ondes inertielles) et le champ de deformation externe induit parun tourbillon sur l’autre.Pour un vortex d’un dipole symetrique, il existe une infinite de bandes d’instabilites couvrantdifferentes plages de longueurs d’ondes. A l’aide de la prediction theorique effectuee par Le Dizeset Laporte ([14]) pour un dipole de tourbillons gaussiens, le mode le plus instable est identifie, ilcorrespond au taux de croissance σ de l’instabilite d’un vortex le plus eleve. Le Dizes et Laporteont etabli en utilisant la theorie de stabilite lineaire ce taux en fonction des differents parametresdu systeme : a/b, ReΓ et le nombre d’onde axial kz. La formule exprimant le taux de croissance

51

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

λ/a

σ*

n=1 n=2

n=3

Fig. 3.4 – Taux de croissance theorique des trois premieres bandes d’instabilites de courteslongueurs d’ondes pour un dipole a/b = 0.15. Traits pointilles : ReΓ = 10000, traits pleins :ReΓ = 240000.

([14]) adimensionne σ∗ par le temps de retournement tc = 2π2b2/Γ du syteme tourbillonnaireest :

σ∗ = π

√(3

4− Ω

2

)4K2nl(Ω)− 4

(b

a

)4(1

2− Ω− ξ(n)

)2− 2π2(kzb)

2

ReΓξ2(n)(3.4)

ou n est le nombre de bandes d’instabilites et ou :

Ω =

(a

b

)2(3.5)

Knl(x) = 1.5 + 0.038(0.16− x)−95 (3.6)

ξ(n) =1

2− (2.26 + 1.69n)− kza

14.8 + 9n(3.7)

Dans le cas de notre configuration a/b = 0.15, la figure (3.4) represente le taux de croissance enfonction de la longueur d’onde adimensionnee λ/a, correspondante au nombre d’onde axial kza.

D’apres la figure (3.4), les effets visqueux ont pour consequence de diminuer la valeur dutaux de croissance des instabilites. Ainsi les longueurs d’ondes de la troisieme bande n = 3d’instabilites ne devraient pas etre amplifiees pour la simulation ReΓ = 10000. La longueur dudomaine Lz dans la direction axiale a ete choisie de maniere a selectionner trois longueurs d’ondeλ/a = 3.29 qui correspond au taux le plus eleve de la premiere bande d’instabilite (n = 1).

3.5 Resultats

Le developpement des instabilites est caracterise par un regime lineaire qui correspond a unecroissance exponentielle de l’energie spectrale, puis par un regime non-lineaire traduit par une

52

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

t*= t/tc

1e-07

1e-06

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

Ec k1/

2mode k=3mode k=4

σ4

σ3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

t*= t/tc

1e-07

1e-06

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

Ec k1/

2

mode k=3mode k=4

σ3

σ4

a) Lamb-Oseen. b) Jacquin.

Fig. 3.5 – Energie spectrale au cours de la simulation du dipole a/b = 0.15 a ReΓ = 10000 enfonction du temps adimensionne par le temps de retournement tc.

saturation de l’energie spectrale. Le taux de croissance du mode le plus instable durant le regimelineaire est determine a l’aide de la decompositon de Fourier de l’energie cinetique totale :

σ =dln(Ec

1/2kz

)

dt(3.8)

ou Ec1/2kz

est le coefficient de Fourier de Ec1/2 correspondant au mode de nombre d’onde axialkz.La figure (3.5) represente les resultats de l’evolution de cette energie pour les simulations desdipoles de Lamb-Oseen et de Jacquin a ReΓ = 10000.

Le premier mode amplifie au cours de la simulation du dipole de Lamb-Oseen est le mode k =3 correspondant a la longueur d’onde λ/a = Lz/k = 3.29. Le taux de croissance adimensionneest σ∗3 = σ3.tc ∼ 3.4. Il correspond a la prediction de la theorie de stabilite lineaire pour desvortex gaussiens (Fig. 3.4), σ∗th = 3.47. Cependant le mode k = 4 devient plus amplifie par lasuite et gouverne le developpement de l’instabilite de courtes longueurs d’ondes (Fig. 3.1). Lavaleur du taux de croissance de ce mode est σ∗4 ∼ 5. Ce mode de longueur d’onde λ/a = 2.46n’est pas predit par la theorie comme un mode instable (Fig. 3.4) pour le dipole a/b)0 = 0.15initial. Le nombre de Reynolds est ReΓ = 10000, la taille des tourbillons a augmente a cause deseffets de la viscosite du fluide (Fig. 3.8). Meme si on considere le rayon du cœur a a l’instantou le mode k = 4 est plus amplifie que le mode 3, i.e t∗ = t/tc ∼ 1.5, pour etablir la predictiontheorique, ce mode est bien un mode instable. Cependant le taux de croissance numerique estplus eleve que celui theorique σ∗th = 2.47. L’energie contenue dans le mode k = 4 a deja augmentelors de l’amplification initiale du mode k = 3. L’amplification du mode k = 4 ne correspond pasexactement a la phase lineaire proprement dite, d’ou la difference avec la prediction theorique.

Dans le cas de la simulation du dipole de Jacquin, l’instabilite de longueur d’onde λ/a =3.39 (mode k = 3) domine la dynamique de l’ecoulement. Contrairement a la simulation dudipole gaussien (Lamb-Oseen), le mode 4 est d’abord le plus amplifie puis c’est le mode k =3 qui s’impose dans le developpement des l’instabilites. Le taux de croissance de l’instabilitecorrespondant au mode 3 est σ3 ∼ 6.5.D’apres Fabre et Jacquin ([8]), le taux de croissance de l’instabilite de courte longueur d’onde

53

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

t*= t/tc

1e-06

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

Ec k1/

2

mode k=3

σ3

Fig. 3.6 – Energie spectrale au cours de la simulation du dipole a/b = 0.15 a ReΓ = 240000 enfonction du temps adimensionne par le temps de retournement tc.

pour un vortex de Jacquin est 30% superieur a celui d’un vortex de Lamb-Oseen. Cela corresponda nos resultats sur la valeur du taux de croissance de l’instabilite de courte longueur d’onde. Parcontre, ce n’est pas la meme longueur d’onde d’instabilite pour les deux modeles : λ/a = 2.46pour le dipole de Lamb-Oseen et λ/a = 3.29 pour celui de Jacquin.Les simulations LES (Large Eddy Simulation) pour la configuration de ce dipole, a/b = 0.15avec un nombre de Reynolds ReΓ = 240000, ne sont pas terminees au moment de la redactionde ce rapport. Toutefois, l’avancement de la simulation de la fusion tridimensionnelle de deuxvortex de Lamb-Oseen est suffisante pour extraire la valeur du taux de croissance de l’instabiliteet identifier le mode le plus instable (Fig. 3.6). Le mode le plus amplifie est le mode k = 3correspondant a la longueur d’onde λ/a = 3.29 avec un taux σ∗ ∼ 4.5. Ces resultats sontcoherents avec la prediction theorique (Fig. 3.4).

L’evolution au cours du temps des parametres principaux a/b (rapport entre la rayon du cœura et la distance de separation b) et b, a ete calculee pour la simulation du dipole a/b)0 = 0.15 aReΓ = 10000. Lorsque le mode de l’instabilite sature l’ecoulement devient turbulent, il est alorstres difficile de distinguer les centres respectifs des deux tourbillons. La valeur de ces parametresa chaque instant est calculee a partir des champs de vitesse dans le plan transverse moyen(champs moyennes dans la direction axiale).Le processus de fusion tridimensionnel ne se decompose pas en quatre etapes comme pour lemecanisme de fusion stable. Cependant deux etapes se distinguent une de diffusion et une deconvection (en comparaison aux phases du cas bidimensionnel). Dans un premier temps lestourbillons tournent l’un autour de l’autre sans se rapprocher, la distance de separation b resteconstante (Fig. 3.5). Elle decroıt ensuite tres rapidement. Le temps de fusion est plus court dansle cas tridimensionnel t∗m = tm/tc ∼ 3.2 alors que t∗m ∼ 5.1 dans le cas bidimensionnel.

La taille des tourbillons augmentent sous les effets de diffusion. L’evolution du parametrea/b0 est tracee sur la figure (Fig. 3.8) seulement jusqu’au moment ou le mode instable sature.La fusion instable des tourbillons de Lamb-Oseen est plus tardive que celle des vortex de Jacquinpour la simulation effectuee ici.

Le profil de vitesse azimutale du tourbillon final issu de la fusion instable est presente surla figure (3.9). Il apparaıt une zone intermediaire ou la vitesse tangentielle suit une loi vθ ∼r−α avec α = 0.35 entre deux echelles caracteristiques de longueurs. Dans le cas de la fusion

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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4t*= t/t

c

0

0.5

1

b/b 0

JacquinLamb-Oseen

Fig. 3.7 – Evolution de la distance de separation b, calculee a partir des champs de vitessemoyennes dans la direction axiale, en fonction du temps adimensionne par le temps de retour-nement tc.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3t* =t/t

c

0

0.1

0.2

0.3

0.4

a/b0

JacquinLamb-Oseen

Fig. 3.8 – Evolution du rapport caracteristique a/b, calculee a partir des champs de vitessemoyennes dans la direction axiale, en fonction du temps adimensionne par le temps de retour-nement tc.

55

0 5 10 15 20r/r

c

0

0.5

1v θ/v

θmax

JacquinLamb-Oseen

0.1 1 10 100log(r/r

c)

0.1

1

log(

v θ/vθm

ax)

JacquinLamb-Oseen

α = -0.35

α = -1

Fig. 3.9 – Profils de vitesse azimutale moyennee dans la direction axiale du tourbillon final.Temps t∗ = t/tc ∼ 3.25.

bidimensionnelle la valeur de la puissance est α = 0.6. Le tourbillon final a un rayon rc (rayonou la vitesse tangentielle est maximale) qui est le double d’un des vortex initial. Pour les deuxtypes de modeles de vortex utilises dans cette etude (Lamb-Oseen et Jacquin), le profil du vortexfinal est quasi-identique comme dans le cas des simulations bidiemensionnelles du processus defusion. La structure du tourbillon obtenu apres fusion semble bien etre intrinseque au processus.

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Conclusion

Dans le champ proche etendu du sillage d’un avion, les deux tourbillons co-rotatifs emis auniveau des discontinuites de chaque aile (bout d’aile et de volet) fusionnent. Le sillage entierse compose alors de deux vortex contra-rotatifs representant un danger potentiel dans l’at-mosphere pour un autre avion. L’interet de l’etude du processus de fusion est de connaıtre lescaracteristiques du tourbillon qui en resulte. Cela permet de determiner les types d’instabi-lites qui peuvent se developper dans les tourbillons (issues des fusions), elles conduisent a ladegenerescence du sillage.La configuration de l’ecoulement etudie est un dipole de deux vortex co-rotatifs, concentres etsymetriques. Elle represente la modelisation des deux tourbillons generes en bout d’aile et devolet d’une des deux ailes d’un avion. Cette configuration est un cas simplifie de la realite, maispermet une bonne analyse de la dynamique de l’ecoulement au cours du processus de fusion.Ce phenomene a ete simule numeriquement avec l’utilisation de deux modeles de tourbillons,un modele de reference gaussien (Lamb-Oseen) et un nouveau modele plus adapte aux vortexde sillage, etabli par Fabre et Jacquin (modele de Jacquin VM2 ([8])). Cette etude a ete meneedans les contextes bidimensionnel, et tridimensionnel ; la dynamique de l’ecoulement au coursdu mecanisme pouvant etre differente. Les deux tourbillons du dipole sont instables a causedu champ de contrainte genere par un tourbillon sur l’autre. Des instabilites tridimensionnellespeuvent alors se developper dans les cœurs des vortex et provoquer la fusion, dite instable dansce cas.

L’etude bidimensionnelle a permis de considerer le mecanisme de fusion dit stable (en compa-raison au cas tridimensionnel). Les simulations numeriques effectuees a bas nombre de Reynolds(ReΓ = 750, ..., 10000) par rapport au cas reel, ont montre que le processus de fusion est declenchelorsque les tourbillons commencent a echanger de leur vorticite. Des filaments de vorticite sontalors generes aux extremites des tourbillons qui induisent une vitesse sur chaque vortex les pous-sant l’un vers l’autre jusqu’a leur fusion. Cet echange a lieu lorsque le dipole atteint une valeurcritique du rapport caracteristique entre la taille des vortex a et la distance b qui les separe,de a/b)c = 0.24± 0.01. L’augmentation de ce rapport est principalement due a la croissance dela taille des tourbillons sous les effets de la viscosite du fluide. Lorsque la valeur critique de cerapport n’a pas ete atteinte, la fusion n’a jamais eu lieu.

Le systeme tourbillonnaire etudie dans le contexte tridimensionnel peut etre soumis a l’in-stabilite elliptique de courtes longueurs d’ondes dans certains cas, dependant du nombre deReynolds et du positionnement des vortex. Le processus de fusion devient alors instable. Lafusion stable domine la dynamique en l’absence de perturbations fortes qui injecteraient del’energie dans les modes instables. Ces perturbations peuvent provenir des conditions externesatmospheriques. Dans le but de caracteriser la fusion instable, des simulations numeriques tri-

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dimensionnelles ont ete faites en utilisant un champ de vitesse initial faiblement perturbe pourprovoquer le developpement des instabilites de courtes longueurs d’ondes.Ces instabilites se traduisent par des oscillations de la position des centres des vortex dans leplan transverse, et periodiques dans la direction axiale. La dynamique de l’ecoulement est ca-racterisee par un regime lineaire (ou faiblement non-lineaire) qui correspond a une croissanceexponentielle des instabilites, puis par un regime non-lineaire ou les modes instables saturent,conduisant a un ecoulement localement turbulent. Les vortex sont alors tres deformes, et desstructures de vorticite sont generees dans le systeme tourbillonnaire, contribuant ainsi a ladestructuration du dipole. Les tourbillons perdent toute leur coherence. La fusion est alors at-teinte par reorganisation des structures turbulentes qui mene a un tourbillon unique instable.Les resultats obtenus des simulations du developpement de l’instabilite de courtes longueursd’ondes sont satisfaisants vis a vis de la theorie de stabilite lineaire.

L’utilisation du modele de tourbillon de Jacquin ([8]), qui definie le profil de vitesse azimutaleavec deux echelles de longueurs caracteristiques, n’engendre pas de differences dans la dynamiqueglobale du mecanisme de fusion par rapport a une simulation numerique effectuee avec destourbillons gaussiens (Lamb-Oseen ici). Le tourbillon obtenu par les deux fusions, stable etinstable, est identique pour les deux cas de modeles de vortex initial de cette etude. Dans lecas de la fusion stable (bidimensionnelle), ce tourbillon est de type multiple echelle comme celuide Jacquin. Les resultats preliminaires des simulations de la fusion instable ne permettent pasd’arriver a cette conclusion. Toutefois, les instabilites se developpant dans les cœurs des vortexde Jacquin ont un taux de croissance plus eleve que celles des tourbillons de Lamb-Oseen. Lafusion instable est alors plus rapide avec des tourbillons de Jacquin.

Cette etude constitue une premiere approximation du phenomene de fusion qui gouverne ladynamique de l’ecoulement dans le champ proche etendu du sillage d’un avion. La configurationsymetrique (meme circulation et meme rayon) des tourbillons n’est generalement pas verifieedans les sillages reels. L’hypothese d’une vitesse axiale nulle peut etre remise en cause, car souscertaines conditions une vitesse axiale peut exister dans les cœurs des vortex concentres, duea l’enroulement de la couche de vorticite emise par l’aile mais aussi par la prise en compte del’influence du jet moteur dans cette partie du sillage. Les instabilites pouvant se developperet dominer l’ecoulement, pourraient donc ne pas etre uniquement caracterisees par des modesaxiaux de courtes longueurs d’ondes. D’autres mecanismes d’instabilites pourraient alors existeret interagir avec celui observe dans cette etude.

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