Détermination de la matriceS dans le cas de potentiels tenseurs non nuls à l’origine

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<ul><li><p>IL NUOVO CIMENTO VOL. XX I I I , N. 3 1 Febbraio 1962 </p><p>D6termination de la matrice S </p><p>dans le cas de potentiels tenseurs non nuls ~ l'origine. </p><p>H. Co~L~ </p><p>Laboratoire Joliot-Curie de Physique ~ucldaire - Orsay (S.-et-O.) </p><p>(ricevuto il 25 0ttobre 1961) </p><p>Summary. --- One may determine in non retatrivistic Quantum Mechanics the (( Jost functions ~) (uncoupled case (1,3) and coupled case (a)) by con- sidering a basic set of solutions defined by their incoming or outgoing asymptotic behaviour. We shall demonstrate that in the coupled case where tensor potentiels satisfy V~(0) 0 it becomes very difficult to apply the regularity conditions to the physical solutions, which are linear com- binations of the basic set. The usual process for extracting the singular part at r= 0 allows us to remove only one of the two singular solutions. We shah see how, in certain cases, we may obtain the contribution of the less singular solution by use of a finite expansion of the more singular solution. In these cases the regularity, conditions are satisfied. </p><p>1. - In t roduct ion . </p><p>Pour obten i r la matr i ce S en m~canique qnant ique non re lat iv is te duns </p><p>le cas non coupl~ on ut i l ise deux mdthodes. </p><p>1) On const ra i t la so lut ion rdgul i~re en par tant de l 'or ig ine, c 'est ce </p><p>que l 'on fair duns los calculs num~riques. </p><p>2) On consid~re unc base de solut ions ddfinies par lcur comportement , </p><p>asymptot ique d 'ondes ent rantes ou sortantes, on constru i t les (~ fonct ions de </p><p>. Jost ~ (1-3) en imposant la condi t ion de r~gular i t4 ~ l~origine, ~ la so lut ion </p><p>(1) A. MARTIN: NUOVO Cimento, 14, 403 (1959). (2) A. MARTIN: Nuovo Cimento, 15, 99 (1960). (a) V. DE ALFARO et C. ROSSETTI: -IVUOVO Cimento, 18, 780 (1960). </p></li><li><p>D~TEtgMIIqATION DE LA MATRICE ~ DANS LE GAS DE ~OT]]NTIELS TENSEURS ETC. ~27 </p><p>physique, combinaison lin4aire des 4l~ments de la base. Cette m4thode a l 'avantage, d'une part, d'exprilner ais~ment les propri4t4s analytiques, d'autre part, elle permet d'obtenir les d4phasuges par une r~solution ~ caract~re it~- ratif si les potentiels sont suppos6s 6tre du type de Yukawa g6n6ralis6 (1-3,~) (m6me si un cceur dur est introduit (~)). </p><p>On peut g6n6raliser ces m6thodes uu cas coupl6. N6anmoins ceci n6cessite certaines pr6cautions si 16 potentiel tenseur est non nul ou singulier ~ l'origine. En effet le comportement l'origine d'une solution r6guli~re g6n6rale ou d'une solution singuli~re g6n6rale ne coincide plus avec le comportement corres- pondant des solutions non coupl6es. En ce qui concerne la premiSre m~thode, il est n6cessaire d'~tablir tout d'abord le degr6 des solutions r6guli~res ~ l'origine avant d'cffectuer l' int6gration des 6quations. Duns la seconde m~thode la situation est plus d61icute car une des solutions irr6guli~res 6rant plus singu- li~re que l'autre, le proc6d6 habituel d'extraction de la partie singuli~re ne s'applique qu~ la solution la plus singuli~re. Iqous altons montrer comment, duns certains cas, par un d6veloppement limit6 de cette solution la plus sin- guli~re, on peut 61iminer la contribution venant de l 'autre solution singuli~re. </p><p>2. - Expression de la matrice S. </p><p>Iqous ~llons d'abord rappeler (~) d'une mani~re l~g~rement diff4rcnte com- ment on peut d4finir la matrice S duns le cas d~ondes coupl~es satisfaisant ~: </p><p>(1) </p><p>d2 2 ~r ~ _ J ( J - -1 )+ K~r2+r " Vl(r), </p><p>r 2 V~(r ) r~ ~r ~ - - ( J+ 1 ) ( J+ 2) -J-K2r ~ ~- r2V~(r) wj </p><p>~L ~0, Wj </p><p>V 1, V 2, V ~ 4tant les combinaisons h~bituelles de potentiels Vo(r), V~(r), Vzs(r), Vq(r) que nous supposons d~croissanee exponentielle quand r -+oo et moins singuliers que r -~ ~ l'origine. </p><p>(a) R. V]N~I-MAu et A. MAI~TI~: Nuovo Cimento, 20, 310 (1961). (5) A. MARTIn: Summer School of Theoretical Physics (Yugoslavia, 1961). (6) H. COR~ILI.E: Nuovo Cimento, 21, 773 (1961). </p></li><li><p>528 H. CORNILLE </p><p>Soit une base (*) de (1) </p><p>te~e que </p><p>(R~( K, r)) Y~ = \T?(4- K, r) </p><p>=(exp[:J=iKr]J~(~:K,r)) \exp [ ~= iKr] g~ ( ~= K, r) </p><p>0 </p><p>et Y[~(exp[~: iKr] )" </p><p>Si on suppose V~(r)~oV~r -~ et les potentiels non tenseurs de la forme V~(r) ~0Const r -*' (e et ~, 6tant &lt; 2) on t rouve comme systbme fondamentM 2 solutions &gt; (nulles pour r = O) et 2 solutions &gt;, d~ofi pour route Y de (1) </p><p>(2) y = -:0 ~: ~ w \ r " ~,Jr)/ </p><p>= t Oq t\ r J+' ~fll(r) / @ </p><p>-~- O~ 2 </p><p>[r - ~4(r) + g'~ r_,J+~)yj,(r) ]" </p><p>S is = 0 le deuxigme terme en w devient rJ+~(Lr)~o&amp;) et le dernier terme en u: r-(J-:)(Lr)~o4(r); 910(0)=1 et ~0~(0)= C7~ r6el ne d6pendant que des coef- ficients du systgme differentiel (1), C~ d6pend de J, e et du couplage V~; donc: </p><p>i r~OX~ k,i tie i or, ~L(o)= ~, (o ) . </p><p>Toute solution physique sera une eombinaison lin6aire des lz~ ne poss6- dan~ pas les 2 solutions singuligres. </p><p>1) J-: N J+: Sj_: et sent obtenus en eonsid6rant une onde entrante pure ,v j - - 1 </p><p>IS j_: bet Sj+~ - e) (J--l); Y=aY~+bY++c~+\ J-t a J-: </p><p>(') Etant donnd le comporteme~t quand r~oo des potentiels on pourrait (6) aussi prendre </p><p>011 </p><p>off est solution de (1) sans potentieIs. + </p><p>o (hj+l(Kr)); </p></li><li><p>D~T:E~MINATION DE LA MATRIC]~ ~ DANS L]~ CAS DE I~OT]~NTI]~LS T]~NSEUP~S ]ETC. 529 </p><p>soumise uux conditions de r6gul~rit6 g l'origine. </p><p>[ a~o~a(0 ) + bg)+~(0) + cT+~(0) ~ O, </p><p>a~f/a(O ) -~ + c~f+2(O) ---- bq~+~(O) eq~+~(O)) 0 (k=3, 4). </p><p>I1 rant bien remarquer que p~rmi ces qu~tre relations, il n'y en a que 2 qui sont ind6pend~ntes. </p><p>J-- On pourr~it de m6me d6finir _z+~,q~+l et Sz+~. </p><p>2) D@h~sages propres: K ~tunt r~el la solution physique seru (*) </p><p>(4) Y=aY[+ bY+ +eY; + dY + ~ ( 2(exp[--i(Krd-~)J--exp[d-i(Krd-(~)])l ~ \--/~(exp [--i(Kr d-~) ]--exp [ d- i(Kr d-(~) ]) / " </p><p>Et~nt donn5 le comportement de ~ quand r--&gt; c~, on expl~me ais6ment a, b, c, d, en fonction des quuntit4s r6elles 2, #, 5, les conditions d'annulation des 2 solutions singuli~res l'origine nous donnent les 2 relations ind~pen- d~ntes n6cessuires pour dSterminer 2 qu~ntit~s r4elles reli4es l'une ~u d~- phasage, l'~utre nu pur~mbtre de m61~nge, </p><p>(5) 2(exp [ - - , i6]~(0) -- exp [+ i~]~+~(0)) -- </p><p>- ~(exp [-,@~L(o) - exp [ .@~L(o))-_- o (k = 3, 4) </p><p>la relation off les ~.i(O) 6tant C~ lois lu relation pr6c6den~e; y;k,~(O) remplncent le syst6me (s) en 2/# et tg (~ est ~ coefficient r6els si on rem~rque que @;dK*, 0))* + : %.~(K, 0). On peut a,lors en d6duire (4) les deux v~leurs 5~, ~ ainsi que le p~r~m~tre de couplnge. </p><p>3. - D6terminat ion des (~ extens ions des fonct ions de Jost au eas eoupl6 )). </p><p>Fin~lement pour d6terminer la matrice S ou les d6phasages propres, il </p><p>est n6cessaire d'obtenir les couples / \~ ' (0 )~ ( i= 1,2, k=3, 4) qui sont les \vL(o)/ </p><p>4quivalents dgns lecns coupl4 des fonctions de Jost; pour chaque couple (k) </p><p>(') Pour simplifier l'4crieure 6 usuel est remplac6 par 6+ (J--1)(~/2). </p></li><li><p>530 H. CORNILLE </p><p>un seul des deux termes :~ %.dO) ou ~,,,,(0) &amp;ant suffisant. </p><p>1) e &lt; 0 o.J-l. -+ lira ', ~i (K, r) = q~3*(O) r - -&gt;o </p><p>= lim r T=- (K. r) V~(O) 0 .,+1 + = y,~.~(O) </p><p>le probl&amp;ne est r6soluble, on peut 61iminer les contributions proven~nt des deux solutions singuli~res (4). </p><p>(5) 2) 2 &lt; e~ 0 dans le oas off les potentiels </p><p>non tenseurs sont analytiques. </p><p>~ous sllons montrer comment obtenir un syst~me fondsmentsl de solu- tions de (1) au voisinsge de l'origine pour v= 2 - -s&gt; 0 sous for_me de dS- </p><p>/ao o\ veloppements ~ r~+~'( " ~. Nous d&amp;erminerons dsns le css ,~</p></li><li><p>D~T]~RMINAT ION DE LA MATRICE ~ DANS LE CAS D~ I~OTENTIELS TENSEURS ETC. 531 </p><p>(:) ( ,~ c,, , o,,. Pour simplifier nous dtudions pour r - * 0 au lieu de \g~] sage d'un ddveloppement ~ l 'autre est imm4diat. </p><p>A) ~0 non entier. ~ous nous limiterons ~ des potentiels tenseurs </p><p>et non tenseurs V~ -~o~ V~r ~ (off s= l , 2). i=0 </p><p>l~eportant le d6veloppement duns (1) on obtient pour les couples (n, m) ]a relation de r6curence </p><p>(6) ( , .+_ . 1&gt; 0 </p><p>O, /(n -k my, J-I- 1) b~ </p><p>~:ot\v,v,/\ ~ ~o-j v:/\bo_,,o/~ ~bo_,~)- O, </p><p>off ](p, J) =p(p -- 1) - - J ( J + 1). l%echerehant les couples (no, too) minima on trouve 2 cas qui donnent 2 </p><p>groupes de solutions bien distinctes. </p><p>ler eas: ](no+mov, J - - l ) - - - -O ; a%,%:/:0, b~,%-----O et (no, mo) : ( J ,O) et ( - ( J - i ) , o). </p><p>Les coefficients b~+~.o sont nuls, le premier terme de west </p><p>r"+'(--V~a%.o)/l(no +V, J+ l ) ; </p><p>on obtient les solutions et de (2) J+ 2 \ - - ( J - -1 )+~ , </p><p>() (') (ut (-) (,, ~~ . kb () I .=] b(2) a W ~ m=O \ n ,m/ \~0/2 ~0 3 m=O \ ~t ,m/ ~vee a~8)o= 0 lu solution 3 ne ddpend que d'une constante comme nous le verrons duns le cas suivant. </p></li><li><p>532 i-i. CORNILLE </p><p>2~me eas: ~(no+mov, J+ l )=O, a ..... =0 , b ..... 0 et (no, mo)--~ ( J+2, O) et ( - (J+~), o) </p><p>Les coefficients a,,+~.o sont nuls, le premier terme de u est: </p><p>r%+'(--V~b~o.o)/t(no+v, J - - l ) ; </p><p>on obt ient les solutions </p><p>eg de (2) \ J+2 z \ - - ( J+ l ,~ </p><p>w/4 l a </p></li><li><p>I ) ]~T~RMINAT ION I)]~ I ,A iVIATRICE ~ / )ANS L~E C/kS DE POTENTIELS T]~NS:EUI~S ]~TC. 533 </p><p>m'&gt;0 tels que p '+(m' - - l )v</p></li><li><p>534 ~. COR~:LLE </p><p>On se limite dans ce qui suit ~ ~,~</p></li><li><p>D~TER~I INATION DE LA Y[ATRICiE ~ DANS LE CAS DE POTENTIELS TENSEURS ETC. 535 </p><p>I1 est facile de voir quels sont les termes plus ou uussi singuliers que ceux </p><p>de \w / .=O \r_(,_,,+.] . Bemurquons que les coefficients de m~me 4criture </p><p>C) a ~ ou b~ ~ muis de solutions diffgrentes sont diff6rents car ils ne sont pus dgfinis par les mgmes relations. </p><p>Remarques: 1) Si v~c~), les Y~ seront d~finis par leur curuet~re usymptot ique d'ondes coulombiennes entruntes ou sortuntes. Etunt donn~ ce mSme comportement en 1/r (quund r -~ 0) le degr4 des diff4rentes solutions du syst~me fondumentul (2) reste le m6mc. Si VT(0) 0 on peut d~velopper un formulisme sembluble it ce qui a 4t4 fuit en introduisunt duns les potentiels non tenseurs un pole du premier ordre. </p><p>5. - Conc lus ion . </p><p>Cette m5thode de d~termin~tion des coefficients des parties singuli~res des solutions que nous ~vons montr4e pour des potentiels non tenseurs d~velop- pables reste rulable s ices potentiels ont un pble du premier ordre (ex. poten- tiels de Yukuw~). Duns tous ces cus on pourr~it en d~duire les propri~t4s d'analyticit~ de la m~triee S. Cette m~thode ne s'applique cepend~nt plus si les potentiels non tenseurs sont singuliers et quelconques (0 &lt; ~i&lt; 2, $i quel- conque 1). </p><p>Je remercie le Professeur R. ~ATAF et le Dr. A. ~ABTI~ du CERN pour leurs suggestions utiles et pour m'avoir encourag6 ~ publier les r6sultats obtenus. </p></li><li><p>5 36 H. CORNILLE </p><p>R IASSUNT0 (*) </p><p>Si possono determinare, nel la meceaniea quuntist iea non relativistica, le (~ funzioni di Jos t , (caso non accoppiato (1,3) c caso accoppiato (4)) considerando un gruppo ~on- damentale di soluzioni definite del loro comportamento asintotico, in entrata o in uscita. Dimostreremo che nel caso accoppiato, in cui i potenzial i tensori soddisfano la V~(0)~ 0, diviene difficilissimo applicare lc eondizioni di regolarit alle soluzioni fisiche, ehe sono combinazioni l ineari del gruppo fondamentale. I1 procedime~to usuale per cstrarre le part i singolari per r = d ci permette di el iminare solo una delle due soluzioni singolari. Vedremo come, in alcuni casi, possiamo ottenere iI cont~ibuto della sohz ione meno singolare facendo uso di uno svi luppo finito della soluzione pifi singolare. In questi casi le condi- zioni di regolarit~ sono, soddisfatte. </p><p>(*) T raduz ione a eura de l la Redaz ione . </p></li></ul>