D6termination effective d'une fonction appartenant ~ une classe quasi analytique g6n6ralis6e ~ partir d'une suite partielle de ses

d6riv6es en un point

S. I~A~DELBROJT

Au Professeur E. K~Trr,v.~ pour son soixante-dixi~me anniversaire

1. Commengons par rappeler quelques notions, classiques depuis plusieurs d~cenuies. Un intervalle I, fini ou infiui, et une suite (Mn} de nombres positffs ~tant dennis, on d~signe par C ( M , } la classe des fonctions ind~fiuiment d~rivables sur I satisfaisant ~ la condition

(1) l/(")(x)l ~_Ak"M.(A =Aft) , k= k(l), n>__O). Si, ]orsque f e C {M,,}, la valeur de cette fonction et ceUes de ses

d6riv~es en un point a e I la d~terminent compl~tement, la classe C (M, } est dire quasi analytique.

Denjoy ~tait le premier ~ indiquer une condition suffisante, et Carleman une condition n~cessaire et suffisante de la quasi analyticit~ (voir [2]). D'autres conditions ont ~t~ donn~es par 0STROWSKI [5] et l 'auteur [4].

L 'auteur a introduit la notion de la quasi analyticit~ gEn~ralis& [4]. L'idSe de cette notion peut se r~sumer de la fagon suivante: (n~ }~ o ~tant une suite d'entiers non n~gatffs, croissants, avec n o = 0, (M, } ~tant une suite de nombres positffs, I ~tant un intervalle infini, par exemple I = [0, oo [ , on peut indiquer une condition sur les n i et une relation R entre les suites {nj}, (M,} pour que, R ~tant satisfait, les valeurs de f("J) (0) (j ~ 0) dgterminent compl~tement ~.

Ainsi, en d~signant par N(x) le nombre de n 1 inf~rieurs ~ x ( x > 0), et en posant

N(x) D (x) -- - - , D. (u) -- inf D (x),

gC x>_u

lira D. (u) -- D. , m-~ O0

p (a) -- Sup (ha - log M~),

les conditions

/ e v {M.), f"J) (0) = 0 (i ~ 0),

108 S. Mandelbrojt

du

D. > 2 ' p (a) e 2D. (p (u)) - 1 = oo

impliquent / ---- 0. Rappelons que D. est la densit6 inf&ieure de {nj }, D. (u) est la fonetion

de densitd inf~rieure de eette suite. Revenons ~ la quasi analyticitd classique. Puisque la condition de

quasi analytieit6, par exemple la condition

S~ p(a)e-~da = oo,

(qui n 'est autre que celle d'OsTROWSKI, ~crite avee une autre variable que la sienne) d$finit compI~tement 1, lorsque / appart ient k la classe sur I = [0, oo[ et lorsque les 1(n) (0) (n > 0) sont connus - - ees valeurs doivent permettre de const ru i re / . Ce probl~me a ~t~ rdsolu par CARLEMX~, en supposant pour simplifier, que ] e s t une fonction p~riodique, paire.

Pour le faire, C A R L ~ utilise sa thdorie des moments, elassique de STI~.LTJES, et, surtout, les relations entre Ies d4veloppements asympto- itques d 'une fonction et les fractions continues de STIELTJES [2].

Nous nous proposons de d&erminer effectivement / k partir de /(0) et /( 'P(0) (1 e C{M,} , I = [0, ~ [ ), lorsque des conditions liant les suites {nj}, {M,} sont remplies, c'est-k-dire s part ir des conditions de quasi analyticit~ gdn~ralis~e. La m&hode de fractions continues de STI~LTJ~S ne peut plus &re appliqude. On pourrait, d'ailleurs, songer ~ une gdndrali- sation eorrespondante de telles fractions. Nous donnons, toutefois, une rdponse ~ notre question, en la ra t tachant s un probl~me g~n~ralisant eelui d 'approximation pond~rde sur une demi-droite par des polynomes ne eontenant que les puissances {hi}, probl~me qui gdn~ralise celui de S. B~R~STErS lorsque {n~ } comporte tous les entiers non n~gatifs.

2. Th~ori~me 1. Soit {M,},~_o une suite de nombres positils, et soit /(x) une lonction inddfiniment d&ivable, paire, pgriodique de pdriode 2r~,

(2)

8atis/aisant aux indgalitds

(a)

I (x) = ~ ~, cos n~, n~o

II(')(x)l<M~(n~_O). Solt {iv~}~_o une suite d' entier8 non nggatils croissants, po= O. Posons, ~ u r a > 0 .

(4) B (a) = Sup (Pro a - - log M y , n ) ,

et suVposons que la condition suivante soit satis/aite:

Ddtermination effective d'une fonotion appartenant h une classo 109

D. et D. (x) grant reapectivement la densitg in/grieure et la ]onction de densltg infgrieure de {p~ },

du

(5) D . > 0 , I~176 D'(B(U))da=oo.

Quels que soient, alors, e > 0 et l' entier positi] p, il existe un entier N > 0 et des quantitds a(0N) (B), a (N) (8), a(N) (8), N et les ~ ddpendant uniquement

P t " " " " " ~ P N

de p, 8, et des suites {M~} et {p~}, tels que

(6) I/(~'~ (o) - ~ ~ (8)/(~m) (o) I _-< 8. m~N

La d~monstration de ce th~or~me est largement bas~e sur le lemme qui suit.

Signalons d'abord que, si une suite/~ termes non n~gatifs L = {l,} est telle que ~ 1,n ~ converge, on d~signera cette somme par M~.

Lemme Soit {% } une suite ~ termes non ndgati/s tels que lira log %flog n = = oo. {p,,,} gtant la suite de l'gnoncd du thdor~me, posonz:

B c (a) = Sup (p~ a - log MC), (a > 0). II1

Si la condition (5), oi~ Bes t remplacd par Bc, est satis]aite, on peut ]aire correspondre ~ tout 5> 0 un entier Tositi/ N e t des quantitds A(oN)(5), A(p~)(5), . . . , A(~)(5) tels que, quelle que soit la suite D = { g , } avec O~ d , ~ % ( n > O), on air

IMp- Z (N) D A~, m (5) Mp~, I < ~. m~_N

Rappelons la notion de l 'approximation polynomialo pond~r~e, par exemple sur la demi-droite x ___ 0. Une fonction F (x) est dire fonction de poids pour une telle approximation si elle est positive, croissante vers l'infini aveo x, et si, quelle que soit la fonction/(x), continue sur [0, oo[ , telle que lim /(x)]F (x)= O, ~ tout 8 > 0 correspond un polynome P(x)

X - - ~ r

avec la propridt~ If(x) - P(x) l~ 8 F(x) pour x > 0. S. B~,RNST~.I~ [1] a donn~ une condition suffisante pour qu'une fonction soit une fonction de poids. Des conditions ndceasaires et suffisantes ont ~galement ~t~ donnges.

L'&uteur a gdndralisd le probl~me, en fournissant des conditions pour qu'une fonction F soit une fonction de poids correspondant h une suite de polynomes ne contenant que les puissances {p~}. C'est-~-dire, des conditions pour que F poss~de les propridtds suivantes: quelle que soit /(x) ( a v e c / / F ~ O , F ( x ) ~ oo) et quel que soit 8>0, on peut trouver un polynome P, ne eomportant que des puissances Pro: P (x)= A o + A~x~ + + . . . + A ~ x ~ , satisfaisant ~ l'in~galit~ I f ( x ) - P ( x ) l < s F ( x ) (x>= 0).

110 S. Mandelbrojt

Ainsi on d~montre dans [4] - - comme cas particulier d 'un th~or~me plus g~n6ral d~montr$ dans le m~me ouvrage - - que la fonetion

xvm (7) ~ (x) ---- Sup M"vpm (x ~ 0)

est eertainement une telle fonction de poids, si la condition (5) avee B d~fini par (4) est satisfaite. I1 est clair que, quel que soit c > 0, la fonetion

(cx) poss~de la m~me propri4t~. La condition (5) avee B remplae~ par Bc dtant satisfa~te, la fonetion

(8) F~ (x) = Sup m Pm

est une fonction de poids sur [0, ov [ avec des polynomes ne eomportant que des puissances {pro}; Ia fonetion

(9) ~'(x) = E Mc m>-O Pm

l'est ~videmment ~galement pour les fonetions ], avee ]IF 1--, O. Ainsi done, quel que soit 51> 0, il existe une suite finie A(p~(0 ~ m ~ N)

telle que (p ~tant l 'entier figurant dans I'4none~):

(10) I x p - ~ A(p~xP*l ~ I F ( X ) . m ~ N

Done, quel que soil D = {d.} de l'dnoncr on a:

(11) I M p - Z A(N) v Morn [ ----- [ E d. n 2p - Z A(~)pm E dn n2Pm [ = < m~_N n m~N n

E d . l : " - E A ( 2 , : " I = < X - E I <= n m~_N n mS N

_ m;~O m

En ehoisissant 51 = 5/~ 2-vm on obtient la conclusion de lemme. Le th~orgme r~sulte imm~diatement du lemme, en remarquant d'abord

q u e

(12)

et, qu'en posant

(13)

/(2q) (0) = ( - 1) a ~ a n,

~ n

T (u) = Sup - - (u > 0), . M.

D6termination effective d 'une fonotion appartenant ~ une olasse 111

o n a (volt [3]): 2

la.I _~ T--~n ) (n_~ 1). I1 suffit alors de poser:

c'est-~-dire

ntq D ( 2 _ . ) n z ~ 2n~q (15) c ( - 1)' ](~) (0),

et d'appliquer le lemme deux lois pour obtenir, d'une part:

et, d'autre part:

(17)

I ~ T (n) ( - 1)' + ~ f " ) (0) - m__.NZ A(N~,m ~' L ~ + ( - D'm+~/("m) ( O ) T ( n ) 1<~--2

La conclusion du th6or~me est immddiate, en posant

3. Pour souligner l'inddpendance des constant~s ~ intervenant dans le thdorbme 1, et pour spdcifier la maui~re simple dont cUes d~pendent des suites {M.} et {Pro}, nous dnon~ons le thdor~me suivant, qui rdsulte immddiatement des indgalitds ayant servi pour la ddmonstration du lemme et du th6or~me 1:

Th6or~me 2. Les suites {M.} et {Pm} ~tant d~finies comme dans l'~nonc~ du thdor~me 1. la /onction B (a) gtant dgfinie par (4), supposon, la condition (5) satis/aite. Soit p u n entier Tositi/.

II existe une suite ~ double indies { ~ ) }m~ o, N> 1 telle que:

(18) N-| ~ ~(n)[ n " - ._~N~" '(S)--'Om] = 0 r O m "

Et, quelle que soit la suite a double indice (?(p~ } satis/aisant a (18), on a:

(-1)PI(~P) (0) = lira ~ ~(N)(-1)Pm](~Pm)(0) / P m

Ainsi. lorsqu'on eonnait les ddrivdes/(~=) (0) d'une fonction / de la forme (2), on peu~, si une relation de la forme (5) est satisfaite, exprimer

112 S. NIandelbrojt, D~termination effective d'une fonction appartenant

toutes les d~riv~es ](2~)(0) par l'interm~diaire de ses d~riv~es .f(2~)(0). CXRL~.M~N ayant indi(tu~ une m~thode pour construire la fonction f partir de routes ses d~riv~es lorsqu'une condition est satisfaite concernant les (M,}, condition qui est certainement satisfaite lorsque la nStre l'est (condition (5)), on constate que le probl~me que nous avons pos~ est r~solu.

Literatur

[1] S. BERNSTEI1% Legons sur les propri~tSs extr~males et la meilleurc approxima- tion des fonctions analytiques d'une variable r~elle. (Gauthier-ViUars, 1926).

[2] T. CARLE1KAN, Les fonctions quasi analytiques (Gauthicr-ViUars, 1926). [31 S. ~KNDELBROJT, S~ries de Fourier et classes quasi analytiques de fonctions.

(Gauthier-Villars, 1935). [4] S.M.&NDELBROJT, S6ries adh~rentes. R~gularisation des suites. Applications.

(Gauthicr-Villars, 1952). [5] A. OSTROWSKI, ~bcr quasi-analytische Funktionen und Bestimmheit asympto-

tischer Entwicklungen (Acta Mat., t. 53, 1930).

Eingegangen am 17. 11. 1975

Anschrift des Autors: S. Mandelbrojt, Coll~ge de France, 20 Rue Leverrier, F-75006 Paris, France