Journal of Applied Mathematics and Physics ( Z A M P ) 0044-2275/84/003413-11 $ 3.70/0 Vol. 35, May 1984 �9 Birkh/iuser Verlag Basel, 1984

D6termination des caract ristiques m caniques et optico- m6caniques d'un mat6riau visco61astique bir6fringent

Par Jacques Derouet, Universit6 de Poitiers - Facult6 des Sciences, Laboratoire de Mbcanique des Solides, 86022 Poitiers, France

I. Introduction

La plupart des mat6riaux transparents utilis6s en photo61asticim6trie bi- dimensionelle n 'ont pas un comportement 61astique mais, bien au contraire, visco61astique. I1 importe doric de pouvoir d6terminer aisbment les lois de com- portement m6caniques et optico-m6caniques.

Une des m6thodes les plus simples consiste fi imposer fi une 6prouvette une sollicitation harmonique; comme nous le verrons dans la suite, le probl~me revient fi d6terminer quatre fonctions complexes (analogues au module d'Young, au coefficient de Poisson et aux deux constantes optico-m~caniques pour des mat6riaux 61astiques) d6pendant de la frbquence d'excitation.

De nombreuses 6tudes ont 6t6 effectu6es sur le comportement des mat6riaux photovisco61astiques. Citons d 'abord les travaux de Dill et Fowlkes [1], Theoca- ris [2] qui pr6sentent des r6sultats tr6s complets sur diff6rents mat6riaux; ils d6terminent, en quasi-statique (et en utilisant le principe d'6quivalence temps- temp6rature) les lois m6caniques completes mais ne s'int6ressent du point de vue optique, qu'fi la bir6fringence. Lallemand et Lagarde [3] utilisent une excitation par choc; par des mesures de d6formations et en exploitant des r6seaux d'isopachiques ils d6terminent compl6tement les lois de comportement mais utilisent un mat6riel complexe et cofiteux (laser fi impulsion, cellule de Pockels, etc...).

Comme autres mbthodes propos6es, indiquons celles de Raftopoulos et Kartalopoulos [4] reposant sur le ph6nom6ne des caustiques obtenues en en- voyant un faisceau lumineux sur la pointe d'une fissure am6nag6e dans une plaque soumise fi une traction simple. Theocaris et Gdoutos [5] 6tudient en quasi-statique et par une m6thode interf6rom6trique les variations des caract6ri- stiques du mat6riau en fonction de l'intensit6 des contraintes exerc6es.

La m6thode que nous proposons permet d'~valuer ~i toute fr6quence impo- s6e, et fi l'aide d'un seul montage ne n6cessitant que des 616merits classiques, l 'ensemble des caract6ristiques m6caniques et optico-mbcaniques d 'un matbriau.

414 J. Derouet ZAMP

2. Choix du montage exp6rimental et du mode de sollieitation

x2

Figure 1

M I

o . . . . . . . .

i

, I

La d&ermination des caract6ristiques m6caniques et optico-m6caniques nous a conduit fi utiliser une plaque mince, de section rectangulaire, excit6e en vibra- tions longitudinales stationnaires. La sym6trie de la g6om6trie et du chargement permet de connaitre sans ambiguit6 les directions principales des tenseurs des contraintes et des d6formations, et du tenseur di61ectrique. D'autre part, la faible 6paisseur de la plaque nous autorise fi utiliser la sch6matisation des contraintes moyennes planes (Fig. 1).

3. Etude m6canique

Cette 6tude a 6t6 d6velopp6e dans une publication ant6rieure [6]. Nous nous bornerons / t en donner ici les r6sultats essentiels.

3.1. Loi de comPortement

Elle est du type visco61astique lin6aire [1]. t

~i j (X1, X2, t) = Oij ~ ~)~* (t - - ~) ~kk(X1, X2, 55) dT - 0~ (1 )

t + ~ 2 1 z * ( t - z ) ku(Xl, X2, z) dz i , j = l , 2 .

--CO

Les fonctions 2* et #* sont les fonctions de relaxation, d6finies sur [0, + oo[. La recherche de mouvements stationnaires, permet, en posant

ais(Xl , x2, t) = ~r {#u(xl, x2) exp (jco t)} et

g,/j (X1, X2, t) = ~ e {gij (X1, X2) exp (j co t)}

d'6crire la relation (1) sous la forme suivante:

au = 6u y* (co) gkk + 2 fi* (CO) gU (2)

Off 2* (CO) et #* (CO) sont les transform6es de Carson-Fourier des fonctions 2* et #*, et repr6sentent les modules complexes du mat6riau.

Vot. 35, 1984 D&ermination des caract6risfiques mdcaniques 4t5

A c e s quantit6s on peut associer le module d 'Young complexe d6fini par E((0) = / ~ * ( 3 2 " + 2/i*)/(7~* + fi*) et le coefficient de Poisson complexe ~((0)

1 2"/(2" + p*). Darts la suite, il sera 6galement c ommode de noter: = ~

E = E o ( l + j c S ~ ) = E ~ e x p ( j c ~ ) et ~ = v 0 ( l + j 6 ~ ) = v ~ e x p ( j ~ * ) . (3)

3.2. Equation des vibrations longitudinales - Rksolution

L'6prouvet te (Fig. 1), de masse m = 2 ~ l L e o = ~ S L , est encastr6e en x t = 0 dans un bMi fixe et est soumise en x 1 = L/t une excitation ff = F o cos co t 21 par l ' interm6diaire d 'un syst6me de masse M.

Le rappor t 1/L &ant de 0,07, on peut se contenter d'utiliser les hypoth6ses de la th6orie d 'Euter-Bernoull i [6],/t savoir que les sections restent planes au cours du mouvement , que l'6tat de contrainte est uniaxial dans la direction 21, que seul le d6placement longitudinal u I e s t pris en compte et que les diverses fonctions ne d6pendent que de x l-

Dans ces condit ions les relations (2) entra~nent 611 = E gl~ et g22 = - - ~ g11, qui sont analogues fi celles de l'61asticit6. En posant :

U 1 (X1, t) = ~ e {bll (Xl) exp (/co t)}

on peut montrer que ~ doit satisfaire fi:

bl I (X1) -]- ~ (02 E - 1 Ul (x1) = 0 (4)

dont la solution, compte- tenu des condit ions aux limites est:

~2,1 (xl) = Fo L sin (kx~/L)/[E S k {cos k - (M/m) k sin E}] (5)

avec ~2 = 0 (02 L2/E. Une d6composi t ion de ~i I (xl) en s+rie de fonctions or thogonales Xp(x 0

= sin (kp xl /L) off les kp sont les racines successives de l '6quation k tgk = re~M, permet d'6crire ~i 1 (Xl) sous la forme

~1 (Xl) = ~ Fo 122 Xp (L) Xp (xO/[E S (k~ - E 2) apl (6) p = l

avec t L [ 1 + ( M / m ) 2 ap = 2 Xp (L)].

On peut montrer que les termes successifs de la s4rie (6) d6croissent tr4s rapidement en fonction de la pulsat ion (0. Dans ces conditions, au voisinage du premier mode de vibrat ion (d6fini par la pulsat ion (01 = (k~/L)(o~/Eo) l/z, il est 14gitime de representer ~(xl) par le premier terme de la s6rie (6) que l 'on &fi t

~i~ (Xx) ~- FoXI(L) XI(xl) /[ 0 Sal((02 - (02 + jc~e (0~)] = A 1 exp (j ~01) (7)

a v e c

A 1 = FoX 1 (L) X 1 (xl)/[ 0 Sa 1 {((0~ - (02)z + ~ ~,,4~1/zl ~ i J .I

et tg (p~ = c~ E (0~/((02 _ (0~). (8)

416 J. Derouet ZAMP

On reconnait dans (8) les expressions classiques de l 'amplitude et de la phase d 'un oscillateur fi un degr6 de libert& Par suite

u 1 (x 1, t) = A 1 cos (co t + ~ol).

De la relation g~ 1 = fix, on obtient facilement

etl (xl , t) = B l l cos(cot + ~01)

e22 (xl, t) = - v~ B l l cos(cot + cpl + cp*)

el_ 2 (X1, t) = 0

(9)

Off Bl l = A 1 �9 (X' 1 (x l ) /X 1 (X1)). L 'ensemble des relations (8) et (9) mont re clairement la faqon de d6terminer

E et ~7: la pu lsa t ion / t la r6sonance de phase donne Eo; la m6thode de la bande passante fournit 3E; le rappor t des ampli tudes et la diff6rence de phase entre e ~ et ~22 conduisent fi v~ et 6".

On en d6duit ais6ment les contraintes

a l l = E~ B l l cos (cot + ~Pl + 6~) et o-12 = 0 " 2 2 = 0.

4. Etude optico-m6canique

4.1. Loi de comportement

D'une fa~on analogue /t celle du paragraphe 3, nous avons choisi la loi

suivante t

K~j = N 2 6ij + 2 N o [6i~ ~ C 2 ( t - z) ~kk (~) dz

t

+ ~ { C l ( t - ~ ) - C 2 ( t - z)} dij(zldz] (10) --0:2)

off Kij est le tenseur di61ectrique, N O l'indice de r6fraction du milieu non con- traint; Ct et C2 sont les fonctions de relaxation optico-m6caniques. On notera Ci (co) = Ci exp (j Oi) pour i = 1 ou 2, leurs transform6es de Carson-Fourier .

4.2. Cas des vibrations longitudinales

D'aprds les r6sultats du w 3, la loi (10) montre que le tenseur Ki~ est diagonal et que les valeurs principales sont donn6es par

Ki = N 2 {1 + 2 N o 1 C, E8 Bt l cos(cot + (p~ + 6* + ~,)} = N {

avec i = 1,2. (11)

Vol. 35, 1984 D6termination des caract6ristiques m~caniques 417

Les Ni sont les indices de r6fraction principaux. Une 6valuation de l 'amplitude du terme sinusoidal mont re que celle-ci ne d6passe pas 10 -4 pour les mat6riaux courants. On peut donc 16gitimement 6crire

N ~ - N ~ + C ~ E ~ B ~ c o s ( c o t + c p ~ + 6 * + O i ) avec i = 1 , 2 . (12)

4.3. Calcul des chemins optiques 6i = Ni e

Lots du mouvement , l '6paisseur du mod+le varie au tour de l '6paisseur ini- tiale e o. Cette variat ion vaut Ae = e 0 Ne[e33 exp(jcot) ] = - % N~ [~/~-1 (611 + 622) exp (jco t)] c'est-fi-dire Ae = - eo v* B l l cos (cot + (Pl + 6*).

Par suite

0 i = N i e = N i ( e o + Ae) = e o [No + Ci E~ B l l cos (co t + ~Pl + c5" + 0i)]

x [1 - v~ B 11 cos (co t + (Pl + 6")].

En n6gligeant dans cette expression le produi t des fonctions sinusoidales, dont l 'ampli tude est environ le millieme de celle des autres termes, on obtient

6~ -~ e o [N O + 6"~ E~ B~I cos (co t + ~o~ + 0;)] (13)

off C'~ et 0; sont d6finis par

C'i cos 0; = Ci cos (0i + 6~) - v* No E~ - 1 cos 6" (14)

C'i s i n 0i' = C~ sin (0i + c5~) - v* N 0 E~ - 1 s i n o re* .

5. Etude optique

L'6quat ion (13) indique clairement que, pour d&erminer les quatre quantit6s C' i e t 0; (i = 1, 2), il est n6cessaire de mesurer les variations de chemin opt ique dans la direction 23 et pour les deux polarisations parall6tes/t 21 et 22. On d0it donc faire appel fi un montage interf6rom6trique: on envoie une onde lurnineuse plane, normalement fi la face avant du mod61e et on mesure l'intensit6 de l 'onde r6fl6chie, combinaison de r6flexions et r6fractions multiples sur les deux faces du modble.

5.1. Propagation de la lumiOre dans un milieu isotrope sous incidence normale (Fig. 2)

L'onde incidente, polaris6e rectilignement selon 21 ou 22 a pour direction de propaga t ion la normale h 1. L'indice de r6fraction du milieu est N. On note ~2, fi3, ~4, ~5 les directions des diff6rentes ondes, transmises ou r6fl6chies (routes parall61es/t 23). Chacune est caract6ris6e par son champ magn6tique de la forme

/ t (P~) = h~ exp {j (O t - 2 7c N 2-10P~.h~)} i = 1, 5.

418 J. Deroue t Z A M P

T t . . e ~

pl n l ) .na-

O

Ps

Figure 2

2 est la longueur d 'onde de la lumi6re utilise6 et la vitesse de la lumi6re dans le vide, ~2 = 2 Tc c/2. ~i caract6rise la direction de polarisat ion [7, 8].

L 'ensemble des 6quations de Maxwell associ6es aux condit ions aux limites sur les deux faces du mod61e permet tent de conna~tre l '6volution du vecteur /7 . Le principe du calcul a 6t6 expos6 dans une pr6c6dente publicat ion [9]. On peut alors mont rer que l 'onde r6fl6chie d6finie par fi2 est d o n n & par

h*2 = C exp (j 0) hi

avec C exp (j 0) = ( N e - 1) sin Z/[(N 2 + 1) sin Z - 2 j N cos Z]

et Z = 2 r c a 2 -1 , a = N e .

L'intensit6 lumineuse correspondante est proport ionel le fi C e

soit I = sin e Z/[s inez + 4 N 2 (N 2 - 1) -2] = a 2 sin 2 Z . (15)

Le coefficient a 2 d6pend de Z et de N; pour N = 1,6 (valeur approxima- tive pour les mat6riaux examin6s), a 2 varie entre 0,192 et 0,238; cette faible variat ion peut donc 6tre n6glig6e en pratique, d 'autant plus que nous ne pren- drons en consid6rat ion que les extremums de I pour lesquels a 2 n'a pas d'in- fluence.

5.2. Application ~z un milieu anisotrope

C o m m e il a 6t6 indiqu6 en [9], il n'y a pas de diff6rence essentielle entre un milieu isotrope ou anisotrope, dans la mesure off l 'onde incidente est polaris6e rectil ignement selon l 'une ou l 'autre des directions principales du tenseur di61ec- trique. I1 suffit alors de remplacer, dans l 'expression (15), c5 par 6 i = N~ e (i = 1, 2) tels qu'ils ont 6t6 d6finis en 4.2 et 4.3.

6. Etude exp6rimentale

Pour d6terminer s imultan6ment les caract6ristiques m6caniques et optico- m6caniques d 'un mat6riau, nous avons conqu le montage sch6matis6 sur la Figure 3.

Vot. 35, 1984 D~termination des caract6ristiques mhcaniques 419

I =-IA

II,

Le PM

Figure 3 A Aimant La Laser B Bobine d'excitation P Polariseur M Masse S Lame semi r6fi6chissante a" L Jauges longitudinales Le Lentille Jr Jauges transversales PM Photomultiplicateur E Eprouvette

L'6prouvette E est coll6e sur un bloc de b6ton par sa base infdrieure; la partie sup6rieure supporte une masse M constitu6e de la masse de la bobine d'excitation B, et de surcharges que l'on peut interposer/t volont6. La bobine, reli6e /L une chaine d'excitation 61ectrodynamique (g6n6rateur & courant con- stant et fr6quence r6glable) se d6place dans l'entrefer d'un aimant permanent A.

Du point de vue optique, un faisceau laser (2 -- 632,8 nm) traverse un polari- seur orientable P e t arrive en incidence quasi normale sur l'6prouvette; les faisceaux r6fl6chis sont d6vi6s, par l'interm6diaire d'une lame semi-r6fl6chissante S convenablement ptac6e, vers une lentille qui permet de superposer les deux

420 J. Derouet ZAMP

faisceaux r6fl6chis par les faces avant et arri6re du mod61e, pour former un r6seau de franges d'interf6rences. Un photomultiplicateur P M permet de mesu- rer l'intensit6 lumineuse en un point quelconque de ce r6seau.

Les d6formations de l'6prouvette sont mesur6es par des jauges coll6es selon les directions 21 et 22, et mont6es en pont complet (avec jauges de compensation thermique).

On dispose donc des signaux suivants:

- signal proportionnel fi la force excitatrice: F = F o cos co t - signaux donn6s par les jauges: El l = Bl l cos (co t + (Pl)

~22 = - v* B 1 ~ cos (co t + (Pl + ~*) - signaux donn6s par le photomultiplicateur

Ii = I,, sin 2 [2 ~ e o 2-1 {N 1 + Di cos (co t + ~o i + Oi')}]

avec i = 1 ou 2 selon la polarisation et D~ = C'i E~ BI~.

Cet ensemble de signaux permet de d6terminer toutes les caract6ristiques du syst6me

* Eo (ou E*) et 6~ (ou 6*) par la mesure de la pulsation de r6sonance de phase et la m6thode de la bande passante (cf. 6quations (8))

* v~ et 6* par le rapport des amplitudes et la diff6rence de phase entre e 11 et e22 * Diet 0" (i = 1, 2) par des figures de Lissajous entre Ii, ell ou F. Diff6rentes

combinaisons de ces signaux permettent de recouper les r6sultats.

7 . R ~ s u l t a t s

Les m6thodes expos6es ci-dessus ont 6t6 appliqu6es /t des 6prouvettes en araldite B e t en plexiglas; les r6sultats sont r6pr6sent6s sur les Figures 4 et 5.

On peut noter tout d 'abord que 6* a 6t6 trouv6 inf6rieur ~ la pr6cision des mesures de phase ( ~ 0,8~ On peut donc le supposer nul, ce qui revient ~i dire que ~ est un hombre r6el, ce qui justifie l'hypoth6se admise par de nombreux auteurs.

On constate 6galement que dans la gamme de fr6quence 6tudi6e, les varia- tions des caract6ristiques du mat6riau sont faibles. On peut ainsi d6finir des

Ca, C 2 qui sont r6sum6es dans le tableau 1 (avec valeurs moyennes de Eo, v*, -' ~' le pourcentage de dispersion des r6sultats) (1 Bw = 1 Brewster = 10-12 m2/N).

Les coefficients d'amortissement (~b[ ou 02) augmentent 16g6rement en fonction de la fr6quence.

Notons enfin que la diff6rence C = C] - C~ est l'analogue de la constante photo61astique relative classique. On obtient pour l'araldite C - -48 ,5 Bw et pour le plexiglas C = - -4 Bw, valeurs qui sont tr6s proches de celles obtenues habituellement en statique.

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o~

.I. .I-

0 , f

2 0 0 6 0 0

�9

tv 1000 (Hz)

sxlo 9

( N / m 2

O O 0 O 0

.,, I

2 0 0 6 O 0

�9 .k

1 0 0 0 ( H z |

J

o,5

§ .~ 4- �9 v. "[" 4,

O o

O o O

0 1 2 0 0 6 0 0

Fig. 4 Caracthristiques m4caniques en fonction de la frbquence + Araldite (3 Plexiglas

I .

o

.�9 o

r

1 0 0 0 ( H z )

422 J. Derouet ZAMP

J

(o) ,4.

0 200

o*o*

A

o . g . ~

o o

P

6O0 looo (Hz)

Fig. 5

O O @ O O O O

O O O O

41, r @ .I. t" 4' r .1. .ll.

o I 200 600

4'

�9

i1"

looo ~(Hz)

Caract6ristiques optico-m6caniques en fonction de la fr6quence. A: Araldite; P: Plexiglas ~ t ' " C 2 , @ 2 + C l , ~ l , 0 ~' '

Tableau 1

E o (N/m 2) v~ Ci (Bw) C~ (Bw)

ARALDITE 3,53 �9 109 0,384 - 176,0 -224,7 dispersion (%) 1,5 4,54 2,6 2,7

PLEXIGLAS 5,02 �9 109 0,332 - 131,6 - 127,6 dispersion (%) 2,4 5,7 2,6 2,3

8. Conclusion

Les m6thodes expos6es ci-dessus permettent de d6terminer compl&ement et simultan6ment les caract6ristiques m6caniques et optico-m6caniques d'un mat6- riau visco61astique lin6aire bir6fringent, dans les m~mes conditions d'exp6rience (fr6quence, amplitude, temp6rature, etc...).

Vol. 35, 1984 D6termination des caract6ristiques m6caniques 423

Les valeurs trouvdes pour le module d'Young et le coefficient de Poisson complexes confirment les r6sultats obtenus par divers auteurs, notamment pour la premi6re grandeur. Leur ddtermination est n6cessaire pour 6valuer les caract6- ristiques opticom6caniques. Bien que limit6e du point de rue de la gamme de fr6quence explor6e, la m6thode peut atre ais6ment 6tendue fi tout autre type d'excitation (vibration/t tr6s basse fr6quence/t d6placement impos6, vibrations transversales, etc...).

R6f6rences

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Resum6

On d6crit une m6thode permettant de d~terminer en un point d'une +prouvette soumise fi une excitation sinuso'/dale stationnaire de fr+quence r6glable, les lois de comportement m&aniques et optico-m6caniques du mat@iau utilis6, lois du type visco61astique lin6aire. La m~thode fait appel fi des mesures de d6formation fi l'aide de jauges, et des mesures d'intensit6 lumineuse obtenue par interf&ence entre deux faisceaux r6fl6chis par les deux faces du mod61e. Des r6sultats sont donn~s pour deux mat&iaux classiques.

Abstract

A method is described to determine the constitutive equations of a linear viscoelastic material (both mechanical and opto-mechanical) at one point of a specimen subjected to a sinusoidal force of adjustable frequency. The strain is measured by strain gauges. The induced birefringence is obtained by measuring the intensity variations due to interference of the two light beams reflected from the two faces of the specimen. Experimental results are given for two classical materials.

(Regu le 13 Juin 1983)