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îL ab o rat o ir e E nviranneme nt,Géomécanique et Ouwages, ' Ëcole Nbtionale

Supérf eure de Géologrerue Marcel Roubault

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Determination of the hydraulicparameters of uns aturatedmaterials by the inverse method

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NDIR : Les discussions surcet article son t acceptées

"1'usgu'âu. ter avril 2A06.

53REVUE FRANçAIsE or cÉorucHNteuE

N" 1134e trimestre Q005

Détermination des paramètreshydrodynamiquesdes matériaux non saturéspar la méthode inverse

La modélisation de l'hydrod5mamique des milieux poreuxnon saturés exige essentiellement la connaissance desévolutions de la conductivité hydraulique et de la teneuren eau en fonction du potentiel hydrique. Ladétermination de ces deux fonctions est baséeprincipalement sur une expérimentation délicate, longueet coûteuse. Au cours des deux dernières décennies, lesmodèles numériques ont considérablement progressé. Ilsreprésentent actuellement des outils précieux capables desuppléer à l'expérience pour améliorer l'interprétationdes résultats, affiner l'identification des paramètres etréduire le nombre des essais nécessaires. Nous résumonsdans cet article les problèmes pratiques que pose ladétermination des paramètres hydrod5mamiques desmatériaux non saturés. Nous présentons par la suitel'application de la méthode inverse à l'identification deces paramètres. L'approche consiste à estimer desparamètres qui ont une signification physique, mais quisont difficilement mesurables à partir de mesureseffectuées sur d'autres variables qui peuvent leur êtrereliées moyennant un modèIe théorique. Nous donneronsenfin notre appréciation quant à l'apport de cetteapproche à la caractérisation hydrod5mamique desmilieux poreux non saturés

Mots-clés : méthode inverse, non saturé, conductivitéhydraulique, courbe de rétention, modélisation.

The modeling of hydraulic transfers in unsaturated porous mediarequires the definition of the relations between the hydraulicconductivity, the water content and the hydraulic potential of themedium. These determinations are based on tedious, timeconsuming and expensive experiments. Within the last twodecades, considerable progress has been made on numericaimodels. They now are valuable tools able to complementexperimentations in order to improve their interpretation, torefine the parameter identifications and to reduce the amount ofnecessary data. In this paper, practical problems encounteredwith the determination of unsaturated hydraulic parameters aresummarized. The application of the inverse method used forimproving the identification of unsaturated hydraulic parametersis then presented. This approach aims at estimating parametersthat have a physical meaning but that are of a difficultdetermination. These parameters are determined through otherparameters that are linked to them through a theoretical model.Finally, some comments about the contribution of the inversemethod to the characterization of the hydraulic behaviour ofunsaturated porous media are made.

Key words i unsaturated, hydraulic conductivity, retention curve,modeling, inverse method.

EIntroduction

Les applications de l'écoulement dans les milieuxporeux non saturés sont nombreuses aussi bien dansle domaine de la Géotechnique de l'Environnement quedans celui de l'Aménagement Urbain. En effet, la ges-tion et le stockage d'un volume croissant de déchetsindustriels et urbains requièrent f implantation de sitesde stockage et la prévention des risques de pollutiondu sol récepteur et de la nappe phréatique. Par ailleurs,les dysfonctionnements de plus en plus fréquents desréseaux d'assainissement suite à f imperméabilisationcroissante des surfaces urbaines incitent de plus enplus les collectivités locales à se tourner vers les tech-niques qualifiées d'a alternatives ) par l'implantation dedifférents types d'ouwages destinés à contrôler l'infil-tration des eaux pluviales (chaussées à structure drai-nante, tranchées et fossés d'infiltration, etc.). L'étude detous ces problèmes fait intervenir le transfert hydriqueà travers un milieu non saturé (sols naturels en placeou sols fins compactés). I1 est donc primordial d'identi-fier les paramètres hydrodynamiques de ces matériauxpour dimensionner et prévoir le fonctionnement desouvrages.

Les paramètres hydrodynamiques des milieux nonsaturés sont généralement déterminés à partir d'essaisde laboratoire et in situ délicats et très lents. Pour denombreuses applications, oo a de plus en plus recoursaux modèles numériques afin de simuler des pro-blèmes dont l'échelle spatio-temporelle est très large-ment supérieure à celle des essais. Malgré les progrèsénormes qu'ont connus ces modèles, leur fiabilitédépend très largement de la précision avec laquelle lesparamètres des matériaux sont déterminés.

Nous présentons ici les différentes méthodes quipeuvent être utilisées pour identifier les paramètreshydrodynamiques des milieux poreux non saturés.L'accent sera mis sur les techniques d'inversion numé-rique et l'intérêt que leur emploi peut avoir pour amé-liorer la caractérisation des matériaux.

-

Théo rie de l' écou I ementdans les milieux poreux non saturés

Le transfert isotherme de l'humidité dans un milieuporeux supposé indéformable est régi par la loi deRichards (1931) qui s'écrit dans le cas d'une infiltrationunidimensionnelle de haut en bas :

où : V, est le potentiel hydrique du matériau ; 0, sateneur en eau volumique ; z, Ia coordonnée verticalecomptée positive vers le bas (profondeur) ; t,le temps ;

k, la conductivité hydraulique et C(W), la capacité derétention de l'humidité du matériau. Cette équationmontre que l'écoulement dans les milieux non saturésest conditionné par deux caractéristiques principalesdu matériau :

- la courbe de conductivité hydraulique donnant la varia-tion de cetfe dernière avec le potentiel hydrique : k(V) ;

- la courbe de rétention de l'humidité définie par larelation entre la teneur en eau volumlque et le potentielhydrique : 0(W) ; cette relation intervient dans l'équa-tion par sa dérivée C(V)

Ces deux courbes représentent des fonctions trèsfortement non linéaires. De plus, elles font apparaîtreun effet d'hystérésis entre les chemins d'humidificationet de drainage. Nous présentons sommairement dansle paragraphe suivant les méthodes utilisées pour lesdéfinir expérimentalement.

EDétermi nation expéri menta I edes paramètres hydrodynamiquesnon saturés

WDétermination de la conductivité hydrauliquenon saturée

Les essais permettant de déterminer la conductivitéhydraulique des matériaux non saturés sont encore peurépandus. En effet, les techniques expérimentales utili-sées pour l'imposition et la mesure de succion sontcomplexes et délicates.La détermination de la conduc-tivité hydraulique non saturée peut se faire, commepour les matériaux saturés, sous un régime permanentou transitoire. Toutefois, les essais en régime perma-nent imposent d'utiliser des éprouvettes de petitesdimensions et sont à réserver aux matériaux grossierspour lesquels, l'établissement du régime permanent estrelativement rapide. Nous nous intéresserons ici exclu-sivement aux méthodes en régime transitoire, parmilesquelles on peut distinguer : les méthodes basées surf imposition de la succion et celles reposant sur lamesure de la succion.

Méthodes basées sur l'imposition de la succion

Le principe de ces méthodes est de soumettre lematériau à une succion par l'une des méthodes d'imposi-tion : surpression d'air (Gardner, 1956) ; méthode osmo-tique (Tur,1966) ou méthode des solutions salines. Onmesure,, après l'établissement de l'équilibre hydrique, leflux d'écoulement provoqué par un gradient hydrauliqueafin de déterminer la conductivité hydraulique du milieuen appliquant la loi de Darcy généralisée. Plus encore queles limites des différentes techniques d'imposition de lasuccion, l'inconvénient de ces méthodes réside dans lefait qu'elles ne peuvent s'appliquer qu'à des échantillonsde petite dimension (quelques cm). Ceci afin de réduire letemps nécessaire à l'établissement de l'équilibre aprèsf imposition de la succion.

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Méthode bas ëe sur les mesures locales de la succionou de lateneur en eau r méthode des profils instantanés

Cette méthode est basée sur des mesures locales desuccion ou de teneur en eau effectuées à différentescotes dans une éprouvette de matériau soumise à un

ae -

ae aY : c(Y) aY - a

fot*' [9Y -tôt AYât ôt àrl [â, ) (1)

54REVUE FRANçAISE DE GEOTECHNIQUEN' 1134e trimestre 2005

écoulement (humidification ou séchage). L'avantageprincipal de la méthode provient de la possibilité detester des éprouvettes de grande taille (quelquesdizaines de cm) . La mesure de la teneur en eau d'aborddestructive (Bruce et Klute, 1956), a évolué vers destechniques non destructives tels que la gammamétrie(Vachaud, 1968 ; Angulo, 1989 ; Tabani, 1999 et Rolland,2002). Pour la mesure de la succion, les tensiomètres(Richards et Weeks, 1953, Daniel, 1983 et Amraoui,,1996), les psychromètres (Hamilton et al., 1981 etDaniel, 1983) et la méthode du papier filtre (Ed Diny,1993) ont été utilisés. Les profils spatio-temporels desuccion (respectivement de teneur en eau) permettentde calculer le gradient hydraulique local (respective-ment le flux unitaire d'écoulement). En l'absence demesures simultanées de succion et de teneur en eau,techniquement très délicates, la méthode nécessite ladétermination en parallèle de la courbe de rétention del'humidité du milieu afin de permettre le calcul de laconductivité hydraulique. Cela constitue l'un des incon-vénients majeurs de la méthode, puisque la courbe derétention est généralement obtenue sur des échan-tillons de plus petite taille qui ne peuvent reproduire lastructure de l'éprouvette soumise à l'écoulement.

WDétermination de la courbe de rétentionde I'humidité

La détermination au laboratoire de la courbe derétention de l'humidité s'effectue en gén éral, en por-tant un échantillon de matériau à une teneur en eaudonnée et en mesurant la succion qui y règne aprèsl'établissement de l'équilibre hydrique (ou inverse-ment). On obtient ainsi un point de la courbe. Cetteopération est recommencée ensuite après avoir aug-menté (humidification) ou diminué (séchage) la teneuren eau du matériau . La détermination en suivant lesdeux chemins est nécessaire vu que des relations diffé-rentes gouvernent les processus de séchage et d'humi-dification (effet d'hystérésis).

La détermination de la succion peut être effectuéepar l'une des techniques de mesure citées précédem-ment. On est souvent amené à associer plusieurs tech-niques de mesure afin de parcourir une gamme de suc-cion assez large . La procédure expérimentale est lenteet délicate et n'aboutit généralement qu'à un nombrelimité de points. Par ailleurs, les propriétés de rétentionde l'humidité des sols sont directement reliées à la

structure, il est donc necessaire de s'assurer que celle-ci est bien représentative de l'état du matériau que l'onveut caractériser.

EModèles mathématiquespour les paramàres hydroônamiquesnon saturés

Vu les difficultés liées à la caractérisation expéri-mentale des milieux poreux non saturés, il semble pri-mordial de disposer de modèles théoriques capables dedécrire la courbe de rétention de l'humidité et la courbede conductivité hydraulique non saturée du matériau.Des synthèses et des comparaisons des différentsmodèles publiés ont été présentées notamment parMualem (19861, Alonso et al. (1987). Fredlund etRahadjo (1993), Barbour (1998), Huang et al. (1998),Sillers et Fredlund (2001) et Agus ef aL. (2003). Nous pré-sentons dans ce qui suit, les concepts de base des dif-férentes familles de modèles proposés pour ces deuxcourbes. Ici, les équations des modèles de conductivitéhydraulique seront présentées mais il est important designaler que l'évolution des modèles pour la courbe derétention de l'humidité est tout à fait similaire. En effet,la plupart de ces modèles sont en fait, des modèlescombinés permettant de décrire les deux courbes.Nous nous réfèrerons aux équations de la courbe derétention lorsque cela sera nécessaire.

WModèles empiriques

Les formules empiriques exprimant la conductivitéhydraulique en fonction de l'état hydrique du matériaupeuvent être intéressantes dans le cas où l'on disposed'un certain nombre de données expérimentales. Ellespermettent d'approcher, d'interpoler ou d'extrapoler lacourbe expérimentale et de simplifier ainsi la prccédurenumérique pour la modélisation, de gagner en tempsde calcul et d'augmenter la précision. Dans une étudecritique des différentes méthodes de prédiction de laconductivité hydraulique des matériaux non saturés,Mualem (1986) récapitule les formules empiriques lesplus fréquemment utilisées (Tableau I). Les coefficientsdans ces formules sont déterminés par ajustement auxdonnées mesurées. Quand le nombre de mesures dis-

Modèles empiriques pour la conductivité hydrauliquenon saturée.Empiricai Models for the unsaturated hydraulic conductivity.

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...

...

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....

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...

Richards (1931) k-aV+b aetb

Wind (19s5) k = â lV-'l aetn

Gardner (1958) k=k..exp[crV1a

k-11n.lvl +0 a,à,betn

Brooks et Corey (196a) k=k,pourVaV..k= (w/V.r)-n pour V ) V.. kr,netV

k = k, pour YS V..k = k, . expl-a [qr-w..)] pour v.. ( YS v'k=k,(V/v'")-npourVtw,"

55REVUE FRANçAIsE nE cÉorrcuNteuE

N" 1134e trimestre 2005

Rijtema (1965)

a, D, V.. et V.

ponibles est supérieur au nombre des coefficients, uneprocédure de lissage de la courbe peut être adoptéepour minimiser I'erreur. Toutefois, l'approche empi-rique est à utiliser avec certaines restrictions. En effet,,aucune relation n'est valable pour tous les cas et mêmesi une formule s'avère adéquate pour une classe dematériaux, il faut remarquer que les coefficients peuventvarier considérablement d'un matériau à un autre. I1

convient de signaler en plus, qu'à cause du phénomèned'hystérésis, toutes les formules sont à employer pourun processus monotone : séchage ou humidification.Quand les deux processus s'alternent, il est nécessairede réajuster les coefficients et parfois même d'adopterune autre formulation pour le modèle. Comme lemontre l'expérience, la relation k(0) laisse apparaître uneffet d'hystérésis moins significatif que k(Y). Il est doncpréférable de considérer des expressions de la conduc-tivité hydraulique en fonction de la teneur en eau dèsque des phases successives d'humidification et deséchage.sont étudiées (Mualem, 1986).

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Modèles macroscopiques

Ces modèles considèrent le sol à l'échelle de Darcyet non pas à celle du pore. Mualem (1986) cite les étapessuivantes comme étant communes à tous ces modèleS :

- supposer une analogie entre l'écoulement à traversun milieu poreux avec un régime laminaire où la vitessed'écoulement et le potentiel hydrique ne sont définisqu'à l'échelle microscopique ;

- résoudre l'équation de l'écoulement laminaire analy-tiquement pour un système très simple, pour déduiredes formules mathématiques reliant les variablesd'écoulement, comme la vitesse moyenne, le gradienthydraulique, le rayon hydraulique , la conductivitéhydraulique, etc. ;

- faire une analogie directe entre ces variables et cellesqui correspondent à l'échelle macroscopique (deDarcy), définies pour le système solide-air-eau.

Ces relations fort simples sont très intéressantespour la modélisation de l'écoulement dans les milieuxporeux non saturés, mais restent limitées puisqu'ellesne tiennent pas compte de la distribution dimension-nelle des rayons des pores du matériau. En effet, le flux

dans un milieux poreux ne dépend pas seulement desconditions d'écoulement mais aussi des propriétés dela matrice du matériau.

WModèles statistiques

De nombreux auteurs ont proposé des modèlesreposant sur le traitement statistique des résultats decalculs répétés (Purcell, 1949 ; Childs et Collis-George,1950; Burdine, 1953 ; Wyllie et Gardner,1958; Farrel etLarson,1,972; Mualem, 1976; Mualerll'et Degan, 1.978).Le concept de ces modèles repose sur trois hypothèsesde base, formulées par Mualem (1986) comme suit :

le milieu poreux peut être considéré comme unensemble de pores interconnectés répartis de façonaléatoire ; les pores sont caractérisés par leur échelle(dite ( rayon du pore )) décrite par une distribution sta-tistique ;

- l'équation de Hagen-Poiseuille est supposée valide etpeut donc s'utiliser pour estimer la conductivitéhydraulique à l'échelle du pore ; la conductivité totaleest obtenue par intégration, selon les contributions despores remplis ;

- la courbe de rétention du matériau est considéréegénéralement comme ayant une forme analogue à celledonnée par la fonction de distribution des rayons depores.

Ces modèles diffèrent les uns des autres par f inter-prétation de la configuration géométrique du pore élé-mentaire (section droite, fréquence et tortuosité) et parl'estimation qu'ils font de sa contribution à la conducti-vité totale du milieu.

Les auteurs qui ont adopté cette approche sontnombreux (Childs et Collis-George, 1950 ; Marshall,1958; Kunze et aI., 1968; Green et Corey,1971,; Mua-lem, 1976; Fredlund et Xing,1994, etc.) mais nous nouslimiterons dans le tableau II à citer les modèles les plusfréquemment utilisés.

Dans le tableau II, S. désigne le degré de saturationeffective du matériau défini pâr :

q o-0,tJe

-

or-0.(2)

WModèlesstatistiquespourlaconductivitéhydrauliquenonsaturée.Statistical Models for the unsaturated hvdraulic conductivitv.

Childs et Collis-George (1950) (, est une variable d'intégration.

Burdine (1953) k(e)_sr ltc /igglK -'LJ,v'lJ.*'l1, est un paramètre de connectivité des pores qui décritla tortuosité des chemins d'écoulement.Burdine propose une valeur de 2.

Mualem (1,976)

f-s: [I+l/ï#.]'1, est ici aussi, le paramètre de connectivité des pores qui décritla tortuosité. Mualem suggère qu'une valeur de 0,5 conviendraitpour la majorité des sols.

Fredlund et Xing (1994)? o(eu) - er#o'(ev)dy

'"ï*l e'

b = ln(106) ;

Y, : SUCcion au point d'entrée d'air ;

y : variable d'intégration.t(v)_k, ? e(e')- el#o'(sv)dy

., èJ

ln(Y, ) v

5ôREVUE FRANçAISE DE GEOTECHNIQUEN' 1134e trimestre 9005

où : 0 est la teneur en eau volumique, 0, et 0. étant res-pectivement les teneurs en eau volumiques saturée etrésiduelle.

Différentes formulations de la conductivité hydrau-lique ont été proposées en combinant une des diffé-rentes expressions décrivant la courbe de rétention0(V) avec l'un ou I'autre de ces modèles. Le modèlecombiné de conductivité hydraulique et de rétention devan Genuchten (1980)-Mualem (1976) est actuellementle plus utilisé (équations (3) et (4)). De nombreuxauteurs cités notamment par van Genuchten et aI.(1991) ont montré qu'il convient à une ass ez \argegamme de matériaux.

S=(Y )= 1c\ b+ (uY){-

k (Y)= kr.

où : cr, m et n sont des paramètres de forme qui peu-vent être reliés à la distribution dimensionnelle desrayons de pores et k", représente la conductivité du solà l'état saturé

-

Détermination des paramètreshydrodynamiques non satu réspar la méthode inverse

Définition du problème inverse

Généralement, on parle de problème inverse àchaque fois que des modèles mathématiques sont utili-sés pour expliquer ou confirmer des observations.L'approche consiste à estimer certains paramètres dumodèle considéré, qui peuvent avoir une significationphysique mais qui sont difficilement mesurables, à par-tir de mesures effectuées sur d'autres variables qui leursont reliées. Le principe est d'estimer ces paramètresen minimisant la différence entre les variables obser-vées et calculées, sous l'hypothèse qu'un modèlemathématique déterministe simple incluant un petitnombre de paramètres inconnus décrive de façon satis-faisante le problème étudié.

Pour illustrer la position du probl_ème inverse,considérons un vecteur de paramètres (P) défini par nparamètres à déterminer (P' Pr, ..., P,,) appartenant àl'espace des p{ramètres de dimensiori n et un vecteurobservations (O) défini par m observations (O, , O,O*) appartenant à l'espace des observations de dimen-sion m. Supposons que l'on dispose d'un modèlemathématique décrivant le problème direct représentépar un opérateur @ :

(O) = o tP)lLa résolution du problème inverse consiste à identi-

fier un estimateur f de o-1 qui relie les observations (Ô)aux paramètres (P)

'(P) - r (o-'[(O])

on dit généralement que le problème inverse estbien posé si les trois conditions suivantes sont vérifiées :

I t- (r,Y)"-' [r+ (uv)"]-*] '

(3)

(4)

(5)

(6)

- à chaque vecteur gbservations (Ô), correspond unvecteur paramètres (P) : condition d'identifiabilité de lasolution;- ce vecteur (F) est unique : condition d'unicité de Iasolution;- une légère perturbation sur le vecteur (Ô) n'engendrepas des variations disproportionnées sur le vecteur (P) :

condition de stabilité de la solution.

reRésolution du problème inverse

Les techniques adoptées par différents auteurs pourrésoudre Ie problème inverse dans le domaine del'hydraulique des sols ont été revues notamment parNeuman (1973), Yeh (1986) ainsi que par Mclaughlin etTownley (1996). Ii s'en dégage principalement deuxtypes de méthodes. Cette classification se base sur lecritère d'erreur utilisé. Nous exposons dans ce qui suit,les grandes lignes de la méthodologie à la base de cesdelx familles de méthodes.

Méthodes directes

Le critère d'erreur considéré dans ces méthodes estintroduit dans l'équation utilisée pour résoudre le pro-blème direct. Un terme d'erreur est ajouté à cette équa-tion pour tenir compte des incertitudes sur les mesureset sur les éventuelles interpolations. Ce terme d'erreurest ensuite minimisé pour aboutir à l'estimation desparamètres inconnus. Différentes technigues ont été uti-lisées pour la minimisation de l'erreur : Ia méthode deI'énergie dissipée, l'inversion de matrice, l'intégrationdirecte de l'équation différentielle, etc. EeLr" 1986).

Cette approche est intéressante dans la mesure oùelle permet de réduire le temps de calcul nécessaire enintégrant le calcul des dérivées des observations par rap-port aux paramètres à identifier dans I'éguation du pro-blème direct. Ceci conduit à rendre la formuiation duproblème très complexe. Mais l'inconvénient majeur deces méthodes réside dans le fait qu'elles ne peuvent tenircompte de l'erreur sur les observations. De ce fait,l'approche doit se limiter aux cas où une grande quantitéd'observations est disponible. De plus, cette approchene convient pas aux sols non saturés dont l'éguationd'écoulement est fortement non linéaire.

WMéthodes indirectes

Le critère d'erreur utilisé ici est généralement basésur la minimisation de la différence entre les valeursmesurées et estimées d'une (ou plusieurs) variable(s)mesurable(s) qui en dépend(ent) (par exemple, le débit,la charge hydraulique en un point donné ou bien levolume d'eau infiltré/drainé). Cette différence est habi-tuellement nommée : fonction objectif. En général, laprocédure cominence par une estimation initiale desparamètres qui sera réajustée de façon itérative jusqu'àce que la réponse du modèle soit suffisamment rappro-chée des observations. Diverses techniques numé-riques ont été utilisées pour l'optimisation : la méthodede Gauss-Newton, la méthode du gradient conjugué, laméthode de Newton-Raphson, etc.

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5lREVUE FRANçAIsE or cÉorecHNteuE

N.1134e trimestre 2005

La procédure itérative convient très bien au cas nonsaturé. L'intérêt principal de ces méthodes réside dansle fait qu'elles peuvent très bien s'appliquer aux cas oùla quantité d'observations est limitée. Cependant, leproblème d'optimisation est normalement fortementnon linéaire et souvent non convexe (Yeh, 1986) , ce quiexige une étude de faisabilité et une analyse prudentedes résultats pour valider la solution.

ffiFaisabilité et validation de la méthode inverse

Diverses techniques de validation des procéduresinverses pour I'estimation des paramètres ont etéemployées. Elles permettent la vérification de l'identi-fiabilité, l'unicité et la stabilité de la solution, mais aussid'apprécier la sensibilité de la solution à chacun desparamètres estimés. Parmi les moyens de validation lesplus couramment utilisés, oD peut citer : les surfaces deréponse, l'examen de la matrice des covariances ouencore le calcul de la sensibilité aux paramètres.

Les surfaces de rëponse

Les surfaces de réponse permettent d'évaluer la fia-bilité des procédures inverses (Russo et al., 1991). Leprincipe est de montrer l'influence d'un couple de para-mètres sur Ia fonction objectif. Les paramètres estiméssont donc considérés deux à deux et perturbés autourde leurs valeurs optimales. La fonction objectif est éva-luée en utilisant le modèle direct, et portée sur ungraphe dans le plan formé par les deux paramètres. Siles valeurs sont suffisamment nombreuses, des courbesd'isovaleurs peuvent être tracées. Ces graphiques sontappeléS : ( surfaces de réponse ).

L'étude de ces isovaleurs permet d'apprécier l'uni-cité et la stabilité de la solution. En effet, si la solutionest unique, elles forment des courbes concentriquesautour de la solution (Fig. 1). Dans le cas contraire, lessurfaces de réponse laissent apparaître une zone deminimum étendue (Fig. 2). L'étude.de la stabilité peutse faire en introduisant différentes perturbations sur lesobservations et en comparant le déplacement du mini-mum sur les surfaces de réponse correspondantes . La

i'71,i't'11iii"1tr:t:i,riiiii'i'ttti'lilifirit:ii'i Surface de réponse typique d'un problèmeinverse bien-posé.A typical response surface of an weli-posedinverse problem.

solution est jugée instable si les minima sont significati-vement éloignés ou si les isovaleurs s'espacent lorsqueIes perturbations deviennent plus importantes.

Les surfaces de réponse représentent un moyenefficace pour vérifier la cohérence de la procédureinverse. Cependant, leur mise en æuvre exige la réali-sation d'un grand nombre de calculs, ce qui alourdittrès rapidement la démarche.

....i:.:.::i':::....:::i:::i::!::i:.1::':;::::irht::::::ri::i:i::r':::;:.:t:.':''r':'::':r':':':':r':':j:r:':r''':'i:':i':r':':::':i.j::.j::.::t::::::::j:r:.::,:::it:j.:.::::::i::.::i:::r:::rti::.tli..!:.!.::

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[analyse de la matrice de covariance

La matrice de covariance des paramètres estiméspermet d'étudier l'incertitude et la corrélation entre lesparamètres. Les termes de la diagonale correspondentaux variances de chacun des paramètres estimés et lestermes hors diagonale à la covariance entre deux para-mètres. Cette matrice de covariance peut être définiepâf :

cov (F)) - E t(F) - F).) (F) - F).)'l (7)

où:F) représente le vecteur des paramètres rc réels > ;

(p)., le vecteur des paramètres estimés ;

T, en exposant, indique la transposée d'une matrice;

E est l'espérance mathématique.Une approximation de la matrice de covariance des

paramètres estimés peut être calculée pâr :

f-\

cov(F) = r(PD- [A]-1 (B)1\o-r\p

où:J((P).) est l'erreur égale à l'écart entre les observa-

tions et les variables calculées ;

No, le nombre d'observations disponibles ;

N* Ie nombre des paramètres à identifier ;

[A], le produit (Jor.Jo) avec Jo, la matrice jacobiennede Ia fonction objectif par rapport aux paramètres.

La variance d'un paramètre est d'autant plus faibleque I'incertitude sur ce paramètre est réduite .La corré-lation entre les paramètres renseigne sur leur interdé-pendance par rapport à la fonction objectif. Selon Yeh(1986),, une corrélation entre les paramètres, également

Zone de

minima étendue

Paramètre (i)

tiil:t;t1t:t!,it17171iX1t;1rn1tr11ffiffinii,, Surface de réponse typique d'un problèmeinverse mal-posé.A typical response surface of an ill-posedinverse problem.

r?0)H

-c)ê.

58REVUE FRANçAISE DE GEOTECHNIQUEN' 1134e trimestre 2005

Minimum

(.)

tQ)

t{

Paramètre (i)

appelée < colin éarité >>, peut engendrer une conver-gence lente de la procédure itérative de minimisationet conduit, dans tous les cas, à des paramètres mal opti-misés. Une manière plus rigoureuse de traiter un pro-blème de colinéarité lorsque l'on dispose d'un nombresuffisant d'observations, peut être ]'utilisation de tech-niques statistiques telles que l'analyse en composantesprincipales afin de chercher une relation entre les deuxparamètres corrélés pour pouvoir n'en estimer qu'unseul.

Wlllustration de la résolution du problàmeinverse sur un essai d'infiltration au laboratoire

Afin d'illustrer la résolution du problème inversesur un exemple pratique, nous présentons ici une esti-mation des paramètres du modèle combiné de vanGenuchten-Mualem à partir d'un essai d'imbibition surune colonne de limon de Jossigny. Le tableau IIIrésume les caractéristiques géotechniques du sol. Lacolonne de 20 cm de hauteur et de 9 cm de diamètreest formée d'une couche de sol homogène ccmpactéstatiquement sous une pression de 1 000 kPa à uneteneur en eau volumique de 7 ,4 "Â.lJne charge hydrau-lique nulle est appliquée à la base de la colonne. L'évo-lution du profil de teneur en eau est suivie au cours del'essai à l'aide d'un dispositif gammamétrique (Tabani,1999). La courbe de rétention du sol a été déterminéepar la méthode du papier filtre sur des éprouvettes, de4 cm d'épaisseur et de 9 cm de diamètre, compactéesdans les mêmes conditions que la colonne. ljn ajuste-ment des données de rétention ainsi obtenues par lemodèle de van Genuchten-Mualem et un essai de per-méabilité à la saturation, ont permis de déterminer lesparamètres résumés dans le tabteau IV. Les simulationsnumériques ont été réalisées à l'aide du code de calculnumérique en différences finies InfEP (Abdallah, lggg).

Résultats de l'identification géotechniquedu limon de Jossingy.Results of Jossigny silt geotechnicalidentification.

Te chnique numérique d' inv ersionL'objectif de l'optimisation consiste à déterminer un

ieu de paramètres (P,) à partir d'un nombre limitéd'observations (o,) de façon à minimiserl'écart au sensdes moindres carrés avec les estimations faites par lemodèle (o.,). on définit ainsi Ia fonction objectif par :

x,(F)-à[t+@l

OU:

- N est le nombre des observations ;

o, est l'écart type qui correspond à f incertitude surobservation O,.

La fonction objectif doit être pondérée si elle faitintervenir des observations de variables différentesprésentant des ordres de grandeur différents sur lesmoyennes ou sur les écarts types. Le choix judicieuxdes coefficients de pondération permet en général, deramener ces variables à des ordres de grandeur com-parables. Pour le cas que nous traitons ici et étantdonné que les données dont nous disposons sonttoutes des teneurs en eau volumiques déterminées parla même technique, aucune pondération n'est néces-saire puisqu e I'écart type est identique pour toutes lesobservations.

La procédure itérative consiste à partir d'un vecteurinitial de paramètres (P)iol, à calculer pour chaque pasd'optimisation (m), un vecteur incrément (P1t'"1, quiappliqué au jeu de paramètres permet de faire dimi-nuer Ia fonction objecti{, soit :

,z 1pt-+t)) < X2(Pt*t1

p(m+rl _ptnrt*4pr-tLa méthode utilisée est celle proposée par Leven-

berg (1944) et améliorée par Marquardt (1963). Cetteméthode est reconnue comme étant assez robuste. Enparticulier, elle permet de régulariser les problèmesmal posés et convient donc très bien à f inversion desmodèles d'écoulement en milieu non saturé [Lehmann,1996) . La souplesse de la méthode provient de l'intro-duction d'un paramètre de relaxatlon l, ans l'expressiondu vecteur incrément :

âV€C :

Densité des grainsLimite de liquiditéLimite de plasticitéIndice de plasticitéValeur de bleuY" de carbonate de calcium"Â de matière organique

Paramètres de van Genuchten-Mualemajustés sur la courbe de rétentionexpérimentale.Van Genuchten-Mualem parameters fittedto the experimental water retention curve.

où D, est la matrice identité ; G,]e gradient (vecteur despremières dérivées partielles) et H le Hessien (lamatrice des secondes dérivées partielles de la fonctionobjectifl. Le paramètre de relaxation (À traduit enquelque sorte, le degré de confiance que l'on peut avoirdans les estimations initiales des paramètres. Press etaI. (1992) recommandent de commencer les itérationsavec une valeur de À assez faible (0,001). La fonctionobjectif est d'abord évaluée avec le jeu initial de para-mètres, puis l'équation (12) est résolue pour déterminerl'incrément, et la fonction objectif est recalculée avec lenouveau jeu de paramètres. Si elle augmente, le para-mètre l. est multiplié par 10 et l'itération continue. Sil'on se rapproche du minimum, le pas d'optimisationest validé et le coefficient l. est divisé par 10 pour initia-liser le pas suivant. Le calcul est aruêté si l'un des cri-tères d'arrêt est vérifié . La figure 3 présente un organi-gramme de l'algorithme de Levenberg-Marquardt.

Calcul numérique des dérivéesPour l'optimisation non linéaire, une attention parti-

culière est à accorder à la méthode de calcul du gra-

rs r\^'

w, ('Â)w,(Â)

I-rVBS

2,7337,328,09,3

3,83,00,9

(10)

(11)

(12)

REVUE FRANçAISE DE GEOTECHNIQUEN" ',I13

4e trimestre 2005

40 1,236 0,191 6,662 104

résolution du problème inverse

1.,5 10'B

59

Nous exposons ici le principe de la procédureinverse utilisée pour cette illustration.

ti:riiiliÉEtîiÊfiiii'iiffttijiiiiffitiffii Algorithme de Levenberg-Marquardt.Levenberg-Marquardt al gorithm.

dient. Généralement, la manière la plus simple pourcalculer numériquement une dérivée est la méthodedes différences finies. Elle consiste à perturber le para-mètre variable autour de la valeur de calcul. Si I'inter-valle de perturbation est judicieusement choisi, il estpossible de linéariser la fonction ce qui permet Ie calculde la dérivée pâr :

C'est souvent ce deuxième critère qui est vérifié enpremier dans des applications pratiques. Mais sa véri-fication peut être obtenue dans des cas difficiles où lesobservations incluent des bruits importants, même sile minimum n'est pas atteint. Un troisième critèreconsiste à imposer un nombre maximal d'itération pourla méthode de Levenberg-Marquardt. I1 faut insister icisur le fait que la vérification de l'un des critères d'arrêtn'est pas forcément un indicateur de convergence verscc la >solution. Elle n'exclut pas les vérifications de l'uni-cité et de la stabilité de cette dernière.

"'WRésultats de l'estimation

Nous avons choisi d'identifier la conductivitéhydraulique saturée (ks) et deux paramètres de formede van Genuchten (o et m) en adoptant la restrictionrrl = 1, - 1,/n proposée par van Genuchten et al. (1991)pour calculer n. Les teneurs en eau volumiques, saturée(0") et résiduelle (0"), ont été fixées étant donné que leurdétermination au iaboratoire ne pose pas de problèmeparticulier. Afin de vérifier l'unicité de la solution obte-nue,. trois calculs ont été effectués avec des jeux deparamètres initiaux différents. Par ailleurs, de légèresperturbations de + 1"Â ont été appliquées aux donnéesexpérimentales pour tester Ia stabilité de la solution. Achaque fois, les paramètres ont pu être estimés correc-tement avec un nombre relativement réduit de pasd'optimisation (16 à 18) et les variations relatives desestimations n'ont pas dépass é 0,4 o/". Le tableau V four-nit les valeurs initiales et finales de cr, m et k, pour lescalculs réalisés et la figure 4 compare la simulation réa-lisée avec ces valeurs de paramètres aux données expé-rimentales. Nous notons le bon accord entre la simula-tion et l'expérience après l'inversion.

fffiffi Résultats des optimisations avecles différents jeux de paramètres initiaux.Optimization results with different initialparameters sets.

OU:

- pr est la valeur du paramètre où l'on souhaite calculerla dérivée ;

- ôp est l'intervalle de la perturbation.La principale difficulté liée à cette méthode

concerne le choix de l'intervalle de perturbation, dp.Un intervalle trop réduit peut dans certains casconduire à une pente nulle si la limite de précision estatteinte. lJn intervalle trop large conduit à une pentetrès éloignée de la dérivée réelle. Cetfe méthode de cal-cul du gradient est malgré tout, la plus utilisée avec lesméthodes d'optimisation . La valeur ôp à adopterdépend bien entendu de la fonction à dériver. Généra-lement, une étude de Ia sensibilité des résultats à ceparamètre est nécessaire pour le choisir (Yeh, 1986).

Critères d' arrêt de I' optimisationL'optimisation non linéaire étant menée selon un

schém a itératif, plusieurs tests d'arrêt sont néÔessairespour juger de l'évolution du calcul. Le premier critère àinclure dans le test d'arrêt concerne la valeur de lafonction objectif. En effet, si celle-ci devient inférieureà une tolérance admise par l'utilisateur (t1), le calculpeut être arrêté :

O(Ft"''11 S u, (14)

Ce critère est rarement vérifié pour des cas réels,car il traduit une parfaite adéquation entre les observa-tions et les résultats du modèle. Dans la pratique, l'arrêtdu calcul est décidé en se basant sur l'évolution de lafonction objectif au cours des itérations plutôt que sursa valeur. Un deuxième critère d'arrêt teste l'évolutionde la fonction objectif au cours de la dernière itération.Dans le cas où elle tend vers zéro avec une erreur.(er)près, cela suppose que }'on converge vers un mini-mum:

O(pr--11 _ O{pr*r,

ôO(pr.) O(Pr. + ôp) - O(Pr. - ôp)-Tpr = 25p

L'évolution de la fonction objectif et des paramètresréduits par rapport à leurs valeurs finales, est repré-sentée sur la figure 5 pour ce même calcul. Elle montredes évolutions assez rapides et monotones indiquantque les données ne présentent que peu de bruit, ce quiconduit à une fonction objectif finale assez proche dezéro (0,23 pour ce calcul). Ces résultats confirment doncque le nombre et Ia qualité des mesures, fournies par ledispositif gammamétrique, permettent d'identifiersimultanément les paramètres o", m et k, pour unecouche de sol homogène avec une précision satisfai-sante.

(13)

q [1/cm] 1,00 10-46,66 10-41,00 10-3

3,19 1,0-+

3,20 10-43,20 10-4

m[-] 1,00 10-1

1.,91.10-13,00 10-1

3,17 10-13,17 10-13,1,7 10-1

k. [m/s1 1,50 10-e1,50 10-B

1,50 10-7

8,7510-e8,7610-e8,7910-e

ô0REVUE FRANçAISE DE GEOTECHNIQUEN"'1134e Trimestre2}}s

[u.1t+ln;Jlr=c

Lx'> o

l,: v10

Pi: Pi +^Pi

= lx'{tr + AP I) - x' (tp l) l

o[Pt-r,31-,

(15)

0.3câ

Eo

5 0,2

0.3f.t

Èo

c.t

5 0,2

0

i:riririj:ffiirtiFirl'ffii#1ra

Temps (h)

Simulations de l'essai réalisées en utilisant lesrétention expérimentale (a) et ceux obtenusexpérimentales.Test simulations carriedobtained by the inverse

Temps (h)

paramètres obtenus par l'ajustement de la courbe depar la méthode inverse (b) comparées aux données

out with parameters obtained by fitting the experimental water retention curve (aJ and thosemethod (b) compared with experimental data.

o4'=

tt.ooE,oE(g

z- aE

o.

()olloÊootro]L

100,00

10,00

1,00

0,10

0246810121416Pas d'optimisation

i:titfii,,if,', î,,tfi tÏlffi.ffifi; Évolution des paramètres et de la fonctionobjectif au cours de l'optimisation.Parameters and objective function evolutionduring the optimization.

La figure 6 confronte la courbe de rétention obtenuepar la résolution du problème inverse à celle obtenuepar l'ajustement des mesures au laboratoire par laméthode du papier filtre. Nous remarquons un très bonaccord entre ces deux courbes pour des degrés de satu-ration élevés (> 0,75) et un décalage qui s'accentue pourles faibles degrés de saturation. Sur la figure 7,la courbede conductivité hydraulique résultant de l'inversion estcomparée à celle obtenue à partir du traitement des pro-

s"0,7

500

1000

1500

2000

'l.'T

+ Expérience (papier filtre)

"' Ajustement des données de rétention

- Méthode inverse

iitglifi;!{i,fjfi4iillf,ilnT Congp.araison de la courbe de rétentionexpérimentale et de celle obtenue par larésolution du problème inverse.Comparison between the experimental waterretention curve and the one obtained frominverse problem solution.

fils de teneur en eau mesurés par la méthode des profilsinstantanés ainsi qu'à la prédiction de cetfe courbe à par-tir de l'ajustement de la courbe de rétention. Nous consta-tons ici gue le résultat de l'inversion est plus en accordavec celul de la méthode des profils instantanés qu'avec laprédiction de van Genuchten-Mualem. L'inversion numé-rique a donc permis d'obtenir une courbe de conducti-vité hydraulique en accord avec les résultats de laméthode des profils instantanés tout en améliorant ladétermination de la courbe de rétention de I'humiditésurtout pour les faibles degrés de saturation. En effet,cette dernière avait été déterminé par des essais supplé-mentaires sur de éprouvettes de taille différente.

WffiApport de la méthode inverseà la détermination des paramètreshydrodynamiques des milieux poreuxnon saturés

ljne des premières études consacrées à l'applicabi-lité de Ia méthode inverse pour l'estimation des para-mètres hydrod5rnamiques de matériaux non saturés, aété celle de Zachmann et a1.,1981. Elle visait à examiner

s"

o.Y

..-

(uo-J

trooo5o

1 E+00

1E-01

1E-O2

1E-03

1E-04

1E-05

1E-06

+ Expérience (profils instantanés)" ' .Ajustement des données de rétention

- Méthode inverse

+

+

+-i-

++

+

ii?iiii!ffiiii,Wî1ffiffiffi comparaison de la courbe de conductiviréhydraulique expérimentale et de celleobtenue par la résolution du problèmeinverse.Comparison between the experimentalhydraulic conductivity curve and the oneobtained from inverse problem solution.

61REVUE FRANÇAISE DE GEOTECHNIQUE

N" 1134e trimestre 2005

l'influence de la variable mesurée à introduire dans lafonction objectif. Des procédures inverses ont été pré-sentées en utilisant des fonctions objectif construitespar des combinaisons des variables mesurées au coursd'essais d'infiltration réalisés au laboratoire sur descolonnes de matériau non saturé. Ces variables sontl'évolution de f infiltration cumulée en fonction dutemps, la variation de la pression capillaire et la teneuren eau en un point donné en fonction du temps. Leproblème inverse a eté résolu par une méthode indi-recte. Les auteurs ont conclu que l'infiltration cumuléepermet d'obtenir les meilleurs résultats alors qu'elle estla variable la plus facile à mesurer.

Russo (1988) s'est intéressé à étudier l'effet dumodèle théorique utilisé pour décrire les caractéris-tlques hydrodynamiques des sol au cours des procé-dures d'inversion numérique. Ils ont étudié la faisabilitéd'une estimation des paramètres par approche inverseutilisant des mesures au laboratoire. Les résultats obte-nus par 3 modèles différents, ceux de Childs et Collis-George (1950) , Burdine (1953) et Mualem (1,976), ont étécomparés .La conclusion la plus intéressante de ce tra-vail signale f importance de l'introduction d'un com-plément d'information sur certains paramètres mesu-rables Cans la fonction objectif (la conductivitéhydraulique saturée en l'occurrence), ce qui a poureffet de renforcer la stabilité et d'assurer l'unicité de lasolution. Cette recommandation est reprise par Russoet al. (1991) qui ont adopté une démarche similaire enconsidérant les modèles de Brooks et Corey (1964),Mualem (1976)-Gardner (1958) et Mualem (1976)-vanGenuchten (1980). Toutes ces études ont montré que laformulation de Mualem-van Genuchten semble êtrebien adaptée à la plupart des sols pour décrire à la foisla courbe de rétention de l'humidité et Ia courbe deconductivité hydraulique. La méthode inverse permetdonc en plus de la détermination simultanée de lacourbe de rétention de l'humidité et de la conductivitéhydraulique du matériau, de vérifier l'adéquation dumodèle et la pertinence de certaines hypothèses rela-tives aux paramètres" D'autres auteurs ont par la mêmeprocédure, suggéré l'introduction de données supplé-mentaires telles que f infiltration cumulée (Echlng et al.,1994) ou des données relatives à la courbe de rétentiondu matériau (Simunek et van Genuchten, 1996 et Bohneet a1.,1999). Simunek et van Genuchten (1996) ont rap-porté que les données fournies par un seul tensiomètreplacé dans l'éprouvette de sol testé au cours d'un essaide drainage permettaient d'identifier correctement tousles paramètres hydrodynamiques non saturés du maté-riau. Ils ont toutefois obtenu de meilleurs résultatslorsque le tensiomètre était placé près de la surfacedrainée du sol. Cela démontre l'apport de l'étude duproblème inverse dans la conception même des essaisoù elle peut renseigner sur la nature et l'emplacementdes mesures nécessaires.

Depuis quelques années, cette méthode se révèled'un intérêt indéniable pour traiter certains problèmescomplexes pour lesquels les mesures directes ou indi-rectes de tous les paramètres sont quasi impossibles.Ainsi, différents auteurs ont ess ayé par la méthodeinverse, de caractériser l'effet de phénomènes bien par-ticuliers et complexes tels que l'hystérésis (Kool et Par-ker, 19BB), la présence d'hétérogénéités dans le maté-riau (Zhang et Yeh , 1997 ; Lehmann et Ackerer, 1,997),le

gonflement des sols argileux (Garnier et a1.,1997) ou lesécoulements préférentiels à travers les macroporesdans les sols naturels (Cherr et a1.,1993 ; Mohanty et al.,1997) ou compactés (Abdallah, 1999). Abdallah et Mas-rouri (2002) ont étudié la faisabilité de l'utilisation del'essai de perméabilité à l'infiltromètre double-anneaupour estimer par la méthode inverse, Ies paramètreshydrodynamiques non saturés du sol.

EConclusion

Le passage en revue des méthodes de détermina-tion des propriétés hydrodynamiques des milieuxporeux non saturés nous a permis de mettre l'accentsur les principales difficultés qui compliquent la carac-térisation de ces matériâuX :

- les techniques de mesure des caractéristiques hydro-dynamiques non saturées sont généralement com-plexes et lenteS ;

- il est très délicat de mesurer la teneur en eau et la suc-cion simultanément, ce qui impose souvent la détermi-nation de la courbe de rétention en parallèle sur uneéprouvette qui n'est pas forcément représentative de lastructure et de l'état initial du matériau testé ;

- les données expérimentales généralement peu nom-breuses et limitées par les gammes de succion cou-vertes par les techniques d'imposition et de mesure, nepeuvent représenter complètement les relations trèsfortement non linéaires qui décrivent les paramètr€S ;

- les paramètres des milieux poreux non saturés pré-sentent un caractère hystérétique, ils dépendent doncde l'histoire hydrique du matériau ;

- à l'échelle du terrain, la variabilité de ces paramètresdans le matériau peut être très importante, ce qui peutnécessiter une quantité importante de données expéri-mentales.

Nous avons également mis en avant les apports dela méthode inverse à la caractérisation hydraulique desmatériaux non saturés :

- l'estimation simultanée de la courbe de rétention del'humidité et de 1a courbe de conductivité hydraulique àpartir d'un même essai ;

- l'association de la modélisation analytique ou numé-rique à l'expérimentation ;

- la possibilité de juger l'adéquation des données expé-rimentales et d'apprécier la pertinence des modèlesthéorieues ;

- l'applicabilité à l'étude des cas complexes (milieuxhétérogènes, écoulements préférentiels, matériauxgonflants, couplage hydromécanique,, etc.) et à l'échelledu terrain.

L'étude du problème inverse nous paraît intéres-sante non seulement pour estimer les paramètres d'unmodèle théorique, mais surtout pour donner des indi-cations sur le type et la quantité de mesures néces-saires, ce qui permet d'optimiser les essais. Elle permetégalement d'apprécier l'adéquation du modèle et desconditions d'essais. Elle est applicable à des cas com-plexes sur le terrain. Tous ces aspects sont précieuxdans un domaine où l'expérimentation est complexe.

6eREVUE FRANçAISE DE GEOTECHNIQUEN''1134e trimestre 2005

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